資源簡介

人教版初中數學八年級下冊
第十九章 一次函數
19.3 課題學習 選擇方案 教學設計
一、內容和內容解析
內容
本節(jié)課是人教版《義務教育教科書·數學》八年級下冊第十九章“一次函數”中的“19.3 課題學習 選擇方案”。主要內容包括：通過實際情境（如上網收費、租車方案等）建立一次函數模型，分析變量之間的關系，利用函數性質解決最優(yōu)方案選擇問題，涉及分段函數的表示、函數圖像的比較、不等式與方程的應用。
內容解析
本節(jié)課是在學生學習了一次函數的概念、圖像和性質的基礎上，進一步應用函數模型解決實際決策問題。通過分析不同方案的成本、時間等變量，引導學生將實際問題轉化為數學問題，利用函數比較大小、求交點等方法確定最優(yōu)解。這不僅是函數知識的綜合應用，也為后續(xù)學習線性規(guī)劃、決策分析等奠定基礎，同時培養(yǎng)學生的數學建模能力和優(yōu)化意識。
二、目標和目標解析
目標
能根據實際問題中的變量關系建立一次函數模型，特別是分段函數。
通過比較函數值、分析函數圖像，掌握方案優(yōu)劣的判斷方法。
綜合運用方程、不等式和函數性質解決多變量優(yōu)化問題。
目標解析
學生通過分析“上網收費” “租車方案”等實際案例，經歷“問題抽象→建立模型→求解驗證→決策優(yōu)化”的過程，提升將生活問題數學化的能力。在解決多變量問題時，學會選取關鍵自變量，用函數描述約束條件，形成通過數學工具優(yōu)化現實決策的思維模式，為高中學習線性規(guī)劃和更復雜的優(yōu)化問題積累經驗。
三、教學問題診斷分析
模型建立困難：學生難以從復雜實際背景中抽象出變量關系，尤其對分段函數的定義理解模糊。
多變量分析能力弱：面對多個約束條件（如費用限額、人數要求）時，無法有效整合信息建立函數關系。
應用能力不足：在比較函數圖像、求交點時易混淆自變量范圍，導致方案選擇錯誤。
四、教學過程設計
（一）情景引入
問題1
某家庭需安裝寬帶，現有三種套餐：
套餐A：月費30元，包25小時，超時每分鐘0.05元；
套餐B：月費50元，包50小時，超時每分鐘0.05元；
套餐C：月費120元，不限時。
若小明每月上網時間不定，應如何選擇最省錢？
問題2
若小明上月上網35小時，分別計算三種套餐的費用，并初步判斷哪種可能最省。
問題3
能否用數學方法描述不同上網時間 （小時）與費用 （元）的關系？
設計意圖：
通過生活實例激發(fā)興趣，引導學生從定性判斷轉向定量分析，初步感知函數建模的必要性，對應目標1中的模型建立能力。
（二）合作探究1
探究1
以套餐A為例，分析費用 與時間 的關系：
當 時，；
當 時，超時部分每分鐘0.05元（即每小時3元），故 。
追問：
能否將分段關系合并為一個表達式？
答：
（三）鞏固練習1
寫出套餐B的函數解析式。
答案：
知識點：分段函數定義。
套餐C的函數解析式是什么？
答案：（常函數）。
（四）合作探究2
探究2
在同一坐標系中繪制 的圖像（描述關鍵點）：
：過點 ，，；
：過點 ，，；
：水平線 。
猜想：
通過圖像交點判斷最優(yōu)區(qū)間。
驗證：
解方程求交點：
時： →
時： →
時： →
結論：
時，A最省；
時，B最省；
時，C最省。
設計意圖：
通過圖像直觀和代數求解雙驗證，強化數形結合思想，提升目標2中的函數分析能力。
（五）典例分析
例1
某學校組織234名學生和6名教師出游，租車費用不超過2300元。車輛信息：
甲種客車：載客45人/輛，租金400元/輛；
乙種客車：載客30人/輛，租金280元/輛。
每輛車需至少1名教師。求最省錢的租車方案。
解：
確定車輛數 ：
總人數240人，每車至少1名教師（共6名），故 （因 ）。
結合教師約束，取 （若 或 ，教師不足）。
建立函數：
設租甲種客車 輛，則乙種客車為 輛。
載客約束： → ；
費用函數：；
費用限額： → 。
綜上， 取整數4或5。
比較方案：
：元；
：元。
故選甲種4輛、乙種2輛最省錢。
設計意圖：
綜合函數、不等式、整數解的應用，訓練目標3中的多變量優(yōu)化能力。
（六）鞏固練習
練習1
某健身房收費方案：
方案A：會員費100元/月，每次5元；
方案B：會員費150元/月，每次3元。
每月鍛煉多少次時方案B更優(yōu)惠？
答案：
設次數 ，解 → 。
知識點：函數比較與不等式。
練習2
打印店收費：
方案A：每頁0.1元，無底費；
方案B：月費10元，每頁0.05元。
每月打印多少頁時方案B更省？
答案：
解 → 。
練習3
運輸公司租車方案：
大車：載重10噸，運費800元/輛；
小車：載重6噸，運費500元/輛。
現需運62噸貨物，如何租車最省錢？
答案：
設大車 輛，小車 輛，則：
枚舉得 時 元最優(yōu)。
設計意圖：
分層訓練函數建模能力，強化實際問題中的約束整合能力。
（七）歸納總結
問題類型 關鍵步驟 數學工具
單變量方案比較 1. 分段函數定義 2. 求交點 分段函數、方程
多變量約束優(yōu)化 1. 確定變量范圍 2. 目標函數 不等式組、一次函數
（八）感受中考
(2023·北京)
某快遞公司收費：首重10元（1kg內），續(xù)重2元/kg。若包裹重 kg（），費用 元為（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：分段函數模型。
(2024·浙江)
公園門票方案：
A：成人票40元，兒童票20元；
B：團體票（≥5人）一律30元。
2名成人帶3名兒童，選哪種方案省錢？
答案：A方案 元，B方案 元，選A。
(2022·江蘇)
某市階梯電價：月用電≤200度，0.5元/度；>200度部分0.8元/度。小明家某月電費158元，求用電量。
答案：
設用電 度，則：
解得 度。
(2023·四川)
公司采購筆記本，甲店買10送1，單價30元；乙店滿100減15元。買55本至少花多少錢？
答案：
甲店：需買50本（送5本），花 元；
乙店：元。
故選乙店。
設計意圖：
通過中考真題練習，明確考試方向，熟悉題型，檢驗學習成果，提升應考能力。
（九）小結梳理
知識模塊 核心思想 關聯(lián)應用
分段函數建模 分類討論 階梯收費、快遞運費
函數圖像比較 數形結合 方案優(yōu)劣區(qū)間分析
多目標優(yōu)化 約束條件整合 資源分配、成本最小化
（十）布置作業(yè)
必做題
教材習題19.3第1題（上網收費方案變式）。
某影院會員卡：A卡年費100元，購票6折；B卡無年費，購票8折。若每年觀影 次，票均價40元，分析如何選擇。
選做題
某旅行社推出兩種優(yōu)惠：
方案A：成人全價2000元，兒童半價；
方案B：4人以上團體，每人1400元。
現有3名成人、2名兒童，如何購票最省？若增加1名成人，方案是否變化？
五、教學反思
（課后填寫）

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