資源簡介

2024-2025學(xué)年四年級下冊數(shù)學(xué)易錯題型
第五單元 三角形
（知識梳理+典例精講+培優(yōu)必刷）
【知識點一】三角形的特性
1、由3條線段圍成的圖形(每相鄰兩條線段的端點相連)叫做三角形。
2、三角形的各部分的名稱。
三角形有3條邊，3個頂點，3個角。
3、三角形的表示方法。
為了表達(dá)方便，可以用字母A.B.C分別表示三角形的3個頂點，下面的三角形可以表示成三角形ABC。
4、三角形的高。
定義：從三角形的一個頂點到它的對邊作一條垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高，這條對邊叫做三角形的底。
5、三角形的特性。
三角形具有穩(wěn)定性。
6、三角形3條邊的關(guān)系。
三角形任意兩邊之和大于第三邊。
【知識點二】三角形的分類
1、用集合圈表示三角形的分類。
2、特殊三角形的特點。
（1）等腰三角形：相等的兩條邊叫做三角形的腰，兩腰與底邊的夾角叫做底角。等腰三角形的兩腰相等，兩個底角也相等。
（2）等邊三角形：等邊三角形也叫做正三角形。3條邊都相等，3個角也相等，都是60°。
（3）直角三角形：直角三角形中相互垂直的兩條邊叫做直角邊，直角所對的邊叫做斜邊，斜邊大于任意一條直角邊。
【知識點三】三角形的內(nèi)角和
1、三角形的內(nèi)角和是180°。
2、三角形內(nèi)角和的應(yīng)用：在一個三角形中，已知兩個角的度數(shù)，可以根據(jù)“三角形的內(nèi)角和是180°”求出第三個角的度數(shù)。
3、四邊形的內(nèi)角和是360°。
4、多邊形的內(nèi)角和=(邊數(shù)-2)×180°。
【考點一】三角形的特性
【典例一】有4根小棒，分別長、、、，用其中長為（ ）的小棒可圍成一個三角形。
A．、、 B．、、
C．、、 D．、、
【典例二】將一根20厘米的細(xì)鐵絲，剪成3段，拼成一個三角形，以下哪些剪法是可以的。（　　）
A．8厘米、7厘米、5厘米 B．13厘米、6厘米、1厘米
C．2厘米、11厘米、7厘米 D．10厘米、3厘米、7厘米
【典例三】從學(xué)校到少年宮有三條路可以走（圖中①、②、③分別代表三條路），哪一條路最近？為什么？
【考點二】三角形的分類
【典例一】一個等腰三角形，一條邊長8cm,另一條邊長4cm,那么這個等腰三角形的周長是（ ）cm
A．16cm B．20cm C．16cm或20cm
【典例二】用一根長45 cm的鐵絲圍成一個等邊三角形，這個等邊三角形的邊長是（ ）cm。
【典例三】彩霞小區(qū)準(zhǔn)備在花園（如圖）上面架設(shè)一條從A地到B地的本棧道，花園是由3個大小不同的等邊三角形組成的，如果你是設(shè)計師，從節(jié)約成本的角度，你會選擇①、②、③號線路的哪一條，說說你的理由。
【考點三】三角形的內(nèi)角和
【典例一】在三角形三個內(nèi)角中，∠A＝∠B＋∠C，那么這個三角形一定是（ ）三角形。
A．鈍角 B．直角 C．鈍角
【典例二】下圖是一個等腰三角形，一個底角是35°，頂角是( )°，沿虛線剪去三角形中的一個40°角，剩下圖形的內(nèi)角和是( )°。
【典例三】
已知三角形的內(nèi)角和是180°。求四邊形ABCD的內(nèi)角和多少度？
思考過程：連接AD，AD將四邊形ABCD分成兩個三角形，因為一個三角形的內(nèi)角和是180°，所以四邊形的內(nèi)角和是180°×2＝360°。
已知一個三角形的內(nèi)角和是180°。求：五邊形的內(nèi)角和是多少度？（請仿照方法，畫圖并將你的思考過程寫下來。）
思考過程：
一、填空題（滿分20分）
1．（2分）一個三角形的三條邊長均為整數(shù)，其中兩條邊長分別是7cm、13cm，第三條邊長最長是（ ）cm，最短是（ ）cm。
2．（2分）有兩種圍籬笆的方法，如下圖所示。用第（ ）種方法圍籬笆更牢固，這是應(yīng)用了（ ）。
3．（2分）小明有兩根塑料小棒（單位：厘米），他需要在8厘米的小棒（ ）厘米處剪一刀后，把剪后的三根小棒首尾相接就能圍成一個三角形。
4．（2分）取一根15厘米長的鐵絲折成一個等邊三角形鐵框，鐵框的一條邊長為（ ）厘米，如果折成一個腰長6厘米的等腰三角形鐵框，那么鐵框的底邊長為（ ）厘米。
5．（2分）用15厘米的鐵絲折成一個底邊是5厘米的等腰三角形，這個三角形的頂角是（ ）°。
6．（2分）一塊廣告牌是等腰三角形，已知兩條邊長分別是0.9米、0.4米，它的周長是（ ）米。
7．（2分）下面的三角形都被一張紙遮住了，只看到露出的一個角，你能判斷它們各是什么三角形嗎？
（ ）三角形 （ ）三角形
8．（2分）在三角形ABC中，已知∠A＝75°，∠B＝30°，則∠C＝（ ）。
9．（2分）有一個直角梯形，如果它的一個角是115°，那么除了兩個直角外的另一個角是（ ）°，屬于（ ）角。
10．（2分）如下圖，把長方形紙的一角折疊起來。已知∠2＝63°，∠3＝（ ）°。
二、判斷題（滿分10分）
11．（2分）有4根木條，它們的長度分別為2厘米、3厘米、4厘米、5厘米，從它們當(dāng)中選出3根木條拼成一個三角形，共有2種不同的拼法。（ ）
12．（2分）一個等腰三角形，有兩條邊的長度分別是9cm和4cm，這個等腰三角形的周長可能是22cm或17cm。（ ）
13．（2分）一個三角形中∠1是∠2度數(shù)的2倍，∠3是∠2度數(shù)的3倍，這是一個鈍角三角形。（ ）
14．（2分）把兩個小三角形組合成一個稍大的三角形，這個三角形的內(nèi)角和是360°。（ ）
15．（2分）在一個直角三角形中，較大銳角的度數(shù)是較小銳角的5倍，較小的銳角是15度。（ ）
三、選擇題（滿分10分）
16．（2分）下面（ ）組的3條線段能圍成三角形。
A．2米、8米、5米 B．3厘米、4厘米、4厘米
C．2分米、0.5分米、7分米 D．5厘米、9厘米、1厘米
17．（2分）用木條釘成下面各形狀，其中最不容易變形的是（ ）。
A． B．
C． D．
18．（2分）一個三角形被一張紙遮住了一部分（如圖）。那么在以下對這個三角形的判斷中，正確的是（ ）。
A．一定是銳角三角形。
B．一定不是鈍角三角形。
C．不是銳角三角形，就是直角三角形。
D．既可能是銳角三角形，也可能是直角三角形，還可能是鈍角三角形。
19．（2分）一個等腰三角形中，已知兩條邊長分別長6厘米和3厘米，這個等腰三角形的周長是（ ）厘米。
A．9 B．12 C．15 D．12或者15
20．（2分）一個鈍角三角形中的兩個銳角的和一定（ ）90°。
A．大于 B．小于 C．等于 D．無法確定
四、計算題（滿分6分）
21．（6分）如圖，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5＝125°。求∠6的度數(shù)。
五、作圖題（滿分12分）
22．（6分）春節(jié)即將來臨，樂樂和妹妹決定用彩紙剪出各種形狀來裝飾墻壁。請在下面方格紙上畫出對應(yīng)的圖形。（每個小方格的邊長代表1分米）
（1）樂樂剪的是底為3分米，高為4分米的平行四邊形。
（2）妹妹剪的是底為2分米，高為3分米的三角形。
23．（6分）在下面的點子圖上畫出一個直角三角形和一個等腰三角形。
六、解答題（滿分42分）
24．（6分）如圖是淘氣測量的一個三角形花壇各邊和長度。（單位：米）你認(rèn)為淘氣測量的結(jié)果正確嗎？請說明理由。
25．（6分）用下面5根小棒，可以擺出多少個三角形？（單位：cm）
26．（6分）小芳家有一個等腰三角形的相框，她打算用絲帶沿邊圍一周裝飾這個相框。量得這個相框的腰長18厘米，底邊長2分米，小芳至少需要買多少厘米長的絲帶？
27．（6分）小華是個愛動手、愛動腦的孩子。他把一根15厘米長的吸管剪成3段。
（1）若小華用這三段吸管圍成一個最大的等邊三角形，則這個等邊三角形的邊長是（ ）厘米。
（2）若小華用這三段吸管圍成一個底邊長是7厘米的等腰三角形，這個等腰三角形的腰長是多少厘米？
28．（6分）紅領(lǐng)巾是少先隊員的標(biāo)志，象征著革命的勝利和無數(shù)英雄的心血。少先隊員佩戴的紅領(lǐng)巾的一個底角是30°，它的頂角是多少度？
29．（6分）爺爺?shù)哪疽瓮然蝿恿耍埬汜斠桓緱l（畫圖）在木椅上，讓木椅變得穩(wěn)定。
你運用的是哪個數(shù)學(xué)知識：
生活中還有哪里運用了這一知識，請列出兩條：
（1）
（2）
30．（6分）八角窗在我國古代建筑中非常普遍。奇奇和小伙伴去蘇州園林游玩，看到了輪廓是正八邊形的八角窗，便和小伙伴一起探究八邊形的內(nèi)角和。
我把八邊形分成了8個三角形，所以它的內(nèi)角和是180°×8＝1440°
我把八邊形分成了4個三角形和1個四邊形，所以它的內(nèi)角和是180°×4＋360°＝1080°
我把八邊形分成了3個四邊形，所以它的內(nèi)角和是360°×3＝1080°
你同意或不同意誰的觀點？任選一個說說你的理由。
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第五單元 三角形
（知識梳理+典例精講+培優(yōu)必刷）
【知識點一】三角形的特性
1、由3條線段圍成的圖形(每相鄰兩條線段的端點相連)叫做三角形。
2、三角形的各部分的名稱。
三角形有3條邊，3個頂點，3個角。
3、三角形的表示方法。
為了表達(dá)方便，可以用字母A.B.C分別表示三角形的3個頂點，下面的三角形可以表示成三角形ABC。
4、三角形的高。
定義：從三角形的一個頂點到它的對邊作一條垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高，這條對邊叫做三角形的底。
5、三角形的特性。
三角形具有穩(wěn)定性。
6、三角形3條邊的關(guān)系。
三角形任意兩邊之和大于第三邊。
【知識點二】三角形的分類
1、用集合圈表示三角形的分類。
2、特殊三角形的特點。
（1）等腰三角形：相等的兩條邊叫做三角形的腰，兩腰與底邊的夾角叫做底角。等腰三角形的兩腰相等，兩個底角也相等。
（2）等邊三角形：等邊三角形也叫做正三角形。3條邊都相等，3個角也相等，都是60°。
（3）直角三角形：直角三角形中相互垂直的兩條邊叫做直角邊，直角所對的邊叫做斜邊，斜邊大于任意一條直角邊。
【知識點三】三角形的內(nèi)角和
1、三角形的內(nèi)角和是180°。
2、三角形內(nèi)角和的應(yīng)用：在一個三角形中，已知兩個角的度數(shù)，可以根據(jù)“三角形的內(nèi)角和是180°”求出第三個角的度數(shù)。
3、四邊形的內(nèi)角和是360°。
4、多邊形的內(nèi)角和=(邊數(shù)-2)×180°。
【考點一】三角形的特性
【典例一】有4根小棒，分別長、、、，用其中長為（ ）的小棒可圍成一個三角形。
A．、、 B．、、
C．、、 D．、、
【分析】根據(jù)三角形任意兩邊之和大于第三邊，將各選項最短兩個小棒長度加起來與最長的小棒長度比較即可。
【解答】A．1＋2＜4，不可以；
B．1＋2＜5，不可以；
C．1＋4＝5，不可以；
D．2＋4＞5，可以。
故答案為：D
【點評】關(guān)鍵是掌握三角形三邊之間的關(guān)系。
【典例二】將一根20厘米的細(xì)鐵絲，剪成3段，拼成一個三角形，以下哪些剪法是可以的。（　　）
A．8厘米、7厘米、5厘米 B．13厘米、6厘米、1厘米
C．2厘米、11厘米、7厘米 D．10厘米、3厘米、7厘米
【分析】根據(jù)三角形的特性：任意兩邊之和大于第三邊，三角形的任意兩邊的差一定小于第三邊；進行依次分析即可。
【解答】A．7＋5＞8，能圍成三角形；
B．6＋1＜13，不能圍成三角形；
C．2＋7＜11，不能圍成三角形；
D．3＋7＝10，不能圍成三角形。
故答案為：A
【點評】此題是考查三角形的特性，應(yīng)靈活掌握和運用。
【典例三】從學(xué)校到少年宮有三條路可以走（圖中①、②、③分別代表三條路），哪一條路最近？為什么？
【分析】從學(xué)校到少年宮有三條路可以走，只有中間的路線②最近，因為“兩點間所有連線中線段最短”，據(jù)此解答即可。
【解答】從學(xué)校到少年宮，選擇中間的那條路最近，也就是路②，因為兩點間所有連線中線段最短。
【點評】此題為數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用，考查知識點是：兩點之間線段最短。
【考點二】三角形的分類
【典例一】一個等腰三角形，一條邊長8cm,另一條邊長4cm,那么這個等腰三角形的周長是（ ）cm
A．16cm B．20cm C．16cm或20cm
【分析】題目給出等腰三角形有兩條邊長為8cm和4cm，而沒有明確腰是多少，所以要進行討論，還要應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系驗證能否組成三角形．
【解答】當(dāng)這個三角形的底邊是8cm時，三角形的三邊分別是8cm、4cm、4cm，4+4=8，不能夠組成三角形,；
當(dāng)這個三角形的底邊是4cm時，三角形的三邊分別是8m、8cm、4cm，能夠組成三角形，則三角形的周長是8+8+4=20cm．
故答案選：B．
【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，涉及分類討論的思想方法．求三角形的周長，不能盲目地將三邊長相加起來，而應(yīng)養(yǎng)成檢驗三邊長能否組成三角形的好習(xí)慣，把不符合題意的舍去．
【典例二】用一根長45 cm的鐵絲圍成一個等邊三角形，這個等邊三角形的邊長是（ ）cm。
【答案】15
【典例三】彩霞小區(qū)準(zhǔn)備在花園（如圖）上面架設(shè)一條從A地到B地的本棧道，花園是由3個大小不同的等邊三角形組成的，如果你是設(shè)計師，從節(jié)約成本的角度，你會選擇①、②、③號線路的哪一條，說說你的理由。
【分析】分別將三條線路的長度算出來，選擇最短的一條即可，注意等邊三角形三邊相等。
【解答】①：（20＋40）×2＝60×2＝120（米）
②：20＋40＝60（米）
③：20×2＋40×2＝40＋80＝120（米）
選擇路線②最短。
【點評】本題也可以直接用兩點之間線段最短來解答。
【考點三】三角形的內(nèi)角和
【典例一】在三角形三個內(nèi)角中，∠A＝∠B＋∠C，那么這個三角形一定是（ ）三角形。
A．鈍角 B．直角 C．鈍角
【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和為180°結(jié)合已知，可求∠A＝90°，即可判斷三角形的形狀。
【解答】解：因為∠A＝∠B＋∠C，
所以∠A＝180°÷2＝90°，
所以這個三角形是直角三角形。
【點評】此題考查了三角形的內(nèi)角和定理以及三角形的分類，三角形按角分類有銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形。
【典例二】下圖是一個等腰三角形，一個底角是35°，頂角是( )°，沿虛線剪去三角形中的一個40°角，剩下圖形的內(nèi)角和是( )°。
【分析】本題主要考查等腰三角形的特點核三角形的內(nèi)角和，要學(xué)會知識的靈活應(yīng)用。因為等腰三角形的底角相等，再據(jù)三角形的內(nèi)角和是180度，從而可以求出頂角的度數(shù)，沿虛線剪去三角形中40°的角后，剩下圖形的仍是一個三角形，其內(nèi)角和仍是180°，由此求解。
【解答】180°－35°×2
＝180°－70°
＝110°
所以一個等腰三角形，一個底角是35°，頂角是100°，沿虛線剪去三角形中的一個35°角，剩下圖形的內(nèi)角和是180°。
【典例三】
已知三角形的內(nèi)角和是180°。求四邊形ABCD的內(nèi)角和多少度？
思考過程：連接AD，AD將四邊形ABCD分成兩個三角形，因為一個三角形的內(nèi)角和是180°，所以四邊形的內(nèi)角和是180°×2＝360°。
已知一個三角形的內(nèi)角和是180°。求：五邊形的內(nèi)角和是多少度？（請仿照方法，畫圖并將你的思考過程寫下來。）
思考過程：
【分析】根據(jù)求四邊形內(nèi)角的度數(shù)，關(guān)鍵是從一個頂點出發(fā)將四邊形分成多個三角形，三角形的內(nèi)角和是180°，有幾個三角形就有幾個180°。
【解答】
思考過程：
連接AC，AD，將五邊形分成三個三角形，因為一個三角形的內(nèi)角和是180°，所以五邊形的內(nèi)角和是180°×3＝540°。
答：五邊形的內(nèi)角和是540度。
【點評】本題考查的是多邊形內(nèi)角和的探究，關(guān)鍵是將多邊形轉(zhuǎn)化為三角形來進行計算。
一、填空題（滿分20分）
1．（2分）一個三角形的三條邊長均為整數(shù)，其中兩條邊長分別是7cm、13cm，第三條邊長最長是（ ）cm，最短是（ ）cm。
【答案】19 7
【分析】根據(jù)三角形任意兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，據(jù)此解答即可。
【解答】13－7＝6（cm）
13＋7＝20（cm）
6cm＜第三邊＜20cm
所以第三條邊長最長是19cm，最短是7cm。
2．（2分）有兩種圍籬笆的方法，如下圖所示。用第（ ）種方法圍籬笆更牢固，這是應(yīng)用了（ ）。
【答案】一 三角形具有穩(wěn)定性
【分析】三角形穩(wěn)定性是指三角形具有穩(wěn)定性，有著穩(wěn)固、堅定、耐壓的特點。生活中有很多利用三角形穩(wěn)定性的例子，比如三角形房架、矩形門框的斜拉條、起重機的三角形吊臂和高壓輸電線的鐵塔等。而四邊形具有不穩(wěn)定性，也就是容易變形的特點。
【解答】根據(jù)分析，用第一種方法圍籬笆更牢固，這是應(yīng)用了三角形具有穩(wěn)定性。
3．（2分）小明有兩根塑料小棒（單位：厘米），他需要在8厘米的小棒（ ）厘米處剪一刀后，把剪后的三根小棒首尾相接就能圍成一個三角形。
【答案】2、3、4、5、6
【分析】三角形三邊的關(guān)系：任意兩邊之和大于第三邊（較短兩邊之和大于第三邊）。據(jù)此分析。
【解答】如果從8厘米小棒的1厘米處剪斷，8－1＝7（厘米），三條邊的長度分別是1厘米、7厘米和5厘米。1＋5＝6（厘米），6＜7，即這三邊無法圍成三角形。
如果從8厘米小棒的2厘米處剪斷，8－2＝6（厘米），三條邊的長度分別是2厘米、6厘米和5厘米。2＋5＝7（厘米），7＞6，即這三邊可以圍成三角形。
如果從8厘米小棒的3厘米處剪斷，8－3＝5（厘米），三條邊的長度分別是3厘米、5厘米和5厘米。3＋5＝8（厘米），8＞5，即這三邊可以圍成三角形。
如果從8厘米小棒的4厘米處剪斷，8－4＝4（厘米），三條邊的長度分別是4厘米、4厘米和5厘米。4＋4＝8（厘米），8＞5，即這三邊可以圍成三角形。
如果從8厘米小棒的5厘米處剪斷，8－5＝3（厘米），三條邊的長度分別是5厘米、3厘米和5厘米。5＋3＝8（厘米），8＞5，即這三邊可以圍成三角形。
如果從8厘米小棒的6厘米處剪斷，8－6＝2（厘米），三條邊的長度分別是6厘米、2厘米和5厘米。2＋5＝7（厘米），7＞6，即這三邊可以圍成三角形。
如果從8厘米小棒的7厘米處剪斷，8－7＝1（厘米），三條邊的長度分別是7厘米、1厘米和5厘米。1＋5＝6（厘米），6＜7，即這三邊無法圍成三角形。
故小明有兩根塑料小棒，他需要在8厘米的小棒的2或3或4或5或6厘米處剪一刀后，把剪后的三根小棒首尾相接就能圍成一個三角形。
4．（2分）取一根15厘米長的鐵絲折成一個等邊三角形鐵框，鐵框的一條邊長為（ ）厘米，如果折成一個腰長6厘米的等腰三角形鐵框，那么鐵框的底邊長為（ ）厘米。
【答案】5 3
【分析】等邊三角形的三條邊相等，用15除以3就是這個等邊三角形的邊長；等腰三角形的兩腰相等，用周長減去2個腰長即可求出底邊的長度。以此答題即可。
【解答】根據(jù)分析計算如下：
15÷3＝5（cm）
15－6×2
＝15－12
＝3（cm）
取一根15厘米長的鐵絲折成一個等邊三角形鐵框，鐵框的一條邊長為5厘米，如果折成一個腰長6厘米的等腰三角形鐵框，那么鐵框的底邊長為3厘米。
5．（2分）用15厘米的鐵絲折成一個底邊是5厘米的等腰三角形，這個三角形的頂角是（ ）°。
【答案】60
【分析】等腰三角形的兩條腰的長度相等。等邊三角形的三條邊的長度相等，三個內(nèi)角也相等。由題意得，用15厘米的鐵絲折成一個底邊是5厘米的等腰三角形，可以用15減去5算出兩條腰的長度之和，再除以2即可算出一條腰的長度，然后根據(jù)三條邊的長度來判斷三角形的類型。最后根據(jù)三角形的類型推算出這個三角形頂角的度數(shù)。
【解答】（15－5）÷2
＝10÷2
＝5（厘米）
5厘米＝5厘米＝5厘米，即這個三角形為等邊三角形。等邊三角形的三個內(nèi)角都相等，它們的度數(shù)都是60°。
用15厘米的鐵絲折成一個底邊是5厘米的等腰三角形，這個三角形的頂角是60°。
6．（2分）一塊廣告牌是等腰三角形，已知兩條邊長分別是0.9米、0.4米，它的周長是（ ）米。
【答案】2.2
【分析】等腰三角形的兩腰相等，已知兩條邊長分別是0.9米和0.4米，那么第三條邊是0.9米或0.4米。根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，確定這個等腰三角形的腰長，進而確定第三邊的長度，然后根據(jù)周長是指一個平面圖形圍繞其邊緣一圈所需的長度總和，把三角形的三條邊長相加，即可求出它的周長。
【解答】0.4＋0.4＜0.9，長0.4米、0.9米、0.4米的三條線段不能圍成一個三角形。
0.4＋0.9＞0.9，長0.9米、0.9米、0.4米的三條線段能圍成一個三角形。
所以第三邊的長度為0.9米。
0.9＋0.9＋0.4
＝1.8＋0.4
＝2.2（米）
一塊廣告牌是等腰三角形，已知兩條邊長分別是0.9米、0.4米，它的周長是2.2米。
7．（2分）下面的三角形都被一張紙遮住了，只看到露出的一個角，你能判斷它們各是什么三角形嗎？
（ ）三角形 （ ）三角形
【答案】直角 鈍角
【分析】三角形按角的度數(shù)分為三類：銳角三角形：三角形的三個內(nèi)角都小于90度。直角三角形：三角形的三個內(nèi)角中一個角等于90度。鈍角三角形：三角形的三個內(nèi)角中有一個角大于90度，據(jù)此解答。
【解答】（1）有一個角是直角，所以它是直角三角形；
（2）看到的角是鈍角，所以它是鈍角三角形。
8．（2分）在三角形ABC中，已知∠A＝75°，∠B＝30°，則∠C＝（ ）。
【答案】75°/75度
【分析】三角形的內(nèi)角和為180°，用180°依次減去∠A和∠B，即可求出∠C，據(jù)此解答即可。
【解答】180°－75°－30°
＝105°－30°
＝75°
所以∠C＝75°。
9．（2分）有一個直角梯形，如果它的一個角是115°，那么除了兩個直角外的另一個角是（ ）°，屬于（ ）角。
【答案】65 銳
【分析】梯形的內(nèi)角和為360°。由題意得，有一個直角梯形（直角梯形有兩個直角），如果它的一個角是115°，求除了兩個直角外的另一個角的度數(shù)，直接用360°減去兩個直角的度數(shù)再減去115°即可解答。然后根據(jù)這個角的度數(shù)來判斷這個角的類型即可。
【解答】360°－90°－90°－115°
＝270°－90°－115°
＝180°－115°
＝65°
65°＜90°，所以這個角是銳角。
除了兩個直角外的另一個角是65°，屬于銳角。
10．（2分）如下圖，把長方形紙的一角折疊起來。已知∠2＝63°，∠3＝（ ）°。
【答案】36
【分析】
長方形紙的四個角都是直角，三角形的內(nèi)角和是180°，由圖可知∠5＝90°，所以∠2＋∠4＝180°－90°＝90°，∠4＝90°－∠2＝90°－63°＝27°，因為折疊，所以∠1＝∠4，∠3＝90°－∠1－∠4，據(jù)此解題。
【解答】180°－90°－63°＝27°
90°－27°－27°＝36°
因此，∠3＝36°。
二、判斷題（滿分10分）
11．（2分）有4根木條，它們的長度分別為2厘米、3厘米、4厘米、5厘米，從它們當(dāng)中選出3根木條拼成一個三角形，共有2種不同的拼法。（ ）
【答案】×
【解答】從4根木條中選出3根木條的選法有4種：2厘米、3厘米、4厘米；2厘米、3厘米、5厘米；2厘米、4厘米、5厘米；3厘米、4厘米、5厘米。然后根據(jù)三角形的特征“三角形的任意兩邊之和大于第三邊”可知，其中可以拼成三角形的有3種：①2厘米、3厘米、4厘米；②2厘米、4厘米、5厘米；③3厘米、4厘米、5厘米。由此即可判斷對錯。
【解答】從4根木條中選出3根木條拼成三角形的有3種：2厘米、3厘米、4厘米；2厘米、4厘米、5厘米；3厘米、4厘米、5厘米。
所以“選出3根木條拼成一個三角形，共有2種不同的拼法。”是錯誤的。
故答案為：×
12．（2分）一個等腰三角形，有兩條邊的長度分別是9cm和4cm，這個等腰三角形的周長可能是22cm或17cm。（ ）
【答案】×
【分析】兩腰相等的三角形叫等腰三角形，等腰三角形也滿足任意兩邊之和大于第三條邊。據(jù)此確定第三條邊的長度，再計算它的周長。
【解答】根據(jù)等腰三角形的特征，第三條邊可能是4cm或9cm。但是第三條是4cm時，4＋4＜9，圍不成三角形。所以第三條邊只能是9cm。這時周長是9×2＝18（cm），18＋4＝22（cm），原題表述錯誤。
故答案為：×
13．（2分）一個三角形中∠1是∠2度數(shù)的2倍，∠3是∠2度數(shù)的3倍，這是一個鈍角三角形。（ ）
【答案】×
【分析】已知∠1是∠2度數(shù)的2倍，∠3是∠2度數(shù)的3倍。所以∠1就是2個∠2，∠3就是3個∠2。因為三角形內(nèi)角和為180°，所以∠1＋∠2＋∠3＝180°。三角形的內(nèi)角和就相當(dāng)于6個∠2。那么∠2的度數(shù)就是180°÷6＝30°，即可分別求出∠1、∠2、∠3，求出最大內(nèi)角的度數(shù)，再根據(jù)三角形按角的分類，確定這個三角形的類型。
【解答】根據(jù)題意和分析：
180°÷（2＋1＋3）
＝180°÷6
＝30°
∠2＝30°，∠1＝2×30°＝60°，∠3＝3×30°＝90°。
這是一個直角三角形，所以原題干說法錯誤。
故答案為：×
14．（2分）把兩個小三角形組合成一個稍大的三角形，這個三角形的內(nèi)角和是360°。（ ）
【答案】×
【分析】三角形不論大小和形狀，內(nèi)角和都為180°，據(jù)此解答即可。
【解答】由分析可知，把兩個小三角形組合成一個稍大的三角形，這個三角形的內(nèi)角和還是180°，原說法錯誤。
故答案為：×
15．（2分）在一個直角三角形中，較大銳角的度數(shù)是較小銳角的5倍，較小的銳角是15度。（ ）
【答案】√
【分析】由直角三角形角的特點以及三角形的內(nèi)角和是180度可知：在直角三角形中，兩個銳角的度數(shù)和是90度，根據(jù)“較大銳角的度數(shù)是較小銳角的5倍”，利用和倍問題的方法求解即可。
【解答】90÷（5＋1）
＝90÷6
＝15（度）
則較小的銳角是15度。原題說法正確。
故答案為：√
三、選擇題（滿分10分）
16．（2分）下面（ ）組的3條線段能圍成三角形。
A．2米、8米、5米 B．3厘米、4厘米、4厘米
C．2分米、0.5分米、7分米 D．5厘米、9厘米、1厘米
【答案】B
【分析】三角形的三邊關(guān)系：任意三角形的兩邊之和必須大于第三邊，據(jù)此解答。
【解答】A．2＋5＝7，7＜8，所以2米、8米、5米不可以圍成三角形；
B．3＋4＝7，7＞4，所以3厘米、4厘米、4厘米可以圍成三角形；
C．2＋0.5＝2.5，2.5＜7，所以2分米、0.5分米、7分米不可以圍成三角形；
D．5＋1＝6，6＜9，所以5厘米、9厘米、1厘米不可以圍成三角形。
故答案為：B
17．（2分）用木條釘成下面各形狀，其中最不容易變形的是（ ）。
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】三角形穩(wěn)定性是指三角形具有穩(wěn)定性，有著穩(wěn)固、堅定、耐壓的特點。而四邊形具有不穩(wěn)定性；據(jù)此進行判斷。
【解答】A．C．D．圖形為四邊形，四邊形易變形，不符合題意；
B．圖形中有三角形，三角形不易變形，符合題意。
故答案為：B
18．（2分）一個三角形被一張紙遮住了一部分（如圖）。那么在以下對這個三角形的判斷中，正確的是（ ）。
A．一定是銳角三角形。
B．一定不是鈍角三角形。
C．不是銳角三角形，就是直角三角形。
D．既可能是銳角三角形，也可能是直角三角形，還可能是鈍角三角形。
【答案】D
【分析】
三個角都是銳角的三角形是銳角三角形，有一個角是直角的三角形是直角三角形，有一個角是鈍角的三角形是鈍角三角形。這個三角形被一張紙遮住了一個角，看不出另外的兩個角。這個三角形可能是銳角三角形，如圖：；也可能是直角三角形，如圖：；還可能是鈍角三角形，如圖：。
【解答】因此，這個三角形既可能是銳角三角形，也可能是直角三角形，還可能是鈍角三角形。
故答案為：D
19．（2分）一個等腰三角形中，已知兩條邊長分別長6厘米和3厘米，這個等腰三角形的周長是（ ）厘米。
A．9 B．12 C．15 D．12或者15
【答案】C
【分析】根據(jù)等腰三角形的特征可知，有兩種情況：
情況一：等腰三角形的腰長為6厘米；情況二：等腰三角形的腰長為3厘米；
然后根據(jù)三角形的三邊關(guān)系判斷這兩種情況是否能組成三角形；能組成三角形的，再把三角形的三條邊相加，求出它的周長。
等腰三角形的特征：等腰三角形的兩條腰長相等。
三角形的三邊關(guān)系：在一個三角形中，任意兩邊之和大于第三邊。
【解答】情況一：等腰三角形的腰長為6厘米；
6＋3＞6，符合三角形的三邊關(guān)系；
這個等腰三角形的三條邊分別是6厘米、6厘米、3厘米；
周長：6＋6＋3＝15（厘米）
情況二：等腰三角形的腰長為3厘米；
3＋3＝6，不符合三角形的三邊關(guān)系，那么3厘米、3厘米、6厘米不能組成三角形；
所以，這個等腰三角形的周長是15厘米。
故答案為：C
20．（2分）一個鈍角三角形中的兩個銳角的和一定（ ）90°。
A．大于 B．小于 C．等于 D．無法確定
【答案】B
【分析】因為鈍角大于90度而小于180度，而三角形的內(nèi)角和是180度，所以其中一個鈍角已經(jīng)大于90度，所以剩下的兩個角的和是小于90度的；據(jù)此解答即可。
【解答】因為鈍角三角形的內(nèi)角和是180度，其中已經(jīng)有一個角是大于90度的，所以剩下兩個銳角的和小于90度。
故答案為：B
四、計算題（滿分6分）
21．（6分）如圖，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5＝125°。求∠6的度數(shù)。
【答案】70°
【分析】三角形的內(nèi)角和為180°。∠2、∠4、∠5是一個三角形的三個內(nèi)角，那么∠2＋∠4＋∠5＝180°且∠5＝125°，可以用減法算出∠2＋∠4的和。同時，外面的三角形內(nèi)角和也為180°，即∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠6＝180°。其中，∠1＝∠2，∠3＝∠4，將其代入并化簡即可得到∠6的度數(shù)。
【解答】∠2＋∠4＋∠5＝180°
∠2＋∠4＝180°－∠5＝180°－125°＝55°
∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠6＝180°
∠2＋∠2＋∠4＋∠4＋∠6＝180°
∠2＋∠4＋∠2＋∠4＋∠6＝180°
（∠2＋∠4）＋（∠2＋∠4）＋∠6＝180°
55°＋55°＋∠6＝180°
∠6＝180°－55°－55°＝125°－55°＝70°
∠6的度數(shù)為70°。
五、作圖題（滿分12分）
22．（6分）春節(jié)即將來臨，樂樂和妹妹決定用彩紙剪出各種形狀來裝飾墻壁。請在下面方格紙上畫出對應(yīng)的圖形。（每個小方格的邊長代表1分米）
（1）樂樂剪的是底為3分米，高為4分米的平行四邊形。
（2）妹妹剪的是底為2分米，高為3分米的三角形。
【答案】（1）（2）見詳解
【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的特點，可先在方格紙的下方畫一條3格長的橫線，再在距離橫線4格的上方畫一條3格長的橫線，兩條線不要對齊即可。
（2）可先在方格線的下方畫一條2格長的橫線，再在距離橫線上方3格的地方點上一點，然后分別把點和橫線兩端連接起來，即可得到三角形。
【解答】據(jù)分析作圖如下：
（答案不唯一）
23．（6分）在下面的點子圖上畫出一個直角三角形和一個等腰三角形。
【答案】見詳解
【分析】有一個角是直角的三角形叫作直角三角形；有兩條邊相等的三角形叫作等腰三角形。據(jù)此作圖。
【解答】
（答案不唯一）
六、解答題（滿分42分）
24．（6分）如圖是淘氣測量的一個三角形花壇各邊和長度。（單位：米）你認(rèn)為淘氣測量的結(jié)果正確嗎？請說明理由。
【答案】不正確；不滿足三角形三邊關(guān)系，不能圍成三角形
【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，三角形任意兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，據(jù)此解答即可。
【解答】答：不正確，因為10＋14＝24，24＜25，不滿足三角形三邊關(guān)系，不能圍成三角形，所以，淘氣測量的結(jié)果不正確。
25．（6分）用下面5根小棒，可以擺出多少個三角形？（單位：cm）
【答案】7個
【分析】根據(jù)三角形任意兩邊之和大于第三邊的特性，按照從小到大的順序，先選出較短的兩根小棒，并把長度相加，再找到另一根長度小于前兩根小棒長度和的小棒，即可擺成三角形。據(jù)此解答。
【解答】先確定2cm和3cm小棒，因2＋3＝5，4＜5，則第三根小棒可以選擇4cm的小棒，從而擺出第一個三角形，三邊長度為2cm、3cm、4cm；5cm和6cm小棒不比前兩根小棒的長度和小，不能與2cm和3cm的小棒擺成三角形；
再確定前兩根小棒長度為2cm和4cm，2＋4＝6，5＜6，則第三根可以選擇5cm的小棒，從而擺出第二個三角形，三邊長度為2cm、4cm、5cm；6cm小棒等于前兩根小棒長度和，不能與2cm和4cm小棒擺成三角形；
再確定前兩根小棒長度為2cm和5cm，2＋5＝7，6＜7，則第三根可以選擇6cm的小棒，從而擺出第三個三角形，三邊長度為2cm、5cm、6cm；
再確定前兩根小棒長度為3cm和4cm，3＋4＝7，5＜7，則第三根可以選擇5cm的小棒，從而擺出第四個三角形，三邊長度為3cm、4cm、5cm；因6＜7，第三根還可以選擇6cm的小棒，從而擺出第五個三角形，三邊長度為3cm、4cm、6cm；
再確定前兩根小棒長度為3cm和5cm，3＋5＝8，6＜8，則第三根可以選擇6cm的小棒，從而擺出第六個三角形，三邊長度為3cm、5cm、6cm；
再確定前兩根小棒長度為4cm和5cm，4＋5＝9，6＜9，則第三根可以選擇6cm的小棒，從而擺出第七個三角形，三邊長度為4cm、5cm、6cm。
所以，用這5根小棒，可以擺出7個三角形。
26．（6分）小芳家有一個等腰三角形的相框，她打算用絲帶沿邊圍一周裝飾這個相框。量得這個相框的腰長18厘米，底邊長2分米，小芳至少需要買多少厘米長的絲帶？
【答案】56厘米
【分析】根據(jù)題意，求絲帶的長就是求三角形的周長。根據(jù)等腰三角形兩腰相等的特點，可知這個相框三邊的長度為18厘米，18厘米，2分米；先根據(jù)1分米＝10厘米，把2分米換算成厘米單位，即20厘米，再把三條邊的長度相加即可。據(jù)此解答。
【解答】2分米＝20厘米
18＋18＋20
＝36＋20
＝56（厘米）
答：小芳至少需要買56厘米長的絲帶。
27．（6分）小華是個愛動手、愛動腦的孩子。他把一根15厘米長的吸管剪成3段。
（1）若小華用這三段吸管圍成一個最大的等邊三角形，則這個等邊三角形的邊長是（ ）厘米。
（2）若小華用這三段吸管圍成一個底邊長是7厘米的等腰三角形，這個等腰三角形的腰長是多少厘米？
【答案】（1）5 （2）4厘米
【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的三條邊相等，所以用吸管的長度除以3即可求出等邊三角形的邊長；
（2）根據(jù)等腰三角形的兩條腰相等，用吸管的長度減去底邊的長度，再除以2即可求出等腰三角形的腰長。據(jù)此解答。
【解答】（1）15÷3＝5（厘米）
則這個等邊三角形的邊長是5厘米。
（2）（15－7）÷2
＝8÷2
＝4（厘米）
答：這個等腰三角形的腰長是4厘米。
28．（6分）紅領(lǐng)巾是少先隊員的標(biāo)志，象征著革命的勝利和無數(shù)英雄的心血。少先隊員佩戴的紅領(lǐng)巾的一個底角是30°，它的頂角是多少度？
【答案】120°
【分析】等腰三角形的特征之一是兩個底角度數(shù)相同。根據(jù)紅領(lǐng)巾是等腰三角形，所以兩個底角相等，再根據(jù)三角形內(nèi)角和是180°，用180°減去兩個底角的度數(shù)即可得出頂角的度數(shù)，據(jù)此解答。
【解答】180°－30°－30°
＝150°－30°
＝120°
答：它的頂角是120°。
29．（6分）爺爺?shù)哪疽瓮然蝿恿耍埬汜斠桓緱l（畫圖）在木椅上，讓木椅變得穩(wěn)定。
你運用的是哪個數(shù)學(xué)知識：
生活中還有哪里運用了這一知識，請列出兩條：
（1）
（2）
【答案】見詳解
【分析】三角形是最簡單、最基本的平面圖形。三角形的三條邊的長度一旦確定，這個三角形的形狀和大小就不會改變即三角形不易變形，這就是三角形的穩(wěn)定性即唯一性。三角形的穩(wěn)定性知識在人們的生活和生產(chǎn)中有著廣泛的應(yīng)用。學(xué)生熟悉的自行車的三腳架是三角形的，是因為三角形具有穩(wěn)定性。埃及金字塔、鋼軌、三角形框架、起重機、三角形吊臂、屋頂、三角形鋼架、鋼架橋和埃菲爾鐵塔都以三角形形狀建造。根據(jù)題意在木椅的一條腿和面之間釘一根木條組成三角形；依此解答。
【解答】畫圖如下：
運用了三角形的穩(wěn)定性。
生活中還有哪里運用了這一知識，列出兩條：
（1）自行車的三腳架是三角形。
（2）三角形鋼架是三角形。
30．（6分）八角窗在我國古代建筑中非常普遍。奇奇和小伙伴去蘇州園林游玩，看到了輪廓是正八邊形的八角窗，便和小伙伴一起探究八邊形的內(nèi)角和。
我把八邊形分成了8個三角形，所以它的內(nèi)角和是180°×8＝1440°
我把八邊形分成了4個三角形和1個四邊形，所以它的內(nèi)角和是180°×4＋360°＝1080°
我把八邊形分成了3個四邊形，所以它的內(nèi)角和是360°×3＝1080°
你同意或不同意誰的觀點？任選一個說說你的理由。
【答案】見詳解
【分析】求多邊形的內(nèi)角和時，可以將多邊形分割成若干個三角形或四邊形。然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和為180°、四邊形的內(nèi)角和為360°來推算多邊形的內(nèi)角和即可。這個過程中，如果有新增的角，在計算多邊形的內(nèi)角和時，需要減去這部分角的度數(shù)。
【解答】答1：我不同意奇奇的觀點，因為她把八邊形分成了8個三角形，每個三角形的內(nèi)角和是180°，180°×8＝1440°表示8個三角形內(nèi)角的和，但不是八邊形的內(nèi)角和，從圖中可以看出多了一個周角360°，所以這個八邊形的內(nèi)角和是1440°－360°＝1080°，所以奇奇的觀點是錯誤的。
答2：我同意甜甜的觀點，因為她把八邊形分成了4個三角形和1個四邊形。180°×4表示求4個三角形的內(nèi)角和，360°是四邊形的內(nèi)角和，180°×4＋360°＝720°＋360°＝1080°，1080°是八邊形的內(nèi)角和。
答3：我同意妙妙的觀點，因為她把八邊形分成了3個四邊形，每個四邊形的內(nèi)角和是360°，360°×3＝1080°，1080°是八邊形的內(nèi)角和。
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