資源簡介

第10講 典型應用題（四）
1、代換問題 2
2、周期性問題 5
3、最優化問題 7
熱點考點 考查頻率 考點難度
代換問題 ★ ★★★
周期性問題 ★★ ★★★
最優化問題 ★★ ★★★
【考情分析】典型應用題是小升初數學考試的核心模塊，占比約 30%~40%，主要考查學生 閱讀理解能力、數學建模能力、邏輯分析能力 以及 計算準確性。題目涉及 生活場景、經濟問題、行程問題、工程問題、比例問題 等，難度中等偏上，是區分學生數學能力的關鍵題型。
代換問題
1．代換問題內容：
“等量代換”是解決數學問題的一種常用方法．即兩個相等的量，可以互相代換．等量代換的思想用等式的性質來體現，就是等式的傳遞性：如果a=b，b=c，那么a=c．這種數學思想方法不僅有著廣泛的應用，而且是進一步學習數學的基礎．
2．代換主要方法：
（1）列表消元法
（2）等價條件代換．
例1：
例1：如果數A減去數B的3倍，差是51；數A加上數B的2倍，和是111，那么數A=______，數B=______．
【分析】依題意A-3B=51，A+2B=111，然后用第二個算式減去第一個，就變成只含有B的方程，由此解決問題．
【解答】A-3B=51，①
A+2B=111，②
由②-①可得：
5B=60，
解得B=12，
A=51+12×3=87．
故答案為：87，12．
【點評】這類問題的關鍵是：把其中的一個未知數消去，變成只含有一個未知數的方程．
例2：假如20只兔子可換2只羊，9只羊可換3頭豬，8頭豬可換2頭牛，那么用5頭牛可換______只兔子．
【分析】先用兔子的數量代換出1只羊的數量，再代換出1頭豬的數量，從而找出1頭牛和兔子數之間的關系，進而求出5頭牛的數量．
【解答】0只兔子=2只羊，那么：
1只羊=10只兔子，
9只羊=3頭豬，那么：
9×10只兔子=3頭豬，
90只兔子=3頭豬，即
30只兔子=1頭豬，
8頭豬=2頭牛，那么：
8×30只兔子=2頭牛，
240只兔子=2頭牛，即：
120只兔子=1頭牛，那么5頭牛就是：
120×5=600（只）；
故答案為：600．
【點評】把羊和豬的數量看成中間量，都用兔子的數量代替，找到兔子和牛之間的關系，再求解．
【跟蹤訓練1】（2024 雙流區）王老師去買書，買4本故事書和8本漫畫書共需136元，買同樣的3本故事書和10本漫畫書共需150元。8本故事書和4本漫畫書共（　　）元。
A．80 B．50 C．96 D．128
【跟蹤訓練2】（2024 東海縣）體育室里有三盒乒乓球（只有橙、白兩色），每盒30個，第一盒有是橙色乒乓球，第二盒的白色乒乓球和第三盒的橙色乒乓球同樣多，這三盒乒乓球中一共有（　　）個白色乒乓球。
A．30 B．36 C．54 D．84
【跟蹤訓練3】（2023 源匯區）買2千克葡萄和3千克芒果，共付40元．已知2千克葡萄的價錢等于1千克芒果的價錢．葡萄每千克______元，芒果每千克______元．
【跟蹤訓練4】（2024 北碚區）小夢在某購物平臺上購買甲、乙、丙三種商品，當購物車內選擇3件甲、2件乙、1件丙時顯示的價格為420元；當購物車內選擇2件甲、3件乙、4件丙時顯示的價格為580元，則當她購買甲、乙、丙各2件時，應該付款 ______元。
【跟蹤訓練5】（2023秋 如皋市校級月考）糧店共有1800千克大米和面粉，其中大米有20袋，面粉有60袋。已知2袋大米的質量和3袋面粉的質量相等，那么每袋大米和每袋面粉各重多少千克？
【跟蹤訓練6】（2022秋 渭濱區期中）學校上學期買了8個足球和4個籃球，一共花了873.6元，這學期又買了2個足球和4個籃球（單價均不變），一共花了474元。每個足球多少錢？
周期性問題
1．周期性問題內容：
在日常生活中，有一些按照一定的規律不斷重復出現．如：人的12生肖，一年有春夏秋冬四個季節，一個星期有七天等等．像這些問題，我們稱為“簡單周期問題”．
2．周期性問題解決方法：
這一類問題一般要利用余數的知識來解答．
這就要求我們對題目要仔細審題，判斷其不斷重復出現的規律，也就是找出循環的固定數，然后利用除法算式求出余數，最后根據余數得出正確的結果．
例1：
例1：蝸牛從一個枯井往上爬，白天向上爬110厘米，夜里向下滑40厘米，若要第五天的白天爬到井口，這口井至少深______厘米．
【分析】由題意知蝸牛1天爬110-40=70厘米，那么4天就是70×4=280厘米，又因為到第5天的白天，晚上不算在內，要保證第5天白天爬出井口，則第4天一定不能爬出井口．井深至少比第四天能夠爬出的高度多1厘米．所以這口井的深度是：（110-40）×3+110+1．
【解答】（110-40）×3+110+1
=210+110+1
=321（厘米）
故答案為：321．
【點評】此題屬于周期性問題，在列式時要特別注意是“第五天的白天爬到井口”．問“至少”，所以第5天白天爬完1厘米就結束了．
【跟蹤訓練1】（2023秋 余慶縣期末）（分數化小數）將化成小數后，小數點后第2015位上的數字是（　　）
A．2 B．4 C．5 D．8
【跟蹤訓練2】（2024 郫都區校級模擬）如圖，從左邊第一個格子開始向右數，在每個小格子中都填入一個整數，使得其中任意三個相鄰格子中所填整數之和都相等，則第2021個格子中的數為（　　）

A．7 B．1 C．2 D．無法確定
【跟蹤訓練3】（2024秋 泗陽縣期末）在AABCAABCAABC……中，第48個字母是______；如果A有50個，B最多有______個．
【跟蹤訓練4】（2023秋 鹿城區期末）甲、乙、丙、丁四位醫生輪流到農村衛生所義診，但計劃有所改變，當丙要第3次去義診時因為生病而沒有去，那天就由丁去義診，接下來幾天還是按計劃去義診。丁第1次義診是在星期四，當丁第8次去義診時，是星期 ______。
【跟蹤訓練5】（2024秋 煙臺期末）國慶節期間，勝利街在街道的兩邊掛上了彩燈。聰聰站在勝利街路口，向右看去，發現這一邊的彩燈是按二紅一綠三黃的規律排列的。那么勝利街這一邊從這個路口開始的第131盞燈是什么顏色的？
【跟蹤訓練6】（2024春 昌樂縣期末）國慶節，新興街在街道的兩邊掛上了彩燈。聰聰站在新興街路口，向右看去，發現這一邊的彩燈是按一紅二綠三黃的規律排列的.那么新興街這一邊從這個路口開始的第123盞燈是什么顏色的（把你的想法寫一寫、算一算或者畫一畫）？
最優化問題
最優化概念反映了人類實踐活動中十分普遍的現象，即要在盡可能節省人力、物力和時間前提下，爭取獲得在可能范圍內的最佳效果，因此，最優化問題成為現代數學的一個重要課題，涉及統籌、線性規劃一排序不等式等內容．下面我們就最優化問題做出匯總分析．
最優化問題不僅具有趣味性，而且由于解題方法靈活，技巧性強，因此對于開拓解題思路，增強數學能力很有益處．但解決這類問題需要的基礎知識相當廣泛，很難做到一一列舉．
例1：
例1：星期日，紅紅想幫奶奶做下面的事情：用全自動洗衣機洗衣服30分，掃地擦地15分，洗菜8分，經過合理安排，做完這些事情至少要（　　）分．
A、45 B、38 C、30
【分析】根據題干分析可得，用全自動洗衣機洗衣服需要30分鐘，同時可以掃地擦地和洗菜，據此即可解答問題．
【解答】根據題干分析可得，用全自動洗衣機洗衣服需要30分鐘，同時可以掃地擦地和洗菜，
所以最小需要30分鐘即可完成．
故選：C．
【點評】較大此類問題要奔著各項工作不相互沖突，又能節約時間的思想設計工作程序．
例2：汽水買5送1，某班30名同學秋游路上想買水喝，只需要買（　　）瓶汽水．
A、30 B、25 C、28 D、24
【分析】根據“買5送1”可知買5瓶實際得到6瓶，30名同學可以買（30÷6）5個5瓶，送1×5=5瓶，所以只買：30-5=25瓶，據此解答．
【解答】30-1×[30÷（5+1）]，
=30-5，
=25（瓶）；
答：只需要買25汽水．
故選：B．
【點評】本題關鍵是求出買30瓶能送幾瓶汽水．
【跟蹤訓練1】（2025春 萬柏林區期中）張老師要給班里購買20個籃球，甲、乙兩個商店的籃球單價相同。甲商店所有商品打八折，乙商店所有商品“買五送一”，張老師到（　　）商店購買比較省錢。
A．甲 B．乙 C．一樣
【跟蹤訓練2】（2024秋 東莞市期末）“美麗天使”舞蹈隊有20名演員需要租車去參加演出。已知每輛面包車限客6人，每輛小轎車限客4人，恰好每輛車都坐滿的租車方案是（　　）
A．1輛面包車和3輛小轎車 B．2輛面包車和2輛小轎車
C．3輛面包車和1輛小轎車 D．4輛面包車
【跟蹤訓練3】（2025春 泉山區期中）果園里有13噸水果要用貨車搬運。載重量3噸的貨車每次運費100元，載重量2噸的貨車每次運費80元，要想全部運完，運費最少花費 ______元。
【跟蹤訓練4】（2025春 信都區校級期中）李阿姨要買8雙男士襪和10雙女士襪，某商城有兩種購買方案：①男士襪17元/雙，女士襪13元/雙；②15元/雙（購買10雙及以上），方案 ______更省錢，她至少要付 ______元。
【跟蹤訓練5】（2025春 未央區期中）段老師要買60個足球，現有3家體育用品商店舉行促銷活動，優惠情況如下，甲店每買10個送2個，乙店打8折銷售，丙店購物每滿200元減30元。這三家店同種品牌足球的單價都是25元，你認為段老師到哪家店買最劃算？
【跟蹤訓練6】（2025春 龍崗區期中）媽媽為了增加王麗的早餐營養，打算為她訂購一年的牛奶。有以下兩種訂購方案：
方案一：按季度訂（一年有4個季度），每個季度108元。
方案二：按月訂，每月40元。
怎樣訂比較便宜？寫出計算過程。
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21世紀教育網(www.21cnjy.com)第10講 典型應用題（四）
1、代換問題 2
2、周期性問題 6
3、最優化問題 10
熱點考點 考查頻率 考點難度
代換問題 ★ ★★★
周期性問題 ★★ ★★★
最優化問題 ★★ ★★★
【考情分析】典型應用題是小升初數學考試的核心模塊，占比約 30%~40%，主要考查學生 閱讀理解能力、數學建模能力、邏輯分析能力 以及 計算準確性。題目涉及 生活場景、經濟問題、行程問題、工程問題、比例問題 等，難度中等偏上，是區分學生數學能力的關鍵題型。
代換問題
1．代換問題內容：
“等量代換”是解決數學問題的一種常用方法．即兩個相等的量，可以互相代換．等量代換的思想用等式的性質來體現，就是等式的傳遞性：如果a=b，b=c，那么a=c．這種數學思想方法不僅有著廣泛的應用，而且是進一步學習數學的基礎．
2．代換主要方法：
（1）列表消元法
（2）等價條件代換．
例1：
例1：如果數A減去數B的3倍，差是51；數A加上數B的2倍，和是111，那么數A=______，數B=______．
【分析】依題意A-3B=51，A+2B=111，然后用第二個算式減去第一個，就變成只含有B的方程，由此解決問題．
【解答】A-3B=51，①
A+2B=111，②
由②-①可得：
5B=60，
解得B=12，
A=51+12×3=87．
故答案為：87，12．
【點評】這類問題的關鍵是：把其中的一個未知數消去，變成只含有一個未知數的方程．
例2：假如20只兔子可換2只羊，9只羊可換3頭豬，8頭豬可換2頭牛，那么用5頭牛可換______只兔子．
【分析】先用兔子的數量代換出1只羊的數量，再代換出1頭豬的數量，從而找出1頭牛和兔子數之間的關系，進而求出5頭牛的數量．
【解答】0只兔子=2只羊，那么：
1只羊=10只兔子，
9只羊=3頭豬，那么：
9×10只兔子=3頭豬，
90只兔子=3頭豬，即
30只兔子=1頭豬，
8頭豬=2頭牛，那么：
8×30只兔子=2頭牛，
240只兔子=2頭牛，即：
120只兔子=1頭牛，那么5頭牛就是：
120×5=600（只）；
故答案為：600．
【點評】把羊和豬的數量看成中間量，都用兔子的數量代替，找到兔子和牛之間的關系，再求解．
【跟蹤訓練1】（2024 雙流區）王老師去買書，買4本故事書和8本漫畫書共需136元，買同樣的3本故事書和10本漫畫書共需150元。8本故事書和4本漫畫書共（　　）元。
A．80 B．50 C．96 D．128
【答案】D
【分析】4本故事書和8本漫畫書共需要136元，將這些書每1本故事書和2本漫畫書分成1份，可以分成4份，每一份是34元，那么3本故事書和6本漫畫書就是102元。3本故事書和10本漫畫書共需要150元，相同的本數的故事書，但相差了48元，48元就是相差的4本漫畫書的錢。1本漫畫書就是12元。再根據條件求出1本故事的錢。則可以得出8本故事書和4本漫畫書的錢。
【解答】解：1本故事書和2本漫畫書的錢：136÷4=34（元）
3本故事書和6本漫畫書總錢數：34×3=102（元）
1本漫畫書的錢：
1本故事書的錢：
10×8+12×4=80+48=128（元）
答：8本故事書和4本漫畫書共128元。
故選：D。
【跟蹤訓練2】（2024 東海縣）體育室里有三盒乒乓球（只有橙、白兩色），每盒30個，第一盒有是橙色乒乓球，第二盒的白色乒乓球和第三盒的橙色乒乓球同樣多，這三盒乒乓球中一共有（　　）個白色乒乓球。
A．30 B．36 C．54 D．84
【答案】C
【分析】把每盒乒乓球的個數看作單位“1”，根據分數乘法的意義，用第一盒乒乓球的個數乘（1-），就是第一盒白乒乓球的個數。第二盒的白色乒乓球和第三盒的橙色乒乓球同樣多，說明這兩盒乒乓球，白色，橙色的個數相同，即30個白色的，30個橙色的，進而即可求出這三盒乒乓球中白色乒乓球的總個數。
【解答】解：30×（1-）+30
=30×+30
=24+30
=54（個）
答：這三盒乒乓球中一共有54個白色乒乓球。
故選：C。
【跟蹤訓練3】（2023 源匯區）買2千克葡萄和3千克芒果，共付40元．已知2千克葡萄的價錢等于1千克芒果的價錢．葡萄每千克______元，芒果每千克______元．
【分析】2千克葡萄的價錢等于1千克芒果的價錢，買2千克葡萄和3千克芒果就相當于買4千克的芒果，花了40元，用除法就可以求出1千克芒果的價格，進而可求葡萄的價格．
【解答】解：2千克葡萄=1千克芒果，
2千克葡萄+3千克芒果=4千克芒果，
40÷4=10（元），
10÷2=5（元）；
答：葡萄每千克5元，芒果每千克10元．
故答案為：5，10．
【跟蹤訓練4】（2024 北碚區）小夢在某購物平臺上購買甲、乙、丙三種商品，當購物車內選擇3件甲、2件乙、1件丙時顯示的價格為420元；當購物車內選擇2件甲、3件乙、4件丙時顯示的價格為580元，則當她購買甲、乙、丙各2件時，應該付款 ______元。
【答案】400。
【分析】根據題意，寫出等量關系系，購物車內選擇3件甲、2件乙、1件丙時顯示的價格為420元，可表示為：3甲+2乙+1丙=420；同理，當購物車內選擇2件甲、3件乙、4件丙時顯示的價格為580元，可表示為：2甲+3乙+4丙=580，再根據等式的性質，左邊加左邊等于右邊加右邊，由此可得5甲+5乙+5丙等于多少，即可求出1甲+1乙+1丙等于多少；當她購買甲、乙、丙各2件時，再用1甲+1乙+1丙的結果乘上2即可求出應該付款多少元。由此解答。
【解答】解：3甲+2乙+1丙=420
2甲+3乙+4丙=580
5甲+5乙+5丙=420+580
1甲+1乙+1丙：（420+580）÷5
=1000÷5
=200（元）
甲、乙、丙各2件時：200×2=400（元）
答：當她購買甲、乙、丙各2件時，應該付款400元。
故答案為：400。
【跟蹤訓練5】（2023秋 如皋市校級月考）糧店共有1800千克大米和面粉，其中大米有20袋，面粉有60袋。已知2袋大米的質量和3袋面粉的質量相等，那么每袋大米和每袋面粉各重多少千克？
【答案】每袋大米重30千克，每袋面粉重20千克。
【分析】已知2袋大米的質量和3袋面粉的質量相等，用現有的20袋大米除以2，可以求出20里面有幾個2，再用求出的數值乘3，即可將20袋大米轉換成面粉的數量，加上已有的60袋面粉，求出面粉的總數，用1800千克除以面粉的總數，算出每袋面粉的質量，最后求出大米的質量即可。
【解答】解：由分析可得：
20÷2×3
=10×3
=30（袋）
30+60=90（袋）
1800÷90=20（千克）
20×3÷2
=60÷2
=30（千克）
答：每袋大米重30千克，每袋面粉重20千克。
【跟蹤訓練6】（2022秋 渭濱區期中）學校上學期買了8個足球和4個籃球，一共花了873.6元，這學期又買了2個足球和4個籃球（單價均不變），一共花了474元。每個足球多少錢？
【答案】66.6元。
【分析】8個足球和4個籃球，一共花了873.6元，而2個足球和4個籃球一共花了474元，這樣8個足球和4個籃球比2個足球4個籃球多花了（873.6-474）元，而籃球的個數都是4個，所以多花的錢數就表示是8個足球比2個足球多花了多少錢，再根據單價=總價÷數量即可求出每個足球的錢數。
【解答】解：（873.6-474）÷（8-2）
=399.6÷6
=66.6（元）
答：每個足球66.6元。
周期性問題
1．周期性問題內容：
在日常生活中，有一些按照一定的規律不斷重復出現．如：人的12生肖，一年有春夏秋冬四個季節，一個星期有七天等等．像這些問題，我們稱為“簡單周期問題”．
2．周期性問題解決方法：
這一類問題一般要利用余數的知識來解答．
這就要求我們對題目要仔細審題，判斷其不斷重復出現的規律，也就是找出循環的固定數，然后利用除法算式求出余數，最后根據余數得出正確的結果．
例1：
例1：蝸牛從一個枯井往上爬，白天向上爬110厘米，夜里向下滑40厘米，若要第五天的白天爬到井口，這口井至少深______厘米．
【分析】由題意知蝸牛1天爬110-40=70厘米，那么4天就是70×4=280厘米，又因為到第5天的白天，晚上不算在內，要保證第5天白天爬出井口，則第4天一定不能爬出井口．井深至少比第四天能夠爬出的高度多1厘米．所以這口井的深度是：（110-40）×3+110+1．
【解答】（110-40）×3+110+1
=210+110+1
=321（厘米）
故答案為：321．
【點評】此題屬于周期性問題，在列式時要特別注意是“第五天的白天爬到井口”．問“至少”，所以第5天白天爬完1厘米就結束了．
【跟蹤訓練1】（2023秋 余慶縣期末）（分數化小數）將化成小數后，小數點后第2015位上的數字是（　　）
A．2 B．4 C．5 D．8
【答案】C
【分析】分數轉化為小數：用分數的分子除以分數的分母。1÷7的商是一個循環小數。循環部分是142857。將這六個數字看成一個循環，2015里面有335組還剩下5個數，則第五個數就是循環節里面的第五的數。
【解答】解：1÷7=0.142857142857……
2015÷6=335（組）……5（個）
答：小數點后第2015位上的數字是5。
故選：C。
【跟蹤訓練2】（2024 郫都區校級模擬）如圖，從左邊第一個格子開始向右數，在每個小格子中都填入一個整數，使得其中任意三個相鄰格子中所填整數之和都相等，則第2021個格子中的數為（　　）

A．7 B．1 C．2 D．無法確定
【答案】B
【分析】根據三個相鄰格子的整數的和相等得出格子中的數每3個為一個循環組依次循環，依此可得7、1、2依次循環，再用2021除以3，根據余數的情況確定與第幾個數相同即可得解。
【解答】解：因為任意三個相鄰格子中所填整數之和都相等，所以，數據從左到右依次為7、1、2，……，依次循環，所以，每3個數“7、1、2”為一個循環組依次循環，
20212÷3=673（組）......2（個）
所以第2021個格子中的整數與第2個格子中的數相同。
答：第2021個格子中的數為1。
故選：B。
【跟蹤訓練3】（2024秋 泗陽縣期末）在AABCAABCAABC……中，第48個字母是______；如果A有50個，B最多有______個．
【分析】（1）根據題干可得，此題排列規律是：4個字母一個循環周期，分別按照“AABC”依次循環排列，由此計算出第48個是第幾個周期的第幾個；然后結合余數即可解答問題．
（2）每個周期有2個A，先求出周期數，即至少有50÷2=25個周期；要使B最多，那么最后一個周期里一定要有1個B；據此解答即可．
【解答】解：（1）這組圖形的排列特點是：4個字母一個循環周期，
48÷4=12
所以第48個字母是第12周期的第4個圖形，是C．
（2）每個周期有2個A，那么至少有50÷2=25個周期；要使B最多，那么最后一個周期里一定要有1個B；
所以，B最多有25個．
答：第48個字母是 C；如果A有50個，B最多有 25個．
故答案為：C；25．
【跟蹤訓練4】（2023秋 鹿城區期末）甲、乙、丙、丁四位醫生輪流到農村衛生所義診，但計劃有所改變，當丙要第3次去義診時因為生病而沒有去，那天就由丁去義診，接下來幾天還是按計劃去義診。丁第1次義診是在星期四，當丁第8次去義診時，是星期 ______。
【答案】三。
【分析】這是一道關于周期循環的邏輯推理題，解題關鍵在于確定丁每次義診的周期規律，再結合已知的第一次義診時間來推算第八次義診的星期數。
【解答】解：正常四位醫生輪流義診，周期為4。但丙第3次應去時丁代替，所以丁第1次到第3次義診間隔為天數為：4×2-1=7（天）（原本丙的一次義診時間被丁提前占用）。
即丁第3次義診和第1次義診的星期數相同，都是星期四。
所以從第4次義診開始，甲、乙、丙、丁四位醫生輪流義診，周期為4，即第4次義診甲是星期五，乙是星期六，丙是星期日，丁是星期一。
（8-4）×4=16（天）
16÷7=2（周）……2（天）
1+2=3，即第8次義診丁是星期三。
答：當丁第8次去義診時，是星期三。
故答案為：三。
【跟蹤訓練5】（2024秋 煙臺期末）國慶節期間，勝利街在街道的兩邊掛上了彩燈。聰聰站在勝利街路口，向右看去，發現這一邊的彩燈是按二紅一綠三黃的規律排列的。那么勝利街這一邊從這個路口開始的第131盞燈是什么顏色的？
【答案】黃色。
【分析】彩燈是按二紅一綠三黃的規律排列的，因此可將2+1+3=6盞燈看成1組，然后用燈的總數除以6，計算出的商就是得到的組數，余數就表示剩下的盞數，再根據計算出的余數確定出第131盞燈的顏色即可。
【解答】解：2+1+3
=3+3
=6（盞）
131÷6=21（組）……5（盞），即按二紅一綠三黃的規律排列，第131盞燈是1組里的第5盞燈，是黃色的燈。
答：第131盞燈是黃色。
【跟蹤訓練6】（2024春 昌樂縣期末）國慶節，新興街在街道的兩邊掛上了彩燈。聰聰站在新興街路口，向右看去，發現這一邊的彩燈是按一紅二綠三黃的規律排列的.那么新興街這一邊從這個路口開始的第123盞燈是什么顏色的（把你的想法寫一寫、算一算或者畫一畫）？
【答案】綠色。
【分析】根據題干可知，彩燈照顏色特點排列規律是一紅二綠三黃，1+2+3=6，即6盞一個循環周期，由此用除法計算出第123是第幾個周期的第幾盞即可。
【解答】解：123÷（1+2+3）
=123÷6
=20……3（盞）
余數是3，按照一紅二綠三黃的順序，第三盞是綠色。
答：第123盞燈是綠色的。
最優化問題
最優化概念反映了人類實踐活動中十分普遍的現象，即要在盡可能節省人力、物力和時間前提下，爭取獲得在可能范圍內的最佳效果，因此，最優化問題成為現代數學的一個重要課題，涉及統籌、線性規劃一排序不等式等內容．下面我們就最優化問題做出匯總分析．
最優化問題不僅具有趣味性，而且由于解題方法靈活，技巧性強，因此對于開拓解題思路，增強數學能力很有益處．但解決這類問題需要的基礎知識相當廣泛，很難做到一一列舉．
例1：
例1：星期日，紅紅想幫奶奶做下面的事情：用全自動洗衣機洗衣服30分，掃地擦地15分，洗菜8分，經過合理安排，做完這些事情至少要（　　）分．
A、45 B、38 C、30
【分析】根據題干分析可得，用全自動洗衣機洗衣服需要30分鐘，同時可以掃地擦地和洗菜，據此即可解答問題．
【解答】根據題干分析可得，用全自動洗衣機洗衣服需要30分鐘，同時可以掃地擦地和洗菜，
所以最小需要30分鐘即可完成．
故選：C．
【點評】較大此類問題要奔著各項工作不相互沖突，又能節約時間的思想設計工作程序．
例2：汽水買5送1，某班30名同學秋游路上想買水喝，只需要買（　　）瓶汽水．
A、30 B、25 C、28 D、24
【分析】根據“買5送1”可知買5瓶實際得到6瓶，30名同學可以買（30÷6）5個5瓶，送1×5=5瓶，所以只買：30-5=25瓶，據此解答．
【解答】30-1×[30÷（5+1）]，
=30-5，
=25（瓶）；
答：只需要買25汽水．
故選：B．
【點評】本題關鍵是求出買30瓶能送幾瓶汽水．
【跟蹤訓練1】（2025春 萬柏林區期中）張老師要給班里購買20個籃球，甲、乙兩個商店的籃球單價相同。甲商店所有商品打八折，乙商店所有商品“買五送一”，張老師到（　　）商店購買比較省錢。
A．甲 B．乙 C．一樣
【答案】A
【分析】單價是一樣的，最后的總價可以不考慮單價的影響，現在就是數量的問題了，都買20個，看在哪個商店購買花的錢少即可。
【解答】解：八折=80%
在甲商店買20個籃球，需要花費：20×80%=16（個）籃球的價錢；
在乙商店買20個籃球，送20÷（5+1）=3......2（個），需要花費：20-3=17（個）籃球的價錢；
16＜17
所以到甲商店購買比較省錢。
故選：A。
【跟蹤訓練2】（2024秋 東莞市期末）“美麗天使”舞蹈隊有20名演員需要租車去參加演出。已知每輛面包車限客6人，每輛小轎車限客4人，恰好每輛車都坐滿的租車方案是（　　）
A．1輛面包車和3輛小轎車 B．2輛面包車和2輛小轎車
C．3輛面包車和1輛小轎車 D．4輛面包車
【答案】B
【分析】把20拆分為幾個6與幾個4的和，即可解決問題。
【解答】解：20=6×2+4×2=4×5
所以租2輛面包車和2輛小轎車，或租5輛小轎車。
故選：B。
【跟蹤訓練3】（2025春 泉山區期中）果園里有13噸水果要用貨車搬運。載重量3噸的貨車每次運費100元，載重量2噸的貨車每次運費80元，要想全部運完，運費最少花費 ______元。
【答案】460。
【分析】先算每噸的運費，比較大小，選擇運費便宜的車，且盡量滿載比較省錢；據此解答即可。
【解答】解：100÷3=33（元）……1（元）
80÷2=40（元）
33＜40
所以盡量多用載重量3噸的貨車，
13÷3=4（次）……1（噸）
4-1=3（次）
（3+1）÷2=2（次）
所以用3次3噸的貨車和2次2噸的貨車，
100×3+80×2
=300+160
=460（元）
答：運費最少花費460元。
故答案為：460。
【跟蹤訓練4】（2025春 信都區校級期中）李阿姨要買8雙男士襪和10雙女士襪，某商城有兩種購買方案：①男士襪17元/雙，女士襪13元/雙；②15元/雙（購買10雙及以上），方案 ______更省錢，她至少要付 ______元。
【答案】①；266。
【分析】分別計算出每種方案需要的錢，然后再比較并填空即可。方案①：一共需要的錢=男士襪的數量×男士襪的單價+女士襪的數量×女士襪的單價；方案②：一共需要的錢=男士襪與女士襪的數量之和×單價。
【解答】解：方案①：
17×8+13×10
=136+130
=266（元）
方案②：
（8+10）×15
=18×15
=270（元）
266元＜270元
即方案一①省錢，她至少要付266元。
故答案為：①；266。
【跟蹤訓練5】（2025春 未央區期中）段老師要買60個足球，現有3家體育用品商店舉行促銷活動，優惠情況如下，甲店每買10個送2個，乙店打8折銷售，丙店購物每滿200元減30元。這三家店同種品牌足球的單價都是25元，你認為段老師到哪家店買最劃算？
【答案】乙店。
【分析】甲店：買50個，送10個剛好60個，即求花買50個足球的錢即可；
乙店：每個足球25×80%=20（元），再用20乘60即可求出需要的錢數；
丙店：先算出買60個球花60×25=1500（元），1500÷200≈7（個），減30×7=210（元），用花的總錢數減去減的錢數即可。
最后比較這三個商店需要錢數的大小即可解答。
【解答】解：甲店：買50個可以贈送10個，
50×25=1250（元）
乙店：25×80%=20（元）
20×60=1200（元）
丙店：60×25=1500（元）
1500÷200≈7（個）
30×7=210（元）
1500-210=1290（元）
1200元＜1250元＜1290元
答：我認為段老師到乙店買最劃算。
【跟蹤訓練6】（2025春 龍崗區期中）媽媽為了增加王麗的早餐營養，打算為她訂購一年的牛奶。有以下兩種訂購方案：
方案一：按季度訂（一年有4個季度），每個季度108元。
方案二：按月訂，每月40元。
怎樣訂比較便宜？寫出計算過程。
【答案】按季度訂。
【分析】按兩種方法計算：每個季度價錢×4；或每月價錢乘一年12個月，計算出后比較哪種更便宜即可。
【解答】解：108×4=432（元）
40×12=480（元）
432＜480
答：按季度訂比較便宜。
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