資源簡介

羅湖區(qū)中考備考“百師助學(xué)”
《二次函數(shù)中的線段最值問題》
桂園中學(xué) 黎幼彥
一、教材分析
本節(jié)課是在學(xué)生學(xué)習(xí)了二次函數(shù)的概念、圖像及性質(zhì)的基礎(chǔ)上開展的，屬于二次函數(shù)知識的深化與應(yīng)用。其核心在于利用二次函數(shù)的相關(guān)知識解決線段最值問題，這在中考中常作為壓軸題的關(guān)鍵考點(diǎn)出現(xiàn)，通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，不僅能提升學(xué)生對二次函數(shù)知識的綜合運(yùn)用能力，還能培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和解題技巧，為后續(xù)解決更復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題奠定基礎(chǔ)。
二、教學(xué)目標(biāo)
知識與技能：學(xué)生能夠熟練掌握利用設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)的方法求解線段最值問題，學(xué)會將傾斜線段轉(zhuǎn)化為水平或豎直方向線段的技巧，能準(zhǔn)確運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)解決相關(guān)線段最值問題。
過程與方法：借助層層遞進(jìn)、由淺入深的例題探究，逐步培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力，在解題過程中深刻體會轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。
情感態(tài)度價(jià)值觀：鼓勵(lì)學(xué)生在克服困難的過程中獲得成功體驗(yàn)，增強(qiáng)學(xué)好數(shù)學(xué)的信心；引導(dǎo)學(xué)生對解題過程進(jìn)行反思，掌握獲取新知識和新思想的方法，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考、合作交流的學(xué)習(xí)習(xí)慣。
三、教學(xué)重難點(diǎn)
教學(xué)重點(diǎn)：深入探究利用二次函數(shù)的最大值（或最小值）解決線段最值的方法，理解并掌握將各類線段最值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題的思路。
教學(xué)難點(diǎn)：如何巧妙地將傾斜方向的線段轉(zhuǎn)化為水平或豎直方向的線段，從而順利解決最值問題，以及在復(fù)雜情境中準(zhǔn)確找到線段與二次函數(shù)之間的聯(lián)系。
四、教學(xué)方法
講授法、討論法、練習(xí)法相結(jié)合，通過教師的講解引導(dǎo)，學(xué)生的小組討論和自主練習(xí)，讓學(xué)生逐步掌握知識和方法。
五、教學(xué)過程
（一）復(fù)習(xí)引入（3 分鐘）
（二）學(xué)習(xí)過程（42分鐘）
模塊一：
鉛垂線段的求法——橫坐標(biāo)相同
水平線段的求法——縱坐標(biāo)相同
例1．如圖，拋物線與x軸交于A（-2，0）B（6，0）兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C（0，4），連接BC．
（1）直接寫出線段BC所在直線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）點(diǎn)P是線段BC上方拋物線上的一個(gè)動點(diǎn)，過點(diǎn)P作PM⊥x軸于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)N．求線段PN長的最大值．
例2．已知拋物線y＝x2﹣2x﹣3，與x軸的交點(diǎn)為A（﹣1，0）和點(diǎn)B，與y軸的交點(diǎn)為C（0，﹣3），直線L：y＝kx﹣1與拋物線的交點(diǎn)為點(diǎn)A和點(diǎn)D．
（1）求直線L的解析式；
（2）如圖，M為拋物線上一動點(diǎn)（不與A、D重合），當(dāng)點(diǎn)M在直線L下方時(shí)，過點(diǎn)M作MN∥x軸交直線L于點(diǎn)N，求MN的最大值．
跟進(jìn)練習(xí)：
1.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的對稱軸是直線x＝1，與x軸相交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求m的值及直線BC的表達(dá)式；
（2）M是第一象限內(nèi)拋物線上的一點(diǎn)，過點(diǎn)M作MN⊥x軸于點(diǎn)N，交BC于點(diǎn)D．當(dāng)線段MD的長取最大值時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．
模塊二
斜線段的求法——化斜為直
如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝x2﹣4x﹣5圖象經(jīng)過A(5,0)，B(-1,0), C(0,5)三點(diǎn)．
直線CA的表達(dá)式為：y＝x﹣5
問題：若點(diǎn)P是直線AC下方的拋物線上的一個(gè)動點(diǎn)，作PD⊥AC于點(diǎn)D，當(dāng)PD的值最大時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)及PD的最大值．
例4．二次函數(shù)y＝﹣x2﹣3x+4的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（﹣4，0），B（1，0），與y軸交于點(diǎn)C，直線AC:y＝x+4點(diǎn)P為第二象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，連接BP、AC，交于點(diǎn)Q，過點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D．
請判斷：是否有最大值，如有請求出有最大值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)，如沒有請說明理由．
跟進(jìn)練習(xí)：
1．如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）交x軸于點(diǎn)A（3，0），與y軸交于點(diǎn)B，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4）．
（1）求直線AB與這個(gè)二次函數(shù)的解析式；
（2）在直線AB上方的拋物線上有一動點(diǎn)D，當(dāng)D與直線AB的距離DE最大時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)，并求DE最大距離是多少？
2.．已知拋物線y＝﹣x2+bx+c，其對稱軸為直線x＝1，與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A（﹣1，0），另一個(gè)交點(diǎn)為B，與y軸的交點(diǎn)為C．
（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）如圖1，若點(diǎn)M為拋物線上第一象限內(nèi)一動點(diǎn)，連接OM，交BC于點(diǎn)N，當(dāng)最大時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；
模塊三 面積，周長——轉(zhuǎn)化為豎直線段
例5．已知某二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣3，4），且圖象經(jīng)過點(diǎn)（0，﹣5）．
（1）求該二次函數(shù)的解析式．
（2）該二次函數(shù)與x軸交于點(diǎn)A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），與y軸交于點(diǎn)C．
①若點(diǎn)P是二次函數(shù)圖象對稱軸上一點(diǎn)，且PB+PC的值最小，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
②若在直線AC上方的拋物線上有一點(diǎn)M，使得△MAC的面積最大，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．
例6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+2過點(diǎn)（1，3），且交x軸于點(diǎn)A（﹣1，0），B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C．
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）點(diǎn)P是直線BC上方拋物線上的一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作PD⊥BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)P作y軸的平行線交直線BC于點(diǎn)E，求△PDE周長的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
聲明：試題解析著作權(quán)屬所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2025/（三）課堂小結(jié)（5 分鐘）
請學(xué)生回顧本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，總結(jié)求二次函數(shù)中線段最值問題的方法和思路。
教師進(jìn)行補(bǔ)充和完善：
對于水平或豎直線段，通過設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，利用縱坐標(biāo)或橫坐標(biāo)之差表示線段長度，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)最值問題。
對于傾斜線段，常通過構(gòu)造特殊三角形（如等腰直角三角形）、相似三角形或利用直線斜率關(guān)系等，將其轉(zhuǎn)化為水平或豎直線段問題，再借助二次函數(shù)求解。
在解決問題過程中，要善于運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，將復(fù)雜問題簡單化。
注意在求二次函數(shù)最值時(shí)，要結(jié)合函數(shù)的定義域（即點(diǎn)的坐標(biāo)取值范圍）來確定最終的最值。
（四）課后作業(yè)
1．如圖1，已知二次函數(shù)y＝ax2﹣a（a為常數(shù)，且a≠0）與x軸交于A、B，與y軸的交點(diǎn)為C．過點(diǎn)A的直線l：y＝kx+b（k，b為常數(shù)，且k≠0）與拋物線另一交點(diǎn)為E，交y軸于D．
（1）用含k的式子表示直線l的解析式；
（2）若a＝3，k，點(diǎn)P為拋物線上第四象限上的一動點(diǎn)，過P作y軸的平行線交AD于M，作PN⊥AD于N，當(dāng)△PMN面積有最大值時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
2．已知：二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，其中A點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣3，0），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D（﹣2，﹣3）在拋物線上．
（1）求拋物線的解析式；
（2）拋物線的對稱軸上有一動點(diǎn)P，求△PAD周長的最小值．
六、教學(xué)反思
在教學(xué)過程中，要注重引導(dǎo)學(xué)生積極思考，鼓勵(lì)學(xué)生大膽嘗試不同的解題方法。對于學(xué)生在練習(xí)和討論中出現(xiàn)的問題，要及時(shí)給予反饋和指導(dǎo)。通過本節(jié)課的教學(xué)，學(xué)生應(yīng)能較好地掌握二次函數(shù)中線段最值問題的解題方法，但對于一些基礎(chǔ)較薄弱的學(xué)生，可能在知識的綜合運(yùn)用和轉(zhuǎn)化思想的理解上還存在困難，需要在后續(xù)的教學(xué)中加強(qiáng)輔導(dǎo)和練習(xí)。同時(shí)，在教學(xué)中可進(jìn)一步加強(qiáng)與實(shí)際生活的聯(lián)系，讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)知識的實(shí)用性。
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