資源簡介 中小學教育資源及組卷應用平臺1.4 基本不等式及其應用【題型歸納目錄】題型一:基本不等式及其應用題型二:直接法求最值題型三:常規(guī)湊配法求最值題型四:消參法求最值題型五:雙換元求最值題型六:“1”的代換求最值題型七:齊次化求最值題型八:利用基本不等式證明不等式題型九:利用基本不等式解決實際問題題型十:三角函數(shù)法題型十一:多次使用基本不等式題型十二:參數(shù)構(gòu)造法題型十三:多元均值不等式題型十四:判別式法題型十五:跨知識點綜合題型十六:特定形式的最值問題題型十七:恒(能)成立問題題型十八:構(gòu)造不等式法求最值【考點預測】1、基本不等式如果,那么,當且僅當時,等號成立.其中,叫作的算術(shù)平均數(shù),叫作的幾何平均數(shù).即正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).基本不等式1:若,則,當且僅當時取等號;基本不等式2:若,則(或),當且僅當時取等號.注意(1)基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”;其中“一正”指正數(shù),“二定”指求最值時和或積為定值,“三相等”指滿足等號成立的條件.(2)連續(xù)使用不等式要注意取得一致.【方法技巧與總結(jié)】1、幾個重要的不等式(1)(2)基本不等式:如果,則(當且僅當“”時取“”).特例:(同號).(3)其他變形:①(溝通兩和與兩平方和的不等關(guān)系式)②(溝通兩積與兩平方和的不等關(guān)系式)③(溝通兩積與兩和的不等關(guān)系式)④重要不等式串:即調(diào)和平均值幾何平均值算數(shù)平均值平方平均值(注意等號成立的條件).2、均值定理已知.(1)如果(定值),則(當且僅當“”時取“=”).即“和為定值,積有最大值”.(2)如果(定值),則(當且僅當“”時取“=”).即積為定值,和有最小值”.3、常見求最值模型模型一:,當且僅當時等號成立;模型二:,當且僅當時等號成立;模型三:,當且僅當時等號成立;模型四:,當且僅當時等號成立.【典型例題】題型一:基本不等式及其應用【例1】(2025·山東濟南·三模)已知函數(shù)及其導函數(shù)的定義域均為,且滿足.若在單調(diào)遞增,則( )A. B.C. D.【變式1-1】(2025·山東·模擬預測)已知,,且,則下列不等式成立的是( )A. B.C. D.【變式1-2】設(shè)、、滿足,,,則( )A., B.,C., D.,【變式1-3】(2025·貴州安順·二模)已知是函數(shù)的圖象上兩個不同的點,則( )A. B.C. D.題型二:直接法求最值【例2】(2025·廣東汕頭·模擬預測)已知,為和的等差中項,則的最小值為( )A. B. C. D.【變式2-1】(2025·河北保定·二模)已知x,y是非零實數(shù),則的最小值為( )A.6 B.12 C.2 D.4【變式2-2】已知均為正數(shù),則的最小值為( )A.4 B. C.6 D.【變式2-3】已知,則的最大值為 .題型三:常規(guī)湊配法求最值【例3】設(shè),,若,則的最大值為 .【變式3-1】設(shè) ,則的最小值為( )A.0 B.1 C.2 D.4【變式3-2】若正實數(shù)滿足,則的最小值為( )A.1 B.2 C.3 D.4【變式3-3】若則的最小值為( )A. B. C. D.題型四:消參法求最值【例4】(2025·高三·河北·期末)若實數(shù),滿足,則的最小值為 .【變式4-1】已知拋物線的焦點為,若,則的最小值為( )A.0 B.1 C.2 D.3【變式4-2】已知為銳角,且,則的最大值是( )A. B. C. D.【變式4-3】已知均為銳角,,則的最大值為( )A. B. C. D.【變式4-4】已知,則的最大值為( )A. B. C.1 D.題型五:雙換元求最值【例5】(2025·甘肅白銀·模擬預測)若正實數(shù),滿足,則的最小值是 .【變式5-1】設(shè)為正實數(shù),且,則的最小值為 .【變式5-2】已知,則的最小值為 .題型六:“1”的代換求最值【例6】已知正實數(shù)x,y滿足,則的最小值為( )A.9 B. C. D.2【變式6-1】(2025·河南·三模)若,,且,則的最大值為( )A. B. C. D.【變式6-2】已知,則的最小值為( )A.2 B.4 C.1 D.3題型七:齊次化求最值【例7】已知正數(shù)滿足,則的最小值是 .【變式7-1】(2025·高三·河南漯河·期末)設(shè)正實數(shù)、、滿足,則的最大值為( )A. B. C. D.【變式7-2】(2025·四川成都·三模)設(shè)函數(shù),正實數(shù)滿足,若,則實數(shù)的最大值為( )A. B.4 C. D.題型八:利用基本不等式證明不等式【例8】已知,,均為正數(shù)(1)求證:;(2)若,求證:.【變式8-1】已知,當時,不等式成立.(1)求的最大值;(2)設(shè)正數(shù),的和恰好等于的最大值,求證:.【變式8-2】已知實數(shù)a,b,c滿足.(1)若,求證:;(2)若a,b,,求證:.題型九:利用基本不等式解決實際問題【例9】(2025·高三·安徽六安·期末)已知、兩地的距離是.根據(jù)交通法規(guī),兩地之間的公路車速應限制在.假設(shè)油價是元,以的速度行駛時,汽車的耗油率為,司機每小時的工資是元,那么最經(jīng)濟的車速是( ).A. B. C. D.【變式9-1】(2025·高三·山東·開學考試)墻上掛著一幅高為1m的畫,畫的上端到地面的距離為2m,某攝像機在地面上拍攝這幅畫.將畫上端一點A、下端一點B與攝像機連線的夾角稱為視角(點A,B與攝像機在同一豎直平面內(nèi)),且把最大的視角稱為最佳視角.若墻與地面垂直且攝像機高度忽略不計,則當攝像機在地面上任意移動時,最佳視角的正弦值為( )A. B. C. D.【變式9-2】(2025·廣東珠海·一模)由于燃油的價格有升也有降,現(xiàn)在有兩種加油方案.第一種方案:每次加30升的燃油;第二種方案:每次加200元的燃油.下列說法正確的是( )A.采用第一種方案劃算 B.采用第二種方案劃算C.兩種方案一樣 D.采用哪種方案無法確定題型十:三角函數(shù)法【例10】(多選題)(2025·江蘇淮安·模擬預測)若滿足,則( )A. B.C. D.【變式10-1】(2025·河南新鄉(xiāng)·模擬預測)已知正數(shù)滿足,則的最小值為 .【變式10-2】已知非負實數(shù),滿足,則的最大值為 .題型十一:多次使用基本不等式【例11】(2025·江西·二模)已知,,,則的最小值為 .【變式11-1】已知,則的取值范圍是( )A. B. C. D.【變式11-2】已知正實數(shù)、、滿足,則的最小值是( )A. B. C. D.題型十二:參數(shù)構(gòu)造法【例12】(2025·甘肅平?jīng)觥つM預測)已知,且,則的最小值是 .【變式12-1】(2025·山西運城·二模)若a,b,c均為正實數(shù),則的最大值為( )A. B. C. D.【變式12-2】(2025·高三·遼寧沈陽·開學考試)若,,,則的最小值為( )A.16 B.18 C.20 D.22題型十三:多元均值不等式【例13】已知,則的最小值為( )A.1 B.2 C.3 D.4【變式13-1】(2025·黑龍江哈爾濱·模擬預測)若,,求 的最小值為( )A. B. C. D.,的最小值為.【變式13-2】函數(shù)的最小值是( ).A. B. C.1 D.不存在題型十四:判別式法【例14】(2025·浙江·二模)設(shè),,若,且的最大值是,則 .【變式14-1】若,,則當 時,取得最大值,該最大值為 .【變式14-2】設(shè)x、y為實數(shù),若,則的最大值是 .題型十五:跨知識點綜合【例15】(2025·北京朝陽·二模)在中,,且,則 ;面積的最大值為 .【變式15-1】(2025·天津河西·二模)在平行四邊形中,,,,四邊形的面積為6,則的最小值為 ;當在上的投影向量為時, .【變式15-2】(2025·北京朝陽·二模)設(shè),過原點的直線(不與軸重合)與圓交于點P與直線交于點.過點作軸的平行線,過點作軸的垂線,這兩條直線交于點,稱為的箕舌線函數(shù),記作,給出下列四個結(jié)論:①函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱;②若,則;③設(shè)函數(shù),則的最大值為;④設(shè)函數(shù),則的最小值為.其中所有正確結(jié)論的序號是 .題型十六:特定形式的最值問題【例16】(多選題)(2025·福建漳州·模擬預測)已知正實數(shù)x,y滿足,則( )A. B.C. D.【變式16-1】(多選題)(2025·遼寧·三模)已知,則下列結(jié)論正確的是( )A.若,則B.若,則的最大值為C.若,則的最小值為1D.若,則的最大值為【變式16-2】(多選題)(2025·河北·二模)已知,,,則下列說法正確的是( )A.的最大值為 B.的最小值為4C.的最大值為2 D.的最小值為【變式16-3】(多選題)(2025·湖南郴州·三模)設(shè)正實數(shù)滿足,則( )A. B.C. D.題型十七:恒(能)成立問題【例17】(2025·陜西咸陽·一模)已知實數(shù),滿足,若不等式對任意的正實數(shù)恒成立,那么實數(shù)m的最大值為( )A. B. C.3 D.【變式17-1】(2025·湖北鄂州·一模)已知函數(shù),若,,,均有,則的最大值為( )A. B. C. D.【變式17-2】(2025·吉林延邊·一模)已知正實數(shù),滿足,且不等式恒成立,則的取值范圍是( )A. B. C. D.題型十八:構(gòu)造不等式法求最值【例18】(2025·安徽·模擬預測)已知正實數(shù)滿足,則的取值范圍為 .【變式18-1】(2025·山東·二模)若實數(shù)x,y,z滿足,且,則的取值范圍為( )A. B. C. D.【變式18-2】(2025·山東·模擬預測)已知,則的最小值是( )A. B.4 C. D.8【過關(guān)測試】1.(2025·河北·模擬預測)已知,均為銳角,為鈍角,若,則的最大值為( )A. B. C. D.2.(2025·甘肅甘南·模擬預測)已知各項為正的等差數(shù)列的前項和為,且,則的最大值為( )A. B.4 C.5 D.3.(2025·河北·三模)已知,則的最小值為( )A.2 B. C.4 D.94.(2025·陜西安康·模擬預測)已知,則的最小值為( )A. B.2 C. D.5.(2025·廣東·模擬預測)已知正實數(shù),滿足,則的最大值為( )A.1 B. C. D.26.(2025·湖南·三模)已知點是函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象上的一點,則的最小值為( )A. B. C. D.7.(2025·貴州遵義·模擬預測)某學校社團舉辦“燈籠裝飾校園”的活動比賽,要求用彩帶制作、兩種類型的燈籠,其中型燈籠每個需要0.5米彩帶,型燈籠每個需要1米彩帶.活動規(guī)定:兩種燈籠數(shù)量的乘積越大,評分越高.已知某同學用60米長的彩帶制作型燈籠個,型燈籠個.若要使該同學的得分最高,則實數(shù),的值分別為( )A., B., C., D.,8.(2025·福建泉州·模擬預測)已知向量不共線,,其中,若三點共線,則的最小值為( )A.5 B.4 C.3 D.29.(多選題)(2025·江西宜春·一模)數(shù)列滿足,,,…,,依此類推,則下列結(jié)論正確的是( )A.的最小值為 B.C.若,則 D.若,則10.(多選題)(2025·江西上饒·二模)若正實數(shù)滿足,則( )A.的最大值是 B.的最小值是9C.的最大值是 D.的最小值是11.(多選題)(2025·高三·河南焦作·階段練習)若,則( )A. B.x,y不能同時為整數(shù)C. D.12.(多選題)(2025·高三·全國·專題練習)已知正數(shù)滿足,則( )A. B.C. D.13.(2025·河北·模擬預測)已知函數(shù),方程有4個不同的根,且滿足,則的最小值為 .14.(2025·天津和平·三模)已知實數(shù)與滿足,且,則的最小值為 .15.(2025·安徽·模擬預測)若,則的最小值是 .16.(2025·四川·三模)若,,則實數(shù)m的取值范圍為 .17.(2025·湖北·模擬預測)已知隨機變量,a、b是正實數(shù),滿足,則的最小值為 .18.(2025·高三·全國·專題練習)已知,則的最大值為 .21世紀教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)中小學教育資源及組卷應用平臺1.4 基本不等式及其應用【題型歸納目錄】題型一:基本不等式及其應用題型二:直接法求最值題型三:常規(guī)湊配法求最值題型四:消參法求最值題型五:雙換元求最值題型六:“1”的代換求最值題型七:齊次化求最值題型八:利用基本不等式證明不等式題型九:利用基本不等式解決實際問題題型十:三角函數(shù)法題型十一:多次使用基本不等式題型十二:參數(shù)構(gòu)造法題型十三:多元均值不等式題型十四:判別式法題型十五:跨知識點綜合題型十六:特定形式的最值問題題型十七:恒(能)成立問題題型十八:構(gòu)造不等式法求最值【考點預測】1、基本不等式如果,那么,當且僅當時,等號成立.其中,叫作的算術(shù)平均數(shù),叫作的幾何平均數(shù).即正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).基本不等式1:若,則,當且僅當時取等號;基本不等式2:若,則(或),當且僅當時取等號.注意(1)基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”;其中“一正”指正數(shù),“二定”指求最值時和或積為定值,“三相等”指滿足等號成立的條件.(2)連續(xù)使用不等式要注意取得一致.【方法技巧與總結(jié)】1、幾個重要的不等式(1)(2)基本不等式:如果,則(當且僅當“”時取“”).特例:(同號).(3)其他變形:①(溝通兩和與兩平方和的不等關(guān)系式)②(溝通兩積與兩平方和的不等關(guān)系式)③(溝通兩積與兩和的不等關(guān)系式)④重要不等式串:即調(diào)和平均值幾何平均值算數(shù)平均值平方平均值(注意等號成立的條件).2、均值定理已知.(1)如果(定值),則(當且僅當“”時取“=”).即“和為定值,積有最大值”.(2)如果(定值),則(當且僅當“”時取“=”).即積為定值,和有最小值”.3、常見求最值模型模型一:,當且僅當時等號成立;模型二:,當且僅當時等號成立;模型三:,當且僅當時等號成立;模型四:,當且僅當時等號成立.【典型例題】題型一:基本不等式及其應用【例1】(2025·山東濟南·三模)已知函數(shù)及其導函數(shù)的定義域均為,且滿足.若在單調(diào)遞增,則( )A. B.C. D.【答案】D【解析】由函數(shù)及其導函數(shù)的定義域均為,得的圖象在上連續(xù)不斷,對于A,取,由,得,當時,取,,而在上單調(diào)遞增,則在上不恒為0,因此,即,A錯誤;對于B,,取,,由選項A知,,不恒為0,B錯誤;對于C,由在上單調(diào)遞增,得當時,;當時,由,得,C錯誤;對于D,,則,因此,D正確.故選:D【變式1-1】(2025·山東·模擬預測)已知,,且,則下列不等式成立的是( )A. B.C. D.【答案】C【解析】因為,所以,對于A項:,當且僅當時取得等號,從而在,時,故A錯誤;對于B項:因為,所以,,當時取得等號,此時,故B錯誤;對于C項:因為,所以,所以,于是等價于,等價于,構(gòu)造函數(shù),,所以在上單調(diào)遞增;所以恒成立,所以不等式成立,故C正確;對于D項:根據(jù)B選項的分析,,則,即,當時取得等號,此時,故D錯誤.故選:C【變式1-2】設(shè)、、滿足,,,則( )A., B.,C., D.,【答案】A【解析】、、且,,,則,先比較與的大小關(guān)系,構(gòu)造函數(shù),其中,則,所以,,則,令,其中,則,令,其中,所以,,所以,函數(shù)在上單調(diào)遞增,故,所以,函數(shù)在上單調(diào)遞增,則,即,因為,則,所以,,所以,,因為,所以,,所以,對任意的,,故函數(shù)在上單調(diào)遞減,因為,則,故,由基本不等式可得(,故取不了等號),所以,,故選:A.【變式1-3】(2025·貴州安順·二模)已知是函數(shù)的圖象上兩個不同的點,則( )A. B.C. D.【答案】B【解析】由題意不妨設(shè),因為函數(shù)是增函數(shù),所以,即,對于選項AB:因為,即,且函數(shù)是增函數(shù),所以,故B正確,A錯誤;對于選項D:例如,則,可得,即,故D錯誤;對于選項C:例如,則,可得,即,故C錯誤,故選:B.題型二:直接法求最值【例2】(2025·廣東汕頭·模擬預測)已知,為和的等差中項,則的最小值為( )A. B. C. D.【答案】D【解析】由題知,得到,所以,當且僅當,即時,取等號.故選:D.【變式2-1】(2025·河北保定·二模)已知x,y是非零實數(shù),則的最小值為( )A.6 B.12 C.2 D.4【答案】A【解析】,當且僅當,即,等號成立,所以的最小值為6,故選:A【變式2-2】已知均為正數(shù),則的最小值為( )A.4 B. C.6 D.【答案】D【解析】由均為正數(shù),得,當且僅當時取等號,所以的最小值為.故選:D【變式2-3】已知,則的最大值為 .【答案】1【解析】由,則,當且僅當時取等號.故答案為:1題型三:常規(guī)湊配法求最值【例3】設(shè),,若,則的最大值為 .【答案】【解析】由題意得,,當且僅當,即時取等號,∴的最大值為.故答案為:.【變式3-1】設(shè) ,則的最小值為( )A.0 B.1 C.2 D.4【答案】A【解析】由題意,所以,得到,當且僅當,即時, 等號成立,則的最小值為.故選:A.【變式3-2】若正實數(shù)滿足,則的最小值為( )A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】正實數(shù)滿足,又,則,當且僅當時取等號,設(shè)則,代入整理可得,解得或,因,故,故當時,取得最小值為2.故選:B.【變式3-3】若則的最小值為( )A. B. C. D.【答案】A【解析】,因為,所以,設(shè),則,當且僅當時等號成立,此時,解得,故選:A.題型四:消參法求最值【例4】(2025·高三·河北·期末)若實數(shù),滿足,則的最小值為 .【答案】1【解析】因,則,由,當且僅當,時等號成立,即當,時,取得最小值2,又因是單調(diào)增函數(shù),故此時取得最小值為1.故答案為:1.【變式4-1】已知拋物線的焦點為,若,則的最小值為( )A.0 B.1 C.2 D.3【答案】B【解析】由,得,令得,,令,則,當且僅當,即時取等號.故選:B.【變式4-2】已知為銳角,且,則的最大值是( )A. B. C. D.【答案】A【解析】因為,已知,則有:,移項可得:,即,由于,兩邊同時除以,得到,則令(,因為為銳角),則.根據(jù)均值不等式對于有:當且僅當,即時等號成立.所以,即的最大值為.故選:A.【變式4-3】已知均為銳角,,則的最大值為( )A. B. C. D.【答案】C【解析】由題可得,因為均為銳角,兩邊同時除以得,所以,因為均為銳角,所以,則,當且僅當,即時取等號,故選:C.【變式4-4】已知,則的最大值為( )A. B. C.1 D.【答案】B【解析】,當且僅當時取等.故選:B.題型五:雙換元求最值【例5】(2025·甘肅白銀·模擬預測)若正實數(shù),滿足,則的最小值是 .【答案】/0.25【解析】方法一設(shè),,則,,,當且僅當,,即,時取等號,.方法二,,,當且僅當,時取等號,.故答案為:【變式5-1】設(shè)為正實數(shù),且,則的最小值為 .【答案】【解析】∵ ,令,∴,∴,∴又∵∴;當且僅當時,即時取得最小值,∴的最小值為.故答案為:【變式5-2】已知,則的最小值為 .【答案】4【解析】令,則,所以,因此當且僅當,即時,取得最小值為4.故答案為:4.題型六:“1”的代換求最值【例6】已知正實數(shù)x,y滿足,則的最小值為( )A.9 B. C. D.2【答案】B【解析】,,化簡得,,當且僅當且,即時等號成立;又,,當且僅當時等號成立,,的最小值為.故選:B.【變式6-1】(2025·河南·三模)若,,且,則的最大值為( )A. B. C. D.【答案】A【解析】因為,,且,所以,當且僅當,,,即,時等號成立,所以的最大值為.故選:A.【變式6-2】已知,則的最小值為( )A.2 B.4 C.1 D.3【答案】D【解析】因為,所以,當且僅當,即時取等號.故選:D題型七:齊次化求最值【例7】已知正數(shù)滿足,則的最小值是 .【答案】【解析】根據(jù)題意,由可得,即所以;又因為均是正數(shù),令,則所以,令,則當且僅當,即時,等號成立;所以所以的最小值為;即當時,即時,等號成立.故答案為:【變式7-1】(2025·高三·河南漯河·期末)設(shè)正實數(shù)、、滿足,則的最大值為( )A. B. C. D.【答案】D【解析】因為正實數(shù)、、滿足,則,所以,,當且僅當時,即當時,等號成立,故的最大值為.故選:D.【變式7-2】(2025·四川成都·三模)設(shè)函數(shù),正實數(shù)滿足,若,則實數(shù)的最大值為( )A. B.4 C. D.【答案】A【解析】因為,所以,,又,所以,即,因為,,所以,所以,所以,又,即,所以,所以,令,則,所以,當且僅當,即時取等號,所以,所以,則實數(shù)的最大值為.故選:A題型八:利用基本不等式證明不等式【例8】已知,,均為正數(shù)(1)求證:;(2)若,求證:.【解析】(1)∵,,均為正數(shù),∴,,均為正數(shù),∴由三個正數(shù)的均值定理,有,當且僅當時等號成立.又∵,,均為正數(shù),∴由三個正數(shù)的均值定理,有,當且僅當時等號成立.∴,當且僅當時等號成立.∴.(2),同理可得,∴,設(shè)有則原式= 由可得,∴,當且僅當時等號成立,∴.【變式8-1】已知,當時,不等式成立.(1)求的最大值;(2)設(shè)正數(shù),的和恰好等于的最大值,求證:.【解析】(1)當,,,則,,兩邊平方,即,當,又,不滿足題意;,此時只需,;又時,不等式恒成立,,所以,綜上,的最大值為.(2)據(jù)題意,,且;;,則,;;當且僅當,即時等號成立.∴得證.【變式8-2】已知實數(shù)a,b,c滿足.(1)若,求證:;(2)若a,b,,求證:.【解析】(1)因為,所以.因為,所以,當且僅當時等號成立,整理得,所以.(2)解法一: 因為,且a,b,,所以,,,所以,同理可得,,以上三式相加得,當且僅當時等號成立.解法二:因為,且a,b,,所以,,,且,所以,當且僅當時等號成立.題型九:利用基本不等式解決實際問題【例9】(2025·高三·安徽六安·期末)已知、兩地的距離是.根據(jù)交通法規(guī),兩地之間的公路車速應限制在.假設(shè)油價是元,以的速度行駛時,汽車的耗油率為,司機每小時的工資是元,那么最經(jīng)濟的車速是( ).A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意可知,行車的總費用為,其中,由基本不等式可得(元),當且僅當時,即當時,等號成立,因此,經(jīng)濟的車速是.故選:C.【變式9-1】(2025·高三·山東·開學考試)墻上掛著一幅高為1m的畫,畫的上端到地面的距離為2m,某攝像機在地面上拍攝這幅畫.將畫上端一點A、下端一點B與攝像機連線的夾角稱為視角(點A,B與攝像機在同一豎直平面內(nèi)),且把最大的視角稱為最佳視角.若墻與地面垂直且攝像機高度忽略不計,則當攝像機在地面上任意移動時,最佳視角的正弦值為( )A. B. C. D.【答案】A【解析】如圖所示:最佳視角,且當最大時,最大, 且最大,又,又設(shè)所以當且僅當時取等號,此時解得:故選:A.【變式9-2】(2025·廣東珠海·一模)由于燃油的價格有升也有降,現(xiàn)在有兩種加油方案.第一種方案:每次加30升的燃油;第二種方案:每次加200元的燃油.下列說法正確的是( )A.采用第一種方案劃算 B.采用第二種方案劃算C.兩種方案一樣 D.采用哪種方案無法確定【答案】B【解析】任取其中兩次加油,假設(shè)第一次的油價為元/升,第二次的油價為元/升.第一種方案的均價:,當且僅當時取等號;第二種方案的均價:,因,則,故,當且僅當時取等號.所以無論油價如何變化,第二種都更劃算.故選:B.題型十:三角函數(shù)法【例10】(多選題)(2025·江蘇淮安·模擬預測)若滿足,則( )A. B.C. D.【答案】ABD【解析】對于A,由可得,因此,可得,當且僅當時,等號成立,即A正確;對于B,將表達式化簡可得,將方程參數(shù)化可知,;所以,其中;又,所以,可得B正確;對于C,由可得,即,因此,解得,當且僅當時,等號成立,即C錯誤,D正確.故選:ABD【變式10-1】(2025·河南新鄉(xiāng)·模擬預測)已知正數(shù)滿足,則的最小值為 .【答案】1【解析】由,得,記,其中,原不等式化為,所以,所以,即.所以,當且僅當,即時取“”,所以的最小值為1.故答案為:1.【變式10-2】已知非負實數(shù),滿足,則的最大值為 .【答案】【解析】由,得,用換元法,令,,將問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值,即可求得答案.由題意得:,令,,又,為非負實數(shù),,,,即,解得,.故(其中),,即,,即又在上單調(diào)遞增,∴當時,取得最大值,故當,時,取得最大值,最大值為.故答案為:題型十一:多次使用基本不等式【例11】(2025·江西·二模)已知,,,則的最小值為 .【答案】【解析】因為,,,所以,因為,所以,當且僅當即(負值舍去),等號成立,此時,整理得,解得,(不符合題意舍去),即當,時,有最小值為.故答案為:【變式11-1】已知,則的取值范圍是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】因為,當且僅當時等號成立.,由對勾函數(shù)性質(zhì),所以,則,同理則,故的取值范圍是.故選:B.【變式11-2】已知正實數(shù)、、滿足,則的最小值是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】由可得出,利用不等式的性質(zhì)結(jié)合基本不等式可求得的最小值.,,,由于、、均為正數(shù),則,當且僅當時,即當時,等號成立,因此,的最小值是.故選:C.題型十二:參數(shù)構(gòu)造法【例12】(2025·甘肅平?jīng)觥つM預測)已知,且,則的最小值是 .【答案】【解析】設(shè),由對應系數(shù)相等得,解得所以,整理得,即,所以,當且僅當,即時等號成立,所以的最小值是.故答案為:.【變式12-1】(2025·山西運城·二模)若a,b,c均為正實數(shù),則的最大值為( )A. B. C. D.【答案】A【解析】因為a,b均為正實數(shù),則,當且僅當,且,即時取等號,則的最大值為.故選:A.【變式12-2】(2025·高三·遼寧沈陽·開學考試)若,,,則的最小值為( )A.16 B.18 C.20 D.22【答案】A【解析】,,,則,,當且僅當,即時取等號,所以所求最小值為16.故選:A.題型十三:多元均值不等式【例13】已知,則的最小值為( )A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】方法一:,故,當且僅當,即時,等號成立,方法二:,故,當且僅當,且時,即時,等號成立.故的最小值為4;故選:D【變式13-1】(2025·黑龍江哈爾濱·模擬預測)若,,求 的最小值為( )A. B. C. D.【答案】C【解析】,,,當且僅當即時等號成立,的最小值為.故選:.【變式13-2】函數(shù)的最小值是( ).A. B. C.1 D.不存在【答案】B【解析】,,當,時等號成立.故選:B題型十四:判別式法【例14】(2025·浙江·二模)設(shè),,若,且的最大值是,則 .【答案】4【解析】令,由消去a得:,即,而,,則,,,依題意,解得.故答案為:4【變式14-1】若,,則當 時,取得最大值,該最大值為 .【答案】 / /【解析】令,則,則,即,由,解得:,故,故,解得:,,所以當且僅當,時,等號成立,故答案為:,【變式14-2】設(shè)x、y為實數(shù),若,則的最大值是 .【答案】/【解析】方法一:令,則,代入,整理得,其,解得,當時,.故的最大值是.方法二:由,即,當時,.故的最大值是.故答案為:題型十五:跨知識點綜合【例15】(2025·北京朝陽·二模)在中,,且,則 ;面積的最大值為 .【答案】【解析】在中,由,得,而,所以;的面積,當且僅當時取等號,所以面積的最大值為.故答案為:;【變式15-1】(2025·天津河西·二模)在平行四邊形中,,,,四邊形的面積為6,則的最小值為 ;當在上的投影向量為時, .【答案】【解析】由條件可知,,,所以,所以,,,,,當時等號成立,所以的最小值為;在上的投影向量為,則,即,因為,所以,得,,則.故答案為:;.【變式15-2】(2025·北京朝陽·二模)設(shè),過原點的直線(不與軸重合)與圓交于點P與直線交于點.過點作軸的平行線,過點作軸的垂線,這兩條直線交于點,稱為的箕舌線函數(shù),記作,給出下列四個結(jié)論:①函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱;②若,則;③設(shè)函數(shù),則的最大值為;④設(shè)函數(shù),則的最小值為.其中所有正確結(jié)論的序號是 .【答案】①③【解析】圓的圓心在軸上,設(shè)圓與的另一個交點為,設(shè),當點不與點重合時,直線的方程為,聯(lián)立,解得,所以點縱坐標為,此時點,當點與點重合時,點的縱坐標也滿足,所以,對任意的,,所以的定義域為,對于命題①,因為,所以是偶函數(shù),故①正確;對于命題②,因為,當時,,即在區(qū)間上單調(diào)遞增,所以當時,若,則,所以②錯誤,對于命題③,,因為,當時,,當時,,又,當且僅當,即時取等號,所以,故③正確,對于命題④,,令,則,易知在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增,若,即時,,即當時,的最小值為,所以④錯誤,故答案為:①③.題型十六:特定形式的最值問題【例16】(多選題)(2025·福建漳州·模擬預測)已知正實數(shù)x,y滿足,則( )A. B.C. D.【答案】ACD【解析】對于A,,當且僅當,等號成立,則,故A正確;對于B,由,則,由,則,所以,故B錯誤;對于C,,當且僅當,等號成立,故C正確;對于D,由B易知,當且僅當,等號成立,則,故D正確.故選:ACD.【變式16-1】(多選題)(2025·遼寧·三模)已知,則下列結(jié)論正確的是( )A.若,則B.若,則的最大值為C.若,則的最小值為1D.若,則的最大值為【答案】BCD【解析】由題意得,A項錯誤;,所以(當且僅當時取等號),B項正確;,當且僅當時取等號,C項正確;,又因為,所以,設(shè),則,當且僅當,即時取等號,所以的最大值為,D項正確.故選:BCD.【變式16-2】(多選題)(2025·河北·二模)已知,,,則下列說法正確的是( )A.的最大值為 B.的最小值為4C.的最大值為2 D.的最小值為【答案】AD【解析】因為,所以,當且僅當,即,時等號成立,所以的最大值為,故A正確;因為,當且僅當,即,時等號成立,所以的最小值為6,故B錯誤;因為,當且僅當,時等號成立,所以的最小值為2,故C錯誤;可以看作直線落在第一象限內(nèi)的點到原點距離的平方,易知最短距離為,所以的最小值為,故D正確.故選:AD.【變式16-3】(多選題)(2025·湖南郴州·三模)設(shè)正實數(shù)滿足,則( )A. B.C. D.【答案】ACD【解析】對于選項A:因為正實數(shù)滿足,設(shè),則,因為,即,整理可得得,將其看為關(guān)于的一元二次方程,則,解得,即,故A正確;對于選項D:因為,且,,則,當且僅當時,等號成立,所以,故D正確;對于選項B:因為,則,當且僅當時,等號成立,則,得,當且僅當時,等號成立,故B錯誤;對于選項C:因為,因為,則,,可得,當且僅當時,等號成立,即,可得,即,當且僅當時,等號成立所以,故C正確;故選:ACD.題型十七:恒(能)成立問題【例17】(2025·陜西咸陽·一模)已知實數(shù),滿足,若不等式對任意的正實數(shù)恒成立,那么實數(shù)m的最大值為( )A. B. C.3 D.【答案】D【解析】設(shè),則,當時,,所以函數(shù)在上為增函數(shù),∵ ∴ ,即,又,∴ ,∴當且僅當時等號成立,∵不等式對任意的正實數(shù)恒成立,∴ ,故選:D.【變式17-1】(2025·湖北鄂州·一模)已知函數(shù),若,,,均有,則的最大值為( )A. B. C. D.【答案】D【解析】因為函數(shù)的定義域為,則,若,,,均有,則,可得,令,則,由題意可知,,,所以,函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù),所以,在上為增函數(shù),則在上為增函數(shù),由基本不等式可得,當且僅當時,即當時,等號成立,故,所以,的最大值為.故選:D.【變式17-2】(2025·吉林延邊·一模)已知正實數(shù),滿足,且不等式恒成立,則的取值范圍是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】因為正實數(shù),滿足,所以,則:,當且僅當時取等號,因為不等式恒成立,所以.故選:B.題型十八:構(gòu)造不等式法求最值【例18】(2025·安徽·模擬預測)已知正實數(shù)滿足,則的取值范圍為 .【答案】【解析】根據(jù)題意可得:,即,設(shè),則:,,,,,解得或,又,,化簡得,①當時,不等式不成立;②當時,,即,,又恒成立,可得,的取值范圍為.故答案為:.【變式18-1】(2025·山東·二模)若實數(shù)x,y,z滿足,且,則的取值范圍為( )A. B. C. D.【答案】A【解析】因為,所以且,故且,所以,故,,所以,所以,故選:A.【變式18-2】(2025·山東·模擬預測)已知,則的最小值是( )A. B.4 C. D.8【答案】D【解析】由可得,即,故,由,可得,當且僅當時取等號,即當時, 取得最小值為8.故選:D.【過關(guān)測試】1.(2025·河北·模擬預測)已知,均為銳角,為鈍角,若,則的最大值為( )A. B. C. D.【答案】B【解析】由可得,由于,均為銳角,故,同除得,故,即,故,當且僅當時取到等號,因此,故選:B2.(2025·甘肅甘南·模擬預測)已知各項為正的等差數(shù)列的前項和為,且,則的最大值為( )A. B.4 C.5 D.【答案】A【解析】由,得,所以.由已知,得,則,當且僅當時等號成立.故選:A3.(2025·河北·三模)已知,則的最小值為( )A.2 B. C.4 D.9【答案】C【解析】由,得,當且僅當時取等號得出最小值4,故選:C.4.(2025·陜西安康·模擬預測)已知,則的最小值為( )A. B.2 C. D.【答案】D【解析】由題意,知,.由,得,兩邊同時除以,得.因為,當且僅當,即,時取等號,所以的最小值為.故選:D.5.(2025·廣東·模擬預測)已知正實數(shù),滿足,則的最大值為( )A.1 B. C. D.2【答案】A【解析】因為正實數(shù),滿足,所以,當且僅當,即、時等號成立.故選:A6.(2025·湖南·三模)已知點是函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象上的一點,則的最小值為( )A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意可知,,且有,所以,當且僅當時,即當時,等號成立,故的最小值為.故選:A.7.(2025·貴州遵義·模擬預測)某學校社團舉辦“燈籠裝飾校園”的活動比賽,要求用彩帶制作、兩種類型的燈籠,其中型燈籠每個需要0.5米彩帶,型燈籠每個需要1米彩帶.活動規(guī)定:兩種燈籠數(shù)量的乘積越大,評分越高.已知某同學用60米長的彩帶制作型燈籠個,型燈籠個.若要使該同學的得分最高,則實數(shù),的值分別為( )A., B., C., D.,【答案】A【解析】依題意,且,即,又,所以,當且僅當時取等號,由,解得,故當,時該同學的得分最高.故選:A8.(2025·福建泉州·模擬預測)已知向量不共線,,其中,若三點共線,則的最小值為( )A.5 B.4 C.3 D.2【答案】B【解析】因為三點共線,所以存在實數(shù),使,即,又向量不共線,所以,整理,得,由,所以,當且僅當時,取等號,即的最小值為4.故選:B.9.(多選題)(2025·江西宜春·一模)數(shù)列滿足,,,…,,依此類推,則下列結(jié)論正確的是( )A.的最小值為 B.C.若,則 D.若,則【答案】ACD【解析】根據(jù)規(guī)律可得,,;當m的值每增加1時,的變化在內(nèi),所以的值單調(diào)遞增.當時,取最小值,最小值為,正確.易得,所以,即,所以,錯誤.若,則,,,,;記數(shù)列為1,2,3,5,…,則,.記,則;所以數(shù)列是以為首項,為公比的等比數(shù)列,所以.,正確.,要使得取最小值;則n為奇數(shù),此時,正確.故選:.10.(多選題)(2025·江西上饒·二模)若正實數(shù)滿足,則( )A.的最大值是 B.的最小值是9C.的最大值是 D.的最小值是【答案】ABC【解析】對于A,,當且僅當時取等號,A正確;對于B,,當且僅當時取等號,B正確;對于C,,當且僅當時取等號,C正確;對于D,,則,當且僅當時取等號,D錯誤.故選:ABC11.(多選題)(2025·高三·河南焦作·階段練習)若,則( )A. B.x,y不能同時為整數(shù)C. D.【答案】ABD【解析】對于A,由,且,得,,A正確;對于B,由選項A知,若,則,取,則,;當時,,則,;同理當時,,因此不能同時為整數(shù),B正確;對于C,,當且僅當時取等號,則,,,C錯誤;對于D,由,得,則,當且僅當時,即,時取等號,因此,D正確.故選:ABD12.(多選題)(2025·高三·全國·專題練習)已知正數(shù)滿足,則( )A. B.C. D.【答案】AD【解析】設(shè),可得,,,且,則,因為,可得,所以,所以,又因為,所以,所以.故選:AD.13.(2025·河北·模擬預測)已知函數(shù),方程有4個不同的根,且滿足,則的最小值為 .【答案】【解析】在同一平面直角坐標系下,作出函數(shù)和的圖象如下圖所示:依題意得:,且,則.設(shè),則,,,所以,令,,當且僅當,即時,等號成立.所以的最小值為.故答案為:.14.(2025·天津和平·三模)已知實數(shù)與滿足,且,則的最小值為 .【答案】【解析】由于,故,且,故,當且僅當,結(jié)合,故當時等號取到,故答案為:15.(2025·安徽·模擬預測)若,則的最小值是 .【答案】9【解析】由題設(shè),當且僅當,即時取等號,故的最小值是9.故答案為:9.16.(2025·四川·三模)若,,則實數(shù)m的取值范圍為 .【答案】【解析】由,可得,因為,故只需,令,則,當且僅當,即時取等號,所以,所以實數(shù)的取值范圍為.故答案為:.17.(2025·湖北·模擬預測)已知隨機變量,a、b是正實數(shù),滿足,則的最小值為 .【答案】【解析】由隨機變量,且,得,而,則,當且僅當,即,時取等號,所以的最小值為.故答案為:18.(2025·高三·全國·專題練習)已知,則的最大值為 .【答案】/0.5【解析】配湊,當,即時,,所以,從而.當且僅當時等號成立,故的最大值為,故答案為:.21世紀教育網(wǎng)(www.21cnjy.com) 展開更多...... 收起↑ 資源列表 1.4 基本不等式及其應用(18大題型)(學生版).docx 1.4 基本不等式及其應用(18大題型)(教師版).docx 縮略圖、資源來源于二一教育資源庫