資源簡(jiǎn)介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺(tái)
1.5 一元二次不等式與其他常見(jiàn)不等式解法
【題型歸納目錄】
題型一：不含參數(shù)一元二次不等式的解法
題型二：含參數(shù)一元二次不等式的解法
題型三：一元二次不等式與韋達(dá)定理及判別式
題型四：其他不等式解法
題型五：二次函數(shù)根的分布問(wèn)題
題型六：一元二次不等式恒(能)成立問(wèn)題
題型七：絕對(duì)值不等式
題型八：探討含參數(shù)絕對(duì)值不等式的求解方法
題型九：根據(jù)不等式組的整數(shù)解個(gè)數(shù)或范圍
題型十：通過(guò)解不等式組確定參數(shù)的取值范圍
【考點(diǎn)預(yù)測(cè)】
1、一元二次不等式
一元二次不等式，其中，是方程的兩個(gè)根，且
（1）當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)圖象開(kāi)口向上.
（2）①若，解集為.
②若，解集為.
③若，解集為.
(2) 當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)圖象開(kāi)口向下.
①若，解集為
②若，解集為
2、分式不等式
（1）
（2）
（3）
（4）
3、絕對(duì)值不等式
（1）
（2）；
；
（3）含有兩個(gè)或兩個(gè)以上絕對(duì)值符號(hào)的不等式，可用零點(diǎn)分段法和圖象法求解
【方法技巧與總結(jié)】
1、已知關(guān)于的不等式的解集為（其中），解關(guān)于的不等式．
由的解集為，得:的解集為，即關(guān)于的不等式的解集為．
已知關(guān)于的不等式的解集為，解關(guān)于的不等式．
由的解集為，得:的解集為即關(guān)于的不等式的解集為．
2、已知關(guān)于的不等式的解集為（其中），解關(guān)于的不等式．
由的解集為，得:的解集為即關(guān)于的不等式的解集為．
3、已知關(guān)于的不等式的解集為，解關(guān)于的不等式．
由的解集為，得:的解集為即關(guān)于的不等式的解集為，以此類推．
4、已知關(guān)于的一元二次不等式的解集為，則一定滿足；
5、已知關(guān)于的一元二次不等式的解集為，則一定滿足；
6、已知關(guān)于的一元二次不等式的解集為，則一定滿足；
7、已知關(guān)于的一元二次不等式的解集為，則一定滿足．
【典型例題】
題型一：不含參數(shù)一元二次不等式的解法
【例1】不等式的解集為（ ）
A． B．
C．或 D．
【變式1-1】不等式的解集為（ ）
A． B．
C． D．
【變式1-2】不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【變式1-3】不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．或
題型二：含參數(shù)一元二次不等式的解法
【例2】若，則關(guān)于x的不等式的解集為（ ）
A． B．
C． D．
【變式2-1】已知實(shí)數(shù)，則不等式的解集不可能是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【變式2-2】已知，則關(guān)于x的不等式的解集為（ ）
A． B．
C．或 D．或
【變式2-3】已知函數(shù).
(1)若不等式的解集為，求的取值范圍；
(2)解關(guān)于的不等式.
題型三：一元二次不等式與韋達(dá)定理及判別式
【例3】（多選題）已知關(guān)于的不等式的解集為，則（ ）
A．
B．不等式的解集是
C．
D．不等式的解集為或
【變式3-1】（多選題）關(guān)于的不等式的解集為或，下列說(shuō)法正確的是（ ）
A． B．不等式的解集為
C．的最大值為 D．
【變式3-2】（多選題）不等式的解集是，對(duì)于系數(shù)，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．
B．
C．
D．不等式的解集為
【變式3-3】（多選題）已知關(guān)于的一元二次不等式的解集為或，則（ ）
A．且 B．
C．不等式的解集為 D．不等式的解集為
題型四：其他不等式解法
【例4】不等式的解集為 .
【變式4-1】（2025·上海浦東新·三模）設(shè)為實(shí)數(shù)，則不等式的解集是 .
【變式4-2】（2025·北京·模擬預(yù)測(cè)）不等式的解集為 .
【變式4-3】（2025·江蘇宿遷·二模）設(shè)函數(shù)，其中．若對(duì)任意的恒成立，則 ．
題型五：二次函數(shù)根的分布問(wèn)題
【例5】（2025·高三·江西九江·期末）已知實(shí)數(shù)，且關(guān)于x的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，則的最小值為 ．
【變式5-1】若下列兩個(gè)方程：，至少有一個(gè)方程有實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 .
【變式5-2】已知關(guān)于的方程的兩根分別在區(qū)間，內(nèi)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 ．
【變式5-3】關(guān)于的方程在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)不等實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ．
題型六：一元二次不等式恒(能)成立問(wèn)題
【例6】若命題“，”是真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【變式6-1】已知函數(shù)的定義域是，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式6-2】若存在實(shí)數(shù)使得不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式6-3】若關(guān)于x的不等式在區(qū)間上有解，則實(shí)數(shù)m的最小值為（ ）
A．9 B．6 C． D．5
題型七：絕對(duì)值不等式
【例7】（2025·上海崇明·二模）不等式的解為 ．
【變式7-1】（2025·高三·上海·開(kāi)學(xué)考試）不等式的解集為 .
【變式7-2】（2025·上海虹口·模擬預(yù)測(cè)）不等式的解集為 .
【變式7-3】（2025·上海浦東新·三模）不等式的解集是 ．
題型八：探討含參數(shù)絕對(duì)值不等式的求解方法
【例8】不等式中的取值范圍是，則 .
【變式8-1】若關(guān)于的不等式的解集為，則a＝ .
【變式8-2】若關(guān)于的不等式的解集不是，則實(shí)數(shù)的最大值是
題型九：根據(jù)不等式組的整數(shù)解個(gè)數(shù)或范圍
【例9】關(guān)于的不等式組的整數(shù)解的集合為，求實(shí)數(shù)的取值范圍（ ）
A． B． C． D．
【變式9-1】已知關(guān)于的不等式組僅有一個(gè)整數(shù)解，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【變式9-2】已知關(guān)于的不等式組僅有一個(gè)整數(shù)解，則的取值范圍為（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
題型十：通過(guò)解不等式組確定參數(shù)的取值范圍
【例10】（2025·黑龍江·模擬預(yù)測(cè)）為實(shí)數(shù)，不等式組的解集為，則 .
【變式10-1】若關(guān)于的不等式組有實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .
【變式10-2】已知關(guān)于的不等式組沒(méi)有實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 ．
【變式10-3】若不等式組的解集為空集，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 .
【變式10-4】已知、，關(guān)于的不等式組解集為，則的值為 ．
【過(guò)關(guān)測(cè)試】
1．（2025·高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知，且，是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則，，，的大小關(guān)系是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2025·高一·陜西安康·期末）已知，且是方程的兩根，則（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·高一·上海·期中）已知不等式 的解集是，則
①；
②若不等式的解集為，則；
③若不等式的解集為，則；
④若不等式的解集為，且，則．
其中正確的是（ ）
A．①② B．①④ C．①②④ D．①②③
4．（2025·高三·全國(guó)·專題練習(xí)）若關(guān)于的不等式的解集中恰有3個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·陜西渭南·二模）若關(guān)于的不等式有且只有一個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·高三·廣東深圳·階段練習(xí)）若關(guān)于的不等式的解集是，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
7．（2025·廣西南寧·二模）已知函數(shù)，.若不等式的解集為，則（ ）
A． B．1 C． D．2
8．（2025·高一·山西呂梁·階段練習(xí)）函數(shù)的定義域?yàn)椋魸M足：①在內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；②存在，使得在上的值域也是，則稱為高斯函數(shù)．若是高斯函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
9．（多選題）（2025·高一·山東菏澤·期中）已知為任意實(shí)數(shù)，關(guān)于的方程，則（ ）
A．當(dāng)時(shí)，方程有兩實(shí)數(shù)根
B．當(dāng)時(shí)，方程有兩異號(hào)的實(shí)數(shù)根
C．當(dāng)時(shí)，方程有兩實(shí)數(shù)根，，則
D．若方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，則
10．（多選題）（2025·高一·四川德陽(yáng)·階段練習(xí)）設(shè)為實(shí)數(shù)，已知關(guān)于的方程，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．當(dāng)時(shí)，方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根之和為
B．方程無(wú)實(shí)數(shù)根的一個(gè)必要條件是
C．方程有兩個(gè)不相等的正根的一個(gè)充分條件是
D．方程有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根的充要條件是
11．（多選題）（2025·高一·福建南平·期中）已知二次函數(shù)（a，b，c為常數(shù)，且）的部分圖象如圖所示，則（ ）
A． B．
C． D．不等式的解集為
12．（多選題）（2025·高二·山西臨汾·階段練習(xí)）已知不等式的解集為或，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A． B．
C． D．的解集為
13．（2025·高一·江蘇泰州·期末）若關(guān)于的不等式的解集為，且．則的取值范圍為 ，的最小值是 ．
14．（2025·高三·安徽亳州·階段練習(xí)）已知關(guān)于的一元二次不等式的解集為，則關(guān)于的不等式的解集為 ．
15．（2025·高三·廣東揭陽(yáng)·階段練習(xí)）若關(guān)于的不等式的解集為，則不等式的解集為 ．
16．（2025·新疆·模擬預(yù)測(cè)）已知不等式的解集為，若關(guān)于的不等式的解集非空，則的最小值是 ．
17．（2025·高三·上海·階段練習(xí)）關(guān)于的一元二次不等式的解集為空集的充要條件為 ．
18．（2025·高三·甘肅天水·階段練習(xí)）關(guān)于的不等式的解集中恰有個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ．
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1.5 一元二次不等式與其他常見(jiàn)不等式解法
【題型歸納目錄】
題型一：不含參數(shù)一元二次不等式的解法
題型二：含參數(shù)一元二次不等式的解法
題型三：一元二次不等式與韋達(dá)定理及判別式
題型四：其他不等式解法
題型五：二次函數(shù)根的分布問(wèn)題
題型六：一元二次不等式恒(能)成立問(wèn)題
題型七：絕對(duì)值不等式
題型八：探討含參數(shù)絕對(duì)值不等式的求解方法
題型九：根據(jù)不等式組的整數(shù)解個(gè)數(shù)或范圍
題型十：通過(guò)解不等式組確定參數(shù)的取值范圍
【考點(diǎn)預(yù)測(cè)】
1、一元二次不等式
一元二次不等式，其中，是方程的兩個(gè)根，且
（1）當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)圖象開(kāi)口向上.
（2）①若，解集為.
②若，解集為.
③若，解集為.
(2) 當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)圖象開(kāi)口向下.
①若，解集為
②若，解集為
2、分式不等式
（1）
（2）
（3）
（4）
3、絕對(duì)值不等式
（1）
（2）；
；
（3）含有兩個(gè)或兩個(gè)以上絕對(duì)值符號(hào)的不等式，可用零點(diǎn)分段法和圖象法求解
【方法技巧與總結(jié)】
1、已知關(guān)于的不等式的解集為（其中），解關(guān)于的不等式．
由的解集為，得:的解集為，即關(guān)于的不等式的解集為．
已知關(guān)于的不等式的解集為，解關(guān)于的不等式．
由的解集為，得:的解集為即關(guān)于的不等式的解集為．
2、已知關(guān)于的不等式的解集為（其中），解關(guān)于的不等式．
由的解集為，得:的解集為即關(guān)于的不等式的解集為．
3、已知關(guān)于的不等式的解集為，解關(guān)于的不等式．
由的解集為，得:的解集為即關(guān)于的不等式的解集為，以此類推．
4、已知關(guān)于的一元二次不等式的解集為，則一定滿足；
5、已知關(guān)于的一元二次不等式的解集為，則一定滿足；
6、已知關(guān)于的一元二次不等式的解集為，則一定滿足；
7、已知關(guān)于的一元二次不等式的解集為，則一定滿足．
【典型例題】
題型一：不含參數(shù)一元二次不等式的解法
【例1】不等式的解集為（ ）
A． B．
C．或 D．
【答案】A
【解析】解不等式，得，
所以原不等式的解集為.
故選：A.
【變式1-1】不等式的解集為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由得，即，
解得或
所以不等式的解集為
故選：C.
【變式1-2】不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】不等式化為：，而，
所以的不等式無(wú)解，即解集為.
故選：B
【變式1-3】不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．或
【答案】D
【解析】由，得到，解得或，
所以不等式的解集是或，
故選：D.
題型二：含參數(shù)一元二次不等式的解法
【例2】若，則關(guān)于x的不等式的解集為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】當(dāng)時(shí)，，解，得，
所以不等式的解集為.
故選：D
【變式2-1】已知實(shí)數(shù)，則不等式的解集不可能是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】D
【解析】分、、三種情況討論計(jì)算，分別求出不等式的解集，即可判斷.
由，
當(dāng)時(shí)，不等式即為，解得，
即不等式的解集為；
當(dāng)時(shí)，解方程得，
則當(dāng)時(shí)，，函數(shù)開(kāi)口向上，
故不等式的解集為；
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)開(kāi)口向下，
所以不等式的解集為或.
綜上可得：當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；
當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；
當(dāng)時(shí)，不等式的解集為或，
所以不等式的解集不可能是選項(xiàng)D對(duì)應(yīng)的解集.
故選：D.
【變式2-2】已知，則關(guān)于x的不等式的解集為（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】D
【解析】，
，
原不等式等價(jià)于，解得或，
所以不等式的解集為或.
故選：D.
【變式2-3】已知函數(shù).
(1)若不等式的解集為，求的取值范圍；
(2)解關(guān)于的不等式.
【解析】（1）由題意，不等式的解集為，
則不等式在上恒成立，
當(dāng)，即時(shí)，不等式為，不恒成立，不符合題意；
當(dāng)時(shí)，有，解得，
所以的取值范圍為.
（2）由，即，
當(dāng)，即時(shí)，不等式為，解得；
當(dāng)，即時(shí)，，
不等式為，解得或；
當(dāng)，即時(shí)，，
不等式為，解得.
綜上所述，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；
當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；
當(dāng)時(shí)，不等式的解集為.
題型三：一元二次不等式與韋達(dá)定理及判別式
【例3】（多選題）已知關(guān)于的不等式的解集為，則（ ）
A．
B．不等式的解集是
C．
D．不等式的解集為或
【答案】BD
【解析】由題意可得1和5是方程的兩根，且，
由韋達(dá)定理可得，得，
對(duì)于A，因?yàn)椋蔄錯(cuò)誤；
對(duì)于B，不等式，即，即，得，
所以不等式的解集是，故B正確；
對(duì)于C，，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，由不等式，得，即，
則，得或，即解集為或，故D正確.
故選：BD.
【變式3-1】（多選題）關(guān)于的不等式的解集為或，下列說(shuō)法正確的是（ ）
A． B．不等式的解集為
C．的最大值為 D．
【答案】ACD
【解析】對(duì)于：不等式的解集為或，
故和是方程的兩個(gè)根，
所以，解得，故正確，
對(duì)于：可變?yōu)椋獾没颍叔e(cuò)誤，
對(duì)于，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最大值為，故正確；
對(duì)于，是對(duì)應(yīng)方程的根，所以，故正確.
故選：ACD.
【變式3-2】（多選題）不等式的解集是，對(duì)于系數(shù)，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．
B．
C．
D．不等式的解集為
【答案】BCD
【解析】因?yàn)椴坏仁降慕饧癁椋?br/>所以有，因此選項(xiàng)A不正確，選項(xiàng)B正確；
，因此選項(xiàng)C正確；
，選項(xiàng)D正確，
故選：BCD.
【變式3-3】（多選題）已知關(guān)于的一元二次不等式的解集為或，則（ ）
A．且 B．
C．不等式的解集為 D．不等式的解集為
【答案】AC
【解析】由題意可知，則，
對(duì)于A，所以且，故A正確，
對(duì)于B，， 故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，不等式，故C正確；
對(duì)于D，不等式，又，
可得，所以或，故D錯(cuò)誤.
故選：AC.
題型四：其他不等式解法
【例4】不等式的解集為 .
【答案】
【解析】，
令，因?yàn)椋院愠闪ⅲ?br/>所以，即，解得，
所以不等式的解集為.
故答案為：.
【變式4-1】（2025·上海浦東新·三模）設(shè)為實(shí)數(shù)，則不等式的解集是 .
【答案】
【解析】因?yàn)椋?br/>解得且，即，
所以不等式的解集是.
故答案為：
【變式4-2】（2025·北京·模擬預(yù)測(cè)）不等式的解集為 .
【答案】
【解析】由得，即，
整理得：，即，
即，解得或，
故不等式的解集為.
故答案為：
【變式4-3】（2025·江蘇宿遷·二模）設(shè)函數(shù)，其中．若對(duì)任意的恒成立，則 ．
【答案】
【解析】因?yàn)椋瑒t，
令，可得或或，
由于，則，
，
令，
令可得或或，
由于，則，
由可得，
若，取，，，
當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，由穿根法可知，，矛盾，
所以，，即，則，
所以，
因?yàn)閷?duì)任意的恒成立，
所以對(duì)任意的恒成立，則，解得，
因此，.
故答案為：.
題型五：二次函數(shù)根的分布問(wèn)題
【例5】（2025·高三·江西九江·期末）已知實(shí)數(shù)，且關(guān)于x的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，則的最小值為 ．
【答案】
【解析】由題意可得，①
令，
若，則以及，則，即；
由①式消去c，得，
即，即或；
所以，解得，
時(shí)“”成立，故；
若，則以及，則，即；
由①式消去c，得，
即，②
當(dāng)時(shí)，②式成立；
當(dāng)時(shí)，由②式得或，
所以，解得，故，
時(shí)“”成立，所以，
若，則以及，則，即，
由①式消去a，整理得，
即，即或，
所以，解得，
時(shí)“”成立，故．
綜上所述，，取“”成立時(shí)，或，
故．
故答案為：．
【變式5-1】若下列兩個(gè)方程：，至少有一個(gè)方程有實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 .
【答案】或.
【解析】有實(shí)根，則，
解得或，
有實(shí)根，則，
解得或，
故實(shí)數(shù)a的取值范圍是或或或.
故答案為：或.
【變式5-2】已知關(guān)于的方程的兩根分別在區(qū)間，內(nèi)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 ．
【答案】
【解析】令，
根據(jù)題意得，
由①得：，由②得：，由③得：，
求交集得：
故的取值范圍為.
故答案為：
【變式5-3】關(guān)于的方程在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)不等實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ．
【答案】
【解析】關(guān)于的方程在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)不等實(shí)根，令，
則有，解得，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故答案為：
題型六：一元二次不等式恒(能)成立問(wèn)題
【例6】若命題“，”是真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】命題“，”等價(jià)于有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，
所以，即，解得或，
故選：D.
【變式6-1】已知函數(shù)的定義域是，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根據(jù)題意對(duì)于恒成立；
當(dāng)時(shí)，顯然成立，可得符合題意；
當(dāng)時(shí)，若滿足題意可得，解得；
當(dāng)時(shí)，若滿足題意可得，此時(shí)無(wú)解；
綜上可得，的取值范圍是.
故選：C
【變式6-2】若存在實(shí)數(shù)使得不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】若，當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，不等式成立，
當(dāng)時(shí)，不等式成立，
當(dāng)時(shí)，不等式成立，
所以滿足條件，
若，
當(dāng)時(shí)，不等式對(duì)任意的成立，
當(dāng)時(shí)，不等式可化為，
又拋物線的對(duì)稱軸方程為，
由已知，且，
當(dāng)時(shí)，不等式可化為，
由已知結(jié)合條件，且可得，
，且，
所以的取值范圍是，
綜上：；
故選：A.
【變式6-3】若關(guān)于x的不等式在區(qū)間上有解，則實(shí)數(shù)m的最小值為（ ）
A．9 B．6 C． D．5
【答案】D
【解析】關(guān)于x的不等式在區(qū)間上有解，
等價(jià)于在區(qū)間上有解，即在區(qū)間上有解，
又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取最小值6.
故，可得.
故選：D
題型七：絕對(duì)值不等式
【例7】（2025·上海崇明·二模）不等式的解為 ．
【答案】
【解析】，即，解得，
故所求解集為．
故答案為：．
【變式7-1】（2025·高三·上海·開(kāi)學(xué)考試）不等式的解集為 .
【答案】
【解析】因?yàn)椋曰颍?br/>所以或或，
所以.
故答案為：.
【變式7-2】（2025·上海虹口·模擬預(yù)測(cè)）不等式的解集為 .
【答案】
【解析】，當(dāng)時(shí)，，解得，故解集為，
當(dāng)時(shí)，，解集為，
當(dāng)時(shí)，，解得，故解集為，
綜上：不等式的解集為.
故答案為：
【變式7-3】（2025·上海浦東新·三模）不等式的解集是 ．
【答案】
【解析】當(dāng)時(shí)，，解得，此時(shí)解集為空集，
當(dāng)時(shí)，，即，符合要求，此時(shí)解集為，
當(dāng)時(shí)，，解得，此時(shí)解集為空集，
綜上：不等式的解集為.
故答案為：
題型八：探討含參數(shù)絕對(duì)值不等式的求解方法
【例8】不等式中的取值范圍是，則 .
【答案】
【解析】由知，，
有，.
故答案為：
【變式8-1】若關(guān)于的不等式的解集為，則a＝ .
【答案】
【解析】①若顯然不成立；
②若，不等式的解為，
因?yàn)椴坏仁降慕饧癁椋?br/>所以，無(wú)解；
③若，不等式的解為，
因?yàn)椴坏仁降慕饧癁椋?br/>所以，解得.
綜上所述，.
故答案為：
【變式8-2】若關(guān)于的不等式的解集不是，則實(shí)數(shù)的最大值是
【答案】
【解析】不等式
變形為
構(gòu)造函數(shù)
當(dāng)時(shí),
當(dāng)時(shí),
當(dāng)時(shí),
即,畫(huà)出函數(shù)圖像如下圖所示:
因?yàn)椴皇强占?即有解
所以從圖像可知,
即實(shí)數(shù)的最大值是3
故答案為:3
題型九：根據(jù)不等式組的整數(shù)解個(gè)數(shù)或范圍
【例9】關(guān)于的不等式組的整數(shù)解的集合為，求實(shí)數(shù)的取值范圍（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由，可得或；由 ，可得（*）.
① 若，即時(shí)，則由（*），可得，此時(shí)原不等式的解集為，顯然不符合題意；
② 若時(shí)，則由（*），可得，顯然不符合題意；
③ 若時(shí)，則由（*），可得，
此時(shí)要使不等式組的整數(shù)解的集合為，須使，即.
綜上可得，實(shí)數(shù)的取值范圍
故選：B.
【變式9-1】已知關(guān)于的不等式組僅有一個(gè)整數(shù)解，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由，即，
解得或，由，
即，因?yàn)椋?br/>不等式的解集為，
結(jié)合題意，此時(shí)原不等式組的解集為，且僅有一個(gè)整數(shù)解，
所以.
故選：B.
【變式9-2】已知關(guān)于的不等式組僅有一個(gè)整數(shù)解，則的取值范圍為（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】B
【解析】，解得或，
變形為，
當(dāng)，即時(shí)，不等式解集為空集，不合要求，舍去，
當(dāng)，即時(shí)，解集為，
要想不等式組僅有一個(gè)整數(shù)解，則，解得，
與求交集得；
當(dāng)，即時(shí)，解決為，
要想不等式組僅有一個(gè)整數(shù)解，則，解得，
與求交集得，
綜上，的取值范圍是或.
故選：B
題型十：通過(guò)解不等式組確定參數(shù)的取值范圍
【例10】（2025·黑龍江·模擬預(yù)測(cè)）為實(shí)數(shù)，不等式組的解集為，則 .
【答案】 0 0
【解析】先證明都不小于零，不妨假設(shè)，考慮不等式，
因?yàn)椴坏仁浇M有解集，故不等式必定有解，
設(shè)方程的兩實(shí)數(shù)根為，
則不等式的解集為，
不等式組的解集為不等式的子集，
與解集為矛盾，故假設(shè)錯(cuò)誤，.
同理可知，，
再證明至少有一個(gè)為零，不妨設(shè)均為正數(shù)，
則的圖象均開(kāi)口向上，
不等式組的解集應(yīng)該還有的部分，與已知矛盾，故假設(shè)錯(cuò)誤，
所以中至少有一個(gè)為零.
顯然不全為0，分類討論如下：
若中的兩個(gè)為0，不妨設(shè)，
則不等式組為解集為此時(shí)
若中的1個(gè)為0，不妨設(shè)，
則不等式組為，其中不等式的解集為，
不等式的解集為，不等式恒成立，
因?yàn)椋什坏仁浇M的解集為，此時(shí)，
綜上，.
故答案為：0，0
【變式10-1】若關(guān)于的不等式組有實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .
【答案】
【解析】根據(jù)題意，由解得，
當(dāng)時(shí)，由解得，顯然此時(shí)不等式組有實(shí)數(shù)解，
當(dāng)時(shí)，由可知，顯然此時(shí)不等式組有實(shí)數(shù)解，
當(dāng)時(shí)，由解得，
∵關(guān)于的不等式組有實(shí)數(shù)解，
∴，又，則有，解得，
綜上所述的取值范圍為，
故答案為：．
【變式10-2】已知關(guān)于的不等式組沒(méi)有實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 ．
【答案】．
【解析】由可得，
由可得，
若不等式組沒(méi)有實(shí)數(shù)解，
則．
故答案為：．
【變式10-3】若不等式組的解集為空集，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 .
【答案】
【解析】由，可得，
對(duì)于不等式（*），
若，則不等式（*）的解集為空集，符合題意；
若，則由不等式（*）可得，要使不等式組解集為空集，需使，即；
若，則由不等式（*）可得，要使不等式組解集為空集，需使，故.
綜上可得，實(shí)數(shù)的取值范圍為.
故答案為：
【變式10-4】已知、，關(guān)于的不等式組解集為，則的值為 ．
【答案】
【解析】①當(dāng)時(shí)顯然不成立；
②當(dāng)時(shí)，不等式組可化為，
設(shè)的兩根為，則有，即，
故不等式組化為，根據(jù)不等式組的解集為，可知不符合題意；
③當(dāng)時(shí)，不等式組可化為，
即，根據(jù)不等式組的解集為，可得
，解得，故，，
所以.
故答案為：.
【過(guò)關(guān)測(cè)試】
1．（2025·高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知，且，是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則，，，的大小關(guān)系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】，為方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，為函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，
令，，為函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，
函數(shù)的圖象可由的圖象向上平移2024個(gè)單位長(zhǎng)度得到，
．
故選：C.
2．（2025·高一·陜西安康·期末）已知，且是方程的兩根，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】在區(qū)間內(nèi)，，.
已知和是方程的兩根，
根據(jù)韋達(dá)定理有，.
因?yàn)椋?
又因?yàn)椋?則.
所以，
又，即，解得.
故選：C.
3．（2025·高一·上海·期中）已知不等式 的解集是，則
①；
②若不等式的解集為，則；
③若不等式的解集為，則；
④若不等式的解集為，且，則．
其中正確的是（ ）
A．①② B．①④ C．①②④ D．①②③
【答案】C
【解析】由題意，不等式的解集是，
所以，，所以①正確；
變形為，其解集為，
所以，得，故成立，所以②正確；
若不等式的解集為，由韋達(dá)定理知：
，所以③錯(cuò)誤；
若不等式的解集為，即的解集為，
由韋達(dá)定理知：，
則，解得，
所以④正確.
綜上，正確的為：①②④
故選：C
4．（2025·高三·全國(guó)·專題練習(xí)）若關(guān)于的不等式的解集中恰有3個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】不等式可化為，
當(dāng)時(shí)，不等式的解集為，要使解集中恰有3個(gè)整數(shù)，則這3個(gè)整數(shù)只能是4，5，6，所以；
當(dāng)時(shí)，不等式的解集為，此時(shí)不符合題意；
當(dāng)時(shí)，不等式的解集為，要使解集中恰有3個(gè)整數(shù)，則這3個(gè)整數(shù)只能是0，1，2，所以．
綜上可知，實(shí)數(shù)的取值范圍是．
故選：C．
5．（2025·陜西渭南·二模）若關(guān)于的不等式有且只有一個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】當(dāng)時(shí)，解得：，不滿足條件；
故，關(guān)于的不等式可得，
所以，即，
方程的兩根為，
當(dāng)時(shí)，不等式可化為，，
解集為：，不滿足條件；
當(dāng)時(shí)，不等式可化為，
當(dāng)時(shí)，則，即，不等式的解集為：，
要使不等式有且只有一個(gè)整數(shù)解，則，又因?yàn)椋粷M足條件；
當(dāng)時(shí)，則，即，不等式的解集為空集，
當(dāng)時(shí)，則，即，不等式的解集為，
要使不等式有且只有一個(gè)整數(shù)解，則，解得：，
故實(shí)數(shù)的取值范圍是：.
故選：B.
6．（2025·高三·廣東深圳·階段練習(xí)）若關(guān)于的不等式的解集是，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因?yàn)殛P(guān)于的不等式的解集是，所以可知，
所以原不等式可化為
顯然是方程的兩根，
所以只須，解得，
所以的取值范圍是.
故選：A
7．（2025·廣西南寧·二模）已知函數(shù)，.若不等式的解集為，則（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】A
【解析】，
根據(jù)選項(xiàng)可知：只需要考慮，
要使不等式的解集為，
當(dāng)時(shí)，
故，解得，
當(dāng)時(shí)，無(wú)法滿足的解集為，故舍去，
故選：A
8．（2025·高一·山西呂梁·階段練習(xí)）函數(shù)的定義域?yàn)椋魸M足：①在內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；②存在，使得在上的值域也是，則稱為高斯函數(shù)．若是高斯函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，
由題意知，
所以是方程在上的兩個(gè)不等實(shí)根，
令，則，
所以在上有兩個(gè)不等實(shí)根，
令，對(duì)稱軸，
則，即，解得，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故選：D.
9．（多選題）（2025·高一·山東菏澤·期中）已知為任意實(shí)數(shù)，關(guān)于的方程，則（ ）
A．當(dāng)時(shí)，方程有兩實(shí)數(shù)根
B．當(dāng)時(shí)，方程有兩異號(hào)的實(shí)數(shù)根
C．當(dāng)時(shí)，方程有兩實(shí)數(shù)根，，則
D．若方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，則
【答案】AB
【解析】對(duì)于A：因?yàn)椋?dāng)時(shí)，
所以方程有兩實(shí)數(shù)根，故A正確；
對(duì)于B：若方程有兩異號(hào)的實(shí)數(shù)根，則，解得，
即當(dāng)時(shí)，方程有兩異號(hào)的實(shí)數(shù)根，故B正確；
對(duì)于C：當(dāng)時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D：若方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，則，即，
當(dāng)時(shí)，方程的兩根，，顯然無(wú)意義，故D錯(cuò)誤.
故選：AB
10．（多選題）（2025·高一·四川德陽(yáng)·階段練習(xí)）設(shè)為實(shí)數(shù)，已知關(guān)于的方程，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．當(dāng)時(shí)，方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根之和為
B．方程無(wú)實(shí)數(shù)根的一個(gè)必要條件是
C．方程有兩個(gè)不相等的正根的一個(gè)充分條件是
D．方程有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根的充要條件是
【答案】BD
【解析】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，方程為，而方程無(wú)實(shí)根，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，由題意可得，
由，解得，，故B正確；
對(duì)于C，由題意可得，
由B可知不等式的解集為，
解不等式可得，
所以不等式組的解集為，，故C錯(cuò)誤，
對(duì)于D，由題意可得，解得，故D正確.
故選：BD.
11．（多選題）（2025·高一·福建南平·期中）已知二次函數(shù)（a，b，c為常數(shù)，且）的部分圖象如圖所示，則（ ）
A． B．
C． D．不等式的解集為
【答案】BCD
【解析】由題設(shè)及函數(shù)圖象知：且，
所以，則，，，A錯(cuò)，B、C對(duì)；
，則，D對(duì).
故選：BCD
12．（多選題）（2025·高二·山西臨汾·階段練習(xí)）已知不等式的解集為或，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A． B．
C． D．的解集為
【答案】ABC
【解析】因?yàn)椴坏仁降慕饧癁榛颍?br/>可知，且的根為，故A正確；
則，可得，
則，，B正確；C正確；
因?yàn)椋矗遥?br/>則0，解得，
所以的解集為，D錯(cuò)誤．
故選：ABC．
13．（2025·高一·江蘇泰州·期末）若關(guān)于的不等式的解集為，且．則的取值范圍為 ，的最小值是 ．
【答案】 .
【解析】的解集為，
則有2個(gè)大于1的根，則，
由韋達(dá)定理，可得，則.
注意到，
因，則，則，
故
.
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).
故答案為：；.
14．（2025·高三·安徽亳州·階段練習(xí)）已知關(guān)于的一元二次不等式的解集為，則關(guān)于的不等式的解集為 ．
【答案】
【解析】由于一元二次不等式的解集為，故是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，故，解得，
故為，故，解得，
故解集為，
故答案為：
15．（2025·高三·廣東揭陽(yáng)·階段練習(xí)）若關(guān)于的不等式的解集為，則不等式的解集為 ．
【答案】
【解析】不等式的解集為，
方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為和，
由根與系數(shù)的關(guān)系得：，則，故，
即：，解得或；
所求不等式的解集為.
故答案為：.
16．（2025·新疆·模擬預(yù)測(cè)）已知不等式的解集為，若關(guān)于的不等式的解集非空，則的最小值是 ．
【答案】
【解析】由于，故不等式的解集為，所以.
這表明條件等價(jià)于關(guān)于的不等式的解集非空.
假設(shè)，則對(duì)任意都有，所以的解集為空，不滿足條件，故一定有.
而當(dāng)時(shí)，對(duì)有，所以不等式的解集包含，一定非空，滿足條件.
所以的最小值是.
故答案為：.
17．（2025·高三·上海·階段練習(xí)）關(guān)于的一元二次不等式的解集為空集的充要條件為 ．
【答案】
【解析】由題意知，二次函數(shù)開(kāi)口向上，且與軸最多有一個(gè)交點(diǎn)，
則.
故答案為：.
18．（2025·高三·甘肅天水·階段練習(xí)）關(guān)于的不等式的解集中恰有個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ．
【答案】
【解析】關(guān)于的不等式可化為，
當(dāng)時(shí)，解得，要使解集中恰有兩個(gè)整數(shù)，則，得；
當(dāng)時(shí)，不等式化為，此時(shí)無(wú)解；
當(dāng)時(shí)，解得，要使解集中恰有兩個(gè)整數(shù)，則，得.
綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故答案為：.
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