資源簡介

第8講 典型應用題（二）
1、植樹問題 2
2、方陣問題 6
3、年齡問題 10
4、雞兔同籠 13
熱點考點 考查頻率 考點難度
植樹問題 ★★ ★★★
方陣問題 ★★ ★★★
年齡問題 ★★ ★★★
雞兔同籠 ★★★ ★★★
【考情分析】典型應用題是小升初數學考試的核心模塊，占比約 30%~40%，主要考查學生 閱讀理解能力、數學建模能力、邏輯分析能力 以及 計算準確性。題目涉及 生活場景、經濟問題、行程問題、工程問題、比例問題 等，難度中等偏上，是區分學生數學能力的關鍵題型。
植樹問題
為使其更直觀，用圖示法來說明．樹用點來表示，植樹的沿線用線來表示，這樣就把植樹問題轉化為一條非封閉或封閉的線上的“點數”與相鄰兩點間的線的段數之間的關系問題．
一、在線段上的植樹問題可以分為以下三種情形．
1、如果植樹線路的兩端都要植樹，那么植樹的棵數應比要分的段數多1，即：棵數=間隔數+1．
2、如果植樹線路只有一端要植樹，那么植樹的棵數和要分的段數相等，即：棵數=間隔數．
3、如果植樹線路的兩端都不植樹，那么植樹的棵數比要分的段數少1，即：棵數=間隔數-1．
4、如果植樹路線的兩邊與兩端都植樹，那么植樹的棵數應比要分的段數多1，再乘二，即：棵樹=段數+1再乘二．
二、在封閉線路上植樹，棵數與段數相等，即：棵數=間隔數．
三、在正方形線路上植樹，如果每個頂點都要植樹．則棵數=（每邊的棵數-1）×邊數．
1 非封閉線路上的植樹問題主要可分為以下三種情形：
（1）如果在非封閉線路的兩端都要植樹，那么：
株數=段數+1=全長÷株距+1
全長=株距×（株數-1）
株距=全長÷（株數-1）
（2）如果在非封閉線路的一端要植樹，另一端不要植樹，那么：
株數=段數=全長÷株距
全長=株距×株數
株距=全長÷株數．
例1：
例1：楊老師從一樓辦公室到教室上課，每走一層樓有24級臺階，一共走了72級臺階，楊老師到______樓教室上課？
【分析】把樓層與樓層之間的24個臺階看做1個間隔；先求得一共走過了幾個間隔：72÷24=3，一樓沒有臺階，所以楊老師走到了1+3=4樓．
解：72÷24+1
=3+1
=4（樓）
【解答】楊老師去4樓上課．
故答案為：4．
【點評】因為1樓沒有臺階，所以樓層數=1+間隔數．
例2：有48輛彩車排成一列．每輛彩車長4米，彩車之間相隔6米．這列彩車共長多少米？
【分析】根據題意，可以求出車與車的間隔數是48-1=47（個），那么所有的彩車之間的距離和是：47×6=282（米），因為每輛彩車長4米，所有的車長度和是：4×48=192（米），把這兩個數加起來就是這列彩車的長度．
【解答】車與車的間隔數是：48-1=47（個），
彩車之間的距離和是：47×6=282（米），
所有的車長度和是：4×48=192（米），
這列彩車共長：282+192=474（米）．
答：這列彩車共長474米．
【點評】根據題意，按照植樹問題求出彩車的長，因為每輛彩車還有車長，還要加上所有彩車的車身長，才是這列彩車的總長．
【跟蹤訓練1】（2024秋 岳麓區期末）小區花園是一個長60米，寬40米的長方形，現在要在花園的四周栽樹，四個角都要栽，每相鄰兩棵間隔5米．一共要栽（　　）棵．
A．20 B．36 C．40 D．44
【答案】C
【分析】根據長方形的周長公式：C=（a+b）×2，求出它的周長，再除以它的間隔距離5米即可，據此解答。
【解答】解：花園的周長是：
（60+40）×2
=100×2
=200（米）
四周可以栽樹：
200÷5=40（棵）
答：一共要栽40棵。
故選：C。
【跟蹤訓練2】（2024秋 寧鄉市期末）一根木頭長8米，要把它平均鋸成4段，每鋸下一段需要5分鐘，鋸完一共要（　　）分鐘。
A．20 B．40 C．15 D．25
E．10
【答案】C
【分析】根據題意，要把木頭鋸成4段，需要鋸的次數：4-1=3（次），然后根據鋸一次所用時間，求一共用的時間即可。
【解答】解：5×（4-1）
=5×3
=15（分鐘）
答：鋸完一共要15分鐘。
故選：C。
【跟蹤訓練3】（2025春 懷遠縣期中）公路一旁，每隔5m栽一棵樹，玲玲從第1棵樹跑到第260棵樹時，跑了 ______m。
【答案】1295。
【分析】此題是典型的植樹問題，玲玲從第1棵樹跑到第260棵樹，相當于植樹問題中的兩端都栽的情況：間隔數=植樹棵數-1；由此即可求得玲玲跑過的間隔數為：260-1=259，每個間隔的距離是5米，由此即可求得玲玲跑的路程。
【解答】解：（260-1）×5
=259×5
=1295（m）
答：跑了1295m。
故答案為：1295。
【跟蹤訓練4】（2025 金水區模擬）佳佳鋸木頭，他用12分鐘把一根樹干鋸成了4段，如果保持工作效率不變，要把每段木頭再鋸成兩段，還需要 ______分鐘。
【答案】16。
【分析】把一根木頭鋸成4段，實際上只需要鋸4-1=3（下），所以鋸一次需要12÷3=4（分鐘），現在要求把每段木頭再鋸成兩段，也就是還需要鋸4次，則還需要：4×4=16（分鐘）；據此解答即可。
【解答】解：12÷（4-1）×4
=12÷3×4
=16（分鐘）
答：還需要16分鐘。
故答案為：16。
【跟蹤訓練5】（2025春 邢臺期中）小明沿著馬路散步，馬路一邊均勻地豎立著電線桿，每相鄰兩根之間都是50米。小明從第一根電線桿走到第二十根電線桿處時，他走夠1千米了嗎？
【答案】沒有。
【分析】題目中告訴我們每相鄰兩根電線桿之間的距離是50米，小明從第一根電線桿走到第二十根電線桿。因此，小明走的總距離是19段電線桿的距離，每段距離是50米。用乘法求出小明走的距離，然后將小明走的總距離與1千米進行比較。
【解答】解：（20-1）×50
=19×50
=950（米）
1千米=1000米
950米＜1000米
答：他沒有走夠1千米。
【跟蹤訓練6】（2024秋 海寧市期末）如圖，學校在路的一邊每隔9米種了一棵樹，一共種了8棵。第一棵樹與最后一棵樹相距多少米？
【答案】63米。
【分析】先用8減1求出間隔數，間隔數乘間隔距離即可求出第一棵樹與最后一棵樹相距多少米。
【解答】解：（8-1）×9
=7×9
=63（米）
答：第一棵樹與最后一棵樹相距63米。
方陣問題
將若干人或物依一定條件排成正方形（簡稱方陣），根據已知條件求總人數或總物數，這類問題就叫做方陣問題．
數量關系：
（1）方陣每邊人數與四周人數的關系：
四周人數=（每邊人數-1）×4
每邊人數=四周人數÷4+1
（2）方陣總人數的求法：
實心方陣：總人數=每邊人數×每邊人數
空心方陣：總人數=（外邊人數）2-（內邊人數）2
內邊人數=外邊人數-層數×2
（3）若將空心方陣分成四個相等的矩形計算，則：
總人數=（每邊人數-層數）×層數×4．
例1：
例1：四年級共選49位同學參加校運會開幕式，他們排成一個方陣．這個方陣的最外層一共有多少人？
【分析】先根據方陣總人數=每邊人數×每邊人數，求出這個方陣的每邊人數，再利用方陣最外層四周人數=每邊人數×4-4計算出最外層四周人數即可．
【解答】因為7×7=49，所以49人組成的方陣的每邊人數是7人，
7×4-4，
=28-4，
=24（人）；
答：這個方陣的最外層有24人．
【點評】此題考查了方陣問題中：總點數=每邊點數×每邊點數；最外層四周點數=每邊點數×4-4的靈活應用．
【跟蹤訓練1】（2024秋 南安市期末）上體育課時，老師讓二年（1）班同學排成方陣。天天發現，不管前后左右怎么數，他都是第4個，二年（1）班有（　　）名同學。
A．16 B．25 C．36 D．49
【答案】D
【分析】不管前后左右怎么數，他都是第4個，那么每行每列都有4+4-1=7（人），然后根據“總點數=每邊點數×每邊點數”解答即可。
【解答】解：4+4-1=7（名）
7×7=49（名）
答：二年（1）班有49名同學。
故選：D。
【跟蹤訓練2】（2024秋 鹿城區期末）會操表演時，二年級的同學排成了一個正方形隊伍，無論是從前往后數還是從后往前數，貝貝都排在第4個，這個方陣一共有（　　）個人。
A．36 B．49 C．64 D．81
【答案】B
【分析】從前面數，貝貝排在第4個，從后面數，也排在第4個，說明都包括他自己，所以用4加上4求出和，再減去貝貝自己1人求出每行每列的人數，再用乘法解答即可。
【解答】解：4+4-1
=8-1
=7（人）
7×7=49（人）
答：這個方陣一共有49個人。
故選：B。
【跟蹤訓練3】（2025春 亭湖區期中）為了慶祝節日，中心廣場用雞冠花擺成一個方陣，最外圈是黃色雞冠花，其余的是紅色雞冠花。紅色雞冠花有16盆，黃色雞冠花有______盆。
【答案】20。
【分析】如圖，
正方形方陣的里面全部都是紅色的雞冠花，且紅色雞冠花的陣型也為正方形，根據紅色雞冠花的數量，可知紅色方陣共4行4列，而最外圈均是黃色的雞冠花，所以整個花壇方陣為6行6列，求出整個花壇共有的雞冠花盆數，再減去紅色的雞冠花盆數，即可求得黃色的雞冠花盆數。
【解答】解：4×4=16（盆）
4+1+1=6（盆）
6×6-16
=36-16
=20（盆）
答：黃色的雞冠花有20盆。
故答案為：20。
【跟蹤訓練4】（2024秋 陽泉期末）有一個正方形的操場，每邊都按7盞路燈，如果四個角上都要按一盞路燈，四邊一共按 ______盞路燈。
【答案】24。
【分析】根據方陣每邊盞數與四周盞數的關系：四周盞數=（每邊盞數-1）×4，代入數據即可解答。
【解答】解：（7-1）×4=24（盞）
答：四邊一共按24盞路燈。
故答案為：24。
【跟蹤訓練5】（2025春 江寧區期中）為了慶祝體育藝術節，學校“啦啦操社團”的學生共排成6個方陣，每個方陣排成4行，每行4人。最外圈是男生，其余的是女生。“啦啦操社團”中男生和女生各多少人？（先畫圖表示1個方陣的學生，再解答）
【答案】
男生有72人，女生有24人。
【分析】先根據“每邊點數×4-4”求出每個方陣男生的人數，再求出女生的人數，最后分別乘6即可。
【解答】解：作圖如下：
4×4-4=12（人）
2×2=4（人）
12×6=72（人）
4×6=24（人）
答：男生有72人，女生有24人。
【跟蹤訓練6】（2025 北碚區）儀仗隊原計劃64名少先隊員手持彩旗，在彩車周圍排成一個每邊二層的方陣，后來決定在方陣外面再增加一層，成為三層方陣，求需要增加多少名學生？
【答案】44名。
【分析】64=8×8，每相鄰的兩層相差8人，原來最外層人數=（原計劃人數+兩層相差人數）÷2，再增加一層時，此時最外層人數=原來最外層人數+每相鄰的兩層相差人數，由此解答本題。
【解答】解：64=8×8，每相鄰的兩層相差8人，
（64+8）÷2
=72÷2
=36（名）
36+8=44（名）
答：需要增加44名學生。
年齡問題
年齡問題的三個基本特征：
①兩個人的年齡差是不變的；
②兩個人的年齡是同時增加或者同時減少的；
③兩個人的年齡的倍數是發生變化的；
解題規律：抓住年齡差是個不變的數（常數），而倍數卻是每年都在變化的這個關鍵．
解答年齡問題的一般方法是：
幾年后年齡=大小年齡差÷倍數差-小年齡
幾年前年齡=小年齡-大小年齡差÷倍數差．
例1：
例1：兒子今年6歲，父親10年前的年齡等于兒子20年后的年齡．當父親的年齡恰好是兒子年齡的2倍時是在公元哪一年？
【分析】根據題意，可知兒子20年后是6+20=26歲，父親今年26+10=36歲．根據年齡增長是一樣的，找出等量關系列出方程解答即可．
【解答】兒子20年后是6+20=26歲，父親今年26+10=36歲．
設x年后，父親的年齡恰好是兒子年齡的2倍．由題意得
36+x=2（x+6）
36+x=2x+12
x=24
由今年是公元2011年，則2011+24=2035，
故當父親的年齡恰好是兒子年齡的2倍時是公元2035年．
【點評】本題主要是考查年齡問題，首先要把題意弄清，再根據等量關系列出方程解答即可．
【跟蹤訓練1】（2024秋 鹿城區期末）李老師與平平的年齡和是43歲，3年后李老師和平平的年齡和是（　　）歲。
A．46 B．49 C．40 D．37
【答案】B
【分析】依據題意可知，3年后李老師增加3歲，平平增加3歲，所以兩人的年齡和等于現在兩人的年齡和加（3+3）歲，由此解答本題。
【解答】解：43+3+3=49（歲）
答：3年后李老師和平平的年齡和是49歲。
故選：B。
【跟蹤訓練2】（2024秋 哈爾濱期末）小強今年5歲，爸爸的年齡是他的7倍，明年爸爸的年齡是小強的（　　）倍。
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【分析】根據求一個數的幾倍是多少，用乘法計算，求出小強爸爸今年的年齡，明年父子倆每人都比今年大一歲，根據求一個數是另一個數的幾倍，用除法計算。用爸爸明年的年齡除以小強明年的年齡即可。
【解答】解：5×7=35（歲）
（35+1）÷（5+1）
=36÷6
=6
答：明年爸爸的年齡是小強的6倍。
故選：B。
【跟蹤訓練3】（2025 黃埔區）小紅與哥哥相差幾歲不知道，但是知道當哥哥是今年小紅年齡時，小紅只有3歲，而當小紅到了哥哥今年的年齡時，哥哥24歲，則小紅今年 ______歲。
【答案】10。
【分析】根據題意，當哥哥是今年小紅年齡時，小紅只有3歲，而當小紅到了哥哥今年的年齡時，哥哥24歲，即哥哥和小紅的年齡差的3倍為（24-3）歲，用（24-3）除以3求出兄妹的年齡差，年齡差加3即是小紅今年的年齡。
【解答】解：（24-3）÷3+3
=21÷3+3
=7+3
=10（歲）
答：小紅今年10歲。
故答案為：10。
【跟蹤訓練4】（2024秋 南安市期末）奇思的爸爸今年32歲，爺爺比爸爸大27歲，爺爺今年 ______歲；爸爸的歲數是奇思的4倍，奇思今年 ______歲。
【答案】59；8。
【分析】根據求比一個數大幾的數，用加法計算，用爸爸的年齡加上爺爺比爸爸大的歲數即可求出爺爺的年齡；求一個數是另一個數的幾倍中的另一個數，用除法計算。
【解答】解：32+27=59（歲）
32÷4=8（歲）
答：爺爺今年59歲；奇思今年8歲。
故答案為：59；8。
【跟蹤訓練5】（2024秋 鷹手營子礦區期末）爺爺今年64歲。小紅的年齡是爺爺的，爸爸的年齡是小紅的4倍。小紅和爸爸各是多少歲？
【分析】根據題意，利用爺爺的年齡×即可求出小紅的年齡，再利用小紅的年齡×4就是爸爸的年齡，據此解答。
【解答】解：64×=8（歲）
8×4=32（歲）
答：小紅8歲，爸爸32歲。
【跟蹤訓練6】（2024秋 蕉嶺縣期中）小紅和媽媽的年齡加在一起是40歲，媽媽年齡是小紅年齡的4倍，小紅和媽媽分別有多少歲？
【答案】小紅8歲，媽媽32歲。
【分析】我們把小紅的年齡作為“1”，“媽媽的年齡是小紅年齡的4倍”，這樣小紅和媽媽年齡的和就相當于小紅年齡的（4+1）倍，也可以理解為5份是40歲，那么求出1倍是多少，即是小紅的年齡，再求媽媽的年齡。
【解答】解：4+1=5
40÷5=8（歲）
8×4=32（歲）
答：小紅有8歲，媽媽有32歲。
雞兔同籠
方法：假設法，方程法，抬腿法，列表法
公式1：（兔的腳數×總只數-總腳數）÷（兔的腳數-雞的腳數）=雞的只數； 總只數-雞的只數=兔的只數
公式2：（ 總腳數-雞的腳數×總只數）÷（兔的腳數-雞的腳數）=兔的只數； 總只數-兔的只數=雞的只數
公式3：總腳數÷2-總頭數=兔的只數； 總只數-兔的只數=雞的只數
公式4：雞的只數=（4×雞兔總只數-雞兔總腳數）÷2； 兔的只數=雞兔總只數-雞的只數
公式5：兔總只數=（雞兔總腳數-2×雞兔總只數）÷2； 雞的只數=雞兔總只數-兔總只數
公式6：（頭數x4-實際腳數）÷2=雞
公式7：4×+2（總數-x）=總腳數 （x=兔，總數-x=雞數，用于方程）
公式8：雞的只數：兔的只數=兔的腳數-（總腳數÷總只數）：（總腳數÷總只數）-雞的腳數．
例1：
例1：雞兔同籠，雞兔共35個頭，94只腳，問雞兔各有多少只？
【分析】假設全部是兔子，有35×4=140只腳，已知比假設少了：140-94=46只，一只雞比一只兔子少（4-2）只腳，所以雞有：46÷（4-2）=23只；兔子有：35-23=12只．
【解答】雞：（35×4-94）÷（4-2），
=46÷2，
=23（只）；
兔子：35-23=12（只）；
答：雞有23只，兔子有12只．
【點評】此題屬于典型的雞兔同籠問題，解答此類題的關鍵是用假設設法進行分析比較，進而得出結論；也可以用方程，設其中的一個數為未知數，另一個數也用未知數表示，列出方程解答即可．
例2：班主任王老師，在期末用50元買了2.5元和1.5元的水筆共30支，準備作為優秀作業的獎品．那么2.5元和1.5元的水彩筆各多少支？
【分析】假設30支全是2.5元的水筆，則用30×2.5=75元，這樣就多75-50=25元；用25÷（2.5-1.5）=25支得出1.5元的水筆支數，進而得出2.5元的水筆數量．
【解答】1.5元的水筆數量：
25÷（2.5-1.5）
=25÷1
=25（支），
30-25=5（支），
答：2.5元的水彩筆5支，1.5元的水彩筆25支．
【點評】此題屬于雞兔同籠問題，解這類題的關鍵是用假設法進行分析，進而得出結論；也可以用方程進行解答．
【跟蹤訓練1】（2024秋 南安市期末）投壺是我國古代的一種投擲游戲。星光小學舉行投壺比賽，規定：投入壺口得2分，投入壺耳得3分。笑笑一共投進14支箭，總分30分，有（　　）支箭投入壺口。
A．2 B．10 C．12 D．15
【答案】C
【分析】假設都投中壺耳，利用實際得分與計算得分的差，除以每投中壺口和壺耳得分的差，計算投中壺口的支數即可。
【解答】解：（3×14-30）÷（3-2）
=12÷1
=12（支）
答：有12支投入壺口。
故選：C。
【跟蹤訓練2】（2024秋 巢湖市期末）組裝車間要裝配兩輪摩托車和三輪摩托車共21輛，需要51個輪胎，兩輪摩托車和三輪摩托車的輛數分別是（　　）
A．12和9 B．8和13 C．10和11 D．7和14
【答案】A
【分析】假設都是三輪摩托車，利用計算的輪子數與實際輪子數的差，除以每輛三輪和兩輪的差，求兩輪摩托車的輛數，再求三輪摩托車的輛數。
【解答】解：（21×3-51）÷（3-2）
=（63-51）÷1
=12（輛）
21-12=9（輛）
答：兩輪摩托車有12輛，三輪摩托車有9輛。
故選：A。
【跟蹤訓練3】（2025春 南京期中）樂樂玩拋硬幣游戲，規則是將一枚硬幣拋起，落下后，若正面朝上，則向前走5步；若背面朝上，則后退3步。樂樂一共拋了16次，結果向前走了32步，硬幣有 ______次正面朝上。
【答案】10。
【分析】假設全部正面朝上，則一共向前走（16×5）步，比實際多走了（16×5-32）步，這多走的步數是把反面朝上看成正面朝上，每走一步多算了（5+3）步，用一共多走的步數除以每走一步多算的步數，就是反面朝上的次數，用總次數減去反面朝上的次數就是正面朝上的次數。
【解答】解：假設全部正面朝上。
（16×5-32）÷（5+3）
=（80-32）÷8
=48÷8
=6（次）
16-6=10（次）
答：硬幣有10次正面朝上。
故答案為：10。
【跟蹤訓練4】（2024秋 沙河口區期末）學校有象棋和跳棋共25副，正好可供82個學生同時進行活動，2人下一副象棋，6人下一副跳棋，象棋和跳棋各有幾副？妙想在用列表法解決這道題的過程中，發現：每增加一副跳棋，減少一副象棋，參加活動的總人數就 ______人，象棋有 ______副，跳棋有 ______副。
【答案】增加4人；17；8。
【分析】假設都是跳棋，則可以讓25×6=150（人）同時進行活動，已知比假設少了：150-82=68（人），每增加一副跳棋，減少一副象棋，參加活動的總人數就增加6-2=4（人），則象棋有：68÷4=17（副），跳棋有：25-17=8（副）；據此解答即可。
【解答】解：每增加一副跳棋，減少一副象棋，參加活動的總人數就增加6-2=4（人）；
25×6=150（人）
150-82=68（人）
象棋：68÷4=17（副）
跳棋：25-17=8（副）
答：每增加一副跳棋，減少一副象棋，參加活動的總人數就增加4人，象棋有17副，跳棋有8副。
故答案為：增加4人；17；8。
【跟蹤訓練5】（2024秋 西安期末）2024年是新中國成立75周年，西安市某小學舉行了以“禮贊新中國，放歌新時代”為主題的歌詠比賽。比賽分單人獨唱和雙人合唱，共有18組，30名學生參加比賽，單人獨唱和雙人合唱各有多少組？
【答案】6組，12組。
【分析】假設18組都是雙人合唱，那么參加比賽的學生有（18×2）名，比實際參加比賽的學生多（18×2-30）名，每組單人獨唱比每組雙人合唱少（2-1）名學生，用比實際多的學生人數除以每組單人獨唱比每組雙人合唱少的學生人數，即可求出單人獨唱的組數，用總組數減去單人獨唱的組數，即可求出雙人合唱的組數。
【解答】解：單人獨唱：（18×2-30）÷（2-1）
=（36-30）÷1
=6÷1
=6（組）
雙人合唱：18-6=12（組）
答：單人獨唱有6組，雙人合唱有12組。
【跟蹤訓練6】（2025春 江陰市期中）一個游樂場的門票有兩種，兒童票售價40元/張，成人票售價60元/張。王老師購買了7張門票，一共用去380元，兩種票各買了多少張？
【答案】成人票5張，兒童票2張。
【分析】假設王老師買的都是兒童票，則一共花了40×7=280（元），比實際少花了380-280=100（元），是因為每張兒童票比成人票便宜60-40=20（元），用比實際少花的錢數除以每張兒童票比成人票便宜的錢數即可求出成人票的張數，進而求出兒童票的張數。
【解答】解：40×7=280（元）
380-280=100（元）
60-40=20（元）
100÷20=5（張）
7-5=2（張）
答：王老師成人票買了5張，兒童票買了2張。
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21世紀教育網(www.21cnjy.com)第8講 典型應用題（二）
1、植樹問題 2
2、方陣問題 5
3、年齡問題 7
4、雞兔同籠 9
熱點考點 考查頻率 考點難度
植樹問題 ★★ ★★★
方陣問題 ★★ ★★★
年齡問題 ★★ ★★★
雞兔同籠 ★★★ ★★★
【考情分析】典型應用題是小升初數學考試的核心模塊，占比約 30%~40%，主要考查學生 閱讀理解能力、數學建模能力、邏輯分析能力 以及 計算準確性。題目涉及 生活場景、經濟問題、行程問題、工程問題、比例問題 等，難度中等偏上，是區分學生數學能力的關鍵題型。
植樹問題
為使其更直觀，用圖示法來說明．樹用點來表示，植樹的沿線用線來表示，這樣就把植樹問題轉化為一條非封閉或封閉的線上的“點數”與相鄰兩點間的線的段數之間的關系問題．
一、在線段上的植樹問題可以分為以下三種情形．
1、如果植樹線路的兩端都要植樹，那么植樹的棵數應比要分的段數多1，即：棵數=間隔數+1．
2、如果植樹線路只有一端要植樹，那么植樹的棵數和要分的段數相等，即：棵數=間隔數．
3、如果植樹線路的兩端都不植樹，那么植樹的棵數比要分的段數少1，即：棵數=間隔數-1．
4、如果植樹路線的兩邊與兩端都植樹，那么植樹的棵數應比要分的段數多1，再乘二，即：棵樹=段數+1再乘二．
二、在封閉線路上植樹，棵數與段數相等，即：棵數=間隔數．
三、在正方形線路上植樹，如果每個頂點都要植樹．則棵數=（每邊的棵數-1）×邊數．
1 非封閉線路上的植樹問題主要可分為以下三種情形：
（1）如果在非封閉線路的兩端都要植樹，那么：
株數=段數+1=全長÷株距+1
全長=株距×（株數-1）
株距=全長÷（株數-1）
（2）如果在非封閉線路的一端要植樹，另一端不要植樹，那么：
株數=段數=全長÷株距
全長=株距×株數
株距=全長÷株數．
例1：
例1：楊老師從一樓辦公室到教室上課，每走一層樓有24級臺階，一共走了72級臺階，楊老師到______樓教室上課？
【分析】把樓層與樓層之間的24個臺階看做1個間隔；先求得一共走過了幾個間隔：72÷24=3，一樓沒有臺階，所以楊老師走到了1+3=4樓．
解：72÷24+1
=3+1
=4（樓）
【解答】楊老師去4樓上課．
故答案為：4．
【點評】因為1樓沒有臺階，所以樓層數=1+間隔數．
例2：有48輛彩車排成一列．每輛彩車長4米，彩車之間相隔6米．這列彩車共長多少米？
【分析】根據題意，可以求出車與車的間隔數是48-1=47（個），那么所有的彩車之間的距離和是：47×6=282（米），因為每輛彩車長4米，所有的車長度和是：4×48=192（米），把這兩個數加起來就是這列彩車的長度．
【解答】車與車的間隔數是：48-1=47（個），
彩車之間的距離和是：47×6=282（米），
所有的車長度和是：4×48=192（米），
這列彩車共長：282+192=474（米）．
答：這列彩車共長474米．
【點評】根據題意，按照植樹問題求出彩車的長，因為每輛彩車還有車長，還要加上所有彩車的車身長，才是這列彩車的總長．
【跟蹤訓練1】（2024秋 岳麓區期末）小區花園是一個長60米，寬40米的長方形，現在要在花園的四周栽樹，四個角都要栽，每相鄰兩棵間隔5米．一共要栽（　　）棵．
A．20 B．36 C．40 D．44
【跟蹤訓練2】（2024秋 寧鄉市期末）一根木頭長8米，要把它平均鋸成4段，每鋸下一段需要5分鐘，鋸完一共要（　　）分鐘。
A．20 B．40 C．15 D．25
【跟蹤訓練3】（2025春 懷遠縣期中）公路一旁，每隔5m栽一棵樹，玲玲從第1棵樹跑到第260棵樹時，跑了 ______m。
【跟蹤訓練4】（2025 金水區模擬）佳佳鋸木頭，他用12分鐘把一根樹干鋸成了4段，如果保持工作效率不變，要把每段木頭再鋸成兩段，還需要 ______分鐘。
【跟蹤訓練5】（2025春 邢臺期中）小明沿著馬路散步，馬路一邊均勻地豎立著電線桿，每相鄰兩根之間都是50米。小明從第一根電線桿走到第二十根電線桿處時，他走夠1千米了嗎？
【跟蹤訓練6】（2024秋 海寧市期末）如圖，學校在路的一邊每隔9米種了一棵樹，一共種了8棵。第一棵樹與最后一棵樹相距多少米？
方陣問題
將若干人或物依一定條件排成正方形（簡稱方陣），根據已知條件求總人數或總物數，這類問題就叫做方陣問題．
數量關系：
（1）方陣每邊人數與四周人數的關系：
四周人數=（每邊人數-1）×4
每邊人數=四周人數÷4+1
（2）方陣總人數的求法：
實心方陣：總人數=每邊人數×每邊人數
空心方陣：總人數=（外邊人數）2-（內邊人數）2
內邊人數=外邊人數-層數×2
（3）若將空心方陣分成四個相等的矩形計算，則：
總人數=（每邊人數-層數）×層數×4．
例1：
例1：四年級共選49位同學參加校運會開幕式，他們排成一個方陣．這個方陣的最外層一共有多少人？
【分析】先根據方陣總人數=每邊人數×每邊人數，求出這個方陣的每邊人數，再利用方陣最外層四周人數=每邊人數×4-4計算出最外層四周人數即可．
【解答】因為7×7=49，所以49人組成的方陣的每邊人數是7人，
7×4-4，
=28-4，
=24（人）；
答：這個方陣的最外層有24人．
【點評】此題考查了方陣問題中：總點數=每邊點數×每邊點數；最外層四周點數=每邊點數×4-4的靈活應用．
【跟蹤訓練1】（2024秋 南安市期末）上體育課時，老師讓二年（1）班同學排成方陣。天天發現，不管前后左右怎么數，他都是第4個，二年（1）班有（　　）名同學。
A．16 B．25 C．36 D．49
【跟蹤訓練2】（2024秋 鹿城區期末）會操表演時，二年級的同學排成了一個正方形隊伍，無論是從前往后數還是從后往前數，貝貝都排在第4個，這個方陣一共有（　　）個人。
A．36 B．49 C．64 D．81
【跟蹤訓練3】（2025春 亭湖區期中）為了慶祝節日，中心廣場用雞冠花擺成一個方陣，最外圈是黃色雞冠花，其余的是紅色雞冠花。紅色雞冠花有16盆，黃色雞冠花有______盆。
【跟蹤訓練4】（2024秋 陽泉期末）有一個正方形的操場，每邊都按7盞路燈，如果四個角上都要按一盞路燈，四邊一共按 ______盞路燈。
【跟蹤訓練5】（2025春 江寧區期中）為了慶祝體育藝術節，學校“啦啦操社團”的學生共排成6個方陣，每個方陣排成4行，每行4人。最外圈是男生，其余的是女生。“啦啦操社團”中男生和女生各多少人？（先畫圖表示1個方陣的學生，再解答）
【跟蹤訓練6】（2025 北碚區）儀仗隊原計劃64名少先隊員手持彩旗，在彩車周圍排成一個每邊二層的方陣，后來決定在方陣外面再增加一層，成為三層方陣，求需要增加多少名學生？
年齡問題
年齡問題的三個基本特征：
①兩個人的年齡差是不變的；
②兩個人的年齡是同時增加或者同時減少的；
③兩個人的年齡的倍數是發生變化的；
解題規律：抓住年齡差是個不變的數（常數），而倍數卻是每年都在變化的這個關鍵．
解答年齡問題的一般方法是：
幾年后年齡=大小年齡差÷倍數差-小年齡
幾年前年齡=小年齡-大小年齡差÷倍數差．
例1：
例1：兒子今年6歲，父親10年前的年齡等于兒子20年后的年齡．當父親的年齡恰好是兒子年齡的2倍時是在公元哪一年？
【分析】根據題意，可知兒子20年后是6+20=26歲，父親今年26+10=36歲．根據年齡增長是一樣的，找出等量關系列出方程解答即可．
【解答】兒子20年后是6+20=26歲，父親今年26+10=36歲．
設x年后，父親的年齡恰好是兒子年齡的2倍．由題意得
36+x=2（x+6）
36+x=2x+12
x=24
由今年是公元2011年，則2011+24=2035，
故當父親的年齡恰好是兒子年齡的2倍時是公元2035年．
【點評】本題主要是考查年齡問題，首先要把題意弄清，再根據等量關系列出方程解答即可．
【跟蹤訓練1】（2024秋 鹿城區期末）李老師與平平的年齡和是43歲，3年后李老師和平平的年齡和是（　　）歲。
A．46 B．49 C．40 D．37
【跟蹤訓練2】（2024秋 哈爾濱期末）小強今年5歲，爸爸的年齡是他的7倍，明年爸爸的年齡是小強的（　　）倍。
A．5 B．6 C．7 D．8
【跟蹤訓練3】（2025 黃埔區）小紅與哥哥相差幾歲不知道，但是知道當哥哥是今年小紅年齡時，小紅只有3歲，而當小紅到了哥哥今年的年齡時，哥哥24歲，則小紅今年 ______歲。
【跟蹤訓練4】（2024秋 南安市期末）奇思的爸爸今年32歲，爺爺比爸爸大27歲，爺爺今年 ______歲；爸爸的歲數是奇思的4倍，奇思今年 ______歲。
【跟蹤訓練5】（2024秋 鷹手營子礦區期末）爺爺今年64歲。小紅的年齡是爺爺的，爸爸的年齡是小紅的4倍。小紅和爸爸各是多少歲？
【跟蹤訓練6】（2024秋 蕉嶺縣期中）小紅和媽媽的年齡加在一起是40歲，媽媽年齡是小紅年齡的4倍，小紅和媽媽分別有多少歲？
雞兔同籠
方法：假設法，方程法，抬腿法，列表法
公式1：（兔的腳數×總只數-總腳數）÷（兔的腳數-雞的腳數）=雞的只數； 總只數-雞的只數=兔的只數
公式2：（ 總腳數-雞的腳數×總只數）÷（兔的腳數-雞的腳數）=兔的只數； 總只數-兔的只數=雞的只數
公式3：總腳數÷2-總頭數=兔的只數； 總只數-兔的只數=雞的只數
公式4：雞的只數=（4×雞兔總只數-雞兔總腳數）÷2； 兔的只數=雞兔總只數-雞的只數
公式5：兔總只數=（雞兔總腳數-2×雞兔總只數）÷2； 雞的只數=雞兔總只數-兔總只數
公式6：（頭數x4-實際腳數）÷2=雞
公式7：4×+2（總數-x）=總腳數 （x=兔，總數-x=雞數，用于方程）
公式8：雞的只數：兔的只數=兔的腳數-（總腳數÷總只數）：（總腳數÷總只數）-雞的腳數．
例1：
例1：雞兔同籠，雞兔共35個頭，94只腳，問雞兔各有多少只？
【分析】假設全部是兔子，有35×4=140只腳，已知比假設少了：140-94=46只，一只雞比一只兔子少（4-2）只腳，所以雞有：46÷（4-2）=23只；兔子有：35-23=12只．
【解答】雞：（35×4-94）÷（4-2），
=46÷2，
=23（只）；
兔子：35-23=12（只）；
答：雞有23只，兔子有12只．
【點評】此題屬于典型的雞兔同籠問題，解答此類題的關鍵是用假設設法進行分析比較，進而得出結論；也可以用方程，設其中的一個數為未知數，另一個數也用未知數表示，列出方程解答即可．
例2：班主任王老師，在期末用50元買了2.5元和1.5元的水筆共30支，準備作為優秀作業的獎品．那么2.5元和1.5元的水彩筆各多少支？
【分析】假設30支全是2.5元的水筆，則用30×2.5=75元，這樣就多75-50=25元；用25÷（2.5-1.5）=25支得出1.5元的水筆支數，進而得出2.5元的水筆數量．
【解答】1.5元的水筆數量：
25÷（2.5-1.5）
=25÷1
=25（支），
30-25=5（支），
答：2.5元的水彩筆5支，1.5元的水彩筆25支．
【點評】此題屬于雞兔同籠問題，解這類題的關鍵是用假設法進行分析，進而得出結論；也可以用方程進行解答．
【跟蹤訓練1】（2024秋 南安市期末）投壺是我國古代的一種投擲游戲。星光小學舉行投壺比賽，規定：投入壺口得2分，投入壺耳得3分。笑笑一共投進14支箭，總分30分，有（　　）支箭投入壺口。
A．2 B．10 C．12 D．15
【跟蹤訓練2】（2024秋 巢湖市期末）組裝車間要裝配兩輪摩托車和三輪摩托車共21輛，需要51個輪胎，兩輪摩托車和三輪摩托車的輛數分別是（　　）
A．12和9 B．8和13 C．10和11 D．7和14
【跟蹤訓練3】（2025春 南京期中）樂樂玩拋硬幣游戲，規則是將一枚硬幣拋起，落下后，若正面朝上，則向前走5步；若背面朝上，則后退3步。樂樂一共拋了16次，結果向前走了32步，硬幣有 ______次正面朝上。
故答案為：10。
【跟蹤訓練4】（2024秋 沙河口區期末）學校有象棋和跳棋共25副，正好可供82個學生同時進行活動，2人下一副象棋，6人下一副跳棋，象棋和跳棋各有幾副？妙想在用列表法解決這道題的過程中，發現：每增加一副跳棋，減少一副象棋，參加活動的總人數就 ______人，象棋有 ______副，跳棋有 ______副。
【跟蹤訓練5】（2024秋 西安期末）2024年是新中國成立75周年，西安市某小學舉行了以“禮贊新中國，放歌新時代”為主題的歌詠比賽。比賽分單人獨唱和雙人合唱，共有18組，30名學生參加比賽，單人獨唱和雙人合唱各有多少組？
【跟蹤訓練6】（2025春 江陰市期中）一個游樂場的門票有兩種，兒童票售價40元/張，成人票售價60元/張。王老師購買了7張門票，一共用去380元，兩種票各買了多少張？
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