資源簡介

第9講 典型應用題（三）
1、牛吃草問題 2
2、平均數(shù)問題 5
3、盈虧問題 8
4、逆推問題 10
熱點考點 考查頻率 考點難度
牛吃草問題 ★ ★★★
平均數(shù)問題 ★★ ★★★
盈虧問題 ★★ ★★★
逆推問題 ★★ ★★★
【考情分析】典型應用題是小升初數(shù)學考試的核心模塊，占比約 30%~40%，主要考查學生 閱讀理解能力、數(shù)學建模能力、邏輯分析能力 以及 計算準確性。題目涉及 生活場景、經(jīng)濟問題、行程問題、工程問題、比例問題 等，難度中等偏上，是區(qū)分學生數(shù)學能力的關鍵題型。
牛吃草問題
牛頓問題的難點在于草每天都在不斷生長，草的數(shù)量都在不斷變化．解答這類題目的關鍵是想辦法從變化中找出不變量，我們可以把總草量看成兩部分的和，即原有的草量加新長的草量．顯而易見，原有的草量是一定的，新長的草量雖然在變，但如果是勻速生長，我們也能找到另一個不變量--每天（每周）新長出的草的數(shù)量．
基本思路：假設每頭牛吃草的速度為“1”份，根據(jù)兩次不同的吃法，求出其中的總草量的差；再找出造成這種差異的原因，即可確定草的生長速度和總草量．
基本特點：原草量和新草生長速度是不變的；
關鍵問題：確定兩個不變的量．
基本公式：
生長量=（較長時間×長時間牛頭數(shù)-較短時間×短時間牛頭數(shù)）÷（長時間-短時間）；
原有草量=較長時間×長時間牛頭數(shù)-較長時間×生長量；
牛吃草問題常用到四個基本公式：
牛吃草問題又稱為消長問題，是17世紀英國偉大的科學家牛頓提出來的．典型牛吃草問題的條件是假設草的生長速度固定不變，不同頭數(shù)的牛吃光同一片草地所需的天數(shù)各不相同，求若干頭牛吃這片草地可以吃多少天．由于吃的天數(shù)不同，草又是天天在生長的，所以草的存量隨著吃的天數(shù)不斷地變化．解決牛吃草問題常用到四個基本公式，分別是：
（1）草的生長速度=（對應的牛頭數(shù)×吃的較多天數(shù)-相應的牛頭數(shù)×吃的較少天數(shù)）÷（吃的較多天數(shù)-吃的較少天數(shù)）；
（2）原有草量=牛頭數(shù)×吃的天數(shù)-草的生長速度×吃的天數(shù)；
（3）吃的天數(shù)=原有草量÷（牛頭數(shù)-草的生長速度）；
（4）牛頭數(shù)=原有草量÷吃的天數(shù)+草的生長速度．
這四個公式是解決消長問題的基礎．
由于牛在吃草的過程中，草是不斷生長的，所以解決消長問題的重點是要想辦法從變化中找到不變量．牧場上原有的草是不變的，新長的草雖然在變化，但由于是勻速生長，所以每天新長出的草量應該是不變的．正是由于這個不變量，才能夠?qū)С錾厦娴乃膫€基本公式．
例1：
例1：牧場上一片青草，每天牧草都勻速生長．這片牧草可供10頭牛吃20天，或者可供15頭牛吃10天．問：可供25頭牛吃幾天？
【分析】這類題難就難在牧場上草的數(shù)量每天都在發(fā)生變化，我們要想辦法從變化當中找到不變的量．總草量可以分為牧場上原有的草和新生長出來的草兩部分．牧場上原有的草是不變的，新長出的草雖然在變化，因為是勻速生長，所以這片草地每天新長出的草的數(shù)量相同，即每天新長出的草是不變的．即：
（1）每天新長出的草量是通過已知的兩種不同情況吃掉的總草量的差及吃的天數(shù)的差計算出來的．
（2）在已知的兩種情況中，任選一種，假定其中幾頭牛專吃新長出的草，由剩下的牛吃原有的草，根據(jù)吃的天數(shù)可以計算出原有的草量．
（3）在所求的問題中，讓幾頭牛專吃新長出的草，其余的牛吃原有的草，根據(jù)原有的草量可以計算出能吃幾天．
【解答】設1頭牛1天吃的草為“1“，由條件可知，前后兩次青草的問題相差為10×20-15×10=50．
為什么會多出這50呢？這是第二次比第一次多的那（20-10）=10天生長出來的，所以每天生長的青草為50÷10=5．
現(xiàn)從另一個角度去理解，這個牧場每天生長的青草正好可以滿足5頭牛吃．由此，我們可以把每次來吃草的牛分為兩組，一組是抽出的15頭牛來吃當天長出的青草，另一組來吃是原來牧場上的青草，那么在這批牛開始吃草之前，牧場上有多少青草呢？（10-5）×20=100．
那么：第一次吃草量20×10=200，第二次吃草量，15×10=150；
每天生長草量50÷10=5．
原有草量（10-5）×20=100或200-5×20=100．
25頭牛分兩組，5頭去吃生長的草，其余20頭去吃原有的草那么100÷20=5（天）．
答：可供25頭牛吃5天．
【點評】解題關鍵是弄清楚已知條件，進行對比分析，從而求出每日新長草的數(shù)量，再求出草地里原有草的數(shù)量，進而解答題中所求的問題．
這類問題的基本數(shù)量關系是：
1、（牛的頭數(shù)×吃草較多的天數(shù)-牛頭數(shù)×吃草較少的天數(shù)）÷（吃的較多的天數(shù)-吃的較少的天數(shù)）=草地每天新長草量．
2、牛的頭數(shù)×吃草天數(shù)-每天新長量×吃草天數(shù)=草地原有的草．
【跟蹤訓練1】（2024 蘇州）有一滿水池，池底有泉水不斷涌出，每分鐘涌出的水量相等，用10部抽水機20小時可以把水抽干，用15部抽水機10小時可以把水抽干，那么用25部同樣的抽水機（　　）小時可以把水抽干．
A．5 B．6 C．7 D．8
【跟蹤訓練2】（2024 泰安模擬）一片牧場，牧草每天生長的速度相同，已知這片牧草可供10頭羊吃20天，或可供15頭羊吃10天．那么這片牧草可供30頭羊吃（　　）天．
A．6 B．5 C．4 D．3
【跟蹤訓練3】（2024 渝北區(qū)）一片草地，可供5頭牛吃30天，也可供4頭牛吃40天，如果4頭牛吃20天后，又增加了2頭牛一起吃，則還可以再吃 ______天。（假設每天新長出來的草都一樣多）
【跟蹤訓練4】（2025 重慶模擬）某水庫共有10個灌溉閘，當10個灌溉閘全部打開時，8小時可將水位由警戒水位降至安全水位；只打開6個泄洪閘時，這個過程為24個小時，若水庫每小時的入庫量穩(wěn)定，問打開8個泄洪閘時，需要 ______小時可將水位降至安全水位。
【跟蹤訓練5】（2025 金水區(qū)模擬）某超市9時開門營業(yè)，開門前就有人等候入場。如果從第一個顧客來時起，每分鐘來的顧客人數(shù)一樣多。那么開4個門，等候的人要全部進入超市要8分鐘；開6個門，等候的人要全部進入商場要4分鐘。問：第一個顧客到達的時間是幾時幾分？
【跟蹤訓練6】（2025 黃埔區(qū)）有一個蓄水池裝了9根相同的水管，其中一根是進水管，其余8根是出水管。開始時，進水管以均勻的速度不停地向蓄水池注水，后來，想打開出水管，使池內(nèi)的水全部排光，如果同時打開8根出水管，則3小時可排盡池內(nèi)的水；如果僅打開5根水管，則需6小時才能排盡池內(nèi)的水，若要在4.5小時內(nèi)排盡池內(nèi)的水，那么應當同時打開幾根出水管？
平均數(shù)問題
求平均數(shù)問題是小學學習階段經(jīng)常接觸的一類典型應用題，如“求一個班級學生的平均年齡、平均身高、平均分數(shù)…”
平均數(shù)問題包括算術平均數(shù)、加權平均數(shù)、連續(xù)數(shù)和求平均數(shù)、調(diào)和平均數(shù)和基準數(shù)求平均數(shù)．
解答這類應用題時，主要是弄清楚總數(shù)、份數(shù)、一份數(shù)三量之間的關系，根據(jù)總數(shù)除以它相對應的份數(shù)，求出一份數(shù)，即平均數(shù)．
例1：
例1：在抗震救災的日子里，解放軍張叔叔前4天在一線共奮戰(zhàn)了74小時，后3天平均每天在一線工作15小時，這一周，張叔叔平均每天在一線工作多少小時？
【分析】根據(jù)題意可以求出張叔叔在7天一共工作了幾小時，用總的小時數(shù)除以總天數(shù)，就是要求的答案．
【解答】（74+15×3）÷（4+3），
=（74+45）÷7，
=119÷7，
=17（小時）；
答：這一周，張叔叔平均每天在一線工作17小時．
【點評】此題是典型的解答平均數(shù)應用題，關鍵在于確定“總數(shù)量”以及和總數(shù)量對應的總份數(shù)．
例2：甲、乙、丙三種糖果每千克分別是14元、10元、8元．現(xiàn)把甲種糖果4千克，乙種糖果3千克，丙種糖果5千克混合在一起，問買2千克這種混合糖果需多少元？
【分析】用三種糖混合糖的總錢數(shù)除以總千克數(shù)就是三種糖混合后的平均價，再用平均價乘2千克就是要求的答案．
【解答】甲、乙、丙三種糖混合后的平均價是：
（14×4+10×3+8×5）÷（4+3+5），
=126÷12，
=10.5（元），
買2千克混合糖果的價錢是：
10.5×2=21（元），
答：買2千克這種混合糖果需21元．
【點評】解答此題的關鍵是根據(jù)平均數(shù)的意義，先求出甲、乙、丙三種糖混合后的平均價，那2千克混合糖的價錢即可求出．
【跟蹤訓練1】（2024 南湖區(qū)）明明計算13個自然數(shù)的平均數(shù)，保留兩位小數(shù)是12.44，老師告訴他百分位上的數(shù)字是錯誤的。正確的平均數(shù)是（　　）
A．12.48 B．12.47 C．12.46 D．12.45
【跟蹤訓練2】（2024 舞鋼市）甲、乙、丙、丁四人參加某次電腦技能比賽．甲、乙兩人的平均成績?yōu)閍分，他們兩人的平均成績比丙的成績低9分，比丁的成績高3分，那么他們四人的平均成績?yōu)椋ā　。┓郑?br/>A．a(chǎn)+6 B．4a+1.5 C．4a+6 D．a(chǎn)+1.5
【跟蹤訓練3】（2024 渝北區(qū)）甲乙兩人拿出同樣多的錢合買一段花布，原約定各拿花布一樣多，結果甲拿了6尺，乙拿了14尺，這樣，乙就給甲2元錢，每尺花布單價 ______元。
【跟蹤訓練4】（2024秋 宿城區(qū)期末）一個大西瓜，需要2只小猴一起抬。3只小猴要把西瓜從離家300米遠的地方抬回家，平均每只小猴要抬 ______米。
【跟蹤訓練5】（2024 重慶模擬）六（1）班舉行一次數(shù)學測驗，采用5級計分制（5分最高，4分次之，以此類推）。男生的平均成績?yōu)?分，女生的平均成績?yōu)?.25分，而全班的平均成績?yōu)?.6分。如果該班的人數(shù)多于30人，少于50人，那么有多少男生和多少女生參加了測驗？
【跟蹤訓練6】（2024秋 羅湖區(qū)期末）猴爸給猴哥和兩個猴弟分一些桃子。它把這些桃子平均分成7份，猴哥得3份，弟弟各得2份，猴哥嫌分的少不開心。猴爸又重新把這些桃子平均分成14份，猴哥得6份，弟弟各得4份。猴哥開心的笑了，猴爸也笑了。猴哥分到桃子個數(shù)多了嗎？請說明理由。
盈虧問題
把若干物體平均分給一定數(shù)量的對象，并不是每次都能正好分完．如果物體還有剩余，就叫盈；如果物體不夠分，少了，叫虧．凡是研究盈和虧這一類算法的應用題就叫盈虧問題．
解盈虧問題的公式
一盈一虧的解法：（盈數(shù)+虧數(shù)）÷兩次每人分配數(shù)的差
雙盈的解法：（大盈-小盈）÷兩次每人分配數(shù)的差
雙虧的解法：（大虧-小虧）÷兩次每人分配數(shù)的差．
例1：
例1：小紅給房里的人分餅干，如果其中3人每人分4塊，其余每人分2塊，還多出4塊．如果其中2人分6塊，其余每人分3塊，則缺12塊．問房間里有多少人？
【分析】如果其中有3個人每人分4塊，其余每人分2塊，就多了4塊糖，也就是如果每人都分2塊，就多了3×（4-2）+4=10塊糖；如果其中2人分6塊，其余每人分3塊，則缺12塊，即如果每人都分3塊的話，則缺12-2×（6-3）=6塊；即盈10，虧6，兩次分配的差為3-2，則共有（10+6）÷（3-2）=16人．
【解答】[3×（4-2）+4]+[12-2×（6-3）]
=[6+4]+[12-6]，
=10+6，
=16（塊）；
16÷（3-2），
=16÷1，
=16（人）；
答：房間內(nèi)共有16人．
【點評】由于兩次分配的數(shù)量不統(tǒng)一，因此據(jù)已知條件將每次分配的數(shù)量統(tǒng)一后，算出盈與虧是完成本題的關鍵．
【跟蹤訓練1】（2024 雞西）籃球聯(lián)賽要安排男運動員住宿，當房間數(shù)一定時，每個房間住3人，則有36人沒床位；每個房間住4人，則有13人沒床位。如果每個房間住5人，還空（　　）個房間。
A．0 B．1 C．2 D．3
【跟蹤訓練2】（2023秋 渝中區(qū)期末）動漫節(jié)上，張叔叔準備購買蜘蛛俠模型，如果買6個，還剩20元；如果買8個，就缺220元，每個蜘蛛俠模型（　　）元。
A．140 B．120 C．100 D．80
【跟蹤訓練3】（2025春 泗洪縣期中）將一些鋼筆作為獎品分到優(yōu)秀同學，如果每個同學分得8支鋼筆就會多6支鋼筆；如果每個同學分得9支鋼筆就會缺2支鋼筆。這些鋼筆至少有 ______支。
【跟蹤訓練4】（2025春 日照期中）秋天到了，小白兔收獲了一筐蘿卜，它按照計劃吃的天數(shù)算了一下，如果每天吃4個，則多出48個蘿卜；如果每天吃6個，則多出8個蘿卜，小白兔收獲的蘿卜有 ______個。
【跟蹤訓練5】（2024秋 余杭區(qū)期末）琦琦媽媽去超市買牛肉，她帶的錢如果買2千克牛肉，那么還剩下56.4元；如果買4千克牛肉，那么還差37.2元，每千克牛肉多少錢？琦琦媽媽帶了多少錢？
【跟蹤訓練6】（2024秋 費縣期中）明明過生日，同學們?nèi)ソo他買蛋糕，如果每人出8元，就多出了8元；如果每人出7元，就多出了4元，那么有多少個同學去買蛋糕？這個蛋糕多少錢？
逆推問題
1．逆推問題內(nèi)容：
逆推問題還可稱為還原問題，解答這類問題時，要根據(jù)題意的敘述順序，由后向前逆推計算．
2．解題方法：
（1）要根據(jù)題意的順序，從最后一組數(shù)量關系逆推至第一組數(shù)量關系，這就是逆推法中去處順序的逆推含義．
（2）原題相加，逆推用減；原題相減，逆推用加；原題相乘，逆推用除；原題相除，逆推用乘，這就是逆推法中計算方法的逆運算含義．
例1：
例1：一根繩子，第一次剪去一半，第二次剪去4米，最后剩下2米．原來繩長______米．
【分析】根據(jù)題干分析可得，這根繩子的一半就是4+2=6米，據(jù)此再乘2就是繩子的長度．
解：（4+2）×2=12（米）；
【解答】這根繩子原來長12米．
故答案為：12．
【點評】解決此類問題的關鍵是抓住最后得到的數(shù)量，從后先前進行推理，根據(jù)加減乘除的逆運算思維進行解答．
例2：老婦提籃賣蛋．第一次賣了全部的一半又半個，第二次賣了余下的一半又半個，第三次賣了第二次余下的一半又半個，第四次賣了第三次余下的一半又半個．這時，全部雞蛋都賣完了．老婦籃中原有雞蛋______個．
【分析】根據(jù)最后籃內(nèi)的雞蛋個數(shù)是0，那第三次賣蛋后余下的雞蛋的個數(shù)是2×（0+），第二次賣蛋后余下的雞蛋的個數(shù)是2×[2×（0+）+]，同樣道理可以求出第一次賣蛋后余下的雞蛋的個數(shù)，那原有雞蛋的個數(shù)即可求出．
【解答】第三次賣蛋后余下的雞蛋的個數(shù)是：2×（0+）=1（個），
第二次賣蛋后余下的雞蛋的個數(shù)是：2×（1+）=2×=3（個），
第一次賣蛋后余下的雞蛋的個數(shù)是：2×（3+）=2×=7（個），
原有雞蛋的個數(shù)是：2×（7+）=2×=15（個），
答：籃中原有雞蛋15個，
故答案為：15．
【點評】解答此題的關鍵是，根據(jù)題意，運用逆推的方法，求出每次賣蛋后余下的雞蛋的個數(shù)，由此即可得出答案．
【解題思路】：
①從結果出發(fā)，逐步向前一步一步推理．
②在向前推理的過程中，每一步運算都是原來運算的逆運算．
③列式時注意運算順序，正確使用括號．
【跟蹤訓練1】（2025春 信都區(qū)校級期中）打開知識大門的密碼是■△■，請你根據(jù)算式破譯密碼。那么知識大門的密碼是（　　）
21+56-■=69
△×15-17=73
A．868 B．767 C．898 D．686
【跟蹤訓練2】（2024秋 鹿城區(qū)期末）哥哥有8張畫片，將哥哥的畫片數(shù)乘4再加上6的結果就是弟弟的畫片數(shù)，弟弟給哥哥（　　）張畫片后，弟弟的畫片就比哥哥的畫片少2張。
A．14 B．15 C．16 D．17
【跟蹤訓練3】（2024秋 灞橋區(qū)期末）食堂叔叔用小推車為各班配送酸奶。給三年級送去小推車上酸奶的一半，給四年級送去剩下的一半，此時小推車上還剩下8盒。原來小推車上的酸奶一共有 ______盒。
【跟蹤訓練4】（2024春 北侖區(qū)校級期中）倉庫里有一批糧食，第一天運出全部糧食的一半多10噸，第二天又運出余下的一半多10噸，這時倉庫還剩下40噸，倉庫里原來有糧食 ______噸。
【跟蹤訓練5】（2025春 興化市期中）學校舉辦圖書捐贈活動，小林整理自己的藏書準備捐贈。他先將圖書平均分成4堆，打算把其中三堆分別捐贈給三個貧困地區(qū)的學校。然后，他把剩下的那一堆圖書又平均分成3份，拿出兩份送給了學校圖書館，這時他自己還剩下40本書。小林原來整理的藏書一共多少本？
【跟蹤訓練6】（2025 重慶模擬）幼兒園將一批水果分給大、中、小和小托四個班，先將全部水果的再減去千克給大班；再把余下的加上千克給中班；又把余下的一半給小班；最后把剩下的一半加上千克給小托班，這時幼兒園還剩6千克水果，則這批水果有多少千克？
21世紀教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)
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21世紀教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)第9講 典型應用題（三）
1、牛吃草問題 2
2、平均數(shù)問題 8
3、盈虧問題 12
4、逆推問題 16
熱點考點 考查頻率 考點難度
牛吃草問題 ★ ★★★
平均數(shù)問題 ★★ ★★★
盈虧問題 ★★ ★★★
逆推問題 ★★ ★★★
【考情分析】典型應用題是小升初數(shù)學考試的核心模塊，占比約 30%~40%，主要考查學生 閱讀理解能力、數(shù)學建模能力、邏輯分析能力 以及 計算準確性。題目涉及 生活場景、經(jīng)濟問題、行程問題、工程問題、比例問題 等，難度中等偏上，是區(qū)分學生數(shù)學能力的關鍵題型。
牛吃草問題
牛頓問題的難點在于草每天都在不斷生長，草的數(shù)量都在不斷變化．解答這類題目的關鍵是想辦法從變化中找出不變量，我們可以把總草量看成兩部分的和，即原有的草量加新長的草量．顯而易見，原有的草量是一定的，新長的草量雖然在變，但如果是勻速生長，我們也能找到另一個不變量--每天（每周）新長出的草的數(shù)量．
基本思路：假設每頭牛吃草的速度為“1”份，根據(jù)兩次不同的吃法，求出其中的總草量的差；再找出造成這種差異的原因，即可確定草的生長速度和總草量．
基本特點：原草量和新草生長速度是不變的；
關鍵問題：確定兩個不變的量．
基本公式：
生長量=（較長時間×長時間牛頭數(shù)-較短時間×短時間牛頭數(shù)）÷（長時間-短時間）；
原有草量=較長時間×長時間牛頭數(shù)-較長時間×生長量；
牛吃草問題常用到四個基本公式：
牛吃草問題又稱為消長問題，是17世紀英國偉大的科學家牛頓提出來的．典型牛吃草問題的條件是假設草的生長速度固定不變，不同頭數(shù)的牛吃光同一片草地所需的天數(shù)各不相同，求若干頭牛吃這片草地可以吃多少天．由于吃的天數(shù)不同，草又是天天在生長的，所以草的存量隨著吃的天數(shù)不斷地變化．解決牛吃草問題常用到四個基本公式，分別是：
（1）草的生長速度=（對應的牛頭數(shù)×吃的較多天數(shù)-相應的牛頭數(shù)×吃的較少天數(shù)）÷（吃的較多天數(shù)-吃的較少天數(shù)）；
（2）原有草量=牛頭數(shù)×吃的天數(shù)-草的生長速度×吃的天數(shù)；
（3）吃的天數(shù)=原有草量÷（牛頭數(shù)-草的生長速度）；
（4）牛頭數(shù)=原有草量÷吃的天數(shù)+草的生長速度．
這四個公式是解決消長問題的基礎．
由于牛在吃草的過程中，草是不斷生長的，所以解決消長問題的重點是要想辦法從變化中找到不變量．牧場上原有的草是不變的，新長的草雖然在變化，但由于是勻速生長，所以每天新長出的草量應該是不變的．正是由于這個不變量，才能夠?qū)С錾厦娴乃膫€基本公式．
例1：
例1：牧場上一片青草，每天牧草都勻速生長．這片牧草可供10頭牛吃20天，或者可供15頭牛吃10天．問：可供25頭牛吃幾天？
【分析】這類題難就難在牧場上草的數(shù)量每天都在發(fā)生變化，我們要想辦法從變化當中找到不變的量．總草量可以分為牧場上原有的草和新生長出來的草兩部分．牧場上原有的草是不變的，新長出的草雖然在變化，因為是勻速生長，所以這片草地每天新長出的草的數(shù)量相同，即每天新長出的草是不變的．即：
（1）每天新長出的草量是通過已知的兩種不同情況吃掉的總草量的差及吃的天數(shù)的差計算出來的．
（2）在已知的兩種情況中，任選一種，假定其中幾頭牛專吃新長出的草，由剩下的牛吃原有的草，根據(jù)吃的天數(shù)可以計算出原有的草量．
（3）在所求的問題中，讓幾頭牛專吃新長出的草，其余的牛吃原有的草，根據(jù)原有的草量可以計算出能吃幾天．
【解答】設1頭牛1天吃的草為“1“，由條件可知，前后兩次青草的問題相差為10×20-15×10=50．
為什么會多出這50呢？這是第二次比第一次多的那（20-10）=10天生長出來的，所以每天生長的青草為50÷10=5．
現(xiàn)從另一個角度去理解，這個牧場每天生長的青草正好可以滿足5頭牛吃．由此，我們可以把每次來吃草的牛分為兩組，一組是抽出的15頭牛來吃當天長出的青草，另一組來吃是原來牧場上的青草，那么在這批牛開始吃草之前，牧場上有多少青草呢？（10-5）×20=100．
那么：第一次吃草量20×10=200，第二次吃草量，15×10=150；
每天生長草量50÷10=5．
原有草量（10-5）×20=100或200-5×20=100．
25頭牛分兩組，5頭去吃生長的草，其余20頭去吃原有的草那么100÷20=5（天）．
答：可供25頭牛吃5天．
【點評】解題關鍵是弄清楚已知條件，進行對比分析，從而求出每日新長草的數(shù)量，再求出草地里原有草的數(shù)量，進而解答題中所求的問題．
這類問題的基本數(shù)量關系是：
1、（牛的頭數(shù)×吃草較多的天數(shù)-牛頭數(shù)×吃草較少的天數(shù)）÷（吃的較多的天數(shù)-吃的較少的天數(shù)）=草地每天新長草量．
2、牛的頭數(shù)×吃草天數(shù)-每天新長量×吃草天數(shù)=草地原有的草．
【跟蹤訓練1】（2024 蘇州）有一滿水池，池底有泉水不斷涌出，每分鐘涌出的水量相等，用10部抽水機20小時可以把水抽干，用15部抽水機10小時可以把水抽干，那么用25部同樣的抽水機（　　）小時可以把水抽干．
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】A
【分析】設每部抽水機每小時能抽泉水1份，每小時涌出的泉水量為：（20×10-15×10）÷（20-10）=5（份）；泉中原有的水量為：20×10-20×5=100（份）；25部抽水機拿出5部抽每小時涌出的5份的泉水，剩下的20臺抽泉中原有的水量，所需時間為：100÷20=5（小時），即為所求問題．
【解答】解：（20×10-15×10）÷（20-10）
=50÷10
=5（份）
20×10-20×5
=200-100
=100（份）
100÷（25-5）
=100÷20
=5（小時）
答：用25臺這樣的抽水機5小時可以把水抽干．
故選：A。
【跟蹤訓練2】（2024 泰安模擬）一片牧場，牧草每天生長的速度相同，已知這片牧草可供10頭羊吃20天，或可供15頭羊吃10天．那么這片牧草可供30頭羊吃（　　）天．
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】C
【分析】根據(jù)題意，設每頭羊每天吃“1”份草，先求出牧場每天的長草量，再求出牧場原有的草量，由此即可算出這片牧草可供30頭羊吃的天數(shù)．
【解答】解：設每頭羊每天吃“1”份草，
每天新生草量為：
（10×20-15×10）÷（20-10），
=（200-150）÷10，
=50÷10，
=5（份）；
原有草量為：
20×10-5×20=100（份），
30頭羊吃的天數(shù)：
100÷（30-5），
=100÷25，
=4（天）；
答：這片牧草可供30頭羊吃4天，
故選：C．
【跟蹤訓練3】（2024 渝北區(qū)）一片草地，可供5頭牛吃30天，也可供4頭牛吃40天，如果4頭牛吃20天后，又增加了2頭牛一起吃，則還可以再吃 ______天。（假設每天新長出來的草都一樣多）
【答案】12。
【分析】假設每頭牛每天吃青草1份，先求出青草的生長速度：（40×4-5×30）÷（40-30）=1（份）；然后求出草地原有的草的份數(shù)：5×30-1×30=120（份）；每天增加的1份，相當于1頭牛吃；4頭牛吃20天還剩原有的120-（4-1）×20=60（份），那么還可吃：60÷（4+2-1）=12（天）；據(jù)此解答即可。
【解答】解：假設每頭牛每天吃青草1份，
青草的生長速度：
（40×4-5×30）÷（40-30）
=10÷10
=1（份）
草地原有的草的份數(shù)：
5×30-1×30
=150-30
=120（份）
還剩原有的：
120-（4-1）×20
=120-60
=60（份）
還可吃：60÷（4+2-1）
=60÷5
=12（天）
答：還可以再吃12天。
故答案為：12。
【跟蹤訓練4】（2025 重慶模擬）某水庫共有10個灌溉閘，當10個灌溉閘全部打開時，8小時可將水位由警戒水位降至安全水位；只打開6個泄洪閘時，這個過程為24個小時，若水庫每小時的入庫量穩(wěn)定，問打開8個泄洪閘時，需要 ______小時可將水位降至安全水位。
【答案】12。
【分析】此題是牛吃草問題的變形，假設每個泄洪閘每小時泄洪的量為1份，則水庫每小時增加的水量為（6×24-8×10）÷（24-8）=4（份），原有的水量超過安水位的部分有（10-4）×8=48（份），如果要打開8個泄洪閘時，需要48÷（8-4）=12小時可將水位降至安全水位；據(jù)此解答即可。
【解答】解：假設每個泄洪閘每小時泄洪的量為1份。
（6×24-8×10）÷（24-8）
=64÷16
=4（份）
（10-4）×8
=6×8
=48（份）
48÷（8-4）
=48÷4
=12（小時）
答：打開8個泄洪閘時，需要12小時可將水位降至安全水位。
故答案為：12。
【跟蹤訓練5】（2025 金水區(qū)模擬）某超市9時開門營業(yè)，開門前就有人等候入場。如果從第一個顧客來時起，每分鐘來的顧客人數(shù)一樣多。那么開4個門，等候的人要全部進入超市要8分鐘；開6個門，等候的人要全部進入商場要4分鐘。問：第一個顧客到達的時間是幾時幾分？
【答案】8時52分。
【分析】假設每個門每分鐘進1人。4個門8分鐘進的人數(shù)與6個門4分鐘進的人數(shù)差是4分鐘里進來的人數(shù)，即每分鐘來2人，那么開門前已經(jīng)來的人數(shù)為4×1×8-8×2=16（人），第一個顧客到達的時間是開門的8分鐘前，即8時52分。
【解答】解：假設每個門每分鐘進1人。
（4×1×8-6×1×4）÷（8-4）
=8÷4
=2（人）
4×1×8-8×2=16（人）
16÷2=8（分鐘）
9時-8分鐘=8時52分
答：第一個顧客到達的時間是8時52分。
【跟蹤訓練6】（2025 黃埔區(qū)）有一個蓄水池裝了9根相同的水管，其中一根是進水管，其余8根是出水管。開始時，進水管以均勻的速度不停地向蓄水池注水，后來，想打開出水管，使池內(nèi)的水全部排光，如果同時打開8根出水管，則3小時可排盡池內(nèi)的水；如果僅打開5根水管，則需6小時才能排盡池內(nèi)的水，若要在4.5小時內(nèi)排盡池內(nèi)的水，那么應當同時打開幾根出水管？
【答案】6根。
【分析】設打開1根出水管每小時可排水1份，8根出水管開3小時共排出8×3=24（份），5根出水管6小時共排出5×6=30（份），30-24=6（份），這6份就是6-3=3（小時）內(nèi)進水管放進的水，所以進水管每小時進的水是：（30-24）÷（6-3）=2（份）。據(jù)此分析就可以解答。
【解答】解：設打開1根出水管每小時可排水1份。
（5×6-8×3）÷（6-3）
=（30-24）÷3
=6÷3
=2（份）
[8×3+（4.5-3）×2]÷4.5
=[24+3]÷4.5
=27÷4.5
=6（根）
或[5×6-（6-4.5）×2]÷4.5
=[30-3]÷4.5
=27÷4.5
=6（根）
答：應該同時打開6根出水管。
平均數(shù)問題
求平均數(shù)問題是小學學習階段經(jīng)常接觸的一類典型應用題，如“求一個班級學生的平均年齡、平均身高、平均分數(shù)…”
平均數(shù)問題包括算術平均數(shù)、加權平均數(shù)、連續(xù)數(shù)和求平均數(shù)、調(diào)和平均數(shù)和基準數(shù)求平均數(shù)．
解答這類應用題時，主要是弄清楚總數(shù)、份數(shù)、一份數(shù)三量之間的關系，根據(jù)總數(shù)除以它相對應的份數(shù)，求出一份數(shù)，即平均數(shù)．
例1：
例1：在抗震救災的日子里，解放軍張叔叔前4天在一線共奮戰(zhàn)了74小時，后3天平均每天在一線工作15小時，這一周，張叔叔平均每天在一線工作多少小時？
【分析】根據(jù)題意可以求出張叔叔在7天一共工作了幾小時，用總的小時數(shù)除以總天數(shù)，就是要求的答案．
【解答】（74+15×3）÷（4+3），
=（74+45）÷7，
=119÷7，
=17（小時）；
答：這一周，張叔叔平均每天在一線工作17小時．
【點評】此題是典型的解答平均數(shù)應用題，關鍵在于確定“總數(shù)量”以及和總數(shù)量對應的總份數(shù)．
例2：甲、乙、丙三種糖果每千克分別是14元、10元、8元．現(xiàn)把甲種糖果4千克，乙種糖果3千克，丙種糖果5千克混合在一起，問買2千克這種混合糖果需多少元？
【分析】用三種糖混合糖的總錢數(shù)除以總千克數(shù)就是三種糖混合后的平均價，再用平均價乘2千克就是要求的答案．
【解答】甲、乙、丙三種糖混合后的平均價是：
（14×4+10×3+8×5）÷（4+3+5），
=126÷12，
=10.5（元），
買2千克混合糖果的價錢是：
10.5×2=21（元），
答：買2千克這種混合糖果需21元．
【點評】解答此題的關鍵是根據(jù)平均數(shù)的意義，先求出甲、乙、丙三種糖混合后的平均價，那2千克混合糖的價錢即可求出．
【跟蹤訓練1】（2024 南湖區(qū)）明明計算13個自然數(shù)的平均數(shù)，保留兩位小數(shù)是12.44，老師告訴他百分位上的數(shù)字是錯誤的。正確的平均數(shù)是（　　）
A．12.48 B．12.47 C．12.46 D．12.45
【答案】C
【分析】根據(jù)自然數(shù)都是整數(shù)，可知13個自然數(shù)的和一定是整數(shù)，又因為12.40×13=161.2，12.49×13=162.37，161.2和162.37之間的整數(shù)只能是162，用162÷13，即可求出正確的平均數(shù)是多少。
【解答】解：12.40×13=161.2，12.49×13=162.37，161.2和162.37之間的整數(shù)只能是162。
162÷13≈12.46
答：正確的平均數(shù)是12.46。
故選：C。
【跟蹤訓練2】（2024 舞鋼市）甲、乙、丙、丁四人參加某次電腦技能比賽．甲、乙兩人的平均成績?yōu)閍分，他們兩人的平均成績比丙的成績低9分，比丁的成績高3分，那么他們四人的平均成績?yōu)椋ā　。┓郑?br/>A．a(chǎn)+6 B．4a+1.5 C．4a+6 D．a(chǎn)+1.5
【答案】D
【分析】由題意得：甲加乙總分為2a,丙的成績?yōu)閍+9，丁的成績?yōu)閍-3，因此他們四人的平均成績?yōu)椋?a+a+9+a-3）÷4，據(jù)此解答．
【解答】解：（2a+a+9+a-3）÷4
=（4a+6）÷4
=a+1.5
答：他們四人的平均成績?yōu)椋╝+1.5）分．
故選：D。
【跟蹤訓練3】（2024 渝北區(qū)）甲乙兩人拿出同樣多的錢合買一段花布，原約定各拿花布一樣多，結果甲拿了6尺，乙拿了14尺，這樣，乙就給甲2元錢，每尺花布單價 ______元。
【答案】0.5。
【分析】根據(jù)題干，甲乙兩人共買了6+14=20（尺），按同樣多的錢數(shù)來算甲乙兩人應該每人拿10尺，結果乙比甲多拿了14-10=4尺，可得這4尺的價格是2元，由此即可求出每尺花布的單價。
【解答】解：2÷[14-（14+6）÷2]
=2÷[14-20÷2]
=2÷[14-10]
=2÷4
=0.5（元）
答：每尺花布單價0.5元。
故答案為：0.5。
【跟蹤訓練4】（2024秋 宿城區(qū)期末）一個大西瓜，需要2只小猴一起抬。3只小猴要把西瓜從離家300米遠的地方抬回家，平均每只小猴要抬 ______米。
【答案】200。
【分析】由題意可知，一個西瓜需要2只猴子一起抬，那么2只猴子抬西瓜走的總路程為（300×2）米，而總路程需要3只猴子輪流走，所以用總的路程除以小猴子的總只數(shù)，即可求出平均每只猴子要抬的米數(shù)；依此解答。
【解答】解：300×2=600（米）
600÷3=200（米），即平均每只小猴要抬200米。
答：平均每只小猴要抬200米。
故答案為：200。
【跟蹤訓練5】（2024 重慶模擬）六（1）班舉行一次數(shù)學測驗，采用5級計分制（5分最高，4分次之，以此類推）。男生的平均成績?yōu)?分，女生的平均成績?yōu)?.25分，而全班的平均成績?yōu)?.6分。如果該班的人數(shù)多于30人，少于50人，那么有多少男生和多少女生參加了測驗？
【答案】21名；24名。
【分析】本題切入點是平均數(shù)的移多補少，男生平均分多出的分數(shù)×男生人數(shù)=女生平均分少的分數(shù)×女生人數(shù)。
【解答】解：男生與女生的人數(shù)比是（3.6-3.25）：（4-3.6）=7：8
因為全班的人數(shù)多于30人，少于50人，
所以全班的人數(shù)是（7+8）×3=45（人）。
有男生7×3=21（名）
有女生8×3=24（名）
答：有21名男生和24名女生參加了測驗。
【跟蹤訓練6】（2024秋 羅湖區(qū)期末）猴爸給猴哥和兩個猴弟分一些桃子。它把這些桃子平均分成7份，猴哥得3份，弟弟各得2份，猴哥嫌分的少不開心。猴爸又重新把這些桃子平均分成14份，猴哥得6份，弟弟各得4份。猴哥開心的笑了，猴爸也笑了。猴哥分到桃子個數(shù)多了嗎？請說明理由。
【答案】沒多，因為=。
【分析】用分數(shù)表示出兩次分法中猴哥分別分得幾分之幾，再比較兩個分數(shù)的大小即可。
【解答】解：把這些桃子平均分成7份，猴哥得3份，用分數(shù)表示為，把這些桃子平均分成14份，猴哥得6份，用分數(shù)表示為，=，所以猴哥分到桃子個數(shù)沒多。
盈虧問題
把若干物體平均分給一定數(shù)量的對象，并不是每次都能正好分完．如果物體還有剩余，就叫盈；如果物體不夠分，少了，叫虧．凡是研究盈和虧這一類算法的應用題就叫盈虧問題．
解盈虧問題的公式
一盈一虧的解法：（盈數(shù)+虧數(shù)）÷兩次每人分配數(shù)的差
雙盈的解法：（大盈-小盈）÷兩次每人分配數(shù)的差
雙虧的解法：（大虧-小虧）÷兩次每人分配數(shù)的差．
例1：
例1：小紅給房里的人分餅干，如果其中3人每人分4塊，其余每人分2塊，還多出4塊．如果其中2人分6塊，其余每人分3塊，則缺12塊．問房間里有多少人？
【分析】如果其中有3個人每人分4塊，其余每人分2塊，就多了4塊糖，也就是如果每人都分2塊，就多了3×（4-2）+4=10塊糖；如果其中2人分6塊，其余每人分3塊，則缺12塊，即如果每人都分3塊的話，則缺12-2×（6-3）=6塊；即盈10，虧6，兩次分配的差為3-2，則共有（10+6）÷（3-2）=16人．
【解答】[3×（4-2）+4]+[12-2×（6-3）]
=[6+4]+[12-6]，
=10+6，
=16（塊）；
16÷（3-2），
=16÷1，
=16（人）；
答：房間內(nèi)共有16人．
【點評】由于兩次分配的數(shù)量不統(tǒng)一，因此據(jù)已知條件將每次分配的數(shù)量統(tǒng)一后，算出盈與虧是完成本題的關鍵．
【跟蹤訓練1】（2024 雞西）籃球聯(lián)賽要安排男運動員住宿，當房間數(shù)一定時，每個房間住3人，則有36人沒床位；每個房間住4人，則有13人沒床位。如果每個房間住5人，還空（　　）個房間。
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】由題意可得：每個房間多住（4-3）人，能多住36-13=23（人），用23÷1=23得出房間的個數(shù)；然后根據(jù)“每個房間住3人，則36人沒床位”，用23×3+36計算出運動員一共有多少人；進而算出每個房間住5人，需要幾個房間，最后算出空幾個房間。
【解答】解：（36-13）÷（4-3）
=23÷1
=23（個）
23-（23×3+36）÷5
=23-21
=2（個）
答：還空2個房間。
故選：C。
【跟蹤訓練2】（2023秋 渝中區(qū)期末）動漫節(jié)上，張叔叔準備購買蜘蛛俠模型，如果買6個，還剩20元；如果買8個，就缺220元，每個蜘蛛俠模型（　　）元。
A．140 B．120 C．100 D．80
【答案】B
【分析】多買（8-6）個，金額就從剩20元到缺220元，說明每個蜘蛛模型的單價為（20+220）÷（8-6），據(jù)此選擇。
【解答】解：（20+220）÷（8-6）
=240÷2
=120（元）
答：每個蜘蛛模型120元。
故選：B。
【跟蹤訓練3】（2025春 泗洪縣期中）將一些鋼筆作為獎品分到優(yōu)秀同學，如果每個同學分得8支鋼筆就會多6支鋼筆；如果每個同學分得9支鋼筆就會缺2支鋼筆。這些鋼筆至少有 ______支。
【答案】70。
【分析】根據(jù)解盈虧問題的方法：盈數(shù)加上虧數(shù)后除以兩次分配差即可求出人數(shù)，進而求出鋼筆的支數(shù)。
【解答】解：（6+2）÷（9-8）
=8÷1
=8（人）
8×8+6
=64+6
=70（支）
答：這些鋼筆至少有70支。
故答案為：70。
【跟蹤訓練4】（2025春 日照期中）秋天到了，小白兔收獲了一筐蘿卜，它按照計劃吃的天數(shù)算了一下，如果每天吃4個，則多出48個蘿卜；如果每天吃6個，則多出8個蘿卜，小白兔收獲的蘿卜有 ______個。
【答案】128。
【分析】本題可通過兩種吃法下蘿卜剩余數(shù)量的差以及每天吃蘿卜數(shù)量的差，先求出計劃吃的天數(shù)，再根據(jù)其中一種吃法求出蘿卜總數(shù)。這是典型的盈虧問題，關鍵在于找出數(shù)量差與分配差的關系。
【解答】解：兩種吃法下，蘿卜剩余數(shù)量的差為：48-8=40（個）
每天吃蘿卜數(shù)量的差為：6-4=2（個）根據(jù)公式“天數(shù)=剩余數(shù)差+天吃的數(shù)量差”，可得計劃吃的天數(shù)為：40÷2=20（天）根據(jù)“如果每天吃4個，則多出48個蘿卜”，蘿卜總數(shù)為：4×20+48=80+48=128（個）
答：小白兔收獲的蘿卜有128個。
故答案為：128。
【跟蹤訓練5】（2024秋 余杭區(qū)期末）琦琦媽媽去超市買牛肉，她帶的錢如果買2千克牛肉，那么還剩下56.4元；如果買4千克牛肉，那么還差37.2元，每千克牛肉多少錢？琦琦媽媽帶了多少錢？
【答案】46.8元，150元。
【分析】根據(jù)題意，設每千克牛肉x元，結合“單價×數(shù)量=總價”，媽媽帶的錢數(shù)是（2x+56.4）元，據(jù)此結合買4千克牛肉，還差37.2元，列方程解答即可。
【解答】解：設每千克牛肉x元。
2x+56.4=4x-37.2
2x=93.6
x=46.8
2x+56.4
=46.8×2+56.4
=93.6+56.4
=150（元）
答：每千克牛肉46.8元，琦琦媽媽帶了150元。
【跟蹤訓練6】（2024秋 費縣期中）明明過生日，同學們?nèi)ソo他買蛋糕，如果每人出8元，就多出了8元；如果每人出7元，就多出了4元，那么有多少個同學去買蛋糕？這個蛋糕多少錢？
【答案】4個；24元。
【分析】買蛋糕的總差額是：8-4=4（元），兩次的每份的差額是：8-7=1（元），根據(jù)“總差額÷每份的差額=總人數(shù)”，列式為：4÷1=4（人）；那么蛋糕的價錢是：8×4-8=24（元），據(jù)此解答。
【解答】解：人數(shù)：（8-4）÷（8-7），
=4÷1，
=4（人）；
書：8×4-8=24（元）；
答：有4個同學去買蛋糕，這個蛋糕的價錢是24元。
逆推問題
1．逆推問題內(nèi)容：
逆推問題還可稱為還原問題，解答這類問題時，要根據(jù)題意的敘述順序，由后向前逆推計算．
2．解題方法：
（1）要根據(jù)題意的順序，從最后一組數(shù)量關系逆推至第一組數(shù)量關系，這就是逆推法中去處順序的逆推含義．
（2）原題相加，逆推用減；原題相減，逆推用加；原題相乘，逆推用除；原題相除，逆推用乘，這就是逆推法中計算方法的逆運算含義．
例1：
例1：一根繩子，第一次剪去一半，第二次剪去4米，最后剩下2米．原來繩長______米．
【分析】根據(jù)題干分析可得，這根繩子的一半就是4+2=6米，據(jù)此再乘2就是繩子的長度．
解：（4+2）×2=12（米）；
【解答】這根繩子原來長12米．
故答案為：12．
【點評】解決此類問題的關鍵是抓住最后得到的數(shù)量，從后先前進行推理，根據(jù)加減乘除的逆運算思維進行解答．
例2：老婦提籃賣蛋．第一次賣了全部的一半又半個，第二次賣了余下的一半又半個，第三次賣了第二次余下的一半又半個，第四次賣了第三次余下的一半又半個．這時，全部雞蛋都賣完了．老婦籃中原有雞蛋______個．
【分析】根據(jù)最后籃內(nèi)的雞蛋個數(shù)是0，那第三次賣蛋后余下的雞蛋的個數(shù)是2×（0+），第二次賣蛋后余下的雞蛋的個數(shù)是2×[2×（0+）+]，同樣道理可以求出第一次賣蛋后余下的雞蛋的個數(shù)，那原有雞蛋的個數(shù)即可求出．
【解答】第三次賣蛋后余下的雞蛋的個數(shù)是：2×（0+）=1（個），
第二次賣蛋后余下的雞蛋的個數(shù)是：2×（1+）=2×=3（個），
第一次賣蛋后余下的雞蛋的個數(shù)是：2×（3+）=2×=7（個），
原有雞蛋的個數(shù)是：2×（7+）=2×=15（個），
答：籃中原有雞蛋15個，
故答案為：15．
【點評】解答此題的關鍵是，根據(jù)題意，運用逆推的方法，求出每次賣蛋后余下的雞蛋的個數(shù)，由此即可得出答案．
【解題思路】：
①從結果出發(fā)，逐步向前一步一步推理．
②在向前推理的過程中，每一步運算都是原來運算的逆運算．
③列式時注意運算順序，正確使用括號．
【跟蹤訓練1】（2025春 信都區(qū)校級期中）打開知識大門的密碼是■△■，請你根據(jù)算式破譯密碼。那么知識大門的密碼是（　　）
21+56-■=69
△×15-17=73
A．868 B．767 C．898 D．686
【答案】A
【分析】根據(jù)加減乘除的逆運算從最后的結果逆推即可。
【解答】解：■=21+56-69
=77-69
=8
△=（73+17）÷15
=90÷15
=6
所以知識大門的密碼■△■是868。
故選：A。
【跟蹤訓練2】（2024秋 鹿城區(qū)期末）哥哥有8張畫片，將哥哥的畫片數(shù)乘4再加上6的結果就是弟弟的畫片數(shù)，弟弟給哥哥（　　）張畫片后，弟弟的畫片就比哥哥的畫片少2張。
A．14 B．15 C．16 D．17
【答案】C
【分析】用哥哥的畫片數(shù)乘4再加上6求出弟弟原來的畫片數(shù)，無論誰給誰畫片，兩個人畫片的總張數(shù)是不變的，將兩個人的畫片張數(shù)相加求出總張數(shù)，再減去少的兩張，后除以2就是弟弟現(xiàn)在的張數(shù)，再用弟弟原來的張數(shù)減去弟弟現(xiàn)在的張數(shù)。
【解答】解：8×4+6=38（張）
38+8=46（張）
46-2=44（張）
44÷2=22（張）
38-22=16（張）
答：弟弟給哥哥16張畫片后，弟弟的畫片就比哥哥的畫片少2張。
故選：C。
【跟蹤訓練3】（2024秋 灞橋區(qū)期末）食堂叔叔用小推車為各班配送酸奶。給三年級送去小推車上酸奶的一半，給四年級送去剩下的一半，此時小推車上還剩下8盒。原來小推車上的酸奶一共有 ______盒。
【分析】用剩下的8盒乘2計算四年級分之前的盒數(shù)，再乘2計算三年級分之前的盒數(shù)即可。
【解答】解：8×2×2
=16×2
=32（盒）
答：原來小推車上的酸奶一共有32盒。
故答案為：32。
【跟蹤訓練4】（2024春 北侖區(qū)校級期中）倉庫里有一批糧食，第一天運出全部糧食的一半多10噸，第二天又運出余下的一半多10噸，這時倉庫還剩下40噸，倉庫里原來有糧食 ______噸。
【分析】根據(jù)逆推法計算每次運之前的噸數(shù)即可。
【解答】解：[（40+10）×2+10]×2
=[100+10]×2
=110×2
=220（噸）
答：倉庫里原來有糧食220噸。
故答案為：220。
【跟蹤訓練5】（2025春 興化市期中）學校舉辦圖書捐贈活動，小林整理自己的藏書準備捐贈。他先將圖書平均分成4堆，打算把其中三堆分別捐贈給三個貧困地區(qū)的學校。然后，他把剩下的那一堆圖書又平均分成3份，拿出兩份送給了學校圖書館，這時他自己還剩下40本書。小林原來整理的藏書一共多少本？
【答案】4800本。
【分析】他把剩下的那一堆圖書又平均分成3份，拿出兩份送給了學校圖書館，這時他自己還剩下40本書。這40本相當于1份的數(shù)量，然后乘3求出每堆的本數(shù)，再乘4即可。
【解答】解：40×3×4
=120×4
=480（本）
答：小林原來整理的藏書一共480本。
【跟蹤訓練6】（2025 重慶模擬）幼兒園將一批水果分給大、中、小和小托四個班，先將全部水果的再減去千克給大班；再把余下的加上千克給中班；又把余下的一半給小班；最后把剩下的一半加上千克給小托班，這時幼兒園還剩6千克水果，則這批水果有多少千克？
【答案】52千克。
【分析】利用逆推法，用6千克加上千克，再乘2，計算分給小托班前剩余的質(zhì)量；再乘2，計算分給小班之前的質(zhì)量；再加上千克后除以（1-），就是分給中班前的質(zhì)量；最后減去千克后，再除以（1-），就是這批水果的質(zhì)量。
【解答】解：{[（6+）×2×2]÷（1-）-}÷（1-）
={[6.5×4+]÷-}÷
={26.5}
=
=52（千克）
答：這批水果有52千克。
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