資源簡介

《反比例函數(shù)涉及線段比的解法》教學設計
深圳市羅湖區(qū)濱河實驗中學 林翠鳳
知識技能梳理
《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》關于反比例函數(shù)的教學目標中，“能根據(jù)已知條件確定反比例函數(shù)的表達式”指的是根據(jù)題目的條件求出k的值。深圳中考近五年的數(shù)學卷中，倒數(shù)第二個填空題都是考查反比例函數(shù)求k值，由此推斷2025年中考大概率還在原來的位置考查反比函數(shù)的知識，難度中等。此類題通常要借助特殊三角形與特殊四邊形的性質、全等與相似、勾股定理以及銳角三角函數(shù)等知識解決。
本課程主要講解反比例函數(shù)中涉及線段比的解法，分為三個模塊。
模塊一是直接求點坐標法。主要解決一些簡單的，根據(jù)題目信息能快速求出雙曲線上的點坐標，進而用待定系數(shù)法求k。
模塊二是利用比例設坐標法。此法先根據(jù)線段比例特征，設出關鍵點的坐標，再綜合利用題目的其他信息求解。
模塊三是k的幾何意義面積法。根據(jù)題干中給出的已知圖形的面積，結合線段比推出若干圖形的面積比，由面積可得到|k|的值，再結合圖象所在象限確定k的符號，從而求出k的值。
學習過程
模塊一：直接求點坐標法
典例精講
例1．（2024.深圳）如圖，在平面直角坐標系中，四邊形為菱形，，且點落在反比例函數(shù)上，點落在反比例函數(shù)上，則 ．
【答案】
【分析】本題主要考查反比例函數(shù)與幾何的綜合及三角函數(shù)；過點作軸的垂線，垂足分別為，然后根據(jù)特殊三角函數(shù)值結合勾股定理求得，，再求得點，利用待定系數(shù)法求解即可．
【詳解】解：過點作軸的垂線，垂足分別為，如圖，
∵，
∴，
∴設，則，
∴，
∴點，
∵點A在反比例函數(shù)上，
∴，
∴（負值已舍），
則點，
∴，，
∴，
∵四邊形為菱形，
∴，，
∴點，
∵點B落在反比例函數(shù)上，
∴，
故答案為：．
例2．如圖，在中，，點的坐標，頂點在反比例函數(shù)的圖象上．若，且，則 ．
【答案】3
【分析】作CH⊥y軸于H．由相似三角形的性質求出點C坐標，進而求出k的值．
【詳解】如圖，作CH⊥y軸于H．
∵A（0，2），OA=OB，
∴OA=OB=2，
∵∠BAC=90°，
∴∠OAB+∠CAH=90°，
∵∠ABO+∠OAB=90°，
∴∠ABO=∠CAH，
又∵∠AOB=∠AHC=90°，
∴△ABO∽△CAH，
∴，
∴CH=AH=1，
∴OH=OA+AH=3，
∴C（1，3），
∵點C在的圖象上，
∴k=1×3=3，
故答案為3．
【點睛】本題考查反比例函數(shù)圖象上的點的特征，相似三角形的判定和性質，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造相似三角形解決問題．
跟蹤練習
1．（2021.深圳）如圖，已知反比例函數(shù)過A，B兩點，A點坐標，直線經(jīng)過原點，將線段繞點B順時針旋轉90°得到線段，則C點坐標為 ．
【答案】
【分析】利用“一線三垂直”，證明從而求得C點坐標．
【詳解】設：，反比例：
將點A代入可得：
；
聯(lián)立可得：
過點B作y軸的平行線l
過點A，點C作l的垂線，分別交于D，E兩點
則
，
∴．
故答案為：．
【點睛】本題考查一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合運用、三角形全等，平面內(nèi)點的坐標，圖形的旋轉．解題的關鍵是掌握一次函數(shù)與反比例函數(shù)的相關性質和數(shù)形結合思想．
2．如圖，已知點，，，在平行四邊形中，它的對角線與反比例函數(shù)的圖象相交于點，且，則 ．
【答案】
【分析】本題考查了反比例函數(shù)與平行四邊形綜合，相似三角形的性質與判定，分別過點，作軸的垂線，垂足分別為，根據(jù)平行四邊形的性質得出，證明得出，，進而可得，即可求解．
【詳解】如圖所示，分別過點，作軸的垂線，垂足分別為，
∵四邊形是平行四邊形，點，，，
∴，
∴，即，則，
∵軸，軸，
∴
∴
∴
∴，
∴
∴
故答案為：．
3．如圖，在平面直角坐標系中，矩形的頂點的坐標為，點在軸正半軸上，點在反比例函數(shù)的圖像上，過點作軸，交反比例函數(shù)的圖像于點．若，則的長為 ．
【答案】/
【分析】本題考查了矩形的性質，相似三角形的判定和性質，坐標與圖形，反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，過點作軸于，過點作于，再過點作 的延長線于，可證，得到，進而由可得，即可得點的橫坐標為，得到點的縱坐標為，即得，同理可得，得到，，即得點的縱坐標為，進而得點的橫坐標為，得到，再根據(jù)線段的和差關系即可求解，正確作出輔助線是解題的關鍵．
【詳解】解：過點作軸于，過點作于，再過點作 的延長線于，則，
∴，
∵四邊形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴點的橫坐標為，
∴點的橫坐標為，
把代入得，，
∴點的縱坐標為，
∴，
同理可得，
∴，
∴，
∴，，
∴點的縱坐標為，
把代入得，，
∴，
∴點的橫坐標為，
∴，
∴，
故答案為：．

模塊二：利用比例設坐標法
典例精講
例3．如圖，點A，C在反比例函數(shù)的圖象上，且，則k的值為 ．
【答案】3
【分析】過作，過C作，連接，得到，根據(jù)的幾何意義和，得到，再根據(jù)，求出的面積即可得解．
【詳解】解：過作，過C作，分別交于點，連接，
則：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵點A，C在反比例函數(shù)的圖象上，
∴，
即：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，則，
∴，
∴．
故答案為：3．
【點睛】本題考查已知圖形的面積求值，熟練掌握的幾何意義，構造與有關的幾何圖形是解題的關鍵．
例4．如圖，等腰中，，雙曲線經(jīng)過的三個頂點，邊交x軸于點D，原點O在上，若且面積為2，則k的值為 ．
【分析】如圖（見解析），先根據(jù)反比例函數(shù)的性質可得，從而可得，再根據(jù)相似三角形的判定與性質可得，從而可得，然后又根據(jù)相似三角形的判定與性質可得，由此可得一個關于k的方程，解方程即可得．
【詳解】如圖，過點A作軸于點E，過點C作軸于點F，連接OA，
由反比例函數(shù)的性質可知，，
，
，
，
在和中，，
，
，
解得，
，
，
又軸，軸，
，
，
，即，
解得，
經(jīng)檢驗，是所列分式方程的解，
則的值為6，
【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的幾何綜合、相似三角形的判定與性質等知識點，熟練掌握反比例函數(shù)的性質和相似三角形的判定是解題關鍵．
跟蹤練習
1．如圖，點，在反比例函數(shù)的圖象上，軸，垂足為，．若四邊形的面積為，，則的值為 ．
【分析】本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義，熟練掌握反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征是關鍵．設點，可得，，從而得到，再由．可得點，從而得到，然后根據(jù)，即可求解，熟練掌握反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義是解題的關鍵．
【詳解】解：設，則， ，
，
，，
軸，，
軸，
，
，
，四邊形的面積為，
，
解得：．
2．如圖，的邊在軸上，邊交軸于點，，反比例函數(shù)過點，且交線段于，，連接，若，則的值為 ．
【分析】過C點作CN⊥y軸于N點，過C點作CE⊥x軸于E點，過D點作DF⊥x軸于F點，設CN=2a，求出C點坐標，再根據(jù)相似三角形的性質分別求出D點坐標，根據(jù)三角形的面積公式即可求解．
【詳解】過C點作CN⊥y軸于N點，過C點作CE⊥x軸于E點，過D點作DF⊥x軸于F點，
設CN=2a，則OE=2a
∵CNAE
∴△AOE∽△CNE，
∴
∴AO=a
∵C點在函數(shù)上
∴C（2a，）
∴CE=NO=
∵CEDF
∴△BDF∽△BCE，
∵
∴
∴DF=，
∵D點在函數(shù)上
∴D點坐標為（8a，）
∴EF=8a-2a=6a
∵
∴BF=2a
∴B（10a，0）
∴AB=11a
∵
∴
解得k=4
【點睛】此題主要考查反比例函數(shù)與幾何綜合，解題的關鍵是熟知相似三角形的判定與性質、三角形的面積公式及反比例函數(shù)的坐標特點．
3．如圖，在平行四邊形中，點在軸正半軸上，點是的中點，若反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過，兩點，且的面積為，則 ．
【答案】
【分析】此題考查了反比例函數(shù)的圖象和性質、平行四邊形的性質，數(shù)形結合是解題的關鍵．
延長交點軸于，由的面積，可求，設點坐標為，可得，進而求解坐標，由中點坐標公式得到坐標，由都在反比例函數(shù)圖象上列等式，即可求解．
【詳解】解：如圖，

延長交點軸于，
的面積為，點是的中點，
設點坐標為，
，
，
，
根據(jù)中點坐標公式可得，
都在反比例函數(shù)圖象上，
，
解得，
．
故答案為：．
模塊三：k的幾何意義面積法
典例精講
例5．如圖，反比例函數(shù)的圖象交Rt的斜邊于點，交直角邊于點，點在軸上．若的面積為5，，則的值為 ．
【分析】過點作軸，交軸于點，則和的面積相等，均為，由軸，，得，由，得，從而即可求出的值．
【詳解】解：過點作軸，交軸于點，如圖所示，
則和的面積相等，均為，
的面積為5，
的面積，
軸，，
，
，
，
，
即，
解得，
【點睛】本題考查反比例函數(shù)的綜合運用，關鍵是知道反比例函數(shù)圖象上的點和坐標軸構成的三角形面積的特點以及根據(jù)面積轉化求出的值．
例2．如圖，在平面直角坐標系中，已知，直線與雙曲線交于點，直線分別與雙曲線，雙曲線交于點，，與軸交于點．若，，則 ．
【分析】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，三角形的面積的計算，相似三角形的判定和性質，正確的作出輔助線是解題的關鍵．如圖連接，，作于，軸于，．根據(jù)，得到，根據(jù)已知條件得到，，根據(jù)相似三角形的性質即可得到結論．
【詳解】解：如圖連接，，作于，軸于，則．
∵，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
跟蹤練習
1．矩形在平面直角坐標系中的位置如圖所示，反比例函數(shù)的圖象與邊交于點D，與邊交于點F，與交于點E，，若四邊形的面積為2，則k的值是 ．
【分析】本題考查了矩形的性質、三角形面積的計算、反比例函數(shù)的圖象和性質、相似三角形的判定和性質；熟練掌握矩形的性質和反比例函數(shù)的性質是解決問題的關鍵．
過點E作，則，設，由，可得，再由，列方程，即可得出k的值．
【詳解】過點E作，則，
∴，
∴
設，
∵
∴，
∴
∴
即，解得：
2．如圖，在平面直角坐標系中，等腰的底邊在軸的正半軸上，頂點在反比例函數(shù)的圖像上，延長交軸于點，若，的面積為，則的值為 ．

【答案】
【分析】本題考查了相似三角形的性質和判定，等腰三角形性質，反比例函數(shù)幾何意義，過點作于點，證明，結合等腰三角形性質推出，進而得到，推出的面積，進而得到，根據(jù)反比例函數(shù)幾何意義得到進行求解，即可解題．
【詳解】解：過點作于點，
，
，
，
等腰三角形，
，
，
，
，
，
的面積為，
的面積為，
即，
，
，
故答案為：．
3．如圖所示，雙曲線經(jīng)過斜邊上的點，且滿足，與交于點，，求的值.
【答案】8
【分析】過作軸，垂足為,易得，再由相似三角形面積比等于相似比的平方，得到面積比例關系，然后根據(jù)反比例函數(shù)k的幾何意義，用k表示出△AOE和△DOC的面積，得到方程即可求解.
【詳解】過作軸，垂足為，則
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∵點，分別在雙曲線上，
∴.
∴
∴
∴
【點睛】本題考查相似三角形的性質，面積比等于相似比的平方，還綜合了反比例函數(shù)中k的幾何意義，掌握這些性質是解題的關鍵.

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