資源簡介

新函數圖像探究教學設計
設計者：深圳市羅湖區桂園中學 郭培香
一、教學目標
1. 知識與技能目標：學生能理解新函數（絕對值函數、分段函數、高次函數、組合函數）的概念，掌握各類新函數圖像的繪制方法；能根據函數圖像探究函數性質，如最值、增減性、對稱性等；學會運用函數知識解決與方程、不等式、幾何、實踐及新定義相關的綜合問題。
2. 過程與方法目標：通過對新函數圖像的探究過程，培養學生觀察、分析、歸納、推理的能力，提高學生知識遷移和運用能力；經歷從特殊到一般的探究過程，讓學生體會數學中的類比思想和數形結合思想。
3. 情感態度與價值觀目標：激發學生對數學探究的興趣，培養學生勇于探索、敢于創新的精神；讓學生在解決問題的過程中，體驗成功的喜悅，增強學習數學的自信心。
二、教學重難點
1. 教學重點：掌握新函數圖像的繪制方法和函數性質的探究方法；能運用函數知識解決函數與方程、不等式、幾何、實踐及新定義的綜合問題。
2. 教學難點：理解函數圖像與方程、不等式的關系，能運用數形結合思想解決綜合問題；對新定義問題的理解和應用，以及在復雜情境中準確分析和解決問題。
三、教學方法
講授法、探究法、討論法、練習法相結合。
四、教學過程
（一）知識導入（5 分鐘）
展示近些年中考數學試卷中出現的新函數圖像探究題，引出本節課主題 —— 新函數圖像探究。強調新函數圖像探究題的重要性，它是對函數圖像與性質的綜合運用，注重考查學生多種能力，鼓勵學生積極探索。
（二）知識技能梳理（5 分鐘）
回顧初中階段函數學習過程，強調新函數圖像探究的關鍵是作出函數圖像，其步驟包括分析解析式、列表、描點、連線，且要抓住關鍵點和基本走勢。介紹函數圖像性質探究題的常見問題類型，如求變量取值范圍、畫函數圖像、寫函數性質、函數與方程或不等式綜合考查、函數與幾何及新定義綜合考查等，讓學生對本節課學習內容有整體認識。
（三）模塊一：新函數的四種常見類型（30 分鐘）
1.絕對值函數（10 分鐘）
講解例1，引導學生根據絕對值意義，對函數y＝2|x﹣2|﹣1 進行分段討論，得出x≥2和x＜2時的表達式。讓學生完成列表、描點、連線，畫出函數圖像。通過圖像分析函數性質，如最小值、增減性等，講解選項內容，讓學生理解如何從圖像獲取函數性質信息。
針對訓練：讓學生自主完成函數y＝|x2﹣4x+3|的列表、描點畫圖過程。組織學生討論函數圖像與y＝x2﹣4x+3圖像的關系，以及不等式|x2﹣4x+3|＞8的解集求法。請學生上臺展示解題過程，其他同學進行評價，教師總結完善。
2.分段函數（10 分鐘）
講解例 2，通過定義和示例讓學生理解 “鏡面函數” 概念。讓學生嘗試畫出函數y＝﹣2x+1關于直線x＝1的 “鏡面函數” 圖像，教師巡視指導。引導學生分析函數y＝x2﹣2x+2關于直線x＝﹣1的 “鏡面函數” 與直線y＝﹣x+m有三個公共點時m的值的求法，可通過聯立方程和圖像分析來解決。
針對訓練：講解 “限變點” 定義，讓學生完成相關應用題目。引導學生畫出點P在一次函數y＝﹣x+3（﹣2≤x≤6）上時，其限變點Q的函數圖像，并討論縱坐標b'的取值范圍。鼓勵學生分享解題思路，教師進行點評和補充。
3.高次函數（5 分鐘）
講解例 3，分析函數y|x|（x2﹣x+1）（x≥﹣2）在﹣2≤x＜0和x≥0時的變化情況，讓學生填寫表格并畫出x≥0時的函數圖像。引導學生思考直線l與函數圖像有兩個交點時m的最大值問題，培養學生對高次函數的分析能力。
針對訓練：讓學生借鑒課本研究二次函數的經驗，探究函數y＝x4﹣2x2﹣1的圖像與性質，包括填寫表格、畫圖、寫性質、配方求最值以及討論函數圖像與平行于x軸直線的公共點個數。組織學生小組討論，每個小組推選代表匯報討論結果，教師進行總結歸納。
4、組合函數（5 分鐘）
講解例 4，讓學生確定函數yx2的自變量取值范圍，計算m的值，完成列表、描點畫圖過程。引導學生通過圖像分析函數與x軸交點個數、方程根的個數以及函數性質，體會組合函數的特點。
針對訓練：讓學生協助小明完成函數y＝x的相關探究，包括確定自變量取值范圍、補全表格、畫圖和寫性質。教師對學生的探究結果進行評價，強調組合函數探究的要點。
（四）模塊二：函數與綜合探究（25 分鐘）
1.函數與幾何綜合探究（12 分鐘）
講解例 1，讓學生根據表格數據猜想n與m的關系式，通過描點、連線的方法進行探究。引導學生選擇一種方法對二次函數y＝a（x﹣h）2+k進行推理驗證，理解函數與幾何圖形之間的聯系。
針對訓練：提出問題，讓學生分析點P在不同位置時正方形DPEF面積y與點P運動路程x的函數關系。引導學生根據對稱軸和已知條件確定函數關系式，以及點A在△DFM內部時x和y的取值范圍，培養學生解決函數與幾何綜合問題的能力。
2.函數與實踐綜合探究（13 分鐘）
講解例 2，讓學生根據乒乓球運行數據在平面直角坐標系中描點畫圖，分析乒乓球到達最高點和落在對面球臺時的相關數據，求出拋物線解析式。引導學生思考如何計算擊球高度OA的取值范圍，體會函數在實際問題中的應用。
針對訓練：開展項目式學習，讓學生完成電動自行車充電車棚消防設備相關問題，如計算干粉滅火器噴嘴高度、求拋物線解析式、確定噴淋頭地面有效保護直徑以及計算加裝噴淋頭的距離等。組織學生分組討論，每個小組展示解題過程，教師進行點評和總結。
（五）模塊三：函數與新定義（15 分鐘）
講解例 1（8 分鐘）：講解 “垂近點” 概念，讓學生判斷點M(1.5,0)是否為線段AB的 “垂近點”，并畫出點M所有可能的位置。引導學生分析二次函數y＝ax2+2ax+a﹣圖象上僅有一個 “垂近點” 時b的值，以及正方形ABCD上存在 “垂近點” 時a的取值范圍，培養學生對新定義的理解和應用能力。
針對訓練（7 分鐘）：講解 “等距點” 定義，讓學生判斷函數y＝x2+2x的圖象是否存在 “等距點”，并求出其坐標。引導學生根據函數y和y＝﹣x+b的 “等距點” 相關條件，計算滿足條件的函數表達式，以及分析函數y＝﹣x2+2x+2m+2 圖象只存在 2 個 “等距點” 時m的取值范圍，提高學生解決新定義問題的能力。
（六）課堂總結（5 分鐘）
與學生一起回顧本節課所學內容，包括新函數的四種常見類型（絕對值函數、分段函數、高次函數、組合函數），函數與幾何、實踐及新定義的綜合探究，強調函數圖像繪制、性質探究以及運用函數解決問題的方法和要點。鼓勵學生在課后繼續鞏固練習，提高解決新函數圖像探究題的能力。
（七）布置作業（5 分鐘）
1.布置課后作業，讓學生完成課本或練習冊上與新函數圖像探究相關的習題，鞏固本節課所學知識。
2.讓學生收集生活中可以用新函數模型解決的實際問題，下節課進行分享交流，培養學生運用數學知識解決實際問題的意識和能力。
五、教學反思
在教學過程中，要關注學生的參與度和理解程度，對于學生在探究過程中遇到的困難，及時給予指導和幫助。通過多種教學方法相結合，讓學生積極參與課堂活動，提高學生的學習興趣和主動性。在講解綜合問題時，要注重引導學生分析問題，培養學生的思維能力和解題能力。同時，鼓勵學生在課后繼續探索新函數的相關知識，提高學生的數學素養。

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