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1.4 基本不等式及其應用(18大題型)-2026年新高考數(shù)學大一輪復習講義之方法技巧與題型全歸納(新高考專用)

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1.4 基本不等式及其應用(18大題型)-2026年新高考數(shù)學大一輪復習講義之方法技巧與題型全歸納(新高考專用)

資源簡介

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1.4 基本不等式及其應用
【題型歸納目錄】
題型一:基本不等式及其應用
題型二:直接法求最值
題型三:常規(guī)湊配法求最值
題型四:消參法求最值
題型五:雙換元求最值
題型六:“1”的代換求最值
題型七:齊次化求最值
題型八:利用基本不等式證明不等式
題型九:利用基本不等式解決實際問題
題型十:三角函數(shù)法
題型十一:多次使用基本不等式
題型十二:參數(shù)構(gòu)造法
題型十三:多元均值不等式
題型十四:判別式法
題型十五:跨知識點綜合
題型十六:特定形式的最值問題
題型十七:恒(能)成立問題
題型十八:構(gòu)造不等式法求最值
【考點預測】
1、基本不等式
如果,那么,當且僅當時,等號成立.其中,叫作的算術(shù)平均數(shù),叫作的幾何平均數(shù).即正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).
基本不等式1:若,則,當且僅當時取等號;
基本不等式2:若,則(或),當且僅當時取等號.
注意(1)基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”;其中“一正”指正數(shù),“二定”指求最值時和或積為定值,“三相等”指滿足等號成立的條件.(2)連續(xù)使用不等式要注意取得一致.
【方法技巧與總結(jié)】
1、幾個重要的不等式
(1)
(2)基本不等式:如果,則(當且僅當“”時取“”).
特例:(同號).
(3)其他變形:
①(溝通兩和與兩平方和的不等關(guān)系式)
②(溝通兩積與兩平方和的不等關(guān)系式)
③(溝通兩積與兩和的不等關(guān)系式)
④重要不等式串:即
調(diào)和平均值幾何平均值算數(shù)平均值平方平均值(注意等號成立的條件).
2、均值定理
已知.
(1)如果(定值),則(當且僅當“”時取“=”).即“和為定值,積有最大值”.
(2)如果(定值),則(當且僅當“”時取“=”).即積為定值,和有最小值”.
3、常見求最值模型
模型一:,當且僅當時等號成立;
模型二:,當且僅當時等號成立;
模型三:,當且僅當時等號成立;
模型四:,當且僅當時等號成立.
【典型例題】
題型一:基本不等式及其應用
【例1】(2025·山東濟南·三模)已知函數(shù)及其導函數(shù)的定義域均為,且滿足.若在單調(diào)遞增,則( )
A. B.
C. D.
【變式1-1】(2025·山東·模擬預測)已知,,且,則下列不等式成立的是( )
A. B.
C. D.
【變式1-2】設(shè)、、滿足,,,則( )
A., B.,
C., D.,
【變式1-3】(2025·貴州安順·二模)已知是函數(shù)的圖象上兩個不同的點,則( )
A. B.
C. D.
題型二:直接法求最值
【例2】(2025·廣東汕頭·模擬預測)已知,為和的等差中項,則的最小值為( )
A. B. C. D.
【變式2-1】(2025·河北保定·二模)已知x,y是非零實數(shù),則的最小值為( )
A.6 B.12 C.2 D.4
【變式2-2】已知均為正數(shù),則的最小值為( )
A.4 B. C.6 D.
【變式2-3】已知,則的最大值為 .
題型三:常規(guī)湊配法求最值
【例3】設(shè),,若,則的最大值為 .
【變式3-1】設(shè) ,則的最小值為( )
A.0 B.1 C.2 D.4
【變式3-2】若正實數(shù)滿足,則的最小值為( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【變式3-3】若則的最小值為( )
A. B. C. D.
題型四:消參法求最值
【例4】(2025·高三·河北·期末)若實數(shù),滿足,則的最小值為 .
【變式4-1】已知拋物線的焦點為,若,則的最小值為( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【變式4-2】已知為銳角,且,則的最大值是( )
A. B. C. D.
【變式4-3】已知均為銳角,,則的最大值為( )
A. B. C. D.
【變式4-4】已知,則的最大值為( )
A. B. C.1 D.
題型五:雙換元求最值
【例5】(2025·甘肅白銀·模擬預測)若正實數(shù),滿足,則的最小值是 .
【變式5-1】設(shè)為正實數(shù),且,則的最小值為 .
【變式5-2】已知,則的最小值為 .
題型六:“1”的代換求最值
【例6】已知正實數(shù)x,y滿足,則的最小值為( )
A.9 B. C. D.2
【變式6-1】(2025·河南·三模)若,,且,則的最大值為( )
A. B. C. D.
【變式6-2】已知,則的最小值為( )
A.2 B.4 C.1 D.3
題型七:齊次化求最值
【例7】已知正數(shù)滿足,則的最小值是 .
【變式7-1】(2025·高三·河南漯河·期末)設(shè)正實數(shù)、、滿足,則的最大值為( )
A. B. C. D.
【變式7-2】(2025·四川成都·三模)設(shè)函數(shù),正實數(shù)滿足,若,則實數(shù)的最大值為( )
A. B.4 C. D.
題型八:利用基本不等式證明不等式
【例8】已知,,均為正數(shù)
(1)求證:;
(2)若,求證:.
【變式8-1】已知,當時,不等式成立.
(1)求的最大值;
(2)設(shè)正數(shù),的和恰好等于的最大值,求證:.
【變式8-2】已知實數(shù)a,b,c滿足.
(1)若,求證:;
(2)若a,b,,求證:.
題型九:利用基本不等式解決實際問題
【例9】(2025·高三·安徽六安·期末)已知、兩地的距離是.根據(jù)交通法規(guī),兩地之間的公路車速應限制在.假設(shè)油價是元,以的速度行駛時,汽車的耗油率為,司機每小時的工資是元,那么最經(jīng)濟的車速是( ).
A. B. C. D.
【變式9-1】(2025·高三·山東·開學考試)墻上掛著一幅高為1m的畫,畫的上端到地面的距離為2m,某攝像機在地面上拍攝這幅畫.將畫上端一點A、下端一點B與攝像機連線的夾角稱為視角(點A,B與攝像機在同一豎直平面內(nèi)),且把最大的視角稱為最佳視角.若墻與地面垂直且攝像機高度忽略不計,則當攝像機在地面上任意移動時,最佳視角的正弦值為( )
A. B. C. D.
【變式9-2】(2025·廣東珠海·一模)由于燃油的價格有升也有降,現(xiàn)在有兩種加油方案.第一種方案:每次加30升的燃油;第二種方案:每次加200元的燃油.下列說法正確的是(  )
A.采用第一種方案劃算 B.采用第二種方案劃算
C.兩種方案一樣 D.采用哪種方案無法確定
題型十:三角函數(shù)法
【例10】(多選題)(2025·江蘇淮安·模擬預測)若滿足,則( )
A. B.
C. D.
【變式10-1】(2025·河南新鄉(xiāng)·模擬預測)已知正數(shù)滿足,則的最小值為 .
【變式10-2】已知非負實數(shù),滿足,則的最大值為 .
題型十一:多次使用基本不等式
【例11】(2025·江西·二模)已知,,,則的最小值為 .
【變式11-1】已知,則的取值范圍是( )
A. B. C. D.
【變式11-2】已知正實數(shù)、、滿足,則的最小值是( )
A. B. C. D.
題型十二:參數(shù)構(gòu)造法
【例12】(2025·甘肅平?jīng)觥つM預測)已知,且,則的最小值是 .
【變式12-1】(2025·山西運城·二模)若a,b,c均為正實數(shù),則的最大值為( )
A. B. C. D.
【變式12-2】(2025·高三·遼寧沈陽·開學考試)若,,,則的最小值為( )
A.16 B.18 C.20 D.22
題型十三:多元均值不等式
【例13】已知,則的最小值為( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【變式13-1】(2025·黑龍江哈爾濱·模擬預測)若,,求 的最小值為( )
A. B. C. D.
,
的最小值為.
【變式13-2】函數(shù)的最小值是( ).
A. B. C.1 D.不存在
題型十四:判別式法
【例14】(2025·浙江·二模)設(shè),,若,且的最大值是,則 .
【變式14-1】若,,則當 時,取得最大值,該最大值為 .
【變式14-2】設(shè)x、y為實數(shù),若,則的最大值是 .
題型十五:跨知識點綜合
【例15】(2025·北京朝陽·二模)在中,,且,則 ;面積的最大值為 .
【變式15-1】(2025·天津河西·二模)在平行四邊形中,,,,四邊形的面積為6,則的最小值為 ;當在上的投影向量為時, .
【變式15-2】(2025·北京朝陽·二模)設(shè),過原點的直線(不與軸重合)與圓交于點P與直線交于點.過點作軸的平行線,過點作軸的垂線,這兩條直線交于點,稱為的箕舌線函數(shù),記作,給出下列四個結(jié)論:
①函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱;
②若,則;
③設(shè)函數(shù),則的最大值為;
④設(shè)函數(shù),則的最小值為.
其中所有正確結(jié)論的序號是 .
題型十六:特定形式的最值問題
【例16】(多選題)(2025·福建漳州·模擬預測)已知正實數(shù)x,y滿足,則( )
A. B.
C. D.
【變式16-1】(多選題)(2025·遼寧·三模)已知,則下列結(jié)論正確的是( )
A.若,則
B.若,則的最大值為
C.若,則的最小值為1
D.若,則的最大值為
【變式16-2】(多選題)(2025·河北·二模)已知,,,則下列說法正確的是( )
A.的最大值為 B.的最小值為4
C.的最大值為2 D.的最小值為
【變式16-3】(多選題)(2025·湖南郴州·三模)設(shè)正實數(shù)滿足,則( )
A. B.
C. D.
題型十七:恒(能)成立問題
【例17】(2025·陜西咸陽·一模)已知實數(shù),滿足,若不等式對任意的正實數(shù)恒成立,那么實數(shù)m的最大值為( )
A. B. C.3 D.
【變式17-1】(2025·湖北鄂州·一模)已知函數(shù),若,,,均有,則的最大值為( )
A. B. C. D.
【變式17-2】(2025·吉林延邊·一模)已知正實數(shù),滿足,且不等式恒成立,則的取值范圍是( )
A. B. C. D.
題型十八:構(gòu)造不等式法求最值
【例18】(2025·安徽·模擬預測)已知正實數(shù)滿足,則的取值范圍為 .
【變式18-1】(2025·山東·二模)若實數(shù)x,y,z滿足,且,則的取值范圍為( )
A. B. C. D.
【變式18-2】(2025·山東·模擬預測)已知,則的最小值是( )
A. B.4 C. D.8
【過關(guān)測試】
1.(2025·河北·模擬預測)已知,均為銳角,為鈍角,若,則的最大值為( )
A. B. C. D.
2.(2025·甘肅甘南·模擬預測)已知各項為正的等差數(shù)列的前項和為,且,則的最大值為( )
A. B.4 C.5 D.
3.(2025·河北·三模)已知,則的最小值為( )
A.2 B. C.4 D.9
4.(2025·陜西安康·模擬預測)已知,則的最小值為( )
A. B.2 C. D.
5.(2025·廣東·模擬預測)已知正實數(shù),滿足,則的最大值為( )
A.1 B. C. D.2
6.(2025·湖南·三模)已知點是函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象上的一點,則的最小值為( )
A. B. C. D.
7.(2025·貴州遵義·模擬預測)某學校社團舉辦“燈籠裝飾校園”的活動比賽,要求用彩帶制作、兩種類型的燈籠,其中型燈籠每個需要0.5米彩帶,型燈籠每個需要1米彩帶.活動規(guī)定:兩種燈籠數(shù)量的乘積越大,評分越高.已知某同學用60米長的彩帶制作型燈籠個,型燈籠個.若要使該同學的得分最高,則實數(shù),的值分別為( )
A., B., C., D.,
8.(2025·福建泉州·模擬預測)已知向量不共線,,其中,若三點共線,則的最小值為( )
A.5 B.4 C.3 D.2
9.(多選題)(2025·江西宜春·一模)數(shù)列滿足,,,…,,依此類推,則下列結(jié)論正確的是( )
A.的最小值為 B.
C.若,則 D.若,則
10.(多選題)(2025·江西上饒·二模)若正實數(shù)滿足,則( )
A.的最大值是 B.的最小值是9
C.的最大值是 D.的最小值是
11.(多選題)(2025·高三·河南焦作·階段練習)若,則( )
A. B.x,y不能同時為整數(shù)
C. D.
12.(多選題)(2025·高三·全國·專題練習)已知正數(shù)滿足,則( )
A. B.
C. D.
13.(2025·河北·模擬預測)已知函數(shù),方程有4個不同的根,且滿足,則的最小值為 .
14.(2025·天津和平·三模)已知實數(shù)與滿足,且,則的最小值為 .
15.(2025·安徽·模擬預測)若,則的最小值是 .
16.(2025·四川·三模)若,,則實數(shù)m的取值范圍為 .
17.(2025·湖北·模擬預測)已知隨機變量,a、b是正實數(shù),滿足,則的最小值為 .
18.(2025·高三·全國·專題練習)已知,則的最大值為 .
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1.4 基本不等式及其應用
【題型歸納目錄】
題型一:基本不等式及其應用
題型二:直接法求最值
題型三:常規(guī)湊配法求最值
題型四:消參法求最值
題型五:雙換元求最值
題型六:“1”的代換求最值
題型七:齊次化求最值
題型八:利用基本不等式證明不等式
題型九:利用基本不等式解決實際問題
題型十:三角函數(shù)法
題型十一:多次使用基本不等式
題型十二:參數(shù)構(gòu)造法
題型十三:多元均值不等式
題型十四:判別式法
題型十五:跨知識點綜合
題型十六:特定形式的最值問題
題型十七:恒(能)成立問題
題型十八:構(gòu)造不等式法求最值
【考點預測】
1、基本不等式
如果,那么,當且僅當時,等號成立.其中,叫作的算術(shù)平均數(shù),叫作的幾何平均數(shù).即正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).
基本不等式1:若,則,當且僅當時取等號;
基本不等式2:若,則(或),當且僅當時取等號.
注意(1)基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”;其中“一正”指正數(shù),“二定”指求最值時和或積為定值,“三相等”指滿足等號成立的條件.(2)連續(xù)使用不等式要注意取得一致.
【方法技巧與總結(jié)】
1、幾個重要的不等式
(1)
(2)基本不等式:如果,則(當且僅當“”時取“”).
特例:(同號).
(3)其他變形:
①(溝通兩和與兩平方和的不等關(guān)系式)
②(溝通兩積與兩平方和的不等關(guān)系式)
③(溝通兩積與兩和的不等關(guān)系式)
④重要不等式串:即
調(diào)和平均值幾何平均值算數(shù)平均值平方平均值(注意等號成立的條件).
2、均值定理
已知.
(1)如果(定值),則(當且僅當“”時取“=”).即“和為定值,積有最大值”.
(2)如果(定值),則(當且僅當“”時取“=”).即積為定值,和有最小值”.
3、常見求最值模型
模型一:,當且僅當時等號成立;
模型二:,當且僅當時等號成立;
模型三:,當且僅當時等號成立;
模型四:,當且僅當時等號成立.
【典型例題】
題型一:基本不等式及其應用
【例1】(2025·山東濟南·三模)已知函數(shù)及其導函數(shù)的定義域均為,且滿足.若在單調(diào)遞增,則( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由函數(shù)及其導函數(shù)的定義域均為,得的圖象在上連續(xù)不斷,
對于A,取,由,得,
當時,取,,而在上單調(diào)遞增,
則在上不恒為0,因此,即,A錯誤;
對于B,,取,,由選項A知,,
不恒為0,B錯誤;
對于C,由在上單調(diào)遞增,得當時,;
當時,由,得,C錯誤;
對于D,,則,
因此,D正確.
故選:D
【變式1-1】(2025·山東·模擬預測)已知,,且,則下列不等式成立的是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】因為,所以,
對于A項:,
當且僅當時取得等號,從而在,時,故A錯誤;
對于B項:因為,所以,
,當時取得等號,此時,故B錯誤;
對于C項:因為,所以,所以,
于是等價于,等價于,
構(gòu)造函數(shù),,
所以在上單調(diào)遞增;
所以恒成立,所以不等式成立,故C正確;
對于D項:根據(jù)B選項的分析,,
則,即,
當時取得等號,此時,故D錯誤.
故選:C
【變式1-2】設(shè)、、滿足,,,則( )
A., B.,
C., D.,
【答案】A
【解析】、、且,,,則,
先比較與的大小關(guān)系,
構(gòu)造函數(shù),其中,
則,所以,,
則,
令,其中,則,
令,其中,所以,,
所以,函數(shù)在上單調(diào)遞增,故,
所以,函數(shù)在上單調(diào)遞增,則,即,
因為,則,
所以,,
所以,,
因為,所以,

所以,對任意的,,
故函數(shù)在上單調(diào)遞減,
因為,則,故,
由基本不等式可得(,故取不了等號),所以,,
故選:A.
【變式1-3】(2025·貴州安順·二模)已知是函數(shù)的圖象上兩個不同的點,則( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由題意不妨設(shè),因為函數(shù)是增函數(shù),
所以,即,
對于選項AB:因為,
即,且函數(shù)是增函數(shù),
所以,故B正確,A錯誤;
對于選項D:例如,則,
可得,即,故D錯誤;
對于選項C:例如,則,
可得,即,故C錯誤,
故選:B.
題型二:直接法求最值
【例2】(2025·廣東汕頭·模擬預測)已知,為和的等差中項,則的最小值為( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由題知,得到,
所以,
當且僅當,即時,取等號.
故選:D.
【變式2-1】(2025·河北保定·二模)已知x,y是非零實數(shù),則的最小值為( )
A.6 B.12 C.2 D.4
【答案】A
【解析】,
當且僅當,
即,等號成立,
所以的最小值為6,
故選:A
【變式2-2】已知均為正數(shù),則的最小值為( )
A.4 B. C.6 D.
【答案】D
【解析】由均為正數(shù),得,
當且僅當時取等號,所以的最小值為.
故選:D
【變式2-3】已知,則的最大值為 .
【答案】1
【解析】由,則,
當且僅當時取等號.
故答案為:1
題型三:常規(guī)湊配法求最值
【例3】設(shè),,若,則的最大值為 .
【答案】
【解析】由題意得,,
當且僅當,即時取等號,
∴的最大值為.
故答案為:.
【變式3-1】設(shè) ,則的最小值為( )
A.0 B.1 C.2 D.4
【答案】A
【解析】由題意,所以,
得到,
當且僅當,即時, 等號成立,則的最小值為.
故選:A.
【變式3-2】若正實數(shù)滿足,則的最小值為( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】B
【解析】正實數(shù)滿足,又,則,當且僅當時取等號,
設(shè)則,代入整理可得,解得或,
因,故,故當時,取得最小值為2.
故選:B.
【變式3-3】若則的最小值為( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】,
因為,所以,設(shè),
則,當且僅當時等號成立,
此時,解得,
故選:A.
題型四:消參法求最值
【例4】(2025·高三·河北·期末)若實數(shù),滿足,則的最小值為 .
【答案】1
【解析】因,則,
由,當且僅當,時等號成立,
即當,時,取得最小值2,
又因是單調(diào)增函數(shù),故此時取得最小值為1.
故答案為:1.
【變式4-1】已知拋物線的焦點為,若,則的最小值為( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】B
【解析】由,得,令得,,令,則,當且僅當,即時取等號.
故選:B.
【變式4-2】已知為銳角,且,則的最大值是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因為,
已知,則有:

移項可得:,
即,由于,
兩邊同時除以,得到,

令(,因為為銳角),則.
根據(jù)均值不等式對于有:
當且僅當,即時等號成立.
所以,即的最大值為.
故選:A.
【變式4-3】已知均為銳角,,則的最大值為( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由題可得,
因為均為銳角,兩邊同時除以得,
所以,
因為均為銳角,所以,
則,
當且僅當,即時取等號,
故選:C.
【變式4-4】已知,則的最大值為( )
A. B. C.1 D.
【答案】B
【解析】

當且僅當時取等.
故選:B.
題型五:雙換元求最值
【例5】(2025·甘肅白銀·模擬預測)若正實數(shù),滿足,則的最小值是 .
【答案】/0.25
【解析】方法一
設(shè),,則,


當且僅當,,即,時取等號,

方法二,,

當且僅當,時取等號,.
故答案為:
【變式5-1】設(shè)為正實數(shù),且,則的最小值為 .
【答案】
【解析】∵ ,令,
∴,
∴,

又∵
∴;
當且僅當時,即時取得最小值,
∴的最小值為.
故答案為:
【變式5-2】已知,則的最小值為 .
【答案】4
【解析】令,


所以,
因此當且僅當,即時,取得最小值為4.
故答案為:4.
題型六:“1”的代換求最值
【例6】已知正實數(shù)x,y滿足,則的最小值為( )
A.9 B. C. D.2
【答案】B
【解析】,,化簡得,

當且僅當且,即時等號成立;
又,,當且僅當時等號成立,

的最小值為.
故選:B.
【變式6-1】(2025·河南·三模)若,,且,則的最大值為( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因為,,且,
所以,
當且僅當,,,即,時等號成立,
所以的最大值為.
故選:A.
【變式6-2】已知,則的最小值為( )
A.2 B.4 C.1 D.3
【答案】D
【解析】因為,
所以,
當且僅當,即時取等號.
故選:D
題型七:齊次化求最值
【例7】已知正數(shù)滿足,則的最小值是 .
【答案】
【解析】根據(jù)題意,由可得,

所以;
又因為均是正數(shù),令,則
所以,
令,

當且僅當,即時,等號成立;
所以
所以的最小值為;
即當時,即時,等號成立.
故答案為:
【變式7-1】(2025·高三·河南漯河·期末)設(shè)正實數(shù)、、滿足,則的最大值為( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因為正實數(shù)、、滿足,則,
所以,,
當且僅當時,即當時,等號成立,
故的最大值為.
故選:D.
【變式7-2】(2025·四川成都·三模)設(shè)函數(shù),正實數(shù)滿足,若,則實數(shù)的最大值為( )
A. B.4 C. D.
【答案】A
【解析】因為,所以,,
又,
所以,即,
因為,,所以,所以,所以,
又,即,
所以,所以,
令,則,
所以

當且僅當,即時取等號,
所以,所以,
則實數(shù)的最大值為.
故選:A
題型八:利用基本不等式證明不等式
【例8】已知,,均為正數(shù)
(1)求證:;
(2)若,求證:.
【解析】(1)∵,,均為正數(shù),
∴,,均為正數(shù),
∴由三個正數(shù)的均值定理,有,當且僅當時等號成立.
又∵,,均為正數(shù),
∴由三個正數(shù)的均值定理,
有,當且僅當時等號成立.
∴,
當且僅當時等號成立.
∴.
(2),同理可得,
∴,
設(shè)有
則原式=
由可得,

,當且僅當時等號成立,
∴.
【變式8-1】已知,當時,不等式成立.
(1)求的最大值;
(2)設(shè)正數(shù),的和恰好等于的最大值,求證:.
【解析】(1)當,,
,則,
,兩邊平方,
即,
當,又,不滿足題意;
,此時只需,

又時,不等式恒成立,

所以,
綜上,的最大值為.
(2)據(jù)題意,,且;


則,


當且僅當,即時等號成立.
∴得證.
【變式8-2】已知實數(shù)a,b,c滿足.
(1)若,求證:;
(2)若a,b,,求證:.
【解析】(1)因為,所以.
因為,
所以,當且僅當時等號成立,
整理得,所以.
(2)解法一: 因為,且a,b,,
所以,,,所以,
同理可得,,
以上三式相加得,當且僅當時等號成立.
解法二:因為,且a,b,,
所以,,,且,
所以

當且僅當時等號成立.
題型九:利用基本不等式解決實際問題
【例9】(2025·高三·安徽六安·期末)已知、兩地的距離是.根據(jù)交通法規(guī),兩地之間的公路車速應限制在.假設(shè)油價是元,以的速度行駛時,汽車的耗油率為,司機每小時的工資是元,那么最經(jīng)濟的車速是( ).
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由題意可知,行車的總費用為,其中,
由基本不等式可得(元),
當且僅當時,即當時,等號成立,
因此,經(jīng)濟的車速是.
故選:C.
【變式9-1】(2025·高三·山東·開學考試)墻上掛著一幅高為1m的畫,畫的上端到地面的距離為2m,某攝像機在地面上拍攝這幅畫.將畫上端一點A、下端一點B與攝像機連線的夾角稱為視角(點A,B與攝像機在同一豎直平面內(nèi)),且把最大的視角稱為最佳視角.若墻與地面垂直且攝像機高度忽略不計,則當攝像機在地面上任意移動時,最佳視角的正弦值為( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
如圖所示:最佳視角,且當最大時,最大,
且最大,又,
又設(shè)所以
當且僅當時取等號,
此時
解得:
故選:A.
【變式9-2】(2025·廣東珠海·一模)由于燃油的價格有升也有降,現(xiàn)在有兩種加油方案.第一種方案:每次加30升的燃油;第二種方案:每次加200元的燃油.下列說法正確的是(  )
A.采用第一種方案劃算 B.采用第二種方案劃算
C.兩種方案一樣 D.采用哪種方案無法確定
【答案】B
【解析】任取其中兩次加油,假設(shè)第一次的油價為元/升,第二次的油價為元/升.
第一種方案的均價:
,當且僅當時取等號;
第二種方案的均價:
,因,則,故,當且僅當時取等號.
所以無論油價如何變化,第二種都更劃算.
故選:B.
題型十:三角函數(shù)法
【例10】(多選題)(2025·江蘇淮安·模擬預測)若滿足,則( )
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】對于A,由可得,
因此,可得,
當且僅當時,等號成立,即A正確;
對于B,將表達式化簡可得,
將方程參數(shù)化可知,;
所以,其中;
又,所以,可得B正確;
對于C,由可得,
即,
因此,解得,
當且僅當時,等號成立,即C錯誤,D正確.
故選:ABD
【變式10-1】(2025·河南新鄉(xiāng)·模擬預測)已知正數(shù)滿足,則的最小值為 .
【答案】1
【解析】由,得,
記,其中,
原不等式化為,所以,
所以,即.
所以,
當且僅當,即時取“”,所以的最小值為1.
故答案為:1.
【變式10-2】已知非負實數(shù),滿足,則的最大值為 .
【答案】
【解析】由,得,用換元法,令,,將問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值,即可求得答案.由題意得:,令,,
又,為非負實數(shù),

,,即,
解得,.
故(其中),
,即,
,即
又在上單調(diào)遞增,∴當時,取得最大值,
故當,時,取得最大值,最大值為.
故答案為:
題型十一:多次使用基本不等式
【例11】(2025·江西·二模)已知,,,則的最小值為 .
【答案】
【解析】因為,,,所以,
因為,
所以,當且僅當即(負值舍去),等號成立,
此時,整理得,
解得,(不符合題意舍去),
即當,時,有最小值為.
故答案為:
【變式11-1】已知,則的取值范圍是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因為,當且僅當時等號成立.
,由對勾函數(shù)性質(zhì),所以,
則,同理
則,
故的取值范圍是.
故選:B.
【變式11-2】已知正實數(shù)、、滿足,則的最小值是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由可得出,利用不等式的性質(zhì)結(jié)合基本不等式可求得的最小值.,,,
由于、、均為正數(shù),則,
當且僅當時,即當時,等號成立,
因此,的最小值是.
故選:C.
題型十二:參數(shù)構(gòu)造法
【例12】(2025·甘肅平?jīng)觥つM預測)已知,且,則的最小值是 .
【答案】
【解析】設(shè),由對應系數(shù)相等得,
解得
所以,整理得,
即,
所以

當且僅當,即時等號成立,
所以的最小值是.
故答案為:.
【變式12-1】(2025·山西運城·二模)若a,b,c均為正實數(shù),則的最大值為( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因為a,b均為正實數(shù),


當且僅當,且,即時取等號,
則的最大值為.
故選:A.
【變式12-2】(2025·高三·遼寧沈陽·開學考試)若,,,則的最小值為( )
A.16 B.18 C.20 D.22
【答案】A
【解析】,,,則,

當且僅當,即時取等號,
所以所求最小值為16.
故選:A.
題型十三:多元均值不等式
【例13】已知,則的最小值為( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】D
【解析】方法一:,
故,
當且僅當,即時,等號成立,
方法二:,
故,
當且僅當,且時,即時,等號成立.
故的最小值為4;
故選:D
【變式13-1】(2025·黑龍江哈爾濱·模擬預測)若,,求 的最小值為( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】,,
,
當且僅當即時等號成立,
的最小值為.
故選:.
【變式13-2】函數(shù)的最小值是( ).
A. B. C.1 D.不存在
【答案】B
【解析】,,
當,時等號成立.
故選:B
題型十四:判別式法
【例14】(2025·浙江·二模)設(shè),,若,且的最大值是,則 .
【答案】4
【解析】令,由消去a得:,即,
而,,則,,,
依題意,解得.
故答案為:4
【變式14-1】若,,則當 時,取得最大值,該最大值為 .
【答案】 / /
【解析】令,則,
則,
即,
由,解得:,
故,
故,解得:,,
所以當且僅當,時,等號成立,
故答案為:,
【變式14-2】設(shè)x、y為實數(shù),若,則的最大值是 .
【答案】/
【解析】方法一:令,則,代入,整理得,其,
解得,當時,.
故的最大值是.
方法二:由
,即,
當時,.
故的最大值是.
故答案為:
題型十五:跨知識點綜合
【例15】(2025·北京朝陽·二模)在中,,且,則 ;面積的最大值為 .
【答案】
【解析】在中,由,得,而,所以;
的面積,當且僅當時取等號,
所以面積的最大值為.
故答案為:;
【變式15-1】(2025·天津河西·二模)在平行四邊形中,,,,四邊形的面積為6,則的最小值為 ;當在上的投影向量為時, .
【答案】
【解析】由條件可知,,,
所以,所以,
,,


當時等號成立,
所以的最小值為;
在上的投影向量為,則,即,
因為,所以,得,,
則.
故答案為:;.
【變式15-2】(2025·北京朝陽·二模)設(shè),過原點的直線(不與軸重合)與圓交于點P與直線交于點.過點作軸的平行線,過點作軸的垂線,這兩條直線交于點,稱為的箕舌線函數(shù),記作,給出下列四個結(jié)論:
①函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱;
②若,則;
③設(shè)函數(shù),則的最大值為;
④設(shè)函數(shù),則的最小值為.
其中所有正確結(jié)論的序號是 .
【答案】①③
【解析】圓的圓心在軸上,設(shè)圓與的另一個交點為,
設(shè),當點不與點重合時,直線的方程為,
聯(lián)立,解得,所以點縱坐標為,此時點,
當點與點重合時,點的縱坐標也滿足,所以,
對任意的,,所以的定義域為,
對于命題①,因為,所以是偶函數(shù),故①正確;
對于命題②,因為,當時,,即在區(qū)間上單調(diào)遞增,
所以當時,若,則,所以②錯誤,
對于命題③,,因為,當時,,
當時,,又,當且僅當,即時取等號,
所以,故③正確,
對于命題④,,令,
則,易知在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增,
若,即時,,
即當時,的最小值為,所以④錯誤,
故答案為:①③.
題型十六:特定形式的最值問題
【例16】(多選題)(2025·福建漳州·模擬預測)已知正實數(shù)x,y滿足,則( )
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】對于A,,當且僅當,等號成立,則,故A正確;
對于B,由,則,由,則,
所以,故B錯誤;
對于C,,當且僅當,等號成立,故C正確;
對于D,由B易知,當且僅當,等號成立,則,故D正確.
故選:ACD.
【變式16-1】(多選題)(2025·遼寧·三模)已知,則下列結(jié)論正確的是( )
A.若,則
B.若,則的最大值為
C.若,則的最小值為1
D.若,則的最大值為
【答案】BCD
【解析】由題意得,A項錯誤;
,所以(當且僅當時取等號),B項正確;
,當且僅當時取等號,C項正確;

又因為,
所以,
設(shè),
則,當且僅當,即時取等號,
所以的最大值為,D項正確.
故選:BCD.
【變式16-2】(多選題)(2025·河北·二模)已知,,,則下列說法正確的是( )
A.的最大值為 B.的最小值為4
C.的最大值為2 D.的最小值為
【答案】AD
【解析】因為,所以,當且僅當,即,時等號成立,所以的最大值為,故A正確;
因為,當且僅當,即,時等號成立,
所以的最小值為6,故B錯誤;
因為,當且僅當,時等號成立,
所以的最小值為2,故C錯誤;
可以看作直線落在第一象限內(nèi)的點到原點距離的平方,易知最短距離為,
所以的最小值為,故D正確.
故選:AD.
【變式16-3】(多選題)(2025·湖南郴州·三模)設(shè)正實數(shù)滿足,則( )
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】對于選項A:因為正實數(shù)滿足,
設(shè),則,
因為,
即,整理可得得,
將其看為關(guān)于的一元二次方程,則,解得,
即,故A正確;
對于選項D:因為,且,,
則,當且僅當時,等號成立,
所以,故D正確;
對于選項B:因為,則,
當且僅當時,等號成立,
則,得,當且僅當時,等號成立,故B錯誤;
對于選項C:因為

因為,則,,
可得,當且僅當時,等號成立,
即,可得,
即,當且僅當時,等號成立
所以,故C正確;
故選:ACD.
題型十七:恒(能)成立問題
【例17】(2025·陜西咸陽·一模)已知實數(shù),滿足,若不等式對任意的正實數(shù)恒成立,那么實數(shù)m的最大值為( )
A. B. C.3 D.
【答案】D
【解析】設(shè),則,
當時,,
所以函數(shù)在上為增函數(shù),

∴ ,即,又,
∴ ,

當且僅當時等號成立,
∵不等式對任意的正實數(shù)恒成立,
∴ ,
故選:D.
【變式17-1】(2025·湖北鄂州·一模)已知函數(shù),若,,,均有,則的最大值為( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因為函數(shù)的定義域為,則,
若,,,均有,
則,可得,
令,則,
由題意可知,,,
所以,函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù),
所以,在上為增函數(shù),則在上為增函數(shù),
由基本不等式可得,
當且僅當時,即當時,等號成立,故,
所以,的最大值為.
故選:D.
【變式17-2】(2025·吉林延邊·一模)已知正實數(shù),滿足,且不等式恒成立,則的取值范圍是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因為正實數(shù),滿足,所以,
則:,
當且僅當時取等號,因為不等式恒成立,所以.
故選:B.
題型十八:構(gòu)造不等式法求最值
【例18】(2025·安徽·模擬預測)已知正實數(shù)滿足,則的取值范圍為 .
【答案】
【解析】根據(jù)題意可得:,即,
設(shè),
則:,,

,,
解得或,
又,
,化簡得,
①當時,不等式不成立;
②當時,,即,
,又恒成立,可得,
的取值范圍為.
故答案為:.
【變式18-1】(2025·山東·二模)若實數(shù)x,y,z滿足,且,則的取值范圍為( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因為,
所以且,
故且,
所以,
故,
,
所以,
所以,
故選:A.
【變式18-2】(2025·山東·模擬預測)已知,則的最小值是( )
A. B.4 C. D.8
【答案】D
【解析】由可得,即,故,
由,可得,
當且僅當時取等號,即當時, 取得最小值為8.
故選:D.
【過關(guān)測試】
1.(2025·河北·模擬預測)已知,均為銳角,為鈍角,若,則的最大值為( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由可得,
由于,均為銳角,故,
同除得,
故,
即,故,
當且僅當時取到等號,
因此,
故選:B
2.(2025·甘肅甘南·模擬預測)已知各項為正的等差數(shù)列的前項和為,且,則的最大值為( )
A. B.4 C.5 D.
【答案】A
【解析】由,得,所以.
由已知,得,則,
當且僅當時等號成立.
故選:A
3.(2025·河北·三模)已知,則的最小值為( )
A.2 B. C.4 D.9
【答案】C
【解析】由,得,
當且僅當時取等號得出最小值4,
故選:C.
4.(2025·陜西安康·模擬預測)已知,則的最小值為( )
A. B.2 C. D.
【答案】D
【解析】由題意,知,.由,得,
兩邊同時除以,得.
因為,
當且僅當,即,時取等號,
所以的最小值為.
故選:D.
5.(2025·廣東·模擬預測)已知正實數(shù),滿足,則的最大值為( )
A.1 B. C. D.2
【答案】A
【解析】因為正實數(shù),滿足,
所以
,當且僅當,即、時等號成立.
故選:A
6.(2025·湖南·三模)已知點是函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象上的一點,則的最小值為( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由題意可知,,且有,所以,
當且僅當時,即當時,等號成立,故的最小值為.
故選:A.
7.(2025·貴州遵義·模擬預測)某學校社團舉辦“燈籠裝飾校園”的活動比賽,要求用彩帶制作、兩種類型的燈籠,其中型燈籠每個需要0.5米彩帶,型燈籠每個需要1米彩帶.活動規(guī)定:兩種燈籠數(shù)量的乘積越大,評分越高.已知某同學用60米長的彩帶制作型燈籠個,型燈籠個.若要使該同學的得分最高,則實數(shù),的值分別為( )
A., B., C., D.,
【答案】A
【解析】依題意,且,即,
又,所以,當且僅當時取等號,由,解得,
故當,時該同學的得分最高.
故選:A
8.(2025·福建泉州·模擬預測)已知向量不共線,,其中,若三點共線,則的最小值為( )
A.5 B.4 C.3 D.2
【答案】B
【解析】因為三點共線,所以存在實數(shù),使,即,
又向量不共線,所以,整理,得,
由,所以,
當且僅當時,取等號,即的最小值為4.
故選:B.
9.(多選題)(2025·江西宜春·一模)數(shù)列滿足,,,…,,依此類推,則下列結(jié)論正確的是( )
A.的最小值為 B.
C.若,則 D.若,則
【答案】ACD
【解析】根據(jù)規(guī)律可得,,;
當m的值每增加1時,的變化在內(nèi),所以的值單調(diào)遞增.
當時,取最小值,最小值為,正確.
易得,所以,即,所以,錯誤.
若,則,,,,;
記數(shù)列為1,2,3,5,…,則,.
記,則;
所以數(shù)列是以為首項,為公比的等比數(shù)列,所以.
,正確.
,要使得取最小值;
則n為奇數(shù),此時,正確.
故選:.
10.(多選題)(2025·江西上饒·二模)若正實數(shù)滿足,則( )
A.的最大值是 B.的最小值是9
C.的最大值是 D.的最小值是
【答案】ABC
【解析】對于A,,當且僅當時取等號,A正確;
對于B,,當且僅當時取等號,B正確;
對于C,,當且僅當時取等號,C正確;
對于D,,則,
當且僅當時取等號,D錯誤.
故選:ABC
11.(多選題)(2025·高三·河南焦作·階段練習)若,則( )
A. B.x,y不能同時為整數(shù)
C. D.
【答案】ABD
【解析】對于A,由,且,得,,A正確;
對于B,由選項A知,若,則,取,則,;
當時,,則,;同理當時,,
因此不能同時為整數(shù),B正確;
對于C,,當且僅當時取等號,
則,,,C錯誤;
對于D,由,得,則,
當且僅當時,即,時取等號,
因此,D正確.
故選:ABD
12.(多選題)(2025·高三·全國·專題練習)已知正數(shù)滿足,則( )
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】設(shè),可得,,,且,
則,
因為,可得,所以,所以,
又因為,所以,所以.
故選:AD.
13.(2025·河北·模擬預測)已知函數(shù),方程有4個不同的根,且滿足,則的最小值為 .
【答案】
【解析】在同一平面直角坐標系下,作出函數(shù)和的圖象如下圖所示:
依題意得:,且,則.
設(shè),則,,,
所以,令,

當且僅當,即時,等號成立.
所以的最小值為.
故答案為:.
14.(2025·天津和平·三模)已知實數(shù)與滿足,且,則的最小值為 .
【答案】
【解析】由于,故,且,


當且僅當,結(jié)合,故當時等號取到,
故答案為:
15.(2025·安徽·模擬預測)若,則的最小值是 .
【答案】9
【解析】由題設(shè),
當且僅當,即時取等號,故的最小值是9.
故答案為:9.
16.(2025·四川·三模)若,,則實數(shù)m的取值范圍為 .
【答案】
【解析】由,可得,
因為,故只需,
令,則,
當且僅當,即時取等號,所以,所以實數(shù)的取值范圍為.
故答案為:.
17.(2025·湖北·模擬預測)已知隨機變量,a、b是正實數(shù),滿足,則的最小值為 .
【答案】
【解析】由隨機變量,且,得,而,
則,
當且僅當,即,時取等號,
所以的最小值為.
故答案為:
18.(2025·高三·全國·專題練習)已知,則的最大值為 .
【答案】/0.5
【解析】配湊,
當,即時,,
所以,從而.
當且僅當時等號成立,故的最大值為,
故答案為:.
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