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第一章 集合、常用邏輯用語、不等式（單元測試）
（考試時間：120分鐘 試卷滿分：150分）
注意事項：
1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。
2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。
第一部分（選擇題 共58分）
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1．設(shè)集合，，則圖中陰影部分表示的集合為（ ）
A． B． C． D．
2．命題“”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
3．設(shè)且，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
4．已知集合，，若 ，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
5．已知，則的最小值為（ ）
A．2 B． C．4 D．9
6．已知是函數(shù)的圖象上兩個不同的點，則（ ）
A． B．
C． D．
7．已知向量不共線，，其中，若三點共線，則的最小值為（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
8．若實數(shù)x，y，z滿足，且，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9．已知集合，，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則可以取3
10．已知全集，集合，且滿足：，則下列說法正確的為（ ）
A． B．
C．集合可能是 D．
11．已知，滿足，且，則下列結(jié)論正確的有（ ）
A． B．
C．的最大值為2 D．的最小值為
第二部分（非選擇題 共92分）
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12．已知集合，則 ．
13．已知關(guān)于的二次不等式的解集為，則不等式的解集為 .（用集合或區(qū)間表示）
14．已知有限集合，定義集合中的元素的個數(shù)為集合A的“容量”，記為.若集合，且，則正整數(shù)n的值是 .
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步棸。
15．（13分）
已知集合，集合．
(1)當時，求；
(2)若，求實數(shù)的取值范圍；
(3)若，求實數(shù)的取值范圍．
16．（15分）
在經(jīng)濟學中，函數(shù)的邊際函數(shù).某公司每月最多生產(chǎn)臺光刻機的某種設(shè)備，生產(chǎn)臺時()這種設(shè)備的收入函數(shù)為（單位：千萬元），其成本函數(shù)為（單位:千萬元）．
(1)求成本函數(shù)的邊際函數(shù)的最大值；
(2)求生產(chǎn)臺光刻機的這種設(shè)備的利潤的最小值．
17．（15分）
設(shè)函數(shù).
(1)若，求的解集；
(2)若不等式對一切實數(shù)恒成立，求a的取值范圍；
(3)解關(guān)于的不等式：.
18．（17分）
已知，.
(1)若，證明；
(2)若，不等式恒成立，求的取值范圍；
(3)若，求的最大值.
19．（17分）
對于非空數(shù)集，，若，則稱數(shù)集具有性質(zhì)．
(1)若數(shù)集具有性質(zhì)，證明：；判斷，是否具有性質(zhì)，并說明理由．
(2)若滿足①；②，當時，都有．
（ⅰ）判斷“數(shù)集具有性質(zhì)”是否是“數(shù)列為等差數(shù)列”的充要條件，并說明理由；
（ⅱ）已知數(shù)集具有性質(zhì)，數(shù)集．若數(shù)集具有性質(zhì)且，求滿足題意的數(shù)集的個數(shù)．
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第一章 集合、常用邏輯用語、不等式（單元測試）
（考試時間：120分鐘 試卷滿分：150分）
注意事項：
1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。
2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。
第一部分（選擇題 共58分）
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1．設(shè)集合，，則圖中陰影部分表示的集合為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因為，
所以，
所以陰影部分表示的集合為.
故選：C.
2．命題“”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由全稱量詞命題的否定可知，
命題的否定是，
故選：D
3．設(shè)且，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】若，則，即.
令，則.
當時，；當時，.
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
，所以方程有唯一解，即，
所以方程的解為.
若，則，解得或，所以或.
故“”是“”的必要不充分條件.
故選：B.
4．已知集合，，若 ，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】依題意，，，
因為 ，所以，解得，
所以實數(shù)的取值范圍為.
故選：C.
5．已知，則的最小值為（ ）
A．2 B． C．4 D．9
【答案】C
【解析】由，得，
當且僅當時取等號得出最小值4，
故選：C.
6．已知是函數(shù)的圖象上兩個不同的點，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由題意不妨設(shè)，因為函數(shù)是增函數(shù)，
所以，即，
對于選項AB：因為，
即，且函數(shù)是增函數(shù)，
所以，故B正確，A錯誤；
對于選項D：例如，則，
可得，即，故D錯誤；
對于選項C：例如，則，
可得，即，故C錯誤，
故選：B.
7．已知向量不共線，，其中，若三點共線，則的最小值為（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【解析】因為三點共線，所以存在實數(shù)，使，即，
又向量不共線，所以，整理，得，
由，所以，
當且僅當時，取等號，即的最小值為4.
故選：B．
8．若實數(shù)x，y，z滿足，且，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因為,
所以且,
故且,
所以,
故,
,
所以,
所以,
故選：A．
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9．已知集合，，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則可以取3
【答案】AC
【解析】對于AB，若，則任意實數(shù)均滿足，因此，A正確，B錯誤；
對于CD，由，得，解得，C正確，D錯誤.
故選：AC.
10．已知全集，集合，且滿足：，則下列說法正確的為（ ）
A． B．
C．集合可能是 D．
【答案】BCD
【解析】由題意知
所以，
對于 A，因為，且，所以，A 選項錯誤；
對于B，由于，所以，B 選項正確；
對于C，已知，這意味著既屬于A又屬于B，
若，當時，
此時滿足所有已知條件，故C選項正確；
對于D，因為，又，所以，D選項正確；
故選：BCD.
11．已知，滿足，且，則下列結(jié)論正確的有（ ）
A． B．
C．的最大值為2 D．的最小值為
【答案】ACD
【解析】，
所以，
解得，故A正確；
所以，即，故B錯誤；
由得，，
，
構(gòu)造以為兩根的一元二次方程，
則，故CD正確；
故選：ACD．
第二部分（非選擇題 共92分）
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12．已知集合，則 ．
【答案】
【解析】由題意知，，
所以．
故答案為：
13．已知關(guān)于的二次不等式的解集為，則不等式的解集為 .（用集合或區(qū)間表示）
【答案】或
【解析】由題意可知的兩根分別為，
由韋達定理可得，
所以不等式即為，
即，解得或.
所以原不等式的解集為：或.
故答案為：或
14．已知有限集合，定義集合中的元素的個數(shù)為集合A的“容量”，記為.若集合，且，則正整數(shù)n的值是 .
【答案】2025
【解析】若集合，則集合，
故，解得.
故答案為：
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步棸。
15．（13分）
已知集合，集合．
(1)當時，求；
(2)若，求實數(shù)的取值范圍；
(3)若，求實數(shù)的取值范圍．
【解析】（1）由，則，故；
（2）由，則，可得；
（3）由，即，
若，則，可得；
若，則，無解；
綜上，.
16．（15分）
在經(jīng)濟學中，函數(shù)的邊際函數(shù).某公司每月最多生產(chǎn)臺光刻機的某種設(shè)備，生產(chǎn)臺時()這種設(shè)備的收入函數(shù)為（單位：千萬元），其成本函數(shù)為（單位:千萬元）．
(1)求成本函數(shù)的邊際函數(shù)的最大值；
(2)求生產(chǎn)臺光刻機的這種設(shè)備的利潤的最小值．
【解析】（1）由，，
可得，，
在時單調(diào)遞增，
故當時，
（2）由,
故．
記，則該函數(shù)在上遞減，在上遞增，且，
于是當時，得最小值.
由，解得或，（千萬元）
17．（15分）
設(shè)函數(shù).
(1)若，求的解集；
(2)若不等式對一切實數(shù)恒成立，求a的取值范圍；
(3)解關(guān)于的不等式：.
【解析】（1）由函數(shù)，
若，可得，
又由，即不等式，即，
因為，且函數(shù)對應的拋物線開口向上，
所以不等式的解集為，即的解集為.
（2）由對一切實數(shù)恒成立，
即對恒成立，
，
，
，
，
當且僅當時，即時等號成立，
所以的取值范圍是.
（3）依題意，等價于，
當時，不等式可化為，所以不等式的解集為.
當時，不等式可化為，此時，
所以不等式的解集為.
當時，不等式化為，
①當時，，不等式的解集為；
②當時，，不等式的解集為或；
③當時，，不等式的解集為或；
綜上，當時，原不等式的解集為或；
當時，原不等式的解集為；
當時，原不等式的解集為或；
當時，原不等式的解集為；
當時，原不等式的解集為.
18．（17分）
已知，.
(1)若，證明；
(2)若，不等式恒成立，求的取值范圍；
(3)若，求的最大值.
【解析】（1）由得，，
所以，
當且僅當時，取得等號.
（2）由得，，
即，
所以
，當且僅當時等號成立，
由題意可知，，
整理得，
解得或(舍去)，所以，
故實數(shù)的取值范圍為.
（3）因為，所以，
，
故，
當且僅當時，取得等號，故的最大值為.
19．（17分）
對于非空數(shù)集，，若，則稱數(shù)集具有性質(zhì)．
(1)若數(shù)集具有性質(zhì)，證明：；判斷，是否具有性質(zhì)，并說明理由．
(2)若滿足①；②，當時，都有．
（ⅰ）判斷“數(shù)集具有性質(zhì)”是否是“數(shù)列為等差數(shù)列”的充要條件，并說明理由；
（ⅱ）已知數(shù)集具有性質(zhì)，數(shù)集．若數(shù)集具有性質(zhì)且，求滿足題意的數(shù)集的個數(shù)．
【解析】（1）令，則，又數(shù)集具有性質(zhì)，即，所以．
，，所以具有性質(zhì)；
，，，所以，所以不具有性質(zhì)．
（2）（2）（ⅰ）“數(shù)集具有性質(zhì)”是“數(shù)列為等差數(shù)列”的充要條件．
先證必要性：由題知，數(shù)列單調(diào)遞增，當數(shù)列為等差數(shù)列時，設(shè)公差為，則．
則，顯然，所以數(shù)集具有性質(zhì)．
再證充分性：顯然，其中，有個元素，，，
又，數(shù)集具有性質(zhì)，即，
則，所以．
所以，又，所以數(shù)列是以0為首項，為公差的等差數(shù)列．
綜上，“數(shù)集具有性質(zhì)”是“數(shù)列為等差數(shù)列”的充要條件．
（ⅱ）由（ⅰ）知數(shù)列是以0為首項，為公差的等差數(shù)列，即，
由知，共有11個元素．數(shù)集具有性質(zhì)，則中的元素從小到大也構(gòu)成首項為0，公差為的等差數(shù)列．
第一種情況：，則的個數(shù)為．
第二種情況：，若，則的個數(shù)為；
若，則的個數(shù)為；
若，則的個數(shù)為；
若，則的個數(shù)為1．
綜上，滿足題意的數(shù)集的個數(shù)為．
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