資源簡(jiǎn)介

第12講 平行與垂直
1、平行的概念 2
2、垂直與平行的特征及性質(zhì) 4
3、過(guò)直線外一點(diǎn)作已知直線的平行線 7
4、相交與垂直 12
5、過(guò)直線上或直線外一點(diǎn)作直線的垂線 14
熱點(diǎn)考點(diǎn) 考查頻率 考點(diǎn)難度
平行的概念 ★★ ★★
垂直與平行的特征及性質(zhì) ★★★★ ★★
過(guò)直線外一點(diǎn)作已知直線的平行線 ★★★ ★★★
相交與垂直 ★★★★ ★★★
過(guò)直線上或直線外一點(diǎn)作直線的垂線 ★★★ ★★★
【考情分析】平行與垂直是小學(xué)幾何的核心內(nèi)容，也是初中幾何學(xué)習(xí)的重要基礎(chǔ)。在小升初考試中，該部分占比約 10%~15%，題型涵蓋 選擇題、判斷題、作圖題、應(yīng)用題 等，主要考查學(xué)生的 空間觀念、幾何直觀和邏輯推理能力。雖然題目難度中等，但容易因概念混淆或作圖不規(guī)范失分。
平行的概念
1.定義：在同一平面內(nèi)，永遠(yuǎn)不相交的兩條直線稱為平行線。
2.平行線間的距離：從一條平行線上的任意一點(diǎn)到另一條直線作垂線，垂線段的長(zhǎng)度叫兩條平行線之間的距離。
3.定理：平行線間的距離處處相等。
4.平行公理：過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行。
這個(gè)需要我們和垂直公理進(jìn)行辨析。
5.平行公理推論：平行于同一條直線的兩直線平行。
這個(gè)可以用來(lái)判定兩條直線平行。
例1：
例1.如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行．√．（判斷對(duì)錯(cuò)）
【解答】√
例2.在一張紙上畫甲、乙、丙三條直線，甲和乙都是丙的垂線，那么甲、乙兩條直線（　　）
A．互相垂直 B．互相平行 C．既不垂直又不平行
【解答】B
例3.兩條直線如果永不相交，這兩條直線一定互相平行．×．（判斷對(duì)錯(cuò)）
解：兩條直線如果永不相交，這兩條直線一定互相平行，說(shuō)法錯(cuò)誤，前提是必須在同一平面內(nèi)；
【解答】×．
【跟蹤訓(xùn)練1】下面各組直線中，互相平行的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】在同一個(gè)平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線，據(jù)此解答。
【解答】解：
兩條直線互相平行。
故選：D。
【跟蹤訓(xùn)練2】只有一組平行線的圖形是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)梯形的定義：只有一組對(duì)邊平行的四邊形是梯形，而長(zhǎng)方形有2組平行線，六邊形有3組平行線，三角形沒(méi)有平行線；據(jù)此解答即可。
【解答】解：只有一組平行線的圖形是梯形。
故選：B。
【跟蹤訓(xùn)練3】（2024秋 法庫(kù)縣月考）火車道上的兩條鐵軌是互相 ______的。
【分析】根據(jù)平行線的含義：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫作平行線；由此解答即可。
【解答】解：根據(jù)平行線的含義可知：火車道上的兩條鐵軌是互相平行。
故答案為：平行。
【跟蹤訓(xùn)練4】（2023秋 沈丘縣期末）一般情況下，兩條路互相 ______的路口稱為十字路口，行人在過(guò)馬路時(shí)應(yīng)走由互相 ______的白線組成的斑馬線。
【分析】根據(jù)平行線和互相垂直的定義：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線；在同一平面內(nèi)，當(dāng)兩條直線相交成90度時(shí)，這兩條直線互相垂直；據(jù)此進(jìn)行解答。
【解答】解：一般情況下，兩條路互相垂直的路口稱為十字路口，行人在過(guò)馬路時(shí)應(yīng)走由互相平行的白線組成的斑馬線。
故答案為：垂直，平行。
【跟蹤訓(xùn)練5】（2024秋 番禺區(qū)期末）如果把兩根小棒都擺成和第三根小棒垂直，這兩根小棒一定互相平行______．
【分析】如果把兩根小棒都擺成和第棒垂直，如果兩根小棒在第三根小棒的異側(cè)，且它們?cè)诨ハ嗟姆聪蜓娱L(zhǎng)線上，則它們?cè)谕粭l直線上．據(jù)此解答．
【解答】解：根據(jù)分析兩根小棒的位置可能如圖：
故答案為：×．
【跟蹤訓(xùn)練6】（2024 新建區(qū)）不相交的兩條直線是平行線．______．（判斷對(duì)錯(cuò)）
【答案】×
【分析】根據(jù)平行線的定義，在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線是平行線．所以說(shuō)法錯(cuò)誤．
【解答】解：在同一平面內(nèi)不相交的兩條直線叫做平行線，
故答案為：×．
垂直與平行的特征及性質(zhì)
1．垂線的定義：
兩條直線相交所成的四個(gè)角中，有一個(gè)角是直角時(shí)，就說(shuō)這兩條直線互相垂直．其中一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點(diǎn)叫做垂足．
直線AB，CD互相垂直，記作“AB⊥CD”（或“CD⊥AB”），讀作“AB垂直于CD”（或“CD垂直于AB”）．
2．垂線的性質(zhì)：
性質(zhì)1：過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直．
性質(zhì)2：連結(jié)直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短．簡(jiǎn)稱：垂線段最短．
3．垂直的判定：垂線的定義．
4．平行線的概念：
在同一個(gè)平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線．平行用符號(hào)“∥，如“AB∥CD”，讀作“AB平行于CD”．
5．平行線的判定方法：
（1）平行于同一條直線的兩直線平行．
（2）垂直于同一條直線的兩直線平行．
（3）平行線的定義．
例1：
例1：如果同一平面內(nèi)兩條直線都垂直于同一條直線，那么這兩條直線（　　）
A、平行 B、互相垂直 C、互相平行 D、相交
【分析】根據(jù)垂直和平行的特征：兩條直線都垂直于同一條直線，那么這兩條直線平行；進(jìn)而解答即可．
【解答】如果兩條直線都垂直于同一條直線，那么這兩條直線互相平行；
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了垂直和平行的特征及性質(zhì)．
例2：不相交的兩條直線叫平行線．______．（判斷對(duì)錯(cuò)）
【分析】根據(jù)平行線的定義，在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線是平行線．所以說(shuō)法錯(cuò)誤．
【解答】在同一平面內(nèi)不相交的兩條直線叫做平行線，所以本題成立的前提是：在同一平面內(nèi)．
故答案為：×．
【點(diǎn)評(píng)】解答此題抓住在同一平面內(nèi)理解兩條直線的位置：平行或相交．
【跟蹤訓(xùn)練1】（2024秋 望花區(qū)期末）兩條平行線之間的（　　）都相等。
A．線段 B．射線 C．垂直的線段 D．斜線
【答案】C
【分析】垂直和平行的性質(zhì)：兩條平行線之間的距離都相等，即垂線段長(zhǎng)度相等。進(jìn)而得出結(jié)論。
【解答】解：兩條平行線之間的垂直的線段都相等。
故選：C。
【跟蹤訓(xùn)練2】（2024秋 禪城區(qū)期末）在建筑房屋的過(guò)程中，用鉛垂線來(lái)檢查墻壁是否豎直，若墻壁豎直，則鉛垂線會(huì)與墻壁（　　）
A．互相平行 B．互相垂直 C．相交 D．垂直相交
【答案】A
【分析】在同一個(gè)平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫作平行線，垂直于同一條直線的兩直線平行。
【解答】解：在建筑房屋的過(guò)程中，用鉛垂線來(lái)檢查墻壁是否豎直，若墻壁豎直，則鉛垂線會(huì)與墻壁互相平行。
故選：A。
【跟蹤訓(xùn)練3】（2024秋 大觀區(qū)期末）在同一平面內(nèi)，相交成直角的兩條直線互相 ______，垂直于同一條直線的兩條直線互相 ______。
【答案】垂直，平行。
【分析】本題根據(jù)直線相交與垂直、平行的相關(guān)知識(shí)分析作答：同一平面內(nèi)，兩條直線相交成直角，那么這兩條直線互相垂直，垂直于同一直線的兩條直線互相平行。
【解答】解：在同一平面內(nèi)，相交成直角的兩條直線互相垂直，垂直于同一條直線的兩條直線互相平行。
故答案為：垂直，平行。
【跟蹤訓(xùn)練4】（2024秋 長(zhǎng)沙期末）在同一平面內(nèi)，直線a垂直于直線b,直線b垂直于直線c（三條直線均不重合），那么直線a與直線c的位置關(guān)系是互相 ______。
【答案】平行。
【分析】平行線的性質(zhì)：在同一平面內(nèi)，如果兩條直線都與另一條直線互相垂直，那么這兩條直線互相平行。
【解答】解：在同一平面內(nèi)，直線a垂直于直線b,直線b垂直于直線c（三條直線均不重合），那么直線a與直線c的位置關(guān)系是互相平行。
故答案為：平行。
【跟蹤訓(xùn)練5】（2024秋 李滄區(qū)期末）同一平面內(nèi)，兩條直線都和第三條直線垂直，那么這兩條直線互相平行．______．（判斷對(duì)錯(cuò)）
【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容
【分析】同一平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系有兩種：平行、相交，垂直于同一條直線的兩條直線互相平行，據(jù)此解答．
【解答】解：根據(jù)同一平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系可知，
在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線互相平行的說(shuō)法是正確的；
故答案為：√．
【跟蹤訓(xùn)練6】（2024秋 保康縣期末）兩根小棒都和第三根小棒互相垂直，那么這兩根小棒互相平行。 ______（判斷對(duì)錯(cuò)）
【答案】√。
【分析】直線a與直線c互相垂直，直線b與直線c互相垂直，把直線b與直線a延長(zhǎng)后，永不會(huì)相交，而在同一平面內(nèi)，永不相交的兩條直線互相平行，由此可知直線b與直線a互相平行。
【解答】解：兩根小棒都和第三根小棒互相垂直，那么這兩根小棒互相平行。故原題說(shuō)法正確。
故答案為：√。
過(guò)直線外一點(diǎn)作已知直線的平行線
1．畫法：設(shè)直線外一點(diǎn)為a，在直線上任取兩點(diǎn)b和c，以a為圓心，以bc為半徑作弧；以b為圓心，以ac為半徑作弧，兩弧交于d點(diǎn)；連接ad作直線，則ad必平行于bc．
2．在同一平面內(nèi)，過(guò)直線外一點(diǎn)畫已知直線的平行線，只能畫一條．如果沒(méi)有在同一平面內(nèi)的限制，過(guò)直線外一點(diǎn)畫已知直線的平行線，能畫無(wú)數(shù)多條．
例1：
例1：過(guò)直線外的一點(diǎn)，畫已知直線的平行線，這樣的平行線可以畫（　　）
A、1條 B、2條 C、無(wú)數(shù)條
【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)，過(guò)直線外一點(diǎn)作已知直線的平行線，能作且只能作一條．
【解答】過(guò)直線外的一點(diǎn)，畫已知直線的平行線，這樣的平行線可以畫1條．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了平行線的性質(zhì)．
例2：過(guò)A點(diǎn)畫出已知直線的平行線．
【分析】用三角板的一條直角邊和已知直線重合，移動(dòng)三角板使另一條直角邊和A點(diǎn)重合，用直尺靠緊和A點(diǎn)重合的直角邊，按住直尺不動(dòng)，沿直尺移動(dòng)三角板，過(guò)A點(diǎn)畫直線即可．
【解答】用三角板的一條直角邊和已知直線重合，移動(dòng)三角板使另一條直角邊和A點(diǎn)重合，用直尺沿和A點(diǎn)重合的直角邊，按住直尺不動(dòng)，沿直尺移動(dòng)三角板，過(guò)A點(diǎn)畫直線．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查學(xué)生利用三角板和直尺來(lái)作平行線的能力，培養(yǎng)學(xué)生的作圖能力．
【跟蹤訓(xùn)練1】（2024秋 白云區(qū)期末）（如圖）過(guò)點(diǎn)P可以畫（　　）條b的平行線。
A．0條 B．1條 C．無(wú)數(shù)條
【答案】B
【分析】過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行，據(jù)此解答。
【解答】解：如上圖，過(guò)點(diǎn)P可以畫1條b的平行線。
故選：B。
【跟蹤訓(xùn)練2】（2024秋 翔安區(qū)期末）畫一組平行線，下面畫法正確的是（　　）
A．①②③ B．①④ C．②④ D．①②
【答案】A
【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)，平行于同一條直線的兩直線平行，垂直于同一條直線的兩直線平行，據(jù)此性質(zhì)選擇解答。
【解答】解：分析可知，畫一組平行線，畫法正確的是①②③。
故選：A。
【跟蹤訓(xùn)練3】（2024秋 南安市期中）通過(guò)一點(diǎn)能畫 ______條直線。過(guò)直線外一點(diǎn)畫已知直線的平行線，這樣的平行線可以畫 ______條。
【答案】無(wú)數(shù)，一。
【分析】根據(jù)直線的特征，過(guò)一點(diǎn)能畫無(wú)數(shù)條直線。根據(jù)平行的性質(zhì)，過(guò)直線外一點(diǎn)畫已知直線的平行線，有且只有一條直線與已知直線平行，據(jù)此解答即可。
【解答】解：過(guò)一點(diǎn)能畫無(wú)數(shù)條直線。過(guò)直線外一點(diǎn)畫已知直線的平行線，這樣的平行線可以畫一條。
故答案為：無(wú)數(shù)，一。
【跟蹤訓(xùn)練4】（2023秋 儀征市期末）如圖是四邊形ABDC。經(jīng)過(guò)點(diǎn)A畫BD邊的平行線。經(jīng)過(guò)點(diǎn)C向AB邊畫出垂線，點(diǎn)C到AB邊的距離是 ______毫米。
【答案】
19。
【分析】過(guò)點(diǎn)A畫BD邊的平行線：把三角板的一邊與BD邊重合，另一邊靠緊一直尺，沿直尺滑動(dòng)三角板，當(dāng)與BD邊重合的一邊經(jīng)過(guò)已知點(diǎn)A時(shí)，沿這邊畫直線即可；
過(guò)點(diǎn)C向AB邊畫出垂線：把三角板的一直角邊與AB重合，沿這條直線滑動(dòng)三角板，當(dāng)另一直角邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)C時(shí)，沿這條直角邊畫直線，最后表上直角符號(hào)；
用直尺測(cè)量出點(diǎn)C到AB邊的垂線段的長(zhǎng)度，即為點(diǎn)C到AB邊的距離。
【解答】解：畫圖如下：
點(diǎn)C到AB邊的距離是19毫米。
故答案為：19。
【跟蹤訓(xùn)練5】（2024秋 壽光市期末）在點(diǎn)子圖上畫出已知直線的平行線。
【答案】
（畫法不唯一）。
【分析】根據(jù)平行線的意義，在同一平面內(nèi)永不相交的兩條直線互相平行，即在點(diǎn)子圖上畫出已知直線的平行線。
【解答】解：畫圖如下（畫法不唯一）：
【跟蹤訓(xùn)練6】（2024秋 新縣期末）過(guò)O點(diǎn)分別畫AB邊的垂線，畫AC邊的平行線。
【答案】
【分析】畫AB邊的垂線把三角板的一條直角邊與AB邊重合。沿著AB邊平移三角板，使三角板的另一條直角邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)O。沿著經(jīng)過(guò)點(diǎn)O的直角邊，從O點(diǎn)向AB邊畫一條直線，這條直線就是AB邊的垂線。
畫AC邊的平行線用三角板的一條邊與AC邊重合。把直尺靠緊三角板的另一條邊。固定直尺，然后平移三角板，使三角板原來(lái)與AC邊重合的邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)O。沿著這條邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)O畫一條直線，這條直線就是AC邊的平行線。
【解答】解：
相交與垂直
當(dāng)兩條直線相交成直角時(shí)，這兩條直線互相垂直。（互相垂直：就是直線OA垂直于直線OB，直線OB垂直于直線OA）這兩條直線的交點(diǎn)叫做垂足。（兩條直線互相垂直說(shuō)明了這兩條直線的位置關(guān)系：必須相交，相交還要成直角。）
①在同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直。垂直一定會(huì)出現(xiàn)90°。
②連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短。簡(jiǎn)單說(shuō)成：垂線段最短。
③點(diǎn)到直線的距離：直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度，叫做點(diǎn)到直線的距離。
例1：
例1.下列說(shuō)法中，正確的是（　　）
A．平行線就是不相交的兩條直線
B．兩條直線相交，交點(diǎn)就是垂足
C．垂直是相交的一種特殊情況
【解答】C
例2.在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系有平行、垂直和相交三種。______（判斷對(duì)錯(cuò)）
【解答】×
例3.下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（　　）
A．垂直是相交的一種特殊位置
B．平行線是不相交的兩條直線
C．同一平面內(nèi)的兩條直線，不平行就一定相交
D．兩點(diǎn)之間線段最短
【解答】B
【跟蹤訓(xùn)練1】（2024秋 阿榮旗期末）在同一平面內(nèi)如果兩條直線都垂直于同一條直線，那么這兩條直線（　　）
A．平行 B．互相垂直 C．互相平行 D．相交
【答案】C
【分析】根據(jù)垂直的性質(zhì)：同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線平行；進(jìn)行解答即可．
【解答】解：在同一平面內(nèi)如果兩條直線都垂直于同一條直線，那么這兩條直線互相平行；
故選：C．
【跟蹤訓(xùn)練2】（2024秋 肥西縣期末）數(shù)學(xué)課本相鄰兩邊互相______，相對(duì)的兩邊互相______．
【分析】依據(jù)在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系即可解答．
【解答】解：數(shù)學(xué)課本相鄰兩邊互相垂直，相對(duì)的兩邊互相平行．
故答案為：垂直，平行．
【跟蹤訓(xùn)練3】（2023秋 懷來(lái)縣期末）在同一個(gè)平面內(nèi)，兩條直線相交，如果一個(gè)角是60°，那么與它相鄰的角是 ______。
【答案】120°。
【分析】因?yàn)檫@個(gè)已知的角和它相鄰的角組成一個(gè)平角，所以用180°減去60°即可求出和它相鄰的角的度數(shù)。
【解答】解：180°-60°=120°
答：與它相鄰的角是120°。
故答案為：120°。
【跟蹤訓(xùn)練4】（2023秋 海城市期末）從直線外一點(diǎn)到這條直線所畫的______最短，它的______叫做這點(diǎn)到直線的______．
【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線的距離的含義：從直線外的一點(diǎn)向這條直線所畫的垂直線段的長(zhǎng)度，叫做這點(diǎn)到直線的距離；從直線外一點(diǎn)到這條直線所畫的垂線段最短；由此判斷即可．
【解答】解：從直線外一點(diǎn)到這條直線所畫的垂線段最短，它的長(zhǎng)度叫做這點(diǎn)到直線的距離；
故答案為：垂線，長(zhǎng)度，距離．
【跟蹤訓(xùn)練5】（2023秋 新市區(qū)期末）在同一平面內(nèi)的兩條直線的位置關(guān)系只有兩種：相交或平行。 ______（判斷對(duì)錯(cuò)）
【答案】√
【分析】在同一個(gè)平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線。據(jù)此判斷即可。
【解答】解：在同一平面內(nèi)的兩條直線的位置關(guān)系只有兩種：相交或平行。
故原題說(shuō)法正確。
故答案為：√。
【跟蹤訓(xùn)練6】（2024秋 長(zhǎng)安區(qū)校級(jí)期中）同一平面內(nèi)，當(dāng)兩條直線相交成直角時(shí)，我們說(shuō)這兩條直線互相垂直。______（判斷對(duì)錯(cuò)）
【答案】√
【分析】根據(jù)垂直的定義：如果兩條直線相交成直角，就說(shuō)這兩條直線互相垂直，其中的一條直線叫做另一個(gè)條直線的垂線；由此解答即可。
【解答】解：根據(jù)垂直的性質(zhì)可得：在同一平面內(nèi)，當(dāng)兩條直線相交成直角，就說(shuō)這兩條直線互相垂直，其中的一條直線叫做另一個(gè)條直線的垂線。
故答案為：√。
過(guò)直線上或直線外一點(diǎn)作直線的垂線
1、以直線外一點(diǎn)為圓心，以大于這點(diǎn)到直線的距離為半徑畫弧交直線于A、B兩點(diǎn)．
2、分別以A、B為圓心，以大于AB為半徑畫弧在直線的兩側(cè)相交于兩點(diǎn)．
3、連結(jié)這一點(diǎn)和任意一個(gè)交點(diǎn)（或連結(jié)兩個(gè)交點(diǎn)）的直線就是已知直線的垂線．
例1：
例1：過(guò)直線外一點(diǎn)畫已知直線的垂線，可以畫______條．
【分析】直線外一點(diǎn)有并且只有一條直線與已知直線垂直．據(jù)此可解答．
【解答】過(guò)直線外一點(diǎn)畫已知直線的垂線，可以畫 1條．
故答案為：1．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了學(xué)生對(duì)過(guò)直線外一點(diǎn)向已知直線作垂線的唯一性的掌握情況．
例2：過(guò)A點(diǎn)畫已知直線的垂線．
【分析】用三角板的一條直角邊的已知直線重合，沿重合的直線平移三角板，使三角板的另一條直角邊和A點(diǎn)重合，過(guò)A沿直角邊向已知直線畫直線即可．
【解答】根據(jù)分析畫圖如下：
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了學(xué)生過(guò)直線外一點(diǎn)向已知直線作垂線的能力．
【跟蹤訓(xùn)練1】（2024秋 成武縣期末）小東想畫出直線mn的垂線，以下方法正確的是（　　）
A． B． C．
【答案】C
【分析】利用三角板的一條直角邊與已知直線重合，直角頂點(diǎn)與已知直線上的某一點(diǎn)重合，據(jù)此測(cè)量。
【解答】解：小東想畫出直線MN的垂線，畫圖方法正確。
故選：C。
【跟蹤訓(xùn)練2】（2024秋 如皋市期末）經(jīng)過(guò)一點(diǎn)到已知直線畫了四條線段，分別長(zhǎng)3厘米、4厘米、5厘米、6厘米。四條線段中有一條線段是垂直線段，那么這一點(diǎn)到已知直線的距離是（　　）
A．3厘米 B．4厘米 C．5厘米 D．6厘米
【答案】A
【分析】從直線外一點(diǎn)到這條直線所畫的垂直線段 最短，它的長(zhǎng)度叫作這點(diǎn)到直線的 距離；據(jù)此進(jìn)行解答即可。
【解答】解：經(jīng)過(guò)一點(diǎn)到已知直線畫了四條線段，分別長(zhǎng)3厘米、4厘米、5厘米、6厘米，四條線段中有一條線段是垂直線段。
但四條線段中最短的那條，即3厘米，是垂直線段，所以這一點(diǎn)到已知直線的距離是3厘米。
故選：A。
【跟蹤訓(xùn)練3】（2023秋 尉氏縣月考）過(guò)直線外一點(diǎn)畫這條直線的平行線，可以畫 ______條；在同一個(gè)平面內(nèi)，過(guò)直線外一點(diǎn)畫這條直線的垂線，可以畫 ______條。
【答案】1；1。
【分析】結(jié)合過(guò)直線外一點(diǎn)畫已知直線的平行線和垂線的方法，過(guò)直線外一點(diǎn)畫這條直線的平行線，可以畫1條；在同一個(gè)平面內(nèi)，過(guò)直線外一點(diǎn)畫這條直線的垂線，可以畫1條。據(jù)此解答即可。
【解答】解：過(guò)直線外一點(diǎn)畫這條直線的平行線，可以畫1條；在同一個(gè)平面內(nèi)，過(guò)直線外一點(diǎn)畫這條直線的垂線，可以畫1條。
故答案為：1；1。
【跟蹤訓(xùn)練4】（2022秋 新化縣期末）在同一平面內(nèi)，給一條直線作兩條垂直線，這兩條垂直線的關(guān)系是互相 ______。
【答案】平行。
【分析】同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩直線平行。如圖所示：
。
【解答】解：在同一平面內(nèi)，給一條直線作兩條垂直線，這兩條垂直線的關(guān)系是互相平行。
故答案為：平行。
【跟蹤訓(xùn)練5】（2024秋 沛縣期末）過(guò)A點(diǎn)畫直線a的垂線。
【答案】
【分析】把三角板的一直角邊靠緊已知直線a,沿這條直線滑動(dòng)三角板，當(dāng)另一直角邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，沿這條直角邊畫直線，這條直線就是過(guò)A點(diǎn)直線a的垂線。
【解答】解：根據(jù)題意畫圖如下：
【跟蹤訓(xùn)練6】（2024秋 豐縣期末）如圖，過(guò)點(diǎn)C作一條與AB平行的直線、再畫出點(diǎn)B到AC的垂直線段。
【答案】
。
【分析】作平行線：把三角尺的一條直角邊和已知直線AB重合，用直尺靠緊三角尺的另一條直角邊，沿直尺移動(dòng)三角尺，使三角尺原來(lái)和已知直線重合的直角邊和C點(diǎn)重合，過(guò)C點(diǎn)沿三角尺的直角邊畫直線，即可畫出經(jīng)過(guò)C點(diǎn)與AB平行的直線。
作垂線：用直角三角尺的一條直角邊和AC重合，移動(dòng)三角尺，使三角尺的另一條直角邊和點(diǎn)B重合，過(guò)B點(diǎn)沿直角邊向已知直線畫直線，即可畫出經(jīng)點(diǎn)B到AC的垂直線段。
【解答】解：如圖所示：
。
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21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)第12講 平行與垂直
1、平行的概念 2
2、垂直與平行的特征及性質(zhì) 3
3、過(guò)直線外一點(diǎn)作已知直線的平行線 5
4、相交與垂直 7
5、過(guò)直線上或直線外一點(diǎn)作直線的垂線 9
熱點(diǎn)考點(diǎn) 考查頻率 考點(diǎn)難度
平行的概念 ★★ ★★
垂直與平行的特征及性質(zhì) ★★★★ ★★
過(guò)直線外一點(diǎn)作已知直線的平行線 ★★★ ★★★
相交與垂直 ★★★★ ★★★
過(guò)直線上或直線外一點(diǎn)作直線的垂線 ★★★ ★★★
【考情分析】平行與垂直是小學(xué)幾何的核心內(nèi)容，也是初中幾何學(xué)習(xí)的重要基礎(chǔ)。在小升初考試中，該部分占比約 10%~15%，題型涵蓋 選擇題、判斷題、作圖題、應(yīng)用題 等，主要考查學(xué)生的 空間觀念、幾何直觀和邏輯推理能力。雖然題目難度中等，但容易因概念混淆或作圖不規(guī)范失分。
平行的概念
1.定義：在同一平面內(nèi)，永遠(yuǎn)不相交的兩條直線稱為平行線。
2.平行線間的距離：從一條平行線上的任意一點(diǎn)到另一條直線作垂線，垂線段的長(zhǎng)度叫兩條平行線之間的距離。
3.定理：平行線間的距離處處相等。
4.平行公理：過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行。
這個(gè)需要我們和垂直公理進(jìn)行辨析。
5.平行公理推論：平行于同一條直線的兩直線平行。
這個(gè)可以用來(lái)判定兩條直線平行。
例1：
例1.如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行．√．（判斷對(duì)錯(cuò)）
【解答】√
例2.在一張紙上畫甲、乙、丙三條直線，甲和乙都是丙的垂線，那么甲、乙兩條直線（　　）
A．互相垂直 B．互相平行 C．既不垂直又不平行
【解答】B
例3.兩條直線如果永不相交，這兩條直線一定互相平行．×．（判斷對(duì)錯(cuò)）
解：兩條直線如果永不相交，這兩條直線一定互相平行，說(shuō)法錯(cuò)誤，前提是必須在同一平面內(nèi)；
【解答】×．
【跟蹤訓(xùn)練1】下面各組直線中，互相平行的是（　　）
A． B． C． D．
【跟蹤訓(xùn)練2】只有一組平行線的圖形是（　　）
A． B． C． D．
【跟蹤訓(xùn)練3】（2024秋 法庫(kù)縣月考）火車道上的兩條鐵軌是互相 ______的。
【跟蹤訓(xùn)練4】（2023秋 沈丘縣期末）一般情況下，兩條路互相 ______的路口稱為十字路口，行人在過(guò)馬路時(shí)應(yīng)走由互相 ______的白線組成的斑馬線。
【跟蹤訓(xùn)練5】（2024秋 番禺區(qū)期末）如果把兩根小棒都擺成和第三根小棒垂直，這兩根小棒一定互相平行______．
【跟蹤訓(xùn)練6】（2024 新建區(qū)）不相交的兩條直線是平行線．______．（判斷對(duì)錯(cuò)）
垂直與平行的特征及性質(zhì)
1．垂線的定義：
兩條直線相交所成的四個(gè)角中，有一個(gè)角是直角時(shí)，就說(shuō)這兩條直線互相垂直．其中一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點(diǎn)叫做垂足．
直線AB，CD互相垂直，記作“AB⊥CD”（或“CD⊥AB”），讀作“AB垂直于CD”（或“CD垂直于AB”）．
2．垂線的性質(zhì)：
性質(zhì)1：過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直．
性質(zhì)2：連結(jié)直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短．簡(jiǎn)稱：垂線段最短．
3．垂直的判定：垂線的定義．
4．平行線的概念：
在同一個(gè)平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線．平行用符號(hào)“∥，如“AB∥CD”，讀作“AB平行于CD”．
5．平行線的判定方法：
（1）平行于同一條直線的兩直線平行．
（2）垂直于同一條直線的兩直線平行．
（3）平行線的定義．
例1：
例1：如果同一平面內(nèi)兩條直線都垂直于同一條直線，那么這兩條直線（　　）
A、平行 B、互相垂直 C、互相平行 D、相交
【分析】根據(jù)垂直和平行的特征：兩條直線都垂直于同一條直線，那么這兩條直線平行；進(jìn)而解答即可．
【解答】如果兩條直線都垂直于同一條直線，那么這兩條直線互相平行；
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了垂直和平行的特征及性質(zhì)．
例2：不相交的兩條直線叫平行線．______．（判斷對(duì)錯(cuò)）
【分析】根據(jù)平行線的定義，在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線是平行線．所以說(shuō)法錯(cuò)誤．
【解答】在同一平面內(nèi)不相交的兩條直線叫做平行線，所以本題成立的前提是：在同一平面內(nèi)．
故答案為：×．
【點(diǎn)評(píng)】解答此題抓住在同一平面內(nèi)理解兩條直線的位置：平行或相交．
【跟蹤訓(xùn)練1】（2024秋 望花區(qū)期末）兩條平行線之間的（　　）都相等。
A．線段 B．射線 C．垂直的線段 D．斜線
【跟蹤訓(xùn)練2】（2024秋 禪城區(qū)期末）在建筑房屋的過(guò)程中，用鉛垂線來(lái)檢查墻壁是否豎直，若墻壁豎直，則鉛垂線會(huì)與墻壁（　　）
A．互相平行 B．互相垂直 C．相交 D．垂直相交
【跟蹤訓(xùn)練3】（2024秋 大觀區(qū)期末）在同一平面內(nèi)，相交成直角的兩條直線互相 ______，垂直于同一條直線的兩條直線互相 ______。
【跟蹤訓(xùn)練4】（2024秋 長(zhǎng)沙期末）在同一平面內(nèi)，直線a垂直于直線b,直線b垂直于直線c（三條直線均不重合），那么直線a與直線c的位置關(guān)系是互相 ______。
【跟蹤訓(xùn)練5】（2024秋 李滄區(qū)期末）同一平面內(nèi)，兩條直線都和第三條直線垂直，那么這兩條直線互相平行．______．（判斷對(duì)錯(cuò)）
【跟蹤訓(xùn)練6】（2024秋 保康縣期末）兩根小棒都和第三根小棒互相垂直，那么這兩根小棒互相平行。 ______（判斷對(duì)錯(cuò)）
過(guò)直線外一點(diǎn)作已知直線的平行線
1．畫法：設(shè)直線外一點(diǎn)為a，在直線上任取兩點(diǎn)b和c，以a為圓心，以bc為半徑作弧；以b為圓心，以ac為半徑作弧，兩弧交于d點(diǎn)；連接ad作直線，則ad必平行于bc．
2．在同一平面內(nèi)，過(guò)直線外一點(diǎn)畫已知直線的平行線，只能畫一條．如果沒(méi)有在同一平面內(nèi)的限制，過(guò)直線外一點(diǎn)畫已知直線的平行線，能畫無(wú)數(shù)多條．
例1：
例1：過(guò)直線外的一點(diǎn)，畫已知直線的平行線，這樣的平行線可以畫（　　）
A、1條 B、2條 C、無(wú)數(shù)條
【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)，過(guò)直線外一點(diǎn)作已知直線的平行線，能作且只能作一條．
【解答】過(guò)直線外的一點(diǎn)，畫已知直線的平行線，這樣的平行線可以畫1條．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了平行線的性質(zhì)．
例2：過(guò)A點(diǎn)畫出已知直線的平行線．
【分析】用三角板的一條直角邊和已知直線重合，移動(dòng)三角板使另一條直角邊和A點(diǎn)重合，用直尺靠緊和A點(diǎn)重合的直角邊，按住直尺不動(dòng)，沿直尺移動(dòng)三角板，過(guò)A點(diǎn)畫直線即可．
【解答】用三角板的一條直角邊和已知直線重合，移動(dòng)三角板使另一條直角邊和A點(diǎn)重合，用直尺沿和A點(diǎn)重合的直角邊，按住直尺不動(dòng)，沿直尺移動(dòng)三角板，過(guò)A點(diǎn)畫直線．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查學(xué)生利用三角板和直尺來(lái)作平行線的能力，培養(yǎng)學(xué)生的作圖能力．
【跟蹤訓(xùn)練1】（2024秋 白云區(qū)期末）（如圖）過(guò)點(diǎn)P可以畫（　　）條b的平行線。
A．0條 B．1條 C．無(wú)數(shù)條
【跟蹤訓(xùn)練2】（2024秋 翔安區(qū)期末）畫一組平行線，下面畫法正確的是（　　）
A．①②③ B．①④ C．②④ D．①②
【跟蹤訓(xùn)練3】（2024秋 南安市期中）通過(guò)一點(diǎn)能畫 ______條直線。過(guò)直線外一點(diǎn)畫已知直線的平行線，這樣的平行線可以畫 ______條。
【跟蹤訓(xùn)練4】（2023秋 儀征市期末）如圖是四邊形ABDC。經(jīng)過(guò)點(diǎn)A畫BD邊的平行線。經(jīng)過(guò)點(diǎn)C向AB邊畫出垂線，點(diǎn)C到AB邊的距離是 ______毫米。
【跟蹤訓(xùn)練5】（2024秋 壽光市期末）在點(diǎn)子圖上畫出已知直線的平行線。
【跟蹤訓(xùn)練6】（2024秋 新縣期末）過(guò)O點(diǎn)分別畫AB邊的垂線，畫AC邊的平行線。
相交與垂直
當(dāng)兩條直線相交成直角時(shí)，這兩條直線互相垂直。（互相垂直：就是直線OA垂直于直線OB，直線OB垂直于直線OA）這兩條直線的交點(diǎn)叫做垂足。（兩條直線互相垂直說(shuō)明了這兩條直線的位置關(guān)系：必須相交，相交還要成直角。）
①在同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直。垂直一定會(huì)出現(xiàn)90°。
②連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短。簡(jiǎn)單說(shuō)成：垂線段最短。
③點(diǎn)到直線的距離：直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度，叫做點(diǎn)到直線的距離。
例1：
例1.下列說(shuō)法中，正確的是（　　）
A．平行線就是不相交的兩條直線
B．兩條直線相交，交點(diǎn)就是垂足
C．垂直是相交的一種特殊情況
【解答】C
例2.在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系有平行、垂直和相交三種。______（判斷對(duì)錯(cuò)）
【解答】×
例3.下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（　　）
A．垂直是相交的一種特殊位置
B．平行線是不相交的兩條直線
C．同一平面內(nèi)的兩條直線，不平行就一定相交
D．兩點(diǎn)之間線段最短
【解答】B
【跟蹤訓(xùn)練1】（2024秋 阿榮旗期末）在同一平面內(nèi)如果兩條直線都垂直于同一條直線，那么這兩條直線（　　）
A．平行 B．互相垂直 C．互相平行 D．相交
【跟蹤訓(xùn)練2】（2024秋 肥西縣期末）數(shù)學(xué)課本相鄰兩邊互相______，相對(duì)的兩邊互相______．
【跟蹤訓(xùn)練3】（2023秋 懷來(lái)縣期末）在同一個(gè)平面內(nèi)，兩條直線相交，如果一個(gè)角是60°，那么與它相鄰的角是 ______。
【跟蹤訓(xùn)練4】（2023秋 海城市期末）從直線外一點(diǎn)到這條直線所畫的______最短，它的______叫做這點(diǎn)到直線的______．
【跟蹤訓(xùn)練5】（2023秋 新市區(qū)期末）在同一平面內(nèi)的兩條直線的位置關(guān)系只有兩種：相交或平行。 ______（判斷對(duì)錯(cuò)）
【跟蹤訓(xùn)練6】（2024秋 長(zhǎng)安區(qū)校級(jí)期中）同一平面內(nèi)，當(dāng)兩條直線相交成直角時(shí)，我們說(shuō)這兩條直線互相垂直。______（判斷對(duì)錯(cuò)）
過(guò)直線上或直線外一點(diǎn)作直線的垂線
1、以直線外一點(diǎn)為圓心，以大于這點(diǎn)到直線的距離為半徑畫弧交直線于A、B兩點(diǎn)．
2、分別以A、B為圓心，以大于AB為半徑畫弧在直線的兩側(cè)相交于兩點(diǎn)．
3、連結(jié)這一點(diǎn)和任意一個(gè)交點(diǎn)（或連結(jié)兩個(gè)交點(diǎn)）的直線就是已知直線的垂線．
例1：
例1：過(guò)直線外一點(diǎn)畫已知直線的垂線，可以畫______條．
【分析】直線外一點(diǎn)有并且只有一條直線與已知直線垂直．據(jù)此可解答．
【解答】過(guò)直線外一點(diǎn)畫已知直線的垂線，可以畫 1條．
故答案為：1．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了學(xué)生對(duì)過(guò)直線外一點(diǎn)向已知直線作垂線的唯一性的掌握情況．
例2：過(guò)A點(diǎn)畫已知直線的垂線．
【分析】用三角板的一條直角邊的已知直線重合，沿重合的直線平移三角板，使三角板的另一條直角邊和A點(diǎn)重合，過(guò)A沿直角邊向已知直線畫直線即可．
【解答】根據(jù)分析畫圖如下：
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了學(xué)生過(guò)直線外一點(diǎn)向已知直線作垂線的能力．
【跟蹤訓(xùn)練1】（2024秋 成武縣期末）小東想畫出直線mn的垂線，以下方法正確的是（　　）
A． B． C．
【跟蹤訓(xùn)練2】（2024秋 如皋市期末）經(jīng)過(guò)一點(diǎn)到已知直線畫了四條線段，分別長(zhǎng)3厘米、4厘米、5厘米、6厘米。四條線段中有一條線段是垂直線段，那么這一點(diǎn)到已知直線的距離是（　　）
A．3厘米 B．4厘米 C．5厘米 D．6厘米
【跟蹤訓(xùn)練3】（2023秋 尉氏縣月考）過(guò)直線外一點(diǎn)畫這條直線的平行線，可以畫 ______條；在同一個(gè)平面內(nèi)，過(guò)直線外一點(diǎn)畫這條直線的垂線，可以畫 ______條。
【跟蹤訓(xùn)練4】（2022秋 新化縣期末）在同一平面內(nèi)，給一條直線作兩條垂直線，這兩條垂直線的關(guān)系是互相 ______。
【跟蹤訓(xùn)練5】（2024秋 沛縣期末）過(guò)A點(diǎn)畫直線a的垂線。
【跟蹤訓(xùn)練6】（2024秋 豐縣期末）如圖，過(guò)點(diǎn)C作一條與AB平行的直線、再畫出點(diǎn)B到AC的垂直線段。
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