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第一章 集合、常用邏輯用語、不等式(單元測試)-2026年新高考數(shù)學大一輪復習講義之方法技巧與題型全歸納(新高考專用)

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第一章 集合、常用邏輯用語、不等式(單元測試)-2026年新高考數(shù)學大一輪復習講義之方法技巧與題型全歸納(新高考專用)

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第一章 集合、常用邏輯用語、不等式(單元測試)
(考試時間:120分鐘 試卷滿分:150分)
注意事項:
1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。
2.回答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑。如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案標號。回答非選擇題時,將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。
3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。
第一部分(選擇題 共58分)
一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。
1.設(shè)集合,,則圖中陰影部分表示的集合為( )
A. B. C. D.
2.命題“”的否定是( )
A. B.
C. D.
3.設(shè)且,則“”是“”的( )
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
4.已知集合,,若 ,則實數(shù)的取值范圍為( )
A. B. C. D.
5.已知,則的最小值為( )
A.2 B. C.4 D.9
6.已知是函數(shù)的圖象上兩個不同的點,則( )
A. B.
C. D.
7.已知向量不共線,,其中,若三點共線,則的最小值為( )
A.5 B.4 C.3 D.2
8.若實數(shù)x,y,z滿足,且,則的取值范圍為( )
A. B. C. D.
二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分.
9.已知集合,,下列結(jié)論正確的是( )
A.若,則 B.若,則
C.若,則 D.若,則可以取3
10.已知全集,集合,且滿足:,則下列說法正確的為( )
A. B.
C.集合可能是 D.
11.已知,滿足,且,則下列結(jié)論正確的有( )
A. B.
C.的最大值為2 D.的最小值為
第二部分(非選擇題 共92分)
三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分。
12.已知集合,則 .
13.已知關(guān)于的二次不等式的解集為,則不等式的解集為 .(用集合或區(qū)間表示)
14.已知有限集合,定義集合中的元素的個數(shù)為集合A的“容量”,記為.若集合,且,則正整數(shù)n的值是 .
四、解答題:本題共5小題,共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步棸。
15.(13分)
已知集合,集合.
(1)當時,求;
(2)若,求實數(shù)的取值范圍;
(3)若,求實數(shù)的取值范圍.
16.(15分)
在經(jīng)濟學中,函數(shù)的邊際函數(shù).某公司每月最多生產(chǎn)臺光刻機的某種設(shè)備,生產(chǎn)臺時()這種設(shè)備的收入函數(shù)為(單位:千萬元),其成本函數(shù)為(單位:千萬元).
(1)求成本函數(shù)的邊際函數(shù)的最大值;
(2)求生產(chǎn)臺光刻機的這種設(shè)備的利潤的最小值.
17.(15分)
設(shè)函數(shù).
(1)若,求的解集;
(2)若不等式對一切實數(shù)恒成立,求a的取值范圍;
(3)解關(guān)于的不等式:.
18.(17分)
已知,.
(1)若,證明;
(2)若,不等式恒成立,求的取值范圍;
(3)若,求的最大值.
19.(17分)
對于非空數(shù)集,,若,則稱數(shù)集具有性質(zhì).
(1)若數(shù)集具有性質(zhì),證明:;判斷,是否具有性質(zhì),并說明理由.
(2)若滿足①;②,當時,都有.
(ⅰ)判斷“數(shù)集具有性質(zhì)”是否是“數(shù)列為等差數(shù)列”的充要條件,并說明理由;
(ⅱ)已知數(shù)集具有性質(zhì),數(shù)集.若數(shù)集具有性質(zhì)且,求滿足題意的數(shù)集的個數(shù).
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第一章 集合、常用邏輯用語、不等式(單元測試)
(考試時間:120分鐘 試卷滿分:150分)
注意事項:
1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。
2.回答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑。如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案標號。回答非選擇題時,將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。
3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。
第一部分(選擇題 共58分)
一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。
1.設(shè)集合,,則圖中陰影部分表示的集合為( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因為,
所以,
所以陰影部分表示的集合為.
故選:C.
2.命題“”的否定是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由全稱量詞命題的否定可知,
命題的否定是,
故選:D
3.設(shè)且,則“”是“”的( )
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】若,則,即.
令,則.
當時,;當時,.
在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,
,所以方程有唯一解,即,
所以方程的解為.
若,則,解得或,所以或.
故“”是“”的必要不充分條件.
故選:B.
4.已知集合,,若 ,則實數(shù)的取值范圍為( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】依題意,,,
因為 ,所以,解得,
所以實數(shù)的取值范圍為.
故選:C.
5.已知,則的最小值為( )
A.2 B. C.4 D.9
【答案】C
【解析】由,得,
當且僅當時取等號得出最小值4,
故選:C.
6.已知是函數(shù)的圖象上兩個不同的點,則( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由題意不妨設(shè),因為函數(shù)是增函數(shù),
所以,即,
對于選項AB:因為,
即,且函數(shù)是增函數(shù),
所以,故B正確,A錯誤;
對于選項D:例如,則,
可得,即,故D錯誤;
對于選項C:例如,則,
可得,即,故C錯誤,
故選:B.
7.已知向量不共線,,其中,若三點共線,則的最小值為( )
A.5 B.4 C.3 D.2
【答案】B
【解析】因為三點共線,所以存在實數(shù),使,即,
又向量不共線,所以,整理,得,
由,所以,
當且僅當時,取等號,即的最小值為4.
故選:B.
8.若實數(shù)x,y,z滿足,且,則的取值范圍為( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因為,
所以且,
故且,
所以,
故,
,
所以,
所以,
故選:A.
二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分.
9.已知集合,,下列結(jié)論正確的是( )
A.若,則 B.若,則
C.若,則 D.若,則可以取3
【答案】AC
【解析】對于AB,若,則任意實數(shù)均滿足,因此,A正確,B錯誤;
對于CD,由,得,解得,C正確,D錯誤.
故選:AC.
10.已知全集,集合,且滿足:,則下列說法正確的為( )
A. B.
C.集合可能是 D.
【答案】BCD
【解析】由題意知
所以,
對于 A,因為,且,所以,A 選項錯誤;
對于B,由于,所以,B 選項正確;
對于C,已知,這意味著既屬于A又屬于B,
若,當時,
此時滿足所有已知條件,故C選項正確;
對于D,因為,又,所以,D選項正確;
故選:BCD.
11.已知,滿足,且,則下列結(jié)論正確的有( )
A. B.
C.的最大值為2 D.的最小值為
【答案】ACD
【解析】,
所以,
解得,故A正確;
所以,即,故B錯誤;
由得,,

構(gòu)造以為兩根的一元二次方程,
則,故CD正確;
故選:ACD.
第二部分(非選擇題 共92分)
三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分。
12.已知集合,則 .
【答案】
【解析】由題意知,,
所以.
故答案為:
13.已知關(guān)于的二次不等式的解集為,則不等式的解集為 .(用集合或區(qū)間表示)
【答案】或
【解析】由題意可知的兩根分別為,
由韋達定理可得,
所以不等式即為,
即,解得或.
所以原不等式的解集為:或.
故答案為:或
14.已知有限集合,定義集合中的元素的個數(shù)為集合A的“容量”,記為.若集合,且,則正整數(shù)n的值是 .
【答案】2025
【解析】若集合,則集合,
故,解得.
故答案為:
四、解答題:本題共5小題,共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步棸。
15.(13分)
已知集合,集合.
(1)當時,求;
(2)若,求實數(shù)的取值范圍;
(3)若,求實數(shù)的取值范圍.
【解析】(1)由,則,故;
(2)由,則,可得;
(3)由,即,
若,則,可得;
若,則,無解;
綜上,.
16.(15分)
在經(jīng)濟學中,函數(shù)的邊際函數(shù).某公司每月最多生產(chǎn)臺光刻機的某種設(shè)備,生產(chǎn)臺時()這種設(shè)備的收入函數(shù)為(單位:千萬元),其成本函數(shù)為(單位:千萬元).
(1)求成本函數(shù)的邊際函數(shù)的最大值;
(2)求生產(chǎn)臺光刻機的這種設(shè)備的利潤的最小值.
【解析】(1)由,,
可得,,
在時單調(diào)遞增,
故當時,
(2)由,
故.
記,則該函數(shù)在上遞減,在上遞增,且,
于是當時,得最小值.
由,解得或,(千萬元)
17.(15分)
設(shè)函數(shù).
(1)若,求的解集;
(2)若不等式對一切實數(shù)恒成立,求a的取值范圍;
(3)解關(guān)于的不等式:.
【解析】(1)由函數(shù),
若,可得,
又由,即不等式,即,
因為,且函數(shù)對應的拋物線開口向上,
所以不等式的解集為,即的解集為.
(2)由對一切實數(shù)恒成立,
即對恒成立,




當且僅當時,即時等號成立,
所以的取值范圍是.
(3)依題意,等價于,
當時,不等式可化為,所以不等式的解集為.
當時,不等式可化為,此時,
所以不等式的解集為.
當時,不等式化為,
①當時,,不等式的解集為;
②當時,,不等式的解集為或;
③當時,,不等式的解集為或;
綜上,當時,原不等式的解集為或;
當時,原不等式的解集為;
當時,原不等式的解集為或;
當時,原不等式的解集為;
當時,原不等式的解集為.
18.(17分)
已知,.
(1)若,證明;
(2)若,不等式恒成立,求的取值范圍;
(3)若,求的最大值.
【解析】(1)由得,,
所以,
當且僅當時,取得等號.
(2)由得,,
即,
所以
,當且僅當時等號成立,
由題意可知,,
整理得,
解得或(舍去),所以,
故實數(shù)的取值范圍為.
(3)因為,所以,

故,
當且僅當時,取得等號,故的最大值為.
19.(17分)
對于非空數(shù)集,,若,則稱數(shù)集具有性質(zhì).
(1)若數(shù)集具有性質(zhì),證明:;判斷,是否具有性質(zhì),并說明理由.
(2)若滿足①;②,當時,都有.
(ⅰ)判斷“數(shù)集具有性質(zhì)”是否是“數(shù)列為等差數(shù)列”的充要條件,并說明理由;
(ⅱ)已知數(shù)集具有性質(zhì),數(shù)集.若數(shù)集具有性質(zhì)且,求滿足題意的數(shù)集的個數(shù).
【解析】(1)令,則,又數(shù)集具有性質(zhì),即,所以.
,,所以具有性質(zhì);
,,,所以,所以不具有性質(zhì).
(2)(2)(ⅰ)“數(shù)集具有性質(zhì)”是“數(shù)列為等差數(shù)列”的充要條件.
先證必要性:由題知,數(shù)列單調(diào)遞增,當數(shù)列為等差數(shù)列時,設(shè)公差為,則.
則,顯然,所以數(shù)集具有性質(zhì).
再證充分性:顯然,其中,有個元素,,,
又,數(shù)集具有性質(zhì),即,
則,所以.
所以,又,所以數(shù)列是以0為首項,為公差的等差數(shù)列.
綜上,“數(shù)集具有性質(zhì)”是“數(shù)列為等差數(shù)列”的充要條件.
(ⅱ)由(ⅰ)知數(shù)列是以0為首項,為公差的等差數(shù)列,即,
由知,共有11個元素.數(shù)集具有性質(zhì),則中的元素從小到大也構(gòu)成首項為0,公差為的等差數(shù)列.
第一種情況:,則的個數(shù)為.
第二種情況:,若,則的個數(shù)為;
若,則的個數(shù)為;
若,則的個數(shù)為;
若,則的個數(shù)為1.
綜上,滿足題意的數(shù)集的個數(shù)為.
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