資源簡(jiǎn)介 中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺(tái)1.5 一元二次不等式與其他常見(jiàn)不等式解法【題型歸納目錄】題型一:不含參數(shù)一元二次不等式的解法題型二:含參數(shù)一元二次不等式的解法題型三:一元二次不等式與韋達(dá)定理及判別式題型四:其他不等式解法題型五:二次函數(shù)根的分布問(wèn)題題型六:一元二次不等式恒(能)成立問(wèn)題題型七:絕對(duì)值不等式題型八:探討含參數(shù)絕對(duì)值不等式的求解方法題型九:根據(jù)不等式組的整數(shù)解個(gè)數(shù)或范圍題型十:通過(guò)解不等式組確定參數(shù)的取值范圍【考點(diǎn)預(yù)測(cè)】1、一元二次不等式一元二次不等式,其中,是方程的兩個(gè)根,且(1)當(dāng)時(shí),二次函數(shù)圖象開(kāi)口向上.(2)①若,解集為.②若,解集為.③若,解集為.(2) 當(dāng)時(shí),二次函數(shù)圖象開(kāi)口向下.①若,解集為②若,解集為2、分式不等式(1)(2)(3)(4)3、絕對(duì)值不等式(1)(2);;(3)含有兩個(gè)或兩個(gè)以上絕對(duì)值符號(hào)的不等式,可用零點(diǎn)分段法和圖象法求解【方法技巧與總結(jié)】1、已知關(guān)于的不等式的解集為(其中),解關(guān)于的不等式.由的解集為,得:的解集為,即關(guān)于的不等式的解集為.已知關(guān)于的不等式的解集為,解關(guān)于的不等式.由的解集為,得:的解集為即關(guān)于的不等式的解集為.2、已知關(guān)于的不等式的解集為(其中),解關(guān)于的不等式.由的解集為,得:的解集為即關(guān)于的不等式的解集為.3、已知關(guān)于的不等式的解集為,解關(guān)于的不等式.由的解集為,得:的解集為即關(guān)于的不等式的解集為,以此類推.4、已知關(guān)于的一元二次不等式的解集為,則一定滿足;5、已知關(guān)于的一元二次不等式的解集為,則一定滿足;6、已知關(guān)于的一元二次不等式的解集為,則一定滿足;7、已知關(guān)于的一元二次不等式的解集為,則一定滿足.【典型例題】題型一:不含參數(shù)一元二次不等式的解法【例1】不等式的解集為( )A. B.C.或 D.【變式1-1】不等式的解集為( )A. B.C. D.【變式1-2】不等式的解集是( )A. B. C. D.【變式1-3】不等式的解集是( )A. B.C. D.或題型二:含參數(shù)一元二次不等式的解法【例2】若,則關(guān)于x的不等式的解集為( )A. B.C. D.【變式2-1】已知實(shí)數(shù),則不等式的解集不可能是( )A. B.C.或 D.或【變式2-2】已知,則關(guān)于x的不等式的解集為( )A. B.C.或 D.或【變式2-3】已知函數(shù).(1)若不等式的解集為,求的取值范圍;(2)解關(guān)于的不等式.題型三:一元二次不等式與韋達(dá)定理及判別式【例3】(多選題)已知關(guān)于的不等式的解集為,則( )A.B.不等式的解集是C.D.不等式的解集為或【變式3-1】(多選題)關(guān)于的不等式的解集為或,下列說(shuō)法正確的是( )A. B.不等式的解集為C.的最大值為 D.【變式3-2】(多選題)不等式的解集是,對(duì)于系數(shù),下列結(jié)論正確的是( )A.B.C.D.不等式的解集為【變式3-3】(多選題)已知關(guān)于的一元二次不等式的解集為或,則( )A.且 B.C.不等式的解集為 D.不等式的解集為題型四:其他不等式解法【例4】不等式的解集為 .【變式4-1】(2025·上海浦東新·三模)設(shè)為實(shí)數(shù),則不等式的解集是 .【變式4-2】(2025·北京·模擬預(yù)測(cè))不等式的解集為 .【變式4-3】(2025·江蘇宿遷·二模)設(shè)函數(shù),其中.若對(duì)任意的恒成立,則 .題型五:二次函數(shù)根的分布問(wèn)題【例5】(2025·高三·江西九江·期末)已知實(shí)數(shù),且關(guān)于x的一元二次方程有實(shí)數(shù)根,則的最小值為 .【變式5-1】若下列兩個(gè)方程:,至少有一個(gè)方程有實(shí)根,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 .【變式5-2】已知關(guān)于的方程的兩根分別在區(qū)間,內(nèi),則實(shí)數(shù)的取值范圍為 .【變式5-3】關(guān)于的方程在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)不等實(shí)根,則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .題型六:一元二次不等式恒(能)成立問(wèn)題【例6】若命題“,”是真命題,則實(shí)數(shù)的取值范圍是( )A. B.C. D.【變式6-1】已知函數(shù)的定義域是,則的取值范圍是( )A. B. C. D.【變式6-2】若存在實(shí)數(shù)使得不等式恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是( )A. B. C. D.【變式6-3】若關(guān)于x的不等式在區(qū)間上有解,則實(shí)數(shù)m的最小值為( )A.9 B.6 C. D.5題型七:絕對(duì)值不等式【例7】(2025·上海崇明·二模)不等式的解為 .【變式7-1】(2025·高三·上海·開(kāi)學(xué)考試)不等式的解集為 .【變式7-2】(2025·上海虹口·模擬預(yù)測(cè))不等式的解集為 .【變式7-3】(2025·上海浦東新·三模)不等式的解集是 .題型八:探討含參數(shù)絕對(duì)值不等式的求解方法【例8】不等式中的取值范圍是,則 .【變式8-1】若關(guān)于的不等式的解集為,則a= .【變式8-2】若關(guān)于的不等式的解集不是,則實(shí)數(shù)的最大值是題型九:根據(jù)不等式組的整數(shù)解個(gè)數(shù)或范圍【例9】關(guān)于的不等式組的整數(shù)解的集合為,求實(shí)數(shù)的取值范圍( )A. B. C. D.【變式9-1】已知關(guān)于的不等式組僅有一個(gè)整數(shù)解,則的取值范圍為( )A. B. C. D.【變式9-2】已知關(guān)于的不等式組僅有一個(gè)整數(shù)解,則的取值范圍為( )A.或 B.或C.或 D.或題型十:通過(guò)解不等式組確定參數(shù)的取值范圍【例10】(2025·黑龍江·模擬預(yù)測(cè))為實(shí)數(shù),不等式組的解集為,則 .【變式10-1】若關(guān)于的不等式組有實(shí)數(shù)解,則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .【變式10-2】已知關(guān)于的不等式組沒(méi)有實(shí)數(shù)解,則實(shí)數(shù)的取值范圍為 .【變式10-3】若不等式組的解集為空集,則實(shí)數(shù)的取值范圍為 .【變式10-4】已知、,關(guān)于的不等式組解集為,則的值為 .【過(guò)關(guān)測(cè)試】1.(2025·高三·全國(guó)·專題練習(xí))已知,且,是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,則,,,的大小關(guān)系是( )A. B.C. D.2.(2025·高一·陜西安康·期末)已知,且是方程的兩根,則( )A. B. C. D.3.(2025·高一·上海·期中)已知不等式 的解集是,則①;②若不等式的解集為,則;③若不等式的解集為,則;④若不等式的解集為,且,則.其中正確的是( )A.①② B.①④ C.①②④ D.①②③4.(2025·高三·全國(guó)·專題練習(xí))若關(guān)于的不等式的解集中恰有3個(gè)整數(shù),則實(shí)數(shù)的取值范圍為( )A. B. C. D.5.(2025·陜西渭南·二模)若關(guān)于的不等式有且只有一個(gè)整數(shù)解,則實(shí)數(shù)的取值范圍是( )A. B. C. D.6.(2025·高三·廣東深圳·階段練習(xí))若關(guān)于的不等式的解集是,則的取值范圍是( )A. B. C. D.7.(2025·廣西南寧·二模)已知函數(shù),.若不等式的解集為,則( )A. B.1 C. D.28.(2025·高一·山西呂梁·階段練習(xí))函數(shù)的定義域?yàn)椋魸M足:①在內(nèi)是單調(diào)函數(shù);②存在,使得在上的值域也是,則稱為高斯函數(shù).若是高斯函數(shù),則實(shí)數(shù)的取值范圍是( )A. B. C. D.9.(多選題)(2025·高一·山東菏澤·期中)已知為任意實(shí)數(shù),關(guān)于的方程,則( )A.當(dāng)時(shí),方程有兩實(shí)數(shù)根B.當(dāng)時(shí),方程有兩異號(hào)的實(shí)數(shù)根C.當(dāng)時(shí),方程有兩實(shí)數(shù)根,,則D.若方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,,則10.(多選題)(2025·高一·四川德陽(yáng)·階段練習(xí))設(shè)為實(shí)數(shù),已知關(guān)于的方程,則下列說(shuō)法正確的是( )A.當(dāng)時(shí),方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根之和為B.方程無(wú)實(shí)數(shù)根的一個(gè)必要條件是C.方程有兩個(gè)不相等的正根的一個(gè)充分條件是D.方程有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根的充要條件是11.(多選題)(2025·高一·福建南平·期中)已知二次函數(shù)(a,b,c為常數(shù),且)的部分圖象如圖所示,則( )A. B.C. D.不等式的解集為12.(多選題)(2025·高二·山西臨汾·階段練習(xí))已知不等式的解集為或,則下列結(jié)論正確的是( )A. B.C. D.的解集為13.(2025·高一·江蘇泰州·期末)若關(guān)于的不等式的解集為,且.則的取值范圍為 ,的最小值是 .14.(2025·高三·安徽亳州·階段練習(xí))已知關(guān)于的一元二次不等式的解集為,則關(guān)于的不等式的解集為 .15.(2025·高三·廣東揭陽(yáng)·階段練習(xí))若關(guān)于的不等式的解集為,則不等式的解集為 .16.(2025·新疆·模擬預(yù)測(cè))已知不等式的解集為,若關(guān)于的不等式的解集非空,則的最小值是 .17.(2025·高三·上海·階段練習(xí))關(guān)于的一元二次不等式的解集為空集的充要條件為 .18.(2025·高三·甘肅天水·階段練習(xí))關(guān)于的不等式的解集中恰有個(gè)整數(shù),則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺(tái)1.5 一元二次不等式與其他常見(jiàn)不等式解法【題型歸納目錄】題型一:不含參數(shù)一元二次不等式的解法題型二:含參數(shù)一元二次不等式的解法題型三:一元二次不等式與韋達(dá)定理及判別式題型四:其他不等式解法題型五:二次函數(shù)根的分布問(wèn)題題型六:一元二次不等式恒(能)成立問(wèn)題題型七:絕對(duì)值不等式題型八:探討含參數(shù)絕對(duì)值不等式的求解方法題型九:根據(jù)不等式組的整數(shù)解個(gè)數(shù)或范圍題型十:通過(guò)解不等式組確定參數(shù)的取值范圍【考點(diǎn)預(yù)測(cè)】1、一元二次不等式一元二次不等式,其中,是方程的兩個(gè)根,且(1)當(dāng)時(shí),二次函數(shù)圖象開(kāi)口向上.(2)①若,解集為.②若,解集為.③若,解集為.(2) 當(dāng)時(shí),二次函數(shù)圖象開(kāi)口向下.①若,解集為②若,解集為2、分式不等式(1)(2)(3)(4)3、絕對(duì)值不等式(1)(2);;(3)含有兩個(gè)或兩個(gè)以上絕對(duì)值符號(hào)的不等式,可用零點(diǎn)分段法和圖象法求解【方法技巧與總結(jié)】1、已知關(guān)于的不等式的解集為(其中),解關(guān)于的不等式.由的解集為,得:的解集為,即關(guān)于的不等式的解集為.已知關(guān)于的不等式的解集為,解關(guān)于的不等式.由的解集為,得:的解集為即關(guān)于的不等式的解集為.2、已知關(guān)于的不等式的解集為(其中),解關(guān)于的不等式.由的解集為,得:的解集為即關(guān)于的不等式的解集為.3、已知關(guān)于的不等式的解集為,解關(guān)于的不等式.由的解集為,得:的解集為即關(guān)于的不等式的解集為,以此類推.4、已知關(guān)于的一元二次不等式的解集為,則一定滿足;5、已知關(guān)于的一元二次不等式的解集為,則一定滿足;6、已知關(guān)于的一元二次不等式的解集為,則一定滿足;7、已知關(guān)于的一元二次不等式的解集為,則一定滿足.【典型例題】題型一:不含參數(shù)一元二次不等式的解法【例1】不等式的解集為( )A. B.C.或 D.【答案】A【解析】解不等式,得,所以原不等式的解集為.故選:A.【變式1-1】不等式的解集為( )A. B.C. D.【答案】C【解析】由得,即,解得或所以不等式的解集為故選:C.【變式1-2】不等式的解集是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】不等式化為:,而,所以的不等式無(wú)解,即解集為.故選:B【變式1-3】不等式的解集是( )A. B.C. D.或【答案】D【解析】由,得到,解得或,所以不等式的解集是或,故選:D.題型二:含參數(shù)一元二次不等式的解法【例2】若,則關(guān)于x的不等式的解集為( )A. B.C. D.【答案】D【解析】當(dāng)時(shí),,解,得,所以不等式的解集為.故選:D【變式2-1】已知實(shí)數(shù),則不等式的解集不可能是( )A. B.C.或 D.或【答案】D【解析】分、、三種情況討論計(jì)算,分別求出不等式的解集,即可判斷.由,當(dāng)時(shí),不等式即為,解得,即不等式的解集為;當(dāng)時(shí),解方程得,則當(dāng)時(shí),,函數(shù)開(kāi)口向上,故不等式的解集為;當(dāng)時(shí),,函數(shù)開(kāi)口向下,所以不等式的解集為或.綜上可得:當(dāng)時(shí),不等式的解集為;當(dāng)時(shí),不等式的解集為;當(dāng)時(shí),不等式的解集為或,所以不等式的解集不可能是選項(xiàng)D對(duì)應(yīng)的解集.故選:D.【變式2-2】已知,則關(guān)于x的不等式的解集為( )A. B.C.或 D.或【答案】D【解析】,,原不等式等價(jià)于,解得或,所以不等式的解集為或.故選:D.【變式2-3】已知函數(shù).(1)若不等式的解集為,求的取值范圍;(2)解關(guān)于的不等式.【解析】(1)由題意,不等式的解集為,則不等式在上恒成立,當(dāng),即時(shí),不等式為,不恒成立,不符合題意;當(dāng)時(shí),有,解得,所以的取值范圍為.(2)由,即,當(dāng),即時(shí),不等式為,解得;當(dāng),即時(shí),,不等式為,解得或;當(dāng),即時(shí),,不等式為,解得.綜上所述,當(dāng)時(shí),不等式的解集為;當(dāng)時(shí),不等式的解集為;當(dāng)時(shí),不等式的解集為.題型三:一元二次不等式與韋達(dá)定理及判別式【例3】(多選題)已知關(guān)于的不等式的解集為,則( )A.B.不等式的解集是C.D.不等式的解集為或【答案】BD【解析】由題意可得1和5是方程的兩根,且,由韋達(dá)定理可得,得,對(duì)于A,因?yàn)椋蔄錯(cuò)誤;對(duì)于B,不等式,即,即,得,所以不等式的解集是,故B正確;對(duì)于C,,故C錯(cuò)誤;對(duì)于D,由不等式,得,即,則,得或,即解集為或,故D正確.故選:BD.【變式3-1】(多選題)關(guān)于的不等式的解集為或,下列說(shuō)法正確的是( )A. B.不等式的解集為C.的最大值為 D.【答案】ACD【解析】對(duì)于:不等式的解集為或,故和是方程的兩個(gè)根,所以,解得,故正確,對(duì)于:可變?yōu)椋獾没颍叔e(cuò)誤,對(duì)于,,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)等號(hào)成立,所以的最大值為,故正確;對(duì)于,是對(duì)應(yīng)方程的根,所以,故正確.故選:ACD.【變式3-2】(多選題)不等式的解集是,對(duì)于系數(shù),下列結(jié)論正確的是( )A.B.C.D.不等式的解集為【答案】BCD【解析】因?yàn)椴坏仁降慕饧癁椋?br/>所以有,因此選項(xiàng)A不正確,選項(xiàng)B正確;,因此選項(xiàng)C正確;,選項(xiàng)D正確,故選:BCD.【變式3-3】(多選題)已知關(guān)于的一元二次不等式的解集為或,則( )A.且 B.C.不等式的解集為 D.不等式的解集為【答案】AC【解析】由題意可知,則,對(duì)于A,所以且,故A正確,對(duì)于B,, 故B錯(cuò)誤;對(duì)于C,不等式,故C正確;對(duì)于D,不等式,又,可得,所以或,故D錯(cuò)誤.故選:AC.題型四:其他不等式解法【例4】不等式的解集為 .【答案】【解析】,令,因?yàn)椋院愠闪ⅲ?br/>所以,即,解得,所以不等式的解集為.故答案為:.【變式4-1】(2025·上海浦東新·三模)設(shè)為實(shí)數(shù),則不等式的解集是 .【答案】【解析】因?yàn)椋?br/>解得且,即,所以不等式的解集是.故答案為:【變式4-2】(2025·北京·模擬預(yù)測(cè))不等式的解集為 .【答案】【解析】由得,即,整理得:,即,即,解得或,故不等式的解集為.故答案為:【變式4-3】(2025·江蘇宿遷·二模)設(shè)函數(shù),其中.若對(duì)任意的恒成立,則 .【答案】【解析】因?yàn)椋瑒t,令,可得或或,由于,則,,令,令可得或或,由于,則,由可得,若,取,,,當(dāng)時(shí),,,此時(shí),,當(dāng)時(shí),由穿根法可知,,矛盾,所以,,即,則,所以,因?yàn)閷?duì)任意的恒成立,所以對(duì)任意的恒成立,則,解得,因此,.故答案為:.題型五:二次函數(shù)根的分布問(wèn)題【例5】(2025·高三·江西九江·期末)已知實(shí)數(shù),且關(guān)于x的一元二次方程有實(shí)數(shù)根,則的最小值為 .【答案】【解析】由題意可得,①令,若,則以及,則,即;由①式消去c,得,即,即或;所以,解得,時(shí)“”成立,故;若,則以及,則,即;由①式消去c,得,即,②當(dāng)時(shí),②式成立;當(dāng)時(shí),由②式得或,所以,解得,故,時(shí)“”成立,所以,若,則以及,則,即,由①式消去a,整理得,即,即或,所以,解得,時(shí)“”成立,故.綜上所述,,取“”成立時(shí),或,故.故答案為:.【變式5-1】若下列兩個(gè)方程:,至少有一個(gè)方程有實(shí)根,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 .【答案】或.【解析】有實(shí)根,則,解得或,有實(shí)根,則,解得或,故實(shí)數(shù)a的取值范圍是或或或.故答案為:或.【變式5-2】已知關(guān)于的方程的兩根分別在區(qū)間,內(nèi),則實(shí)數(shù)的取值范圍為 .【答案】【解析】令,根據(jù)題意得,由①得:,由②得:,由③得:,求交集得:故的取值范圍為.故答案為:【變式5-3】關(guān)于的方程在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)不等實(shí)根,則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .【答案】【解析】關(guān)于的方程在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)不等實(shí)根,令,則有,解得,所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為:題型六:一元二次不等式恒(能)成立問(wèn)題【例6】若命題“,”是真命題,則實(shí)數(shù)的取值范圍是( )A. B.C. D.【答案】D【解析】命題“,”等價(jià)于有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根,所以,即,解得或,故選:D.【變式6-1】已知函數(shù)的定義域是,則的取值范圍是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】根據(jù)題意對(duì)于恒成立;當(dāng)時(shí),顯然成立,可得符合題意;當(dāng)時(shí),若滿足題意可得,解得;當(dāng)時(shí),若滿足題意可得,此時(shí)無(wú)解;綜上可得,的取值范圍是.故選:C【變式6-2】若存在實(shí)數(shù)使得不等式恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是( )A. B. C. D.【答案】A【解析】若,當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),不等式成立,當(dāng)時(shí),不等式成立,當(dāng)時(shí),不等式成立,所以滿足條件,若,當(dāng)時(shí),不等式對(duì)任意的成立,當(dāng)時(shí),不等式可化為,又拋物線的對(duì)稱軸方程為,由已知,且,當(dāng)時(shí),不等式可化為,由已知結(jié)合條件,且可得,,且,所以的取值范圍是,綜上:;故選:A.【變式6-3】若關(guān)于x的不等式在區(qū)間上有解,則實(shí)數(shù)m的最小值為( )A.9 B.6 C. D.5【答案】D【解析】關(guān)于x的不等式在區(qū)間上有解,等價(jià)于在區(qū)間上有解,即在區(qū)間上有解,又,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取最小值6.故,可得.故選:D題型七:絕對(duì)值不等式【例7】(2025·上海崇明·二模)不等式的解為 .【答案】【解析】,即,解得,故所求解集為.故答案為:.【變式7-1】(2025·高三·上海·開(kāi)學(xué)考試)不等式的解集為 .【答案】【解析】因?yàn)椋曰颍?br/>所以或或,所以.故答案為:.【變式7-2】(2025·上海虹口·模擬預(yù)測(cè))不等式的解集為 .【答案】【解析】,當(dāng)時(shí),,解得,故解集為,當(dāng)時(shí),,解集為,當(dāng)時(shí),,解得,故解集為,綜上:不等式的解集為.故答案為:【變式7-3】(2025·上海浦東新·三模)不等式的解集是 .【答案】【解析】當(dāng)時(shí),,解得,此時(shí)解集為空集,當(dāng)時(shí),,即,符合要求,此時(shí)解集為,當(dāng)時(shí),,解得,此時(shí)解集為空集,綜上:不等式的解集為.故答案為:題型八:探討含參數(shù)絕對(duì)值不等式的求解方法【例8】不等式中的取值范圍是,則 .【答案】【解析】由知,,有,.故答案為:【變式8-1】若關(guān)于的不等式的解集為,則a= .【答案】【解析】①若顯然不成立;②若,不等式的解為,因?yàn)椴坏仁降慕饧癁椋?br/>所以,無(wú)解;③若,不等式的解為,因?yàn)椴坏仁降慕饧癁椋?br/>所以,解得.綜上所述,.故答案為:【變式8-2】若關(guān)于的不等式的解集不是,則實(shí)數(shù)的最大值是【答案】【解析】不等式變形為構(gòu)造函數(shù)當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),即,畫(huà)出函數(shù)圖像如下圖所示:因?yàn)椴皇强占?即有解所以從圖像可知,即實(shí)數(shù)的最大值是3故答案為:3題型九:根據(jù)不等式組的整數(shù)解個(gè)數(shù)或范圍【例9】關(guān)于的不等式組的整數(shù)解的集合為,求實(shí)數(shù)的取值范圍( )A. B. C. D.【答案】B【解析】由,可得或;由 ,可得(*).① 若,即時(shí),則由(*),可得,此時(shí)原不等式的解集為,顯然不符合題意;② 若時(shí),則由(*),可得,顯然不符合題意;③ 若時(shí),則由(*),可得,此時(shí)要使不等式組的整數(shù)解的集合為,須使,即.綜上可得,實(shí)數(shù)的取值范圍故選:B.【變式9-1】已知關(guān)于的不等式組僅有一個(gè)整數(shù)解,則的取值范圍為( )A. B. C. D.【答案】B【解析】由,即,解得或,由,即,因?yàn)椋?br/>不等式的解集為,結(jié)合題意,此時(shí)原不等式組的解集為,且僅有一個(gè)整數(shù)解,所以.故選:B.【變式9-2】已知關(guān)于的不等式組僅有一個(gè)整數(shù)解,則的取值范圍為( )A.或 B.或C.或 D.或【答案】B【解析】,解得或,變形為,當(dāng),即時(shí),不等式解集為空集,不合要求,舍去,當(dāng),即時(shí),解集為,要想不等式組僅有一個(gè)整數(shù)解,則,解得,與求交集得;當(dāng),即時(shí),解決為,要想不等式組僅有一個(gè)整數(shù)解,則,解得,與求交集得,綜上,的取值范圍是或.故選:B題型十:通過(guò)解不等式組確定參數(shù)的取值范圍【例10】(2025·黑龍江·模擬預(yù)測(cè))為實(shí)數(shù),不等式組的解集為,則 .【答案】 0 0【解析】先證明都不小于零,不妨假設(shè),考慮不等式,因?yàn)椴坏仁浇M有解集,故不等式必定有解,設(shè)方程的兩實(shí)數(shù)根為,則不等式的解集為,不等式組的解集為不等式的子集,與解集為矛盾,故假設(shè)錯(cuò)誤,.同理可知,,再證明至少有一個(gè)為零,不妨設(shè)均為正數(shù),則的圖象均開(kāi)口向上,不等式組的解集應(yīng)該還有的部分,與已知矛盾,故假設(shè)錯(cuò)誤,所以中至少有一個(gè)為零.顯然不全為0,分類討論如下:若中的兩個(gè)為0,不妨設(shè),則不等式組為解集為此時(shí)若中的1個(gè)為0,不妨設(shè),則不等式組為,其中不等式的解集為,不等式的解集為,不等式恒成立,因?yàn)椋什坏仁浇M的解集為,此時(shí),綜上,.故答案為:0,0【變式10-1】若關(guān)于的不等式組有實(shí)數(shù)解,則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .【答案】【解析】根據(jù)題意,由解得,當(dāng)時(shí),由解得,顯然此時(shí)不等式組有實(shí)數(shù)解,當(dāng)時(shí),由可知,顯然此時(shí)不等式組有實(shí)數(shù)解,當(dāng)時(shí),由解得,∵關(guān)于的不等式組有實(shí)數(shù)解,∴,又,則有,解得,綜上所述的取值范圍為,故答案為:.【變式10-2】已知關(guān)于的不等式組沒(méi)有實(shí)數(shù)解,則實(shí)數(shù)的取值范圍為 .【答案】.【解析】由可得,由可得,若不等式組沒(méi)有實(shí)數(shù)解,則.故答案為:.【變式10-3】若不等式組的解集為空集,則實(shí)數(shù)的取值范圍為 .【答案】【解析】由,可得,對(duì)于不等式(*),若,則不等式(*)的解集為空集,符合題意;若,則由不等式(*)可得,要使不等式組解集為空集,需使,即;若,則由不等式(*)可得,要使不等式組解集為空集,需使,故.綜上可得,實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為:【變式10-4】已知、,關(guān)于的不等式組解集為,則的值為 .【答案】【解析】①當(dāng)時(shí)顯然不成立;②當(dāng)時(shí),不等式組可化為,設(shè)的兩根為,則有,即,故不等式組化為,根據(jù)不等式組的解集為,可知不符合題意;③當(dāng)時(shí),不等式組可化為,即,根據(jù)不等式組的解集為,可得,解得,故,,所以.故答案為:.【過(guò)關(guān)測(cè)試】1.(2025·高三·全國(guó)·專題練習(xí))已知,且,是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,則,,,的大小關(guān)系是( )A. B.C. D.【答案】C【解析】,為方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,,為函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo),令,,為函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo),函數(shù)的圖象可由的圖象向上平移2024個(gè)單位長(zhǎng)度得到,.故選:C.2.(2025·高一·陜西安康·期末)已知,且是方程的兩根,則( )A. B. C. D.【答案】C【解析】在區(qū)間內(nèi),,.已知和是方程的兩根,根據(jù)韋達(dá)定理有,.因?yàn)椋?又因?yàn)椋?則.所以,又,即,解得.故選:C.3.(2025·高一·上海·期中)已知不等式 的解集是,則①;②若不等式的解集為,則;③若不等式的解集為,則;④若不等式的解集為,且,則.其中正確的是( )A.①② B.①④ C.①②④ D.①②③【答案】C【解析】由題意,不等式的解集是,所以,,所以①正確;變形為,其解集為,所以,得,故成立,所以②正確;若不等式的解集為,由韋達(dá)定理知:,所以③錯(cuò)誤;若不等式的解集為,即的解集為,由韋達(dá)定理知:,則,解得,所以④正確.綜上,正確的為:①②④故選:C4.(2025·高三·全國(guó)·專題練習(xí))若關(guān)于的不等式的解集中恰有3個(gè)整數(shù),則實(shí)數(shù)的取值范圍為( )A. B. C. D.【答案】C【解析】不等式可化為,當(dāng)時(shí),不等式的解集為,要使解集中恰有3個(gè)整數(shù),則這3個(gè)整數(shù)只能是4,5,6,所以;當(dāng)時(shí),不等式的解集為,此時(shí)不符合題意;當(dāng)時(shí),不等式的解集為,要使解集中恰有3個(gè)整數(shù),則這3個(gè)整數(shù)只能是0,1,2,所以.綜上可知,實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選:C.5.(2025·陜西渭南·二模)若關(guān)于的不等式有且只有一個(gè)整數(shù)解,則實(shí)數(shù)的取值范圍是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】當(dāng)時(shí),解得:,不滿足條件;故,關(guān)于的不等式可得,所以,即,方程的兩根為,當(dāng)時(shí),不等式可化為,,解集為:,不滿足條件;當(dāng)時(shí),不等式可化為,當(dāng)時(shí),則,即,不等式的解集為:,要使不等式有且只有一個(gè)整數(shù)解,則,又因?yàn)椋粷M足條件;當(dāng)時(shí),則,即,不等式的解集為空集,當(dāng)時(shí),則,即,不等式的解集為,要使不等式有且只有一個(gè)整數(shù)解,則,解得:,故實(shí)數(shù)的取值范圍是:.故選:B.6.(2025·高三·廣東深圳·階段練習(xí))若關(guān)于的不等式的解集是,則的取值范圍是( )A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)殛P(guān)于的不等式的解集是,所以可知,所以原不等式可化為顯然是方程的兩根,所以只須,解得,所以的取值范圍是.故選:A7.(2025·廣西南寧·二模)已知函數(shù),.若不等式的解集為,則( )A. B.1 C. D.2【答案】A【解析】,根據(jù)選項(xiàng)可知:只需要考慮,要使不等式的解集為,當(dāng)時(shí),故,解得,當(dāng)時(shí),無(wú)法滿足的解集為,故舍去,故選:A8.(2025·高一·山西呂梁·階段練習(xí))函數(shù)的定義域?yàn)椋魸M足:①在內(nèi)是單調(diào)函數(shù);②存在,使得在上的值域也是,則稱為高斯函數(shù).若是高斯函數(shù),則實(shí)數(shù)的取值范圍是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增,由題意知,所以是方程在上的兩個(gè)不等實(shí)根,令,則,所以在上有兩個(gè)不等實(shí)根,令,對(duì)稱軸,則,即,解得,所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選:D.9.(多選題)(2025·高一·山東菏澤·期中)已知為任意實(shí)數(shù),關(guān)于的方程,則( )A.當(dāng)時(shí),方程有兩實(shí)數(shù)根B.當(dāng)時(shí),方程有兩異號(hào)的實(shí)數(shù)根C.當(dāng)時(shí),方程有兩實(shí)數(shù)根,,則D.若方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,,則【答案】AB【解析】對(duì)于A:因?yàn)椋?dāng)時(shí),所以方程有兩實(shí)數(shù)根,故A正確;對(duì)于B:若方程有兩異號(hào)的實(shí)數(shù)根,則,解得,即當(dāng)時(shí),方程有兩異號(hào)的實(shí)數(shù)根,故B正確;對(duì)于C:當(dāng)時(shí),方程無(wú)實(shí)數(shù)根,故C錯(cuò)誤;對(duì)于D:若方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,,則,即,當(dāng)時(shí),方程的兩根,,顯然無(wú)意義,故D錯(cuò)誤.故選:AB10.(多選題)(2025·高一·四川德陽(yáng)·階段練習(xí))設(shè)為實(shí)數(shù),已知關(guān)于的方程,則下列說(shuō)法正確的是( )A.當(dāng)時(shí),方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根之和為B.方程無(wú)實(shí)數(shù)根的一個(gè)必要條件是C.方程有兩個(gè)不相等的正根的一個(gè)充分條件是D.方程有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根的充要條件是【答案】BD【解析】對(duì)于A,當(dāng)時(shí),方程為,而方程無(wú)實(shí)根,故A錯(cuò)誤;對(duì)于B,由題意可得,由,解得,,故B正確;對(duì)于C,由題意可得,由B可知不等式的解集為,解不等式可得,所以不等式組的解集為,,故C錯(cuò)誤,對(duì)于D,由題意可得,解得,故D正確.故選:BD.11.(多選題)(2025·高一·福建南平·期中)已知二次函數(shù)(a,b,c為常數(shù),且)的部分圖象如圖所示,則( )A. B.C. D.不等式的解集為【答案】BCD【解析】由題設(shè)及函數(shù)圖象知:且,所以,則,,,A錯(cuò),B、C對(duì);,則,D對(duì).故選:BCD12.(多選題)(2025·高二·山西臨汾·階段練習(xí))已知不等式的解集為或,則下列結(jié)論正確的是( )A. B.C. D.的解集為【答案】ABC【解析】因?yàn)椴坏仁降慕饧癁榛颍?br/>可知,且的根為,故A正確;則,可得,則,,B正確;C正確;因?yàn)椋矗遥?br/>則0,解得,所以的解集為,D錯(cuò)誤.故選:ABC.13.(2025·高一·江蘇泰州·期末)若關(guān)于的不等式的解集為,且.則的取值范圍為 ,的最小值是 .【答案】 .【解析】的解集為,則有2個(gè)大于1的根,則,由韋達(dá)定理,可得,則.注意到,因,則,則,故.當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等號(hào).故答案為:;.14.(2025·高三·安徽亳州·階段練習(xí))已知關(guān)于的一元二次不等式的解集為,則關(guān)于的不等式的解集為 .【答案】【解析】由于一元二次不等式的解集為,故是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,故,解得,故為,故,解得,故解集為,故答案為:15.(2025·高三·廣東揭陽(yáng)·階段練習(xí))若關(guān)于的不等式的解集為,則不等式的解集為 .【答案】【解析】不等式的解集為,方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為和,由根與系數(shù)的關(guān)系得:,則,故,即:,解得或;所求不等式的解集為.故答案為:.16.(2025·新疆·模擬預(yù)測(cè))已知不等式的解集為,若關(guān)于的不等式的解集非空,則的最小值是 .【答案】【解析】由于,故不等式的解集為,所以.這表明條件等價(jià)于關(guān)于的不等式的解集非空.假設(shè),則對(duì)任意都有,所以的解集為空,不滿足條件,故一定有.而當(dāng)時(shí),對(duì)有,所以不等式的解集包含,一定非空,滿足條件.所以的最小值是.故答案為:.17.(2025·高三·上海·階段練習(xí))關(guān)于的一元二次不等式的解集為空集的充要條件為 .【答案】【解析】由題意知,二次函數(shù)開(kāi)口向上,且與軸最多有一個(gè)交點(diǎn),則.故答案為:.18.(2025·高三·甘肅天水·階段練習(xí))關(guān)于的不等式的解集中恰有個(gè)整數(shù),則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .【答案】【解析】關(guān)于的不等式可化為,當(dāng)時(shí),解得,要使解集中恰有兩個(gè)整數(shù),則,得;當(dāng)時(shí),不等式化為,此時(shí)無(wú)解;當(dāng)時(shí),解得,要使解集中恰有兩個(gè)整數(shù),則,得.綜上,實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為:.21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com) 展開(kāi)更多...... 收起↑ 資源列表 1.5 一元二次不等式與其他常見(jiàn)不等式解法(10大題型)(學(xué)生版).docx 1.5 一元二次不等式與其他常見(jiàn)不等式解法(10大題型)(教師版).docx 縮略圖、資源來(lái)源于二一教育資源庫(kù)