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第四章 因式分解
一．因式分解的意義（共7小題）
1．下列式子從左到右變形是因式分解的是（　　）
A．a2+4a﹣21＝a（a+4）﹣21
B．a2+4a﹣21＝（a﹣3）（a+7）
C．（a﹣3）（a+7）＝a2+4a﹣21
D．a2+4a﹣21＝（a+2）2﹣25
【解答】解：A、a2+4a﹣21＝a（a+4）﹣21，不是因式分解，故A選項錯誤；
B、a2+4a﹣21＝（a﹣3）（a+7），是因式分解，故B選項正確；
C、（a﹣3）（a+7）＝a2+4a﹣21，不是因式分解，故C選項錯誤；
D、a2+4a﹣21＝（a+2）2﹣25，不是因式分解，故D選項錯誤；
故選：B．
2．若x2+mx﹣15＝（x+3）（x+n），則m的值是（　　）
A．﹣5 B．5 C．﹣2 D．2
【解答】解：∵x2+mx﹣15＝（x+3）（x+n），
∴x2+mx﹣15＝x2+nx+3x+3n，
∴3n＝﹣15，m＝n+3，
解得n＝﹣5，m＝﹣5+3＝﹣2．
故選：C．
3．若（x+2）是多項式4x2+5x+m的一個因式，則m等于（　　）
A．﹣6 B．6 C．﹣9 D．9
【解答】解：設4x2+5x+m＝（x+2）（4x+b）＝4x2+（b+8）x+2b，
則b+8＝5，m＝2b，
解得：b＝﹣3，m＝﹣6，
故選：A．
4．若多項式x2+ax+b分解因式的結果為（x+1）（x﹣2），則a+b的值為　﹣3　 ．
【解答】解：（x+1）（x﹣2）
＝x2﹣2x+x﹣2
＝x2﹣x﹣2
所以a＝﹣1，b＝﹣2，
則a+b＝﹣3．
故答案為：﹣3．
5．若多項式2x3+ax2+bx﹣6有兩個因式x﹣1和x+2，則ab的值為 　　 ．
【解答】解：設第三個因式為2x+c，
（2x+c）（x﹣1）（x+2）
＝（2x+c）（x2+x﹣2）
＝2x3+2x2﹣4x+cx2+cx﹣2c
＝2x3+（2+c）x2+（﹣4+c）x﹣2c，
∵多項式2x3+ax2+bx﹣6有兩個因式x﹣1和x+2，
∴﹣2c＝﹣6，﹣4+c＝b，2+c＝a，
∴c＝3，b＝﹣1，a＝5，
∴ab＝5﹣1．
故答案為：．
6．仔細閱讀下面例題，解答問題：
例題：已知二次三項式x2﹣4x+m有一個因式是（x+3），求另一個因式以及m的值．
解：設另一個因式為（x+n），得
x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n）
則x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n
∴．
解得：n＝﹣7，m＝﹣21
∴另一個因式為（x﹣7），m的值為﹣21
問題：仿照以上方法解答下面問題：
已知二次三項式2x2+3x﹣k有一個因式是（2x﹣5），求另一個因式以及k的值．
【解答】解：設另一個因式為（x+a），得：
2x2+3x﹣k＝（2x﹣5）（x+a），
則2x2+3x﹣k＝2x2+（2a﹣5）x﹣5a
∴．
解得：a＝4，k＝20．
故另一個因式為（x+4），k的值為20．
7．先閱讀下面的內容，再解決問題．
如果一個整式A等于整式B與整式C之積，則稱整式B和整式C為整式A的因式．
如：①因為x2﹣4＝（x+2）（x﹣2），所以x+2和x﹣2是x2﹣4的因式．
②若x﹣2是x2+ax﹣2的因式，則求常數a的值的過程如下：
解：∵x﹣2是x2+ax﹣2的因式，
∴存在一個整式（mx+n），使得x2+ax﹣2＝（x﹣2）（mx+n）．
∴當x＝2時，（x﹣2）（mx+n）＝0．
此時x2+ax﹣2＝0．
將x＝2代入得，4+2a﹣2＝0，
解得a＝﹣1．
（1）x+4是x2﹣2x﹣8的因式嗎？　不是　 （填“是”或“不是”）；
（2）若x+3是x2+8x+m的因式，求常數m的值．
【解答】解：（1）x2﹣2x﹣8＝（x+2）（x﹣4）．
故x+4不是x2﹣2x﹣8的因式；
故答案為：不是；
（2）∵x+3是x2+8x+m的因式，
∴存在一個整式（mx+n），使得x2+8x+m＝（x+3）（mx+n），
∴當x＝﹣3時，（x+3）（mx+n）＝0，則x2+8x+m＝0，
當x＝﹣3時，（﹣3）2+8×（﹣3）+m＝0，
解得m＝15．
二．公因式（共6小題）
8．多項式3x2y2﹣12x2y4﹣6x3y3的公因式是（　?。?br/>A．3x2y2z B．x2y2 C．3x2y2 D．3x3y2z
【解答】解：多項式3x2y2﹣12x2y4﹣6x3y3的公因式是3x2y2，
故選：C．
9．把多項式8a2b2﹣16a2b2c2分解因式，應提的公因式是（　?。?br/>A．8a2b2 B．4a2b2 C．8ab2 D．8ab
【解答】解：8a2b2﹣16a2b2c2＝8a2b2（1﹣2c2）．
故選：A．
10．多項式mx2﹣m與多項式x2﹣2x+1的公因式是（　?。?br/>A．x﹣1 B．x+1 C．x2﹣1 D．（x﹣1）2
【解答】解：mx2﹣m＝m（x﹣1）（x+1），
x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，
多項式mx2﹣m與多項式x2﹣2x+1的公因式是（x﹣1）．
故選：A．
11．多項式x3+6x2y+9xy2與x3y﹣9xy3的公因式是（　?。?br/>A．x（x+3y）2 B．x（x+3y） C．xy（x+3y） D．x（x﹣3y）
【解答】解：∵x3+6x2y+9xy2＝x（x2+6xy+9y2）＝x（x+3y）2，
x3y﹣9xy3＝xy（x2﹣9y2）＝xy（x+3y）（x﹣3y），
∴多項式x3+6x2y+9xy2與多項式x3y﹣9xy3的公因式是x（x+3y）．
故選：B．
12．（x2﹣y2），（x+y）2，（﹣2x﹣2y）的公因式是：　x+y　 ．
【解答】解：∵（x2﹣y2）＝（x+y）（x﹣y），（﹣2x﹣2y）＝﹣2（x+y），
∴（x2﹣y2），（x+y）2，（﹣2x﹣2y）的公因式是（x+y）．
故答案為：x+y．
13．多項式3x+3y與x2﹣y2的公因式是 　x+y　 ．
【解答】解：3x+3y＝3（x+y），x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y），
則多項式3x+3y與x2﹣y2的公因式是x+y．
故答案為：x+y．
三．因式分解-提公因式（共8小題）
14．把多項式a2+2a分解因式得（　?。?br/>A．a（a+2） B．a（a﹣2）
C．（a+2）2 D．（a+2）（a﹣2）
【解答】解：a2+2a＝a（a+2）．
故選：A．
15．分解因式：a2﹣ab＝　a（a﹣b）　 ．
【解答】解：a2﹣ab＝a（a﹣b）．
16．因式分解：（a﹣b）2﹣（b﹣a）＝?。╝﹣b）（a﹣b+1）　 ．
【解答】解：原式＝（a﹣b）2+（a﹣b）＝（a﹣b）（a﹣b+1），
故答案為：（a﹣b）（a﹣b+1）
17．已知ab＝﹣3，a+b＝2，則a2b+ab2的值是（　?。?br/>A．6 B．﹣6 C．1 D．﹣1
【解答】解：因為ab＝﹣3，a+b＝2，
所以a2b+ab2
＝ab（a+b）
＝﹣3×2
＝﹣6，
故選：B．
18．若m﹣n＝﹣2，mn＝1，則m3n+mn3＝（　?。?br/>A．6 B．5 C．4 D．3
【解答】解：∵m﹣n＝﹣2，mn＝1，
∴（m﹣n）2＝4，
∴m2+n2﹣2mn＝4，
則m2+n2＝6，
∴m3n+mn3＝mn（m2+n2）
＝1×6
＝6．
故選：A．
19．當a，b互為相反數時，代數式a2+ab﹣4的值為（　?。?br/>A．4 B．0 C．﹣3 D．﹣4
【解答】解：∵a，b互為相反數，
∴a+b＝0，
∴a2+ab﹣4＝a（a+b）﹣4
＝0﹣4
＝﹣4．
故選：D．
20．下列各數中，不能整除803﹣80的是（　　）
A．78 B．79 C．80 D．81
【解答】解：803﹣80
＝80×（802﹣1）
＝80×（80+1）×（80﹣1）
＝80×81×79，
故不能整除803﹣80的是78，
故選：A．
21．因式分解：（2x﹣y）（x+3y）﹣（2x+3y）（y﹣2x）．
【解答】解：原式＝（2x﹣y）（x+3y）+（2x+3y）（2x﹣y）
＝（2x﹣y）[（x+3y）+（2x+3y）]
＝（2x﹣y）（x+3y+2x+3y）
＝（2x﹣y）（3x+6y）
＝3（2x﹣y）（x+2y）．
四．因式分解-運用公式法（共6小題）
22．下列各式能用平方差公式分解因式的有（　?。?br/>①x2+y2；②x2﹣y2；③﹣x2﹣y2；④﹣x2+y2；⑤﹣x2+2xy﹣y2．
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【解答】解：下列各式能用平方差公式分解因式的有；②x2﹣y2；④﹣x2+y2，共2個，
故選：B．
23．下列各式中，不能用完全平方公式分解的個數為（　?。?br/>①x2﹣10x+25；②4a2+4a﹣1；③x2﹣2x﹣1；④；⑤．
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【解答】解：①x2﹣10x+25＝（x﹣5）2，不符合題意；
②4a2+4a﹣1不能用完全平方公式分解；
③x2﹣2x﹣1不能用完全平方公式分解；
④（m2﹣m）＝﹣（m）2，不符合題意；
⑤不能用完全平方公式分解．
故選：C．
24．已知x2+kx+9可以用完全平方公式進行因式分解，則k的值為（　?。?br/>A．﹣6 B．3 C．6 D．±6
【解答】解：∵x2+6x+9＝（x+3）2，
x2﹣6x+9＝（x﹣3）2，
∴k＝±6，
故選：D．
25．若4x2+（k﹣1）x+9能用完全平方公式因式分解，則k的值為（　?。?br/>A．±6 B．±12 C．﹣13或11 D．13或﹣11
【解答】解：∵4x2+（k﹣1）x+9能用完全平方公式因式分解，
∴k﹣1＝±12，
解得：k＝13或﹣11，
故選：D．
26．若a，b，c是三角形的三邊，則代數式（a﹣b）2﹣c2的值是（　?。?br/>A．正數 B．負數 C．等于零 D．不能確定
【解答】解：∵（a﹣b）2﹣c2＝（a﹣b+c）（a﹣b﹣c），a，b，c是三角形的三邊，
∴a+c﹣b＞0，a﹣b﹣c＜0，
∴（a﹣b）2﹣c2的值是負數．
故選：B．
27．閱讀下列材料：
在因式分解中，把多項式中某些部分看作一個整體，用一個新的字母代替（即換元），不僅可以簡化要分解的多項式的結構，而且能使式子的特點更加明顯，便于觀察如何進行因式分解，我們把這種因式分解的方法稱為“換元法”．下面是小涵同學用換元法對多項式（x2﹣4x+1）（x2﹣4x+7）+9進行因式分解的過程．
解：設x2﹣4x＝y
原式＝（y+1）（y+7）+9（第一步）
＝y2+8y+16（第二步）
＝（y+4）2（第三步）
＝（x2﹣4x+4）2（第四步）
請根據上述材料回答下列問題：
（1）小涵同學的解法中，第二步到第三步運用了因式分解的 　C　 ；
A．提取公因式法
B．平方差公式法
C．完全平方公式法
（2）老師說，小涵同學因式分解的結果不徹底，請你寫出該因式分解的最后結果：?。▁﹣2）4　 ；
（3）請你用換元法對多項式（x2+2x）（x2+2x+2）+1進行因式分解．
【解答】解：（1）故選：C；
（2）（x2﹣4x+1）（x2﹣4x+7）+9，
設x2﹣4x＝y，
原式＝（y+1）（y+7）+9，
＝y2+8y+16，
＝（y+4）2，
＝（x2﹣4x+4）2，
＝（x﹣2）4；
故答案為：（x﹣2）4；
（3）設x2+2x＝y，
原式＝y（y+2）+1，
＝y2+2y+1，
＝（y+1）2，
＝（x2+2x+1）2，
＝（x+1）4．
五．完全平方式（共6小題）
28．已知x2﹣8x+a可以寫成一個完全平方式，則a可為（　　）
A．4 B．8 C．16 D．﹣16
【解答】解：∵x2﹣8x+a可以寫成一個完全平方式，
∴則a可為：16．
故選：C．
29．如果x2+mx+16是完全平方式，那么m的值是（　?。?br/>A．8 B．4 C．±4 D．±8
【解答】解：∵x2±8x+16＝（x±4）2，
x2+mx+16是完全平方式，
∴m＝±8；
故選：D．
30．已知m2+n2﹣6m+10n+34＝0，則m+n＝　﹣2　 ．
【解答】解：根據題意，m2+n2﹣6m+10n+34＝0，
變形后：（m﹣3）2+（n+5）2＝0；
得m＝3，n＝﹣5；
所以，m+n＝﹣2．
31．已知正實數x、y，滿足（x+y）2＝25，xy＝4．
（1）求x2+y2的值；
（2）若m＝（x﹣y）2時，4a2+na+m是完全平方式，求n的值．
【解答】解：（1）∵xy＝4，
∴（x+y）2＝x2+2xy+y2＝x2+y2+2×4＝25，
∴x2+y2＝17．
（2）∵（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy＝17﹣2×4＝9，
∴m＝9，
∵4a2+na+m＝4a2+na+9是完全平方式，
∴na＝±2×2a×3＝±12a，
∴n＝±12．
32．已知多項式A＝x2+2x+n2，多項式B＝2x2+4x+3n2+3．
（1）若多項式x2+2x+n2是完全平方式，則n＝　±1　 ；
（2）有同學猜測B﹣2A的結果是定值，他的猜測是否正確，請說明理由；
（3）若多項式x2+2x+n2的值為﹣1，求x和n的值．
【解答】解：（1）∵x2+2x+n2是一個完全平方式，
∴x2+2x+n2＝（x+1）2，
∴n2＝1，
∴n＝±1．
故答案為：±1；
（2）猜測不正確，理由：
∵A＝x2+2x+n2，B＝2x2+4x+3n2+3，
∴B﹣2A＝2x2+4x+3n2+3﹣2（x2+2x+n2）＝2x2+4x+3n2+3﹣2x2﹣4x﹣2n2＝n2+3，
∵結果含字母n，
∴B﹣2A的結果不是定值；
（3）由題意可得x2+2x+n2＝﹣1，
∴x2+2x+n2+1＝0，
∴（x+1）2+n2＝0，
∴x+1＝0，n＝0，
∴x＝﹣1．
33．在課后服務課上，老師準備了若干個如圖1的三種紙片，A種紙片是邊長為a的正方形，B種紙片是邊長為b的正方形，C種紙片是長為b，寬為α的長方形，并用A種紙片一張，B種紙片一張，C種紙片兩張拼成如圖2的大正方形．
【發現】
（1）根據圖2，寫出一個我們熟悉的數學公式 ?。╝+b）2＝a2+2ab+b2　 ．
【應用】
（2）根據（1）中的數學公式，解決如下問題：
①已知：a+b＝7，a2+b2＝25，求ab的值．
②如果一個長方形的長和寬分別為（8﹣x）和（x﹣2），且（8﹣x）2+（x﹣2）2＝20，求這個長方形的面積．
【解答】解：（1）由圖2可知，（a+b）2＝a2+2ab+b2，
故答案為：（a+b）2＝a2+2ab+b2；
（2）①∵a+b＝7，
∴（a+b）2＝a2+2ab+b2＝49，
∵a2+b2＝25，
∴2ab＝24，
∴ab＝12；
②由（1）知，[（8﹣x）+（x﹣2）]2＝（8﹣x）2+2（8﹣x）（x﹣2）+（x﹣2）2＝36，
∵（8﹣x）2+（x﹣2）2＝20，
∴2（8﹣x）（x﹣2）＝16，
∴（8﹣x）（x﹣2）＝8，
故這個長方形的面積為8．
(
1
)第四章 因式分解
考點分布
一．因式分解的意義
二．公因式
三．因式分解-提公因式
四．因式分解-運用公式法
五．完全平方式
一．因式分解的意義
知識點梳理：
因式分解的意義
1、分解因式的定義：
把一個多項式化為幾個整式的積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解，也叫做分解因式．
2、因式分解與整式乘法是相反方向的變形，即互逆運算，二者是一個式子的不同表現形式．因式分解是兩個或幾個因式積的表現形式，整式乘法是多項式的表現形式．例如：
3、因式分解是恒等變形，因此可以用整式乘法來檢驗．
例題講解：
1．下列式子從左到右變形是因式分解的是（　?。?br/>A．a2+4a﹣21＝a（a+4）﹣21
B．a2+4a﹣21＝（a﹣3）（a+7）
C．（a﹣3）（a+7）＝a2+4a﹣21
D．a2+4a﹣21＝（a+2）2﹣25
2．若x2+mx﹣15＝（x+3）（x+n），則m的值是（　　）
A．﹣5 B．5 C．﹣2 D．2
3．若（x+2）是多項式4x2+5x+m的一個因式，則m等于（　　）
A．﹣6 B．6 C．﹣9 D．9
4．若多項式x2+ax+b分解因式的結果為（x+1）（x﹣2），則a+b的值為　 　 ．
5．若多項式2x3+ax2+bx﹣6有兩個因式x﹣1和x+2，則ab的值為 　 　 ．
6．仔細閱讀下面例題，解答問題：
例題：已知二次三項式x2﹣4x+m有一個因式是（x+3），求另一個因式以及m的值．
解：設另一個因式為（x+n），得
x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n）
則x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n
∴．
解得：n＝﹣7，m＝﹣21
∴另一個因式為（x﹣7），m的值為﹣21
問題：仿照以上方法解答下面問題：
已知二次三項式2x2+3x﹣k有一個因式是（2x﹣5），求另一個因式以及k的值．
7．先閱讀下面的內容，再解決問題．
如果一個整式A等于整式B與整式C之積，則稱整式B和整式C為整式A的因式．
如：①因為x2﹣4＝（x+2）（x﹣2），所以x+2和x﹣2是x2﹣4的因式．
②若x﹣2是x2+ax﹣2的因式，則求常數a的值的過程如下：
解：∵x﹣2是x2+ax﹣2的因式，
∴存在一個整式（mx+n），使得x2+ax﹣2＝（x﹣2）（mx+n）．
∴當x＝2時，（x﹣2）（mx+n）＝0．
此時x2+ax﹣2＝0．
將x＝2代入得，4+2a﹣2＝0，
解得a＝﹣1．
（1）x+4是x2﹣2x﹣8的因式嗎？　 　 （填“是”或“不是”）；
（2）若x+3是x2+8x+m的因式，求常數m的值．
二．公因式
知識點梳理：
公因式
1、定義：多項式ma+mb+mc中，各項都含有一個公共的因式m，因式m叫做這個多項式各項的公因式．
2、確定多項式中各項的公因式，可概括為三“定”：
①定系數，即確定各項系數的最大公約數；
②定字母，即確定各項的相同字母因式（或相同多項式因式）；
③定指數，即各項相同字母因式（或相同多項式因式）的指數的最低次冪．
例題講解：
8．多項式3x2y2﹣12x2y4﹣6x3y3的公因式是（　?。?br/>A．3x2y2z B．x2y2 C．3x2y2 D．3x3y2z
9．把多項式8a2b2﹣16a2b2c2分解因式，應提的公因式是（　?。?br/>A．8a2b2 B．4a2b2 C．8ab2 D．8ab
10．多項式mx2﹣m與多項式x2﹣2x+1的公因式是（　　）
A．x﹣1 B．x+1 C．x2﹣1 D．（x﹣1）2
11．多項式x3+6x2y+9xy2與x3y﹣9xy3的公因式是（　?。?br/>A．x（x+3y）2 B．x（x+3y） C．xy（x+3y） D．x（x﹣3y）
12．（x2﹣y2），（x+y）2，（﹣2x﹣2y）的公因式是：　 　 ．
13．多項式3x+3y與x2﹣y2的公因式是 　 　 ．
三．因式分解-提公因式
知識點梳理：
因式分解-提公因式法
1、提公因式法：如果一個多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提出來，從而將多項式化成兩個因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法．
2、具體方法：
（1）當各項系數都是整數時，公因式的系數應取各項系數的最大公約數；字母取各項的相同的字母，而且各字母的指數取次數最低的；取相同的多項式，多項式的次數取最低的．
（2）如果多項式的第一項是負的，一般要提出“﹣”號，使括號內的第一項的系數成為正數．
提出“﹣”號時，多項式的各項都要變號．
3、口訣：找準公因式，一次要提凈；全家都搬走，留1把家守；提負要變號，變形看奇偶．
4、提公因式法基本步驟：
（1）找出公因式；
（2）提公因式并確定另一個因式：
①第一步找公因式可按照確定公因式的方法先確定系數再確定字母；
②第二步提公因式并確定另一個因式，注意要確定另一個因式，可用原多項式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一個因式，也可用公因式分別除去原多項式的每一項，求的剩下的另一個因式；
③提完公因式后，另一因式的項數與原多項式的項數相同．
例題講解：
14．把多項式a2+2a分解因式得（　?。?br/>A．a（a+2） B．a（a﹣2）
C．（a+2）2 D．（a+2）（a﹣2）
15．分解因式：a2﹣ab＝　 　 ．
16．因式分解：（a﹣b）2﹣（b﹣a）＝　 　 ．
17．已知ab＝﹣3，a+b＝2，則a2b+ab2的值是（　?。?br/>A．6 B．﹣6 C．1 D．﹣1
18．若m﹣n＝﹣2，mn＝1，則m3n+mn3＝（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
19．當a，b互為相反數時，代數式a2+ab﹣4的值為（　?。?br/>A．4 B．0 C．﹣3 D．﹣4
20．下列各數中，不能整除803﹣80的是（　　）
A．78 B．79 C．80 D．81
21．因式分解：（2x﹣y）（x+3y）﹣（2x+3y）（y﹣2x）．
四．因式分解-運用公式法
知識點梳理：
因式分解-運用公式法
1、如果把乘法公式反過來，就可以把某些多項式分解因式，這種方法叫公式法．
平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2；
2、概括整合：
①能夠運用平方差公式分解因式的多項式必須是二項式，兩項都能寫成平方的形式，且符號相反．
②能運用完全平方公式分解因式的多項式必須是三項式，其中有兩項能寫成兩個數（或式）的平方和的形式，另一項是這兩個數（或式）的積的2倍．
3、要注意公式的綜合應用，分解到每一個因式都不能再分解為止．
例題講解：
22．下列各式能用平方差公式分解因式的有（　?。?br/>①x2+y2；②x2﹣y2；③﹣x2﹣y2；④﹣x2+y2；⑤﹣x2+2xy﹣y2．
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
23．下列各式中，不能用完全平方公式分解的個數為（　　）
①x2﹣10x+25；②4a2+4a﹣1；③x2﹣2x﹣1；④；⑤．
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
24．已知x2+kx+9可以用完全平方公式進行因式分解，則k的值為（　?。?br/>A．﹣6 B．3 C．6 D．±6
25．若4x2+（k﹣1）x+9能用完全平方公式因式分解，則k的值為（　?。?br/>A．±6 B．±12 C．﹣13或11 D．13或﹣11
26．若a，b，c是三角形的三邊，則代數式（a﹣b）2﹣c2的值是（　?。?br/>A．正數 B．負數 C．等于零 D．不能確定
27．閱讀下列材料：
在因式分解中，把多項式中某些部分看作一個整體，用一個新的字母代替（即換元），不僅可以簡化要分解的多項式的結構，而且能使式子的特點更加明顯，便于觀察如何進行因式分解，我們把這種因式分解的方法稱為“換元法”．下面是小涵同學用換元法對多項式（x2﹣4x+1）（x2﹣4x+7）+9進行因式分解的過程．
解：設x2﹣4x＝y
原式＝（y+1）（y+7）+9（第一步）
＝y2+8y+16（第二步）
＝（y+4）2（第三步）
＝（x2﹣4x+4）2（第四步）
請根據上述材料回答下列問題：
（1）小涵同學的解法中，第二步到第三步運用了因式分解的 　 　 ；
A．提取公因式法
B．平方差公式法
C．完全平方公式法
（2）老師說，小涵同學因式分解的結果不徹底，請你寫出該因式分解的最后結果：　 　 ；
（3）請你用換元法對多項式（x2+2x）（x2+2x+2）+1進行因式分解．
五．完全平方式
知識點梳理：
完全平方式
完全平方式的定義：對于一個具有若干個簡單變元的整式A，如果存在另一個實系數整式B，使A＝B2，則稱A是完全平方式．
a2±2ab+b2＝（a±b）2
完全平方式分兩種，一種是完全平方和公式，就是兩個整式的和括號外的平方．另一種是完全平方差公式，就是兩個整式的差括號外的平方．算時有一個口訣“首末兩項算平方，首末項乘積的2倍中間放，符號隨中央．（就是把兩項的乘方分別算出來，再算出兩項的乘積，再乘以2，然后把這個數放在兩數的乘方的中間，這個數以前一個數間的符號隨原式中間的符號，完全平方和公式就用+，完全平方差公式就用﹣，后邊的符號都用+）”
例題講解：
28．已知x2﹣8x+a可以寫成一個完全平方式，則a可為（　?。?br/>A．4 B．8 C．16 D．﹣16
29．如果x2+mx+16是完全平方式，那么m的值是（　　）
A．8 B．4 C．±4 D．±8
30．已知m2+n2﹣6m+10n+34＝0，則m+n＝　 　 ．
31．已知正實數x、y，滿足（x+y）2＝25，xy＝4．
（1）求x2+y2的值；
（2）若m＝（x﹣y）2時，4a2+na+m是完全平方式，求n的值．
32．已知多項式A＝x2+2x+n2，多項式B＝2x2+4x+3n2+3．
（1）若多項式x2+2x+n2是完全平方式，則n＝　 　 ；
（2）有同學猜測B﹣2A的結果是定值，他的猜測是否正確，請說明理由；
（3）若多項式x2+2x+n2的值為﹣1，求x和n的值．
33．在課后服務課上，老師準備了若干個如圖1的三種紙片，A種紙片是邊長為a的正方形，B種紙片是邊長為b的正方形，C種紙片是長為b，寬為α的長方形，并用A種紙片一張，B種紙片一張，C種紙片兩張拼成如圖2的大正方形．
【發現】
（1）根據圖2，寫出一個我們熟悉的數學公式 　 　 ．
【應用】
（2）根據（1）中的數學公式，解決如下問題：
①已知：a+b＝7，a2+b2＝25，求ab的值．
②如果一個長方形的長和寬分別為（8﹣x）和（x﹣2），且（8﹣x）2+（x﹣2）2＝20，求這個長方形的面積．
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