資源簡介

2024-2025學(xué)年四年級下冊數(shù)學(xué)易錯題型
第九單元 數(shù)學(xué)廣角—雞兔同籠
（知識梳理+典例精講+培優(yōu)必刷）
【知識點一】雞兔同籠
1、在數(shù)學(xué)中已知雞、兔的總頭數(shù)及總足數(shù),求雞、兔各幾只”的這類問題叫做“雞兔同籠”問題。
2、解決“雞兔同籠”問題，可以用列表法、假設(shè)法等多種方法。用列表法解決問題時既簡單又清楚；用假設(shè)法解決問題時要經(jīng)歷“假設(shè)→計算→推理→解答”的過程。當(dāng)題中數(shù)據(jù)較大，不易采用列表法時，用假設(shè)法解決問題比較簡便。
3、在用列表法解決“雞兔同籠”問題時，列舉時一定要有順序。
4、“雞兔同籠”問題采用假設(shè)法來解決時，可用下面的公式。
（1）（總足數(shù)-雞足數(shù)×總頭數(shù)）÷兔雞足數(shù)差=兔數(shù)
總頭數(shù)-兔數(shù)=雞數(shù)；
②（兔足數(shù)×總頭數(shù)-總足數(shù)）÷兔雞足數(shù)差=雞數(shù)
總頭數(shù)-雞數(shù)=兔數(shù)。
【考點一】列表法解決雞兔同籠問題
【典例一】某小學(xué)優(yōu)秀學(xué)生干部參加“暑期夏令營”活動，共入住11間“四人房”和“八人房”，且都住滿。王明用列表法嘗試求解，那么四人房有( )間，八人房有( )間。
【答案】6 5
【分析】一共有（52＋12）人，四人房和八人房一共11間。四人房間數(shù)乘4可以算出四人房住了多少人，八人房間數(shù)乘8可以算出八人房住了多少人，四人房住的人數(shù)加上八人房住的人數(shù)，即可算出一共住了多少人。據(jù)此列表算出各種住宿方案，再進一步解答。
【解答】52＋12＝64（人）
四人房/間 八人房/間 總?cè)藬?shù)/人
11 0 11×4＝44
10 1 10×4＋8 ＝40＋8 ＝48
9 2 9×4＋8×2 ＝36＋16 ＝52
8 3 8×4＋3×8 ＝32＋24 ＝56
7 4 7×4＋4×8 ＝28＋32 ＝60
6 5 6×4＋8×5 ＝24＋40 ＝64
5 6 5×4＋6×8 ＝20＋48 ＝68
4 7 4×4＋7×8 ＝16＋56 ＝72
3 8 3×4＋8×8 ＝12＋64 ＝76
2 9 2×4＋9×8 ＝8＋72 ＝80
1 10 4＋10×8 ＝4＋80 ＝84
0 11 11×8＝88
某小學(xué)優(yōu)秀學(xué)生干部參加“暑期夏令營”活動，共入住11間四人房和八人房，且都住滿。王明用列表法嘗試求解，那么四人房有6間，八人房有5間。
【典例二】新學(xué)期開學(xué)，學(xué)校門口停有自行車和三輪車共20輛，共有47個輪子，自行車有( )輛，三輪車有( )輛。
【答案】13 7
【分析】根據(jù)雞兔同籠的問題，假設(shè)所有的都是自行車，自行車有2個輪子，則一共有20×2＝40（個）輪子，比實際47個輪子少。因為三輪車是3個輪子，每把一輛三輪車看成一輛自行車就少了1個輪子。所以用少的數(shù)量÷1即為三輪車的數(shù)量，再用總輛數(shù)減去三輪車的數(shù)量即為自行車的數(shù)量。
也可以用列表法解決這個問題，因為自行車和三輪車都有，所以從自行車19輛，三輪車1輛開始列舉，算出每次的車輪子總數(shù)，一直列舉到車輪子總數(shù)是47個。據(jù)此也可以解答。
【解答】20×2＝40（個）
3－2＝1（個）
47－40＝7（個）
7÷1＝7（輛）
20－7＝13（輛）
列表法：
自行車 19 18 17 16 15 14 13
三輪車 1 2 3 4 5 6 7
車輪數(shù) 41 42 43 44 45 46 47
所以，自行車有13輛，三輪車有7輛。
【典例三】籠子里共有24只雞和兔，一共70只腳。雞有 只，兔有 只。列表記錄過程。
雞
兔
腳
【答案】13；11；
表格見詳解
【分析】一只雞有2只腳，一只兔子有4只腳，雞腳的總只數(shù)加上兔子的總只數(shù)的和是70，可假設(shè)雞有1只，則兔有23只，腳的只數(shù)就是2＋23×4＝94（只）；然后把雞的只數(shù)遞增，兔的只數(shù)遞減，依次求得腳的只數(shù)；據(jù)此利用列表法確定出雞和兔子的只數(shù)即可。
【解答】根據(jù)分析，列表記錄過程如下：
觀察圖表可知，籠子里共有24只雞和兔，一共70只腳。雞有13只，兔有11只。
【考點二】假設(shè)法解決雞兔同籠問題
【典例一】參加某會議的30個人被安排在同一個賓館里，11個房間（3人間和2人間）剛好住滿。他們住了( )個3人間，有( )人住在2人間。
【答案】8 6
【分析】假設(shè)全是3人間，則應(yīng)有（11×3）人，比實際人數(shù)30人多了（11×3－30）人；因為1間3人間比1間2人間多（3－2）人，那么（11×3－30）里有幾個（3－2），就有幾個2人間，再用房間總數(shù)減去2人間的數(shù)量，即是3人間的數(shù)量；然后用2人間的數(shù)量乘2，求出住2人間的人數(shù)。
【解答】假設(shè)全住3人間，則2人間有：
（11×3－30）÷（3－2）
＝（33－30）÷1
＝3÷1
＝3（個）
3人間有：11－3＝8（個）
住2人間的有：2×3＝6（人）
他們住了8個3人間，有6人住在2人間。
【典例二】籃球比賽中，3分線外投中一球記3分，3分線內(nèi)投中一球記2分。在一場比賽中李明投了14個球，進了8個，沒有罰球，總共得了19分。李明在這場比賽中投進( )個3分球。
【答案】3
【分析】假設(shè)全是2分球，應(yīng)該得8×2分，實際多了（19－8×2）分，因為每個三分球都少算了（3－2）分，進而求出3分球的數(shù)量。以此答題即可。
【解答】假設(shè)全是2分球
（19－8×2）÷（3－2）
＝（19－16）÷（3－2）
＝3÷1
＝3（個）
籃球比賽中，3分線外投中一球記3分，3分線內(nèi)投中一球記2分。在一場比賽中李明投了14個球，進了8個，沒有罰球，總共得了19分。李明在這場比賽中投進3個3分球。
【典例三】絕句是中國傳統(tǒng)詩歌體裁之一，常見的有五言絕句和七言絕句，五言絕句全詩四句，每句五個字，共20個字；七言絕句全詩四句，每句七個字，共28個字。樂樂在詩集本上抄錄了五言絕句和七言絕句共8首，總字?jǐn)?shù)是176個字（不含題目）。那么樂樂抄錄了( )首五言絕句，( )首七言絕句。
【答案】6 2
【分析】根據(jù)雞兔同籠問題，假設(shè)8首都是五言絕句，則應(yīng)該有（20×8）個字，比實際的字?jǐn)?shù)少，因為一首七言絕句比一首五言絕句多（28－20）個字，用實際的字?jǐn)?shù)減去應(yīng)該有的字?jǐn)?shù)，再除以一首七言絕句比一首五言絕句多的字?jǐn)?shù)，即可求出抄錄了多少首七言絕句；用8減去七言絕句的首數(shù)，即可求出有多少首五言絕句。
【解答】（176－20×8）÷（28－20）
＝（176－160）÷（28－20）
＝16÷8
＝2（首）
8－2＝6（首）
絕句是中國傳統(tǒng)詩歌體裁之一，常見的有五言絕句和七言絕句，五言絕句全詩四句，每句五個字，共20個字；七言絕句全詩四句，每句七個字，共28個字。樂樂在詩集本上抄錄了五言絕句和七言絕句共8首，總字?jǐn)?shù)是176個字（不含題目）。那么樂樂抄錄了6首五言絕句，2首七言絕句。
一、填空題
1．學(xué)校舉辦知識搶答比賽，比賽規(guī)則答對一題加5分，答錯一題扣3分，小丁得了60分，他答對了15題，答錯（ ）題。
【答案】5
【分析】根據(jù)題意，已知比賽規(guī)則答對一題加5分，答錯一題扣3分，小丁得了60分。他答對了15題，15×5＝75（分），計算實際得分與總分之差：75－60＝15（分）（即被扣了15分）。每答錯一題扣3分，所以答錯題數(shù)為15÷3＝5（題）。以此答題即可。
【解答】根據(jù)分析可知：
15×5＝75（分）
75－60＝15（分）
15÷3＝5（題）
學(xué)校舉辦知識搶答比賽，比賽規(guī)則答對一題加5分，答錯一題扣3分，小丁得了60分，他答對了15題，答錯5題。
2．籃球比賽中，3分線外投中一球記3分，3分線內(nèi)投中一球記2分。在一場比賽中李明投了14個球，進了8個，沒有罰球，總共得了19分。李明在這場比賽中投進（ ）個3分球。
【答案】3
【分析】假設(shè)全是2分球，應(yīng)該得8×2分，實際多了（19－8×2）分，因為每個三分球都少算了（3－2）分，進而求出3分球的數(shù)量。以此答題即可。
【解答】假設(shè)全是2分球
（19－8×2）÷（3－2）
＝（19－16）÷（3－2）
＝3÷1
＝3（個）
籃球比賽中，3分線外投中一球記3分，3分線內(nèi)投中一球記2分。在一場比賽中李明投了14個球，進了8個，沒有罰球，總共得了19分。李明在這場比賽中投進3個3分球。
3．絕句是中國傳統(tǒng)詩歌體裁之一，常見的有五言絕句和七言絕句，五言絕句全詩四句，每句五個字，共20個字；七言絕句全詩四句，每句七個字，共28個字。樂樂在詩集本上抄錄了五言絕句和七言絕句共8首，總字?jǐn)?shù)是176個字（不含題目）。那么樂樂抄錄了（ ）首五言絕句，（ ）首七言絕句。
【答案】6 2
【分析】根據(jù)雞兔同籠問題，假設(shè)8首都是五言絕句，則應(yīng)該有（20×8）個字，比實際的字?jǐn)?shù)少，因為一首七言絕句比一首五言絕句多（28－20）個字，用實際的字?jǐn)?shù)減去應(yīng)該有的字?jǐn)?shù)，再除以一首七言絕句比一首五言絕句多的字?jǐn)?shù)，即可求出抄錄了多少首七言絕句；用8減去七言絕句的首數(shù)，即可求出有多少首五言絕句。
【解答】（176－20×8）÷（28－20）
＝（176－160）÷（28－20）
＝16÷8
＝2（首）
8－2＝6（首）
絕句是中國傳統(tǒng)詩歌體裁之一，常見的有五言絕句和七言絕句，五言絕句全詩四句，每句五個字，共20個字；七言絕句全詩四句，每句七個字，共28個字。樂樂在詩集本上抄錄了五言絕句和七言絕句共8首，總字?jǐn)?shù)是176個字（不含題目）。那么樂樂抄錄了6首五言絕句，2首七言絕句。
4．荊州市大力提倡綠色出行，新能源共享汽車和共享單車因此受到廣大市民的喜愛。沙北新區(qū)某便民停車點停著40輛共享汽車和共享單車，總共112個車輪。這個停車點有共享汽車（ ）輛，共享單車（ ）輛。
【答案】16 24
【分析】假設(shè)40輛車都是共享汽車，計算出40輛汽車的輪子數(shù)，它比實際多出的輪子就是把共享單車看作共享汽車而多出的輪子，一輛共享單車看作共享汽車多出4－2＝2（個）輪子，多出的輪子數(shù)除以2即等于共享單車的輛數(shù)，40減去共享單車的輛數(shù)即等于共享汽車的輛數(shù)，據(jù)此即可解答。
【解答】（40×4－112）÷（4－2）
＝（160－112）÷2
＝48÷2
＝24（輛）
40－24＝16（輛）
因此這個停車場共享汽車有16輛；共享單車有24輛。
5．四（1）班43名學(xué)生參加植樹活動，種樹的同學(xué)每4人一組，澆水的同學(xué)每3人一組，正好分成12組。參加種樹的同學(xué)有（ ）人，參加澆水的同學(xué)有（ ）人。
【答案】28 15
【分析】假設(shè)12組全是種樹的，每4人一組，共需12×4＝48（人），實際只有43人，多了48－43＝5（人），而每組種樹的人數(shù)比每組澆水人數(shù)多4－3＝1（人），那么澆水的有5÷1＝5（組），種樹的有12－5＝7（組），則種樹人數(shù)7×4＝28（人），澆水人數(shù)：3×5＝15（人）。
【解答】假設(shè)12組全是種樹的人。
12×4＝48（人）
48－43＝5（人）
4－3＝1（人）
5÷1＝5（組）
3×5＝15（人）
12－5＝7（組）
7×4＝28（人）
四（1）班43名學(xué)生參加植樹活動，種樹的同學(xué)每4人一組，澆水的同學(xué)每3人一組，正好分成12組。參加種樹的同學(xué)有28人，參加澆水的同學(xué)有15人。
6．小英買來3元一瓶的礦泉水和5元一瓶的礦泉水共12瓶，共花48元。3元的礦泉水買了（ ）瓶，5元的礦泉水買了（ ）瓶。
【答案】6 6
【分析】假設(shè)小英買的都是3元一瓶的礦泉水，根據(jù)單價×數(shù)量＝總價，算出12瓶應(yīng)該需要36元。比原來少花了12（48－36）元。那是因為把5元一瓶看成3元一瓶，每瓶少看了2（5－3）元。看看12元里面有幾個2元，就是把幾瓶5元看成了3元。再用12減去5元礦泉水的瓶數(shù)就是3元礦泉水的瓶數(shù)。
另一種解法：用列表法，從3元礦泉水有1瓶、5元礦泉水有11瓶。分別算出買3元和5元的一共多少錢，再相加看看結(jié)果是不是48元。這樣依次計算，直到總價是48元。
【解答】3×12＝36（元）
48－36＝12（元）
5－3＝2（元）
12÷2＝6（瓶）
12－6＝6（瓶）
另一種解法：
3元 1瓶 2瓶 3瓶 4瓶 5瓶 6瓶
5元 11瓶 10瓶 9瓶 8瓶 7瓶 6瓶
合計 3＋11×5 ＝3＋55 ＝58元 2×3＋10×5 ＝6＋50 ＝56元 3×3＋9×5 ＝9＋45 ＝54元 3×4＋8×5 ＝12＋40 ＝52元 5×3＋7×5 ＝15＋35 ＝50元 6×3＋5×6 ＝18＋30 ＝48元
所以，3元的礦泉水買了6瓶，5元的礦泉水買了6瓶。
7．學(xué)校有象棋、跳棋共26副，2人下一副象棋，6人下一副跳棋，恰巧可供108人同時進行下棋活動。象棋有（ ）副，跳棋有（ ）副。
【答案】12 14
【分析】假設(shè)全是象棋，則有20×26＝52人，這樣就少（108－52）人，因為一副跳棋比一副象棋少算了（6－2）人，即跳棋有（108－52）÷（6－2）副；進而求出象棋的副數(shù)。
【解答】假設(shè)全是象棋，則下棋只需要：20×26＝52（人）
那么跳棋有：
（108－52）÷（6－2）
＝56÷4
＝14（副）
象棋有：26－14＝12（副）
象棋有12副，跳棋有14副。
8．解放軍叔叔進行徒步訓(xùn)練，晴天每天行20千米，雨天每天行15千米，5天一共行了90千米，這期間有（ ）天是雨天。
【答案】2
【分析】根據(jù)用假設(shè)法解決雞兔同籠問題的方法，假設(shè)5天全是晴天，則一共應(yīng)行20×5＝100（ 千米），比實際多行了100－90＝10（千米），因為把雨天看作晴天，每個雨天多行了20－15＝5（千米），用一共多行的千米數(shù)10除以每個雨天多行的千米數(shù)5，則得到雨天的天數(shù)。據(jù)此解答。
【解答】（20×5－90）÷（20－15）
＝（100－90）÷5
＝10÷5
＝2（天）
所以，這期間有2天是雨天。
9．同學(xué)們在用小棒搭正三角形和正五邊形，他們用126根小棒搭了30個圖形（如下圖），正三角形搭了（ ）個，正五邊形搭了（ ）個。
【答案】12 18
【分析】假設(shè)都是正五邊形，搭一個正五邊形用5根小棒，則共有30×5＝150根小棒，實際比假設(shè)少了：150－126＝24根，搭一個正三角形用3根小棒，一個正三角形比一個正五邊形少（5－3）根小棒，所以正三角形有24÷（5－3）個，再用搭的圖形總個數(shù)減去三角形的個數(shù)，即正五邊形數(shù)量＝30－三角形的個數(shù)，據(jù)此解答即可。
【解答】正三角形：
30×5－126
＝150－126
＝24（根）
一個正三角形比一個正五邊形少（5－3）根小棒，
24÷（5－3）
＝24÷2
＝12（個）
正五邊形：30－12＝18（個）
同學(xué)們在用小棒搭正三角形和正五邊形，他們用126根小棒搭了30個圖形，正三角形搭了12個，正五邊形搭了18個。
10．投壺是我國古代的一種把箭向壺里投的游戲，也是一種禮儀。游戲規(guī)定：投入壺口得2分、投入壺耳得3分。明明一共投進12支，總分28分，有（ ）支投入壺口，有（ ）支投入壺耳。
【答案】8 4
【分析】首先假設(shè)12支都是投入壺耳，然后通過比較投入壺口和投入壺耳的分?jǐn)?shù)差，求出投入壺口的支數(shù)，最后用總支數(shù)減去投入壺口的支數(shù)，得到投入壺耳的支數(shù)。
【解答】第一步：假設(shè)12支都是投入壺耳，計算出總分；
（分）
第二步：計算出總分比實際的多了多少；
（分）
第三步：計算出投入壺口的支數(shù)；
（支）
第四步：計算出投入壺耳的支數(shù)。
（支）
所以有8支投入壺口，有4支投入壺耳。
二、判斷題
11．龜和鶴共10只，共有30條腿，則龜、鶴數(shù)量一定相等。（ ）
【答案】√
【分析】假設(shè)全部是龜，有10×4＝40（只）腳，已知比假設(shè)少了：40－30＝10（只），一只鶴比一只龜少（4－2）只腳，所以鶴有：10÷（4－2）＝5（只）；龜有：10－5＝5（只），據(jù)此判斷。
【解答】（10×4－30）÷（4－2）
＝（40－30）÷2
＝10÷2
＝5（只）
10－5＝5（只）
5＝5
所以龜和鶴共10只，共有30條腿，則龜、鶴數(shù)量一定相等，是正確的。
故答案為：√
12．2元和5元的人民幣共9張，合計33元。2元的人民幣有3張。（ ）
【答案】×
【分析】假設(shè)都是5元的人民幣，則有5×9＝45（元），比實際多45－33＝12元，一張2元人民幣看作5元人民幣就多5－2＝3（元），2元人民幣有12÷3＝4（張），據(jù)此即可解答。
【解答】假設(shè)都是5元的，則2元的張數(shù)為：
（9×5－33）÷（5－2）
＝（45－33）－3
＝12÷3
＝4（張）
5元的張數(shù)為：9－4＝5（張）
所以2元的4張，5元的5張。原題說法錯誤。
故答案為：×
13．老師買了價格分別是3元和5元的兩種筆記本共20本，用來獎勵進步較大的同學(xué)，共用去78元。那么3元的筆記本買了9本，5元的筆記本買了11本。（ ）
【答案】×
【分析】假設(shè)買的全部是5元的筆記本，要用去：5×20＝100（元），比實際用去的多：100－78＝22（元），是因為我們把每本3元的當(dāng)作了5元的，每本多算了5－3＝2（元），所以可以求出3元的本數(shù)：22÷2＝11（本），那么5元的本數(shù)是：20－11＝9（本），據(jù)此解答。
【解答】假設(shè)買的全部是5元的筆記本，則3元的筆記本有：
（5×20－78）÷（5－3）
＝（100－78）÷2
＝22÷2
＝11（本）
20－11＝9（本）
那么3元的筆記本買了11本，5元的筆記本買了9本，所以原題的說法錯誤。
故答案為：×
【點評】此題屬于雞兔同籠問題，解答這類題的關(guān)鍵是用假設(shè)法進行分析，進而得出結(jié)論。
14．一次數(shù)學(xué)競賽有20道題，對1題得5分，錯1題倒扣3分，小強全做了，只得60分，他答對了15道題。（ ）
【答案】√
【分析】假設(shè)20道題全做對，則得20×5＝100分，這樣就少得100－60＝40分；最錯一題比做對一題少5＋3＝8分，也就是做錯40÷8＝5道題，則做對的是20－5＝15道。
【解答】答錯的是：
（20×5－60）÷（3＋5）
＝40÷8
＝5（道）
20－5＝15（道）
所以，他做對了15道題。
故答案：√
【點評】此題考查的是雞兔同籠問題，解決雞兔同籠問題往往用假設(shè)法解答，有些應(yīng)用題中有兩個或兩個以上的未知量，思考問題時，可以假設(shè)要求的兩個或兩個以上的未知量相等，或假設(shè)它們?yōu)橥环N量，然后按照題中的已知條件進行推算，如果數(shù)量上出現(xiàn)矛盾，可適當(dāng)調(diào)整，以求出正確的結(jié)果。
15．某賓館有3人間和2人間共20間，總共可以住46人，則賓館有3人間6間。（ ）
【答案】√
【分析】假設(shè)全是2人房，則一共可以住2×20＝40人，這比已知的46人少出了46－40＝6人，因為一間3人房比1間2人房多3－2＝1人；所以3人間一共有6÷1＝6間，據(jù)此解答即可。
【解答】（46－2×20）÷（3－2）
＝6÷1
＝6（間）
即3人間有6間，所以判斷正確。
【點評】此題屬于典型的雞兔同籠問題，解答此類題的關(guān)鍵是用假設(shè)法進行分析比較，進而得出結(jié)論；也可以用方程，設(shè)其中的一個數(shù)為未知數(shù)，另一個數(shù)也用未知數(shù)表示，列出方程解答即可。
三、選擇題
16．車棚里有自行車和三輪車共12輛，共有32個輪子，自行車有（ ）輛。
A．4 B．8 C．6 D．10
【答案】A
【分析】根據(jù)題意，假設(shè)全是三輪車，結(jié)合三輪車有3個輪子，利用乘法計算出三輪車的輪子數(shù)，用減法求出比已知輪子多的個數(shù)； 多出的輪子是由于1輛三輪車比1輛自行車多（3－2）個輪子造成的，用多的輪子數(shù)除以（3－2）求出自行車的輛數(shù)； 列式計算即可。
【解答】根據(jù)分析可知：
（3×12－32）÷（3－2）
＝（36－32）÷1
＝4÷1
＝4（輛）
車棚里有自行車和三輪車共12輛，共有32個輪子，自行車有4輛。
故答案為：A
17．元旦慶典上，16名同學(xué)折千紙鶴裝扮舞臺，共折了86只，每名女同學(xué)折6只，每名男同學(xué)折4只，折千紙鶴的男同學(xué)有（ ）人。
A．3 B．5 C．7 D．9
【答案】B
【分析】本題是雞兔同籠類問題，可以用假設(shè)法來解決。假設(shè)16名同學(xué)全是女同學(xué)，那么一共可以折：16×6＝96（只）千紙鶴，比實際的86只多了：96－86＝10（只）。每把一名女同學(xué)換成男同學(xué)，折的千紙鶴數(shù)量就會減少：6－4＝2（只），直接用10除以2即可算出男生的人數(shù)；據(jù)此解答。
【解答】根據(jù)分析：
假設(shè)16名同學(xué)全是女同學(xué)
16×6＝96（只）
96－86＝10（只）
則男同學(xué)有：10÷2＝5（人）
即折千紙鶴的男同學(xué)有5人。
故答案為：B
18．用氣槍打球的游戲規(guī)則是：打中一個得5分，未打中扣2分。小明打了20槍，共得51分。他打中了（ ）槍。
A．13 B．14 C．15 D．16
【答案】A
【分析】假設(shè)20槍全打中，則應(yīng)得分5×20分，比實際多5×20－51分；未打中一個比打中一個少得5＋2分，所以用比實際多得的分?jǐn)?shù)除以未打中一個比打中一個少得的分?jǐn)?shù)，就是未打中的槍數(shù)，再用打的總槍數(shù)減去未打中的槍數(shù)，就是打中的槍數(shù)。
【解答】（5×20－51）÷（5＋2）
＝（100－51）÷（5＋2）
＝49÷（5＋2）
＝49÷7
＝7（槍）
20－7＝13（槍）
用氣槍打球的游戲規(guī)則是：打中一個得5分，未打中扣2分。小明打了20槍，共得51分。他打中了13槍。
故答案為：A
19．四（3）班購買筆記本和圓珠筆作為獎品，筆記本每本8元，圓珠筆每支2元，筆記本和圓珠筆的數(shù)量之和為16，一共花了68元，筆記本買了（ ）本。
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【分析】首先假設(shè)買的獎品都是筆記本，然后通過比較筆記本和圓珠筆的價格差，求出圓珠筆的數(shù)量，最后用總數(shù)量減去圓珠筆的數(shù)量，得到筆記本的數(shù)量。
【解答】第一步：假設(shè)買的獎品都是筆記本，計算出花的總價錢；
（元）
第二步：計算出總價錢比實際的多了多少；
（元）
第三步：計算出圓珠筆的數(shù)量；
（支）
第四步：計算出筆記本的數(shù)量；
（本）
所以筆記本買了6本。
故答案為：B
20．文具商店今天上午賣出9元一支的鋼筆和7元一支的毛筆共24支，收入198元，兩種筆各賣了多少支？（ ）
A．鋼筆賣了9支，毛筆賣了15支。 B．鋼筆賣了15支，毛筆賣了9支。
C．鋼筆賣了16支，毛筆賣了8支。 D．鋼筆賣了8支，毛筆賣了16支。
【答案】B
【分析】假設(shè)文具商店今天賣的都是鋼筆，應(yīng)一共收入（24×9）元，比實際多了（24×9－198）元。因為1支毛筆看成1支鋼筆，多看了（9－7）元。比實際多的收入除以每支鋼筆比每支毛筆貴的錢數(shù)，即可算出毛筆賣了多少支。筆的總支數(shù)減去毛筆的支數(shù)，即可算出鋼筆賣了多少支。
【解答】24×9－198
＝216－198
＝18（元）
18÷（9－7）
＝18÷2
＝9（支）
24－9＝15（支）
鋼筆賣了15支，毛筆賣了9支。
文具商店今天上午賣出9元一支的鋼筆和7元一支的毛筆共24支，收入198元，筆賣了15支，毛筆賣了9支。
故答案為：B
四、解答題
21．2022年7月26日，確山縣人民醫(yī)院從8：00～11：30共接納118人參加核酸檢測采樣，收費857元。這段時間內(nèi)參與單采和混檢的分別有多少人？
【答案】35人；83人
【分析】首先假設(shè)118人都是單采，然后通過比較單采和混檢的價錢差，求出混檢的人數(shù)，最后用總?cè)藬?shù)減去混檢人數(shù)，得到單采的人數(shù)。
【解答】第一步：假設(shè)118人都是單采，計算出收費的總數(shù)；
（元）
第二步：計算出收費的總數(shù)比實際的多了多少；
（元）
第三步：計算出混檢的人數(shù)；
（人）
第四步：計算出單采的人數(shù)；
（人）
所以單采的有35人，混檢的有83人。
22．劉老師購買了羽毛球拍和乒乓球拍共17副，兩種體育用品花了675元。羽毛球拍和乒乓球拍各買了多少副？
【答案】9副；8副
【分析】根據(jù)雞兔同籠問題，假設(shè)17副都是羽毛球拍，則應(yīng)該花（35×17）元，比實際花的錢數(shù)少，因為一副羽毛球拍比一副乒乓球拍少（45－35）元，用實際花的錢數(shù)減去應(yīng)該花的錢數(shù)再除以（45－35）即可求出買了多少副乒乓球拍，用17減去乒乓球拍的數(shù)量即可求出買了多少副羽毛球拍。
【解答】（675－35×17）÷（45－35）
＝（675－595）÷（45－35）
＝80÷10
＝8（副）
17－8＝9（副）
答：羽毛球拍買了9副，乒乓球拍買了8副。
23．為了表彰在某次考試中成績優(yōu)異的同學(xué)。學(xué)校購買了文具盒和筆記本共70份作為獎勵，共花費650元。每個文具盒15元，每本筆記本5元，文具盒買了幾個？筆記本買了多少本？
【答案】30個；40本
【分析】假設(shè)全部買的文具盒，用15乘70求出總價，再減去購買文具盒和筆記本花費的650元；用文具盒的價格減去筆記本的價格求出差價，根據(jù)數(shù)量＝總價÷單價即可求出筆記本的數(shù)量；再用70減去筆記本的數(shù)量即為文具盒的數(shù)量。
【解答】假設(shè)全部為文具盒。
15×70＝1050（元）
1050－650＝400（元）
15－5＝10（元）
筆記本：400÷10＝40（本）
文具盒：70－40＝30（個）
答：文具盒買了30個，筆記本買了40本。
24．我國的古典文化博大精深，成語又是其中一顆璀璨的文化明珠，形式短小，內(nèi)涵豐富，閃耀著古人的睿智。成語中，四字成語最常見，也有五字成語。王老師給大家推薦了四字成語和五字成語，共40個，共180個字。兩種成語各多少個？
【答案】20個；20個
【分析】假設(shè)全是五字成語，那么就有（40×5）個字，這樣就多出了（200－180）個字，一個五字成語比四字成語多（5－1）個字，也就有（20÷1）個四字成語，所以有（40－20）個五字成語。
【解答】假設(shè)都是五字成語，四字成語就有：
（40×5－180）÷（5－4）
＝（200－180）÷1
＝20÷1
＝20（個）
40－20＝20（個）
答：四字成語20個，五字成語20個。
25．育紅小學(xué)四年級舉行數(shù)學(xué)競賽，共20道題。做對一道得5分，不做得0分，做錯一道扣2分。
（1）皮皮每道題都做了，卻只得了58分，他做錯了多少道？
（2）小紅得了64分，她做錯的和沒做的題一樣多。小紅做對了多少道？
【答案】（1）6道
（2）14道
【分析】（1）假設(shè)全部做對，皮皮全部做對可以得20×5＝100（分），而實際得了58分，比實際多了100－58＝42（分），相差42分的原因是把做錯的題也看成做對的題了。做對一道題比做錯一道題多得5＋2＝7（分），也就是做錯了42÷7＝6（道）。據(jù)此解答。
（2）假設(shè)全部做對了，小紅可以得20×5＝100（分），而實際得了64分，比實際多了100－64＝36（分），相差36分的原因是把沒做的題和做錯的題也看成做對的題了。做對一道題比一道沒做題多得5＋0＝5（分），做對一道題比做錯一道題多得5＋2＝7（分）；又因為她做錯的和沒做的題一樣多，所以每道沒做的題和每道做錯的題共多得了5＋7＝12（分），36÷12＝3（道），即做錯的題和沒做的題各3道，那么做對的題有20－2×3＝14（道）。據(jù)此解答。
【解答】（1）假設(shè)全部做對了；
（20×5－58）÷（5＋2）
＝（100－58）÷7
＝42÷7
＝6（道）
答：他做錯了6道。
（2）（20×5－64）÷（5＋5＋2）
＝（100－64）÷（10＋2）
＝36÷12
＝3（道）
20－2×3
＝20－6
＝14（道）
答：小紅做對了14道。
26．2名老師帶領(lǐng)30個同學(xué)去公園坐游船。鴨子形狀的船大一些可以坐3人，每條船租金60元；金魚形狀的船小一些，只能坐2人，每條船租金50元。他們一共租了12條船。
（1）兩種船各租了幾條？
（2）一共付了多少租金？
【答案】（1）鴨子形狀的船租了8條，金魚形狀的船租了4條
（2）680元
【分析】（1）先用30加上2計算出總?cè)藬?shù)，假設(shè)全租鴨子形狀的船，那么可以坐12×3＝36（人），再計算出多算的人數(shù)：36－32＝4（人）；因為把金魚形狀的船看作了鴨子形狀的船，每條金魚形狀的船多算了：3－2＝1（人），然后用除法計算出金魚形狀的船條數(shù)為：4÷1＝4（條），最后用減法計算出鴨子形狀的船的條數(shù)；
（2）單價×數(shù)量＝總價，分別計算出兩種船的總價，再相加計算出一共付了多少租金；據(jù)此解答。
【解答】（1）30＋2＝32（人）
假設(shè)全租鴨子形狀的船，則金魚形狀的船條數(shù)為：
（12×3－32）÷（3－2）
＝（36－32）÷1
＝4÷1
＝4（條）
鴨子形狀的船條數(shù)為：12－4＝8（條）
答：鴨子形狀的船租了8條，金魚形狀的船租了4條。
（2）60×8＋50×4
＝480＋200
＝680（元）
答：一共付了680元租金。
27．體育世界：
中國女籃名將韓旭、李夢和王思雨在2023年女籃亞洲杯決賽中獲得了以下成績：
①亞洲杯決賽中，韓旭、李夢和王思雨帶領(lǐng)中國女籃以73：71戰(zhàn)勝了日本隊，獲得冠軍；
②三人的罰球、2分球和3分球，得到60分；
③三人的罰球數(shù)據(jù)：10次罰球，命中8球；
④三人全場共39個投球，命中23球，有2分球，也有3分球：
類別 得分規(guī)則
罰球/次 投中得1分
2分球/次 在三分線內(nèi)投球，命中得2分
3分球/次 在三分線外投球，命中得3分
篩選以上的數(shù)學(xué)信息，算一算，三位女籃名將在本場比賽中投中了幾個3分球？
【答案】6個
【分析】根據(jù)題意可知，60分包括三人的罰球的分?jǐn)?shù)、2分球的分?jǐn)?shù)和3分球的分?jǐn)?shù)；首先，用60減去罰球的分?jǐn)?shù)計算出2分球和3分球的分?jǐn)?shù)和；然后，假設(shè)命中的23個球都是3分球；通過比較2分球和3分球的分?jǐn)?shù)差，求出2分球的數(shù)量；最后，用命中的23個球減去2分球的數(shù)量，即可求出3分球的數(shù)量。
【解答】2分球和3分球的分?jǐn)?shù)和：
（分）
假設(shè)命中的23個球都是3分球，則分?jǐn)?shù)是：（分）
69分比實際的多了：（分）
2分球的數(shù)量：
（個）
3分球的數(shù)量：（個）
答：在本場比賽中投中了6個3分球。
28．2024年5月22日，習(xí)近平總書記來到山東日照市陽光海岸綠道，實地察看修復(fù)治理后的海岸線生態(tài)環(huán)境。陽光海岸綠道全長28公里，將13個景區(qū)和8個沿海民俗村串珠成鏈，是休閑游玩的絕佳場所。
（1）6月份，一個37人的外地旅游團要租自行車在陽光海岸綠道游玩，現(xiàn)有雙人自行車（可供2人騎行）和三人自行車（可供3人騎行）可供選擇，這個旅游團怎樣租車最省錢？共多少錢？
（2）該旅游團在陽光海岸綠道游玩結(jié)束后，一起去世帆賽基地乘坐游艇出海，37人全部需要買票，共用去1680元，成人和孩子各有多少人？
【答案】（1）租11輛三人自行車，租2輛雙人自行車最省錢；共300元
（2）19人；18人
【分析】（1）用雙人自行車的租金除以2，求出雙人自行車的人均單價，同樣用三人自行車的租金除以3，求出三人自行車的人均單價。通過比較后盡量選人均單價低的自行車，盡可能少留位置。用總?cè)藬?shù)除以3，求出需要租用的三人自行車，結(jié)合余數(shù)判斷租用雙人自行車的輛數(shù)，并求出所需要的錢數(shù)。
（2）首先假設(shè)37人都是成人，總費用是2220元，總費用比實際的多了540元；一個成人比一個兒童多花30元，也就是每多30元就對應(yīng)一個兒童，所以多的540元是因為有18個兒童被當(dāng)成了成人，據(jù)此解答。
【解答】（1）雙人自行車的人均租金：（元）
三人自行車的人均租金：（元）
9＞8，三人自行車的人均租金少，所以盡可能租用三人自行車，不能有空座，如果還有剩余的人數(shù)，再租用雙人自行車；
（輛）……1（人）可租用12輛三人自行車，1輛雙人自行車；
租12輛三人自行車，1輛雙人自行車的費用是：
（元）
余下1人租一輛雙人自行車剩座多，可考慮少租一輛三人自行車，也就是租11輛三人自行車，剩下的人坐雙人自行車；
坐雙人自行的人：
（人）
（輛）可租用11輛三人自行車，2輛雙人自行車；
租用11輛三人自行車，2輛雙人自行車的費用：
（元）
答：租11輛三人自行車，租2輛雙人自行車最省錢，共300元。
（2）第一步：假設(shè)37人都是成人，計算出總費用；
（元）
第二步：計算出總費用比實際的多了多少；
（元）
第三步：計算出兒童的人數(shù)；
（人）
第四步：計算出成人的人數(shù)；
（人）
答：成人有19人，兒童有18人。
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第九單元 數(shù)學(xué)廣角—雞兔同籠
（知識梳理+典例精講+培優(yōu)必刷）
【知識點一】雞兔同籠
1、在數(shù)學(xué)中已知雞、兔的總頭數(shù)及總足數(shù),求雞、兔各幾只”的這類問題叫做“雞兔同籠”問題。
2、解決“雞兔同籠”問題，可以用列表法、假設(shè)法等多種方法。用列表法解決問題時既簡單又清楚；用假設(shè)法解決問題時要經(jīng)歷“假設(shè)→計算→推理→解答”的過程。當(dāng)題中數(shù)據(jù)較大，不易采用列表法時，用假設(shè)法解決問題比較簡便。
3、在用列表法解決“雞兔同籠”問題時，列舉時一定要有順序。
4、“雞兔同籠”問題采用假設(shè)法來解決時，可用下面的公式。
（1）（總足數(shù)-雞足數(shù)×總頭數(shù)）÷兔雞足數(shù)差=兔數(shù)
總頭數(shù)-兔數(shù)=雞數(shù)；
②（兔足數(shù)×總頭數(shù)-總足數(shù)）÷兔雞足數(shù)差=雞數(shù)
總頭數(shù)-雞數(shù)=兔數(shù)。
【考點一】列表法解決雞兔同籠問題
【典例一】某小學(xué)優(yōu)秀學(xué)生干部參加“暑期夏令營”活動，共入住11間“四人房”和“八人房”，且都住滿。王明用列表法嘗試求解，那么四人房有( )間，八人房有( )間。
【典例二】新學(xué)期開學(xué)，學(xué)校門口停有自行車和三輪車共20輛，共有47個輪子，自行車有( )輛，三輪車有( )輛。
【典例三】籠子里共有24只雞和兔，一共70只腳。雞有 只，兔有 只。列表記錄過程。
雞
兔
腳
【考點二】假設(shè)法解決雞兔同籠問題
【典例一】參加某會議的30個人被安排在同一個賓館里，11個房間（3人間和2人間）剛好住滿。他們住了( )個3人間，有( )人住在2人間。
【典例二】籃球比賽中，3分線外投中一球記3分，3分線內(nèi)投中一球記2分。在一場比賽中李明投了14個球，進了8個，沒有罰球，總共得了19分。李明在這場比賽中投進( )個3分球。
【典例三】絕句是中國傳統(tǒng)詩歌體裁之一，常見的有五言絕句和七言絕句，五言絕句全詩四句，每句五個字，共20個字；七言絕句全詩四句，每句七個字，共28個字。樂樂在詩集本上抄錄了五言絕句和七言絕句共8首，總字?jǐn)?shù)是176個字（不含題目）。那么樂樂抄錄了( )首五言絕句，( )首七言絕句。
一、填空題
1．學(xué)校舉辦知識搶答比賽，比賽規(guī)則答對一題加5分，答錯一題扣3分，小丁得了60分，他答對了15題，答錯（ ）題。
2．籃球比賽中，3分線外投中一球記3分，3分線內(nèi)投中一球記2分。在一場比賽中李明投了14個球，進了8個，沒有罰球，總共得了19分。李明在這場比賽中投進（ ）個3分球。
3．絕句是中國傳統(tǒng)詩歌體裁之一，常見的有五言絕句和七言絕句，五言絕句全詩四句，每句五個字，共20個字；七言絕句全詩四句，每句七個字，共28個字。樂樂在詩集本上抄錄了五言絕句和七言絕句共8首，總字?jǐn)?shù)是176個字（不含題目）。那么樂樂抄錄了（ ）首五言絕句，（ ）首七言絕句。
4．荊州市大力提倡綠色出行，新能源共享汽車和共享單車因此受到廣大市民的喜愛。沙北新區(qū)某便民停車點停著40輛共享汽車和共享單車，總共112個車輪。這個停車點有共享汽車（ ）輛，共享單車（ ）輛。
5．四（1）班43名學(xué)生參加植樹活動，種樹的同學(xué)每4人一組，澆水的同學(xué)每3人一組，正好分成12組。參加種樹的同學(xué)有（ ）人，參加澆水的同學(xué)有（ ）人。
6．小英買來3元一瓶的礦泉水和5元一瓶的礦泉水共12瓶，共花48元。3元的礦泉水買了（ ）瓶，5元的礦泉水買了（ ）瓶。
7．學(xué)校有象棋、跳棋共26副，2人下一副象棋，6人下一副跳棋，恰巧可供108人同時進行下棋活動。象棋有（ ）副，跳棋有（ ）副。
8．解放軍叔叔進行徒步訓(xùn)練，晴天每天行20千米，雨天每天行15千米，5天一共行了90千米，這期間有（ ）天是雨天。
9．同學(xué)們在用小棒搭正三角形和正五邊形，他們用126根小棒搭了30個圖形（如下圖），正三角形搭了（ ）個，正五邊形搭了（ ）個。
10．投壺是我國古代的一種把箭向壺里投的游戲，也是一種禮儀。游戲規(guī)定：投入壺口得2分、投入壺耳得3分。明明一共投進12支，總分28分，有（ ）支投入壺口，有（ ）支投入壺耳。
二、判斷題
11．龜和鶴共10只，共有30條腿，則龜、鶴數(shù)量一定相等。（ ）
12．2元和5元的人民幣共9張，合計33元。2元的人民幣有3張。（ ）
13．老師買了價格分別是3元和5元的兩種筆記本共20本，用來獎勵進步較大的同學(xué)，共用去78元。那么3元的筆記本買了9本，5元的筆記本買了11本。（ ）
14．一次數(shù)學(xué)競賽有20道題，對1題得5分，錯1題倒扣3分，小強全做了，只得60分，他答對了15道題。（ ）
15．某賓館有3人間和2人間共20間，總共可以住46人，則賓館有3人間6間。（ ）
三、選擇題
16．車棚里有自行車和三輪車共12輛，共有32個輪子，自行車有（ ）輛。
A．4 B．8 C．6 D．10
17．元旦慶典上，16名同學(xué)折千紙鶴裝扮舞臺，共折了86只，每名女同學(xué)折6只，每名男同學(xué)折4只，折千紙鶴的男同學(xué)有（ ）人。
A．3 B．5 C．7 D．9
18．用氣槍打球的游戲規(guī)則是：打中一個得5分，未打中扣2分。小明打了20槍，共得51分。他打中了（ ）槍。
A．13 B．14 C．15 D．16
19．四（3）班購買筆記本和圓珠筆作為獎品，筆記本每本8元，圓珠筆每支2元，筆記本和圓珠筆的數(shù)量之和為16，一共花了68元，筆記本買了（ ）本。
A．5 B．6 C．7 D．8
20．文具商店今天上午賣出9元一支的鋼筆和7元一支的毛筆共24支，收入198元，兩種筆各賣了多少支？（ ）
A．鋼筆賣了9支，毛筆賣了15支。 B．鋼筆賣了15支，毛筆賣了9支。
C．鋼筆賣了16支，毛筆賣了8支。 D．鋼筆賣了8支，毛筆賣了16支。
四、解答題
21．2022年7月26日，確山縣人民醫(yī)院從8：00～11：30共接納118人參加核酸檢測采樣，收費857元。這段時間內(nèi)參與單采和混檢的分別有多少人？
22．劉老師購買了羽毛球拍和乒乓球拍共17副，兩種體育用品花了675元。羽毛球拍和乒乓球拍各買了多少副？
23．為了表彰在某次考試中成績優(yōu)異的同學(xué)。學(xué)校購買了文具盒和筆記本共70份作為獎勵，共花費650元。每個文具盒15元，每本筆記本5元，文具盒買了幾個？筆記本買了多少本？
24．我國的古典文化博大精深，成語又是其中一顆璀璨的文化明珠，形式短小，內(nèi)涵豐富，閃耀著古人的睿智。成語中，四字成語最常見，也有五字成語。王老師給大家推薦了四字成語和五字成語，共40個，共180個字。兩種成語各多少個？
25．育紅小學(xué)四年級舉行數(shù)學(xué)競賽，共20道題。做對一道得5分，不做得0分，做錯一道扣2分。
（1）皮皮每道題都做了，卻只得了58分，他做錯了多少道？
（2）小紅得了64分，她做錯的和沒做的題一樣多。小紅做對了多少道？
26．2名老師帶領(lǐng)30個同學(xué)去公園坐游船。鴨子形狀的船大一些可以坐3人，每條船租金60元；金魚形狀的船小一些，只能坐2人，每條船租金50元。他們一共租了12條船。
（1）兩種船各租了幾條？
（2）一共付了多少租金？
27．體育世界：
中國女籃名將韓旭、李夢和王思雨在2023年女籃亞洲杯決賽中獲得了以下成績：
①亞洲杯決賽中，韓旭、李夢和王思雨帶領(lǐng)中國女籃以73：71戰(zhàn)勝了日本隊，獲得冠軍；
②三人的罰球、2分球和3分球，得到60分；
③三人的罰球數(shù)據(jù)：10次罰球，命中8球；
④三人全場共39個投球，命中23球，有2分球，也有3分球：
類別 得分規(guī)則
罰球/次 投中得1分
2分球/次 在三分線內(nèi)投球，命中得2分
3分球/次 在三分線外投球，命中得3分
篩選以上的數(shù)學(xué)信息，算一算，三位女籃名將在本場比賽中投中了幾個3分球？
28．2024年5月22日，習(xí)近平總書記來到山東日照市陽光海岸綠道，實地察看修復(fù)治理后的海岸線生態(tài)環(huán)境。陽光海岸綠道全長28公里，將13個景區(qū)和8個沿海民俗村串珠成鏈，是休閑游玩的絕佳場所。
（1）6月份，一個37人的外地旅游團要租自行車在陽光海岸綠道游玩，現(xiàn)有雙人自行車（可供2人騎行）和三人自行車（可供3人騎行）可供選擇，這個旅游團怎樣租車最省錢？共多少錢？
（2）該旅游團在陽光海岸綠道游玩結(jié)束后，一起去世帆賽基地乘坐游艇出海，37人全部需要買票，共用去1680元，成人和孩子各有多少人？
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