資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
1.4 基本不等式及其應用
【題型歸納目錄】
題型一：基本不等式及其應用
題型二：直接法求最值
題型三：常規(guī)湊配法求最值
題型四：消參法求最值
題型五：雙換元求最值
題型六：“1”的代換求最值
題型七：齊次化求最值
題型八：利用基本不等式證明不等式
題型九：利用基本不等式解決實際問題
題型十：三角函數(shù)法
題型十一：多次使用基本不等式
題型十二：參數(shù)構(gòu)造法
題型十三：多元均值不等式
題型十四：判別式法
題型十五：跨知識點綜合
題型十六：特定形式的最值問題
題型十七：恒(能)成立問題
題型十八：構(gòu)造不等式法求最值
【考點預測】
1、基本不等式
如果，那么，當且僅當時，等號成立．其中，叫作的算術(shù)平均數(shù)，叫作的幾何平均數(shù)．即正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)．
基本不等式1：若，則，當且僅當時取等號；
基本不等式2：若，則（或），當且僅當時取等號.
注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正數(shù)，“二定”指求最值時和或積為定值，“三相等”指滿足等號成立的條件.（2）連續(xù)使用不等式要注意取得一致.
【方法技巧與總結(jié)】
1、幾個重要的不等式
（1）
（2）基本不等式：如果，則(當且僅當“”時取“”).
特例：（同號）.
（3）其他變形：
①(溝通兩和與兩平方和的不等關(guān)系式)
②(溝通兩積與兩平方和的不等關(guān)系式)
③(溝通兩積與兩和的不等關(guān)系式)
④重要不等式串：即
調(diào)和平均值幾何平均值算數(shù)平均值平方平均值(注意等號成立的條件).
2、均值定理
已知.
（1）如果(定值)，則(當且僅當“”時取“=”).即“和為定值，積有最大值”.
（2）如果(定值)，則(當且僅當“”時取“=”).即積為定值，和有最小值”.
3、常見求最值模型
模型一：，當且僅當時等號成立；
模型二：，當且僅當時等號成立；
模型三：，當且僅當時等號成立；
模型四：，當且僅當時等號成立.
【典型例題】
題型一：基本不等式及其應用
【例1】（2025·山東濟南·三模）已知函數(shù)及其導函數(shù)的定義域均為，且滿足．若在單調(diào)遞增，則（ ）
A． B．
C． D．
【變式1-1】（2025·山東·模擬預測）已知，，且，則下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式1-2】設(shè)、、滿足，，，則（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【變式1-3】（2025·貴州安順·二模）已知是函數(shù)的圖象上兩個不同的點，則（ ）
A． B．
C． D．
題型二：直接法求最值
【例2】（2025·廣東汕頭·模擬預測）已知，為和的等差中項，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【變式2-1】（2025·河北保定·二模）已知x，y是非零實數(shù)，則的最小值為（ ）
A．6 B．12 C．2 D．4
【變式2-2】已知均為正數(shù)，則的最小值為（ ）
A．4 B． C．6 D．
【變式2-3】已知，則的最大值為 ．
題型三：常規(guī)湊配法求最值
【例3】設(shè)，，若，則的最大值為 .
【變式3-1】設(shè) ,則的最小值為（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
【變式3-2】若正實數(shù)滿足，則的最小值為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【變式3-3】若則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
題型四：消參法求最值
【例4】（2025·高三·河北·期末）若實數(shù)，滿足，則的最小值為 .
【變式4-1】已知拋物線的焦點為，若，則的最小值為（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【變式4-2】已知為銳角，且，則的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【變式4-3】已知均為銳角，，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【變式4-4】已知，則的最大值為（ ）
A． B． C．1 D．
題型五：雙換元求最值
【例5】（2025·甘肅白銀·模擬預測）若正實數(shù)，滿足，則的最小值是 ．
【變式5-1】設(shè)為正實數(shù)，且，則的最小值為 .
【變式5-2】已知，則的最小值為 .
題型六：“1”的代換求最值
【例6】已知正實數(shù)x，y滿足，則的最小值為（ ）
A．9 B． C． D．2
【變式6-1】（2025·河南·三模）若，，且，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【變式6-2】已知，則的最小值為（ ）
A．2 B．4 C．1 D．3
題型七：齊次化求最值
【例7】已知正數(shù)滿足，則的最小值是 ．
【變式7-1】（2025·高三·河南漯河·期末）設(shè)正實數(shù)、、滿足，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【變式7-2】（2025·四川成都·三模）設(shè)函數(shù)，正實數(shù)滿足，若，則實數(shù)的最大值為（ ）
A． B．4 C． D．
題型八：利用基本不等式證明不等式
【例8】已知，，均為正數(shù)
(1)求證：；
(2)若，求證：．
【變式8-1】已知，當時，不等式成立．
(1)求的最大值；
(2)設(shè)正數(shù)，的和恰好等于的最大值，求證：．
【變式8-2】已知實數(shù)a，b，c滿足．
(1)若，求證：；
(2)若a，b，，求證：．
題型九：利用基本不等式解決實際問題
【例9】（2025·高三·安徽六安·期末）已知、兩地的距離是．根據(jù)交通法規(guī)，兩地之間的公路車速應限制在．假設(shè)油價是元，以的速度行駛時，汽車的耗油率為，司機每小時的工資是元，那么最經(jīng)濟的車速是（ ）.
A． B． C． D．
【變式9-1】（2025·高三·山東·開學考試）墻上掛著一幅高為1m的畫，畫的上端到地面的距離為2m，某攝像機在地面上拍攝這幅畫．將畫上端一點A、下端一點B與攝像機連線的夾角稱為視角（點A，B與攝像機在同一豎直平面內(nèi)），且把最大的視角稱為最佳視角．若墻與地面垂直且攝像機高度忽略不計，則當攝像機在地面上任意移動時，最佳視角的正弦值為（ ）
A． B． C． D．
【變式9-2】（2025·廣東珠海·一模）由于燃油的價格有升也有降，現(xiàn)在有兩種加油方案．第一種方案：每次加30升的燃油；第二種方案：每次加200元的燃油．下列說法正確的是（　　）
A．采用第一種方案劃算 B．采用第二種方案劃算
C．兩種方案一樣 D．采用哪種方案無法確定
題型十：三角函數(shù)法
【例10】（多選題）（2025·江蘇淮安·模擬預測）若滿足，則（ ）
A． B．
C． D．
【變式10-1】（2025·河南新鄉(xiāng)·模擬預測）已知正數(shù)滿足，則的最小值為 ．
【變式10-2】已知非負實數(shù)，滿足，則的最大值為 .
題型十一：多次使用基本不等式
【例11】（2025·江西·二模）已知，，，則的最小值為 .
【變式11-1】已知，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式11-2】已知正實數(shù)、、滿足，則的最小值是（ ）
A． B． C． D．
題型十二：參數(shù)構(gòu)造法
【例12】（2025·甘肅平?jīng)觥つM預測）已知，且，則的最小值是 .
【變式12-1】（2025·山西運城·二模）若a，b，c均為正實數(shù)，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【變式12-2】（2025·高三·遼寧沈陽·開學考試）若，，，則的最小值為（ ）
A．16 B．18 C．20 D．22
題型十三：多元均值不等式
【例13】已知，則的最小值為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【變式13-1】（2025·黑龍江哈爾濱·模擬預測）若，，求 的最小值為（ ）
A． B． C． D．
,
的最小值為．
【變式13-2】函數(shù)的最小值是（ ）．
A． B． C．1 D．不存在
題型十四：判別式法
【例14】（2025·浙江·二模）設(shè)，，若，且的最大值是，則 .
【變式14-1】若，，則當 時，取得最大值，該最大值為 .
【變式14-2】設(shè)x、y為實數(shù)，若，則的最大值是 ．
題型十五：跨知識點綜合
【例15】（2025·北京朝陽·二模）在中，，且，則 ；面積的最大值為 ．
【變式15-1】（2025·天津河西·二模）在平行四邊形中，，，，四邊形的面積為6，則的最小值為 ；當在上的投影向量為時， .
【變式15-2】（2025·北京朝陽·二模）設(shè)，過原點的直線（不與軸重合）與圓交于點P與直線交于點．過點作軸的平行線，過點作軸的垂線，這兩條直線交于點，稱為的箕舌線函數(shù)，記作，給出下列四個結(jié)論：
①函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱；
②若，則；
③設(shè)函數(shù)，則的最大值為；
④設(shè)函數(shù)，則的最小值為．
其中所有正確結(jié)論的序號是 ．
題型十六：特定形式的最值問題
【例16】（多選題）（2025·福建漳州·模擬預測）已知正實數(shù)x，y滿足，則（ ）
A． B．
C． D．
【變式16-1】（多選題）（2025·遼寧·三模）已知，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．若，則
B．若，則的最大值為
C．若，則的最小值為1
D．若，則的最大值為
【變式16-2】（多選題）（2025·河北·二模）已知，，，則下列說法正確的是（ ）
A．的最大值為 B．的最小值為4
C．的最大值為2 D．的最小值為
【變式16-3】（多選題）（2025·湖南郴州·三模）設(shè)正實數(shù)滿足，則（ ）
A． B．
C． D．
題型十七：恒(能)成立問題
【例17】（2025·陜西咸陽·一模）已知實數(shù)，滿足，若不等式對任意的正實數(shù)恒成立，那么實數(shù)m的最大值為（ ）
A． B． C．3 D．
【變式17-1】（2025·湖北鄂州·一模）已知函數(shù)，若，，，均有，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【變式17-2】（2025·吉林延邊·一模）已知正實數(shù)，滿足，且不等式恒成立，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
題型十八：構(gòu)造不等式法求最值
【例18】（2025·安徽·模擬預測）已知正實數(shù)滿足，則的取值范圍為 .
【變式18-1】（2025·山東·二模）若實數(shù)x，y，z滿足，且，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【變式18-2】（2025·山東·模擬預測）已知，則的最小值是（ ）
A． B．4 C． D．8
【過關(guān)測試】
1．（2025·河北·模擬預測）已知，均為銳角，為鈍角，若，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·甘肅甘南·模擬預測）已知各項為正的等差數(shù)列的前項和為，且，則的最大值為（ ）
A． B．4 C．5 D．
3．（2025·河北·三模）已知，則的最小值為（ ）
A．2 B． C．4 D．9
4．（2025·陜西安康·模擬預測）已知，則的最小值為（ ）
A． B．2 C． D．
5．（2025·廣東·模擬預測）已知正實數(shù)，滿足，則的最大值為（ ）
A．1 B． C． D．2
6．（2025·湖南·三模）已知點是函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象上的一點，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
7．（2025·貴州遵義·模擬預測）某學校社團舉辦“燈籠裝飾校園”的活動比賽，要求用彩帶制作、兩種類型的燈籠，其中型燈籠每個需要0.5米彩帶，型燈籠每個需要1米彩帶．活動規(guī)定：兩種燈籠數(shù)量的乘積越大，評分越高．已知某同學用60米長的彩帶制作型燈籠個，型燈籠個．若要使該同學的得分最高，則實數(shù)，的值分別為（ ）
A．， B．， C．， D．，
8．（2025·福建泉州·模擬預測）已知向量不共線，，其中，若三點共線，則的最小值為（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
9．（多選題）（2025·江西宜春·一模）數(shù)列滿足，，，…，，依此類推，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．的最小值為 B．
C．若，則 D．若，則
10．（多選題）（2025·江西上饒·二模）若正實數(shù)滿足，則（ ）
A．的最大值是 B．的最小值是9
C．的最大值是 D．的最小值是
11．（多選題）（2025·高三·河南焦作·階段練習）若，則（ ）
A． B．x，y不能同時為整數(shù)
C． D．
12．（多選題）（2025·高三·全國·專題練習）已知正數(shù)滿足，則（ ）
A． B．
C． D．
13．（2025·河北·模擬預測）已知函數(shù)，方程有4個不同的根，且滿足，則的最小值為 .
14．（2025·天津和平·三模）已知實數(shù)與滿足，且，則的最小值為 ．
15．（2025·安徽·模擬預測）若，則的最小值是 ．
16．（2025·四川·三模）若，，則實數(shù)m的取值范圍為 ．
17．（2025·湖北·模擬預測）已知隨機變量，a、b是正實數(shù)，滿足，則的最小值為 .
18．（2025·高三·全國·專題練習）已知，則的最大值為 ．
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1.4 基本不等式及其應用
【題型歸納目錄】
題型一：基本不等式及其應用
題型二：直接法求最值
題型三：常規(guī)湊配法求最值
題型四：消參法求最值
題型五：雙換元求最值
題型六：“1”的代換求最值
題型七：齊次化求最值
題型八：利用基本不等式證明不等式
題型九：利用基本不等式解決實際問題
題型十：三角函數(shù)法
題型十一：多次使用基本不等式
題型十二：參數(shù)構(gòu)造法
題型十三：多元均值不等式
題型十四：判別式法
題型十五：跨知識點綜合
題型十六：特定形式的最值問題
題型十七：恒(能)成立問題
題型十八：構(gòu)造不等式法求最值
【考點預測】
1、基本不等式
如果，那么，當且僅當時，等號成立．其中，叫作的算術(shù)平均數(shù)，叫作的幾何平均數(shù)．即正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)．
基本不等式1：若，則，當且僅當時取等號；
基本不等式2：若，則（或），當且僅當時取等號.
注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正數(shù)，“二定”指求最值時和或積為定值，“三相等”指滿足等號成立的條件.（2）連續(xù)使用不等式要注意取得一致.
【方法技巧與總結(jié)】
1、幾個重要的不等式
（1）
（2）基本不等式：如果，則(當且僅當“”時取“”).
特例：（同號）.
（3）其他變形：
①(溝通兩和與兩平方和的不等關(guān)系式)
②(溝通兩積與兩平方和的不等關(guān)系式)
③(溝通兩積與兩和的不等關(guān)系式)
④重要不等式串：即
調(diào)和平均值幾何平均值算數(shù)平均值平方平均值(注意等號成立的條件).
2、均值定理
已知.
（1）如果(定值)，則(當且僅當“”時取“=”).即“和為定值，積有最大值”.
（2）如果(定值)，則(當且僅當“”時取“=”).即積為定值，和有最小值”.
3、常見求最值模型
模型一：，當且僅當時等號成立；
模型二：，當且僅當時等號成立；
模型三：，當且僅當時等號成立；
模型四：，當且僅當時等號成立.
【典型例題】
題型一：基本不等式及其應用
【例1】（2025·山東濟南·三模）已知函數(shù)及其導函數(shù)的定義域均為，且滿足．若在單調(diào)遞增，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由函數(shù)及其導函數(shù)的定義域均為，得的圖象在上連續(xù)不斷，
對于A，取，由，得，
當時，取，，而在上單調(diào)遞增，
則在上不恒為0，因此，即，A錯誤；
對于B，，取，，由選項A知，，
不恒為0，B錯誤；
對于C，由在上單調(diào)遞增，得當時，；
當時，由，得，C錯誤；
對于D，，則，
因此，D正確.
故選：D
【變式1-1】（2025·山東·模擬預測）已知，，且，則下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因為，所以，
對于A項：，
當且僅當時取得等號，從而在，時，故A錯誤；
對于B項：因為，所以，
，當時取得等號，此時，故B錯誤；
對于C項：因為，所以，所以，
于是等價于，等價于，
構(gòu)造函數(shù)，，
所以在上單調(diào)遞增；
所以恒成立，所以不等式成立，故C正確；
對于D項：根據(jù)B選項的分析，，
則，即，
當時取得等號，此時，故D錯誤.
故選：C
【變式1-2】設(shè)、、滿足，，，則（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【解析】、、且，，，則，
先比較與的大小關(guān)系，
構(gòu)造函數(shù)，其中，
則，所以，，
則，
令，其中，則，
令，其中，所以，，
所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，
所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，即，
因為，則，
所以，，
所以，，
因為，所以，
，
所以，對任意的，，
故函數(shù)在上單調(diào)遞減，
因為，則，故，
由基本不等式可得（，故取不了等號），所以，，
故選：A.
【變式1-3】（2025·貴州安順·二模）已知是函數(shù)的圖象上兩個不同的點，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由題意不妨設(shè)，因為函數(shù)是增函數(shù)，
所以，即，
對于選項AB：因為，
即，且函數(shù)是增函數(shù)，
所以，故B正確，A錯誤；
對于選項D：例如，則，
可得，即，故D錯誤；
對于選項C：例如，則，
可得，即，故C錯誤，
故選：B.
題型二：直接法求最值
【例2】（2025·廣東汕頭·模擬預測）已知，為和的等差中項，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由題知，得到，
所以，
當且僅當，即時，取等號.
故選：D.
【變式2-1】（2025·河北保定·二模）已知x，y是非零實數(shù)，則的最小值為（ ）
A．6 B．12 C．2 D．4
【答案】A
【解析】，
當且僅當，
即，等號成立，
所以的最小值為6，
故選：A
【變式2-2】已知均為正數(shù)，則的最小值為（ ）
A．4 B． C．6 D．
【答案】D
【解析】由均為正數(shù)，得，
當且僅當時取等號，所以的最小值為.
故選：D
【變式2-3】已知，則的最大值為 ．
【答案】1
【解析】由，則，
當且僅當時取等號．
故答案為：1
題型三：常規(guī)湊配法求最值
【例3】設(shè)，，若，則的最大值為 .
【答案】
【解析】由題意得，，
當且僅當，即時取等號，
∴的最大值為.
故答案為：.
【變式3-1】設(shè) ,則的最小值為（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
【答案】A
【解析】由題意，所以，
得到，
當且僅當，即時， 等號成立，則的最小值為．
故選：A.
【變式3-2】若正實數(shù)滿足，則的最小值為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】正實數(shù)滿足，又，則，當且僅當時取等號，
設(shè)則，代入整理可得，解得或，
因，故，故當時，取得最小值為2.
故選：B.
【變式3-3】若則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，
因為，所以，設(shè)，
則，當且僅當時等號成立，
此時，解得，
故選：A．
題型四：消參法求最值
【例4】（2025·高三·河北·期末）若實數(shù)，滿足，則的最小值為 .
【答案】1
【解析】因，則，
由，當且僅當，時等號成立，
即當，時，取得最小值2，
又因是單調(diào)增函數(shù)，故此時取得最小值為1.
故答案為：1.
【變式4-1】已知拋物線的焦點為，若，則的最小值為（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解析】由，得，令得，，令，則，當且僅當，即時取等號．
故選：B．
【變式4-2】已知為銳角，且，則的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因為，
已知，則有：
，
移項可得：，
即，由于，
兩邊同時除以，得到，
則
令（，因為為銳角），則.
根據(jù)均值不等式對于有：
當且僅當，即時等號成立.
所以，即的最大值為.
故選：A.
【變式4-3】已知均為銳角，，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由題可得，
因為均為銳角，兩邊同時除以得，
所以，
因為均為銳角，所以，
則，
當且僅當，即時取等號，
故選：C．
【變式4-4】已知，則的最大值為（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【解析】
，
當且僅當時取等.
故選：B.
題型五：雙換元求最值
【例5】（2025·甘肅白銀·模擬預測）若正實數(shù)，滿足，則的最小值是 ．
【答案】/0.25
【解析】方法一
設(shè)，，則，
，
，
當且僅當，，即，時取等號，
．
方法二，，
，
當且僅當，時取等號，．
故答案為：
【變式5-1】設(shè)為正實數(shù)，且，則的最小值為 .
【答案】
【解析】∵ ,令，
∴，
∴，
∴
又∵
∴；
當且僅當時，即時取得最小值，
∴的最小值為.
故答案為：
【變式5-2】已知，則的最小值為 .
【答案】4
【解析】令，
則
，
所以，
因此當且僅當，即時，取得最小值為4.
故答案為：4.
題型六：“1”的代換求最值
【例6】已知正實數(shù)x，y滿足，則的最小值為（ ）
A．9 B． C． D．2
【答案】B
【解析】，，化簡得，
，
當且僅當且，即時等號成立；
又，，當且僅當時等號成立，
，
的最小值為.
故選：B.
【變式6-1】（2025·河南·三模）若，，且，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因為，，且，
所以，
當且僅當，，，即，時等號成立，
所以的最大值為．
故選：A.
【變式6-2】已知，則的最小值為（ ）
A．2 B．4 C．1 D．3
【答案】D
【解析】因為，
所以，
當且僅當，即時取等號.
故選：D
題型七：齊次化求最值
【例7】已知正數(shù)滿足，則的最小值是 ．
【答案】
【解析】根據(jù)題意，由可得，
即
所以；
又因為均是正數(shù)，令，則
所以，
令，
則
當且僅當，即時，等號成立；
所以
所以的最小值為;
即當時，即時，等號成立.
故答案為：
【變式7-1】（2025·高三·河南漯河·期末）設(shè)正實數(shù)、、滿足，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因為正實數(shù)、、滿足，則，
所以，，
當且僅當時，即當時，等號成立，
故的最大值為.
故選：D.
【變式7-2】（2025·四川成都·三模）設(shè)函數(shù)，正實數(shù)滿足，若，則實數(shù)的最大值為（ ）
A． B．4 C． D．
【答案】A
【解析】因為，所以，，
又，
所以，即，
因為，，所以，所以，所以，
又，即，
所以，所以，
令，則，
所以
，
當且僅當，即時取等號，
所以，所以，
則實數(shù)的最大值為.
故選：A
題型八：利用基本不等式證明不等式
【例8】已知，，均為正數(shù)
(1)求證：；
(2)若，求證：．
【解析】（1）∵，，均為正數(shù)，
∴，，均為正數(shù)，
∴由三個正數(shù)的均值定理，有，當且僅當時等號成立．
又∵，，均為正數(shù)，
∴由三個正數(shù)的均值定理，
有，當且僅當時等號成立．
∴，
當且僅當時等號成立．
∴.
（2）,同理可得,
∴,
設(shè)有
則原式=
由可得，
∴
，當且僅當時等號成立，
∴.
【變式8-1】已知，當時，不等式成立．
(1)求的最大值；
(2)設(shè)正數(shù)，的和恰好等于的最大值，求證：．
【解析】（1）當，，
，則，
，兩邊平方，
即，
當，又，不滿足題意；
，此時只需，
；
又時，不等式恒成立，
，
所以，
綜上，的最大值為.
（2）據(jù)題意，，且；
；
，
則，
；
；
當且僅當，即時等號成立.
∴得證.
【變式8-2】已知實數(shù)a，b，c滿足．
(1)若，求證：；
(2)若a，b，，求證：．
【解析】（1）因為，所以．
因為，
所以，當且僅當時等號成立，
整理得，所以．
（2）解法一： 因為，且a，b，，
所以，，，所以，
同理可得，，
以上三式相加得，當且僅當時等號成立．
解法二：因為，且a，b，，
所以，，，且，
所以
，
當且僅當時等號成立．
題型九：利用基本不等式解決實際問題
【例9】（2025·高三·安徽六安·期末）已知、兩地的距離是．根據(jù)交通法規(guī)，兩地之間的公路車速應限制在．假設(shè)油價是元，以的速度行駛時，汽車的耗油率為，司機每小時的工資是元，那么最經(jīng)濟的車速是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由題意可知，行車的總費用為，其中，
由基本不等式可得（元），
當且僅當時，即當時，等號成立，
因此，經(jīng)濟的車速是.
故選：C.
【變式9-1】（2025·高三·山東·開學考試）墻上掛著一幅高為1m的畫，畫的上端到地面的距離為2m，某攝像機在地面上拍攝這幅畫．將畫上端一點A、下端一點B與攝像機連線的夾角稱為視角（點A，B與攝像機在同一豎直平面內(nèi)），且把最大的視角稱為最佳視角．若墻與地面垂直且攝像機高度忽略不計，則當攝像機在地面上任意移動時，最佳視角的正弦值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
如圖所示：最佳視角,且當最大時，最大，
且最大，又，
又設(shè)所以
當且僅當時取等號，
此時
解得：
故選：A.
【變式9-2】（2025·廣東珠海·一模）由于燃油的價格有升也有降，現(xiàn)在有兩種加油方案．第一種方案：每次加30升的燃油；第二種方案：每次加200元的燃油．下列說法正確的是（　　）
A．采用第一種方案劃算 B．采用第二種方案劃算
C．兩種方案一樣 D．采用哪種方案無法確定
【答案】B
【解析】任取其中兩次加油，假設(shè)第一次的油價為元/升，第二次的油價為元/升．
第一種方案的均價：
，當且僅當時取等號；
第二種方案的均價：
,因，則，故，當且僅當時取等號.
所以無論油價如何變化，第二種都更劃算．
故選:B．
題型十：三角函數(shù)法
【例10】（多選題）（2025·江蘇淮安·模擬預測）若滿足，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】對于A，由可得，
因此，可得，
當且僅當時，等號成立，即A正確；
對于B，將表達式化簡可得，
將方程參數(shù)化可知，；
所以，其中；
又，所以，可得B正確；
對于C，由可得，
即，
因此，解得，
當且僅當時，等號成立，即C錯誤，D正確.
故選：ABD
【變式10-1】（2025·河南新鄉(xiāng)·模擬預測）已知正數(shù)滿足，則的最小值為 ．
【答案】1
【解析】由，得，
記，其中，
原不等式化為，所以，
所以，即．
所以，
當且僅當，即時取“”，所以的最小值為1．
故答案為：1．
【變式10-2】已知非負實數(shù)，滿足，則的最大值為 .
【答案】
【解析】由，得，用換元法，令，，將問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值，即可求得答案.由題意得：，令，，
又，為非負實數(shù)，
，
，，即，
解得，.
故（其中），
，即，
，即
又在上單調(diào)遞增，∴當時，取得最大值，
故當，時，取得最大值，最大值為.
故答案為：
題型十一：多次使用基本不等式
【例11】（2025·江西·二模）已知，，，則的最小值為 .
【答案】
【解析】因為，，，所以，
因為，
所以，當且僅當即（負值舍去），等號成立，
此時，整理得，
解得，（不符合題意舍去），
即當，時，有最小值為.
故答案為：
【變式11-1】已知，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因為，當且僅當時等號成立.
，由對勾函數(shù)性質(zhì)，所以，
則，同理
則，
故的取值范圍是.
故選：B.
【變式11-2】已知正實數(shù)、、滿足，則的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由可得出，利用不等式的性質(zhì)結(jié)合基本不等式可求得的最小值.，，，
由于、、均為正數(shù)，則，
當且僅當時，即當時，等號成立，
因此，的最小值是.
故選：C.
題型十二：參數(shù)構(gòu)造法
【例12】（2025·甘肅平?jīng)觥つM預測）已知，且，則的最小值是 .
【答案】
【解析】設(shè)，由對應系數(shù)相等得，
解得
所以，整理得，
即，
所以
，
當且僅當，即時等號成立，
所以的最小值是.
故答案為：.
【變式12-1】（2025·山西運城·二模）若a，b，c均為正實數(shù)，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因為a，b均為正實數(shù)，
則
，
當且僅當，且，即時取等號，
則的最大值為．
故選：A．
【變式12-2】（2025·高三·遼寧沈陽·開學考試）若，，，則的最小值為（ ）
A．16 B．18 C．20 D．22
【答案】A
【解析】，，，則，
，
當且僅當，即時取等號，
所以所求最小值為16.
故選：A．
題型十三：多元均值不等式
【例13】已知，則的最小值為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】方法一：，
故，
當且僅當，即時，等號成立，
方法二：，
故，
當且僅當，且時，即時，等號成立．
故的最小值為4；
故選：D
【變式13-1】（2025·黑龍江哈爾濱·模擬預測）若，，求 的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，，
,
當且僅當即時等號成立，
的最小值為．
故選：．
【變式13-2】函數(shù)的最小值是（ ）．
A． B． C．1 D．不存在
【答案】B
【解析】，，
當，時等號成立.
故選：B
題型十四：判別式法
【例14】（2025·浙江·二模）設(shè)，，若，且的最大值是，則 .
【答案】4
【解析】令，由消去a得：，即，
而，，則，，，
依題意，解得.
故答案為：4
【變式14-1】若，，則當 時，取得最大值，該最大值為 .
【答案】 / /
【解析】令，則，
則，
即，
由，解得：，
故，
故，解得：，，
所以當且僅當，時，等號成立，
故答案為：，
【變式14-2】設(shè)x、y為實數(shù)，若，則的最大值是 ．
【答案】/
【解析】方法一：令，則，代入，整理得，其，
解得，當時，.
故的最大值是．
方法二：由
，即，
當時，.
故的最大值是．
故答案為：
題型十五：跨知識點綜合
【例15】（2025·北京朝陽·二模）在中，，且，則 ；面積的最大值為 ．
【答案】
【解析】在中，由，得，而，所以；
的面積，當且僅當時取等號，
所以面積的最大值為.
故答案為：；
【變式15-1】（2025·天津河西·二模）在平行四邊形中，，，，四邊形的面積為6，則的最小值為 ；當在上的投影向量為時， .
【答案】
【解析】由條件可知，,，
所以，所以，
，，
，
，
當時等號成立，
所以的最小值為；
在上的投影向量為，則，即,
因為，所以，得，，
則.
故答案為：；.
【變式15-2】（2025·北京朝陽·二模）設(shè)，過原點的直線（不與軸重合）與圓交于點P與直線交于點．過點作軸的平行線，過點作軸的垂線，這兩條直線交于點，稱為的箕舌線函數(shù)，記作，給出下列四個結(jié)論：
①函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱；
②若，則；
③設(shè)函數(shù)，則的最大值為；
④設(shè)函數(shù)，則的最小值為．
其中所有正確結(jié)論的序號是 ．
【答案】①③
【解析】圓的圓心在軸上，設(shè)圓與的另一個交點為，
設(shè)，當點不與點重合時，直線的方程為，
聯(lián)立，解得，所以點縱坐標為，此時點，
當點與點重合時，點的縱坐標也滿足，所以，
對任意的，，所以的定義域為，
對于命題①，因為，所以是偶函數(shù)，故①正確；
對于命題②，因為，當時，，即在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以當時，若，則，所以②錯誤，
對于命題③，，因為，當時，，
當時，，又，當且僅當，即時取等號，
所以，故③正確，
對于命題④，，令，
則，易知在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
若，即時，，
即當時，的最小值為，所以④錯誤，
故答案為：①③.
題型十六：特定形式的最值問題
【例16】（多選題）（2025·福建漳州·模擬預測）已知正實數(shù)x，y滿足，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】對于A，，當且僅當，等號成立，則，故A正確；
對于B，由，則，由，則，
所以，故B錯誤；
對于C，，當且僅當，等號成立，故C正確；
對于D，由B易知，當且僅當，等號成立，則，故D正確.
故選：ACD.
【變式16-1】（多選題）（2025·遼寧·三模）已知，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．若，則
B．若，則的最大值為
C．若，則的最小值為1
D．若，則的最大值為
【答案】BCD
【解析】由題意得，A項錯誤；
，所以（當且僅當時取等號），B項正確；
，當且僅當時取等號，C項正確；
，
又因為，
所以，
設(shè)，
則，當且僅當，即時取等號，
所以的最大值為，D項正確．
故選:BCD．
【變式16-2】（多選題）（2025·河北·二模）已知，，，則下列說法正確的是（ ）
A．的最大值為 B．的最小值為4
C．的最大值為2 D．的最小值為
【答案】AD
【解析】因為，所以，當且僅當，即，時等號成立，所以的最大值為，故A正確；
因為，當且僅當，即，時等號成立，
所以的最小值為6，故B錯誤；
因為，當且僅當，時等號成立，
所以的最小值為2，故C錯誤；
可以看作直線落在第一象限內(nèi)的點到原點距離的平方，易知最短距離為，
所以的最小值為，故D正確.
故選：AD.
【變式16-3】（多選題）（2025·湖南郴州·三模）設(shè)正實數(shù)滿足，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】對于選項A：因為正實數(shù)滿足，
設(shè)，則，
因為，
即，整理可得得，
將其看為關(guān)于的一元二次方程，則，解得，
即，故A正確；
對于選項D：因為，且，，
則，當且僅當時，等號成立，
所以，故D正確；
對于選項B：因為，則，
當且僅當時，等號成立，
則，得，當且僅當時，等號成立，故B錯誤；
對于選項C：因為
，
因為，則，，
可得，當且僅當時，等號成立，
即，可得，
即，當且僅當時，等號成立
所以，故C正確；
故選：ACD.
題型十七：恒(能)成立問題
【例17】（2025·陜西咸陽·一模）已知實數(shù)，滿足，若不等式對任意的正實數(shù)恒成立，那么實數(shù)m的最大值為（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】D
【解析】設(shè)，則，
當時，，
所以函數(shù)在上為增函數(shù)，
∵
∴ ，即，又，
∴ ，
∴
當且僅當時等號成立，
∵不等式對任意的正實數(shù)恒成立，
∴ ，
故選：D.
【變式17-1】（2025·湖北鄂州·一模）已知函數(shù)，若，，，均有，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因為函數(shù)的定義域為，則，
若，，，均有，
則，可得，
令，則，
由題意可知，，，
所以，函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，
所以，在上為增函數(shù)，則在上為增函數(shù)，
由基本不等式可得，
當且僅當時，即當時，等號成立，故，
所以，的最大值為.
故選：D.
【變式17-2】（2025·吉林延邊·一模）已知正實數(shù)，滿足，且不等式恒成立，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因為正實數(shù),滿足，所以，
則：，
當且僅當時取等號，因為不等式恒成立，所以．
故選：B．
題型十八：構(gòu)造不等式法求最值
【例18】（2025·安徽·模擬預測）已知正實數(shù)滿足，則的取值范圍為 .
【答案】
【解析】根據(jù)題意可得：，即，
設(shè)，
則：，，
，
，，
解得或，
又，
，化簡得，
①當時，不等式不成立；
②當時，，即，
，又恒成立，可得，
的取值范圍為.
故答案為：.
【變式18-1】（2025·山東·二模）若實數(shù)x，y，z滿足，且，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因為,
所以且,
故且,
所以,
故,
,
所以,
所以,
故選：A．
【變式18-2】（2025·山東·模擬預測）已知，則的最小值是（ ）
A． B．4 C． D．8
【答案】D
【解析】由可得，即，故，
由，可得，
當且僅當時取等號，即當時， 取得最小值為8.
故選：D.
【過關(guān)測試】
1．（2025·河北·模擬預測）已知，均為銳角，為鈍角，若，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由可得，
由于，均為銳角，故，
同除得，
故，
即，故，
當且僅當時取到等號，
因此，
故選：B
2．（2025·甘肅甘南·模擬預測）已知各項為正的等差數(shù)列的前項和為，且，則的最大值為（ ）
A． B．4 C．5 D．
【答案】A
【解析】由，得，所以．
由已知，得，則，
當且僅當時等號成立．
故選：A
3．（2025·河北·三模）已知，則的最小值為（ ）
A．2 B． C．4 D．9
【答案】C
【解析】由，得，
當且僅當時取等號得出最小值4，
故選：C.
4．（2025·陜西安康·模擬預測）已知，則的最小值為（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【解析】由題意，知，.由，得，
兩邊同時除以，得.
因為，
當且僅當，即，時取等號，
所以的最小值為.
故選：D.
5．（2025·廣東·模擬預測）已知正實數(shù)，滿足，則的最大值為（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】A
【解析】因為正實數(shù)，滿足，
所以
，當且僅當，即、時等號成立.
故選：A
6．（2025·湖南·三模）已知點是函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象上的一點，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由題意可知，，且有，所以，
當且僅當時，即當時，等號成立，故的最小值為.
故選：A.
7．（2025·貴州遵義·模擬預測）某學校社團舉辦“燈籠裝飾校園”的活動比賽，要求用彩帶制作、兩種類型的燈籠，其中型燈籠每個需要0.5米彩帶，型燈籠每個需要1米彩帶．活動規(guī)定：兩種燈籠數(shù)量的乘積越大，評分越高．已知某同學用60米長的彩帶制作型燈籠個，型燈籠個．若要使該同學的得分最高，則實數(shù)，的值分別為（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】A
【解析】依題意，且，即，
又，所以，當且僅當時取等號，由，解得，
故當，時該同學的得分最高.
故選：A
8．（2025·福建泉州·模擬預測）已知向量不共線，，其中，若三點共線，則的最小值為（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【解析】因為三點共線，所以存在實數(shù)，使，即，
又向量不共線，所以，整理，得，
由，所以，
當且僅當時，取等號，即的最小值為4.
故選：B．
9．（多選題）（2025·江西宜春·一模）數(shù)列滿足，，，…，，依此類推，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．的最小值為 B．
C．若，則 D．若，則
【答案】ACD
【解析】根據(jù)規(guī)律可得，，；
當m的值每增加1時，的變化在內(nèi)，所以的值單調(diào)遞增.
當時，取最小值，最小值為，正確.
易得，所以，即，所以，錯誤.
若，則，，，，；
記數(shù)列為1，2，3，5，…，則，.
記，則；
所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以.
，正確.
，要使得取最小值；
則n為奇數(shù)，此時，正確.
故選：.
10．（多選題）（2025·江西上饒·二模）若正實數(shù)滿足，則（ ）
A．的最大值是 B．的最小值是9
C．的最大值是 D．的最小值是
【答案】ABC
【解析】對于A，，當且僅當時取等號，A正確；
對于B，，當且僅當時取等號，B正確；
對于C，，當且僅當時取等號，C正確；
對于D，，則，
當且僅當時取等號，D錯誤.
故選：ABC
11．（多選題）（2025·高三·河南焦作·階段練習）若，則（ ）
A． B．x，y不能同時為整數(shù)
C． D．
【答案】ABD
【解析】對于A，由，且，得，，A正確；
對于B，由選項A知，若，則，取，則，；
當時，，則，；同理當時，，
因此不能同時為整數(shù)，B正確；
對于C，，當且僅當時取等號，
則，，，C錯誤；
對于D，由，得，則，
當且僅當時，即，時取等號，
因此，D正確．
故選：ABD
12．（多選題）（2025·高三·全國·專題練習）已知正數(shù)滿足，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】設(shè)，可得，，，且，
則，
因為，可得，所以，所以，
又因為，所以，所以.
故選：AD.
13．（2025·河北·模擬預測）已知函數(shù)，方程有4個不同的根，且滿足，則的最小值為 .
【答案】
【解析】在同一平面直角坐標系下，作出函數(shù)和的圖象如下圖所示：
依題意得：，且，則.
設(shè)，則，，，
所以，令，
，
當且僅當，即時，等號成立.
所以的最小值為.
故答案為：.
14．（2025·天津和平·三模）已知實數(shù)與滿足，且，則的最小值為 ．
【答案】
【解析】由于，故，且，
故
，
當且僅當，結(jié)合，故當時等號取到，
故答案為：
15．（2025·安徽·模擬預測）若，則的最小值是 ．
【答案】9
【解析】由題設(shè)，
當且僅當，即時取等號，故的最小值是9.
故答案為：9.
16．（2025·四川·三模）若，，則實數(shù)m的取值范圍為 ．
【答案】
【解析】由，可得，
因為，故只需，
令，則，
當且僅當，即時取等號，所以，所以實數(shù)的取值范圍為．
故答案為：.
17．（2025·湖北·模擬預測）已知隨機變量，a、b是正實數(shù)，滿足，則的最小值為 .
【答案】
【解析】由隨機變量，且，得，而，
則，
當且僅當，即，時取等號，
所以的最小值為.
故答案為：
18．（2025·高三·全國·專題練習）已知，則的最大值為 ．
【答案】/0.5
【解析】配湊，
當，即時，，
所以，從而．
當且僅當時等號成立，故的最大值為，
故答案為：.
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