資源簡介

《一線三等角相似》教學設計
時間 2025.4.17 授課班級 九年級 7 班 授課教師 侯彥靜
科目 數學 課 題 一線三等角相似
在相似三角形的判定中，兩角分別相等的兩個三角形相似，這種判定方法應用特別廣
泛。而“一線三等角”這種特殊圖形中，正是因為存在有兩組對應角分別相等才會一定出
教材分析 現一對相似三角形。在不同背景中，特別是“一線三直角”這種情況在等邊三角形、等腰
三角形、矩形、正方形、直角梯形以及平面直角坐標系中的應用都比較廣泛。所以把握住
基本圖形對于學生在復雜的圖形中迅速準確的解決問題起到了關鍵的作用。
知識與技能：學生會借助“一線三等角”模型，找出等角，運用兩組對應角分別相等的兩
個三角形為相似角形的判定方法證明兩個三角形相似。
教學目標 過程與方法：學生經歷觀察、比較、歸納的學習過程，歸納出“一線三等角”圖形的基本
特征，并且能夠在不同的背景中認識和把握基本模型
情感、態度與價值觀：學生在學習過程中感受幾何直觀圖形對幾何學習的重要性，建立圖
感。
學生在已經學習過三角形相似的基礎上，再學習這一部分內容，對于絕大部分學生來
學情分析 說是可以接受的，但是還存在一部分學生基礎相對薄弱，所以講解時也需顧及到。
教學重點：運用判定方法解決“一線三等角”的相關計算與證明
重點難點
教學難點：在不同背景中識別基本模型，靈活應用模型解決問題
教學過程
學生 設計意
課堂過程 教師活動
活動 圖
模塊一：模型直接應用——已知共線三等角，易得相似求解題
教師從
一道例
題引入
學生 本節課
獨立 內容，
模塊一
思考 并提煉
完成 總結出
一線三
等角特
點。
（一）典例精講
例 1：如圖，在等邊△ABC 中，D 為 BC 邊上一點，E為 AC 邊上一點，
且∠ADE=60°．
（1）求證：△ABD∽△DCE；
（2）若 BD=3，CE=2，求△ABC的邊長．
例 2.（2024·齊齊哈爾中考）綜合與實踐
綜合與實踐：如圖 1，這個圖案是 3 世紀我國漢代的趙爽在注解《周髀
算經》時給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”，受這幅圖的啟發，數學興趣
小組建立了“一線三直角模型”．如圖 2，在 ABC中， A 90 ，將線
段 BC繞點 B順時針旋轉90 得到線段 BD，作DE AB交 AB的延長線
于點 E．
（1）【觀察感知】如圖 2，通過觀察，線段 AB與DE的數量關系是______；
（2）【問題解決】如圖 3，連接CD并延長交 AB的延長線于點 F ，若
AB 2 ， AC 6，求 BDF的面積；
（3）【類比遷移】在(2)的條件下，連接CE交 BD于點 N，則
BN
______；
BC
（二）跟進練習
1.在△ABC 中， ACB 90 ， AC BC，直線MN經過點C，且
AD MN 于D， BE MN 于 E．
（1）當直線MN繞點C旋轉到圖 1 位置時，求證：DE AD BE；
（2）當直線MN繞點C旋轉到圖 2 位置時，試問：DE、 AD、 BE有
怎樣的等量關系？請寫出這個等量關系，并加以證明；
（3）當直線MN繞點C旋轉到圖 3 位置時，DE、 AD、 BE之間的等
量關系是___（直接寫出答案，不需證明）．
模塊二：模型半構造——已知兩角等值，補全第三角定模型
（一） 典例精講
例 3 如圖,在 Rt△ABC 中,，∠C=90 ∠AEB=135 ， BE=3 2 ，DE⊥
BE 交 AB 于點 D ，若 DE= 2 ,則 AE 的長為___.
例 4.如圖，在矩形 ABCD中，BC＝4，AB＝2，Rt△BEF的頂點 E在 學 生
3 教
邊 CD BEF 90° EF 1上，且∠ ＝ ， ＝ BE，DF＝ 5 ，則 BE＝ ． 在 理2 4 師 巡
解 了
視，觀
一 線
察學生
三 等
做法，
角 的
引導學
模塊二 前 提
生 討
下，先
論，總
（二）跟進練習 獨 立
結一線
1.綜合與實踐 完成，
問題情境：在學習了三角形的相似后，同學們開始了對不同三角形中的 三三等
再 小
相似模型的探究． 角解題
猜想推理： 組 合
思路。
作 討
論，最
后 展
示。
（1）如圖 1，在等邊△ABC 中，D為 BC邊上一點，E為 AC邊上一點，
ADE 60 ， AB 6， BD 2，則CE ______．
問題解決：
（2）如圖 2，△ABC 是等邊三角形，D是 BC的中點，射線DE，DF分
別交 AB， AC于點 E，F，且 EDF 120 ，求證：DE DF．
（3）如圖 3， BAC 90 ，AB 6，AC 8，D是 BC的中點，射線DE，
DE
DF分別交 AB， AC于點 E，F，且 EDF 90 ，求 的值．
DF
模塊三 ：模型全構造——已知單角等值，自主補全雙角建體
系
（一）典例精講
例 5.，在四邊形 ABCD中，已知∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝
10，DA＝5 5 ，求 BD的長．
利用中
例 6.如圖，在正方形 ABCD中，點 E是邊CD的中點，點 F在對角線 AC
上，且 BF EF，連接 BE交 AC于點 G．若 AB 4，則線段 FG的長 考題，
為 ． 讓學生
學生
感受中
自己
考時如
動手
何考察
嘗試，
模塊三 一線三
然后
等角
小組
的，在
合作
之前的
交流
（二）跟進練習 基礎上
1.【模型探究】 進行鞏
如圖，正方形 ABCD中，E是對角線 BD上一點，連接 AE，過點 E作
固練。
EF⊥AE，交直線 CB于點 F．
（1）如圖 1，若點 F在線段 BC上，寫出 EA與 EF的數量關系并加以
證明；
（2）如圖 2，若點 F在線段 CB的延長線上，請直接寫出線段 BC，BE
和 BF的數量關系．
【模型應用】
（3）如圖 3，正方形 ABCD中，AB＝4，E為 CD上一動點，連接 AE
交 BD于 F，過 F作 FH⊥AE于 F，過 H作 HG⊥BD于 G．則下列結論：
①AF＝FH；②∠HAE＝45°；③BD＝2FG；④△CEH的周長為 8．正
確的結論有 個．
（4）如圖 4，點 E是正方形 ABCD對角線 BD上一點，連接 AE，過點
E作 EF⊥AE，交線段 BC于點 F，交線段 AC于點 M，連接 AF交線段
BD于點 H．給出下列四個結論，①AE＝EF；② 2 DE＝CF；③S△AEM
＝S△MCF；④BE＝DE+ 2 BF；正確的結論有 個．
【模型變式】
（5）如圖 5，在平面直角坐標系中，四邊形 OBCD是正方形，且 D（0，
2），點 E是線段 OB延長線上一點，M是線段 OB上一動點（不包括點
O、B），作 MN⊥DM，垂足為 M，交∠CBE的平分線與點 N，求證：
MD＝MN
（6）如圖 6，在上一問的條件下，連接 DN交 BC于點 F，連接 FM，
則∠FMN和∠NMB之間有怎樣的數量關系？請給出證明．
【拓展延伸】
（7）已知∠MON＝90°，點 A是射線 ON上的一個定點，點 B是射線
OM上的一個動點，且滿足 OB＞OA．點 C在線段 OA的延長線上，且
AC＝OB．如圖 7，在線段 BO上截取 BE，使 BE＝OA，連接 CE．若
∠OBA+∠OCE＝β，當點 B在射線 OM上運動時，β的大小是否會發生
變化？如果不變，請求出這個定值；如果變化，請說明理由．
（8）如圖 8，正方形 ABCD中，AD＝6，點 E是對角線 AC上一點，連
接 DE，過點 E作 EF⊥ED，交 AB于點 F，連接 DF，交 AC于點 G，
將△EFG沿 EF翻折，得到△EFM，連接 DM，交 EF于點 N，若點 F
是 AB邊的中點，則△EDM的面積是 ．
學生
獨立
一線三等角
1.. 識別一線三等角題型：在一條直線上出現了三個相等的角，一組相 完成，
等角的對邊也相等(不相等)時，可證兩個三角形全等（相似）. 將一
鞏固一
2.. 一線三等角的應用----“一線三等角”應用的三種情況. 線三
線三等
小結 ⑴ 圖形中已經存在“一線三等角”，直接解題； 等角
⑵ 圖形中存在“一線二等角”，補上“一等角”構造一線三等角解題； 角知
內化
⑶ 圖形中只有直線上一個角，補上“二等角”構造一線三等角解題. 識。
為一
3.. 構造一線三等角的步驟：找角、定線、構全等（相似）.
種解
題思
路。
板書設計

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