資源簡介

北師大版初中數(shù)學(xué)七年級下冊
第六章 變量之間的關(guān)系 6.2 用表格表示變量之間的關(guān)系 教學(xué)設(shè)計(jì)
一、內(nèi)容和內(nèi)容解析
1. 內(nèi)容
本節(jié)課選自北師大版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》七年級下冊第六章“變量之間的關(guān)系”第2節(jié)，主要內(nèi)容包括：通過具體實(shí)例理解自變量與因變量的概念，學(xué)會用表格表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系，能根據(jù)表格數(shù)據(jù)描述變量間的變化趨勢，并運(yùn)用表格解決實(shí)際問題（如預(yù)測、決策）。
2. 內(nèi)容解析
學(xué)生在小學(xué)已接觸過簡單數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)與描述，本節(jié)在此基礎(chǔ)上系統(tǒng)學(xué)習(xí)變量關(guān)系的表格表示法。表格是描述變量間依賴關(guān)系的直觀工具，為后續(xù)學(xué)習(xí)函數(shù)圖象、表達(dá)式奠定基礎(chǔ)。通過分析GDP增長、施肥量與產(chǎn)量等真實(shí)案例，學(xué)生能體會變量關(guān)系的普遍性，發(fā)展數(shù)據(jù)分析和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，培養(yǎng)從具體情境中抽象數(shù)學(xué)關(guān)系的核心能力。
二、目標(biāo)和目標(biāo)解析
1. 目標(biāo)
(1) 結(jié)合生活實(shí)例識別自變量與因變量，會用表格整理變量數(shù)據(jù)；
(2) 通過分析表格數(shù)據(jù)，歸納變量間的變化規(guī)律（如遞增/遞減、線性/非線性）；
(3) 根據(jù)表格數(shù)據(jù)進(jìn)行合理預(yù)測，解決實(shí)際問題，發(fā)展應(yīng)用意識。
2. 目標(biāo)解析
達(dá)成目標(biāo)(1)后，學(xué)生能從“反應(yīng)時間測試” “GDP變化”等案例中準(zhǔn)確提取變量，并規(guī)范制表；目標(biāo)(2)要求能計(jì)算相鄰數(shù)據(jù)的差值，描述變化特點(diǎn)（如“每增加1cm，反應(yīng)時間約增加0.008s”）；目標(biāo)(3)體現(xiàn)在能依據(jù)表格預(yù)測未知數(shù)據(jù)（如估計(jì)5500m海拔的含氧量），體會數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，為八年級學(xué)習(xí)函數(shù)概念積累經(jīng)驗(yàn)。
三、教學(xué)問題診斷分析
變量識別困難：部分學(xué)生難以區(qū)分自變量（主動變化的量）與因變量（被動跟隨的量），如混淆“氮肥用量”與“土豆產(chǎn)量”的主從關(guān)系；
規(guī)律描述籠統(tǒng)：分析數(shù)據(jù)時易泛化結(jié)論（如僅說“變大” “變小”），忽略精確量化（如單位變化率）；
預(yù)測缺乏依據(jù)：根據(jù)表格外推數(shù)據(jù)時，可能忽略變化趨勢的穩(wěn)定性（如老花鏡度數(shù)是否與距離成反比）。
教學(xué)難點(diǎn)：從表格中提取有效信息進(jìn)行科學(xué)預(yù)測。
四、教學(xué)過程設(shè)計(jì)
（一）情景引入
問題1 測試反應(yīng)時間時，記錄不同反應(yīng)距離對應(yīng)的反應(yīng)時間如下表：
反應(yīng)距離/cm 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
反應(yīng)時間/s 0.101 0.111 0.120 0.128 0.136 0.143 0.150 0.156 0.163 0.169 0.175
(1) 反應(yīng)距離為10cm時，反應(yīng)時間是多少？
(2) 反應(yīng)距離越大，反應(yīng)時間如何變化？
問題2 2016-2022年我國GDP數(shù)據(jù)如下：
年份 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022
GDP/萬億元 75 83 92 99 101 115 120
(1) 隨著年份增加，GDP呈現(xiàn)什么趨勢？
(2) 2020年到2021年GDP增長了多少？
問題3 在土豆種植實(shí)驗(yàn)中，氮肥施用量與產(chǎn)量關(guān)系如下：
氮肥用量/kg 0 34 67 101 135 202 259 336 404 471
土豆產(chǎn)量/t 15.18 21.36 25.72 32.29 34.03 39.45 43.15 43.46 40.83 30.75
(1) 不施氮肥時產(chǎn)量是多少？施101kg時呢？
(2) 產(chǎn)量隨氮肥用量如何變化？
設(shè)計(jì)意圖：通過生活、經(jīng)濟(jì)、農(nóng)業(yè)三領(lǐng)域案例，激活學(xué)生經(jīng)驗(yàn)，感知變量關(guān)系的普遍性。問題鏈引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注數(shù)據(jù)對應(yīng)關(guān)系（目標(biāo)1），為定義自變量、因變量做鋪墊。
（二）合作探究1
探究1 分析GDP表格：
問：表格中哪個量主動變化？哪個量隨之變化？
答：年份主動變化（自變量），GDP隨之變化（因變量）。
追問：2016-2022年GDP年均增長量相同嗎？計(jì)算相鄰年份差值。
計(jì)算：
2017-2016：83-75=8（萬億元）
2022-2021：120-115=5（萬億元）
結(jié)論：增長量不同，非均勻變化。
（三）鞏固練習(xí)1
反應(yīng)時間表中，自變量是______，因變量是______。
答案：反應(yīng)距離；反應(yīng)時間。
土豆產(chǎn)量表中，氮肥用量從202kg增至259kg，產(chǎn)量增加______t。
計(jì)算：43.15-39.45=3.7t → 答案：3.7
（四）合作探究2
探究2 分析反應(yīng)時間表：
問：反應(yīng)距離每增加1cm，反應(yīng)時間增加量相同嗎？
計(jì)算：
6cm→7cm：0.120-0.111=0.009s
14cm→15cm：0.175-0.169=0.006s
結(jié)論：增加量不同。
猜想：反應(yīng)時間隨距離增長而變慢（非線性）。
驗(yàn)證：計(jì)算單位距離的平均時間增量：
探究3 老花鏡度數(shù)表：
度數(shù)D/度 100 120 200 250 300
距離f/m 1.0 0.8 0.5 0.4 0.3
問：D與f有何關(guān)系？
計(jì)算乘積：100×1.0=100，120×0.8=96，200×0.5=100 → 近似常數(shù)。
證明猜想： → （反比關(guān)系）。
設(shè)計(jì)意圖：通過計(jì)算差值、乘積，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)線性與非線性變化（目標(biāo)2），用數(shù)學(xué)推理驗(yàn)證生活經(jīng)驗(yàn)（目標(biāo)3），培養(yǎng)量化分析能力。
（五）典例分析
例1 海拔與空氣含氧量關(guān)系表：
海拔/m 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000
含氧量/(g/m ) 299.30 265.50 234.80 209.63 182.08 159.71 141.69 123.16 105.97
(1) 自變量是______，因變量是______。
(2) 海拔4000m處含氧量是多少？
(3) 估計(jì)海拔5500m處的含氧量。
解：
(1) 自變量：海拔，因變量：含氧量。
(2) 查表：4000m對應(yīng)182.08 g/m 。
(3) 預(yù)測：
5000m→159.71 g/m ，6000m→141.69 g/m
每1000m減少量：159.71-141.69=18.02 g/m
5500m在5000m與6000m之間，按比例估算：
設(shè)計(jì)意圖：綜合運(yùn)用變量識別、數(shù)據(jù)提取、趨勢分析技能（目標(biāo)1,2），通過插值法預(yù)測未知數(shù)據(jù)（目標(biāo)3），強(qiáng)化應(yīng)用能力。
（六）鞏固練習(xí)
私人轎車保有量表：
年份 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022
保有量/萬輛 5308 6410 7590 8793 10152 11416 12589 13701 14674 15732 16685
(1) 描述保有量隨時間的變化趨勢。
答：逐年遞增，2012-2016年增長較快（年均增1211萬輛），2020年后增長放緩（年均增1009萬輛）。
嬰兒體重表（出生體重3.5kg）：
年齡 出生 6個月 1周歲 2周歲 6周歲 10周歲
體重/kg 3.5 7.0 10.5 14.0 21.0 31.5
(1) 自變量是______，因變量是______。
(2) 6周歲體重是1周歲的______倍。
答：(1) 年齡，體重；(2) 21.0 ÷ 10.5 = 2。
海拔5500m含氧量預(yù)測（參考例1）：
答：約150.70 g/m （計(jì)算過程同例1）。
設(shè)計(jì)意圖：分層練習(xí)鞏固變量識別（題1）、數(shù)據(jù)計(jì)算（題2）、趨勢預(yù)測（題3）能力，覆蓋全部目標(biāo)。
（七）歸納總結(jié)
核心概念 要點(diǎn)描述 實(shí)例
自變量 主動變化的量 反應(yīng)距離、年份、海拔
因變量 隨自變量變化的量 反應(yīng)時間、GDP、含氧量
表格作用 直觀展示變量對應(yīng)關(guān)系 所有案例表
變化規(guī)律 線性（均勻變化）/非線性（非均勻） GDP增長非線性
預(yù)測方法 插值法、趨勢外推法 海拔5500m含氧量估算
（八）感受中考
(2023·江蘇) 某地溫度隨時間變化如下表：
時間/h 0 2 4 6 8
溫度/℃ 10 14 18 22 26
則溫度與時間的關(guān)系是（ ）
A. 溫度隨時間增加而降低
B. 時間每增加2h，溫度升高4℃
C. 溫度為20℃時，時間為5h
D. 兩者無關(guān)聯(lián)
答案：B
(2024·浙江) 水箱水位隨放水時間變化如下：
時間/min 0 1 2 3 4
水位/cm 30 28 26 24 22
放水10min后，水位為______cm。
解析：每分鐘下降2cm → 10min下降20cm → 30-20=10cm → 答案：10
(2022·廣東) 植物生長高度記錄：
天數(shù)/d 7 14 21 28
高度/cm 5.0 8.4 11.8 15.2
估計(jì)35天時植物高度為______cm。
解析：每7天增長3.4cm → 35天比28天多7天 → 15.2+3.4=18.6cm → 答案：18.6
(2023·四川) 汽車油箱剩余油量表：
行駛里程/km 0 50 100 150
剩余油量/L 60 54 48 42
該車每千米耗油______L。
解析：每50km耗油6L → 每千米耗油0.12L → 答案：0.12
設(shè)計(jì)意圖：在學(xué)習(xí)完知識后加入中考真題練習(xí)，不僅可以幫助學(xué)生明確考試方向，熟悉考試題型，檢驗(yàn)學(xué)習(xí)成果，提升應(yīng)考能力，還可以提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和動力。
（九）小結(jié)梳理
知識模塊 能力要求 思想方法
變量識別 區(qū)分自變量與因變量 抽象概括
表格讀取 提取數(shù)據(jù)、計(jì)算差值 數(shù)據(jù)分析
變化趨勢描述 判斷線性/非線性 歸納推理
數(shù)據(jù)預(yù)測 插值法、趨勢外推法 模型思想
（十）布置作業(yè)
必做題：
教材P152《知識技能》第1題（私人轎車保有量制表及趨勢描述）。
教材P153《問題解決》第4題（海拔5500m含氧量預(yù)測）。
選做題：
3. 設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)記錄家中每日用電量與氣溫，制作表格：
(1) 指出自變量與因變量；
(2) 分析氣溫每升高1℃，用電量變化趨勢；
(3) 預(yù)測30℃時的用電量。
五、教學(xué)反思
（課后手寫填寫）

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