資源簡介

北師大版初中數學七年級下冊
第一章 整式的乘除 第1節 冪的運算
一、內容和內容解析
1. 內容
本節課選自北師大版《義務教育教科書·數學》七年級下冊第一章“整式的乘除”第1節“冪的運算”，主要內容包括：同底數冪的乘法（）、冪的乘方（）、積的乘方（）及同底數冪的除法（（））的運算法則，并引入零指數冪（）和負整數指數冪（）的概念。
2. 內容解析
冪的運算是整式乘除的基礎，貫穿后續因式分解、分式運算等核心內容。學生已在小學學習過乘方意義，七年級上冊掌握了整式概念，本節課通過實際問題（如天體距離計算、細胞分裂）抽象出冪的運算模型，從具體數字運算歸納一般法則，再通過邏輯推理驗證法則的普適性，培養學生從特殊到一般的數學思想，發展運算能力、推理能力和應用意識，為分式、函數等知識奠定基礎。
二、目標和目標解析
1. 目標
(1) 經歷從具體實例抽象冪的運算法則的過程，理解同底數冪乘法、冪的乘方、積的乘方及同底數冪除法的運算規則。
(2) 能運用法則進行冪的運算，解決實際問題（如科學記數法表示微觀或宏觀量）。
(3) 通過歸納、推理和驗證，發展邏輯推理能力和數學建模思想。
2. 目標解析
達成目標(1)后，學生能準確區分不同運算類型（如 與 ），并依據法則正確計算；目標(2)強調應用能力，例如將地球體積計算、細菌分裂問題轉化為冪的運算；目標(3)通過探究法則的推導過程（如幾何畫板驗證動態規律），提升推理嚴謹性和數學語言表達能力，為后續學習整式乘除提供思維工具。
三、教學問題診斷分析
混淆運算法則：學生易將同底數冪乘法（指數相加）與冪的乘方（指數相乘）混淆。
負指數理解困難：對 的抽象性認知不足，難以聯系實際意義（如納米單位轉換）。
符號處理錯誤：含負號的冪運算（如 ）易忽略底數符號對結果的影響。
復雜運算步驟遺漏：多步驟混合運算（如 ）易漏算或順序錯誤。
四、教學過程設計
(一) 情景引入
問題1 光速約為 m/s，比鄰星發出的光到達地球需4.22年。若1年約 秒，如何計算比鄰星與地球的距離？
問題2 計算 時，能否直接得到結果？觀察 、 的規律，猜想 的值。
問題3 若地球半徑約 km，如何用球的體積公式 計算地球體積？
設計意圖：
通過天文距離、地球體積等真實問題，激發興趣并引出冪的運算需求。引導學生從數字運算歸納一般法則，培養數學建模能力（對應目標(1)(2)）。
教學實施建議：展示比鄰星圖片（語言描述：夜空中最接近太陽系的恒星），動態演示地球繞太陽公轉與自轉的簡化模型。
(二) 合作探究1
探究1 計算下列各式，說明理由：
(1)
(2)
(3)
追問：若 （ 為正整數），結果如何表示？為什么？
學生活動：
計算：(1) ；(2) ；(3) 。
歸納：（同底數冪相乘，底數不變，指數相加）。
(三) 鞏固練習1
計算：
(1)
(2)
細菌每分鐘分裂成2個，5分鐘后數量為 個。若繼續分裂 分鐘，總數是多少？
答： 個。
(四) 合作探究2
探究2 計算并說明理由：
(1)
(2)
(3)
猜想：
驗證：幾何畫板演示正方體體積模型（棱長 ，體積 ）。
探究3 證明 （ 為正整數）。
證明：
個個個個
結論：冪的乘方，底數不變，指數相乘。
設計意圖：
通過幾何模型（如正方體體積）將抽象運算可視化，強化對指數相乘的理解；演繹證明培養邏輯推理能力（對應目標(3)）。
(五) 典例分析
例1 計算：
(1)
(2)
(3)
解：
(1)
(2)
(3)
設計意圖：
通過符號運算強化積的乘方法則 ，為復雜整式運算奠基（對應目標(1)(2)）。
(六) 鞏固練習
計算：
(1)
(2)
地球半徑 km，體積 。求 ：
滅菌劑問題：1升液體含 個細菌，1滴滅菌劑殺 個細菌。需多少滴？
滴數（滴）滴數（滴）
設計意圖：
綜合應用冪的乘方、積的乘方解決實際問題，提升運算能力和建模思想（對應目標(2)）。
(七) 歸納總結
運算類型 運算法則 示例
同底數冪乘法
冪的乘方
積的乘方
同底數冪除法
(八) 感受中考
(2023·江蘇) 計算 的結果是（ ）
A. B. C. D.
答案：A（解析：）
(2024·浙江) 若 ，，則 （ ）
A. 12 B. 18 C. 36 D. 54
答案：B（解析：）
(2022·北京) 用科學記數法表示0.0000256為（ ）
A. B. C. D.
答案：A
(2023·廣東) 計算：。
解：
設計意圖：在學習完知識后加入中考真題練習，不僅可以幫助學生明確考試方向，熟悉考試題型，檢驗學習成果，提升應考能力，還可以提升學生的學習興趣和動力。
(九) 小結梳理
知識模塊 核心思想 聯系與應用
同底數冪乘法 指數相加 大數運算（如天體距離）
冪的乘方與積的乘方 指數相乘、分配律 幾何體積公式（如地球體積）
同底數冪除法 指數相減 微觀數量計算（如細菌分裂、滅菌劑）
零與負指數冪 ， 科學記數法表示微小量
(十) 布置作業
必做題：
計算：
(1)
(2)
(3) （）
若 ，，求 。
解：。
選做題：
觀察規律：
思考：當 時， 如何用冪表示？
芯片問題：某芯片面積74.13 mm ，集成69億個晶體管，平均每個晶體管所占面積（用科學記數法表示，保留兩位小數）。
解：
五、教學反思
（課后填寫）

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