資源簡介

《建立平面直角坐標系解決幾何問題》自主學習單（答案）
知識梳理：
《義務教育數學課程標準（2022）年版》指出初中階段圖形與幾何領域包括“圖形的性質”“圖形的變化”和“圖形與坐標”三個主題。其中“圖形與坐標”強調數形結合，用代數方法研究圖形，在平面直角坐標系中用坐標表示圖形上點的位置，用坐標法分析和解決實際問題。建立平面直角坐標系是研究函數問題的重要一步，反過來從函數的角度去研究幾何問題也是很重要的。初中階段的幾何題里大多是以矩形、正方形、直角三角形、等腰三角形等為背景，而這些幾何圖形都能通過建立平面直角坐標系來解決問題，從而做到幾何問題代數化。這種“建立平面直角坐標系解決幾何問題”簡稱“建系法”的方法既增加了代數推理，又增強了幾何直觀，從而達到數與形的完美統一。
1.知識儲備
（1）兩點間距離公式
（2）中點坐標公式
（3）一次函數求“k”
關于一次函數“k”的重要結論
二、學習過程
模塊一：《建系法的認識》
問題1：什么是建系法？
在初中數學中，建系法（即建立坐標系的方法）是一種通過構造平面直角坐標系，將幾何問題轉化為代數問題來解決的策略。它屬于數形結合的思想，常用于簡化幾何證明或計算。
問題2：什么題型適合建系？
正方形 長方形 直角三角形 等腰三角形 菱形
問題3：坐標原點如何選取？
正方形 長方形 直角三角形 等腰三角形 菱形
問題4: 用建系法的優缺點？
典型對比案例
問題：證明“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊一半”。
幾何法：利用矩形對角線性質證明。
建系法：設直角頂點在原點，兩直角邊沿坐標軸，通過中點公式和距離公式直接計算。
優點：
①程序化操作
步驟固定：建系 → 標坐標 → 求解析式 → 計算，適合不擅長幾何思維的學生。
②化抽象為具體
將幾何圖形中的點、線、角等抽象元素用具體的坐標和方程表示，使問題更直觀。
③通用性強
適用于大多數規則圖形（如三角形、矩形、菱形等），尤其是對稱性或垂直性明顯的圖形。
例如：求非特殊三角形面積時，直接利用頂點坐標和面積公式（如鉛錘法）比幾何分割更快捷。
④簡化動態問題
對動點軌跡、最值問題可通過函數或方程分析，避免復雜幾何構造。
例如：求線段最小值時，可轉化為求二次函數頂點或兩點間距離。
缺點：
①依賴坐標系的選擇
坐標系選取不當（如斜放圖形）會導致坐標復雜，計算量增大。
例如：若將三角形的邊與坐標軸不平行，坐標表達式會變得繁瑣。
②計算易出錯
涉及多步代數運算（如距離公式、斜率、聯立方程等），容易因粗心出錯。
例如：驗證兩條直線垂直時，需計算斜率乘積是否為-1，符號錯誤可能導致結論錯誤。
③喪失幾何直觀
過度依賴代數可能掩蓋幾何本質，不利于培養空間想象能力。
例如：用坐標法證明“勾股定理”雖可行，但不如幾何拼圖法直觀。
④不適用于所有問題
對非規則圖形（如任意四邊形）或求圖形的角度關系可能效率低下。
模塊二：建系法在矩形下的運用
典例精講：
跟綜練習
如圖，在正方形ABCD中，點E、F分別在AB、CD上，DG⊥EF于點H，交BC于點G，點P在線段BG上，若∠PEF=45 ，AE=CG=5,PG=5，則EP=_______
解答：以B點為坐標原點建立平面直角坐標系，如圖2，則由“∠PEF=45 ”聯想到函數中的一大典型題型“點角存在性問題”，故作PM⊥EP交EF于點M，作MN⊥x軸于點N，構造“一線三垂直模型”，則易證△BPE≌△NMP，則BP=MN,BE=PN，設OP=a，則AB=BC=a+10，BE=a+5，∴PN=BE=a+5，MN=BP=a，則由條件可得G(a+5,0),E(0,a+5),M(2a+5,a)，D(a+10,a+10)，由EF⊥DG可知直線EF與直線DG的k值互為負倒數，即,解得a=5，由BP=5,BE=10,由勾股定理EP=5.
如圖，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，P為線段BC上的一動點，且和B、C不重合，連接PA，過點P作PE⊥PA交CD于E，將△PEC沿PE翻折到平面內，使點C恰好落在AD邊上的點F，則BP長為______________．
解答：以B點為坐標原點建立平面直角坐標系，如圖，連接CF，由折疊性質可得CF⊥PE，由AP⊥PE可得AP//FC，由AF//BC可得四邊形APCF是平行四邊形，由AF=PC，設OP=a，則AF=PC=2-a，由條件可知A(0,1),P(a,0),C(2,0),D(2,1),F(2-a,1)，由折疊性質可得PF=PC，由兩點之間的距離公式可列方程為：,解得a=1或,即BP的長為1或.
模塊三：建系法在三角形下的運用
典例精講
跟蹤練習
如圖，在△ABC中，AB=AC，BC=24，tanC=2，如果將△ABC沿直線翻折后，點B落在邊AC的中點E處，直線與邊BC交于點D，那么BD的長為________
解答：如圖建立平面直角坐標系，由題易得OB=OC=12,由tanC=2可得AO=24,
則B(-12,0),C(12,0),由E是AC中點及中點坐標可得E(6,12),由折疊性質可
得FD垂直平分BE，即F是BE的中點，可得F(-3,6),由B、E兩點坐標可得
直線BE的解析式為y=x+8,由BE⊥DF可設直線DF的解析式為y=x+b,代
入F點坐標可得直線DE的解析式為y=x+,當y=0時x=1,由D(1,0),∴BD=13.
在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120 ，點D為BC上一點，點E為線段CD上一點，且CE=1,AB=2,∠DAE=60 ，則DE的長為_______
解答：如圖建立直角坐標系，由∠DAE=60 聯想到函數的典型題型“點角存在性問題”，故作NE⊥AE交AD延長線于點N，并如圖構造“一線三垂直模型”，由∠DAE=60 易得，由△MNE∽△FEA可得，由題易得OA=,EC=1,OE=2，則ME=2,MN=3,則OG=2,NG=MN-GM=1,由OD//GN可得OA:AG=OD:NG，即：3=OD:1，則OD=,∴DE=OE+OD=2+ = .
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