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2025年羅湖區(qū)中考備考百師助學(xué)課程之第二十三講《二次函數(shù)線段最值》教學(xué)設(shè)計(jì)

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  1. 二一教育資源

2025年羅湖區(qū)中考備考百師助學(xué)課程之第二十三講《二次函數(shù)線段最值》教學(xué)設(shè)計(jì)

資源簡介

羅湖區(qū)中考備考“百師助學(xué)”
《二次函數(shù)中的線段最值問題》
桂園中學(xué) 黎幼彥
一、教材分析
本節(jié)課是在學(xué)生學(xué)習(xí)了二次函數(shù)的概念、圖像及性質(zhì)的基礎(chǔ)上開展的,屬于二次函數(shù)知識的深化與應(yīng)用。其核心在于利用二次函數(shù)的相關(guān)知識解決線段最值問題,這在中考中常作為壓軸題的關(guān)鍵考點(diǎn)出現(xiàn),通過本節(jié)課的學(xué)習(xí),不僅能提升學(xué)生對二次函數(shù)知識的綜合運(yùn)用能力,還能培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和解題技巧,為后續(xù)解決更復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題奠定基礎(chǔ)。
二、教學(xué)目標(biāo)
知識與技能:學(xué)生能夠熟練掌握利用設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)的方法求解線段最值問題,學(xué)會將傾斜線段轉(zhuǎn)化為水平或豎直方向線段的技巧,能準(zhǔn)確運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)解決相關(guān)線段最值問題。
過程與方法:借助層層遞進(jìn)、由淺入深的例題探究,逐步培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力,在解題過程中深刻體會轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用,提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。
情感態(tài)度價(jià)值觀:鼓勵(lì)學(xué)生在克服困難的過程中獲得成功體驗(yàn),增強(qiáng)學(xué)好數(shù)學(xué)的信心;引導(dǎo)學(xué)生對解題過程進(jìn)行反思,掌握獲取新知識和新思想的方法,培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考、合作交流的學(xué)習(xí)習(xí)慣。
三、教學(xué)重難點(diǎn)
教學(xué)重點(diǎn):深入探究利用二次函數(shù)的最大值(或最小值)解決線段最值的方法,理解并掌握將各類線段最值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題的思路。
教學(xué)難點(diǎn):如何巧妙地將傾斜方向的線段轉(zhuǎn)化為水平或豎直方向的線段,從而順利解決最值問題,以及在復(fù)雜情境中準(zhǔn)確找到線段與二次函數(shù)之間的聯(lián)系。
四、教學(xué)方法
講授法、討論法、練習(xí)法相結(jié)合,通過教師的講解引導(dǎo),學(xué)生的小組討論和自主練習(xí),讓學(xué)生逐步掌握知識和方法。
五、教學(xué)過程
(一)復(fù)習(xí)引入(3 分鐘)
(二)學(xué)習(xí)過程(42分鐘)
模塊一:
鉛垂線段的求法——橫坐標(biāo)相同
水平線段的求法——縱坐標(biāo)相同
例1.如圖,拋物線與x軸交于A(-2,0)B(6,0)兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C(0,4),連接BC.
(1)直接寫出線段BC所在直線的函數(shù)表達(dá)式;
(2)點(diǎn)P是線段BC上方拋物線上的一個(gè)動點(diǎn),過點(diǎn)P作PM⊥x軸于點(diǎn)M,交BC于點(diǎn)N.求線段PN長的最大值.
例2.已知拋物線y=x2﹣2x﹣3,與x軸的交點(diǎn)為A(﹣1,0)和點(diǎn)B,與y軸的交點(diǎn)為C(0,﹣3),直線L:y=kx﹣1與拋物線的交點(diǎn)為點(diǎn)A和點(diǎn)D.
(1)求直線L的解析式;
(2)如圖,M為拋物線上一動點(diǎn)(不與A、D重合),當(dāng)點(diǎn)M在直線L下方時(shí),過點(diǎn)M作MN∥x軸交直線L于點(diǎn)N,求MN的最大值.
跟進(jìn)練習(xí):
1.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線的對稱軸是直線x=1,與x軸相交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C.
(1)求m的值及直線BC的表達(dá)式;
(2)M是第一象限內(nèi)拋物線上的一點(diǎn),過點(diǎn)M作MN⊥x軸于點(diǎn)N,交BC于點(diǎn)D.當(dāng)線段MD的長取最大值時(shí),求點(diǎn)M的坐標(biāo).
模塊二
斜線段的求法——化斜為直
如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=x2﹣4x﹣5圖象經(jīng)過A(5,0),B(-1,0), C(0,5)三點(diǎn).
直線CA的表達(dá)式為:y=x﹣5
問題:若點(diǎn)P是直線AC下方的拋物線上的一個(gè)動點(diǎn),作PD⊥AC于點(diǎn)D,當(dāng)PD的值最大時(shí),求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)及PD的最大值.
例4.二次函數(shù)y=﹣x2﹣3x+4的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(﹣4,0),B(1,0),與y軸交于點(diǎn)C,直線AC:y=x+4點(diǎn)P為第二象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn),連接BP、AC,交于點(diǎn)Q,過點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D.
請判斷:是否有最大值,如有請求出有最大值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo),如沒有請說明理由.
跟進(jìn)練習(xí):
1.如圖,拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)交x軸于點(diǎn)A(3,0),與y軸交于點(diǎn)B,頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,4).
(1)求直線AB與這個(gè)二次函數(shù)的解析式;
(2)在直線AB上方的拋物線上有一動點(diǎn)D,當(dāng)D與直線AB的距離DE最大時(shí),求點(diǎn)D的坐標(biāo),并求DE最大距離是多少?
2..已知拋物線y=﹣x2+bx+c,其對稱軸為直線x=1,與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A(﹣1,0),另一個(gè)交點(diǎn)為B,與y軸的交點(diǎn)為C.
(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式;
(2)如圖1,若點(diǎn)M為拋物線上第一象限內(nèi)一動點(diǎn),連接OM,交BC于點(diǎn)N,當(dāng)最大時(shí),求點(diǎn)M的坐標(biāo);
模塊三 面積,周長——轉(zhuǎn)化為豎直線段
例5.已知某二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣3,4),且圖象經(jīng)過點(diǎn)(0,﹣5).
(1)求該二次函數(shù)的解析式.
(2)該二次函數(shù)與x軸交于點(diǎn)A,B(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊),與y軸交于點(diǎn)C.
①若點(diǎn)P是二次函數(shù)圖象對稱軸上一點(diǎn),且PB+PC的值最小,求點(diǎn)P的坐標(biāo).
②若在直線AC上方的拋物線上有一點(diǎn)M,使得△MAC的面積最大,求點(diǎn)M的坐標(biāo).
例6.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=ax2+bx+2過點(diǎn)(1,3),且交x軸于點(diǎn)A(﹣1,0),B兩點(diǎn),交y軸于點(diǎn)C.
(1)求拋物線的表達(dá)式;
(2)點(diǎn)P是直線BC上方拋物線上的一動點(diǎn),過點(diǎn)P作PD⊥BC于點(diǎn)D,過點(diǎn)P作y軸的平行線交直線BC于點(diǎn)E,求△PDE周長的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo);
聲明:試題解析著作權(quán)屬所有,未經(jīng)書面同意,不得復(fù)制發(fā)布日期:2025/(三)課堂小結(jié)(5 分鐘)
請學(xué)生回顧本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容,總結(jié)求二次函數(shù)中線段最值問題的方法和思路。
教師進(jìn)行補(bǔ)充和完善:
對于水平或豎直線段,通過設(shè)點(diǎn)坐標(biāo),利用縱坐標(biāo)或橫坐標(biāo)之差表示線段長度,轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)最值問題。
對于傾斜線段,常通過構(gòu)造特殊三角形(如等腰直角三角形)、相似三角形或利用直線斜率關(guān)系等,將其轉(zhuǎn)化為水平或豎直線段問題,再借助二次函數(shù)求解。
在解決問題過程中,要善于運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想,將復(fù)雜問題簡單化。
注意在求二次函數(shù)最值時(shí),要結(jié)合函數(shù)的定義域(即點(diǎn)的坐標(biāo)取值范圍)來確定最終的最值。
(四)課后作業(yè)
1.如圖1,已知二次函數(shù)y=ax2﹣a(a為常數(shù),且a≠0)與x軸交于A、B,與y軸的交點(diǎn)為C.過點(diǎn)A的直線l:y=kx+b(k,b為常數(shù),且k≠0)與拋物線另一交點(diǎn)為E,交y軸于D.
(1)用含k的式子表示直線l的解析式;
(2)若a=3,k,點(diǎn)P為拋物線上第四象限上的一動點(diǎn),過P作y軸的平行線交AD于M,作PN⊥AD于N,當(dāng)△PMN面積有最大值時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo);
2.已知:二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與x軸交于A,B兩點(diǎn),其中A點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣3,0),與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)D(﹣2,﹣3)在拋物線上.
(1)求拋物線的解析式;
(2)拋物線的對稱軸上有一動點(diǎn)P,求△PAD周長的最小值.
六、教學(xué)反思
在教學(xué)過程中,要注重引導(dǎo)學(xué)生積極思考,鼓勵(lì)學(xué)生大膽嘗試不同的解題方法。對于學(xué)生在練習(xí)和討論中出現(xiàn)的問題,要及時(shí)給予反饋和指導(dǎo)。通過本節(jié)課的教學(xué),學(xué)生應(yīng)能較好地掌握二次函數(shù)中線段最值問題的解題方法,但對于一些基礎(chǔ)較薄弱的學(xué)生,可能在知識的綜合運(yùn)用和轉(zhuǎn)化思想的理解上還存在困難,需要在后續(xù)的教學(xué)中加強(qiáng)輔導(dǎo)和練習(xí)。同時(shí),在教學(xué)中可進(jìn)一步加強(qiáng)與實(shí)際生活的聯(lián)系,讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)知識的實(shí)用性。
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