資源簡介

“方程應用綜合”教學設計
設計者：深圳市羅湖區桂園中學 陳維揚
一、教學目標：
1.知識與技能：通過分析問題中的等量關系，建立方程解決實際問題。
2.過程與方法：通過運用一次方程（組）、二次方程、分式方程解決實際問題，培養學生觀察、歸納、應用能力。
3.情感與態度：在探究學習中體會數學的現實意義，培養學習數學的信心.
二、教學重點：建立數學模型，找出等量關系。
教學難點：列方程解決實際問題。
教學過程：
模塊一：一次方程(組)應用綜合
一次方程（組）的綜合應用在初中階段主要是運用一元一次方程及兩元一次方程組解決實際問題。在選填中一般為根據已知條件列方程(組)；在解答題中為根據已知條件,設未知數,列方程(組)并解決實際問題。
題目背景一般從實際生活中的問題出發,常與當下熱點信息、數學文化等結合。問題類型主要有:購買問題、銷售(打折)問題、分配問題、工程問題、行程問題、幾何圖形問題。解答題中一般為2問,除單獨考查一次方程(組)的實際應用外,還會與一次函數、分式方程、不等式等的實際應用結合。
（一）真題再現：例1．（2024 深圳）數學項目小組為解決某超市購物車從1樓到2樓的轉運問題，進行了實地調研，獲得如下信息：
信息1 購物車的尺寸如圖1所示．為節省空間，工作人員常將購物車疊放在一起形成購物車列．如圖2所示，3輛購物車疊放所形成的購物車列，長度為1.6米
信息2 購物車可以通過扶手電梯或直立電梯轉運．為安全起見，該超市的扶手電梯一次最多能轉運24輛購物車，直立電梯一次性最多能轉運2列長度均為2.6米的購物車列．
如果你是項目小組成員，請根據以上信息，完成下列問題：
（1）當輛購物車按圖2的方式疊放時，形成購物車列的長度為米，則與的關系式是 　；
（2）求該超市直立電梯一次最多能轉運的購物車數量；
（3）若該超市需轉運100輛購物車，使用電梯總次數為5次，則有哪幾種使用電梯次數的分配方案？請說明理由．
例2（2023 深圳）某商場在世博會上購置，兩種玩具，其中玩具的單價比玩具的單價貴25元，且購置2個玩具與1個玩具共花費200元．
（1）求，玩具的單價；
（2）若該商場要求購置玩具的數量是玩具數量的2倍，且購置玩具的總額不高于20000元，則該商場最多可以購置多少個玩具？
自我檢測
1．（2020 深圳）端午節前夕，某商鋪用620元購進50個肉粽和30個蜜棗粽，肉粽的進貨單價比蜜棗粽的進貨單價多6元．
（1）肉粽和蜜棗粽的進貨單價分別是多少元？
（2）由于粽子暢銷，商鋪決定再購進這兩種粽子共300個，其中肉粽數量不多于蜜棗粽數量的2倍，且每種粽子的進貨單價保持不變，若肉粽的銷售單價為14元，蜜棗粽的銷售單價為6元，試問第二批購進肉粽多少個時，全部售完后，第二批粽子獲得利潤最大？第二批粽子的最大利潤是多少元？
2．（2019 深圳）有、兩個發電廠，每焚燒一噸垃圾，發電廠比發電廠多發40度電，焚燒20噸垃圾比焚燒30噸垃圾少1800度電．
（1）求焚燒1噸垃圾，和各發電多少度？
（2）、兩個發電廠共焚燒90噸的垃圾，焚燒的垃圾不多于焚燒的垃圾兩倍，求廠和廠總發電量的最大值．
3．（2024 珠海一模）根據以下素材，探索完成任務．
如何設計獎品購買及兌換方案？
素材1 某文具店銷售某種鋼筆與筆記本，已知鋼筆的單價是筆記本的2倍，用120元購買筆記本的數量比用160元購買鋼筆的數量多8件．
素材2 某學校花費400元購買該文具店的鋼筆和筆記本作為獎品頒發給“優秀學生”，兩種獎品的購買數量共50件．
素材3 學校花費400元后，文具店贈送張兌換券（如圖）用于商品兌換．兌換后，筆記本與鋼筆數量相同．
問題解決
任務1 探求商品單價 請運用適當方法，求出鋼筆與筆記本的單價．
任務2 求獎品的購買方案 購買鋼筆和筆記本數量的方案．
任務3 確定兌換方式 運用數學知識，確定符合條件的一種兌換方式．
模塊二： 二次方程應用綜合
二次方程的綜合應用在初中階段主要是運用一元二次方程來解決實際問題,或運用一元二次方程的有關性質解決一些代數問題,如運用一元二次方程解的概念和根的判別式求相關代數式的值等.運用二次方程解決實際問題的關鍵是找等量關系。解答題中一般為1~2問,除單獨考查一次方程(組)的實際應用外,還會與一次函數、分式方程、不等式等的實際應用結合.
真題再現
例1．（2025 深圳模擬）某校在科技節開幕式上，計劃用一塊正方形空地進行無人機表演，從這塊空地上劃出部分區域作為安全區（如圖），原空地一邊減少了，另一邊減少了，剩余空地為起飛區．設原正方形空地的邊長為．
（1）起飛區的邊的長為 　　（用含的代數式表示）；
（2）若起飛區的面積為，求原正方形空地的邊長．
例2．（2017 深圳）一個矩形周長為56厘米．
（1）當矩形面積為180平方厘米時，長寬分別為多少？
（2）能圍成面積為200平方厘米的矩形嗎？請說明理由．
自我檢測
1、2025年春節聯歡晚會吉祥物“巳升升”，設計靈感來源于中華傳統文化，整體造型參考甲骨文中的“巳”字，采用青綠色為主色調，外形憨態可掬，寓意“福從頭起，尾隨如意”，在市場上一度走紅．
（1）據統計某“巳升升”電商平臺2024年12月份的銷售量是5萬件，2025年2月份的銷售量是7.2萬件，若月平均增長率相同，求月平均增長率；
（2）某實體店“巳升升”的進價力每件60元，若售價定為每件100元，則每天能銷售20件，經市場調查發現，售價每降價1元，每天可多售出2件，為了推廣宣傳，商家決定降價促銷，同時盡量減少庫存，若使每天銷售后獲利1200元，則售價應降低多少元？
2、（2023 澄城縣一模）某商店銷售一款工藝品，每件成本為100元，為了合理定價，投放市場進行試銷．據市場調查，銷售單價是160元時，每月的銷售量是200件，而銷售單價每降價1元，每月可多銷售10件．設這種工藝品每件降價元．
（1）每件工藝品的實際利潤為 　 　元（用含有的式子表示）；
（2）為達到每月銷售這種工藝品的利潤為15000元，且要求降價不超過20元，那么每件工藝品應降價多少元？
3、（2022 盤錦）某商場新進一批拼裝玩具，進價為每個10元，在銷售過程中發現，日銷售量（個與銷售單價（元之間滿足如圖所示的一次函數關系．
（1）求與的函數關系式（不要求寫出自變量的取值范圍）；
（2）若該玩具某天的銷售利潤是600元，則當天玩具的銷售單價是多少元？
（3）設該玩具日銷售利潤為元，當玩具的銷售單價定為多少元時，日銷售利潤最大？最大利潤是多少元？
模塊三： 分式方程應用綜合
分式方程的綜合應用主要是列分式方程解應用題，列分式方程解應用題的關鍵是找到相等關系列出方程。如果方程中含有字母表示的已知數,需根據題意變換條件，實現轉化，設未知數而不求解是常見的技巧之一。
分母里含有未知數的方程叫做分式方程.解分式方程的基本思想是化為整式方程有兩種做法:一是去分母;二是換元。解分式方程一定要驗根,所以在利用分式方程解應用題時,一定要注意驗根。
真題再現
例1．（2022 深圳）某學校打算購買甲乙兩種不同類型的筆記本．已知甲種類型的筆記本的單價比乙種類型的要便宜1元，且用110元購買的甲種類型的數量與用120元購買的乙種類型的數量一樣．
（1）求甲乙兩種類型筆記本的單價．
（2）該學校打算購買甲乙兩種類型筆記本共100件，且購買的乙的數量不超過甲的3倍，則購買的最低費用是多少．
例2．（2024 深圳模擬）某水果商販用600元購進了一批水果，上市后銷售非常好，商販又用1400元購進第二批這種水果，所購水果數量是第一批購進數量的2倍，但每箱進價多了5元．
（1）求該商販第一批購進水果每箱多少元；
（2）由于儲存不當，第二批購進的水果中有腐壞，不能售賣，該商販將兩批水果按同一價格全部銷售完畢后獲利不低于800元，求每箱水果的售價至少是多少元？
自我檢測
1.據燈塔專業版數據，截止2025年2月18日，《哪吒之魔童鬧海》總票房達123.2億元，登頂全球動畫電影票房榜，是亞洲首部票房過百億的影片，并創造了全球單一電影市場最高票房紀錄．該片來源于哪吒鬧海的傳統故事，但又重塑了全新的“魔童”哪吒形象：表面吊兒郎當，實則勇敢堅毅，強烈反差引發情感共鳴；“我命由我不由天”的不屈精神，讓觀眾淚目．為滿足兒童對哪吒的喜愛，某玩具店決定各用300元購進了、兩種哪吒玩偶．已知一個種哪吒玩偶是一個種玩偶價格的2倍，且購進兩種玩偶的數量共15個．
（1）求購進、兩種哪吒玩偶的單價各是多少元？
（2）因銷售效果不錯，該玩具店決定再次購進、兩種哪吒玩偶共80個，且種哪吒玩偶的數量不多于種哪吒玩偶數量的2倍，問此次購進至少要花多少錢？
2.（2025 南山區一模）綜合與實踐
如何分配工作，使公司支付的總工資最少
素材1 某公司生產傳統藝術織品，今年初，公司承接到2160個藝術織品的訂單，計劃將任務分配給甲、乙兩個生產部門去完成．甲部門每天生產的總數是乙部門每天生產總數的2倍，甲部門單獨完成這項任務所需的時間比乙部門單獨完成少18天．
素材2 經調查，這項訂單需要支付甲部門4800元天，乙部門3000元天．
素材3 由于甲部門有其他工作任務，甲部門工作天數不超過乙部門工作天數的一半．
問題解決：
任務1．確定工作效率
求甲、乙兩部門原來每天分別生產多少個傳統藝術織品？
任務2．擬訂設計方案
①若設甲部門工作天，則甲部門完成傳統藝術織品　　 個，乙部門工作時間可表示為　　 天．
②如何安排甲、乙兩部門工作的天數，才能使正好完成任務時該公司支付的總工資最少？最少需要多少元？
3.（2025 榆社縣一模）“冰雪同夢，亞洲同心．”2025年2月7日至2月14日，在黑龍江省哈爾濱市舉辦的第九屆亞洲冬季運動會的吉祥物是“濱濱”和“妮妮”．某經銷商計劃購進一批以“濱濱”和“妮妮”為主題的“手辦擺件”和“卡通徽章”進行銷售，在采購時發現，用2000元采購“手辦擺件”的個數與用2600元采購“卡通徽章”的個數相等，一個“手辦擺件”的進價比一個“卡通徽章”的進價少15元．
（1）求采購“手辦擺件”和“卡通徽章”的單價分別是多少元．
（2）若該經銷商計劃采購“手辦擺件”和“卡通徽章”共100個，并且總費用不超過6000元，則該經銷商至少采購“手辦擺件”多少個？
五、作業布置

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