資源簡介

第13講 三角形的認識
1、三角形的特性 2
2、三角形的內角和 6
3、三角形的分類 10
4、等腰三角形與等邊三角形 15
5、作三角形的高 19
熱點考點 考查頻率 考點難度
三角形的特性 ★★ ★★
三角形的分類 ★★★ ★★
三角形的內角和 ★★★★ ★★★
等腰三角形與等邊三角形 ★★★★ ★★★★
作三角形的高 ★★★ ★★
【考情分析】三角形是小學幾何的核心內容，也是小升初數學考試的重點考查對象。本專題在試卷中占比約15%-20%，主要考查學生對三角形基本性質、分類、等腰三角形與等邊三角形以及簡單證明的理解和應用能力。
三角形的特性
三角形具有穩定性．
三內角之和等于180度，根據角可以分為銳角三角形（每個角小于90°），直角三角形（有一個角等于90°），鈍角三角形（有一個角大于90°）．
任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．
例1：
例1：可以圍成一個三角形的三條線段是．（　　）
A、 B、 C、
【分析】緊扣三角形三邊關系，即可選擇正確答案．
【解答】A：5厘米+4厘米＜10厘米，兩邊之和小于第三邊，不能圍成三角形，
B：5厘米+5厘米=10厘米，兩邊之和等于第三邊，不能圍成三角形，
C：5厘米+6厘米＞10厘米，兩邊之和大于第三邊，能圍成三角形，
故選：C．
【點評】此題是考查了三角形三邊關系的應用．
例2：下面圖形是用木條釘成的支架，其中最不容易變形的是（　　）
A、 B、 C、
【分析】不容易變形，是三角形的特性，由此找出圖形中含有三角形的即可．
【解答】根據三角形的特性：三角形具有穩定性；
故選：C．
【點評】此題主要考查三角形的穩定性在實際問題中的運用．
【跟蹤訓練1】（2025春 八步區期中）一把椅子有些搖晃，你認為選項（　　）的加固方式最科學。
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】在生活中，三角形的穩定性有著非常廣泛的應用，如：自行車的車架是三角形的，籃球架上的支架是三角形的，電線桿的支架是三角形的。而四邊形具有不穩定性。根據生活經驗可知：上述物體中的三角形都是能使物體更加穩固。
【解答】解：A．
這種加固方式運用了四邊形的不穩定性，不牢固；
B．
這種加固方式運用了四邊形的不穩定性，不牢固；
C．
這種加固方式運用了四邊形的不穩定性，不牢固；
D．
這種加固方式運用了三角形的穩定性，比較牢固；
一把椅子有所搖晃，我認為選項
的加固方式最好。
故選：D。
【跟蹤訓練2】（2025春 順德區期中）一個三角形其中的兩條邊的長度分別是3厘米、5厘米，那么第三條邊的長度可能是（　　）
A．2厘米 B．4厘米 C．8厘米 D．9厘米
【答案】B
【分析】根據三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，進行分析、解答即可．
【解答】解：由三角形的特性得：5-3＜第三邊＜5+3，
即：2＜第三邊＜8，所以只能選4厘米符合題意；
故選：B．
【跟蹤訓練3】（2025春 嶗山區期中）蘇通大橋是當時世界跨徑最大的斜拉橋，其橋梁的斜拉鋼索運用了三角形的知識，這是因為三角形具有 ______。
【答案】穩定性。
【分析】三角形三條邊長度一定時，它的形狀大小就不會發生變化了，這是三角形具有穩定性的特征。
【解答】解：蘇通大橋是當時世界跨徑最大的斜拉橋，其橋梁的斜拉鋼索運用了三角形的知識，這是因為三角形具有穩定性。
故答案為：穩定性。
【跟蹤訓練4】（2024春 齊河縣期中）用3根小棒來拼三角形，已知兩根小棒的長度分別為10厘米和5厘米，那么第三根小棒的長度最長是______厘米，最短是______厘米．
【分析】根據三角形的特征：任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊；由此解答即可．
【解答】解：10-5＜第三邊＜10+5，
所以：5＜第三邊＜15，
即第三邊的取值在5～15厘米（不包括5厘米和15厘米），
因為三根小棒都是整厘米數，所以第三根小棒最長為：15-1=14（厘米），
所以第三根小棒最短為：5+1=6（厘米），
故答案為：14；6．
【跟蹤訓練5】（2023 朝陽區模擬）要用一根1m長的木條制作一個三角形，小明是這樣想的：

①你同意小明的想法嗎？說明你的理由。
②請你設計一種分割方案，使分割成的三段可以制作成一個三角形。寫出你的思考過程。
【答案】①不同意，因為三角形的兩邊之和大于第三條邊。②把木條鋸成三段，分別為4厘米、4厘米和2厘米。（答案不唯一）
【分析】根據三角形的特征：任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊；由此解答即可。
【解答】解：①不同意，因為三角形的兩邊之和大于第三條邊。
②1米=10分米
10÷2=5（分米）
則最長的邊只能是5分米，
10=4+4+2
4+2＞4
4-2＜4
所以把木條鋸成三段，分別為4厘米、4厘米和2厘米。（答案不唯一）
【跟蹤訓練6】（2024春 無棣縣期末）笑笑用小棒圍一個三角形，她已經有兩根5厘米的小棒，還需要在下面三種長度的小棒中選一根。
① 5cm
② 7cm
③ 12cm
（1）如果選①，圍成的是一個 ______三角形；
（2）如果選②，圍成的是一個 ______三角形；
（3）如果選③，會怎樣？請解釋你的結論。
【答案】（1）等邊；（2）等腰；（3）如果選③，這三條邊不符合三角形的三邊關系，不能圍成一個三角形。
【分析】（1）三條邊都相等的三角形是等邊三角形；
（2）至少有兩條邊相等的三角形叫等腰三角形；
（3）三角形的三邊關系：兩邊之和大于第三條邊，兩邊之差小于第三條邊；據此解答。
【解答】解：（1）如果選①，三條邊都是5厘米，則圍成的是一個等邊三角形；
（2）如果選②，兩條邊相等，都是5厘米，則圍成的是一個等腰三角形；
（3）5+5＜12，12-5＞5；
答：如果選③，這三條邊不符合三角形的三邊關系，不能圍成一個三角形。
故答案為：等邊；等腰；
三角形的內角和
三角形內角和為180°．
直角三角形的兩個銳角互余．
例1：
例1：把一個大三角形分成兩個小三角形，每個小三角形的內角和是（　　）
A、90° B、180° C、60°
【分析】根據三角形的內角和是180°，三角形的內角和永遠是180度，你把一個三角形分成兩個小三角形，每個的內角和還是180度，據此解答．
【解答】因為三角形的內角和等于180°，
所以每個小三角形的內角和也是180°．
故選：B．
【點評】本題考查了三角形內角和定理，屬于基礎題，關鍵是掌握三角形內角和為180度．
例2：在三角形三個內角中，∠1=∠2+∠3，那么這個三角形一定是（　　）三角形．
A、銳角 B、直角 C、鈍角 D、不能確定
【分析】根據三角形的內角和為180°結合已知，可求∠1=90°，即可判斷三角形的形狀．
【解答】因為∠1=∠2+∠3，
所以∠1=180°÷2=90°，
所以這個三角形是直角三角形．
故選：B．
【點評】此題考查了三角形的內角和定理以及三角形的分類，三角形按角分類有銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形．
【跟蹤訓練1】（2024春 薛城區期中）在一個等腰三角形中，有一個角是70度，另外兩個角可能是（　　）
A．35°和60° B．55°和55° C．15°和85° D．40°和60°
【答案】B
【分析】如果這個角是頂角，用180度減它的度數再除以2，可得兩個底角度數；如果這個角是底角，用180度減它的2倍，可得頂角的度數，據此篩選并找到正確選項即可。
【解答】解：令70度的角為頂角，則底角度數為（180°-70°）÷2=55°，
令70度的角為底角，則頂角度數為180°-70°×2=40°，
故選：B。
【跟蹤訓練2】（2024秋 密云區期末）在一個直角三角形的三個內角中，最小的角的度數是最大角度數的，這個最小的角是（　　）度。
A．30 B．60 C．45 D．18
【答案】A
【分析】直角三角形中最大的角是90°，最小的角的度數是最大角度數的，則最小的角讀數為（90×），據此解答。
【解答】解：90×=30（度）
答：這個最小的角是30度。
故選：A。
【跟蹤訓練3】（2024秋 金牛區期末）直角三角形兩個銳角的度數之比是3：2，這兩個銳角分別是（　　）
A．54°、36° B．36°、50° C．30°、20° D．60°、30°
【答案】A
【分析】直角三角形兩個銳角的和是90°，把90°平均分成5份，求出1份是多少，再求兩個銳角即可。
【解答】解：90÷（2+3）
=90÷5
=18（度）
18°×3=54°
18×2=36°
答：這兩個銳角分別是54°、36°。
故選：A。
【跟蹤訓練4】（2025春 城陽區期中）神奇的金字塔：金字塔的每個側面都是頂角約為52°的等腰三角形，每個側面的底角約為 ______°。
【答案】64。
【分析】根據三角形的內角和等于180°，解答此題即可。
【解答】解：（180°-52°）÷2
=128°÷2
=64°
答：每個側面的底角約為64°。
故答案為：64。
【跟蹤訓練6】（2025春 碑林區期中）把一個大三角形剪成兩個小三角形，每個小三角形的內角和是 ______，一個等腰三角形的一個底角是45°，它的頂角是 ______°。
【答案】180°；90。
【分析】根據三角形的內角和等于180°，解答此題即可。
【解答】解：180°-45°-45°=90°
答：每個小三角形的內角和是180°，一個等腰三角形的一個底角是45°，它的頂角是90°。
故答案為：180°；90。
【跟蹤訓練6】（2025春 番禺區期中）列式計算出下列角的度數。
（1）求出下面三角形中，∠1的度數。
∠1= ______
∠1= ______
∠1=
______
（2）如下圖所示，一個等腰三角形，其中的一個底角∠1=45°，求頂角∠3=？
【答案】（1）110°；62°；90°；（2）90°。
【分析】（1）第一個三角形：三角形的內角和是180°，用180°減去35°，再減去35°即可求出∠1的度數；
第二個三角形：三角形的內角和是180°，用180°減去90°，再減去28°即可求出∠1的度數；
第三個三角形：三角形的內角和是180°，用180°減去22°，再減去68°即可求出∠1的度數。
（2）等腰三角形的兩個底角相等，三角形的內角和是180°，用180°減去45°×2就是頂角的度數。
【解答】解：（1）180°-35°-35°
=145°-35°
=110°
180°-90°-28°
=90°-28°
=62°
180°-22°-68°
=158°-68°
=90°
（2）∠3180°-45°×2
=180°-90°
=90°
故答案為：110°；62°；90°。
三角形的分類
1．按角分
判定法一：
銳角三角形：三個角都小于90°．
直角三角形：可記作Rt△．其中一個角必須等于90°．
鈍角三角形：有一個角大于90°．
判定法二：
銳角三角形：最大角小于90°．
直角三角形：最大角等于90°．
鈍角三角形：最大角大于90°．
其中銳角三角形和鈍角三角形統稱為斜三角形．
2．按邊分
不等邊三角形；
等腰三角形；
等邊三角形．
例1：
例：一個三角形，三個內角的度數比是2：3：4，這個三角形為（　　）
A、銳角三角形 B、直角三角形 C、鈍角三角形 D、不能確定
【分析】判斷這個三角形是什么三角形，要知道這個三角形中最大角的度數情況，由題意知：把這個三角形的內角和180°平均分了（2+3+4）=9份，最大角占總和的，根據一個數乘分數的意義，求出最大角的度數，繼而根據三角形的分類判斷即可．
【解答】最大角：180×=80（度），
因為最大角是銳角，所以這個三角形是銳角三角形；
故選：A．
【點評】此題考查了根據角對三角形分類的方法：三個角都是銳角，這個三角形是銳角三角形；有一個角是鈍角的三角形是鈍角三角形；有一個角是直角的三角形是直角三角形．
【跟蹤訓練1】（2025春 福田區期中）觀察如圖，撲克牌遮住的是一個三角形，它一定是（　　）
A．鈍角三角形 B．直角三角形 C．銳角三角形 D．等腰三角形
【答案】A
【分析】露出來的三角形的一個角是一個鈍角，因此這個三角形一定是鈍角三角形。
【解答】解：露出來的三角形的一個角是一個鈍角，因此這個三角形一定是鈍角三角形。
故選：A。
【跟蹤訓練2】（2025春 嶗山區期中）三角形從邊的特點研究，可以用如圖（　　）表示它們之間的關系．
A． B． C．
【答案】C
【分析】從邊的特點研究，三角形包括等腰三角形，等腰三角形包括等邊三角形，所以三角形、等腰三角形和等邊三角形是依次包含的關系，據此解答即可．
【解答】解：三角形從邊的特點研究，可以用如圖
表示它們之間的關系．
故選：C。
【跟蹤訓練3】（2025春 龍華區期中）如圖，一張三角形紙片被撕去了一個角。這個角是 ______°，原來這張紙片的形狀按邊分是 ______三角形，按角分是 ______三角形。
【答案】70，等腰，銳角。
【分析】根據三角形的內角和是180度，求出撕去的角的度數，然后結合等腰三角形、銳角三角形的特征解答即可。
【解答】解：180°-40°-70°=70°
答：這個角是70°，原來這張紙片的形狀按邊分是等腰三角形，按角分是銳角三角形。
故答案為：70，等腰，銳角。
【跟蹤訓練4】（2025春 昌邑市期中）下面被紙蓋住的三角形是什么三角形？（按角分）
（1）______三角形
（2）______三角形
（3）______三角形
【答案】（1）直角；（2）鈍角；（3）銳角。
【分析】銳角三角形和鈍角三角形及直角三角形的含義：三個角都是銳角的三角形是銳角三角形；有一個角是鈍角的三角形是鈍角三角形；有一個角為直角的三角形為直角三角形；據此判斷。
【解答】解：圖（1）中，因為露在外面的角是一個直角，一個銳角，所以被遮住的是直角三角形；
圖（2）中露在外面的角是兩個銳角，因此被遮住的是鈍角三角形；
圖（3）中露在外面的是兩個銳角，因此被遮住的是銳角三角形。如下圖所示：
（1）直角三角形
（2）鈍角三角形
（3）銳角三角形
故答案為：直角；鈍角；銳角。
【跟蹤訓練5】（2025春 南安市期中）如圖是三角形的紙撕去了一個角后留下的部分，請求出撕去角的度數和寫出原來是什么三角形。（按角分）
【答案】
【分析】根據三角形的內角和是180°，分別計算出撕去角的度數，然后根據三角形分類知識判斷三角形的類型即可。
【解答】解：180°-36°-54°=90°，是直角三角形；
180°-65°-60°=55°，是銳角三角形；
120°-30°-30°=120°，是鈍角三角形。
【跟蹤訓練6】（2025春 八步區期中）如圖的三角形被擋住了一部分，猜一猜它可能是什么三角形？并算一算其余兩個角的度數。
（1）若它是一個直角三角形，其余兩個角分別是 ______°和 ______°。
（2）若它是一個銳角三角形，其余兩個角可能是 ______°和 ______°。
（3）若它是一個鈍角三角形，其余兩個角可能是 ______°和 ______°。
【答案】（1）30；90；（2）60；60（不唯一）；（3）20；100（不唯一）。
【分析】根據三角形的內角和等于180°和三角形的分類，解答此題即可。
【解答】解：（1）若它是一個直角三角形，其余兩個角分別是30°和90°。
（2）若它是一個銳角三角形，其余兩個角可能是60°和60°。
（3）若它是一個鈍角三角形，其余兩個角可能是20°和100°。
故答案為：（1）30；90；（2）60；60（不唯一）；（3）20；100（不唯一）。
等腰三角形與等邊三角形
1．等腰三角形的定義和性質：
定義法：在同一三角形中，有兩條邊相等的三角形是等腰三角形．
判定定理：在同一三角形中，有兩個角相等的三角形是等腰三角形（簡稱：等角對等邊）．
2．等邊三角形定義：
三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形，“等邊三角形”也被稱為“正三角形”．是特殊的等腰三角形．
如果一個三角形滿足下列任意一條，則它必滿足另一條，三邊相等或三角相等的三角形叫做等邊三角形：
（1）三邊長度相等；
（2）三個內角度數均為60度；
（3）一個內角為60度的等腰三角形．
例1：
例1：等邊三角形是（　　）
A、鈍角三角形 B、銳角三角形 C、直角三角形
【分析】等邊三角形也叫正三角形，是指三條邊、三個角都相等的三角形，每一個角都是180°÷3=60°，所以等邊三角形一定是銳角三角形．
【解答】因為等邊三角形的每一個角都是60°，所以等邊三角形一定是銳角三角形．
故選：B．
【點評】解決此題關鍵是掌握等邊三角形的特征：三條邊、三個角都相等．再根據銳角、鈍角、直角三角形的特征進行判斷即可．
例2：一個三角形中有兩個角相等，那么這個三角形一定是（　　）
A、銳角三角形 B、直角三角形 C、等腰三角形
【分析】根據等角對等邊，可知這個三角形中有兩條邊相等，依此即可作出判斷．
【解答】因為一個三角形中有兩個角相等，
所以這個三角形中有兩條邊相等；
那么這個三角形一定是等腰三角形．
故選：C．
【點評】此題考查了等腰三角形判定，本題關鍵是熟悉三角形中等角對等邊的性質．
【跟蹤訓練1】（2024秋 鄠邑區期末）一個等腰三角形的周長是60cm,其中兩條邊的長度比是1：2，這個等腰三角形的腰長是（　　）cm。
A．12 B．20 C．15 D．24
【答案】D
【分析】根據三角形三邊關系：兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊可知，三角形的三邊之比為1：2：2，再根據周長即可求出腰長。
【解答】解：60×=24（厘米）
答：這個三角形的一條腰長24厘米。
故選：D。
【跟蹤訓練2】（2025春 寶安區期中）一個等腰三角形，其中一個內角的度數是68°，頂角是（　　）
A．68° B．44° C．112° D．68°或44°
【答案】D
【分析】等腰三角形兩底角度數相等，其中一個角是68°，沒有說明是頂角還是底角，需要分兩種情況。
1、頂角是68°。
2、底角是68°，根據兩底角度數相等，兩底角度數之和就是68°×2=136°，根據三角形內角和是180°，頂角的度數就是180°-136°=44°
據此解答即可。
【解答】解：底角是68°時，
底角度數之和：68°×2=136°，
底角度數：180°-136°=44°
還有頂角是68°的情況，
所以頂角是68°或44°。
故選：D。
【跟蹤訓練3】（2024春 茂名期中）等邊三角形的每個內角都是 ______度。
【答案】60。
【分析】根據等邊三角形的性質可知，等邊三角形三個內角相等，再結合三角形內角和180度即可解答。
【解答】解：180°÷3=60°
答：等邊三角形的每個內角都是60度。
故答案為：60。
【跟蹤訓練4】（2025春 順德區期中）有一個等腰三角形的風箏，其中兩條邊分別是1.8米和2米，這個等腰三角形風箏的周長是 ______米或
______米。
【答案】5.6；5.8。
【分析】根據等腰三角形的特征及三角形任意兩邊之和大于第三條邊的關系解答。
【解答】解：2+1.8+1.8=5.6（米）
1.8+2+2=5.8（米）
答：這個等腰三角形風箏的周長是5.6米或5.8米。
故答案為：5.6；5.8。
【跟蹤訓練5】（2024春 南充期末）小李準備把一根長10厘米的吸管剪成3段，再用所剪的3根吸管圍成一個等腰三角形。他已經剪了一次，請在圖中剪一剪，并標注出三根吸管的長。
【答案】
【分析】由圖可知，10-6=4厘米，即第三段的長是4厘米，則另外兩根的長度和是6厘米。已知6可以分為1和5、2和4、3和3，根據三角形三邊之間的關系確定兩條邊的長度，再根據等腰三角形的特征得出結果。
【解答】解：10-4=6（厘米）
6=1+5=2+4=3+3
根據三角形三邊之間的關系可知，1+4=5，不符合三角形三邊的關系；
2+4=6，6＞4，符合三角形三邊的關系，且有兩條邊長度相等，符合等腰三角形的特征；
3+3=6，6＞4，符合三角形三邊的關系，且有兩條邊長度相等，符合等腰三角形的特征；
所以三根吸管的長可以是2厘米、4厘米、4厘米；也可以是3厘米、3厘米和4厘米。
【跟蹤訓練6】（2024秋 石獅市期末）周末，李莉一家外出游玩，為了拍攝更加穩定的風景照片，他們使用了一個三腳架來固定相機。當三腳架展開并接觸地面時，三腳架的腳會與地面形成等腰三角形。其中一個等腰三角形的周長是56cm,有兩條邊的比是2：3，那么這個等腰三角形的底邊長可能會是多少厘米？寫出你思考的過程。
【答案】24厘米或14厘米。
【分析】分三條邊的比是2：2：3或2：3：3分別計算即可。把邊長看作份數，用周長除以份數和求出1份數，用1份數乘底邊長的份數即可解答。
【解答】解：第一種情況：
三條邊的比是2：2：3
56÷（2+2+3）=8（cm）
8×3=24（cm）
第二種情況：
三條邊的比是2：3：3
56÷（2+3+3）=7（cm）
7×2=14（cm）
答：這個等腰三角形的底邊長可能會是24厘米或14厘米。
作三角形的高
1．銳角：從三角形的一個頂點到它的對邊做一條垂線，頂點的垂足之間的線段，就是三角形的高
2．直角：就是直角邊，另外一條同上做法鈍角：從三角形的一個頂點到它的對邊做一條垂線，頂點的垂足之間的線段，就是三角形的高，不過有兩條的對邊需要延長．
3．方法：
（1）找到頂點和對應的邊
（2）在對應邊上放一把三角尺 三角尺和這條變保持垂直，然后移動三角尺，三角尺的另一邊喝頂點重合時就鏈接頂點和三角尺直角和對應邊的重合點．
例1：
例：畫出下列三角形指定底的高．
【分析】根據三角形高的意義，在三角形中，從一個頂點向它的對邊所在的直線畫垂線，頂點到垂足之間的線段叫做三角形的高，再根據過直線外一點畫已知條直線的垂線的方法，由此作圖即可．
【解答】作圖如下：
【點評】此題主要考查三角形高的意義和高的畫法．根據過直線外一點畫已知條直線的垂線的方法，畫出已知底邊上的高即可．
【跟蹤訓練1】（2024春 寧津縣期末）下面圖示中，（　　）畫的是△ABC中BC底上的高。
A． B． C．
【答案】B
【分析】根據三角形高的意義，在三角形中，從一個頂點向它的對邊所在的直線畫垂線，頂點到垂足之間的線段叫作三角形的高，據此解答即可。
【解答】解：分析可知，
畫的是△ABC中BC底上的高。
故選：B。
【跟蹤訓練2】（2024 奈曼旗）圖中陰影三角形AB邊上的高是（　　）
A．DA B．AC C．CE D．AB
【答案】C
【分析】根據三角形的高的定義：三角形的一個頂點向它的對邊所在的直線作垂線，這點和垂足之間的線段是三角形的這邊上的高，即可求出答案。
【解答】解：根據分析知，陰影三角形AB邊上的高是CE。
故選：C。
【跟蹤訓練3】（2023秋 欒城區期末）如圖三角形ABC中，AB邊上的高是______，BC邊上的高是______。（填序號）
【分析】經過三角形的頂點（與底相對的點）向對邊（底）作垂線，頂點和垂足之間的線段就是三角形的一條高，用三角板的直角可以畫出三角形的高（鈍角三角形鈍角邊上的高在其反方向延長線上）。
【解答】解：如圖
三角形ABC中，AB邊上的高是①，BC邊上的高是③。
故答案為：①，③。
【跟蹤訓練4】（2024春 江夏區期末）如圖是由兩個邊長為6cm、4cm的正方形組成，△ABC中，若以BC為底，高是 ______cm。
【答案】2。
【分析】因為鈍角三角形以鈍角的一邊為底，它的高在底邊的延長線上，所以在三角形ABC中以BC為底邊的高等于大正方形與小正方形邊長的差，據此解答。
【解答】解：
6-4=2（厘米）
故答案為：2。
【跟蹤訓練5】（2024春 商河縣期末）畫出下面各三角形指定底邊上的高。
【答案】
【分析】從三角形的一個頂點到它的對邊做一條垂線，頂點與垂足之間的線段，就是三角形的高，據此解答即可。
【解答】解：如圖：
【跟蹤訓練6】（2024春 羅山縣期末）畫出指定底邊上的高，并求出∠1的度數。
【答案】
30°。
【分析】（1）從鈍角的頂點利用直角三角板向對邊做垂線段即可；
（2）55°與三角形的鈍角形成180度的角，利用180度減去55度即可求出三角形的鈍角，再利用三角形的內角和180度減去已知的兩個角的度數即可求出∠1。
【解答】解：如圖：
180°-55°=125°
180°-125°-25°=30°
因此∠1等于30°。
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21世紀教育網(www.21cnjy.com)第13講 三角形的認識
1、三角形的特性 2
2、三角形的內角和 5
3、三角形的分類 7
4、等腰三角形與等邊三角形 10
5、作三角形的高 12
熱點考點 考查頻率 考點難度
三角形的特性 ★★ ★★
三角形的分類 ★★★ ★★
三角形的內角和 ★★★★ ★★★
等腰三角形與等邊三角形 ★★★★ ★★★★
作三角形的高 ★★★ ★★
【考情分析】三角形是小學幾何的核心內容，也是小升初數學考試的重點考查對象。本專題在試卷中占比約15%-20%，主要考查學生對三角形基本性質、分類、等腰三角形與等邊三角形以及簡單證明的理解和應用能力。
三角形的特性
三角形具有穩定性．
三內角之和等于180度，根據角可以分為銳角三角形（每個角小于90°），直角三角形（有一個角等于90°），鈍角三角形（有一個角大于90°）．
任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．
例1：
例1：可以圍成一個三角形的三條線段是．（　　）
A、 B、 C、
【分析】緊扣三角形三邊關系，即可選擇正確答案．
【解答】A：5厘米+4厘米＜10厘米，兩邊之和小于第三邊，不能圍成三角形，
B：5厘米+5厘米=10厘米，兩邊之和等于第三邊，不能圍成三角形，
C：5厘米+6厘米＞10厘米，兩邊之和大于第三邊，能圍成三角形，
故選：C．
【點評】此題是考查了三角形三邊關系的應用．
例2：下面圖形是用木條釘成的支架，其中最不容易變形的是（　　）
A、 B、 C、
【分析】不容易變形，是三角形的特性，由此找出圖形中含有三角形的即可．
【解答】根據三角形的特性：三角形具有穩定性；
故選：C．
【點評】此題主要考查三角形的穩定性在實際問題中的運用．
【跟蹤訓練1】（2025春 八步區期中）一把椅子有些搖晃，你認為選項（　　）的加固方式最科學。
A． B． C． D．
【跟蹤訓練2】（2025春 順德區期中）一個三角形其中的兩條邊的長度分別是3厘米、5厘米，那么第三條邊的長度可能是（　　）
A．2厘米 B．4厘米 C．8厘米 D．9厘米
【跟蹤訓練3】（2025春 嶗山區期中）蘇通大橋是當時世界跨徑最大的斜拉橋，其橋梁的斜拉鋼索運用了三角形的知識，這是因為三角形具有 ______。
【跟蹤訓練4】（2024春 齊河縣期中）用3根小棒來拼三角形，已知兩根小棒的長度分別為10厘米和5厘米，那么第三根小棒的長度最長是______厘米，最短是______厘米．
【跟蹤訓練5】（2023 朝陽區模擬）要用一根1m長的木條制作一個三角形，小明是這樣想的：

①你同意小明的想法嗎？說明你的理由。
②請你設計一種分割方案，使分割成的三段可以制作成一個三角形。寫出你的思考過程。
【跟蹤訓練6】（2024春 無棣縣期末）笑笑用小棒圍一個三角形，她已經有兩根5厘米的小棒，還需要在下面三種長度的小棒中選一根。
① 5cm
② 7cm
③ 12cm
（1）如果選①，圍成的是一個 ______三角形；
（2）如果選②，圍成的是一個 ______三角形；
（3）如果選③，會怎樣？請解釋你的結論。
三角形的內角和
三角形內角和為180°．
直角三角形的兩個銳角互余．
例1：
例1：把一個大三角形分成兩個小三角形，每個小三角形的內角和是（　　）
A、90° B、180° C、60°
【分析】根據三角形的內角和是180°，三角形的內角和永遠是180度，你把一個三角形分成兩個小三角形，每個的內角和還是180度，據此解答．
【解答】因為三角形的內角和等于180°，
所以每個小三角形的內角和也是180°．
故選：B．
【點評】本題考查了三角形內角和定理，屬于基礎題，關鍵是掌握三角形內角和為180度．
例2：在三角形三個內角中，∠1=∠2+∠3，那么這個三角形一定是（　　）三角形．
A、銳角 B、直角 C、鈍角 D、不能確定
【分析】根據三角形的內角和為180°結合已知，可求∠1=90°，即可判斷三角形的形狀．
【解答】因為∠1=∠2+∠3，
所以∠1=180°÷2=90°，
所以這個三角形是直角三角形．
故選：B．
【點評】此題考查了三角形的內角和定理以及三角形的分類，三角形按角分類有銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形．
【跟蹤訓練1】（2024春 薛城區期中）在一個等腰三角形中，有一個角是70度，另外兩個角可能是（　　）
A．35°和60° B．55°和55° C．15°和85° D．40°和60°
【跟蹤訓練2】（2024秋 密云區期末）在一個直角三角形的三個內角中，最小的角的度數是最大角度數的，這個最小的角是（　　）度。
A．30 B．60 C．45 D．18
【跟蹤訓練3】（2024秋 金牛區期末）直角三角形兩個銳角的度數之比是3：2，這兩個銳角分別是（　　）
A．54°、36° B．36°、50° C．30°、20° D．60°、30°
【跟蹤訓練4】（2025春 城陽區期中）神奇的金字塔：金字塔的每個側面都是頂角約為52°的等腰三角形，每個側面的底角約為 ______°。
【跟蹤訓練6】（2025春 碑林區期中）把一個大三角形剪成兩個小三角形，每個小三角形的內角和是 ______，一個等腰三角形的一個底角是45°，它的頂角是 ______°。
【跟蹤訓練6】（2025春 番禺區期中）列式計算出下列角的度數。
（1）求出下面三角形中，∠1的度數。
∠1= ______
∠1= ______
∠1=
______
（2）如下圖所示，一個等腰三角形，其中的一個底角∠1=45°，求頂角∠3=？
三角形的分類
1．按角分
判定法一：
銳角三角形：三個角都小于90°．
直角三角形：可記作Rt△．其中一個角必須等于90°．
鈍角三角形：有一個角大于90°．
判定法二：
銳角三角形：最大角小于90°．
直角三角形：最大角等于90°．
鈍角三角形：最大角大于90°．
其中銳角三角形和鈍角三角形統稱為斜三角形．
2．按邊分
不等邊三角形；
等腰三角形；
等邊三角形．
例1：
例：一個三角形，三個內角的度數比是2：3：4，這個三角形為（　　）
A、銳角三角形 B、直角三角形 C、鈍角三角形 D、不能確定
【分析】判斷這個三角形是什么三角形，要知道這個三角形中最大角的度數情況，由題意知：把這個三角形的內角和180°平均分了（2+3+4）=9份，最大角占總和的，根據一個數乘分數的意義，求出最大角的度數，繼而根據三角形的分類判斷即可．
【解答】最大角：180×=80（度），
因為最大角是銳角，所以這個三角形是銳角三角形；
故選：A．
【點評】此題考查了根據角對三角形分類的方法：三個角都是銳角，這個三角形是銳角三角形；有一個角是鈍角的三角形是鈍角三角形；有一個角是直角的三角形是直角三角形．
【跟蹤訓練1】（2025春 福田區期中）觀察如圖，撲克牌遮住的是一個三角形，它一定是（　　）
A．鈍角三角形 B．直角三角形 C．銳角三角形 D．等腰三角形
【跟蹤訓練2】（2025春 嶗山區期中）三角形從邊的特點研究，可以用如圖（　　）表示它們之間的關系．
A． B． C．
【跟蹤訓練3】（2025春 龍華區期中）如圖，一張三角形紙片被撕去了一個角。這個角是 ______°，原來這張紙片的形狀按邊分是 ______三角形，按角分是 ______三角形。
【跟蹤訓練4】（2025春 昌邑市期中）下面被紙蓋住的三角形是什么三角形？（按角分）
（1）______三角形
（2）______三角形
（3）______三角形
【跟蹤訓練5】（2025春 南安市期中）如圖是三角形的紙撕去了一個角后留下的部分，請求出撕去角的度數和寫出原來是什么三角形。（按角分）
【跟蹤訓練6】（2025春 八步區期中）如圖的三角形被擋住了一部分，猜一猜它可能是什么三角形？并算一算其余兩個角的度數。
（1）若它是一個直角三角形，其余兩個角分別是 ______°和 ______°。
（2）若它是一個銳角三角形，其余兩個角可能是 ______°和 ______°。
（3）若它是一個鈍角三角形，其余兩個角可能是 ______°和 ______°。
等腰三角形與等邊三角形
1．等腰三角形的定義和性質：
定義法：在同一三角形中，有兩條邊相等的三角形是等腰三角形．
判定定理：在同一三角形中，有兩個角相等的三角形是等腰三角形（簡稱：等角對等邊）．
2．等邊三角形定義：
三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形，“等邊三角形”也被稱為“正三角形”．是特殊的等腰三角形．
如果一個三角形滿足下列任意一條，則它必滿足另一條，三邊相等或三角相等的三角形叫做等邊三角形：
（1）三邊長度相等；
（2）三個內角度數均為60度；
（3）一個內角為60度的等腰三角形．
例1：
例1：等邊三角形是（　　）
A、鈍角三角形 B、銳角三角形 C、直角三角形
【分析】等邊三角形也叫正三角形，是指三條邊、三個角都相等的三角形，每一個角都是180°÷3=60°，所以等邊三角形一定是銳角三角形．
【解答】因為等邊三角形的每一個角都是60°，所以等邊三角形一定是銳角三角形．
故選：B．
【點評】解決此題關鍵是掌握等邊三角形的特征：三條邊、三個角都相等．再根據銳角、鈍角、直角三角形的特征進行判斷即可．
例2：一個三角形中有兩個角相等，那么這個三角形一定是（　　）
A、銳角三角形 B、直角三角形 C、等腰三角形
【分析】根據等角對等邊，可知這個三角形中有兩條邊相等，依此即可作出判斷．
【解答】因為一個三角形中有兩個角相等，
所以這個三角形中有兩條邊相等；
那么這個三角形一定是等腰三角形．
故選：C．
【點評】此題考查了等腰三角形判定，本題關鍵是熟悉三角形中等角對等邊的性質．
【跟蹤訓練1】（2024秋 鄠邑區期末）一個等腰三角形的周長是60cm,其中兩條邊的長度比是1：2，這個等腰三角形的腰長是（　　）cm。
A．12 B．20 C．15 D．24
【跟蹤訓練2】（2025春 寶安區期中）一個等腰三角形，其中一個內角的度數是68°，頂角是（　　）
A．68° B．44° C．112° D．68°或44°
【跟蹤訓練3】（2024春 茂名期中）等邊三角形的每個內角都是 ______度。
【跟蹤訓練4】（2025春 順德區期中）有一個等腰三角形的風箏，其中兩條邊分別是1.8米和2米，這個等腰三角形風箏的周長是 ______米或
______米。
【跟蹤訓練5】（2024春 南充期末）小李準備把一根長10厘米的吸管剪成3段，再用所剪的3根吸管圍成一個等腰三角形。他已經剪了一次，請在圖中剪一剪，并標注出三根吸管的長。
【答案】
【跟蹤訓練6】（2024秋 石獅市期末）周末，李莉一家外出游玩，為了拍攝更加穩定的風景照片，他們使用了一個三腳架來固定相機。當三腳架展開并接觸地面時，三腳架的腳會與地面形成等腰三角形。其中一個等腰三角形的周長是56cm,有兩條邊的比是2：3，那么這個等腰三角形的底邊長可能會是多少厘米？寫出你思考的過程。
作三角形的高
1．銳角：從三角形的一個頂點到它的對邊做一條垂線，頂點的垂足之間的線段，就是三角形的高
2．直角：就是直角邊，另外一條同上做法鈍角：從三角形的一個頂點到它的對邊做一條垂線，頂點的垂足之間的線段，就是三角形的高，不過有兩條的對邊需要延長．
3．方法：
（1）找到頂點和對應的邊
（2）在對應邊上放一把三角尺 三角尺和這條變保持垂直，然后移動三角尺，三角尺的另一邊喝頂點重合時就鏈接頂點和三角尺直角和對應邊的重合點．
例1：
例：畫出下列三角形指定底的高．
【分析】根據三角形高的意義，在三角形中，從一個頂點向它的對邊所在的直線畫垂線，頂點到垂足之間的線段叫做三角形的高，再根據過直線外一點畫已知條直線的垂線的方法，由此作圖即可．
【解答】作圖如下：
【點評】此題主要考查三角形高的意義和高的畫法．根據過直線外一點畫已知條直線的垂線的方法，畫出已知底邊上的高即可．
【跟蹤訓練1】（2024春 寧津縣期末）下面圖示中，（　　）畫的是△ABC中BC底上的高。
A． B． C．
【跟蹤訓練2】（2024 奈曼旗）圖中陰影三角形AB邊上的高是（　　）
A．DA B．AC C．CE D．AB
【跟蹤訓練3】（2023秋 欒城區期末）如圖三角形ABC中，AB邊上的高是______，BC邊上的高是______。（填序號）
【跟蹤訓練4】（2024春 江夏區期末）如圖是由兩個邊長為6cm、4cm的正方形組成，△ABC中，若以BC為底，高是 ______cm。
【跟蹤訓練5】（2024春 商河縣期末）畫出下面各三角形指定底邊上的高。
【跟蹤訓練6】（2024春 羅山縣期末）畫出指定底邊上的高，并求出∠1的度數。
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