資源簡介

17.2 勾股定理的逆定理 教學(xué)設(shè)計(jì)
一、內(nèi)容和內(nèi)容解析
內(nèi)容
本節(jié)課是人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》八年級(jí)下冊(cè)第十七章“勾股定理”17.2節(jié)“勾股定理的逆定理”，主要內(nèi)容包括：理解互逆命題的概念，探索勾股定理逆定理的證明方法，掌握利用三邊數(shù)量關(guān)系判定直角三角形的方法，認(rèn)識(shí)勾股數(shù)及其性質(zhì)。
內(nèi)容解析
學(xué)生已掌握勾股定理（若三角形是直角三角形，則三邊滿足 ）。本節(jié)課從古埃及用繩子畫直角的實(shí)際問題出發(fā)，提出其逆命題（若三邊滿足 ，則該三角形是直角三角形），通過構(gòu)造全等三角形完成定理證明，建立幾何與代數(shù)的邏輯關(guān)聯(lián)。逆定理是判定直角三角形的核心工具，在測(cè)量、航海、工程等領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用，并為后續(xù)學(xué)習(xí)四邊形、相似形奠定推理基礎(chǔ)。
二、目標(biāo)和目標(biāo)解析
目標(biāo)
通過生活實(shí)例抽象出逆命題猜想，發(fā)展數(shù)學(xué)建模能力；
經(jīng)歷“猜想→構(gòu)造→證明”的過程，掌握勾股定理逆定理的演繹推理方法，提升邏輯推理能力；
運(yùn)用逆定理解決方位判斷、幾何計(jì)算等實(shí)際問題，強(qiáng)化應(yīng)用意識(shí)；
通過探究勾股數(shù)的性質(zhì)，感悟從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想。
目標(biāo)解析
學(xué)生需從實(shí)際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型，理解互逆命題的邏輯關(guān)系；通過動(dòng)手作圖、代數(shù)運(yùn)算與幾何證明的結(jié)合，體會(huì)數(shù)形統(tǒng)一性；在解決航海方位問題時(shí)，能將距離計(jì)算轉(zhuǎn)化為三邊關(guān)系分析，培養(yǎng)空間觀念；對(duì)勾股數(shù)倍數(shù)性質(zhì)的探究，為后續(xù)學(xué)習(xí)數(shù)的整除性埋下伏筆。
三、教學(xué)問題診斷分析
邏輯關(guān)系混淆：學(xué)生易將原定理與逆定理的條件結(jié)論顛倒，例如誤認(rèn)為“若 ，則不是直角三角形”；
證明思路障礙：構(gòu)造輔助三角形需逆向思維，部分學(xué)生難以想到通過拼接直角三角形驗(yàn)證全等；
實(shí)際應(yīng)用脫節(jié)：在方位問題中，難以將距離數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為三角形三邊關(guān)系模型；
勾股數(shù)理解片面：易忽略“正整數(shù)”前提，或認(rèn)為非整數(shù)比的三邊不能構(gòu)成直角三角形。
四、教學(xué)過程設(shè)計(jì)
（一）情景引入
問題1 古埃及人用打結(jié)的繩子畫直角：繩上等距13結(jié)，以3結(jié)、4結(jié)、5結(jié)為邊長圍成三角形，則夾角為直角。為什么這種方法可行？
問題2 三邊長分別為2.5 cm、6 cm、6.5 cm的三角形，滿足 ，它是直角三角形嗎？
問題3 若三角形三邊滿足 ，能否斷定它是直角三角形？
設(shè)計(jì)意圖
通過歷史文化背景激發(fā)興趣，引導(dǎo)學(xué)生從特殊數(shù)值猜想一般規(guī)律，體會(huì)由具體到抽象的數(shù)學(xué)思想，對(duì)應(yīng)目標(biāo)1的建模能力培養(yǎng)。
（二）合作探究1
探究1 觀察下列命題：
命題1（勾股定理）：若△ABC是直角三角形（∠C=90°），則 。
命題2：若△ABC滿足 ，則∠C=90°。
兩者條件與結(jié)論有何關(guān)系？
答：命題2的條件是命題1的結(jié)論，命題2的結(jié)論是命題1的條件。這樣的兩個(gè)命題互為逆命題。
追問：命題“對(duì)頂角相等”的逆命題是什么？它成立嗎？
答：逆命題為“相等的角是對(duì)頂角”，不成立（反例：等腰三角形底角）。
（三）鞏固練習(xí)1
命題“同位角相等，兩直線平行”的逆命題是________________，它______（成立/不成立）。
答：兩直線平行，同位角相等；成立。
命題“若 ，則 ”的逆命題是________________，它______（成立/不成立）。
答：若 ，則 ；不成立（反例：)。
（四）合作探究2
探究2 如何證明命題2（勾股定理的逆定理）？
已知：△ABC中，（c為最長邊）；
求證：∠C=90°。
猜想：通過構(gòu)造直角三角形驗(yàn)證全等。
驗(yàn)證：
步驟1：作Rt△ABC，使∠C°，BC=a，AC=b；
步驟2：由勾股定理，AB = a + b ；
步驟3：由已知 ，得AB=c；
步驟4：在△ABC與△ABC中，BC=BC=a，AC=AC=b，AB=AB=c，
∴ △ABC ≌ △ABC（SSS），
∴ ∠C=∠C°。
結(jié)論：勾股定理的逆定理成立。
設(shè)計(jì)意圖
通過構(gòu)造法將代數(shù)條件轉(zhuǎn)化為幾何直觀，滲透數(shù)形結(jié)合思想，突破證明難點(diǎn)；全等推理過程強(qiáng)化嚴(yán)謹(jǐn)邏輯，對(duì)應(yīng)目標(biāo)2的能力提升。
（五）典例分析
例1 判斷由線段組成的三角形是否為直角三角形：
(1) a=15, b=8, c=17；
(2) a=13, b=14, c=15。
解：
(1) ∵ ，
，
∴ ，
∴ 是直角三角形（最長邊c對(duì)角為直角）。
(2) ∵ ，
，
∴ ，
∴ 不是直角三角形。
知識(shí)點(diǎn)：先比較三邊大小，計(jì)算較小兩邊的平方和是否等于最大邊的平方。
設(shè)計(jì)意圖
通過正反例題辨析定理?xiàng)l件，強(qiáng)調(diào)“最長邊對(duì)角為直角”這一隱含結(jié)論，強(qiáng)化計(jì)算規(guī)范，對(duì)應(yīng)目標(biāo)3的應(yīng)用能力。
（六）鞏固練習(xí)
下列各組數(shù)能否作為直角三角形的三邊？
(1) 9, 12, 15
(2) 7, 24, 25
(3) 5, 6, 7
答：
(1) ，能；
(2) ，能；
(3) ，不能。
一艘船以16 n mile/h的速度向東北方向航行，另一艘以12 n mile/h的速度同時(shí)出發(fā)。1.5小時(shí)后，兩船相距30 n mile。求第二艘船的航行方向。
解：
第一艘船行程：16 × 1.5 = 24 n mile；
第二艘船行程：12 × 1.5 = 18 n mile；
兩船距離：30 n mile。
∵ ，
∴ 兩船連線與第一艘船航向夾角為90°。
∵ 東北方向?yàn)?5°，
∴ 第二艘船航向?yàn)槲鞅狈较颍?5° + 90° = 135°，即西偏北45°）。
在△ABC中，AB=13，BC=10，BC邊中線AD=12，求AC。
解：
BD=DC=5（中線性質(zhì)）；
△ABD中：，，
∴ △ABD為直角三角形（∠ADB=90°）；
△ADC中，AD=12，DC=5，
。
設(shè)計(jì)意圖
分層設(shè)置基礎(chǔ)題、實(shí)際應(yīng)用題、綜合題，鞏固定理應(yīng)用；航海問題培養(yǎng)空間建模能力，中線問題滲透轉(zhuǎn)化思想，對(duì)應(yīng)目標(biāo)3、4。
（七）歸納總結(jié)
核心概念 定義/定理 關(guān)鍵點(diǎn)
互逆命題 若原命題為“若P則Q”，則逆命題為“若Q則P” 逆命題不一定成立
勾股定理逆定理 若 ，則∠C=90° 最長邊c對(duì)角為直角
勾股數(shù) 滿足 的正整數(shù)組 例：3k, 4k, 5k (k∈N)
（八）感受中考
(2023·江蘇) △ABC三邊a,b,c滿足 ，則△ABC是（ ）
A. 銳角三角形 B. 直角三角形 C. 鈍角三角形 D. 等腰三角形
答：B（由非負(fù)性得a=5,b=12,c=13，滿足 ）
(2024·浙江) 已知點(diǎn)A(1,2), B(4,6), C(0,5)，則△ABC的形狀是（ ）
A. 銳角三角形 B. 直角三角形 C. 鈍角三角形
解：
，
，
，
∵ ，
∴ 鈍角三角形（∠C為鈍角）。
(2022·北京) 四邊形ABCD中，AB=3, BC=4, CD=12, DA=13, ∠B=90°，則四邊形面積為______。
解：
連接AC，則 ；
△ACD中，，
∴ ∠ACD=90°；
面積 = S△ABC + S△ACD = 。
(2023·福建) 若n為正整數(shù)，且三邊n, n+1, n+2能構(gòu)成直角三角形，則n=______。
解：
∵ n+2為最大邊，
∴ 需滿足 ，
解得 ，
，
（舍負(fù)）。
設(shè)計(jì)意圖：在學(xué)習(xí)完知識(shí)后加入中考真題練習(xí)，不僅可以幫助學(xué)生明確考試方向，熟悉考試題型，檢驗(yàn)學(xué)習(xí)成果，提升應(yīng)考能力，還可以提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和動(dòng)力。
（九）小結(jié)梳理
知識(shí)模塊 思維方法 應(yīng)用方向
互逆命題 邏輯關(guān)系辨析 命題真?zhèn)闻袛?br/>逆定理證明 構(gòu)造全等三角形 幾何推理能力訓(xùn)練
直角三角形判定 計(jì)算平方和并比較 測(cè)量、方位問題
勾股數(shù)性質(zhì) 從特殊到一般的歸納 整數(shù)解問題
（十）布置作業(yè)
必做題
教材習(xí)題17.2第1題：判斷是否為直角三角形
(1) a=7,b=24,c=25 → 是（）
(2) a=40,b=50,c=60 → 否（）
教材習(xí)題17.2第3題：小明向東80m后走60m，再走100m回原點(diǎn)。求第二次行走方向。
解：
三邊為60,80,100，滿足 ，
第一次向東，第二次需向南或北走60m。
選做題
探索勾股數(shù)規(guī)律：
(1) 觀察3k,4k,5k（k為正整數(shù)）是否恒為勾股數(shù)？
答：是，∵ 。
(2) 若a,b,c是勾股數(shù)，則ak,bk,ck（k∈N）是否恒為勾股數(shù)？
答：是，∵ 。
在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(0,4), B(2,0)，在x軸上找點(diǎn)C，使△ABC為直角三角形。
解析：
分類討論：∠A=90°時(shí)，C(-2,0)；∠B=90°時(shí)，C(2,0)（舍）；∠C=90°時(shí)，C(x,0)滿足 ，解得 或 （舍）。
五、教學(xué)反思
（課后根據(jù)實(shí)際教學(xué)情況填寫）

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