資源簡介

2024-2025學年五年級下冊數學易錯題型
第七單元 用方程解決問題
本專題為單元易錯講義，包含三大內容：
1、易錯知識點：梳理易錯知識點，讓學生明確清晰哪些容易易錯。
2、易錯點剖析：剖析常考易錯點，例證講解。
3、易錯題突破：針對常考點進行易錯題匯編突破。
目錄
第一部分：五大易錯知識點 3
第二部分：三大常考易錯點 3
易錯點一：不理解題意,找錯等量關系,導致列出錯誤的方程。 3
易錯點二：解形如““ax±x=6”類型的方程合并含有x項時出錯。 4
易錯點三：整理合并含x項時,運算錯誤。（尤其出現在解決相遇問題中） 4
第三部分：九大易錯題突破 4
突破題型一列方程解決和差倍問題 4
突破題型二列方程解決年齡問題 6
突破題型三列方程解決含有一個未知數的問題 9
突破題型四列方程解決含有兩個未知數的問題 11
突破題型五列方程解決相遇問題（求速度） 14
突破題型六列方程解決相遇問題（求時間） 15
突破題型七列方程解決相遇問題（求距離或路程） 17
突破題型八列方程解復雜的行程問題 19
突破題型九列方程解復雜的實際問題 19
1、列方程解決問題時，得數后面不能寫名數。
2、不能正確運用等式的性質解方程。解方程時,應該在等式的兩邊同時加上一個數或者減去一個數,不能一邊加一個數另一邊減這個數。
3、x應看作1x，根據乘法分配律ax±x=(a±1)x。
4、只有兩個量都含有x時，才能利用乘法分配律來解方程。
5、在利用方程解決問題時,沒有明確方程中各個部分數量之間的關系。
列方程解決實際問題,要先用字母表示未知數,再根據題目中數量之間的關系,列出一個含有未知數的等式。在解決“和差”“和倍”或“差倍”問題時,常把其中一個量設為工,或把兩個量設為,從而導致錯誤。解決此類問題,一般要把作為標準量的未知數設為,用含有x的式子表示另一個未知量。
易錯點一：不理解題意,找錯等量關系,導致列出錯誤的方程。
已知雞和兔的數量相同,兩種動物的腳加起來共有48只。雞和兔各有多少只
【錯誤答案】
解:設雞有x只,則兔也有2x只。
2x+8x=48
10x=48
X=4.8
答:雞有4.8只,兔有9.6只。
【錯解分析】題中的等量關系:雞的腳數+兔的腳數=48只。設雞和兔均有x只，一只雞有2只腳,雞的腳數應為2x只;一只兔有4只腳,兔的腳數就應為4x只。列出方程為2x十4x=48。本題錯在找錯數量關系。
【正確答案】
解:設雞有x只,則兔也有x只。
2x+4x=48
6x=48
X=8
答:雞有8只,兔有8只。
易錯點二：解形如““ax±x=6”類型的方程合并含有x項時出錯。
解方程：3x+x=18
【錯誤答案】3x+x=18
3x=18
x=6
【錯解分析】我們在解形如“ax±x=b”類型的方程時,要把含有x的項合并在一起,這里3x+合并后為4x,不要誤認為x是0個“x”,應為1個“x”。
【正確答案】3x+x=18
4x=18
x=4.5
易錯點三：整理合并含x項時,運算錯誤。（尤其出現在解決相遇問題中）
計算:7x-36=3x
【錯誤答案】
解:7x+3x =36
10x=36
x=3.6
【錯解分析】此題錯在沒有掌握等式中各部分數量之間的關系。可運用等式的性質進行整理解答。
【正確答案】
解:7x-36-3x+36=3x-3x+36
4x=36
x=9
突破題型一列方程解決和差倍問題
1．購買一套桌椅需要224元，一張桌子的價格是一把椅子的3倍。一把椅子多少元？
【答案】56元
【分析】根據題意可知，椅子的價格×3＝桌子的價格，桌子的價格＋椅子的價格＝桌椅的價格，據此設椅子為x元，然后列方程為，再解出方程即可。
【解答】解：設一把椅子x元。
答：一把椅子56元。
2．水果店運進蘋果和香蕉共250千克，蘋果的質量是香蕉的1.5倍。運進蘋果和香蕉各多少千克？（列方程解決問題）
【答案】蘋果：150千克；香蕉：100千克
【分析】由題意可知：香蕉的質量是1倍量，設香蕉的質量是x千克，則蘋果的質量是1.5x千克。根據等量關系“蘋果的質量＋香蕉的質量＝250”列出方程并解方程即可求出香蕉的質量；再用250千克減去香蕉的質量可求出蘋果的質量。
【解答】解：設香蕉的質量是x千克。
1.5x＋x＝250
2.5x＝250
2.5x÷2.5＝250÷2.5
x＝100
250－100＝150（千克）
答：運進蘋果150千克，運進香蕉100千克。
3．公園里有菊花和月季花一共560盆，菊花的盆數是月季花的7倍。那么月季花有多少盆？（用方程解答）
【答案】70盆
【分析】根據題意，將月季花的盆數設為x盆，菊花的盆數是月季花的7倍，則菊花的盆數可以表示為7x盆，列出等量關系：月季花的盆數＋菊花的盆數＝560盆，據此列方程解答即可。
【解答】由分析可得：
解：設月季花的盆數為x盆，
x＋7x＝560
8x＝560
8x÷8＝560÷8
x＝70
答：月季花有70盆。
【點評】本題考查了簡單的列方程解應用題，關鍵是找準等量關系，根據題中已知條件寫出等量關系式即可。
4．樂樂家養白兔、灰兔共300只，灰兔比白兔少8只，樂樂家養的白兔、灰兔各有多少只？（用方程解決問題）
【答案】白兔有154只，灰兔有146只。
【分析】根據題意可知，可設灰兔數量為x只，則白兔可以表示為（x＋8）只，根據白兔數量＋灰兔數量＝樂樂家養兔子的總數量設方程為：x＋（x＋8）＝300，解方程即可。
【解答】解：設灰兔數量為x只。
x＋（x＋8）＝300
2x＋8＝300
2x＋8－8＝300－8
2x＝292
2x÷2＝292÷2
x＝146
可得灰兔有146只，則白兔有：146＋8＝154（只）
答：白兔有154只，灰兔有146只。
【點評】解答此題的關鍵是根據題干找到本題的等量關系，再根據等量關系列出方程求解即可。
突破題型二列方程解決年齡問題
5．小聰今年多少歲？
【答案】8歲
【分析】求一個數的幾倍是多少，用乘法，假設小聰的年齡是x歲，則爸爸年齡是5x歲，根據爸爸比小聰大32歲，列方程解答。
【解答】解：設小聰今年x歲，則爸爸年齡是5x歲。
5x－x＝32
4x＝32
4x÷4＝32÷4
x＝8
答：小聰今年8歲。
6．用方程解決問題：淘氣和智慧老人今年分別多少歲？（請先畫出線段圖，寫出等量關系，再用方程解答）
【答案】線段圖見詳解；
淘氣今年的年齡＋智慧老人今年的年齡＝77歲
淘氣：11歲；智慧老人：66歲
【分析】淘氣今年的年齡＋智慧老人今年的年齡＝77歲，智慧老人的年齡是淘氣的6倍，則淘氣今年的年齡＋淘氣今年的年齡×6＝77歲；據此畫圖線段圖；可以設淘氣的年齡是x歲，則智慧老人的年齡是6x歲，根據等量關系列方程，解方程即可。
【解答】
淘氣今年年齡＋智慧老人今年年齡＝77歲
解：設淘氣今年年齡是x歲，則智慧老人今年的年齡是6x歲。
x＋6x＝77
7x＝77
x＝77÷7
x＝11
智慧老人：11×6＝66（歲）
答：淘氣今年年齡是11歲，智慧老人今年年齡是66歲。
【點評】本題考查方程的實際應用，利用淘氣今年的年齡與智慧老人今年的年齡關系，設出未知數，找出相關的量，列方程，解方程。
7．媽媽的年齡比小麗年齡的3倍多4歲，媽媽今年37歲，小麗今年幾歲？（畫線段圖分析題中數量關系，用算術和方程兩種方法解答）
【答案】11歲
【分析】（1）根據倍數關系，先用37減去4求出小麗年齡的3倍是多少，然后再除以3即可；
（2）根據題意可得等量關系式：小麗年齡的年齡×3＋4歲＝媽媽的年齡，列出方程解答即可。
【解答】作圖如下：
（1）（37－4）÷3
＝33÷3
＝11（歲）
（2）解：設小麗今年x歲。
3x＋4＝37
3x＋4－4＝37－4
3x÷3＝33÷3
x＝11
答：小麗今年11歲。
【點評】解答本題關鍵是理解算法的多樣性，理解數量之間的互逆關系。
8．小明和媽媽今年分別多少歲？（用方程解答）
【答案】小明今年10歲，媽媽今年30歲。
【分析】分析題目，根據媽媽今年的年齡是小明的3倍，可設小明今年的年齡是x歲，則媽媽今年的年齡是3x歲，再根據媽媽今年的年齡＋小明今年的年齡＝40列出方程，進一步根據等式的基本性質解方程，求出的x即為小明今年的年齡，用小明今年的年齡乘3即可得到媽媽今年的年齡。
【解答】解：設小明今年的年齡是x歲，則今年媽媽的年齡是3x歲。
x＋3x＝40
4x＝40
x＝40÷4
x＝10
3×10＝30（歲）
答：小明今年10歲，媽媽今年30歲。
【點評】準確的找出等量關系并列出方程是解答本題的關鍵。
突破題型三列方程解決含有一個未知數的問題
9．光的速度是30萬千米/秒，相當于1秒繞地球赤道約7圈還多2萬千米。地球赤道的周長大約多少萬千米？
【答案】4萬千米
【分析】根據題意可得出等量關系：地球赤道的周長×7＋2＝光的速度，據此列出方程，并求解。
【解答】解：設地球赤道的周長大約萬千米。
7＋2＝30
7＋2－2＝30－2
7＝28
7÷7＝28÷7
＝4
答：地球赤道的周長大約4萬千米。
10．將下題中的等量關系表示出來，再列方程解決問題。
世界上體重最輕的鳥是蜂鳥。一只蜂鳥重2.1克，一只麻雀的體重減少1克，剛好是這只蜂鳥的50倍。這只麻雀重多少克？
【答案】106克
【分析】根據題意，用一只麻雀的體重減去1克，正好等于一只蜂鳥體重的50倍，據此得出等量關系，并列出方程，求出方程的解。
【解答】等量關系：麻雀的體重－1＝蜂鳥的體重×50
解：設這只麻雀重克。
－1＝2.1×50
－1＝105
－1＋1＝105＋1
＝106
答：這只麻雀重106克。
11．某小學學生參加植樹活動，六年級植樹168棵，比五年級植樹棵數的3倍多72棵。五年級植樹多少棵？（列方程解答）
【答案】32棵
【分析】根據題意可得出等量關系：五年級植樹棵數×3＋72＝六年級植樹棵數，據此列出方程，并求解。
【解答】解：設五年級植樹棵。
3＋72＝168
3＋72－72＝168－72
3＝96
3÷3＝96÷3
＝32
答：五年級植樹32棵。
12．六一兒童節這天，中一班的王老師買來了一袋糖果準備分給小朋友們。如果每名小朋友分4個，那么還剩10個；如果每名小朋友分5個，那么就差5個。有多少名小朋友？
【答案】15名
【分析】設有x名小朋友。如果每名小朋友分4個，還剩10個，則x名小朋友一共分了4x個，加上剩下的10個，可得這袋糖果一共有（4x＋10）個；如果每名小朋友分5個，一共分了5x個，再減去差的5個，可知這袋糖果一共有（5x－5）個。糖果的總個數不變，據此列出方程：4x＋10＝5x－5，根據等式的性質解出方程即可。
【解答】解：設有x名小朋友。
4x＋10＝5x－5
10＝5x－5－4x
10＝x－5
10＋5＝x
x＝15
答：有15名小朋友。
突破題型四列方程解決含有兩個未知數的問題
13．學校購買防疫口罩和消毒液共花2.45萬元，口罩的錢是消毒液的2.5倍，口罩和消毒液各花了多少錢？（用方程解）
【答案】消毒液花了0.7萬元，則口罩的價錢為1.75萬元
【分析】由題意可知，設消毒液的價錢為x萬元，則口罩的價錢為2.5x萬元，再根據等量關系：口罩的錢數＋消毒液的錢數＝2.45，據此列方程解答即可。
【解答】解：設消毒液花了x萬元，則口罩的價錢為2.5x萬元。
3.5x＝2.45
3.5x÷3.5＝2.45÷3.5
0.7×2.5＝1.75（萬元）
答：消毒液花了0.7萬元，則口罩的價錢為1.75萬元。
14．依依去文具店買了一個日記本和一支新款鋼筆，共花了20.4元。鋼筆的價錢正好是日記本的3倍。依依買的日記本和鋼筆分別是多少元？
【答案】日記本5.1元；鋼筆15.3元
【分析】設依依買的日記本是x元，則鋼筆是3x元，根據日記本價格＋鋼筆價格＝總錢數，列出方程求出x的值是日記本價格，日記本價格×3＝鋼筆價格。
【解答】解：設依依買的日記本是x元，則鋼筆是3x元。
x＋3x＝20.4
4x＝20.4
4x÷4＝20.4÷4
x＝5.1
5.1×3＝15.3（元）
答：依依買的日記本是5.1元，鋼筆是15.3元。
15．原來甲桶水比乙桶水多24千克，甲桶水用去8千克、乙桶水用去2千克后，甲桶水的質量是乙桶水的1.5倍，原來兩桶水各重多少千克？
【答案】甲桶水：62千克；乙桶水：38千克
【分析】設甲桶水重x千克，甲桶水比乙用水多24千克，則乙桶水為（x－24）千克，甲桶水用去8千克，還剩（x－8）千克，乙桶水用去2千克，乙桶水還剩（x－24－2）千克，甲桶水的質量是乙桶水的1.5倍，即甲桶水用去8千克后剩下的水的質量＝乙水桶用去2千克后×1.5，列方程：x－8＝（x－24－2）×1.5，解方程，即可解答。
【解答】解：設甲水桶重x千克，則乙水桶重x－24千克。
x－8＝（x－24－2）×1.5
x－8＝1.5x－24×1.5－2×1.5
1.5x－x＝24×1.5＋2×1.5－8
0.5x＝36＋3－8
0.5x＝39－8
0.5x＝31
x＝31÷0.5
x＝62
乙桶水重：62－24＝38（千克）
答：甲桶水重62千克，乙桶水重38千克。
【點評】本題考查方程的實際應用，利用甲桶水的質量與乙桶水質量之間的關系，設出未知數，找出相關的量，列方程，解方程。
16．有A、B兩個無水的長方體容器，A容器底面是邊長3厘米的正方形，B容器底面長是5厘米，寬3厘米。現在向這兩個容器中注入同樣多的水后，水面高度相差5厘米（水均無溢出）。這時A容器水面高度是多少厘米？
【答案】12.5厘米
【分析】根據“水面高度相差5厘米”可知，A容器中水的高度比B容器的高5厘米，可以設這時A容器水面高度是厘米，則B容器水面高度是（－5）厘米；
根據“向這兩個容器中注入同樣多的水”可知，A、B容器中水的體積相等；由長方體的體積＝長×寬×高，據此列出方程，并求解。
【解答】解：設這時A容器水面高度是厘米，則B容器水面高度是（－5）厘米。
3×3×＝5×3×（－5）
9＝15（－5）
9＝15－75
9＋75＝15－75＋75
9＋75＝15
9＋75－9＝15－9
75＝6
6÷6＝75÷6
＝12.5
答：這時A容器水面高度是12.5厘米。
突破題型五列方程解決相遇問題（求速度）
17．成都與重慶相距300千米，一輛貨車從成都開往重慶，一輛轎車從重慶開往成都，貨車每時行駛60千米，2時后，兩車相距30千米，轎車每時行駛多少千米？
【答案】75千米
【分析】設轎車每時行駛多少千米，根據等量關系：成都與重慶的路程＝30千米＋貨車2小時行的路程＋轎車2小時的路程，列出方程求解即可。
【解答】解：設轎車每時行駛多少千米。
30＋60×2＋2＝300
30＋120＋2＝300
150＋2＝300
150＋2－150＝300－150
2＝150
2÷2＝150÷2
＝75
答：轎車每時行駛75千米。
18．甲、乙兩地相距540千米，一輛貨車和一輛客車同時從兩地相對開出，3小時后兩車還相距135千米（未相遇）。已知客車每小時行駛72千米，貨車每小時行駛多少千米？（用方程解答）
【答案】63千米
【分析】根據題意可知，設貨車每時行千米，則貨車速度×時間＋客車速度×時間＋135＝540，據此列出方程求解即可。
【解答】解：設貨車每小時行駛x千米。
3×72＋3x＋135＝540
216＋3x＋135＝540
351＋3x＝540
3x＝540－351
3x＝189
x＝189÷3
x＝63
答：貨車每小時行駛63千米。
19．南京到上海相距306千米，快車和慢車分別從這兩地同時出發，相向而行，1.5小時后兩車在途中相遇。已知快車每小時行駛110千米，慢車每小時行駛多少千米？
【答案】94千米
【分析】根據題意可得出等量關系：（快車的速度＋慢車的速度）×相遇時間＝南京到上海的路程，據此列出方程，并求解。
【解答】解：設慢車每小時行駛x千米。
（110＋x）×1.5＝306
（110＋x）×1.5÷1.5＝306÷1.5
110＋x＝204
110＋x－110＝204－110
x＝94
答：慢車每小時行駛94千米。
突破題型六列方程解決相遇問題（求時間）
20．A、B兩地相距615千米，甲、乙兩車同時從兩地出發，相向而行，甲車每小時行60千米，乙車每小時行40千米，幾小時后兩車還相距15千米？
【答案】6小時
【分析】根據“速度×時間＝路程”可得出等量關系：甲車的速度×行駛時間＋乙車的速度×行駛時間＋兩車相距的距離＝A、B兩地的距離，據此列出方程，并求解。
【解答】解：設小時后兩車還相距15千米。
60＋40＋15＝615
100＋15＝615
100＋15－15＝615－15
100＝600
100÷100＝600÷100
＝6
答：6小時后兩車還相距15千米。
21．甲、乙兩人騎摩托車同時從相距190千米的兩個城市出發，相向而行。甲的速度是36千米/時，乙的速度是40千米/時，經過多少小時兩人相遇？（列方程解答）
【答案】2.5小時
【分析】已知兩個城市相距的距離和相向而行的甲、乙兩人騎摩托車的速度，根據“速度和×相遇時間＝路程”，據此列出方程，并求解。
【解答】解：設經過小時相遇。
（36＋40）＝190
76＝190
76÷76＝190÷76
＝2.5
答：經過2.5小時兩人相遇。
22．甲、乙兩隊學生從相距17千米的兩地出發，相向而行。如果甲隊學生每小時走4.5千米，乙隊學生每小時走4千米，兩隊學生多長時間后相遇？
（1）用自己喜歡的方式畫一個示意圖，表示數量關系。
（2）列式解答。
【答案】（1）示意圖見詳解
數量關系：甲隊行駛的路程＋乙隊行駛的路程＝17千米
（2）2小時
【分析】（1）根據題目給出的條件，畫出示意圖。畫一條線段，兩端標注甲隊和乙隊，表示兩地相距17千米，然后兩個箭頭指向對方表示相向而行，分別標出各自的速度。要清楚的表示出甲、乙兩隊的速度和總路程還有相遇點；數量關系是：甲隊行駛的路程＋乙隊行駛的路程＝17千米。
（2）甲隊的速度是每小時4.5千米，乙隊的速度是每小時4千米，兩隊是相向而行，初始距離為17千米。我們設經過 小時兩隊相遇。那么在 小時內，甲隊所走的路程就是甲隊速度乘時間，即4.5 千米；乙隊所走的路程就是乙隊速度乘時間，即4 千米。由于兩隊相遇時，他們所走的路程之和剛好等于兩地的距離17千米。
【解答】（1）根據分析，如下圖所示：
數量關系：甲隊行駛的路程＋乙隊行駛的路程＝17千米
（2）解：設兩隊學生 小時間后相遇。
（4.5＋4） ＝17
8.5 ＝17
8.5 ÷8.5＝17÷8.5
＝2
答：兩隊學生2小時后相遇。
突破題型七列方程解決相遇問題（求距離或路程）
23．一輛客車和一輛貨車分別從、甲、乙兩地同時出發，相向而行，經過6小時相遇。客車每小時行75千米，貨車每小時行60千米，甲、乙兩地相距多少千米？（用方程解答）
【答案】810千米
【分析】路程和÷相遇時間＝速度和，設甲、乙兩地相距x千米，根據速度和－客車速度＝貨車速度，列出方程解答即可。
【解答】解：設甲、乙兩地相距x千米。
x÷6－75＝60
x÷6－75＋75＝60＋75
x÷6＝135
x÷6×6＝135×6
x＝810
答：甲、乙兩地相距810千米。
24．甲、乙兩輛汽車同時從A、B兩地相向開出，甲車每時行60千米，乙車每時行48千米，兩車在離中點30千米處相遇。A、B兩地間的距離是多少千米？
【答案】540千米
【分析】兩車在離中點30千米處相遇，甲車超過中點30千米，乙車沒有到中點30千米，則甲車的路程比乙車的路程多行駛60千米。甲車行駛的路程＝甲車的速度×相遇的時間，乙車行駛的路程＝乙車的速度×相遇的時間。設經過x小時兩車相遇，則數量關系式為：甲車的速度×相遇的時間－乙車的速度×相遇的時間＝60。再根據等式的性質2解方程得出相遇的時間，則A、B兩地間的距離＝甲、乙速度和×相遇時間。
【解答】解：設經過x小時兩車相遇。
60x－48x＝30×2
12x＝60
x＝60÷12
x＝5
（60＋48）×5
＝108×5
＝540（千米）
答：A、B兩地間的距離是540千米。
25．我國元代數學家朱世杰所著的《算學啟蒙》一書中有這樣一道題目：“今有良馬日行二百四十里，駑馬日行一百五十里。駑馬先行一十二日，問良馬幾何追及之？”譯文：“快馬每天走240里，慢馬每天走150里。慢馬先走12天，快馬幾天可以追上慢馬？”
【答案】20天
【分析】根據題意可得出等量關系：（快馬的速度－慢馬的速度）×快馬行走的天數＝慢馬先行的路程，據此列出方程，并求解。
【解答】解：設快馬天可以追上慢馬。
（240－150）＝150×12
90＝1800
＝1800÷90
＝20
答：快馬20天可以追上慢馬。
26．帶著小狗的小明和小兵同時從相距1200米的兩地相向而行，小明每分行55米，小兵每分行65米，小狗每分跑240米。小明的小狗遇到小兵后立即返回向小明這邊跑，遇到小明后再向小兵那邊跑……當小明和小兵相遇時，小狗一共跑了多少米？
【答案】2400米
【分析】根據題意可知，先設小明、小兵x分相遇，結合相遇公式：速度和×相遇時間＝全長，算出他們的相遇時間，再根據速度×時間＝路程這一公式，用相遇時間乘上小狗的速度即可算出答案。
【解答】解：設小明和小兵x分相遇。
（55＋65）x＝1200
120x＝1200
120x÷120＝1200÷120
x＝10
240×10＝2400（米）
答：小狗一共跑了2400米。
突破題型八列方程解復雜的行程問題
27．杭州到紹興的路程是63千米，有甲、乙、丙三人，甲、乙從杭州，丙從紹興同時出發，相向而行，甲、乙、丙三人每小時的速度分別為6.5千米，5.5千米，4.5千米。求出發后經過幾小時，丙在甲、乙的中間。
【答案】6小時
【分析】設出發經過x小時，丙在甲、乙之間；甲x小時行6.5x千米，乙x小時行5.5x千米，丙x小時行4.5x千米；丙在甲、乙中間，用杭州到紹興的路程減去乙和丙行駛的路程和，等于甲比乙多行駛的路程的一半，列方程：63－（5.5x＋4.5x）＝（6.5x－5.5x）÷2，列方程，即可解答。
【解答】解：設出發后經過x小時，丙在甲、乙的中間。
63－（5.5x＋4.5x）＝（6.5x－5.5x）÷2
63－10x＝x÷2
63－10x＝0.5x
10x＋0.5x＝63
10.5x＝63
x＝63÷10.5
x＝6
答：出發后經過6小時，丙在甲、乙的中間。
【點評】本題考查方程的實際的應用，根據三人的速度各不相同，以及行駛的路程，利用三人行駛的路程之間的關系，設出未知數，找出相關的量。列方程，解方程。
突破題型九列方程解復雜的實際問題
28．小明、小勇和小剛一共收集360枚郵票，小明收集的郵票枚數是小勇的3倍，小勇收集的郵票枚數是小剛的2倍，三人各收集了多少枚郵票？
【答案】小明收集了240枚郵票，小勇收集了80枚郵票，小剛收集了40枚郵票。
【分析】設小剛收集的郵票數為枚，小勇是小剛的2倍就是枚，小明是小勇的3倍，，就是枚，由題意可知，小明的郵票枚數＋小勇郵標枚數＋小剛的郵票枚數＝360，據此列方程求解，可得小剛的郵票數，再用小剛的郵票數乘2得小勇的郵票數，最后用小勇的郵票數乘3得小明的郵票數。
【解答】解：設小剛收集的郵票數為枚。
（枚）
（枚）
答：小明收集了240枚郵票，小勇收集了80枚郵票，小剛收集了40枚郵票。
29．某校在慶六一活動中，六年級有41位同學分別參加小品、朗誦、合唱節目（每位同學只參加一個節目），其中參加小品的同學人數與參加朗誦的同學人數之比是2∶3，參加合唱的同學人數是參加朗誦的同學人數的2倍少3人，求參加小品、朗誦、合唱節目的同學各有多少人？
【答案】小品8人；朗誦12人；合唱21人
【分析】根據“參加合唱的同學人數是參加朗誦的同學人數的2倍少3人”，可以設參加朗誦的同學有人，則參加合唱的同學有（2－3）人；
已知參加小品的同學人數與參加朗誦的同學人數之比是2∶3，即參加小品的同學人數是參加朗誦的同學人數的，因為參加朗誦的同學有人，那么參加小品的同學有人。
根據“六年級有41位同學分別參加小品、朗誦、合唱節目”可得出等量關系：參加小品的同學人數＋參加朗誦的同學人數＋參加合唱的同學人數＝參加節目的總人數，據此列出方程，并求解。
【解答】解：設參加朗誦的同學有人，則參加合唱的同學有（2－3）人，參加小品的同學有人。
＋＋2－3＝41
－3＝41
－3＋3＝41＋3
＝44
÷＝44÷
＝44×
＝12
合唱：12×2－3
＝24－3
＝21（人）
小品：12×＝8（人）
答：參加小品的同學有8人，參加朗誦的同學有12人，參加合唱的同學有21人。
30．甲、乙、丙、丁四人手上各有一張寫有一個數的卡片，已知四個數之和是835；若將甲手中卡片上的數減去15，乙卡片上的數加上20，丙卡片上的數增加0.5倍，丁卡片上的數減少一半，則四個數剛好相等。問甲、乙、丙、丁四人手中卡片上的數各是多少？
【答案】195；160；120；360。
【分析】解決幾個未知數的問題，可以通過轉化的方法轉化為一個未知數的問題。
可以設丙數為x，丙卡片上的數增加0.5倍，現在的丙數是原來的（1＋0.5）倍，即現在的丙數是1.5x；最后的四個數的結果是相等的。
即甲數是減去15后為1.5x，則原來的甲數是1.5x加上15；
乙數加上20后為1.5x，則原來的乙數是1.5x減去20；
丁數減少一半，也就是除以2為1.5x，則原來的丙數是1.5x乘2；
最后將四個數都是用x來表示，相加得和是835，解方程得出x，再分別得出其他的數。
【解答】解：設丙手中卡片上的數是x。
甲－15＝1.5x，則甲＝1.5x＋15
乙＋20＝1.5x，則乙＝1.5x－20
丁÷2＝1.5x，則丁＝3x
1.5x＋15＋1.5x－20＋x＋3x＝835
解：1.5x＋1.5x＋3x＋x＋15－20＝835
7x－5＝835
7x＝835＋5
7x＝840
x＝840÷7
x＝120
甲：1.5×120＋15
＝180＋15
＝195
乙：1.5×120－20
＝180－20
＝160
丁：3×120＝360
答：甲、乙、丙、丁手中卡片上的數分別是195、160、120、360。
31．某小區擺放的A（有害垃圾）、B（可回收垃圾）、C（餐廚垃圾）、D（其它垃圾）四個垃圾桶都有顯示重量﹐已知四桶垃圾總重是915千克；經物業保潔再仔細分類，將有害垃圾桶加了15千克，可回收垃圾減去20千克，餐廚垃圾增加0.5倍，其它垃圾減少一半，結果發現四桶垃圾重量剛好相等，問原來A、B、C、D四垃圾桶的重量各是多少？
【答案】A桶180千克、B桶215千克、C桶130千克、D桶390千克
【分析】假設餐廚垃圾有x千克，增加0.5倍后是1.5x千克，則有害垃圾有（1.5x－15）千克，可回收垃圾有（1.5x＋20）千克，其它垃圾有（1.5x×2）千克，由于“有害垃圾＋可回收垃圾＋餐廚垃圾＋其它垃圾＝915千克”，根據等量關系式列方程即可解答。
【解答】解：設C桶重量的數是x千克，則A桶重量為（1.5x－15）千克，可回收垃圾有（1.5x＋20）千克，其它垃圾有（1.5x×2）千克。
1.5x－15＋1.5x＋20＋x＋1.5x×2＝915
4x＋3x＋5＝915
7x＝910
x＝130
1.5×130－15
＝195－15
＝180（千克）
1.5×130＋20
＝195＋20
＝215（千克）
1.5×130×2
＝195×2
＝390（千克）
答：A、B、C、D桶的重量分別是180千克、215千克、130千克、390千克。
【點評】分析清楚A桶、B桶、D桶與C桶之間的關系，找出等量關系是解答本題的關鍵。
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21世紀教育網(www.21cnjy.com)2024-2025學年五年級下冊數學易錯題型
第七單元 用方程解決問題
本專題為單元易錯講義，包含三大內容：
1、易錯知識點：梳理易錯知識點，讓學生明確清晰哪些容易易錯。
2、易錯點剖析：剖析常考易錯點，例證講解。
3、易錯題突破：針對常考點進行易錯題匯編突破。
目錄
第一部分：五大易錯知識點 3
第二部分：三大常考易錯點 3
易錯點一：不理解題意,找錯等量關系,導致列出錯誤的方程。 3
易錯點二：解形如““ax±x=6”類型的方程合并含有x項時出錯。 4
易錯點三：整理合并含x項時,運算錯誤。（尤其出現在解決相遇問題中） 4
第三部分：九大易錯題突破 4
突破題型一列方程解決和差倍問題 4
突破題型二列方程解決年齡問題 5
突破題型三列方程解決含有一個未知數的問題 7
突破題型四列方程解決含有兩個未知數的問題 8
突破題型五列方程解決相遇問題（求速度） 9
突破題型六列方程解決相遇問題（求時間） 9
突破題型七列方程解決相遇問題（求距離或路程） 10
突破題型八列方程解復雜的行程問題 11
突破題型九列方程解復雜的實際問題 11
1、列方程解決問題時，得數后面不能寫名數。
2、不能正確運用等式的性質解方程。解方程時,應該在等式的兩邊同時加上一個數或者減去一個數,不能一邊加一個數另一邊減這個數。
3、x應看作1x，根據乘法分配律ax±x=(a±1)x。
4、只有兩個量都含有x時，才能利用乘法分配律來解方程。
5、在利用方程解決問題時,沒有明確方程中各個部分數量之間的關系。
列方程解決實際問題,要先用字母表示未知數,再根據題目中數量之間的關系,列出一個含有未知數的等式。在解決“和差”“和倍”或“差倍”問題時,常把其中一個量設為工,或把兩個量設為,從而導致錯誤。解決此類問題,一般要把作為標準量的未知數設為,用含有x的式子表示另一個未知量。
易錯點一：不理解題意,找錯等量關系,導致列出錯誤的方程。
已知雞和兔的數量相同,兩種動物的腳加起來共有48只。雞和兔各有多少只
【錯誤答案】
解:設雞有x只,則兔也有2x只。
2x+8x=48
10x=48
X=4.8
答:雞有4.8只,兔有9.6只。
【錯解分析】題中的等量關系:雞的腳數+兔的腳數=48只。設雞和兔均有x只，一只雞有2只腳,雞的腳數應為2x只;一只兔有4只腳,兔的腳數就應為4x只。列出方程為2x十4x=48。本題錯在找錯數量關系。
【正確答案】
解:設雞有x只,則兔也有x只。
2x+4x=48
6x=48
X=8
答:雞有8只,兔有8只。
易錯點二：解形如““ax±x=6”類型的方程合并含有x項時出錯。
解方程：3x+x=18
【錯誤答案】3x+x=18
3x=18
x=6
【錯解分析】我們在解形如“ax±x=b”類型的方程時,要把含有x的項合并在一起,這里3x+合并后為4x,不要誤認為x是0個“x”,應為1個“x”。
【正確答案】3x+x=18
4x=18
x=4.5
易錯點三：整理合并含x項時,運算錯誤。（尤其出現在解決相遇問題中）
計算:7x-36=3x
【錯誤答案】
解:7x+3x =36
10x=36
x=3.6
【錯解分析】此題錯在沒有掌握等式中各部分數量之間的關系。可運用等式的性質進行整理解答。
【正確答案】
解:7x-36-3x+36=3x-3x+36
4x=36
x=9
突破題型一列方程解決和差倍問題
1．購買一套桌椅需要224元，一張桌子的價格是一把椅子的3倍。一把椅子多少元？
2．水果店運進蘋果和香蕉共250千克，蘋果的質量是香蕉的1.5倍。運進蘋果和香蕉各多少千克？（列方程解決問題）
3．公園里有菊花和月季花一共560盆，菊花的盆數是月季花的7倍。那么月季花有多少盆？（用方程解答）
4．樂樂家養白兔、灰兔共300只，灰兔比白兔少8只，樂樂家養的白兔、灰兔各有多少只？（用方程解決問題）
突破題型二列方程解決年齡問題
5．小聰今年多少歲？
6．用方程解決問題：淘氣和智慧老人今年分別多少歲？（請先畫出線段圖，寫出等量關系，再用方程解答）
7．媽媽的年齡比小麗年齡的3倍多4歲，媽媽今年37歲，小麗今年幾歲？（畫線段圖分析題中數量關系，用算術和方程兩種方法解答）
8．小明和媽媽今年分別多少歲？（用方程解答）
突破題型三列方程解決含有一個未知數的問題
9．光的速度是30萬千米/秒，相當于1秒繞地球赤道約7圈還多2萬千米。地球赤道的周長大約多少萬千米？
10．將下題中的等量關系表示出來，再列方程解決問題。
世界上體重最輕的鳥是蜂鳥。一只蜂鳥重2.1克，一只麻雀的體重減少1克，剛好是這只蜂鳥的50倍。這只麻雀重多少克？
11．某小學學生參加植樹活動，六年級植樹168棵，比五年級植樹棵數的3倍多72棵。五年級植樹多少棵？（列方程解答）
12．六一兒童節這天，中一班的王老師買來了一袋糖果準備分給小朋友們。如果每名小朋友分4個，那么還剩10個；如果每名小朋友分5個，那么就差5個。有多少名小朋友？
突破題型四列方程解決含有兩個未知數的問題
13．學校購買防疫口罩和消毒液共花2.45萬元，口罩的錢是消毒液的2.5倍，口罩和消毒液各花了多少錢？（用方程解）
14．依依去文具店買了一個日記本和一支新款鋼筆，共花了20.4元。鋼筆的價錢正好是日記本的3倍。依依買的日記本和鋼筆分別是多少元？
15．原來甲桶水比乙桶水多24千克，甲桶水用去8千克、乙桶水用去2千克后，甲桶水的質量是乙桶水的1.5倍，原來兩桶水各重多少千克？
16．有A、B兩個無水的長方體容器，A容器底面是邊長3厘米的正方形，B容器底面長是5厘米，寬3厘米。現在向這兩個容器中注入同樣多的水后，水面高度相差5厘米（水均無溢出）。這時A容器水面高度是多少厘米？
突破題型五列方程解決相遇問題（求速度）
17．成都與重慶相距300千米，一輛貨車從成都開往重慶，一輛轎車從重慶開往成都，貨車每時行駛60千米，2時后，兩車相距30千米，轎車每時行駛多少千米？
18．甲、乙兩地相距540千米，一輛貨車和一輛客車同時從兩地相對開出，3小時后兩車還相距135千米（未相遇）。已知客車每小時行駛72千米，貨車每小時行駛多少千米？（用方程解答）
19．南京到上海相距306千米，快車和慢車分別從這兩地同時出發，相向而行，1.5小時后兩車在途中相遇。已知快車每小時行駛110千米，慢車每小時行駛多少千米？
突破題型六列方程解決相遇問題（求時間）
20．A、B兩地相距615千米，甲、乙兩車同時從兩地出發，相向而行，甲車每小時行60千米，乙車每小時行40千米，幾小時后兩車還相距15千米？
21．甲、乙兩人騎摩托車同時從相距190千米的兩個城市出發，相向而行。甲的速度是36千米/時，乙的速度是40千米/時，經過多少小時兩人相遇？（列方程解答）
22．甲、乙兩隊學生從相距17千米的兩地出發，相向而行。如果甲隊學生每小時走4.5千米，乙隊學生每小時走4千米，兩隊學生多長時間后相遇？
（1）用自己喜歡的方式畫一個示意圖，表示數量關系。
（2）列式解答。
突破題型七列方程解決相遇問題（求距離或路程）
23．一輛客車和一輛貨車分別從、甲、乙兩地同時出發，相向而行，經過6小時相遇。客車每小時行75千米，貨車每小時行60千米，甲、乙兩地相距多少千米？（用方程解答）
24．甲、乙兩輛汽車同時從A、B兩地相向開出，甲車每時行60千米，乙車每時行48千米，兩車在離中點30千米處相遇。A、B兩地間的距離是多少千米？
25．我國元代數學家朱世杰所著的《算學啟蒙》一書中有這樣一道題目：“今有良馬日行二百四十里，駑馬日行一百五十里。駑馬先行一十二日，問良馬幾何追及之？”譯文：“快馬每天走240里，慢馬每天走150里。慢馬先走12天，快馬幾天可以追上慢馬？”
26．帶著小狗的小明和小兵同時從相距1200米的兩地相向而行，小明每分行55米，小兵每分行65米，小狗每分跑240米。小明的小狗遇到小兵后立即返回向小明這邊跑，遇到小明后再向小兵那邊跑……當小明和小兵相遇時，小狗一共跑了多少米？
突破題型八列方程解復雜的行程問題
27．杭州到紹興的路程是63千米，有甲、乙、丙三人，甲、乙從杭州，丙從紹興同時出發，相向而行，甲、乙、丙三人每小時的速度分別為6.5千米，5.5千米，4.5千米。求出發后經過幾小時，丙在甲、乙的中間。
突破題型九列方程解復雜的實際問題
28．小明、小勇和小剛一共收集360枚郵票，小明收集的郵票枚數是小勇的3倍，小勇收集的郵票枚數是小剛的2倍，三人各收集了多少枚郵票？
29．某校在慶六一活動中，六年級有41位同學分別參加小品、朗誦、合唱節目（每位同學只參加一個節目），其中參加小品的同學人數與參加朗誦的同學人數之比是2∶3，參加合唱的同學人數是參加朗誦的同學人數的2倍少3人，求參加小品、朗誦、合唱節目的同學各有多少人？
30．甲、乙、丙、丁四人手上各有一張寫有一個數的卡片，已知四個數之和是835；若將甲手中卡片上的數減去15，乙卡片上的數加上20，丙卡片上的數增加0.5倍，丁卡片上的數減少一半，則四個數剛好相等。問甲、乙、丙、丁四人手中卡片上的數各是多少？
31．某小區擺放的A（有害垃圾）、B（可回收垃圾）、C（餐廚垃圾）、D（其它垃圾）四個垃圾桶都有顯示重量﹐已知四桶垃圾總重是915千克；經物業保潔再仔細分類，將有害垃圾桶加了15千克，可回收垃圾減去20千克，餐廚垃圾增加0.5倍，其它垃圾減少一半，結果發現四桶垃圾重量剛好相等，問原來A、B、C、D四垃圾桶的重量各是多少？
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