資源簡介

第3講 分數問題（一）
1、分數的大小比較 2
2、分數的拆項 4
3、巧算分數和 7
4、分數和百分數應用題 9
熱點考點 考查頻率 考點難度
分數的大小比較 ★★★ ★★
分數的拆項 ★★ ★★★
巧算分數和 ★★ ★★★★
分數和百分數應用題 ★★★★ ★★★
【考情分析】考查分數問題常以選擇填空題和解答題的形式出現，其中選擇題出現的比例又較高但是一般難度較低。主要命題點有：分數的大小比較、分數的拆項、巧算分數和、分數和百分數應用題問題等問題，同學們在復習時應以基礎為主，像分數的拆項、巧算分數和這類問題較難理解和掌握，同學們應在掌握基礎的前提下多做相關題目加強理解。
分數的大小比較
分數的大小比較常用方法：
（1）通分母：分子小的分數小．
（2）通分子：分母小的分數大．
（3）比倒數：倒數大的分數?。?br/>（4）與1相減比較法：分別與1相減，差大的分數小．（適用于真分數）
（5）重要結論：
①對于兩個真分數，如果分子和分母相差相同的數，則分子和分母都大的分數比較大；
②對于兩個假分數，如果分子和分母相差相同的數，則分子和分母都小的分數比較大．
（6）放縮法．
例1：
例1：在這四個數中，最大的數是（　?。?br/>A、 B、 C、 D、
【分析】首先觀察這四個分數，排除掉分母比分子大的和，剩下和，它們的共同點在于都可以把它們看作“1+分數單位”的形式，如=1+，=1+，它們的不同點在于兩者的分母一個大一個小，然后根據“分子相同，分母大的反而小，分母小的反而大”，做出判定．
【解答】因為＜1，＜1，＞1，＞1，因此和應排除；
=1+，
=1+，
＞，
因此＞．
最大數是．
故選：B．
【點評】此題屬于分數的大小比較，分數的比較大小的方法很多，根據不同的題目，靈活解答．
【跟蹤訓練1】（2024 天河區）（a,b,c都是不等于0的自然數），a,b,c中最小的是（　?。?br/>A．無法確定 B．a C．b D．c
【跟蹤訓練2】（2024 云城區）若＜＜，式中A最多可能表示（　?。﹤€不同的自然數．
A．6 B．7 C．8 D．9
【跟蹤訓練3】在314%，，π，3.122這四個數中，最大的數是 ______，最小的數是 ______。
【跟蹤訓練4】把下列分數按大小順序排列：，，，，______．
【跟蹤訓練5】比較、、、的大小，你能發現什么？根據你發現的規律猜一下與哪個更大，并進行驗證．
【跟蹤訓練6】五（1）班有的同學看過《西游記》，有的同學看過《朝花夕拾》，有的同學看過《紅樓夢》，還有的同學看過《鋼鐵是怎樣煉成的》?？催^哪本名著的同學最多？
分數的拆項
（1）分母為兩個相鄰自然數時：=-
（2）分母為兩個不相鄰自然數時（差為a）：=-或=（+）×．
例1：
例1：＝　　 ．
【分析】根據平方差公式：原式＝，再將括號里的數從第二個數開始進行計算，即可將括號中間的數消掉，再計算即可．
【解答】，
＝，
＝，
＝，
＝．
故答案為：．
【點評】解決本題的關鍵是利用平方差公式將分數分解再利用簡便運算計算．
【跟蹤訓練1】++++……++=（　?。?br/>A．1 B． C．
【跟蹤訓練2】在算式=1中，字母a、b、c代表不同的整數，這三個數的和可以是（　?。?br/>A．12 B．24 C．14 D．15
【跟蹤訓練3】計算：=______．
【跟蹤訓練4】（2024 晉州市）觀察下列式子：，，，……請計算=______。
【跟蹤訓練5】（2023春 泰興市期末）細心觀察下面三道算式中的規律，把后一道算式補充完整。
你能用上面發現的規律計算下面的這道題嗎？
=______=______
【跟蹤訓練6】（2023秋 曾都區期末）先閱讀，再計算：
因為，所以；
因為，所以；
因為，所以
根據以上材料，計算
=______
巧算分數和
1．湊整法
與整數運算中的“湊整法”相同，在分數運算中，充分利用四則運算法則和運算律（如交換律、結合律、分配律），使部分的和、差、積、商成為整數、整十數…從而使運算得到簡化．
2．約分法
3．裂項法
若能將每個分數都分解成兩個分數之差，并且使中間的分數相互抵消，則能大大簡化運算．
4．代數法
5．分組法．
例1：
例1：計算：
1+3+5+7+9+11+13+15+17=
81
．
【分析】通過觀察可知，式中加數的整數部分為等差數列，分數部分的分母都為n（n+1）形式，因此本題可將算式中帶分數的整數部分與分數部分分別相加，整數部分可據高斯求公式巧算，分數部分可據=-進行巧算．
【解答】1+3+5+9+11+13+15+17
=（1+3+5+7+9+11+13+15+17）+（++），
=，
=81+（），
=81+，
=81．
【點評】完成本題的過程中用了兩個巧算公式，因此在學習的過程中要注意多了解一些關于數的巧算公式．
【跟蹤訓練1】算式，再加上（　　）后，結果就是1。
A． B． C． D．
【跟蹤訓練2】計算+++++++……，照這樣不斷加下去，總和接近（　　）
A．1 B．2 C．10 D．100
【跟蹤訓練2】一列數：1.64，1.64+，1.64+，……，，求整數部分之和是 ______。
【跟蹤訓練4】如果a和b都是非零自然數，并且滿足，那么a+b=______．
【跟蹤訓練5】（2024秋 白云區校級期中）請用簡便方法計算求和。
已知，
求：
【跟蹤訓練6】觀察如圖，通過計算驗證，我們發現以下關系式：
++=1-=
+++=1-=
……
由此我們可以推斷：++++=1-=
分數和百分數應用題
下列五種基本類型的解題方法：
1．求：一個數的百分之幾是多少？
方法：單位1×對應分率=比較量
2．已知一個數的百分之幾是多少，求這個數．
方法：比較量÷對應分率=單位1；
或設這個數（單位1）為X，用方程解．
3．條件中有“比 多（少）百分之幾（幾分之幾）”，
求：標準量（單位1）或比較量？
方法：（1）單位1±單位1×n%=比較量
（2）單位1×（1±n%）=比較量
（3）比較量÷（1±n%）=單位1
找準單位一是關鍵．單位一是已經條件的用方法（1）（2），未知的用方法（3），設標準量為X．
4．求：“比 多（少）百分之幾（幾分之幾）”？
方法：相差數÷單位1
5．“是（占、相當于） 的百分之幾（幾分之幾）”
方法：比較量÷單位1
（提示：在出油率、發芽率、正確率、成活率、出勤率、含鹽率等題目中，單位“1”是總數，即整體量．
例1：
例1：甲、乙、丙三人合修一堵圍墻，甲、乙合修6天完成了，乙、丙合修2天完成了余下工程的，剩下的再由甲、乙、丙三人合修5天完成，現在領工資共18000元，依工作量分配，甲、乙、丙應各得多少元？
【分析】要求每人分得的錢數，因為按各人所完成的工作量的多少來合理分配工資，所以必須知道每人完成的工作量．要求每人完成的工作量，就要知道每人的工作效率；由題意得甲、乙、丙工作效率之和為：[1--（1-）×]÷5=，乙、丙合修2天修好余下的，乙、丙工作效率之和為：（1-）×÷2=，甲的工作效率為：，同理可求出乙、丙的工作效率．然后求出各自的工作量．
【解答】甲分得的錢為：18000×{[1--（1-）×]÷5-（1-）×÷2}×（6+5），
=18000×{[1--]÷5-÷2}×11，
=18000×{}×11，
=3300（元）；
丙分得的錢為：18000×{[1--（1-）×]÷5÷6}×（2+5），
=18000×{[1--]÷5-}×（2+5），
=18000×{-}×（2+5），
=18000××7，
=5600（元）；
乙分得的錢為：18000-3300-5600=9100（元）．
答：甲、乙、丙分別應得3300元、9100元、5600元．
【點評】此題屬于工程問題，解答此類題的關鍵是要知道工作量、工作時間、工作效率之間的關系．工作效率=工作量÷工作時間．
【跟蹤訓練1】小明有紅、藍兩色彩球共95個，紅球的和藍球的一樣多。兩種球相差（　?。﹤€。
A．19 B．20 C．25 D．30
【跟蹤訓練2】父親把所有財物平均分成若干份后全部分給兒子們，其規則是長子拿一份財物和剩下的十分之一，次子拿兩份財物和剩下的十分之一，三兒子拿三份財物和剩下的十分之一，以此類推，結果所有兒子拿到的財物都一樣多，請問父親一共有幾個兒子？（　　）
A．6 B．8 C．9 D．10
【跟蹤訓練3】（2024 渝北區）甲、乙、丙3根木棒豎直插入水池中，且與水底接觸。3根木棒的長度之和是480厘米，甲木棒有露在水面外，乙木棒有露在水面外，丙木棒有露在水面外，則水深是 ______厘米。
【跟蹤訓練4】（2024 蘇州）瓶內裝滿一瓶水，倒出全部水的，然后再灌入同樣多的酒精，又倒出全部溶液的，又用酒精灌滿，然后再倒出全部溶液的，再用酒精灌滿，那么這時的酒精占全部溶液的______%．
【跟蹤訓練5】（2024 西平縣）有甲、乙兩筐水果，甲筐重96千克，從甲筐取出它的，從乙筐取出它的20%以后，此時甲乙兩筐水果余下的重量比是4：3，乙筐水果原來有多少千克？
【跟蹤訓練6】（2023 臨海市）明天就是我國的傳統節日“端午節”，小賣部的王阿姨準備了一些紅棗粽子和蛋黃粽子，如果紅棗粽子增加，這時紅棗粽子和蛋黃粽子的數量比是3：4；如果紅棗粽子增加50%，蛋黃粽子減少5個，紅棗粽子和蛋黃粽子的數量剛好相等。王阿姨一共準備了多少個紅棗粽子？
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21世紀教育網(www.21cnjy.com)第3講 分數問題（一）
1、分數的大小比較 2
2、分數的拆項 6
3、巧算分數和 10
4、分數和百分數應用題 14
熱點考點 考查頻率 考點難度
分數的大小比較 ★★★ ★★
分數的拆項 ★★ ★★★
巧算分數和 ★★ ★★★★
分數和百分數應用題 ★★★★ ★★★
【考情分析】考查分數問題常以選擇填空題和解答題的形式出現，其中選擇題出現的比例又較高但是一般難度較低。主要命題點有：分數的大小比較、分數的拆項、巧算分數和、分數和百分數應用題問題等問題，同學們在復習時應以基礎為主，像分數的拆項、巧算分數和這類問題較難理解和掌握，同學們應在掌握基礎的前提下多做相關題目加強理解。
分數的大小比較
分數的大小比較常用方法：
（1）通分母：分子小的分數?。?br/>（2）通分子：分母小的分數大．
（3）比倒數：倒數大的分數?。?br/>（4）與1相減比較法：分別與1相減，差大的分數小．（適用于真分數）
（5）重要結論：
①對于兩個真分數，如果分子和分母相差相同的數，則分子和分母都大的分數比較大；
②對于兩個假分數，如果分子和分母相差相同的數，則分子和分母都小的分數比較大．
（6）放縮法．
例1：
例1：在這四個數中，最大的數是（　　）
A、 B、 C、 D、
【分析】首先觀察這四個分數，排除掉分母比分子大的和，剩下和，它們的共同點在于都可以把它們看作“1+分數單位”的形式，如=1+，=1+，它們的不同點在于兩者的分母一個大一個小，然后根據“分子相同，分母大的反而小，分母小的反而大”，做出判定．
【解答】因為＜1，＜1，＞1，＞1，因此和應排除；
=1+，
=1+，
＞，
因此＞．
最大數是．
故選：B．
【點評】此題屬于分數的大小比較，分數的比較大小的方法很多，根據不同的題目，靈活解答．
【跟蹤訓練1】（2024 天河區）（a,b,c都是不等于0的自然數），a,b,c中最小的是（　?。?br/>A．無法確定 B．a C．b D．c
【答案】D
【分析】根據分數加法的計算方法可知：+的和一定大于其中任意一個加數，也就是一定大于、，再根據分數比較大小的方法可知：分子相等的分數，分母大的反而小，從而找出a、b、c中最小的。
【解答】解：因為+=，所以＞、＞。
根據分子相等的分數，分母大的反而小，可知：＞，則c＜a,同理，因為＞，所以c＜b,所以a,b,c中最小的是c。
故選：D。
【跟蹤訓練2】（2024 云城區）若＜＜，式中A最多可能表示（　　）個不同的自然數．
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【分析】把＜＜，分成，兩個不等式來解，據此解答．
【解答】解：
2A＜7×17
2A＜119
A＜59.5
A＞17×3
A＞51
所以51＜A＜59.5
在51和59.5之間的自然數有52、53、54、55、56、57、58、59共8個；
故選：C．
【跟蹤訓練3】在314%，，π，3.122這四個數中，最大的數是 ______，最小的數是 ______。
【答案】，3.122。
【分析】首先把、314%化成小數，再求出π的近似值，然后再根據小數的大小比較方法，先看它們的整數部分，整數部分大的那個數大；如果整數部分相同，十分位上的數大的那個數大；如果十分位上的數也相同，百分位上的數大的那個數大，解答即可。
【解答】解：=3.4
π≈3.1416
314%=3.14
因為3.4＞3.1416＞3.14＞3.122
所以314%，，π，3.122這四個數中，最大的數是，最小的數是3.122。
故答案為：，3.122。
【跟蹤訓練4】把下列分數按大小順序排列：，，，，______．
【答案】見試題解答內容
【分析】把分數的分子都化為相同的數，而2，5，15，10，12的最小公倍數是60，根據分數的基本性質，分子擴大多少倍，分母就擴大多少倍，再利用分子相同時，分母大的分數反而小即可．
【解答】解：因為：
==
==
==
==
==
且90＜92＜95＜96＜102
所以：＞＞＞＞
故答案為：＞＞＞＞．
【跟蹤訓練5】比較、、、的大小，你能發現什么？根據你發現的規律猜一下與哪個更大，并進行驗證．
【答案】我發現分子比分母少1時，分母越大，分數值越大。
猜想＜，≈0.94，=0.95，0.94＜0.95猜想成立。
【分析】先化成小數來比較、、、的大小，再猜想并驗證與哪個更大即可。
【解答】解：=0.5
≈0.67
=0.75
≈0.83
因此＞＞＞。
我發現分子比分母少1時，分母越大，分數值越大。
猜想＜。
≈0.94
=0.95
0.94＜0.95
因此猜想成立。
【跟蹤訓練6】五（1）班有的同學看過《西游記》，有的同學看過《朝花夕拾》，有的同學看過《紅樓夢》，還有的同學看過《鋼鐵是怎樣煉成的》?？催^哪本名著的同學最多？
【答案】《紅樓夢》。
【分析】根據分數的基本性質，將各分數都化為分母為8的分數；接著根據同分母分數比較大小的方法，即可解答。
【解答】解：=
=
＞＞
答：看過《紅樓夢》的同學最多。
分數的拆項
（1）分母為兩個相鄰自然數時：=-
（2）分母為兩個不相鄰自然數時（差為a）：=-或=（+）×．
例1：
例1：＝　　 ．
【分析】根據平方差公式：原式＝，再將括號里的數從第二個數開始進行計算，即可將括號中間的數消掉，再計算即可．
【解答】，
＝，
＝，
＝，
＝．
故答案為：．
【點評】解決本題的關鍵是利用平方差公式將分數分解再利用簡便運算計算．
【跟蹤訓練1】++++……++=（　?。?br/>A．1 B． C．
【答案】C
【分析】根據拆項公式拆項后通過加減相互抵消即可簡算．
【解答】解：++++……++
=1-+-+-+-+……+-+-
=1-
=
故選：C．
【跟蹤訓練2】在算式=1中，字母a、b、c代表不同的整數，這三個數的和可以是（　?。?br/>A．12 B．24 C．14 D．15
【答案】C
【分析】把分子分解成3個數的和，并且這3個加數都是分母的因數，然后約分即可變成分子為1的分數；據此解答即可。
【解答】解：=1
所以=
==
則a=9，b=3，c=2。
a+b+c=14
故選：C。
【跟蹤訓練3】計算：=______．
【分析】=×（-），=×（-），=×（-），=×（-），再根據乘法分配律簡算．
【解答】解：
=×（-）+×（-）+×（-）+×（-）
=×（-+-+-+-）
=×（-）
=×
=
故答案為：．
【跟蹤訓練4】（2024 晉州市）觀察下列式子：，，，……請計算=______。
【答案】。
【分析】根據“”可得：
……
【解答】解：
=（1-）+（-）+（-）+……+（-）+（-）
=1-+-+-+……+-+-
=1-
=
故答案為：。
【跟蹤訓練5】（2023春 泰興市期末）細心觀察下面三道算式中的規律，把后一道算式補充完整。
你能用上面發現的規律計算下面的這道題嗎？
=______=______
【分析】觀察可得規律，分母是兩個連續自然數的乘積，分子是1的分數，可以化成分子是1，分母分別是兩個連續自然數的分數的差。據此解答。
【解答】解：因為
則-=
由規律分母是兩個連續自然數的乘積，分子是1的分數，可以化成分子是1，分母分別是兩個連續自然數的分數的差可得，
=-+-+-+-+-=
故答案為：-+-+-+-+-，。
【跟蹤訓練6】（2023秋 曾都區期末）先閱讀，再計算：
因為，所以；
因為，所以；
因為，所以
根據以上材料，計算
=______
【答案】。
【分析】根據分數裂項直接簡便運算即可。
【解答】解：
=1-+++……-+-
=1-
=
故答案為：。
巧算分數和
1．湊整法
與整數運算中的“湊整法”相同，在分數運算中，充分利用四則運算法則和運算律（如交換律、結合律、分配律），使部分的和、差、積、商成為整數、整十數…從而使運算得到簡化．
2．約分法
3．裂項法
若能將每個分數都分解成兩個分數之差，并且使中間的分數相互抵消，則能大大簡化運算．
4．代數法
5．分組法．
例1：
例1：計算：
1+3+5+7+9+11+13+15+17=
81
．
【分析】通過觀察可知，式中加數的整數部分為等差數列，分數部分的分母都為n（n+1）形式，因此本題可將算式中帶分數的整數部分與分數部分分別相加，整數部分可據高斯求公式巧算，分數部分可據=-進行巧算．
【解答】1+3+5+9+11+13+15+17
=（1+3+5+7+9+11+13+15+17）+（++），
=，
=81+（），
=81+，
=81．
【點評】完成本題的過程中用了兩個巧算公式，因此在學習的過程中要注意多了解一些關于數的巧算公式．
【跟蹤訓練1】算式，再加上（　　）后，結果就是1。
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】觀察算式，發現前一項減后一項還等于后一項，根據此將每一項拆成兩項，進行抵消計算即可。
【解答】解：
=（1-）+（）+（）+（）+（）+（）
=1-
所以
再加上后，結果就是1。
故選：A。
【跟蹤訓練2】計算+++++++……，照這樣不斷加下去，總和接近（　　）
A．1 B．2 C．10 D．100
【答案】A
【分析】根據拆項公式：，拆項后通過加減相互抵消，根據分母越大分數值越小即可確定這個算式的和越來越接近1。
【解答】解：+++++……
=1-++-+++……+
=1-
當n的值越來越大，那么越接近0，
所以1-就越接近1，
所以照這樣的規律加下去，這個算式的和越來越接近 1。
故選：A。
【跟蹤訓練2】一列數：1.64，1.64+，1.64+，……，，求整數部分之和是 ______。
【答案】49。
【分析】因為1-0.64=0.36，，，所以1.64+之前整數部分是1，之后整數部分是2，共有11個1，19個2，據此解答即可。
【解答】解：1-0.64=0.36
所以1.64、 1.64+的整數部分是1，有11個；1.64+、 1.64+的整數部分是2，有19個，
11×1+19×2=49
整數部分之和是49。
【跟蹤訓練4】如果a和b都是非零自然數，并且滿足，那么a+b=______．
【分析】由可變形為：7a+4b=27，因為a和b都是非零的自然數，這里只要求出這個二元一次方程的整數解即可．
【解答】解：可變形為：7a+4b=27，即b=，
因為a和b都是非零的自然數，所以a＞0，7a＜27，
即0＜a＜，那么a是1，2，3，
則a=1時，b=5，
a+b=1+5=6；
a=2時，b=（不合題意舍去）；
a=3時，b=1.5（不合題意舍去）．
故a+b=6．
故答案為：6．
【跟蹤訓練5】（2024秋 白云區校級期中）請用簡便方法計算求和。
已知，
求：
【答案】。
【分析】把分數轉化為兩個相減的分數，再計算即可。
【解答】解：+++......++
=1-+-+-+......+-+-
=1-
=
【跟蹤訓練6】觀察如圖，通過計算驗證，我們發現以下關系式：
++=1-=
+++=1-=
……
由此我們可以推斷：++++=1-=
【答案】。
【分析】觀察如圖，通過計算驗證，我們發現以下關系式：
++=1-=
+++=1-=
……
由此可以得出++++……+=1-，然后代入數據進行解答。
【解答】解：++++
=1-
=
故答案為：。
分數和百分數應用題
下列五種基本類型的解題方法：
1．求：一個數的百分之幾是多少？
方法：單位1×對應分率=比較量
2．已知一個數的百分之幾是多少，求這個數．
方法：比較量÷對應分率=單位1；
或設這個數（單位1）為X，用方程解．
3．條件中有“比 多（少）百分之幾（幾分之幾）”，
求：標準量（單位1）或比較量？
方法：（1）單位1±單位1×n%=比較量
（2）單位1×（1±n%）=比較量
（3）比較量÷（1±n%）=單位1
找準單位一是關鍵．單位一是已經條件的用方法（1）（2），未知的用方法（3），設標準量為X．
4．求：“比 多（少）百分之幾（幾分之幾）”？
方法：相差數÷單位1
5．“是（占、相當于） 的百分之幾（幾分之幾）”
方法：比較量÷單位1
（提示：在出油率、發芽率、正確率、成活率、出勤率、含鹽率等題目中，單位“1”是總數，即整體量．
例1：
例1：甲、乙、丙三人合修一堵圍墻，甲、乙合修6天完成了，乙、丙合修2天完成了余下工程的，剩下的再由甲、乙、丙三人合修5天完成，現在領工資共18000元，依工作量分配，甲、乙、丙應各得多少元？
【分析】要求每人分得的錢數，因為按各人所完成的工作量的多少來合理分配工資，所以必須知道每人完成的工作量．要求每人完成的工作量，就要知道每人的工作效率；由題意得甲、乙、丙工作效率之和為：[1--（1-）×]÷5=，乙、丙合修2天修好余下的，乙、丙工作效率之和為：（1-）×÷2=，甲的工作效率為：，同理可求出乙、丙的工作效率．然后求出各自的工作量．
【解答】甲分得的錢為：18000×{[1--（1-）×]÷5-（1-）×÷2}×（6+5），
=18000×{[1--]÷5-÷2}×11，
=18000×{}×11，
=3300（元）；
丙分得的錢為：18000×{[1--（1-）×]÷5÷6}×（2+5），
=18000×{[1--]÷5-}×（2+5），
=18000×{-}×（2+5），
=18000××7，
=5600（元）；
乙分得的錢為：18000-3300-5600=9100（元）．
答：甲、乙、丙分別應得3300元、9100元、5600元．
【點評】此題屬于工程問題，解答此類題的關鍵是要知道工作量、工作時間、工作效率之間的關系．工作效率=工作量÷工作時間．
【跟蹤訓練1】小明有紅、藍兩色彩球共95個，紅球的和藍球的一樣多。兩種球相差（　?。﹤€。
A．19 B．20 C．25 D．30
【答案】A
【分析】紅球的和藍球的一樣多，所以紅球的個數×=藍球的個數×，紅球的個數：藍球的個數：=2：3，把紅球的個數和藍球的個數分別看作2份和3份，它們的和是2+3=5（份），它們相差是3-2=1（份），用95除以一共的份數就是一份的個數，也就是相差的個數。
【解答】解：95÷（2+3）
=95÷5
=19（個）
答：兩種球相差19個。
故選：A。
【跟蹤訓練2】父親把所有財物平均分成若干份后全部分給兒子們，其規則是長子拿一份財物和剩下的十分之一，次子拿兩份財物和剩下的十分之一，三兒子拿三份財物和剩下的十分之一，以此類推，結果所有兒子拿到的財物都一樣多，請問父親一共有幾個兒子？（　?。?br/>A．6 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【分析】考察分數應用題，解題思路是根據題意找到等量關系，然后設未知數進行求解。
【解答】解：設父親一共有X份財產。則：
第一個兒子（長子）拿了：1+（份），第二個兒子（次子）拿了兩份和剩下的，即2+份。
根據長子和次子拿到的財產一樣多，可得：
1+=2+
解得：X=81
則長子拿到：1+=9（份）
由于每個兒子拿到的財產一樣多，
所以父親一共有：81÷9=9（個）
答：父親一共有9個兒子。
故選：C。
【跟蹤訓練3】（2024 渝北區）甲、乙、丙3根木棒豎直插入水池中，且與水底接觸。3根木棒的長度之和是480厘米，甲木棒有露在水面外，乙木棒有露在水面外，丙木棒有露在水面外，則水深是 ______厘米。
【答案】60。
【分析】如圖
把水深看成單位“1”，甲木棒有露出水面外，那么甲木棒是水深的1÷（1-）份，同理求出乙木棒，丙木各占水深的幾分之幾，480厘米除以對應分率就是水池的深度。
【解答】解：1÷（1-）
=1÷
=4（份）
1÷（1-）
=1÷
=（份）
1÷（1-）
=1÷
=（份）
480÷（4++）
=480÷8
=60（厘米）
答：水深是60厘米。
故答案為：60。
【跟蹤訓練4】（2024 蘇州）瓶內裝滿一瓶水，倒出全部水的，然后再灌入同樣多的酒精，又倒出全部溶液的，又用酒精灌滿，然后再倒出全部溶液的，再用酒精灌滿，那么這時的酒精占全部溶液的______%．
【分析】由題意知：把一瓶溶液看作單位“1”，倒出全部水的，然后再灌入同樣多的酒精，此時瓶內水占溶液的；
又倒出全部溶液的，又用酒精灌滿，此時瓶內水占溶液的×（1-）=；
然后再倒出全部溶液的，再用酒精灌滿，此時瓶內水占溶液的×（1-）=；
這時的酒精占全部溶液的1-=．
【解答】解：1-=；
×（1-）=；
×（1-）=；
1-=．
×100%=75%．
答：這時的酒精占全部溶液的 75%．
【跟蹤訓練5】（2024 西平縣）有甲、乙兩筐水果，甲筐重96千克，從甲筐取出它的，從乙筐取出它的20%以后，此時甲乙兩筐水果余下的重量比是4：3，乙筐水果原來有多少千克？
【答案】60千克。
【分析】依據題意甲筐剩下的水果重量=原來重量×（1-），乙筐剩下的重量=甲筐剩下的重量×3÷4，乙筐原來的重量=乙筐剩下的重量÷（1-20%），由此列式計算即可。
【解答】解：96×（1-）
=96×
=64（千克）
64×3÷4=48（千克）
48÷（1-20%）
=48÷0.8
=60（千克）
答：乙筐水果原來有60千克。
【跟蹤訓練6】（2023 臨海市）明天就是我國的傳統節日“端午節”，小賣部的王阿姨準備了一些紅棗粽子和蛋黃粽子，如果紅棗粽子增加，這時紅棗粽子和蛋黃粽子的數量比是3：4；如果紅棗粽子增加50%，蛋黃粽子減少5個，紅棗粽子和蛋黃粽子的數量剛好相等。王阿姨一共準備了多少個紅棗粽子？
【答案】30個。
【分析】讀題發現一個很明顯的等量關系，“紅棗粽子和蛋黃粽子的數量剛好相等”可以根據這一等量關系列方程求解；設原來紅棗粽子的數量是x個，它的數量增加后，就是（1+）x個，這時紅棗粽子和蛋黃粽子的數量比是3：4，也就是這時蛋黃粽子的數量是紅棗粽子的，用（1+）x乘就是蛋黃粽子的個數，再減去5個，就是后來蛋黃粽子的個數，后來紅棗粽子增加50%，那么后來紅棗粽子的個數就是（1+50%）x個，這與后來蛋黃粽子的個數相等，由此列出方程求解。
【解答】解：設王阿姨一共準備了x個紅棗粽子。
（1+）x×-5=（1+50%）x
x×-5=1.5x
x-1.5x=5
x=5
x=30
答：王阿姨一共準備了30個紅棗粽子。
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