資源簡介

第4講 分數問題（二）
1、按比例分配 2
2、工程問題 5
3、利潤和利息問題 11
4、濃度問題 16
熱點考點 考查頻率 考點難度
按比例分配 ★★★ ★★
工程問題 ★★ ★★★
利潤和利息問題 ★★ ★★★★
濃度問題 ★★★★ ★★★
【考情分析】考查分數問題常以選擇填空題和應用題的形式出現，其中選擇題出現的比例又較高但是一般難度較低。主要命題點有：分數的大小比較、分數的拆項、巧算分數和、分數和百分數應用題問題、按比例分配、工程問題、利潤和利息問題、濃度問題等問題，同學們在復習時應以基礎為主，像分數的拆項、巧算分數和這類問題較難理解和掌握，同學們應在掌握基礎的前提下多做相關題目加強理解。
按比例分配
1．按比例分配定義：
在工農業生產和日常生活中，常常需要把一個數量按照一定的比來進行分配．這種分配方法通常叫做按比例分配．
2．解題方法：
（1）求總份數
（2）想各部分占總數量的幾分之幾
（3）用分數乘法求出各部分是多少．
例1：
例1：一堆由蘋果核梨子組成的水果，蘋果的質量和梨子的質量之比是4：3，現加入8斤梨子，水果的總質量變為64斤，求加入梨子后，水果中蘋果和梨子的質量之比為多少？
【分析】根據題意，加入8斤梨子，水果總質量變為64斤，則原來這堆水果有64-8=56斤，已知蘋果的質量和梨子的質量之比是4：3，所以1份為：56÷（4+3）=8斤，蘋果：8×4=32斤，梨子：8×3+8=32斤，進而求出求加入梨子后，水果中蘋果和梨子的質量之比即可．
【解答】1份量：（64-8）÷（4+3）=8（斤）
蘋果：8×4=32（斤）
梨子：8×3+8=32（斤）
蘋果：梨子=32：32=1：1．
答：加入梨子后，水果中蘋果和梨子的質量之比為1：1．
【點評】此題考查的目的是理解掌握按比例分配應用題的結構特征及解答規律．
【跟蹤訓練1】（2023 黃山）一個三角形的三個內角的度數比是2：3：5，這個三角形是（　　）三角形。
A．銳角 B．直角 C．鈍角 D．等腰
【答案】B
【分析】把比看作份數，內角和是180°，那么1份是180°÷（2+3+5）=18°，最大角是18°×5=90°，則這個三角形是直角三角形。
【解答】解：180°÷（2+3+5）
=180°÷10
=18°
18°×5=90°
答：這個三角形是直角三角形。
故選：B。
【跟蹤訓練2】三個數的平均數是9，這三個數的比是2：3：4，這三個數中最小的數是（　　）
A．2 B．6 C．9
【答案】B
【分析】三個數的平均數是9，則三個數的和是3×9，再根據按比分配原則，求最小的數即可。
【解答】解：9×3÷（2+3+4）×2
=27÷9×2
=3×2
=6
答：這三個數中最小的數是6。
故選：B。
【跟蹤訓練3】甲、乙、丙三個數的比是5：7：8，這三個數的平均數是200，這三個數分別是______，______，______．
【分析】先求出總份數5+7+8=20，再求出這三個數分別占總數的幾分之幾，然后求出三個數的和，根據一個數乘分數的意義，求出各數，解決問題．
【解答】解：5+7+8=20
200×3=600
600×=150
600×=210
600×=240
答：這三個數分別是150、210、240．
故答案為：150、210、240．
【跟蹤訓練4】紅領巾是少先隊員的標志，它的形狀是一個等腰三角形，三個角的度數比是4：1：1，那么它的頂角是______度．
【分析】首先要知道三角形的內角和是180°，根據三個角的度數比是4：1：1，把這個三角形的內角和看作1+1+4=6份，先求出一份的度數，再求頂角的度數即可．
【解答】解：180÷（1+1+4）×4
=180÷6×4
=120（度）
答：它的頂角是120度．
故答案為：120．
【跟蹤訓練5】四、五、六年級同學給學校圖書室整理800本圖書，四年級整理了圖書總數的20%，剩下的按3：5分給五年級和六年級．四、五、六年級各整理了多少本圖書？
【分析】把總本數看作單位“1”，四年級整理了圖書總數的20%，四年級整理了圖書的本數是800×20%=160（本），剩下的本數是800-160=640（本），再求出總份數，即3+5=8份，然后除剩下的本數，求出每份的本數，再分別乘3、5求出五、六年級整理的本數即可．
【解答】解：800×20%=160（本）
800-160=640（本）
640÷（3+5）=80（本）
80×3=240（本）
80×5=400（本）
答：四、五、六年級分別整理了圖書160本、240本、400本．
【跟蹤訓練6】兄弟兩人，每月收入的比是4：3，支出錢數的比是18：13．他們兩人都結余360元，問每人每月各收入多少元？
【分析】由兄弟二人每月支出的錢的比是18：13，設其中的一份為x元．所以哥哥支出18x元，弟弟支出13x元，然后分別求出每月的總錢數，根據收入的比4：3，列出比例進行解答，進一步求出各自的收入即可．
【解答】解；兄弟二人每月節余的錢一樣多．
由兄弟二人每月支出的錢的比是18：13，設其中的一份為x元，則哥哥支出18x元，弟弟支出13x元．
（18x+360）：（13x+360）=4：3
54x+1080=54x+1440
解得：x=180
哥哥每月收入：18×180+360=3600（元），
弟弟每月收入：180×13+360=2700（元），
答：哥哥每月收入3600元，弟弟每月收入2700元．
工程問題
工程問題公式
（1）一般公式：工效×工時=工作總量；　　工作總量÷工時=工效；
工作總量÷工效=工時．
（2）用假設工作總量為“1”的方法解工程問題的公式：
1÷工作時間=單位時間內完成工作總量的幾分之幾；
1÷單位時間能完成的幾分之幾=工作時間．
（注意：用假設法解工程題，可任意假定工作總量為2、3、4、5…．特別是假定工作總量為幾個工作時間的最小公倍數時，分數工程問題可以轉化為比較簡單的整數工程問題，計算將變得比較簡便．）
解答工程問題利用常見的數學思想方法，如代換法、比例法、列表法、方程法等．拋開“工作總量”和“時間”，抓住題目給出的工作效率之間的數量關系，轉化出與所求相關的工作效率，最后再利用先前的假設“把整個工程看成一個單位”，求得問題答案．一般情況下，工程問題求的是時間．
例1：
例1：師徒兩人共同加工一批零件，師傅每小時加工9個，徒弟每小時加工5個，完成任務時，徒弟比師傅少加工120個．這批零件共有多少個？
【分析】求出師傅比徒弟每小時多加工零件個數，然后依據工作時間=多的工作總量÷每小時多做零件個數，求出兩人完成任務需要的時間，最后根據工作總量=工作效率×工作時間即可解答．
解：120÷（9-5）×（9+5）
=120÷4×14
=420（個）
【解答】這批零件共有420個．
【點評】解答本題的關鍵是求出兩人完成任務需要的時間，解答依據是工作時間，工作效率以及工作總量之間數量關系．
例2：一項工程，甲、乙兩人合做8天可完成．甲單獨做需12天完成．現兩人合做幾天后，余下的工程由乙獨自完成，使乙前后兩段所用時間比為1：3．這個工程實際工期為多少天？
【分析】由題意可知，甲、乙合作8天完成，甲、乙的合作工作效率為，甲單獨12天完成，甲的工作效率為，那么乙的工作效率-=．人合做幾天后，余下的工程由乙獨自完成，使乙前后兩段所用時間比為1：3，設兩人合作x天，那么乙單獨做3x天，由此可得方程：x+×3x=1，解此方程求出兩人的合作時間后，即能求出實際工期為多少天．
【解答】-=．
設兩人合作x天，那么乙單獨做3x天，由此可得方程：
x+×3x=1，
x+x=1，
x=1，
x=4．
4+4×3
=4+12，
=16（天）．
答：這個工程實際工期為16天．
【點評】首先根據題意求出乙的工作效率，然后通過設未知數列出等量關系式是完成本題的關鍵．
【跟蹤訓練1】（2024春 宛城區期中）一車隊有a輛車，要把開挖地基時挖出的土方運走，因時間要求緊，需增加運輸車輛。如果增加10輛車，需15次運完：若增加28輛車，10次就能運完。現經多方調協，增加了19輛車，運完這些土方需要（　?。┐?。
A．11 B．12 C．13 D．14
【答案】B
【分析】依據題意可設每輛車每次運土方x立方米，每輛車每次運土方量×車數量×次數=開挖地基時挖出的土方量，由此列方程計算a,由此解答本題。
【解答】解：設每輛車每次運土方x立方米，由題意得：
15（a+10）x=10（a+28）x
15a+150=10a+280
5a=130
a=26
15×（26+10）x÷[（26+19）x]
=15×36÷45
=12（次）
答：增加了19輛車，運完這些土方需要12次。
故選：B。
【跟蹤訓練2】（2023 潼南區）一項工程，甲單獨做需要10小時完成，乙單獨做需要15小時完成?，F在兩人合作，中途甲因事停工了一段時間，結果7小時才完成，甲停工了（　?。┬r。
A．3.5 B．3 C． D．18
【答案】C
【分析】將工作總量看作單位“1“，設甲停工了 x 小時，根據甲的效率×工作時間+乙的效率×工作時間=1，列出方程，求出x的值即可。
【解答】解：甲的效率：
乙的效率：
設甲停工了 x 小時。
×（7-x ）+×7=1
-x+=1
1x=
x=
x=1
答：甲停工了1時。
故選：C。
【跟蹤訓練3】（2025 渝北區）某工程，可用若干臺機器在規定時間內完成，如果增加兩臺機器，則節省了八分之一的時間，如果減少兩臺機器，就要推遲小時完工。那么一臺機器完成這個工程需要 ______小時。
【答案】56。
【分析】我們把1臺機器1個小時的工作量看作是“1”，增加兩臺機器，則節省了八分之一的時間說明增加2臺機器，工作時間是之前的（1-=）；因為工作總量相同，那么新的工作效率是之前工作效率的，即機器的臺數是之前的，所以原有機器2÷（-1）=14（臺）；減少兩臺機器，機器的臺數為14-2=12（臺），和之前相比，工作效率為12：14=6：7，那么工作時間之比為7：6，所以之前的工作時間為÷（7-6）×6=4（小時），再根據“工作總量=工作效率×工作時間”計算出工作效率，再用工作總量除以機器臺數，就是1臺機器完成需要的時間。
【解答】解：1-=
新的工作效率是之前工作效率的，即機器的臺數是之前的。
2÷（-1）
=2÷
=14（臺）
14-2=12（臺）
12：14=6：7
÷（7-6）×6
=÷1×6
=×6
=4（小時）
14×4=56
56÷1=56（小時）
答：一臺機器完成這個工程需要56小時。
故答案為：56。
【跟蹤訓練4】（2025 重慶模擬）師徒兩人合作完成一項工程，由于配合得好，師傅的工作效率比單獨做時要提高，徒弟的工作效率單獨做時提高，兩人合作6天，完成全部工程的，接著徒弟又單獨做6天，這時這項工程還有未完成，如果這項工程由師傅一人做，______天完成。
【答案】33。
【分析】師徒兩人合作6天完成了全部工程的，還剩下全部工程的；接著徒弟又單獨干了6天，這時這項工程還有未完成，因此徒弟單獨干6天完成了全部工程的1--=，即徒弟每天完成全部工程的；師徒合作時徒弟的效率為×（1+）=，則六天徒弟完成了全部工程的，那么師傅在六天內完成了全部工程的，則此時師傅的效率為，從而師傅單干時的效率÷（1+）=，于是如果這項工程由師傅一人單獨完成需要33天。
【解答】解：徒弟獨做6天完成：1--=
徒弟獨做的效率為：÷6=
師徒合作時徒弟的效率為：×（1+）=
師傅單干時的效率：÷（1+）=，
師傅單獨做需要的時間：1=33（天）
答：這項工程由師傅一人做33天完成。
故答案為：33。
【跟蹤訓練5】（2025 重慶模擬）甲乙丙三人合修一堵圍墻，甲乙合修6天完成，乙丙合修2天完成余下工程的，剩下的再由甲乙丙三人合修5天完成，現在領工資1800元，依工作量分配，甲應得多少元？
【答案】330元。
【分析】根據乙丙合修2天完成余下工程的，求出乙、丙的工作效率之和；再根據剩下的再由甲乙丙三人合修5天完成求出甲、乙、丙的工作效率之和，用甲、乙、丙的工作效率之和減去乙、丙的工作效率之和即可求出甲的工作效率，用甲的工作效率乘甲的工作時間即可求出甲的工作總量，用一共領到的工資乘甲的工作總量即可求解本題。
【解答】解：（1-）×÷2=
[1--（1-）×]÷5=
-=
×（6+5）=
×1800=330（元）
答：依工作量分配，甲應得330元。
【跟蹤訓練6】（2024 管城區模擬）一隊工人到甲、乙兩個工地進行清理工作，甲工地的工作量是乙工地的工作量的倍，上午去甲工地的人數是去乙工地人數的3倍，下午這隊工人中有的人去了甲工地，其他工人到乙工地。到傍晚時，甲工地的工作已做完，乙工地的工作還需4名工人再做1天，那么這隊工人有多少人？
【答案】36人。
【分析】因為上午去甲工地的人數是去乙工地人數的3倍，則上午去甲工地的人數是總人數的3÷（1+3）=，去乙工地的人數是總人數是1-=，下午去甲工地的人數是總人數的，則去乙工地的人數是總人數是1-=，把這批工人一天的工作量看作單位“1”，甲工地的工作量為（）×，，乙工地完成（）×，，還需4名工人再做1天，則這批工人有4（人）。
【解答】解：上午去甲工地的人數是總人數的：3÷（1+3）=
去乙工地的人數是總人數的1-=
下午去乙工地的人數是總人數的：
甲工地的工作量（）×
乙工地的工作量
乙工地完成的工作量：（）×
剩下的工作量
總人數為4（人）
答：這批工人有36人。
利潤和利息問題
主要公式：
①商品利潤=商品售價-商品進價；
②商品利潤率=商品利潤/商品進價×100%；
③商品銷售額=商品銷售價×商品銷售量；
④商品的銷售利潤=（銷售價-成本價）×銷售量．
⑤商品售價=商品標價×折扣率．
利息=本金×利率×存期；（注意：利息稅）．
本息=本金+利息，
利息稅=利息×利息稅率．
注意利率有日利率、月利率和年利率，年利率=月利率×12=日利率×365．
例1：
例1：商店購進了一批鋼筆，決定以每支9.5元的價格出售．第一個星期賣出了60%，這時還差84元收回全部成本．又過了一個星期后全部售出，總共獲得利潤372元．那么商店購進這批鋼筆的價格是每支多少元？
【分析】又過了一個星期全部售出后，總共獲得利潤372元，在這之前是還差84元才可以收回全部成本，說明又買出的這部分的總額為372+84=456（元），買出的這部分鋼筆的數量是456÷9.5=48（支），而這48支相當于總數的1-60%=40%，求出總支數為48÷40%=120（支）；然后求出每支鋼筆盈利為372÷120=3.1（元），再用每支鋼筆的定價減去盈利的部分即為購進價．
【解答】這批鋼筆的總數量：
（372+84）÷9.5÷（1-60%），
=456÷9.5÷0.4，
=48÷0.4，
=120（支）；
每支鋼筆的購進價：
9.5-372÷120，
=9.5-3.1，
=6.4（元）；
答：商店購進這批鋼筆的價格是每支6.4元．
【點評】此題條件較復雜，需認真分析，先求出這批鋼筆的數量是解決此題的關鍵．
【跟蹤訓練1】某超市按進價加40%作為定價銷售某種商品，可是銷售得不好，只賣出了，后來老板按定價減價40%以210元出售，很快就賣完了，則這次生意盈虧情況是（　?。?br/>A．不虧不賺 B．平均每件虧了5元
C．平均每件賺了5元 D．不能確定
【答案】B
【分析】此題只要根據題意列式即可．“有一個商店把某件商品按進價加40%作為定價”中可設未知進價為x,即可得：定價=x（1+40%）．“后來老板按定價減價
40%以210元出售，”中又可得根據題意可得關于x的方程式，求解可得現價，比較可得答案．
【解答】解：根據題意：設未知進價為x,
可得：x （1+40%） （1-40%）=210
解得：x=250；
250×（1+40%）×+210×=245，
250-245=5，
所以這次生意平均每件虧了5元．
故選：B．
【跟蹤訓練2】商家獲得的利潤按照如下公式計算：利潤=售價-進價-售價×稅率，若稅率由b%調整為c%，且商品的進價和利潤都未改變，則商品的售價是原來的（　?。?br/>A．倍 B．倍
C．倍 D．倍
【答案】B
【分析】設利潤為a,進價為n,原來的售價為x,現在的售價為y,根據利潤=售價-進價-售價×稅率，用字母分別表示出現在的售價和原來的售價，再用現在的售價÷原來的售價即可。
【解答】解：設利潤為a,進價為n,原來的售價為x,現在的售價為y,原來的稅率為b%，所以 a=x-n-b%x,所以 同理可得現在的售價y=，y：x=：=。
故選：B。
【跟蹤訓練3】甲、乙兩種商品，成本共2200元，甲商品按20%的利潤定價，乙商品按15%的利潤定價，后來都按定價的90%打折出售，結果仍獲利131元，甲商品的成本是______元．
【分析】設甲成本為x元，則乙為2200-x元，分別把甲、乙商品定價后的價錢求出，然后根據一個數乘分數的意義，求出后來都按定價的90%打折出售的總價錢，繼而根據“按定價的90%打折出售的總價錢-成本價=獲利錢數（131）”列出方程，解答即可．
【解答】解：設甲成本為x元，則乙為2200-x元，則：
90%×[（1+20%）x+（2200-x）×（1+15%）]-2200=131
0.9×[1.2x+2200×1.15-1.15x]-2200=131
0.9×[0.05x+2530]-2200=131
0.045x+2277-2200=131
0.045x+77=131
x=1200
答：甲商品的成本是1200元．
故答案為：1200．
【跟蹤訓練4】某種風險發生的可能性為萬分之15，針對該風險的壽險品種的保險標準是每萬元保額繳納保費50元，保險公司計劃將所收保費的30%用于公司運營，70%用于支付保險賠付，如果該保險每年銷售1000萬份（每份保額1000元），那么，在正常情況下，按33%向國家繳納所得稅后，該險種每年可使保險公司獲得稅后利潤 ______萬元．
【分析】總收入：每萬元保額繳納保費50元，那么1000元的保費就是5元，1000萬份共收入：1000萬×5=5000萬；
30%用于公司經營，這部分不計算在利潤，也不納稅；
70%用于支付保險賠付，風險發生的可能性為萬分之15，那么，求出1000萬份可能發生多少起風險，每起風險要賠付1000元，求出賠付的總金額，這部分也不需要納稅；
剩下的錢數就是應納所得稅額，乘稅率33%就是應繳的稅金，剩下的錢數就是公司利潤．
【解答】解：保額是1000元，那么保費是5元；
1000×5=5000（萬元）；
5000×70%=3500（萬元）；
1000×=1.5（萬起）；
1.5×1000=1500（萬元）；
3500-1500=2000（萬元）；
2000-2000×33%，
=2000-660，
=1340（萬元）；
答：該險種每年可使保險公司獲得稅后利潤1340萬元．
故答案為：1340．
【跟蹤訓練5】甲乙兩種商品，成本共2000元，甲商品按30%的利潤定價，乙商品按20%的利潤定價，后來都按定價打九折賣出去了，結果仍獲利223元，甲商品的成本是多少元？
【答案】700元。
【分析】設甲商品的成本是x元，則乙商品的成本是（2000-x）元，根據甲乙都是按定價打九折賣出去后獲利223元，列方程求解即可。
【解答】解：設甲商品的成本是x元，則乙商品的成本是（2000-x）元。
[（1+30%）x+（1+20%）（2000-x）]×90%-2000=223
[1.3x+1.2×（2000-x）]×90%-2000=223
[1.3x+2400-1.2x]×90%-2000=223
[（0.1x+2400]×90%-2000=223
0.09x+2160-2000=223
0.09x+160=223
0.09x=63
x=700
答：甲商品的成本是700元。
【跟蹤訓練6】某微商一次購進了一種時令水果250千克，開始兩天他以每千克高于進價40%的價格賣出180千克。第三天他發現網上賣該種水果的商家陡增，于是他果斷將剩余的該種水果在前兩天的售價基礎上打4折全部售出，最后他賣該種水果獲得618元的利潤，計算商家打折賣出的該種剩余水果虧了多少元？
【答案】462元。
【分析】設進價為x元/千克，根據前后一共獲利618元，列出方程，求出x的值，然后根據總額減去進貨總價來計算商家打折賣出的該種剩余水果虧了多少元即可。
【解答】解：設進價為x元/千克。依據題意可得：
180（1+40%）x+（250-180）×40%×（1+40%）x-250x=618
180×1.4x+70×0.4×1.4x-250x=618
252x+39.2x-250x=618
41.2x=618
41.2x÷41.2=618÷41.2
x=15
（250-180）×15-（250-180）×15×（1+40%）×0.4
=70×15-70×15×1.4×0.4
=1050-588
=462（元）
答：商家打折賣出的該種剩余水果虧了462元。
濃度問題
基本數量關系：
溶液質量=溶質質量+溶劑質量；
溶質質量=溶液中所含溶質的質量分數．
這類問題常根據配制前后的溶質質量或溶劑質量找等量關系，分析時可采用列表的方法來幫助理解題意．
例1：
例1：A，B，C三個試管中各盛有10克、20克、30克水．把某種濃度的鹽水10克倒入A中，混合后取出10克倒入B中，混合后又從B中取出10克倒入C中．現在C中鹽水濃度是0.5%．問最早倒入A中的鹽水濃度是多少？
【分析】混合后，三個試管中的鹽水分別是20克、30克、40克，又知C管中的濃度為0.5%，可算出C管中的鹽是：40×0.5%=0.2（克）．由于原來C管中只有水，說明這0.2克的鹽來自從B管中倒入的10克鹽水里．
B管倒入C管的鹽水和留下的鹽水濃度是一樣的，10克鹽水中有0.2克鹽，那么原來B管30克鹽水就應該含鹽：0.2×3=0.6（克）．而且這0.6克鹽來自從A管倒入的10克鹽水中．
A管倒入B管的鹽水和留下的鹽水的濃度是一樣的，10克鹽水中有0.6克鹽，說明原A管中20克鹽水含鹽：0.6×2=1.2（克），而且這1.2克的鹽全部來自某種濃度的鹽水．即說明倒入A管中的10克鹽水含鹽1.2克．所以，某種濃度的鹽水的濃度是1.2÷10×100%=12%
【解答】B中鹽水的濃度是：
（30+10）×0.5%÷10×100%，
=40×0.005÷10×100%，
=2%．
現在A中鹽水的濃度是：
（20+10）×2%÷10×100%，
=30×0.002÷10×100%，
=6%．
最早倒入A中的鹽水濃度為：
（10+10）×6%÷10，
=20×6%÷10，
=12%．
答：最早倒入A中的鹽水濃度為12%．
【點評】不管是哪類的濃度問題，最關鍵的思維是要抓住題中沒有變化的量，不管哪個試管中的鹽，都是來自最初的某種濃度的鹽水中，運用倒推的思維來解答．
【跟蹤訓練1】（2024 蘇州）現有含糖量為7%的糖水600克，要使其含糖量增加到10%，需要再加糖（　?。┛?。
A．20 B．30 C．40 D．60
【答案】A
【分析】根據題意可知，糖水的質量×含糖率=糖的質量，則把原來的糖水看作單位“1”，根據百分數乘法的意義，用600×7%即可求出原來糖的質量，設要使其含糖量增加到10%，需要再加糖x克，則現在的糖水有（600+x）克，糖有（600×7%+x）克，據此列方程為（600+x）×10%=600×7%+x,然后解出方程即可。
【解答】解：設要使其含糖量增加到10%，需要再加糖x克。
（600+x）×10%=600×7%+x
60+10%x=42+x
60-42=x-0.1x
0.9x=18
x=20
答：要使其含糖量增加到10%，需要再加糖20克。
故選：A。
【跟蹤訓練2】一瓶藥液含藥為80%，倒出后再加滿水，再倒出后仍用水加滿，再倒出后還用水加滿，這時藥液含藥為（　?。?br/>A．50% B．30% C．35% D．32%
【答案】D
【分析】分析題意可知，每次倒出后又加滿水，說明藥液沒變，只是藥在變少，由此把藥液設為10份，其中藥8份，水2份，第一次倒出，再加滿水，藥還剩8×（1-）=，第二次再倒出，再加滿水，這時藥還?！粒?-）=4，第三次再倒出，再加滿水，這時藥還剩（1-）=，再根據藥液濃度=藥的質量÷藥液的質量×100%，即可解決．
【解答】解：先把藥液設為10份，其中藥8份，水2份，
[8×（1-）×（1-）×（1-）]÷10×100%，
=3.2÷10×100%，
=32%；
答：這時藥液含藥為32%；
故選：D．
【跟蹤訓練3】（2024 渝北區）兩個杯子中分別裝有濃度為40%與10%的食鹽水，倒在一起混合后，濃度是30%。若再加入300克20%的食鹽水，則濃度變為25%，那么原來有40%的食鹽水 ______克。
【答案】200。
【分析】先給個名稱好區分。“40%的鹽水”稱為“甲鹽水”，“10%的鹽水”稱為“乙鹽水”，“20%的鹽水”稱為“丙鹽水”。甲鹽水和乙鹽水的重量比是：（30%-10%）：（40%-30%）=2：1，甲乙混合后的鹽水和丙鹽水的重量比是：（25%-20%）：（30%-25%）=1：1，所以甲鹽水和乙鹽水共300克．由此即可求得甲種鹽水的質量。
【解答】解：根據題干分析可得：
甲鹽水和乙鹽水的重量比是：（30%-10%）：（40%-30%）=2：1
甲乙混合后的鹽水和丙鹽水的重量比是：（25%-20%）：（30%-25%）=1：1
所以甲鹽水和乙鹽水等于丙鹽水的重量為：300克
2+1=3
300×=200（克）
答：原有40%的鹽水200克。
故答案為：200。
【跟蹤訓練4】（2024 北碚區）一瓶純酒精，倒出一半后加滿水混合；然后又倒出溶液，再用水加滿；最后又倒出一半，再加滿水。如此三次后，瓶中酒精濃度為 ______。
【答案】18.75%。
【分析】設份法，設瓶中原純酒精100份。根據每次倒出酒精的分率求出三次后酒精含量和水的含量，最后根據“濃度=溶質÷溶液”即可解答。
【解答】解：設瓶中原純酒精100份。
第一次兌水后含有酒精：100×=50（份），含有水100-50=50（份）；
第二次兌水后含有酒精：50×（1-）=37.5（份），含有水：100-37.5=62.5（份）；
第三次兌水后含有酒精：37.5×=18.75（份），含有水：100-18.75=81.25（份）。
所以濃度為：18.75÷100×100%=18.75%
答：如此三次后，瓶中酒精濃度為18.75%。
故答案為：18.75%。
【跟蹤訓練5】（2024 渝北區）甲容器中有純酒精11升，乙容器中有水15升，第一次將甲容器中的一部分純酒精倒入乙容器，使酒精與水混合，接著將乙容器中一部分混合溶液倒入甲容器，這樣甲容器中酒精含量為62.5%，乙容器中酒精含量為25%，那么從乙容器倒入甲容器的混合溶液是多少升？
【答案】6升。
【分析】根據濃度的計算方法，找出最終酒精與混合液的比，建立等量關系，列方程求解。
【解答】解：設從乙倒入甲x升。
對乙容器：
因為酒精：混合液=25%，
所以酒精：水=25%：（1-25%）=1：3，也就是倒入的酒精為15：3=5（升）
對甲容器：剩余的酒精為11-5=6（升），
（6+25%x）÷（6+x）=62.5%
6+0.25x=3.75+0.625x
0.325x=2.25
x=6
答：從乙容器倒入甲容器的混合溶液是6升。
【跟蹤訓練6】（2024 玄武區）兩個杯中分別裝有濃度為45%與15%的鹽水，倒在一起后混合鹽水的濃度為35%，若再加入300克濃度為20%的鹽水，則變成濃度為30%的鹽水，則原來濃度為45%的鹽水有多少克？
【答案】400克。
【分析】依據題意設濃度為35%的鹽水質量為x克，利用鹽水質量×鹽水濃度=鹽的質量，由此列方程計算濃度為35%的鹽水質量，設原來濃度為45%的鹽水有y克，利用鹽水質量×鹽水濃度=鹽的質量，由此列方程計算濃度為45%的鹽水質量。
【解答】解：設濃度為35%的鹽水質量為x克，由題意得：
35%x+300×20%=（x+300）×30%
0.35x+60=0.3x+90
0.05x=30
x=600
設原來濃度為45%的鹽水有y克，由題意得：
45%y+（600-y）×15%=600×35%
0.45y+600×0.15-0.15y=600×0.35
0.3y+90=210
y=400
答：原來濃度為45%的鹽水有400克。
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21世紀教育網(www.21cnjy.com)第4講 分數問題（二）
1、按比例分配 2
2、工程問題 4
3、利潤和利息問題 7
4、濃度問題 10
熱點考點 考查頻率 考點難度
按比例分配 ★★★ ★★
工程問題 ★★ ★★★
利潤和利息問題 ★★ ★★★★
濃度問題 ★★★★ ★★★
【考情分析】考查分數問題常以選擇填空題和應用題的形式出現，其中選擇題出現的比例又較高但是一般難度較低。主要命題點有：分數的大小比較、分數的拆項、巧算分數和、分數和百分數應用題問題、按比例分配、工程問題、利潤和利息問題、濃度問題等問題，同學們在復習時應以基礎為主，像分數的拆項、巧算分數和這類問題較難理解和掌握，同學們應在掌握基礎的前提下多做相關題目加強理解。
按比例分配
1．按比例分配定義：
在工農業生產和日常生活中，常常需要把一個數量按照一定的比來進行分配．這種分配方法通常叫做按比例分配．
2．解題方法：
（1）求總份數
（2）想各部分占總數量的幾分之幾
（3）用分數乘法求出各部分是多少．
例1：
例1：一堆由蘋果核梨子組成的水果，蘋果的質量和梨子的質量之比是4：3，現加入8斤梨子，水果的總質量變為64斤，求加入梨子后，水果中蘋果和梨子的質量之比為多少？
【分析】根據題意，加入8斤梨子，水果總質量變為64斤，則原來這堆水果有64-8=56斤，已知蘋果的質量和梨子的質量之比是4：3，所以1份為：56÷（4+3）=8斤，蘋果：8×4=32斤，梨子：8×3+8=32斤，進而求出求加入梨子后，水果中蘋果和梨子的質量之比即可．
【解答】1份量：（64-8）÷（4+3）=8（斤）
蘋果：8×4=32（斤）
梨子：8×3+8=32（斤）
蘋果：梨子=32：32=1：1．
答：加入梨子后，水果中蘋果和梨子的質量之比為1：1．
【點評】此題考查的目的是理解掌握按比例分配應用題的結構特征及解答規律．
【跟蹤訓練1】（2023 黃山）一個三角形的三個內角的度數比是2：3：5，這個三角形是（　?。┤切巍?br/>A．銳角 B．直角 C．鈍角 D．等腰
【跟蹤訓練2】三個數的平均數是9，這三個數的比是2：3：4，這三個數中最小的數是（　　）
A．2 B．6 C．9
【跟蹤訓練3】甲、乙、丙三個數的比是5：7：8，這三個數的平均數是200，這三個數分別是______，______，______．
【跟蹤訓練4】紅領巾是少先隊員的標志，它的形狀是一個等腰三角形，三個角的度數比是4：1：1，那么它的頂角是______度．
【跟蹤訓練5】四、五、六年級同學給學校圖書室整理800本圖書，四年級整理了圖書總數的20%，剩下的按3：5分給五年級和六年級．四、五、六年級各整理了多少本圖書？
【跟蹤訓練6】兄弟兩人，每月收入的比是4：3，支出錢數的比是18：13．他們兩人都結余360元，問每人每月各收入多少元？
工程問題
工程問題公式
（1）一般公式：工效×工時=工作總量；　　工作總量÷工時=工效；
工作總量÷工效=工時．
（2）用假設工作總量為“1”的方法解工程問題的公式：
1÷工作時間=單位時間內完成工作總量的幾分之幾；
1÷單位時間能完成的幾分之幾=工作時間．
（注意：用假設法解工程題，可任意假定工作總量為2、3、4、5…．特別是假定工作總量為幾個工作時間的最小公倍數時，分數工程問題可以轉化為比較簡單的整數工程問題，計算將變得比較簡便．）
解答工程問題利用常見的數學思想方法，如代換法、比例法、列表法、方程法等．拋開“工作總量”和“時間”，抓住題目給出的工作效率之間的數量關系，轉化出與所求相關的工作效率，最后再利用先前的假設“把整個工程看成一個單位”，求得問題答案．一般情況下，工程問題求的是時間．
例1：
例1：師徒兩人共同加工一批零件，師傅每小時加工9個，徒弟每小時加工5個，完成任務時，徒弟比師傅少加工120個．這批零件共有多少個？
【分析】求出師傅比徒弟每小時多加工零件個數，然后依據工作時間=多的工作總量÷每小時多做零件個數，求出兩人完成任務需要的時間，最后根據工作總量=工作效率×工作時間即可解答．
解：120÷（9-5）×（9+5）
=120÷4×14
=420（個）
【解答】這批零件共有420個．
【點評】解答本題的關鍵是求出兩人完成任務需要的時間，解答依據是工作時間，工作效率以及工作總量之間數量關系．
例2：一項工程，甲、乙兩人合做8天可完成．甲單獨做需12天完成．現兩人合做幾天后，余下的工程由乙獨自完成，使乙前后兩段所用時間比為1：3．這個工程實際工期為多少天？
【分析】由題意可知，甲、乙合作8天完成，甲、乙的合作工作效率為，甲單獨12天完成，甲的工作效率為，那么乙的工作效率-=．人合做幾天后，余下的工程由乙獨自完成，使乙前后兩段所用時間比為1：3，設兩人合作x天，那么乙單獨做3x天，由此可得方程：x+×3x=1，解此方程求出兩人的合作時間后，即能求出實際工期為多少天．
【解答】-=．
設兩人合作x天，那么乙單獨做3x天，由此可得方程：
x+×3x=1，
x+x=1，
x=1，
x=4．
4+4×3
=4+12，
=16（天）．
答：這個工程實際工期為16天．
【點評】首先根據題意求出乙的工作效率，然后通過設未知數列出等量關系式是完成本題的關鍵．
【跟蹤訓練1】（2024春 宛城區期中）一車隊有a輛車，要把開挖地基時挖出的土方運走，因時間要求緊，需增加運輸車輛。如果增加10輛車，需15次運完：若增加28輛車，10次就能運完?，F經多方調協，增加了19輛車，運完這些土方需要（　?。┐?。
A．11 B．12 C．13 D．14
【跟蹤訓練2】（2023 潼南區）一項工程，甲單獨做需要10小時完成，乙單獨做需要15小時完成。現在兩人合作，中途甲因事停工了一段時間，結果7小時才完成，甲停工了（　　）小時。
A．3.5 B．3 C． D．18
【跟蹤訓練3】（2025 渝北區）某工程，可用若干臺機器在規定時間內完成，如果增加兩臺機器，則節省了八分之一的時間，如果減少兩臺機器，就要推遲小時完工。那么一臺機器完成這個工程需要 ______小時。
【跟蹤訓練4】（2025 重慶模擬）師徒兩人合作完成一項工程，由于配合得好，師傅的工作效率比單獨做時要提高，徒弟的工作效率單獨做時提高，兩人合作6天，完成全部工程的，接著徒弟又單獨做6天，這時這項工程還有未完成，如果這項工程由師傅一人做，______天完成。
【跟蹤訓練5】（2025 重慶模擬）甲乙丙三人合修一堵圍墻，甲乙合修6天完成，乙丙合修2天完成余下工程的，剩下的再由甲乙丙三人合修5天完成，現在領工資1800元，依工作量分配，甲應得多少元？
【跟蹤訓練6】（2024 管城區模擬）一隊工人到甲、乙兩個工地進行清理工作，甲工地的工作量是乙工地的工作量的倍，上午去甲工地的人數是去乙工地人數的3倍，下午這隊工人中有的人去了甲工地，其他工人到乙工地。到傍晚時，甲工地的工作已做完，乙工地的工作還需4名工人再做1天，那么這隊工人有多少人？
利潤和利息問題
主要公式：
①商品利潤=商品售價-商品進價；
②商品利潤率=商品利潤/商品進價×100%；
③商品銷售額=商品銷售價×商品銷售量；
④商品的銷售利潤=（銷售價-成本價）×銷售量．
⑤商品售價=商品標價×折扣率．
利息=本金×利率×存期；（注意：利息稅）．
本息=本金+利息，
利息稅=利息×利息稅率．
注意利率有日利率、月利率和年利率，年利率=月利率×12=日利率×365．
例1：
例1：商店購進了一批鋼筆，決定以每支9.5元的價格出售．第一個星期賣出了60%，這時還差84元收回全部成本．又過了一個星期后全部售出，總共獲得利潤372元．那么商店購進這批鋼筆的價格是每支多少元？
【分析】又過了一個星期全部售出后，總共獲得利潤372元，在這之前是還差84元才可以收回全部成本，說明又買出的這部分的總額為372+84=456（元），買出的這部分鋼筆的數量是456÷9.5=48（支），而這48支相當于總數的1-60%=40%，求出總支數為48÷40%=120（支）；然后求出每支鋼筆盈利為372÷120=3.1（元），再用每支鋼筆的定價減去盈利的部分即為購進價．
【解答】這批鋼筆的總數量：
（372+84）÷9.5÷（1-60%），
=456÷9.5÷0.4，
=48÷0.4，
=120（支）；
每支鋼筆的購進價：
9.5-372÷120，
=9.5-3.1，
=6.4（元）；
答：商店購進這批鋼筆的價格是每支6.4元．
【點評】此題條件較復雜，需認真分析，先求出這批鋼筆的數量是解決此題的關鍵．
【跟蹤訓練1】某超市按進價加40%作為定價銷售某種商品，可是銷售得不好，只賣出了，后來老板按定價減價40%以210元出售，很快就賣完了，則這次生意盈虧情況是（　　）
A．不虧不賺 B．平均每件虧了5元
C．平均每件賺了5元 D．不能確定
【跟蹤訓練2】商家獲得的利潤按照如下公式計算：利潤=售價-進價-售價×稅率，若稅率由b%調整為c%，且商品的進價和利潤都未改變，則商品的售價是原來的（　　）
A．倍 B．倍
C．倍 D．倍
【跟蹤訓練3】甲、乙兩種商品，成本共2200元，甲商品按20%的利潤定價，乙商品按15%的利潤定價，后來都按定價的90%打折出售，結果仍獲利131元，甲商品的成本是______元．
【跟蹤訓練4】某種風險發生的可能性為萬分之15，針對該風險的壽險品種的保險標準是每萬元保額繳納保費50元，保險公司計劃將所收保費的30%用于公司運營，70%用于支付保險賠付，如果該保險每年銷售1000萬份（每份保額1000元），那么，在正常情況下，按33%向國家繳納所得稅后，該險種每年可使保險公司獲得稅后利潤 ______萬元．
【跟蹤訓練5】甲乙兩種商品，成本共2000元，甲商品按30%的利潤定價，乙商品按20%的利潤定價，后來都按定價打九折賣出去了，結果仍獲利223元，甲商品的成本是多少元？
【跟蹤訓練6】某微商一次購進了一種時令水果250千克，開始兩天他以每千克高于進價40%的價格賣出180千克。第三天他發現網上賣該種水果的商家陡增，于是他果斷將剩余的該種水果在前兩天的售價基礎上打4折全部售出，最后他賣該種水果獲得618元的利潤，計算商家打折賣出的該種剩余水果虧了多少元？
濃度問題
基本數量關系：
溶液質量=溶質質量+溶劑質量；
溶質質量=溶液中所含溶質的質量分數．
這類問題常根據配制前后的溶質質量或溶劑質量找等量關系，分析時可采用列表的方法來幫助理解題意．
例1：
例1：A，B，C三個試管中各盛有10克、20克、30克水．把某種濃度的鹽水10克倒入A中，混合后取出10克倒入B中，混合后又從B中取出10克倒入C中．現在C中鹽水濃度是0.5%．問最早倒入A中的鹽水濃度是多少？
【分析】混合后，三個試管中的鹽水分別是20克、30克、40克，又知C管中的濃度為0.5%，可算出C管中的鹽是：40×0.5%=0.2（克）．由于原來C管中只有水，說明這0.2克的鹽來自從B管中倒入的10克鹽水里．
B管倒入C管的鹽水和留下的鹽水濃度是一樣的，10克鹽水中有0.2克鹽，那么原來B管30克鹽水就應該含鹽：0.2×3=0.6（克）．而且這0.6克鹽來自從A管倒入的10克鹽水中．
A管倒入B管的鹽水和留下的鹽水的濃度是一樣的，10克鹽水中有0.6克鹽，說明原A管中20克鹽水含鹽：0.6×2=1.2（克），而且這1.2克的鹽全部來自某種濃度的鹽水．即說明倒入A管中的10克鹽水含鹽1.2克．所以，某種濃度的鹽水的濃度是1.2÷10×100%=12%
【解答】B中鹽水的濃度是：
（30+10）×0.5%÷10×100%，
=40×0.005÷10×100%，
=2%．
現在A中鹽水的濃度是：
（20+10）×2%÷10×100%，
=30×0.002÷10×100%，
=6%．
最早倒入A中的鹽水濃度為：
（10+10）×6%÷10，
=20×6%÷10，
=12%．
答：最早倒入A中的鹽水濃度為12%．
【點評】不管是哪類的濃度問題，最關鍵的思維是要抓住題中沒有變化的量，不管哪個試管中的鹽，都是來自最初的某種濃度的鹽水中，運用倒推的思維來解答．
【跟蹤訓練1】（2024 蘇州）現有含糖量為7%的糖水600克，要使其含糖量增加到10%，需要再加糖（　?。┛恕?br/>A．20 B．30 C．40 D．60
【跟蹤訓練2】一瓶藥液含藥為80%，倒出后再加滿水，再倒出后仍用水加滿，再倒出后還用水加滿，這時藥液含藥為（　?。?br/>A．50% B．30% C．35% D．32%
【跟蹤訓練3】（2024 渝北區）兩個杯子中分別裝有濃度為40%與10%的食鹽水，倒在一起混合后，濃度是30%。若再加入300克20%的食鹽水，則濃度變為25%，那么原來有40%的食鹽水 ______克。
【跟蹤訓練4】（2024 北碚區）一瓶純酒精，倒出一半后加滿水混合；然后又倒出溶液，再用水加滿；最后又倒出一半，再加滿水。如此三次后，瓶中酒精濃度為 ______。
【跟蹤訓練5】（2024 渝北區）甲容器中有純酒精11升，乙容器中有水15升，第一次將甲容器中的一部分純酒精倒入乙容器，使酒精與水混合，接著將乙容器中一部分混合溶液倒入甲容器，這樣甲容器中酒精含量為62.5%，乙容器中酒精含量為25%，那么從乙容器倒入甲容器的混合溶液是多少升？
【跟蹤訓練6】（2024 玄武區）兩個杯中分別裝有濃度為45%與15%的鹽水，倒在一起后混合鹽水的濃度為35%，若再加入300克濃度為20%的鹽水，則變成濃度為30%的鹽水，則原來濃度為45%的鹽水有多少克？
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