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6.3 用關系式表示變量之間的關系 教學設計  2024-2025學年北師大版數學七年級下冊

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6.3 用關系式表示變量之間的關系 教學設計  2024-2025學年北師大版數學七年級下冊

資源簡介

北師大版初中數學七年級下冊
第六章 變量之間的關系
3 用關系式表示變量之間的關系 教學設計
一、內容和內容解析
1. 內容
本節課是北師大版《義務教育教科書·數學》七年級下冊第六章“變量之間的關系”第3節“用關系式表示變量之間的關系”,主要內容包括:通過具體實例(三角形面積變化、圓錐體積變化、低碳生活碳排放計算)理解變量間的依賴關系,掌握用關系式表示變量間關系的方法,并能根據關系式計算因變量的值。
2. 內容解析
學生在小學已接觸過簡單變量關系(如行程問題),本章進一步系統學習變量間的對應關系。本節課的核心是引導學生從具體情境中抽象出變量間的數量關系,并用關系式(如 、)進行數學表達。關系式是函數概念的雛形,為后續學習一次函數、反比例函數奠定基礎,同時培養學生數學建模和抽象思維能力。
二、目標和目標解析
1. 目標
(1) 通過分析實際問題,識別自變量與因變量,理解變量間的依賴關系。
(2) 經歷從表格、語言描述到關系式的抽象過程,掌握用關系式表示變量間關系的方法。
(3) 能根據關系式計算因變量的值,解決實際問題(如碳排放計算、幾何體積問題)。
2. 目標解析
達成目標(1)的標志是學生能從情境中準確指出自變量和因變量(如“底邊長 變化引起面積 變化”);達成目標(2)的標志是學生能獨立寫出變量關系式(如三角形面積 );達成目標(3)的標志是能正確代入自變量的值求出因變量(如用電量 時碳排放量計算)。通過本課學習,學生將初步形成用數學工具描述現實世界變化規律的能力。
三、教學問題診斷分析
抽象思維不足:學生難以從具體情境中剝離無關信息,抽象出變量間的數量關系(如忽略圓錐高固定,只關注底面半徑與體積的關系)。
關系式構建困難:部分學生無法將文字描述轉化為數學表達式(如將“面積是底邊長的3倍”錯誤寫成 )。
實際應用脫節:對關系式的現實意義理解模糊(如碳排放公式中系數 的物理含義)。
四、教學過程設計
(一) 情景引入
問題1
如圖,三角形 底邊 上的高為 。當點 沿直線向點 移動時,底邊 長度縮短,三角形面積如何變化?其中自變量和因變量分別是什么?
問題2
舉例說明生活中一個量變化引起另一個量變化的實例(如水箱水位隨注水時間變化)。
問題3
若三角形底邊長為 ,面積 如何用 表示?當 時, 的值是多少?
設計意圖:
通過幾何圖形和生活實例引入變量概念,降低抽象難度。問題3引導學生從具體數值過渡到關系式表達,培養符號意識,對應目標(1)(2)。
(二) 合作探究1
探究1
已知圓錐的高固定為 ,底面半徑 由 增大到 :
(1) 自變量是______,因變量是______。
(2) 半徑每增加 ,體積如何變化?
(3) 體積 與 的關系式是____________。
答:
(1) 底面半徑 ,體積 ;
(2) 體積增大(具體計算略);
(3) 。
追問:若高變為 ,關系式如何調整?
(三) 鞏固練習1
梯形上底長 ,下底長 ,高 ,面積 。寫出 與 的關系式。
答:。
家居用電的二氧化碳排放量公式為 排放量用電量。小明家用電 ,排放量是多少?
答:。
(四) 合作探究2
探究2
“低碳生活”碳排放公式:
開私家車:排放量 耗油量
家用自來水:排放量 用水量
若小明家本月耗油 ,用水 ,總排放量是多少?
猜想:總排放量是否等于各分項排放量之和?
驗證:
私家車排放 ,
自來水排放 ,
總排放 。
探究3
證明關系式具有可加性:
設 ,,則總排放量 。
設計意圖:
通過實際數據驗證關系式的可加性,體會數學模型的普適性,強化應用能力,對應目標(3)。
(五) 典例分析
例1
如圖,三角形底邊 對應面積 (高 ):
(1) 當 時,求 ;
(2) 若面積 ,求底邊 。
解:
(1) ;
(2) 由 得 。
設計意圖:
訓練逆向求自變量能力,深化對關系式雙向性的理解,對應目標(3)。
(六) 鞏固練習
氣溫 (℃)與海拔 (m)的關系為 。求 時 的值。
答:。
圓錐底面半徑 ,高 ,體積 。當 時,求 。
答:。
家用天然氣排放量 用氣量 。若用氣 ,排放量是多少?
答:。
設計意圖:
多情境練習強化關系式應用,提升運算能力和實際問題轉化能力。
(七) 歸納總結
核心概念 說明
自變量 主動變化的量(如底邊長 、用電量)
因變量 隨自變量變化的量(如面積 、碳排放量)
關系式 表示變量間等量關系的式子(如 ,)
應用步驟 ① 識別變量;② 建立關系式;③ 代入求值
(八) 感受中考
(2024·廣西) 三角形底邊長 ,面積 滿足 。當 時,______。
答:。
(2023·青海) 圓錐高 ,體積 與底面半徑 的關系為 。當 時,______。
答:。
(2024·山東) 某家庭用水量 與費用 (元)滿足 。若用水 ,費用為______元。
答:。
(2023·河南) 梯形上底 ,下底 ,高 ,面積 。寫出 與 的關系式。
答:。
設計意圖:在學習完知識后加入中考真題練習,不僅可以幫助學生明確考試方向,熟悉考試題型,檢驗學習成果,提升應考能力,還可以提升學生的學習興趣和動力。
(九) 小結梳理
知識模塊 關鍵點 聯系
變量識別 自變量、因變量的判定 所有問題的基礎
關系式構建 從文字、表格中抽象數學表達式 核心能力
實際應用 幾何問題、環保問題的計算 體現數學建模價值
(十) 布置作業
必做題:
教材習題6.3第1題:圓錐高 固定,底面半徑 變化時,。當 從 增到 ,體積如何變化?
教材習題6.3第2題:梯形上底 ( 從 到 ),下底 ,高 ,用表格表示 的對應值。
選做題:
探索 條直線相交于一點形成對頂角的對數規律(提示:每兩條直線形成 對對頂角)。
計算自家本月用電、用水量,比較與小明的碳排放量差異,提出“低碳生活”建議。
五、教學反思
(課后填寫)

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