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2025小升初數學熱點考點強化(通用版)第5講計數問題(一)(講義)(原卷版+解析)

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2025小升初數學熱點考點強化(通用版)第5講計數問題(一)(講義)(原卷版+解析)

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第5講 計數問題(一)
1、加法原理 2
2、乘法原理 5
3、容斥原理 7
4、抽屜原理 10
熱點考點 考查頻率 考點難度
加法原理 ★★ ★★★
乘法原理 ★★ ★★★
容斥原理 ★★ ★★★
抽屜原理 ★★★ ★★★
【考情分析】計數問題是小升初數學考試中的重要模塊,主要考查學生的邏輯思維、分類討論能力和對基本計數方法的掌握。知識點包括加法原理、乘法原理、容斥原理、抽屜原理等,該部分題目通常出現在填空題、選擇題和應用題中,難度中等,但靈活性較強,容易因遺漏或重復計數導致失分。
加法原理
加法原理:如果完成一件任務有n類方法,在第一類方法中有m1種不同方法,在第二類方法中有m2種不同方法…,在第n類方法中有mn種不同方法,那么完成這件任務共有:m1+m2…+mn種不同的方法.
關鍵問題:確定工作的分類方法.
基本特征:每一種方法都可完成任務.
例1:
例1:Karry到早餐店吃早餐,有包子、油條、燒賣三種早點供選擇,最少吃一種,最多吃三種,有(  )種不同的選擇方法.
A、3 B、6 C、7 D、9
【分析】分別求出吃一種有幾種選擇方法,吃兩種有幾種選擇方法,吃三種有幾種方法,然后利用加法原理解答即可.
【解答】①吃一種,有包子、油條、燒賣三種選擇方法,
②吃兩種有包子、油條;包子、燒賣;油條、燒賣三種選擇方法,
③吃三種就是三種一起吃,有一種選擇方法;
一共有:3+3+1=7(種).
答:有7種不同的選擇方法.
故選:C.
【點評】本題考查了加法原理即完成一件事情有n類方法,第一類中又有M1種方法,第二類中又有M2種方法,…,第n類中又有 Mn種方法,那么完成這件事情就有M1+M2+…+Mn種方法.
例2:高老師有件事要通知24名同學,如果用打電話的方式,每分鐘通知1人,最少用(  )分鐘就能通知到每個人.
A、24 B、12 C、6 D、5
【分析】第一分鐘老師和學生一共有2人;
第二分鐘老師和學生每人都通知一人,又增加了1×2=2人,第二分鐘老師和學生一共有:2+2=4=2×2人;
第三分鐘老師和學生每人都通知一人,又增加了1×4=4人,第二分鐘老師和學生一共有:4+4=8=2×2×2人;
第四分鐘老師和學生每人都通知一人,又增加了1×8=8人,第二分鐘老師和學生一共有:8+8=16=2×2×2×2人;
同理,每次通知的學生和老師的總人數,總是前一次的2倍,
所以,2×2×2×2<24+1<2×2×2×2×2,因此,4分鐘通知不完,只能5分鐘;所以最少用5分鐘就能通知到每個人.
【解答】根據分析可知:每增加1分鐘收到通知的學生和老師的人數是前一分鐘收到通知的學生和老師的人數的2倍,
所以2×2×2×2<24+1<2×2×2×2×2,即16<25<32;
因此,4分鐘通知不完,只能5分鐘;所以最少用5分鐘就能通知到每個人.
故選:D.
【點評】注意本題為了便于研究規律,不要把老師和學生分隔開研究,這樣有利于使問題簡單化;通過本題我們可以總結出這種題的一般規律:有幾分鐘總人數就是幾個2連乘(2的n次方).
【跟蹤訓練1】學校舉辦班級乒乓球比賽.共有16支球隊參加,比賽采用單場淘汰制(即每場比賽淘汰1支球隊).一共要進行(  )場比賽后才能產生冠軍.
A.13 B.14 C.15 D.16
【跟蹤訓練2】一把鑰匙開一把鎖,現有3把鑰匙和3把鎖弄混了,最多試開(  )次,就能把鎖和鑰匙配起來.
A.3 B.4 C.5 D.6
【跟蹤訓練3】一個火車站,上站臺有電梯2部,自動梯1部,扶梯3部.上站臺有______種不同的走法.
【跟蹤訓練4】口袋里有12個紅球,2個黃球,6個花球,除顏色外全部相同,任意摸出一個球,顏色有 ______種可能.
【跟蹤訓練5】往返于南京和上海之間的滬寧高速列車沿途要停靠常州、無錫、蘇州三站.問:鐵路部門要為這趟車準備多少種車票?
【跟蹤訓練6】小丹的叔叔從南京出差去上海,可以乘飛機去,也可以乘火車去,還可以乘汽車或輪船去。一天中從南京到上海有4班不同的飛機,10班不同的火車,5班不同的汽車和1班輪船。問:一天中乘坐這些交通工具,從南京到上海共有多少種走法?
乘法原理
乘法原理:如果完成一件任務需要分成n個步驟進行,做第1步有m1種方法,不管第1步用哪一種方法,第2步總有m2種方法…不管前面n-1步用哪種方法,第n步總有mn種方法,那么完成這件任務共有:m1×m2…×mn種不同的方法.
關鍵問題:確定工作的完成步驟.
基本特征:每一步只能完成任務的一部分.
例1:
例1:小明有4本不同的科技類圖書和3本不同的故事類圖書.在一次為貧困學校捐書的活動中,他準備捐科技類和故事類圖書各一本,他有(  )種不同的捐法.
A、3 B、4 C、7 D、12
【分析】由題意可知,共有4本不同的科技類圖書和3本不同的故事類圖書,如果固定科技類圖書與故事類圖書進行組合的話,則每本科技類圖書可分別與3本不同的故事書組合,共有3種組合方法,一共有四本科技類書,根據乘法原理,所以共有4×3=12種不同的捐法
【解答】4×3=12(種).
所以共有12種不同的捐法.
故選:D
【點評】乘法原理與加法原理加法原理是數學概率方面的基本原理,理解時要注意這兩種原理的區別.
例2:小紅有2件不同的上衣,3雙不同的鞋子,2件不同的裙子,共有(  )穿法.
A、9 B、12 C、24
【分析】要完成不同的穿衣搭配,需要分三步,第一步從2件不同的上衣取一件有2種取法;第二步從2件不同的裙子取一條有2種取法;第三步從3雙不同的鞋子取一雙有3種取法;根據乘法原理,共有:2×3×2=12(種),據此解答
【解答】2×3×2
=6×2
=12(種);
答:共有12種不同的穿法.
故選:B
【點評】本題考查了乘法原理:做一件事,完成它需要分成n個步驟,做第一步有m1種不同的方法,做第二步有m2種不同的方法,…,做第n步有mn種不同的方法,那么完成這件事共有N=m1×m2×m3×…×mn種不同的方法;本題有三種衣物,所以需要分三步完成不同的穿衣搭配.
【跟蹤訓練1】(2024 巧家縣校級模擬)A、B、C、D四位同學排成一排照相,B與C要求站在一起,一共有(  )種不同的站法。
A.3 B.6 C.8 D.12
【跟蹤訓練2】(2024 福州)小明有4本不同的科技類圖書和3本不同的故事類圖書.在一次為貧困學校捐書的活動中,他準備捐科技類和故事類圖書各一本,他有(  )種不同的捐法.
A.3 B.4 C.7 D.12
【跟蹤訓練3】(2024秋 合肥期末)小紅有2件不同顏色的上衣,有3條不同顏色的褲子,共有 ______種搭配方法.
【跟蹤訓練4】(2023秋 成都期末)三年級(2)班的同學去兒童樂園,每人帶一份盒飯,每份盒飯要含一個葷菜和一個素菜,葷菜有排骨和魚,素菜有白菜、黃瓜和油菜,廚師共有 ______種不同的配菜方法.
【跟蹤訓練5】(2024春 興慶區期末)孫悟空在和妖怪打斗時,把自己的名字“孫行者”三個字變化了許多次來迷惑妖怪,你也來試試看,能變出幾個?
【跟蹤訓練6】下面是愛心之家餐廳盒飯的菜單,每盒有一個葷菜和一個素菜.
葷菜:紅燒肉、魚香肉絲
素菜:炒瓜片、土豆絲、燒茄子、燉豆角
一共有幾種不同的配菜方法?請列舉出來.
容斥原理
在日常生活中,人們常常需要統計一些數量,在統計的過程中,往往會發現有些數量重復出現,為了使重復出現的部分不致被重復計算,人們研究出一種新的計數方法,既先不考慮重復的情況,把包含于某內容中的所有對象的數目先計算出來,然后再把計數時重復計算的數目排除出去,使計算的結果既無遺漏又無重復.這種計數方法稱為包含排除法,也叫做容斥原理或重疊問題.
一般方法:
在解答有關包含排除問題時,我們常常利用圓圈圖(韋恩圖)來幫助分析思考.
容斥原理1:兩量重疊問題
A類與B類元素個數的總和=A類元素的個數+B類元素個數-既是A類又是B類的元素個數
用符號可表示成:A∪B=A+B-A∩B (其中符號“∪”讀作“并”,相當于中文“和”或者“或”的意思,符號“∩”讀作“交”,相當于中文“且”的意思).
容斥原理2:三量重疊問題
A類、B類與C類元素個數的總和=A類元素的個數+B類元素個數+C類元素個數-既是A類又是B類的元素個數-既是B類又是C類的元素個數-既是A類又是C類的元素個數+同時是A類、B類、C類的元素個數.
用符號表示為:A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-A∩C+A∩B∩C
例1:
例1:聚會時,有5人喝可樂,有6人喝果汁,有4人喝茶水,其中有3人既喝果汁又喝茶水,有(  )人參加聚會.
A、18 B、12 C、10
【分析】由題意可知,聚會人數=喝可樂的人數+喝果汁的人數+喝茶水的人數-既喝果汁又喝茶水的人數即可.
【解答】5+6+4-3=12(人)
答:共有12人參加聚會.
故選:B
【點評】此題考查利用容斥原理解決實際問題的靈活應用,可借助圖形解決問題
例2:用圓圈表示星球上的空氣,各星球上的空氣所含的不同氣體用不同的字母表示,相同的氣體用相同的字母表示(如圖).已知天王星與海王星上的空氣中都含有氦氣,冥王星上沒有.那么圖中字母(  )表示氦氣.
A、X B、Y C、Z D、W
【分析】根據“不同氣體用不同的字母表示,相同的氣體用相同的字母表示”,得出Z是三個星球都含有的氣體,W是只有天王星含有的氣體,Y是只有冥王星含有的氣體,而X是海王星和天王星含有的氣體,而冥王星不含有該氣體,由此即可得出答案.
【解答】根據題意和所給出的圖知道,
Z是三個星球都含有的氣體,
W是只有天王星含有的氣體,
Y是只有冥王星含有的氣體,
X是海王星和天王星含有的氣體,而冥王星不含有該氣體,
而天王星與海王星上的空氣中都含有氦氣,冥王星上沒有,
所以,圖中字母X表示氮氣.
故選:A.
【點評】解答此題的關鍵是,在理解題意的基礎上,要會看韋恩圖(即利用容斥原理的表示圖).
【跟蹤訓練1】(2024秋 寬城縣期末)我們班會打乒乓球的有23人,會打籃球的有16人,兩種都會的人最多不超過(  )人。
A.23 B.16 C.17 D.7
【跟蹤訓練2】(2024秋 新建區期末)一次數學測試,全班36人中,做對第一道題的有21人,做對第二道題的有18人,每人至少做對一道。兩道題都做對的有(  )人。
A.1 B.2 C.3 D.4
【跟蹤訓練3】(2025 重慶模擬)老師組織六一班45名同學觀看了《哪吒2之魔鬼鬧海》,在做觀影調查的時候,發現喜歡哪吒的有36人。喜歡敖丙的有18人,兩個都喜歡的有10人,那么兩者都不喜歡的有 ______人。
【跟蹤訓練4】(2024秋 潮南區期末)一次數學測試,全班46人中,做對第一道思考題的有28人,做對第二道思考題的有23人,每人至少做對一道,則兩道思考題都做對的有 ______人。
【跟蹤訓練5】(2024秋 建鄴區期末)六年級二班有48人,其中喜歡打羽毛球,喜歡打籃球,沒有人既不喜歡打羽毛球又不喜歡打籃球。既喜歡打羽毛球又喜歡打籃球的有多少人?
【跟蹤訓練6】(2024秋 歷城區期末)為了提升道路交通安全意識,陽光小學對觀看“一盔一帶安全教育”與“道路安全警示”視頻的情況進行了調查。調查結果顯示:有164名同學觀看了“一盔一帶安全教育”視頻,148名同學觀看了“道路安全警示”視頻,而兩個視頻都觀看的同學達到了112名。本次活動一共有多少名同學觀看了視頻?
抽屜原理
抽屜原則一:如果把(n+1)個物體放在n個抽屜里,那么必有一個抽屜中至少放有2個物體.
例:把4個物體放在3個抽屜里,也就是把4分解成三個整數的和,那么就有以下四種情況:
①4=4+0+0 ②4=3+1+0 ③4=2+2+0 ④4=2+1+1
觀察上面四種放物體的方式,我們會發現一個共同特點:總有那么一個抽屜里有2個或多于2個物體,也就是說必有一個抽屜中至少放有2個物體.
抽屜原則二:如果把n個物體放在m個抽屜里,其中n>m,那么必有一個抽屜至少有:
①k=[]+1個物體:當n不能被m整除時.
②k=個物體:當n能被m整除時.
理解知識點:[X]表示不超過X的最大整數.
例:[4.351]=4;[0.321]=0;[2.9999]=2;
關鍵問題:構造物體和抽屜.也就是找到代表物體和抽屜的量,而后依據抽屜原則進行運算.
例1:
例1:在任意的37個人中,至少有(  )人屬于同一種屬相.
A、3 B、4 C、6
【分析】把12個屬相看做12個抽屜,37人看做37個元素,利用抽屜原理最差情況:要使屬相相同的人數最少,只要使每個抽屜的元素數盡量平均,即可解答
【解答】37÷12=3…1
3+1=4(人)
答:至少有4人的屬相相同.
故選:B
【點評】此題考查了利用抽屜原理解決實際問題的靈活應用,關鍵是從最差情況考慮
例2:在一個不透明的箱子里放了大小相同的紅、黃、藍三種顏色的玻璃珠各5粒.要保證每次摸出的玻璃珠中一定有3粒是同顏色的,則每次至少要摸(  )粒玻璃珠.
A、3 B、5 C、7 D、無法確定
【分析】把紅、黃、藍三種顏色看做3個抽屜,考慮最差情況:每種顏色都摸出2粒,則一共摸出2×3=6粒玻璃珠,此時再任意摸出一粒,必定能出現3粒玻璃珠顏色相同,據此即可解答
【解答】根據題干分析可得:
2×3+1=7(粒),
答:至少摸出7粒玻璃珠,可以保證取到3粒顏色相同的玻璃珠.
故選:C
【點評】此題考查了利用抽屜原理解決實際問題的靈活應用.
【跟蹤訓練1】(2024秋 長春期末)一個袋子里有紅、白、藍三種顏色的球各5個,至少摸出(  )個球,可以保證有兩個球顏色相同。
A.4 B.5 C.6 D.10
【跟蹤訓練2】(2024秋 如皋市期末)一個不透明的袋子里有7個形狀大小完全相同球,其中4個紅球,3個黃球。在摸球游戲中,保證摸出的球中至少有1個紅球,那一次至少摸出球的個數是(  )
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
【跟蹤訓練3】(2024秋 惠山區期末)一個盒子里放著7個除顏色外其他完全一樣的小球,其中4個紅球,3個白球,至少從中摸出 ______個球,才能保證摸出的球里一定有白球。
【跟蹤訓練4】(2024 墨竹工卡縣模擬)袋子里有紅球、黃球、白球分別為3個、5個、7個,為使取出的球中保證有4個同色,最少要取 ______個球。
【跟蹤訓練5】(2024 德宏州)把紅、黃、藍、白四種顏色的球各5個放在一個袋子里。至少取多少個球,可以保證取到兩個顏色相同的球?
【跟蹤訓練6】(2024春 巧家縣校級期中)袋子里有同樣大小的紅、白、黃、藍顏色的球各5個,至少取出多少個球,可以保證取到兩個顏色相同的球?
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21世紀教育網(www.21cnjy.com)第5講 計數問題(一)
1、加法原理 2
2、乘法原理 5
3、容斥原理 9
4、抽屜原理 13
熱點考點 考查頻率 考點難度
加法原理 ★★ ★★★
乘法原理 ★★ ★★★
容斥原理 ★★ ★★★
抽屜原理 ★★★ ★★★
【考情分析】計數問題是小升初數學考試中的重要模塊,主要考查學生的邏輯思維、分類討論能力和對基本計數方法的掌握。知識點包括加法原理、乘法原理、容斥原理、抽屜原理等,該部分題目通常出現在填空題、選擇題和應用題中,難度中等,但靈活性較強,容易因遺漏或重復計數導致失分。
加法原理
加法原理:如果完成一件任務有n類方法,在第一類方法中有m1種不同方法,在第二類方法中有m2種不同方法…,在第n類方法中有mn種不同方法,那么完成這件任務共有:m1+m2…+mn種不同的方法.
關鍵問題:確定工作的分類方法.
基本特征:每一種方法都可完成任務.
例1:
例1:Karry到早餐店吃早餐,有包子、油條、燒賣三種早點供選擇,最少吃一種,最多吃三種,有(  )種不同的選擇方法.
A、3 B、6 C、7 D、9
【分析】分別求出吃一種有幾種選擇方法,吃兩種有幾種選擇方法,吃三種有幾種方法,然后利用加法原理解答即可.
【解答】①吃一種,有包子、油條、燒賣三種選擇方法,
②吃兩種有包子、油條;包子、燒賣;油條、燒賣三種選擇方法,
③吃三種就是三種一起吃,有一種選擇方法;
一共有:3+3+1=7(種).
答:有7種不同的選擇方法.
故選:C.
【點評】本題考查了加法原理即完成一件事情有n類方法,第一類中又有M1種方法,第二類中又有M2種方法,…,第n類中又有 Mn種方法,那么完成這件事情就有M1+M2+…+Mn種方法.
例2:高老師有件事要通知24名同學,如果用打電話的方式,每分鐘通知1人,最少用(  )分鐘就能通知到每個人.
A、24 B、12 C、6 D、5
【分析】第一分鐘老師和學生一共有2人;
第二分鐘老師和學生每人都通知一人,又增加了1×2=2人,第二分鐘老師和學生一共有:2+2=4=2×2人;
第三分鐘老師和學生每人都通知一人,又增加了1×4=4人,第二分鐘老師和學生一共有:4+4=8=2×2×2人;
第四分鐘老師和學生每人都通知一人,又增加了1×8=8人,第二分鐘老師和學生一共有:8+8=16=2×2×2×2人;
同理,每次通知的學生和老師的總人數,總是前一次的2倍,
所以,2×2×2×2<24+1<2×2×2×2×2,因此,4分鐘通知不完,只能5分鐘;所以最少用5分鐘就能通知到每個人.
【解答】根據分析可知:每增加1分鐘收到通知的學生和老師的人數是前一分鐘收到通知的學生和老師的人數的2倍,
所以2×2×2×2<24+1<2×2×2×2×2,即16<25<32;
因此,4分鐘通知不完,只能5分鐘;所以最少用5分鐘就能通知到每個人.
故選:D.
【點評】注意本題為了便于研究規律,不要把老師和學生分隔開研究,這樣有利于使問題簡單化;通過本題我們可以總結出這種題的一般規律:有幾分鐘總人數就是幾個2連乘(2的n次方).
【跟蹤訓練1】學校舉辦班級乒乓球比賽.共有16支球隊參加,比賽采用單場淘汰制(即每場比賽淘汰1支球隊).一共要進行(  )場比賽后才能產生冠軍.
A.13 B.14 C.15 D.16
【答案】C
【分析】16支球隊參加比賽.決賽階段以單場淘汰制進行:打16÷2=8(場)決出8強,再打8÷2=4(場)決出四強,再打4÷2=2(場)決出冠亞軍,最后打一場決出冠軍,一共要打:8+4+2+1=15(場).
【解答】解:一共進行:
8+4+2+1,
=12+2+1,
=15(場).
答:一共要進行15場比賽后才能產生冠軍.
故選:C.
【跟蹤訓練2】一把鑰匙開一把鎖,現有3把鑰匙和3把鎖弄混了,最多試開(  )次,就能把鎖和鑰匙配起來.
A.3 B.4 C.5 D.6
【答案】A
【分析】首先開第一把鎖,最多需要兩次即可,開第二把鎖只要一次即可,由此相加解決問題.
【解答】解:2+1=3(次);
答:最多試開3次,就能把鎖和鑰匙配起來.
故選:A.
【跟蹤訓練3】一個火車站,上站臺有電梯2部,自動梯1部,扶梯3部.上站臺有______種不同的走法.
【分析】從2部電梯中選一種有2種走法、從1部自動梯中選一種有1種走法,從3部扶梯中選一種有3種走法,根據加法原理可知共有2+1+3=6種不同走法.
【解答】解:2+1+3=6(種),
答:上站臺有6種不同的走法.
故答案為:6.
【跟蹤訓練4】口袋里有12個紅球,2個黃球,6個花球,除顏色外全部相同,任意摸出一個球,顏色有 ______種可能.
【分析】因為口袋里有紅、黃、花三種顏色的球,所以任意摸出一個球,可能摸到紅球,也可能摸到黃球,還可能摸到花球,因此有3種可能.
【解答】解:因為有三種顏色的球,每種顏色的球都有可能摸到,所以任意摸出一個球,有3種可能.
故答案為:3.
【跟蹤訓練5】往返于南京和上海之間的滬寧高速列車沿途要停靠常州、無錫、蘇州三站.問:鐵路部門要為這趟車準備多少種車票?
【分析】我們可以根據列車的往與返把它們分成兩大類(注:為了方便,我們將上述地點簡稱為寧、常、錫、蘇、滬):
在第一大類中,我們又可以根據乘客乘車時所在起點站的不同分成4類.
第1類:從寧出發:寧→常,寧→錫,寧→蘇,寧→滬,4種;
第2類:從常出發:常→錫,常→蘇,常→滬,3種;
第3類:從錫出發:錫→蘇,錫→滬,2種;
第4類:從蘇出發:蘇→滬,1種.
我們同樣可用剛才的方法將回來的車票分類,它的種數與第一大類完全相同.
【解答】解:(4+3+2+1)×2=20(種)
答:鐵路部門要準備20種車票.
【跟蹤訓練6】小丹的叔叔從南京出差去上海,可以乘飛機去,也可以乘火車去,還可以乘汽車或輪船去。一天中從南京到上海有4班不同的飛機,10班不同的火車,5班不同的汽車和1班輪船。問:一天中乘坐這些交通工具,從南京到上海共有多少種走法?
【答案】20種。
【分析】將各種不同的走法相加,即可求出一共的走法種數。
【解答】解:有4班不同的飛機,有4種走法;有10班不同的火車,有10種走法;5班不同的汽車,有5種走法;1班輪船,有1種走法,即列式為:
4+10+5+1=20(種)
答:小丹的叔叔從南京去上海出差共有20種不同的走法。
乘法原理
乘法原理:如果完成一件任務需要分成n個步驟進行,做第1步有m1種方法,不管第1步用哪一種方法,第2步總有m2種方法…不管前面n-1步用哪種方法,第n步總有mn種方法,那么完成這件任務共有:m1×m2…×mn種不同的方法.
關鍵問題:確定工作的完成步驟.
基本特征:每一步只能完成任務的一部分.
例1:
例1:小明有4本不同的科技類圖書和3本不同的故事類圖書.在一次為貧困學校捐書的活動中,他準備捐科技類和故事類圖書各一本,他有(  )種不同的捐法.
A、3 B、4 C、7 D、12
【分析】由題意可知,共有4本不同的科技類圖書和3本不同的故事類圖書,如果固定科技類圖書與故事類圖書進行組合的話,則每本科技類圖書可分別與3本不同的故事書組合,共有3種組合方法,一共有四本科技類書,根據乘法原理,所以共有4×3=12種不同的捐法
【解答】4×3=12(種).
所以共有12種不同的捐法.
故選:D
【點評】乘法原理與加法原理加法原理是數學概率方面的基本原理,理解時要注意這兩種原理的區別.
例2:小紅有2件不同的上衣,3雙不同的鞋子,2件不同的裙子,共有(  )穿法.
A、9 B、12 C、24
【分析】要完成不同的穿衣搭配,需要分三步,第一步從2件不同的上衣取一件有2種取法;第二步從2件不同的裙子取一條有2種取法;第三步從3雙不同的鞋子取一雙有3種取法;根據乘法原理,共有:2×3×2=12(種),據此解答
【解答】2×3×2
=6×2
=12(種);
答:共有12種不同的穿法.
故選:B
【點評】本題考查了乘法原理:做一件事,完成它需要分成n個步驟,做第一步有m1種不同的方法,做第二步有m2種不同的方法,…,做第n步有mn種不同的方法,那么完成這件事共有N=m1×m2×m3×…×mn種不同的方法;本題有三種衣物,所以需要分三步完成不同的穿衣搭配.
【跟蹤訓練1】(2024 巧家縣校級模擬)A、B、C、D四位同學排成一排照相,B與C要求站在一起,一共有(  )種不同的站法。
A.3 B.6 C.8 D.12
【答案】D
【分析】根據題意,先將B與C看作一個整體,與A、D進行全排列,再考慮B與C之間的排列順序,最后根據排列組合的乘法原理解答即可。
【解答】解:把B與C捆綁在一起,此時相當于有3個元素(BC整體、A、D)進行全排列。B與C兩人之間也有不同的排列順序,B在左C在右和B在右C在左,兩種不同的站法,所以有ABCD、ACBD、ADBC、ADCB、BCAD、BCDA、CBAD、CBDA、DBCA、DCBA、DABC、DACB,共12種不同的站法。
故選:D。
【跟蹤訓練2】(2024 福州)小明有4本不同的科技類圖書和3本不同的故事類圖書.在一次為貧困學校捐書的活動中,他準備捐科技類和故事類圖書各一本,他有(  )種不同的捐法.
A.3 B.4 C.7 D.12
【答案】D
【分析】由題意可知,共有4本不同的科技類圖書和3本不同的故事類圖書,如果固定科技類圖書與故事類圖書進行組合的話,則每本科技類圖書可分別與3本不同的故事類圖書組合,共有3種組合方法,一共有四本科技類書,根據乘法原理,所以共有4×3=12種不同的捐法.
【解答】解:4×3=12(種).
所以共有12種不同的捐法.
故選:D。
【跟蹤訓練3】(2024秋 合肥期末)小紅有2件不同顏色的上衣,有3條不同顏色的褲子,共有 ______種搭配方法.
【分析】從2件上衣中選一件有2種不同的選法;從3條褲子中選一件有3種不同的選法;根據乘法原理可列式為:2×3=6(種),據此解答.
【解答】解:根據分析可得,
2×3=6(種)
答:一共有6種搭配方法.
故答案為:6.
【跟蹤訓練4】(2023秋 成都期末)三年級(2)班的同學去兒童樂園,每人帶一份盒飯,每份盒飯要含一個葷菜和一個素菜,葷菜有排骨和魚,素菜有白菜、黃瓜和油菜,廚師共有 ______種不同的配菜方法.
【分析】葷菜是2種選1種,有2種不同的選法;
素菜是3種選1種,有3種不同的選法;這兩者的積是全部的選法.
【解答】解:2×3=6(種);
答:有6種不同的配菜方法.
故答案為:6.
【跟蹤訓練5】(2024春 興慶區期末)孫悟空在和妖怪打斗時,把自己的名字“孫行者”三個字變化了許多次來迷惑妖怪,你也來試試看,能變出幾個?
【分析】把自己的名字“孫行者”三個字變化,就相當于把“孫行者”三個字的全排列,即排在第一個有3種選法,排在第二個有2種選法,排在第三個有1種選法,根據乘法原理,共有3×2×1=6(種)變化.
【解答】解:3×2×1=6(種)
即:孫行者、孫者行、行者孫、行孫者、者行孫、者孫行.
答:能變出6個.
【跟蹤訓練6】下面是愛心之家餐廳盒飯的菜單,每盒有一個葷菜和一個素菜.
葷菜:紅燒肉、魚香肉絲
素菜:炒瓜片、土豆絲、燒茄子、燉豆角
一共有幾種不同的配菜方法?請列舉出來.
【分析】選擇一個葷菜和一個素菜分兩步完成,葷菜有2種選擇,素菜有4種選擇,根據乘法原理解答即可.
【解答】解:2×4=8(種)
紅燒肉和炒瓜片、紅燒肉和土豆絲、紅燒肉和燒茄子、紅燒肉和燉豆角;
魚香肉絲和炒瓜片、魚香肉絲和土豆絲、魚香肉絲和燒茄子、魚香肉絲和燉豆角;
共8種;
答:一共有8種搭配方法.
容斥原理
在日常生活中,人們常常需要統計一些數量,在統計的過程中,往往會發現有些數量重復出現,為了使重復出現的部分不致被重復計算,人們研究出一種新的計數方法,既先不考慮重復的情況,把包含于某內容中的所有對象的數目先計算出來,然后再把計數時重復計算的數目排除出去,使計算的結果既無遺漏又無重復.這種計數方法稱為包含排除法,也叫做容斥原理或重疊問題.
一般方法:
在解答有關包含排除問題時,我們常常利用圓圈圖(韋恩圖)來幫助分析思考.
容斥原理1:兩量重疊問題
A類與B類元素個數的總和=A類元素的個數+B類元素個數-既是A類又是B類的元素個數
用符號可表示成:A∪B=A+B-A∩B (其中符號“∪”讀作“并”,相當于中文“和”或者“或”的意思,符號“∩”讀作“交”,相當于中文“且”的意思).
容斥原理2:三量重疊問題
A類、B類與C類元素個數的總和=A類元素的個數+B類元素個數+C類元素個數-既是A類又是B類的元素個數-既是B類又是C類的元素個數-既是A類又是C類的元素個數+同時是A類、B類、C類的元素個數.
用符號表示為:A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-A∩C+A∩B∩C
例1:
例1:聚會時,有5人喝可樂,有6人喝果汁,有4人喝茶水,其中有3人既喝果汁又喝茶水,有(  )人參加聚會.
A、18 B、12 C、10
【分析】由題意可知,聚會人數=喝可樂的人數+喝果汁的人數+喝茶水的人數-既喝果汁又喝茶水的人數即可.
【解答】5+6+4-3=12(人)
答:共有12人參加聚會.
故選:B
【點評】此題考查利用容斥原理解決實際問題的靈活應用,可借助圖形解決問題
例2:用圓圈表示星球上的空氣,各星球上的空氣所含的不同氣體用不同的字母表示,相同的氣體用相同的字母表示(如圖).已知天王星與海王星上的空氣中都含有氦氣,冥王星上沒有.那么圖中字母(  )表示氦氣.
A、X B、Y C、Z D、W
【分析】根據“不同氣體用不同的字母表示,相同的氣體用相同的字母表示”,得出Z是三個星球都含有的氣體,W是只有天王星含有的氣體,Y是只有冥王星含有的氣體,而X是海王星和天王星含有的氣體,而冥王星不含有該氣體,由此即可得出答案.
【解答】根據題意和所給出的圖知道,
Z是三個星球都含有的氣體,
W是只有天王星含有的氣體,
Y是只有冥王星含有的氣體,
X是海王星和天王星含有的氣體,而冥王星不含有該氣體,
而天王星與海王星上的空氣中都含有氦氣,冥王星上沒有,
所以,圖中字母X表示氮氣.
故選:A.
【點評】解答此題的關鍵是,在理解題意的基礎上,要會看韋恩圖(即利用容斥原理的表示圖).
【跟蹤訓練1】(2024秋 寬城縣期末)我們班會打乒乓球的有23人,會打籃球的有16人,兩種都會的人最多不超過(  )人。
A.23 B.16 C.17 D.7
【答案】B
【分析】要使兩種都會的人最多不超過16人,即會打籃球的16人都會打乒乓球;據此解答即可。
【解答】解:23>16,會打籃球的16人都會打乒乓球;那么要使兩種都會的人最多不超過16人。
故選:B。
【跟蹤訓練2】(2024秋 新建區期末)一次數學測試,全班36人中,做對第一道題的有21人,做對第二道題的有18人,每人至少做對一道。兩道題都做對的有(  )人。
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】C
【分析】依據題意可知,做對第一道題的人數+做對第二道題的人數-全班的人數=兩道都做對的人數。
【解答】解:21+18-36
=39-36
=3(人)
答:兩道題都做對的有3人。
故選:C。
【跟蹤訓練3】(2025 重慶模擬)老師組織六一班45名同學觀看了《哪吒2之魔鬼鬧海》,在做觀影調查的時候,發現喜歡哪吒的有36人。喜歡敖丙的有18人,兩個都喜歡的有10人,那么兩者都不喜歡的有 ______人。
【答案】1。
【分析】根據“容斥原理公式總人數=A+B-既A又B”求出至少喜歡一種的人數,再與45作差即可。
【解答】解:36+18-10
=54-10
=44(人)
45-44=1(人)
答:兩者都不喜歡的有1人。
故答案為:1。
【跟蹤訓練4】(2024秋 潮南區期末)一次數學測試,全班46人中,做對第一道思考題的有28人,做對第二道思考題的有23人,每人至少做對一道,則兩道思考題都做對的有 ______人。
【答案】5。
【分析】根據題意,全班人數等于做對第一題的人數加上做對第二題的人數,再減去全班的人數即為重復計算的人數也就是兩道題都做對的人數。列式計算即可。
【解答】解:28+23-46
=51-46
=5(人)
答:兩道思考題都做對的有5人。
故答案為:5。
【跟蹤訓練5】(2024秋 建鄴區期末)六年級二班有48人,其中喜歡打羽毛球,喜歡打籃球,沒有人既不喜歡打羽毛球又不喜歡打籃球。既喜歡打羽毛球又喜歡打籃球的有多少人?
【答案】20人。
【分析】依據題意,計算出喜歡打羽毛球人數,喜歡打籃球人數,既喜歡打羽毛球又喜歡打籃球的人數=喜歡打羽毛球人數+喜歡打籃球人數-總人數,由此解答本題。
【解答】解:48×=32(人)
48×=36(人)
32+36-48
=68-48
=20(人)
答:既喜歡打羽毛球又喜歡打籃球的有20人。
【跟蹤訓練6】(2024秋 歷城區期末)為了提升道路交通安全意識,陽光小學對觀看“一盔一帶安全教育”與“道路安全警示”視頻的情況進行了調查。調查結果顯示:有164名同學觀看了“一盔一帶安全教育”視頻,148名同學觀看了“道路安全警示”視頻,而兩個視頻都觀看的同學達到了112名。本次活動一共有多少名同學觀看了視頻?
【答案】200名。
【分析】用觀看了“一盔一帶安全教育”視頻的學生人數加上觀看了“道路安全警示”視頻的人數,然后再減去重疊部分的人數,也就是減去兩個視頻都觀看的同學人數即可解題。
【解答】解:根據分析可得:
164+148-112
=312-112
=200(名)
答:本次活動一共有200名同學觀看了視頻。
抽屜原理
抽屜原則一:如果把(n+1)個物體放在n個抽屜里,那么必有一個抽屜中至少放有2個物體.
例:把4個物體放在3個抽屜里,也就是把4分解成三個整數的和,那么就有以下四種情況:
①4=4+0+0 ②4=3+1+0 ③4=2+2+0 ④4=2+1+1
觀察上面四種放物體的方式,我們會發現一個共同特點:總有那么一個抽屜里有2個或多于2個物體,也就是說必有一個抽屜中至少放有2個物體.
抽屜原則二:如果把n個物體放在m個抽屜里,其中n>m,那么必有一個抽屜至少有:
①k=[]+1個物體:當n不能被m整除時.
②k=個物體:當n能被m整除時.
理解知識點:[X]表示不超過X的最大整數.
例:[4.351]=4;[0.321]=0;[2.9999]=2;
關鍵問題:構造物體和抽屜.也就是找到代表物體和抽屜的量,而后依據抽屜原則進行運算.
例1:
例1:在任意的37個人中,至少有(  )人屬于同一種屬相.
A、3 B、4 C、6
【分析】把12個屬相看做12個抽屜,37人看做37個元素,利用抽屜原理最差情況:要使屬相相同的人數最少,只要使每個抽屜的元素數盡量平均,即可解答
【解答】37÷12=3…1
3+1=4(人)
答:至少有4人的屬相相同.
故選:B
【點評】此題考查了利用抽屜原理解決實際問題的靈活應用,關鍵是從最差情況考慮
例2:在一個不透明的箱子里放了大小相同的紅、黃、藍三種顏色的玻璃珠各5粒.要保證每次摸出的玻璃珠中一定有3粒是同顏色的,則每次至少要摸(  )粒玻璃珠.
A、3 B、5 C、7 D、無法確定
【分析】把紅、黃、藍三種顏色看做3個抽屜,考慮最差情況:每種顏色都摸出2粒,則一共摸出2×3=6粒玻璃珠,此時再任意摸出一粒,必定能出現3粒玻璃珠顏色相同,據此即可解答
【解答】根據題干分析可得:
2×3+1=7(粒),
答:至少摸出7粒玻璃珠,可以保證取到3粒顏色相同的玻璃珠.
故選:C
【點評】此題考查了利用抽屜原理解決實際問題的靈活應用.
【跟蹤訓練1】(2024秋 長春期末)一個袋子里有紅、白、藍三種顏色的球各5個,至少摸出(  )個球,可以保證有兩個球顏色相同。
A.4 B.5 C.6 D.10
【答案】A
【分析】由題意可知,有紅、白、藍三種顏色的球,要保證至少有2個顏色相同,最壞的情況是每種顏色各摸出1,即摸出3個,此時只要再任摸一個,即摸出3+1=4個就能保證至少有2個球顏色相同,據此解答。
【解答】解:3+1=4(個)
答:至少摸出4個球,可以保證有兩個球顏色相同。
故選:A。
【跟蹤訓練2】(2024秋 如皋市期末)一個不透明的袋子里有7個形狀大小完全相同球,其中4個紅球,3個黃球。在摸球游戲中,保證摸出的球中至少有1個紅球,那一次至少摸出球的個數是(  )
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
【答案】D
【分析】考慮最不利原則,把3個黃球全部摸出,再任意摸一個,必有1個紅球,即最少一次性摸出4個球。
【解答】解:3+1=4(個)
答:一次至少摸出球的個數是4個。
故選:D。
【跟蹤訓練3】(2024秋 惠山區期末)一個盒子里放著7個除顏色外其他完全一樣的小球,其中4個紅球,3個白球,至少從中摸出 ______個球,才能保證摸出的球里一定有白球。
【答案】5。
【分析】從最差情況考慮,如果前4個先摸出紅球,一個白球沒摸到,那么紅球都摸完了,再去摸一定是白球,所以至少摸比紅球個數多1個球,才能保證摸出的球里一定有白球。
【解答】解:4+1=5(個)
答:至少從中摸出5個球,才能保證摸出的球里一定有白球。
故答案為:5。
【跟蹤訓練4】(2024 墨竹工卡縣模擬)袋子里有紅球、黃球、白球分別為3個、5個、7個,為使取出的球中保證有4個同色,最少要取 ______個球。
【答案】10。
【分析】考慮最不利原則,把紅球3個全部取完,黃球和白球分別去3個,則再任意取一個,必有4個球同色,據此解答。
【解答】解:3+3+3+1=10(個)
答:為使取出的球中保證有4個同色,最少要取10個球。
故答案為:10。
【跟蹤訓練5】(2024 德宏州)把紅、黃、藍、白四種顏色的球各5個放在一個袋子里。至少取多少個球,可以保證取到兩個顏色相同的球?
【答案】5個。
【分析】最壞情況是四種顏色的球各取出一個,此時再取出1個,一定有兩個顏色相同的球,一共需要取出5個球。
【解答】解:最差情況為:摸出4個球,紅、黃、藍、白四種顏色各一個,
所以只要再多取一個球,就能保證取到兩個顏色相同的球,即4+1=5(個)
答:至少取5個球,可以保證取到兩個顏色相同的球。
【跟蹤訓練6】(2024春 巧家縣校級期中)袋子里有同樣大小的紅、白、黃、藍顏色的球各5個,至少取出多少個球,可以保證取到兩個顏色相同的球?
【答案】5個。
【分析】根據隨機事件概率大小的求法,找準兩點:①符合條件的情況數目;②全部情況的總數。
【解答】解:考慮最差情況,先取出4個球,這4個球可能是紅、白、黃、藍四種顏色各取了一個,再取任意一個,就能保證兩個球顏色相同。
4+1=5(個)
答:至少取出5個球,可以保證取到兩個顏色相同的球。
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