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1.5 一元二次不等式與其他常見(jiàn)不等式解法(10大題型)-2026年新高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)講義之方法技巧與題型全歸納(新高考專用)

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1.5 一元二次不等式與其他常見(jiàn)不等式解法(10大題型)-2026年新高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)講義之方法技巧與題型全歸納(新高考專用)

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1.5 一元二次不等式與其他常見(jiàn)不等式解法
【題型歸納目錄】
題型一:不含參數(shù)一元二次不等式的解法
題型二:含參數(shù)一元二次不等式的解法
題型三:一元二次不等式與韋達(dá)定理及判別式
題型四:其他不等式解法
題型五:二次函數(shù)根的分布問(wèn)題
題型六:一元二次不等式恒(能)成立問(wèn)題
題型七:絕對(duì)值不等式
題型八:探討含參數(shù)絕對(duì)值不等式的求解方法
題型九:根據(jù)不等式組的整數(shù)解個(gè)數(shù)或范圍
題型十:通過(guò)解不等式組確定參數(shù)的取值范圍
【考點(diǎn)預(yù)測(cè)】
1、一元二次不等式
一元二次不等式,其中,是方程的兩個(gè)根,且
(1)當(dāng)時(shí),二次函數(shù)圖象開(kāi)口向上.
(2)①若,解集為.
②若,解集為.
③若,解集為.
(2) 當(dāng)時(shí),二次函數(shù)圖象開(kāi)口向下.
①若,解集為
②若,解集為
2、分式不等式
(1)
(2)
(3)
(4)
3、絕對(duì)值不等式
(1)
(2);

(3)含有兩個(gè)或兩個(gè)以上絕對(duì)值符號(hào)的不等式,可用零點(diǎn)分段法和圖象法求解
【方法技巧與總結(jié)】
1、已知關(guān)于的不等式的解集為(其中),解關(guān)于的不等式.
由的解集為,得:的解集為,即關(guān)于的不等式的解集為.
已知關(guān)于的不等式的解集為,解關(guān)于的不等式.
由的解集為,得:的解集為即關(guān)于的不等式的解集為.
2、已知關(guān)于的不等式的解集為(其中),解關(guān)于的不等式.
由的解集為,得:的解集為即關(guān)于的不等式的解集為.
3、已知關(guān)于的不等式的解集為,解關(guān)于的不等式.
由的解集為,得:的解集為即關(guān)于的不等式的解集為,以此類推.
4、已知關(guān)于的一元二次不等式的解集為,則一定滿足;
5、已知關(guān)于的一元二次不等式的解集為,則一定滿足;
6、已知關(guān)于的一元二次不等式的解集為,則一定滿足;
7、已知關(guān)于的一元二次不等式的解集為,則一定滿足.
【典型例題】
題型一:不含參數(shù)一元二次不等式的解法
【例1】不等式的解集為( )
A. B.
C.或 D.
【變式1-1】不等式的解集為( )
A. B.
C. D.
【變式1-2】不等式的解集是( )
A. B. C. D.
【變式1-3】不等式的解集是( )
A. B.
C. D.或
題型二:含參數(shù)一元二次不等式的解法
【例2】若,則關(guān)于x的不等式的解集為( )
A. B.
C. D.
【變式2-1】已知實(shí)數(shù),則不等式的解集不可能是( )
A. B.
C.或 D.或
【變式2-2】已知,則關(guān)于x的不等式的解集為( )
A. B.
C.或 D.或
【變式2-3】已知函數(shù).
(1)若不等式的解集為,求的取值范圍;
(2)解關(guān)于的不等式.
題型三:一元二次不等式與韋達(dá)定理及判別式
【例3】(多選題)已知關(guān)于的不等式的解集為,則( )
A.
B.不等式的解集是
C.
D.不等式的解集為或
【變式3-1】(多選題)關(guān)于的不等式的解集為或,下列說(shuō)法正確的是( )
A. B.不等式的解集為
C.的最大值為 D.
【變式3-2】(多選題)不等式的解集是,對(duì)于系數(shù),下列結(jié)論正確的是( )
A.
B.
C.
D.不等式的解集為
【變式3-3】(多選題)已知關(guān)于的一元二次不等式的解集為或,則( )
A.且 B.
C.不等式的解集為 D.不等式的解集為
題型四:其他不等式解法
【例4】不等式的解集為 .
【變式4-1】(2025·上海浦東新·三模)設(shè)為實(shí)數(shù),則不等式的解集是 .
【變式4-2】(2025·北京·模擬預(yù)測(cè))不等式的解集為 .
【變式4-3】(2025·江蘇宿遷·二模)設(shè)函數(shù),其中.若對(duì)任意的恒成立,則 .
題型五:二次函數(shù)根的分布問(wèn)題
【例5】(2025·高三·江西九江·期末)已知實(shí)數(shù),且關(guān)于x的一元二次方程有實(shí)數(shù)根,則的最小值為 .
【變式5-1】若下列兩個(gè)方程:,至少有一個(gè)方程有實(shí)根,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 .
【變式5-2】已知關(guān)于的方程的兩根分別在區(qū)間,內(nèi),則實(shí)數(shù)的取值范圍為 .
【變式5-3】關(guān)于的方程在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)不等實(shí)根,則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .
題型六:一元二次不等式恒(能)成立問(wèn)題
【例6】若命題“,”是真命題,則實(shí)數(shù)的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
【變式6-1】已知函數(shù)的定義域是,則的取值范圍是( )
A. B. C. D.
【變式6-2】若存在實(shí)數(shù)使得不等式恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是( )
A. B. C. D.
【變式6-3】若關(guān)于x的不等式在區(qū)間上有解,則實(shí)數(shù)m的最小值為( )
A.9 B.6 C. D.5
題型七:絕對(duì)值不等式
【例7】(2025·上海崇明·二模)不等式的解為 .
【變式7-1】(2025·高三·上海·開(kāi)學(xué)考試)不等式的解集為 .
【變式7-2】(2025·上海虹口·模擬預(yù)測(cè))不等式的解集為 .
【變式7-3】(2025·上海浦東新·三模)不等式的解集是 .
題型八:探討含參數(shù)絕對(duì)值不等式的求解方法
【例8】不等式中的取值范圍是,則 .
【變式8-1】若關(guān)于的不等式的解集為,則a= .
【變式8-2】若關(guān)于的不等式的解集不是,則實(shí)數(shù)的最大值是
題型九:根據(jù)不等式組的整數(shù)解個(gè)數(shù)或范圍
【例9】關(guān)于的不等式組的整數(shù)解的集合為,求實(shí)數(shù)的取值范圍( )
A. B. C. D.
【變式9-1】已知關(guān)于的不等式組僅有一個(gè)整數(shù)解,則的取值范圍為( )
A. B. C. D.
【變式9-2】已知關(guān)于的不等式組僅有一個(gè)整數(shù)解,則的取值范圍為( )
A.或 B.或
C.或 D.或
題型十:通過(guò)解不等式組確定參數(shù)的取值范圍
【例10】(2025·黑龍江·模擬預(yù)測(cè))為實(shí)數(shù),不等式組的解集為,則 .
【變式10-1】若關(guān)于的不等式組有實(shí)數(shù)解,則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .
【變式10-2】已知關(guān)于的不等式組沒(méi)有實(shí)數(shù)解,則實(shí)數(shù)的取值范圍為 .
【變式10-3】若不等式組的解集為空集,則實(shí)數(shù)的取值范圍為 .
【變式10-4】已知、,關(guān)于的不等式組解集為,則的值為 .
【過(guò)關(guān)測(cè)試】
1.(2025·高三·全國(guó)·專題練習(xí))已知,且,是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,則,,,的大小關(guān)系是( )
A. B.
C. D.
2.(2025·高一·陜西安康·期末)已知,且是方程的兩根,則( )
A. B. C. D.
3.(2025·高一·上海·期中)已知不等式 的解集是,則
①;
②若不等式的解集為,則;
③若不等式的解集為,則;
④若不等式的解集為,且,則.
其中正確的是( )
A.①② B.①④ C.①②④ D.①②③
4.(2025·高三·全國(guó)·專題練習(xí))若關(guān)于的不等式的解集中恰有3個(gè)整數(shù),則實(shí)數(shù)的取值范圍為( )
A. B. C. D.
5.(2025·陜西渭南·二模)若關(guān)于的不等式有且只有一個(gè)整數(shù)解,則實(shí)數(shù)的取值范圍是( )
A. B. C. D.
6.(2025·高三·廣東深圳·階段練習(xí))若關(guān)于的不等式的解集是,則的取值范圍是( )
A. B. C. D.
7.(2025·廣西南寧·二模)已知函數(shù),.若不等式的解集為,則( )
A. B.1 C. D.2
8.(2025·高一·山西呂梁·階段練習(xí))函數(shù)的定義域?yàn)椋魸M足:①在內(nèi)是單調(diào)函數(shù);②存在,使得在上的值域也是,則稱為高斯函數(shù).若是高斯函數(shù),則實(shí)數(shù)的取值范圍是( )
A. B. C. D.
9.(多選題)(2025·高一·山東菏澤·期中)已知為任意實(shí)數(shù),關(guān)于的方程,則( )
A.當(dāng)時(shí),方程有兩實(shí)數(shù)根
B.當(dāng)時(shí),方程有兩異號(hào)的實(shí)數(shù)根
C.當(dāng)時(shí),方程有兩實(shí)數(shù)根,,則
D.若方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,,則
10.(多選題)(2025·高一·四川德陽(yáng)·階段練習(xí))設(shè)為實(shí)數(shù),已知關(guān)于的方程,則下列說(shuō)法正確的是( )
A.當(dāng)時(shí),方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根之和為
B.方程無(wú)實(shí)數(shù)根的一個(gè)必要條件是
C.方程有兩個(gè)不相等的正根的一個(gè)充分條件是
D.方程有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根的充要條件是
11.(多選題)(2025·高一·福建南平·期中)已知二次函數(shù)(a,b,c為常數(shù),且)的部分圖象如圖所示,則( )
A. B.
C. D.不等式的解集為
12.(多選題)(2025·高二·山西臨汾·階段練習(xí))已知不等式的解集為或,則下列結(jié)論正確的是( )
A. B.
C. D.的解集為
13.(2025·高一·江蘇泰州·期末)若關(guān)于的不等式的解集為,且.則的取值范圍為 ,的最小值是 .
14.(2025·高三·安徽亳州·階段練習(xí))已知關(guān)于的一元二次不等式的解集為,則關(guān)于的不等式的解集為 .
15.(2025·高三·廣東揭陽(yáng)·階段練習(xí))若關(guān)于的不等式的解集為,則不等式的解集為 .
16.(2025·新疆·模擬預(yù)測(cè))已知不等式的解集為,若關(guān)于的不等式的解集非空,則的最小值是 .
17.(2025·高三·上海·階段練習(xí))關(guān)于的一元二次不等式的解集為空集的充要條件為 .
18.(2025·高三·甘肅天水·階段練習(xí))關(guān)于的不等式的解集中恰有個(gè)整數(shù),則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .
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1.5 一元二次不等式與其他常見(jiàn)不等式解法
【題型歸納目錄】
題型一:不含參數(shù)一元二次不等式的解法
題型二:含參數(shù)一元二次不等式的解法
題型三:一元二次不等式與韋達(dá)定理及判別式
題型四:其他不等式解法
題型五:二次函數(shù)根的分布問(wèn)題
題型六:一元二次不等式恒(能)成立問(wèn)題
題型七:絕對(duì)值不等式
題型八:探討含參數(shù)絕對(duì)值不等式的求解方法
題型九:根據(jù)不等式組的整數(shù)解個(gè)數(shù)或范圍
題型十:通過(guò)解不等式組確定參數(shù)的取值范圍
【考點(diǎn)預(yù)測(cè)】
1、一元二次不等式
一元二次不等式,其中,是方程的兩個(gè)根,且
(1)當(dāng)時(shí),二次函數(shù)圖象開(kāi)口向上.
(2)①若,解集為.
②若,解集為.
③若,解集為.
(2) 當(dāng)時(shí),二次函數(shù)圖象開(kāi)口向下.
①若,解集為
②若,解集為
2、分式不等式
(1)
(2)
(3)
(4)
3、絕對(duì)值不等式
(1)
(2);

(3)含有兩個(gè)或兩個(gè)以上絕對(duì)值符號(hào)的不等式,可用零點(diǎn)分段法和圖象法求解
【方法技巧與總結(jié)】
1、已知關(guān)于的不等式的解集為(其中),解關(guān)于的不等式.
由的解集為,得:的解集為,即關(guān)于的不等式的解集為.
已知關(guān)于的不等式的解集為,解關(guān)于的不等式.
由的解集為,得:的解集為即關(guān)于的不等式的解集為.
2、已知關(guān)于的不等式的解集為(其中),解關(guān)于的不等式.
由的解集為,得:的解集為即關(guān)于的不等式的解集為.
3、已知關(guān)于的不等式的解集為,解關(guān)于的不等式.
由的解集為,得:的解集為即關(guān)于的不等式的解集為,以此類推.
4、已知關(guān)于的一元二次不等式的解集為,則一定滿足;
5、已知關(guān)于的一元二次不等式的解集為,則一定滿足;
6、已知關(guān)于的一元二次不等式的解集為,則一定滿足;
7、已知關(guān)于的一元二次不等式的解集為,則一定滿足.
【典型例題】
題型一:不含參數(shù)一元二次不等式的解法
【例1】不等式的解集為( )
A. B.
C.或 D.
【答案】A
【解析】解不等式,得,
所以原不等式的解集為.
故選:A.
【變式1-1】不等式的解集為( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由得,即,
解得或
所以不等式的解集為
故選:C.
【變式1-2】不等式的解集是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】不等式化為:,而,
所以的不等式無(wú)解,即解集為.
故選:B
【變式1-3】不等式的解集是( )
A. B.
C. D.或
【答案】D
【解析】由,得到,解得或,
所以不等式的解集是或,
故選:D.
題型二:含參數(shù)一元二次不等式的解法
【例2】若,則關(guān)于x的不等式的解集為( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】當(dāng)時(shí),,解,得,
所以不等式的解集為.
故選:D
【變式2-1】已知實(shí)數(shù),則不等式的解集不可能是( )
A. B.
C.或 D.或
【答案】D
【解析】分、、三種情況討論計(jì)算,分別求出不等式的解集,即可判斷.
由,
當(dāng)時(shí),不等式即為,解得,
即不等式的解集為;
當(dāng)時(shí),解方程得,
則當(dāng)時(shí),,函數(shù)開(kāi)口向上,
故不等式的解集為;
當(dāng)時(shí),,函數(shù)開(kāi)口向下,
所以不等式的解集為或.
綜上可得:當(dāng)時(shí),不等式的解集為;
當(dāng)時(shí),不等式的解集為;
當(dāng)時(shí),不等式的解集為或,
所以不等式的解集不可能是選項(xiàng)D對(duì)應(yīng)的解集.
故選:D.
【變式2-2】已知,則關(guān)于x的不等式的解集為( )
A. B.
C.或 D.或
【答案】D
【解析】,

原不等式等價(jià)于,解得或,
所以不等式的解集為或.
故選:D.
【變式2-3】已知函數(shù).
(1)若不等式的解集為,求的取值范圍;
(2)解關(guān)于的不等式.
【解析】(1)由題意,不等式的解集為,
則不等式在上恒成立,
當(dāng),即時(shí),不等式為,不恒成立,不符合題意;
當(dāng)時(shí),有,解得,
所以的取值范圍為.
(2)由,即,
當(dāng),即時(shí),不等式為,解得;
當(dāng),即時(shí),,
不等式為,解得或;
當(dāng),即時(shí),,
不等式為,解得.
綜上所述,當(dāng)時(shí),不等式的解集為;
當(dāng)時(shí),不等式的解集為;
當(dāng)時(shí),不等式的解集為.
題型三:一元二次不等式與韋達(dá)定理及判別式
【例3】(多選題)已知關(guān)于的不等式的解集為,則( )
A.
B.不等式的解集是
C.
D.不等式的解集為或
【答案】BD
【解析】由題意可得1和5是方程的兩根,且,
由韋達(dá)定理可得,得,
對(duì)于A,因?yàn)椋蔄錯(cuò)誤;
對(duì)于B,不等式,即,即,得,
所以不等式的解集是,故B正確;
對(duì)于C,,故C錯(cuò)誤;
對(duì)于D,由不等式,得,即,
則,得或,即解集為或,故D正確.
故選:BD.
【變式3-1】(多選題)關(guān)于的不等式的解集為或,下列說(shuō)法正確的是( )
A. B.不等式的解集為
C.的最大值為 D.
【答案】ACD
【解析】對(duì)于:不等式的解集為或,
故和是方程的兩個(gè)根,
所以,解得,故正確,
對(duì)于:可變?yōu)椋獾没颍叔e(cuò)誤,
對(duì)于,,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)等號(hào)成立,所以的最大值為,故正確;
對(duì)于,是對(duì)應(yīng)方程的根,所以,故正確.
故選:ACD.
【變式3-2】(多選題)不等式的解集是,對(duì)于系數(shù),下列結(jié)論正確的是( )
A.
B.
C.
D.不等式的解集為
【答案】BCD
【解析】因?yàn)椴坏仁降慕饧癁椋?br/>所以有,因此選項(xiàng)A不正確,選項(xiàng)B正確;
,因此選項(xiàng)C正確;
,選項(xiàng)D正確,
故選:BCD.
【變式3-3】(多選題)已知關(guān)于的一元二次不等式的解集為或,則( )
A.且 B.
C.不等式的解集為 D.不等式的解集為
【答案】AC
【解析】由題意可知,則,
對(duì)于A,所以且,故A正確,
對(duì)于B,, 故B錯(cuò)誤;
對(duì)于C,不等式,故C正確;
對(duì)于D,不等式,又,
可得,所以或,故D錯(cuò)誤.
故選:AC.
題型四:其他不等式解法
【例4】不等式的解集為 .
【答案】
【解析】,
令,因?yàn)椋院愠闪ⅲ?br/>所以,即,解得,
所以不等式的解集為.
故答案為:.
【變式4-1】(2025·上海浦東新·三模)設(shè)為實(shí)數(shù),則不等式的解集是 .
【答案】
【解析】因?yàn)椋?br/>解得且,即,
所以不等式的解集是.
故答案為:
【變式4-2】(2025·北京·模擬預(yù)測(cè))不等式的解集為 .
【答案】
【解析】由得,即,
整理得:,即,
即,解得或,
故不等式的解集為.
故答案為:
【變式4-3】(2025·江蘇宿遷·二模)設(shè)函數(shù),其中.若對(duì)任意的恒成立,則 .
【答案】
【解析】因?yàn)椋瑒t,
令,可得或或,
由于,則,

令,
令可得或或,
由于,則,
由可得,
若,取,,,
當(dāng)時(shí),,,此時(shí),,
當(dāng)時(shí),由穿根法可知,,矛盾,
所以,,即,則,
所以,
因?yàn)閷?duì)任意的恒成立,
所以對(duì)任意的恒成立,則,解得,
因此,.
故答案為:.
題型五:二次函數(shù)根的分布問(wèn)題
【例5】(2025·高三·江西九江·期末)已知實(shí)數(shù),且關(guān)于x的一元二次方程有實(shí)數(shù)根,則的最小值為 .
【答案】
【解析】由題意可得,①
令,
若,則以及,則,即;
由①式消去c,得,
即,即或;
所以,解得,
時(shí)“”成立,故;
若,則以及,則,即;
由①式消去c,得,
即,②
當(dāng)時(shí),②式成立;
當(dāng)時(shí),由②式得或,
所以,解得,故,
時(shí)“”成立,所以,
若,則以及,則,即,
由①式消去a,整理得,
即,即或,
所以,解得,
時(shí)“”成立,故.
綜上所述,,取“”成立時(shí),或,
故.
故答案為:.
【變式5-1】若下列兩個(gè)方程:,至少有一個(gè)方程有實(shí)根,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 .
【答案】或.
【解析】有實(shí)根,則,
解得或,
有實(shí)根,則,
解得或,
故實(shí)數(shù)a的取值范圍是或或或.
故答案為:或.
【變式5-2】已知關(guān)于的方程的兩根分別在區(qū)間,內(nèi),則實(shí)數(shù)的取值范圍為 .
【答案】
【解析】令,
根據(jù)題意得,
由①得:,由②得:,由③得:,
求交集得:
故的取值范圍為.
故答案為:
【變式5-3】關(guān)于的方程在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)不等實(shí)根,則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .
【答案】
【解析】關(guān)于的方程在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)不等實(shí)根,令,
則有,解得,
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故答案為:
題型六:一元二次不等式恒(能)成立問(wèn)題
【例6】若命題“,”是真命題,則實(shí)數(shù)的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】命題“,”等價(jià)于有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根,
所以,即,解得或,
故選:D.
【變式6-1】已知函數(shù)的定義域是,則的取值范圍是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根據(jù)題意對(duì)于恒成立;
當(dāng)時(shí),顯然成立,可得符合題意;
當(dāng)時(shí),若滿足題意可得,解得;
當(dāng)時(shí),若滿足題意可得,此時(shí)無(wú)解;
綜上可得,的取值范圍是.
故選:C
【變式6-2】若存在實(shí)數(shù)使得不等式恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】若,當(dāng)時(shí),
當(dāng)時(shí),不等式成立,
當(dāng)時(shí),不等式成立,
當(dāng)時(shí),不等式成立,
所以滿足條件,
若,
當(dāng)時(shí),不等式對(duì)任意的成立,
當(dāng)時(shí),不等式可化為,
又拋物線的對(duì)稱軸方程為,
由已知,且,
當(dāng)時(shí),不等式可化為,
由已知結(jié)合條件,且可得,
,且,
所以的取值范圍是,
綜上:;
故選:A.
【變式6-3】若關(guān)于x的不等式在區(qū)間上有解,則實(shí)數(shù)m的最小值為( )
A.9 B.6 C. D.5
【答案】D
【解析】關(guān)于x的不等式在區(qū)間上有解,
等價(jià)于在區(qū)間上有解,即在區(qū)間上有解,
又,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取最小值6.
故,可得.
故選:D
題型七:絕對(duì)值不等式
【例7】(2025·上海崇明·二模)不等式的解為 .
【答案】
【解析】,即,解得,
故所求解集為.
故答案為:.
【變式7-1】(2025·高三·上海·開(kāi)學(xué)考試)不等式的解集為 .
【答案】
【解析】因?yàn)椋曰颍?br/>所以或或,
所以.
故答案為:.
【變式7-2】(2025·上海虹口·模擬預(yù)測(cè))不等式的解集為 .
【答案】
【解析】,當(dāng)時(shí),,解得,故解集為,
當(dāng)時(shí),,解集為,
當(dāng)時(shí),,解得,故解集為,
綜上:不等式的解集為.
故答案為:
【變式7-3】(2025·上海浦東新·三模)不等式的解集是 .
【答案】
【解析】當(dāng)時(shí),,解得,此時(shí)解集為空集,
當(dāng)時(shí),,即,符合要求,此時(shí)解集為,
當(dāng)時(shí),,解得,此時(shí)解集為空集,
綜上:不等式的解集為.
故答案為:
題型八:探討含參數(shù)絕對(duì)值不等式的求解方法
【例8】不等式中的取值范圍是,則 .
【答案】
【解析】由知,,
有,.
故答案為:
【變式8-1】若關(guān)于的不等式的解集為,則a= .
【答案】
【解析】①若顯然不成立;
②若,不等式的解為,
因?yàn)椴坏仁降慕饧癁椋?br/>所以,無(wú)解;
③若,不等式的解為,
因?yàn)椴坏仁降慕饧癁椋?br/>所以,解得.
綜上所述,.
故答案為:
【變式8-2】若關(guān)于的不等式的解集不是,則實(shí)數(shù)的最大值是
【答案】
【解析】不等式
變形為
構(gòu)造函數(shù)
當(dāng)時(shí),
當(dāng)時(shí),
當(dāng)時(shí),
即,畫(huà)出函數(shù)圖像如下圖所示:
因?yàn)椴皇强占?即有解
所以從圖像可知,
即實(shí)數(shù)的最大值是3
故答案為:3
題型九:根據(jù)不等式組的整數(shù)解個(gè)數(shù)或范圍
【例9】關(guān)于的不等式組的整數(shù)解的集合為,求實(shí)數(shù)的取值范圍( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由,可得或;由 ,可得(*).
① 若,即時(shí),則由(*),可得,此時(shí)原不等式的解集為,顯然不符合題意;
② 若時(shí),則由(*),可得,顯然不符合題意;
③ 若時(shí),則由(*),可得,
此時(shí)要使不等式組的整數(shù)解的集合為,須使,即.
綜上可得,實(shí)數(shù)的取值范圍
故選:B.
【變式9-1】已知關(guān)于的不等式組僅有一個(gè)整數(shù)解,則的取值范圍為( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由,即,
解得或,由,
即,因?yàn)椋?br/>不等式的解集為,
結(jié)合題意,此時(shí)原不等式組的解集為,且僅有一個(gè)整數(shù)解,
所以.
故選:B.
【變式9-2】已知關(guān)于的不等式組僅有一個(gè)整數(shù)解,則的取值范圍為( )
A.或 B.或
C.或 D.或
【答案】B
【解析】,解得或,
變形為,
當(dāng),即時(shí),不等式解集為空集,不合要求,舍去,
當(dāng),即時(shí),解集為,
要想不等式組僅有一個(gè)整數(shù)解,則,解得,
與求交集得;
當(dāng),即時(shí),解決為,
要想不等式組僅有一個(gè)整數(shù)解,則,解得,
與求交集得,
綜上,的取值范圍是或.
故選:B
題型十:通過(guò)解不等式組確定參數(shù)的取值范圍
【例10】(2025·黑龍江·模擬預(yù)測(cè))為實(shí)數(shù),不等式組的解集為,則 .
【答案】 0 0
【解析】先證明都不小于零,不妨假設(shè),考慮不等式,
因?yàn)椴坏仁浇M有解集,故不等式必定有解,
設(shè)方程的兩實(shí)數(shù)根為,
則不等式的解集為,
不等式組的解集為不等式的子集,
與解集為矛盾,故假設(shè)錯(cuò)誤,.
同理可知,,
再證明至少有一個(gè)為零,不妨設(shè)均為正數(shù),
則的圖象均開(kāi)口向上,
不等式組的解集應(yīng)該還有的部分,與已知矛盾,故假設(shè)錯(cuò)誤,
所以中至少有一個(gè)為零.
顯然不全為0,分類討論如下:
若中的兩個(gè)為0,不妨設(shè),
則不等式組為解集為此時(shí)
若中的1個(gè)為0,不妨設(shè),
則不等式組為,其中不等式的解集為,
不等式的解集為,不等式恒成立,
因?yàn)椋什坏仁浇M的解集為,此時(shí),
綜上,.
故答案為:0,0
【變式10-1】若關(guān)于的不等式組有實(shí)數(shù)解,則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .
【答案】
【解析】根據(jù)題意,由解得,
當(dāng)時(shí),由解得,顯然此時(shí)不等式組有實(shí)數(shù)解,
當(dāng)時(shí),由可知,顯然此時(shí)不等式組有實(shí)數(shù)解,
當(dāng)時(shí),由解得,
∵關(guān)于的不等式組有實(shí)數(shù)解,
∴,又,則有,解得,
綜上所述的取值范圍為,
故答案為:.
【變式10-2】已知關(guān)于的不等式組沒(méi)有實(shí)數(shù)解,則實(shí)數(shù)的取值范圍為 .
【答案】.
【解析】由可得,
由可得,
若不等式組沒(méi)有實(shí)數(shù)解,
則.
故答案為:.
【變式10-3】若不等式組的解集為空集,則實(shí)數(shù)的取值范圍為 .
【答案】
【解析】由,可得,
對(duì)于不等式(*),
若,則不等式(*)的解集為空集,符合題意;
若,則由不等式(*)可得,要使不等式組解集為空集,需使,即;
若,則由不等式(*)可得,要使不等式組解集為空集,需使,故.
綜上可得,實(shí)數(shù)的取值范圍為.
故答案為:
【變式10-4】已知、,關(guān)于的不等式組解集為,則的值為 .
【答案】
【解析】①當(dāng)時(shí)顯然不成立;
②當(dāng)時(shí),不等式組可化為,
設(shè)的兩根為,則有,即,
故不等式組化為,根據(jù)不等式組的解集為,可知不符合題意;
③當(dāng)時(shí),不等式組可化為,
即,根據(jù)不等式組的解集為,可得
,解得,故,,
所以.
故答案為:.
【過(guò)關(guān)測(cè)試】
1.(2025·高三·全國(guó)·專題練習(xí))已知,且,是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,則,,,的大小關(guān)系是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】,為方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,,為函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo),
令,,為函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo),
函數(shù)的圖象可由的圖象向上平移2024個(gè)單位長(zhǎng)度得到,

故選:C.
2.(2025·高一·陜西安康·期末)已知,且是方程的兩根,則( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】在區(qū)間內(nèi),,.
已知和是方程的兩根,
根據(jù)韋達(dá)定理有,.
因?yàn)椋?
又因?yàn)椋?則.
所以,
又,即,解得.
故選:C.
3.(2025·高一·上海·期中)已知不等式 的解集是,則
①;
②若不等式的解集為,則;
③若不等式的解集為,則;
④若不等式的解集為,且,則.
其中正確的是( )
A.①② B.①④ C.①②④ D.①②③
【答案】C
【解析】由題意,不等式的解集是,
所以,,所以①正確;
變形為,其解集為,
所以,得,故成立,所以②正確;
若不等式的解集為,由韋達(dá)定理知:
,所以③錯(cuò)誤;
若不等式的解集為,即的解集為,
由韋達(dá)定理知:,
則,解得,
所以④正確.
綜上,正確的為:①②④
故選:C
4.(2025·高三·全國(guó)·專題練習(xí))若關(guān)于的不等式的解集中恰有3個(gè)整數(shù),則實(shí)數(shù)的取值范圍為( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】不等式可化為,
當(dāng)時(shí),不等式的解集為,要使解集中恰有3個(gè)整數(shù),則這3個(gè)整數(shù)只能是4,5,6,所以;
當(dāng)時(shí),不等式的解集為,此時(shí)不符合題意;
當(dāng)時(shí),不等式的解集為,要使解集中恰有3個(gè)整數(shù),則這3個(gè)整數(shù)只能是0,1,2,所以.
綜上可知,實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故選:C.
5.(2025·陜西渭南·二模)若關(guān)于的不等式有且只有一個(gè)整數(shù)解,則實(shí)數(shù)的取值范圍是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】當(dāng)時(shí),解得:,不滿足條件;
故,關(guān)于的不等式可得,
所以,即,
方程的兩根為,
當(dāng)時(shí),不等式可化為,,
解集為:,不滿足條件;
當(dāng)時(shí),不等式可化為,
當(dāng)時(shí),則,即,不等式的解集為:,
要使不等式有且只有一個(gè)整數(shù)解,則,又因?yàn)椋粷M足條件;
當(dāng)時(shí),則,即,不等式的解集為空集,
當(dāng)時(shí),則,即,不等式的解集為,
要使不等式有且只有一個(gè)整數(shù)解,則,解得:,
故實(shí)數(shù)的取值范圍是:.
故選:B.
6.(2025·高三·廣東深圳·階段練習(xí))若關(guān)于的不等式的解集是,則的取值范圍是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因?yàn)殛P(guān)于的不等式的解集是,所以可知,
所以原不等式可化為
顯然是方程的兩根,
所以只須,解得,
所以的取值范圍是.
故選:A
7.(2025·廣西南寧·二模)已知函數(shù),.若不等式的解集為,則( )
A. B.1 C. D.2
【答案】A
【解析】,
根據(jù)選項(xiàng)可知:只需要考慮,
要使不等式的解集為,
當(dāng)時(shí),
故,解得,
當(dāng)時(shí),無(wú)法滿足的解集為,故舍去,
故選:A
8.(2025·高一·山西呂梁·階段練習(xí))函數(shù)的定義域?yàn)椋魸M足:①在內(nèi)是單調(diào)函數(shù);②存在,使得在上的值域也是,則稱為高斯函數(shù).若是高斯函數(shù),則實(shí)數(shù)的取值范圍是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增,
由題意知,
所以是方程在上的兩個(gè)不等實(shí)根,
令,則,
所以在上有兩個(gè)不等實(shí)根,
令,對(duì)稱軸,
則,即,解得,
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故選:D.
9.(多選題)(2025·高一·山東菏澤·期中)已知為任意實(shí)數(shù),關(guān)于的方程,則( )
A.當(dāng)時(shí),方程有兩實(shí)數(shù)根
B.當(dāng)時(shí),方程有兩異號(hào)的實(shí)數(shù)根
C.當(dāng)時(shí),方程有兩實(shí)數(shù)根,,則
D.若方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,,則
【答案】AB
【解析】對(duì)于A:因?yàn)椋?dāng)時(shí),
所以方程有兩實(shí)數(shù)根,故A正確;
對(duì)于B:若方程有兩異號(hào)的實(shí)數(shù)根,則,解得,
即當(dāng)時(shí),方程有兩異號(hào)的實(shí)數(shù)根,故B正確;
對(duì)于C:當(dāng)時(shí),方程無(wú)實(shí)數(shù)根,故C錯(cuò)誤;
對(duì)于D:若方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,,則,即,
當(dāng)時(shí),方程的兩根,,顯然無(wú)意義,故D錯(cuò)誤.
故選:AB
10.(多選題)(2025·高一·四川德陽(yáng)·階段練習(xí))設(shè)為實(shí)數(shù),已知關(guān)于的方程,則下列說(shuō)法正確的是( )
A.當(dāng)時(shí),方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根之和為
B.方程無(wú)實(shí)數(shù)根的一個(gè)必要條件是
C.方程有兩個(gè)不相等的正根的一個(gè)充分條件是
D.方程有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根的充要條件是
【答案】BD
【解析】對(duì)于A,當(dāng)時(shí),方程為,而方程無(wú)實(shí)根,故A錯(cuò)誤;
對(duì)于B,由題意可得,
由,解得,,故B正確;
對(duì)于C,由題意可得,
由B可知不等式的解集為,
解不等式可得,
所以不等式組的解集為,,故C錯(cuò)誤,
對(duì)于D,由題意可得,解得,故D正確.
故選:BD.
11.(多選題)(2025·高一·福建南平·期中)已知二次函數(shù)(a,b,c為常數(shù),且)的部分圖象如圖所示,則( )
A. B.
C. D.不等式的解集為
【答案】BCD
【解析】由題設(shè)及函數(shù)圖象知:且,
所以,則,,,A錯(cuò),B、C對(duì);
,則,D對(duì).
故選:BCD
12.(多選題)(2025·高二·山西臨汾·階段練習(xí))已知不等式的解集為或,則下列結(jié)論正確的是( )
A. B.
C. D.的解集為
【答案】ABC
【解析】因?yàn)椴坏仁降慕饧癁榛颍?br/>可知,且的根為,故A正確;
則,可得,
則,,B正確;C正確;
因?yàn)椋矗遥?br/>則0,解得,
所以的解集為,D錯(cuò)誤.
故選:ABC.
13.(2025·高一·江蘇泰州·期末)若關(guān)于的不等式的解集為,且.則的取值范圍為 ,的最小值是 .
【答案】 .
【解析】的解集為,
則有2個(gè)大于1的根,則,
由韋達(dá)定理,可得,則.
注意到,
因,則,則,

.
當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等號(hào).
故答案為:;.
14.(2025·高三·安徽亳州·階段練習(xí))已知關(guān)于的一元二次不等式的解集為,則關(guān)于的不等式的解集為 .
【答案】
【解析】由于一元二次不等式的解集為,故是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,故,解得,
故為,故,解得,
故解集為,
故答案為:
15.(2025·高三·廣東揭陽(yáng)·階段練習(xí))若關(guān)于的不等式的解集為,則不等式的解集為 .
【答案】
【解析】不等式的解集為,
方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為和,
由根與系數(shù)的關(guān)系得:,則,故,
即:,解得或;
所求不等式的解集為.
故答案為:.
16.(2025·新疆·模擬預(yù)測(cè))已知不等式的解集為,若關(guān)于的不等式的解集非空,則的最小值是 .
【答案】
【解析】由于,故不等式的解集為,所以.
這表明條件等價(jià)于關(guān)于的不等式的解集非空.
假設(shè),則對(duì)任意都有,所以的解集為空,不滿足條件,故一定有.
而當(dāng)時(shí),對(duì)有,所以不等式的解集包含,一定非空,滿足條件.
所以的最小值是.
故答案為:.
17.(2025·高三·上海·階段練習(xí))關(guān)于的一元二次不等式的解集為空集的充要條件為 .
【答案】
【解析】由題意知,二次函數(shù)開(kāi)口向上,且與軸最多有一個(gè)交點(diǎn),
則.
故答案為:.
18.(2025·高三·甘肅天水·階段練習(xí))關(guān)于的不等式的解集中恰有個(gè)整數(shù),則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .
【答案】
【解析】關(guān)于的不等式可化為,
當(dāng)時(shí),解得,要使解集中恰有兩個(gè)整數(shù),則,得;
當(dāng)時(shí),不等式化為,此時(shí)無(wú)解;
當(dāng)時(shí),解得,要使解集中恰有兩個(gè)整數(shù),則,得.
綜上,實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故答案為:.
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