資源簡介

第三章 整式的乘除
考點分布
一．同底數冪乘法
二．冪的乘方與積的乘方
三．單項式乘單項式
四．單項式乘多項式
五．多項式乘多項式
一．同底數冪乘法
知識點梳理：
同底數冪的乘法
（1）同底數冪的乘法法則：同底數冪相乘，底數不變，指數相加．
am an＝a m+n（m，n是正整數）
（2）推廣：am an ap＝a m+n+p（m，n，p都是正整數）
在應用同底數冪的乘法法則時，應注意：①底數必須相同，如23與25，（a2b2）3與（a2b2）4，（x﹣y）2與（x﹣y）3等；②a可以是單項式，也可以是多項式；③按照運算性質，只有相乘時才是底數不變，指數相加．
（3）概括整合：同底數冪的乘法，是學習整式乘除運算的基礎，是學好整式運算的關鍵．在運用時要抓住“同底數”這一關鍵點，同時注意，有的底數可能并不相同，這時可以適當變形為同底數冪．
例題講解：
1．計算a3 a2正確的是（　　）
A．a B．a5 C．a6 D．a9
2．若am＝4，an＝6，則am+n＝（　?。?br/>A． B． C．10 D．24
3．若3x＝4，3y＝6，則3x+y的值是（　?。?br/>A．24 B．10 C．3 D．2
4．計算：（﹣a）2 a4的結果是（　?。?br/>A．a8 B．a6 C．﹣a8 D．﹣a6
5．在等式x2 （﹣x） （　　）＝x11中，括號內的代數式為（　　）
A．x8 B．（﹣x）8 C．﹣x9 D．﹣x8
6．若2n×2m＝26，則m+n＝（　?。?br/>A．3 B．4 C．5 D．6
7．已知2x+3y﹣3＝0，則9x 27y＝　 　 ．
8．（1）已知xm﹣n x2n+1＝x11，且ym﹣1 y4﹣n＝y5，求m，n的值．
（2）已知2x+2＝6，求2x+5的值．
9．閱讀以下材料：
指數與對數之間有密切的聯系，它們之間可以互化．
對數的定義：一般地，若ax＝N（a＞0且a≠1），那么x叫做以a為底N的對數，記作x＝logaN，比如指數式24＝16可以轉化為對數式4＝log216，對數式2＝log525，可以轉化為指數式52＝25．
我們根據對數的定義可得到對數的一個性質：
loga（M N）＝logaM+logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0），理由如下：
設logaM＝m，logaN＝n，則M＝am，N＝an，
∴M N＝am an＝am+n，由對數的定義得m+n＝loga（M N）
又∵m+n＝logaM+logaN，
∴loga（M N）＝logaM+logaN．
請解決以下問題：
（1）將指數式34＝81轉化為對數式 　 　 ；
（2）求證：logalogaM﹣logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）；
（3）拓展運用：計算log69+log68﹣log62＝　 　 ．
二．冪的乘方與積的乘方
知識點梳理：
冪的乘方與積的乘方
（1）冪的乘方法則：底數不變，指數相乘．
（am）n＝amn（m，n是正整數）
注意：①冪的乘方的底數指的是冪的底數；②性質中“指數相乘”指的是冪的指數與乘方的指數相乘，這里注意與同底數冪的乘法中“指數相加”的區別．
（2）積的乘方法則：把每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘．
（ab）n＝anbn（n是正整數）
注意：①因式是三個或三個以上積的乘方，法則仍適用；②運用時數字因數的乘方應根據乘方的意義，計算出最后的結果．
例題講解：
10．若（ambn）3＝a9b15，則m、n的值分別為（　　）
A．9；5 B．3；5 C．5；3 D．6；12
11．已知10x＝m，10y＝n，則102x+3y等于（　　）
A．2m+3n B．m2+n2 C．6mn D．m2n3
12．已知9m＝3，27n＝4，則32m+3n＝（　　）
A．1 B．6 C．7 D．12
13．42020×（﹣0.25）2021＝　 　 ．
14．計算：﹣82005×（﹣0.125）2006＝　 　 ．
15．計算：（﹣2xy2）3＝　 　 ．
16．若x，y均為正整數，且2x+1 4y＝128，則x+y的值為（　　）
A．3 B．5 C．4或5 D．3或4或5
17．已知a＝8131，b＝2741，c＝961，則a，b，c的大小關系是（　?。?br/>A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．a＜b＜c D．b＞c＞a
18．已知a＝255，b＝344，c＝433，則a、b、c的大小關系為（　　）
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．b＞a＞c
19．（1）已知2x+5y﹣3＝0，求4x 32y的值．
（2）已知2×8x×16＝223，求x的值．
20．已知：am＝3，an＝5，求：
（1）am+n的值．
（2）a3m+2n的值．
三．單項式乘單項式
知識點梳理：
單項式乘單項式
運算性質：單項式與單項式相乘，把他們的系數，相同字母分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數作為積的一個因式．
注意：①在計算時，應先進行符號運算，積的系數等于各因式系數的積；②注意按順序運算；③不要丟掉只在一個單項式里含有的字母因式；④此性質對于多個單項式相乘仍然成立．
例題講解：
21．計算（﹣2x2y3） 3xy2結果正確的是（　?。?br/>A．﹣6x2y6 B．﹣6x3y5 C．﹣5x3y5 D．﹣24x7y5
22．在下列各式中，應填入“（﹣y）”的是（　?。?br/>A．﹣y3 ____＝﹣y4 B．2y3 ____＝﹣2y4
C．（﹣2y）3 ____＝﹣8y4 D．（﹣y）12 ____＝﹣3y13
23．已知單項式3x2y3與﹣2xy2的積為mx3yn，那么m﹣n＝（　　）
A．﹣11 B．5 C．1 D．﹣1
24．長方形的長為6x2y，寬為3xy，則它的面積為（　?。?br/>A．9x3y2 B．18x3y2 C．18x2y D．6xy2
25．計算：
（1）（﹣2x2y3）2 xy； （2）a﹣2b2 （ab﹣1）．
四．單項式乘多項式
知識點梳理：
單項式乘多項式
（1）單項式與多項式相乘的運算法則：單項式與多項式相乘，就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加．
（2）單項式與多項式相乘時，應注意以下幾個問題：
①單項式與多項式相乘實質上是轉化為單項式乘以單項式；②用單項式去乘多項式中的每一項時，不能漏乘；③注意確定積的符號．
例題講解：
26．計算：x（x2﹣1）＝（　?。?br/>A．x3﹣1 B．x3﹣x C．x3+x D．x2﹣x
27．如果計算（2﹣nx+3x2+mx3）（﹣4x2）的結果不含x5項，那么m的值為（　?。?br/>A．0 B．1 C．﹣1 D．
28．已知x（x﹣2）＝3，則代數式2x2﹣4x﹣7的值為（　　）
A．6 B．﹣4 C．13 D．﹣1
29．某同學在計算﹣3x加上一個多項式時錯將加法做成了乘法，得到的答案是3x3﹣3x2+3x，由此可以推斷出正確的計算結果是（　　）
A．﹣x2﹣2x﹣1 B．x2+2x﹣1 C．﹣x2+4x﹣1 D．x2﹣4x+1
30．若﹣x2y＝2，則﹣xy（x5y2﹣x3y+2x）的值為（　?。?br/>A．16 B．12 C．8 D．0
31．已知x2﹣2＝y，則x（x﹣2023y）﹣y（1﹣2023x）的值為（　?。?br/>A．2 B．0 C．﹣2 D．1
32．計算： ab＝　 　 ．
33．已知M＝x2﹣ax+3，N＝﹣x，P＝x3+3x2+5且M N+P的值與x2的取值無關，則a的值為 　 　 ．
34．先化簡，再求值：3a（2a2﹣4a+3）﹣2a2（3a+4），其中a＝﹣2．
35．某同學在計算一個多項式乘以﹣3x2時，因抄錯運算符號，算成了加上﹣3x2，得到的結果是x2﹣4x+1，那么正確的計算結果是多少？
五．多項式乘多項式
知識點梳理：
多項式乘多項式
（1）多項式與多項式相乘的法則：
多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另外一個多項式的每一項，再把所得的積相加．
（2）運用法則時應注意以下兩點：
①相乘時，按一定的順序進行，必須做到不重不漏；②多項式與多項式相乘，仍得多項式，在合并同類項之前，積的項數應等于原多項式的項數之積．
例題講解：
36．如果（x+m）與（x+3）的乘積中不含x的一次項，則m的值為（　?。?br/>A．﹣3 B．3 C．0 D．1
37．如果（x2+px+q）（x2﹣5x+7）的展開式中不含x2與x3項，那么p與q的值是（　　）
A．p＝5，q＝18 B．p＝﹣5，q＝18
C．p＝﹣5，q＝﹣18 D．p＝5，q＝﹣18
38．若（x2﹣x+m）（x﹣8）中不含x的一次項，則m的值為 　 　 ．
39．已知（x﹣1）（x+2）＝ax2+bx+c，則代數式4a﹣2b+c的值為　 　 ．
40．甲、乙兩人共同計算一道整式乘法題：（2x+a）（3x+b）．甲由于把第一個多項式中的“+a”看成了“﹣a”，得到的結果為6x2+11x﹣10；乙由于漏抄了第二個多項式中x的系數，得到的結果為2x2﹣9x+10．
（1）求正確的a、b的值．（2）計算這道乘法題的正確結果．
41．觀察以下等式：
（x+1）（x2﹣x+1）＝x3+1
（x+3）（x2﹣3x+9）＝x3+27
（x+6）（x2﹣6x+36）＝x3+216
…
（1）按以上等式的規律，填空：（a+b）（ 　 　 ）＝a3+b3；
（2）利用多項式的乘法法則，說明（1）中的等式成立；
（3）利用（1）中的公式化簡：（x+y）（x2﹣xy+y2）﹣（x+2y）（x2﹣2xy+4y2）．
42．小明與小樂兩人共同計算（2x+a）（3x+b），小明抄錯為（2x﹣a）（3x+b），得到的結果為6x2﹣13x+6；小樂抄錯為（2x+a）（x+b），得到的結果為2x2﹣x﹣6．
（1）式子中的a，b的值各是多少？
（2）請計算出原題的答案．
(
1
)第三章 整式的乘除
一．同底數冪乘法（共9小題）
1．計算a3 a2正確的是（　　）
A．a B．a5 C．a6 D．a9
【解答】解：a3 a2＝a3+2＝a5．
故選：B．
2．若am＝4，an＝6，則am+n＝（　　）
A． B． C．10 D．24
【解答】解：∵am＝4，an＝6，
∴am+n＝am an＝4×6＝24，
故選：D．
3．若3x＝4，3y＝6，則3x+y的值是（　?。?br/>A．24 B．10 C．3 D．2
【解答】解：∵3x＝4，3y＝6，
∴3x+y＝3x 3y＝4×6＝24．
故選：A．
4．計算：（﹣a）2 a4的結果是（　?。?br/>A．a8 B．a6 C．﹣a8 D．﹣a6
【解答】解：（﹣a）2 a4＝a2 a4＝a6．
故選：B．
5．在等式x2 （﹣x） （　　）＝x11中，括號內的代數式為（　?。?br/>A．x8 B．（﹣x）8 C．﹣x9 D．﹣x8
【解答】解：x2 （﹣x） （﹣x8）＝x2+1+8＝x11，
故選：D．
6．若2n×2m＝26，則m+n＝（　?。?br/>A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：∵2n×2m＝2n+m＝26，
∴m+n＝6．
故選：D．
7．已知2x+3y﹣3＝0，則9x 27y＝　27　 ．
【解答】解：由2x+3y﹣3＝0，得
2x+3y＝3．
9x 27y＝32x 33y＝32x+3y＝33＝27，
故答案為：27．
8．（1）已知xm﹣n x2n+1＝x11，且ym﹣1 y4﹣n＝y5，求m，n的值．
（2）已知2x+2＝6，求2x+5的值．
【解答】解：（1）∵xm﹣n x2n+1＝x11，ym﹣1 y4﹣n＝y5，
∴xm﹣n+2n+1＝x11，ym﹣1+4﹣n＝y5，
∴，
解得：；
（2）當2x+2＝6時，
2x+5
＝2x+2+3
＝2x+2×23
＝6×8
＝48．
9．閱讀以下材料：
指數與對數之間有密切的聯系，它們之間可以互化．
對數的定義：一般地，若ax＝N（a＞0且a≠1），那么x叫做以a為底N的對數，記作x＝logaN，比如指數式24＝16可以轉化為對數式4＝log216，對數式2＝log525，可以轉化為指數式52＝25．
我們根據對數的定義可得到對數的一個性質：
loga（M N）＝logaM+logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0），理由如下：
設logaM＝m，logaN＝n，則M＝am，N＝an，
∴M N＝am an＝am+n，由對數的定義得m+n＝loga（M N）
又∵m+n＝logaM+logaN，
∴loga（M N）＝logaM+logaN．
請解決以下問題：
（1）將指數式34＝81轉化為對數式 　4＝log381　 ；
（2）求證：logalogaM﹣logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）；
（3）拓展運用：計算log69+log68﹣log62＝　2　 ．
【解答】解：（1）根據指數與對數關系得：4＝log381．
故答案為：4＝log381．
（2）設logaM＝m，logaN＝n，則M＝am，N＝an，
∴am÷an＝am﹣n．
∴logalogaam﹣n＝m﹣n＝logaM﹣logaN．
∴logalogaM﹣logaN．
（3）原式＝log6（9×8÷2）
＝log636
＝2．
故答案為：2．
二．冪的乘方與積的乘方（共11小題）
10．若（ambn）3＝a9b15，則m、n的值分別為（　　）
A．9；5 B．3；5 C．5；3 D．6；12
【解答】解：∵（ambn）3＝a9b15，
∴a3mb3n＝a9b15，
∴3m＝9，3n＝15，
∴m＝3，n＝5，
故選：B．
11．已知10x＝m，10y＝n，則102x+3y等于（　　）
A．2m+3n B．m2+n2 C．6mn D．m2n3
【解答】解：102x+3y＝102x 103y＝（10x）2 （10y）3＝m2n3．
故選：D．
12．已知9m＝3，27n＝4，則32m+3n＝（　?。?br/>A．1 B．6 C．7 D．12
【解答】解：∵9m＝32m＝3，27n＝33n＝4，
∴32m+3n＝32m×33n＝3×4＝12．
故選：D．
13．42020×（﹣0.25）2021＝　　 ．
【解答】解：42020×（﹣0.25）2021
＝42020×（﹣0.25）2020×（）
＝42020×（）2020×（）
＝1
．
故答案為：．
14．計算：﹣82005×（﹣0.125）2006＝　﹣0.125　 ．
【解答】解：﹣82005×（﹣0.125）2006，
＝﹣82005×（﹣0.125）2005×（﹣0.125），
＝（8×0.125）2005（﹣0.125），
＝﹣0.125．
15．計算：（﹣2xy2）3＝　﹣8x3y6　 ．
【解答】解：（﹣2xy2）3，
＝（﹣2）3x3（y2）3，
＝﹣8x3y6．
故填﹣8x3y6．
16．若x，y均為正整數，且2x+1 4y＝128，則x+y的值為（　?。?br/>A．3 B．5 C．4或5 D．3或4或5
【解答】解：∵2x+1 4y＝2x+1+2y，27＝128，
∴x+1+2y＝7，即x+2y＝6
∵x，y均為正整數，
∴或
∴x+y＝5或4，
故選：C．
17．已知a＝8131，b＝2741，c＝961，則a，b，c的大小關系是（　?。?br/>A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．a＜b＜c D．b＞c＞a
【解答】解：∵a＝8131＝（34）31＝3124
b＝2741＝（33）41＝3123；
c＝961＝（32）61＝3122．
則a＞b＞c．
故選：A．
18．已知a＝255，b＝344，c＝433，則a、b、c的大小關系為（　　）
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．b＞a＞c
【解答】解：∵a＝（25）11＝3211，b＝（34）11＝8111，c＝（43）11＝6411，
∴b＞c＞a．
故選：C．
19．（1）已知2x+5y﹣3＝0，求4x 32y的值．
（2）已知2×8x×16＝223，求x的值．
【解答】解：（1）因為2x+5y﹣3＝0，
所以2x+5y＝3，
所以4x 32y＝22x 25y＝22x+5y＝23＝8；
（2）因為2×8x×16＝2×23x×24＝223，
所以1+3x+4＝23，
解得x＝6．
20．已知：am＝3，an＝5，求：
（1）am+n的值．
（2）a3m+2n的值．
【解答】解：（1）原式＝am an＝3×5＝15．
（2）原式＝a3m a2n＝（am）3 （an）2＝33×52＝675．
三．單項式乘單項式（共5小題）
21．計算（﹣2x2y3） 3xy2結果正確的是（　?。?br/>A．﹣6x2y6 B．﹣6x3y5 C．﹣5x3y5 D．﹣24x7y5
【解答】解：（﹣2x2y3） 3xy2＝﹣6x2+1y3+2＝﹣6x3y5．
故選：B．
22．在下列各式中，應填入“（﹣y）”的是（　　）
A．﹣y3 ____＝﹣y4 B．2y3 ____＝﹣2y4
C．（﹣2y）3 ____＝﹣8y4 D．（﹣y）12 ____＝﹣3y13
【解答】解：2y3 （﹣y）＝﹣2y3+1＝﹣2y4，
故選：B．
23．已知單項式3x2y3與﹣2xy2的積為mx3yn，那么m﹣n＝（　　）
A．﹣11 B．5 C．1 D．﹣1
【解答】解：∵3x2y3 （﹣2xy2）＝mx3yn，
∴﹣6x3y5＝mx3yn．
∴m＝﹣6，n＝5．
∴m﹣n＝﹣6﹣5＝﹣11．
故選：A．
24．長方形的長為6x2y，寬為3xy，則它的面積為（　?。?br/>A．9x3y2 B．18x3y2 C．18x2y D．6xy2
【解答】解：∵長方形的長為6x2y，寬為3xy，
∴長方形的面積＝6x2y 3xy＝18x3y2，
故選：B．
25．計算：
（1）（﹣2x2y3）2 xy；
（2）a﹣2b2 （ab﹣1）．
【解答】解：（1）原式＝4x4y6 xy
＝4x5y7：
（2）原式．
四．單項式乘多項式（共10小題）
26．計算：x（x2﹣1）＝（　　）
A．x3﹣1 B．x3﹣x C．x3+x D．x2﹣x
【解答】解：x（x2﹣1）＝x3﹣x；
故選：B．
27．如果計算（2﹣nx+3x2+mx3）（﹣4x2）的結果不含x5項，那么m的值為（　?。?br/>A．0 B．1 C．﹣1 D．
【解答】解：∵（2﹣nx+3x2+mx3）（﹣4x2）
＝﹣8x2+4nx3﹣12x4﹣4mx5，
又∵計算的結果不含x5項，
∴﹣4m＝0．
∴m＝0．
故選：A．
28．已知x（x﹣2）＝3，則代數式2x2﹣4x﹣7的值為（　?。?br/>A．6 B．﹣4 C．13 D．﹣1
【解答】解：當x（x﹣2）＝3時，
原式＝2x（x﹣2）﹣7
＝2×3﹣7
＝6﹣7
＝﹣1，
故選：D．
29．某同學在計算﹣3x加上一個多項式時錯將加法做成了乘法，得到的答案是3x3﹣3x2+3x，由此可以推斷出正確的計算結果是（　　）
A．﹣x2﹣2x﹣1 B．x2+2x﹣1 C．﹣x2+4x﹣1 D．x2﹣4x+1
【解答】解：由題意知，
這個多項式為x2+x﹣1，
∴正確的計算結果為﹣3x+（﹣x2+x﹣1）＝﹣x2﹣2x﹣1．
故選：A．
30．若﹣x2y＝2，則﹣xy（x5y2﹣x3y+2x）的值為（　　）
A．16 B．12 C．8 D．0
【解答】解：原式＝﹣x6y3+x4y2﹣2x2y，
當﹣x2y＝2時，原式＝﹣（﹣2）3+（﹣2）2﹣2×（﹣2）＝16，
故選：A．
31．已知x2﹣2＝y，則x（x﹣2023y）﹣y（1﹣2023x）的值為（　?。?br/>A．2 B．0 C．﹣2 D．1
【解答】解：∵x2﹣2＝y，
∴x2﹣y＝2，
∴x（x﹣2023y）﹣y（1﹣2023x）
＝x2﹣2023xy﹣y+2023xy
＝x2﹣y
＝2，
故選：A．
32．計算： ab＝　a2b3﹣a2b2　 ．
【解答】解： ab
ab2 ab﹣2ab ab
a2b3﹣a2b2．
故答案為：a2b3﹣a2b2．
33．已知M＝x2﹣ax+3，N＝﹣x，P＝x3+3x2+5且M N+P的值與x2的取值無關，則a的值為 　﹣3　 ．
【解答】解：∵M＝x2﹣ax+3，N＝﹣x，P＝x3+3x2+5，
∴M N+P
＝（x2﹣ax+3） （﹣x）+（x3+3x2+5）
＝﹣x3+ax2﹣3x+x3+3x2+5
＝（a+3）x2﹣3x+5，
∵M N+P的值與x2的取值無關，
∴a+3＝0，
解得a＝﹣3，
故答案為：﹣3．
34．先化簡，再求值：3a（2a2﹣4a+3）﹣2a2（3a+4），其中a＝﹣2．
【解答】解：3a（2a2﹣4a+3）﹣2a2（3a+4）
＝6a3﹣12a2+9a﹣6a3﹣8a2
＝﹣20a2+9a，
當a＝﹣2時，原式＝﹣20×4﹣9×2＝﹣98．
35．某同學在計算一個多項式乘以﹣3x2時，因抄錯運算符號，算成了加上﹣3x2，得到的結果是x2﹣4x+1，那么正確的計算結果是多少？
【解答】解：這個多項式是（x2﹣4x+1）﹣（﹣3x2）＝4x2﹣4x+1，
正確的計算結果是：（4x2﹣4x+1） （﹣3x2）＝﹣12x4+12x3﹣3x2．
五．多項式乘多項式（共7小題）
36．如果（x+m）與（x+3）的乘積中不含x的一次項，則m的值為（　　）
A．﹣3 B．3 C．0 D．1
【解答】解：∵（x+m）（x+3）＝x2+3x+mx+3m＝x2+（3+m）x+3m，
又∵（x+m）與（x+3）的乘積中不含x的一次項，
∴3+m＝0，
解得m＝﹣3．
故選：A．
37．如果（x2+px+q）（x2﹣5x+7）的展開式中不含x2與x3項，那么p與q的值是（　　）
A．p＝5，q＝18 B．p＝﹣5，q＝18
C．p＝﹣5，q＝﹣18 D．p＝5，q＝﹣18
【解答】解：∵（x2+px+q）（x2﹣5x+7）＝x4+（p﹣5）x3+（7﹣5p+q）x2+（7p﹣5q）x+7q，
又∵展開式中不含x2與x3項，
∴p﹣5＝0，7﹣5p+q＝0，
解得p＝5，q＝18．
故選：A．
38．若（x2﹣x+m）（x﹣8）中不含x的一次項，則m的值為 　﹣8　 ．
【解答】解：（x2﹣x+m）（x﹣8）
＝x3﹣8x2﹣x2+8x+mx﹣8m
＝x3﹣9x2+（8+m）x﹣8m，
∵不含x的一次項，
∴8+m＝0，
解得：m＝﹣8．
故答案為﹣8．
39．已知（x﹣1）（x+2）＝ax2+bx+c，則代數式4a﹣2b+c的值為　0　 ．
【解答】解：（x﹣1）（x+2）
＝x2﹣x+2x﹣2
＝x2+x﹣2
＝ax2+bx+c，
則a＝1，b＝1，c＝﹣2．
故原式＝4﹣2﹣2＝0．
故答案為：0．
40．甲、乙兩人共同計算一道整式乘法題：（2x+a）（3x+b）．甲由于把第一個多項式中的“+a”看成了“﹣a”，得到的結果為6x2+11x﹣10；乙由于漏抄了第二個多項式中x的系數，得到的結果為2x2﹣9x+10．
（1）求正確的a、b的值．
（2）計算這道乘法題的正確結果．
【解答】解：（1）（2x﹣a）（3x+b）
＝6x2+2bx﹣3ax﹣ab
＝6x2+（2b﹣3a）x﹣ab
＝6x2+11x﹣10．
（2x+a）（x+b）
＝2x2+2bx+ax+ab
＝2x2+（2b+a）x+ab
＝2x2﹣9x+10．
∴，
∴；
（2）（2x﹣5）（3x﹣2）
＝6x2﹣4x﹣15x+10
＝6x2﹣19x+10．
41．觀察以下等式：
（x+1）（x2﹣x+1）＝x3+1
（x+3）（x2﹣3x+9）＝x3+27
（x+6）（x2﹣6x+36）＝x3+216
…
（1）按以上等式的規律，填空：（a+b）（ 　a2﹣ab+b2　 ）＝a3+b3；
（2）利用多項式的乘法法則，說明（1）中的等式成立；
（3）利用（1）中的公式化簡：（x+y）（x2﹣xy+y2）﹣（x+2y）（x2﹣2xy+4y2）．
【解答】解：（1）（a+b）（a2﹣ab+b2）＝a3+b3；
故答案為：a2﹣ab+b2；
（2）（a+b）（a2﹣ab+b2）＝a3﹣a2b+ab2+ba2﹣ab2+b3＝a3+b3；
（3）原式＝（x3+y3）﹣（x3+8y3）＝﹣7y3．
42．小明與小樂兩人共同計算（2x+a）（3x+b），小明抄錯為（2x﹣a）（3x+b），得到的結果為6x2﹣13x+6；小樂抄錯為（2x+a）（x+b），得到的結果為2x2﹣x﹣6．
（1）式子中的a，b的值各是多少？
（2）請計算出原題的答案．
【解答】解：（1）∵（2x﹣a）（3x+b）＝6x2+（2b﹣3a）x﹣ab＝6x2﹣13x+6，
∴2b﹣3a＝﹣13①，
∵（2x+a）（x+b）＝2x2+（2b+a）x+ab＝2x2﹣x﹣6，
∴2b+a＝﹣1②，
聯立方程①②，
可得，
解得：；
（2）（2x+a）（3x+b）＝（2x+3）（3x﹣2）＝6x2+5x﹣6．
(
1
)第三章 整式的乘除
一．完全平方公式（共18小題）
1．已知（3x+a）2＝9x2+bx+4，則b的值為（　?。?br/>A．6 B．±6 C．12 D．±12
【解答】解：∵（3x+a）2＝9x2+bx+4，
∴9x2+6ax+a2＝9x2+bx+4，
∴，
∴．
故選：D．
2．若a+b＝3，a2+b2＝7，則ab等于（　　）
A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣1
【解答】解：∵a+b＝3，
∴（a+b）2＝9，
∴a2+2ab+b2＝9，
∵a2+b2＝7，
∴7+2ab＝9，
∴ab＝1．
故選：B．
3．已知a+b＝5，ab＝3，則a2+b2＝（　　）
A．25 B．22 C．19 D．13
【解答】解：∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝25﹣2×3＝19，
故選：C．
4．若m+n＝10，mn＝5，則m2+n2的值為 　90　 ．
【解答】解：∵m+n＝10，mn＝5，
∴m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝102﹣2×5＝100﹣10＝90．
故答案為：90．
5．已知：m﹣n＝6，mn＝1，則m2+n2＝　38　 ．
【解答】解：∵（m﹣n）2＝m2+n2﹣2mn，
∵36＝m2+n2﹣2，
∴m2+n2＝38，
故答案為38．
6．已知m2+n2＝7，m+n＝3，則（m﹣n）2＝　5　 ．
【解答】解：∵m2+n2＝7，m+n＝3，
∴（m+n）2＝9，
即m2+2mn+n2＝9，
∴2mn＝9﹣（m2+n2）
＝9﹣7
＝2，
∴（m﹣n）2
＝m2﹣2mn+n2
＝m2+n2﹣2mn
＝7﹣2
＝5．
故答案為：5．
7．若m+n＝7，mn＝12，則m2﹣mn+n2的值是（　?。?br/>A．11 B．13 C．37 D．61
【解答】解：m2﹣mn+n2，
＝m2+2mn+n2﹣3mn，
＝（m+n）2﹣3mn，
＝49﹣36，
＝13．
故選：B．
8．已知a+b＝5，ab＝2，則代數式a2﹣ab+b2的值為（　?。?br/>A．8 B．18 C．19 D．25
【解答】解：∵a+b＝5，ab＝2，
∴a2﹣ab+b2
＝（a+b）2﹣3ab
＝52﹣3×2
＝19．
故選：C．
9．已知：x3，則x2　7　 ．
【解答】解：∵x3，
∴（x）2＝x2+29，
∴x27，
故答案為：7．
10．已知a＝5+4b，則代數式a2﹣8ab+16b2的值是（　　）
A．16 B．20 C．25 D．30
【解答】解：∵a＝5+4b，
∴a﹣4b＝5，
∴a2﹣8ab+16b2＝（a﹣4b）2＝52＝25．
故選：C．
11．已知（x﹣2021）2+（x﹣2025）2＝34，則（x﹣2023）2的值是（　?。?br/>A．5 B．9 C．13 D．17
【解答】解：令t＝x﹣2023，則原式可化簡為（t﹣2）2+（t+2）2＝34，則t2﹣4t+4+t2+4t+4＝34，
解得：t2＝13，即（x﹣2023）2＝13．
故選：C．
12．不論x、y為什么實數，代數式x2+y2+2x﹣4y+7的值（　?。?br/>A．總不小于2 B．總不小于7
C．可為任何實數 D．可能為負數
【解答】解：x2+y2+2x﹣4y+7＝（x2+2x+1）+（y2﹣4y+4）+2＝（x+1）2+（y﹣2）2+2，
∵（x+1）2≥0，（y﹣2）2≥0，
∴（x+1）2+（y﹣2）2+2≥2，
∴x2+y2+2x﹣4y+7≥2．
故選：A．
13．若A＝x2+2x﹣6y，B＝﹣y2+4x﹣11，則A、B的大小關系為（　?。?br/>A．A＞B B．A＜B C．A≥B D．A＝B
【解答】解：A﹣B＝x2+2x﹣6y﹣（﹣y2+4x﹣11）
＝x2+2x﹣6y+y2﹣4x+11
＝x2﹣2x+y2﹣6y+11
＝x2﹣2x+1+y2﹣6y+9+1
＝（x﹣1）2+（y﹣3）2+1，
∵（x﹣1）2≥0，（y﹣3）2≥0，
∴（x﹣1）2+（y﹣3）2+1≥1，
即A﹣B≥1，
∴A＞B．
故選：A．
14．已知m2﹣6m﹣1＝0，求2m2﹣6m　39　 ．
【解答】解：由m2﹣6m﹣1＝0得；2m2﹣6m＝1+m2，，
∴2m2﹣6m1+m212＝1+62+2＝39．
故答案為：39．
15．（1）已知x+y＝7，xy＝5，則x2+y2的值為 　39　 ．
（2）已知（x+y）2＝49，x2+y2＝27，則（x﹣y）2的值為 　5　 ．
（3）已知x滿足（x﹣2022）2+（2024﹣x）2＝12，則（x﹣2023）2的值為 　5　 ．
【解答】解：（1）∵x+y＝7，xy＝5，
∴x2+y2
＝（x+y）2﹣2xy
＝72﹣2×5
＝49﹣10
＝39；
故答案為：39；
（2）∵（x+y）2＝49，x2+y2＝27，
∴x2+2xy+y2＝49，
即27+2xy＝49，
∴xy＝11，
∴（x﹣y）2
＝x2﹣2xy+y2
＝27﹣2×11
＝27﹣22
＝5；
故答案為：5；
（3）設x﹣2023＝a，
∵x滿足（x﹣2022）2+（2024﹣x）2＝12，
∴（a+1）2+（a﹣1）2＝12，
化簡整理得：a2＝5，
∴（x﹣2023）2的值為5．
故答案為：5．
16．（1）已知a的值；
（2）已知xy＝9，x﹣y＝3，求x2+3xy+y2的值．
【解答】解：（1）將a3兩邊同時平方得：，
∴9．
∴7；
（2）將x﹣y＝3兩邊同時平方得：x2﹣2xy+y2＝9，
∴x2+y2＝9+2xy＝9+2×9＝27．
∴x2+3xy+y2＝27+3×9＝54．
17．閱讀下列解答過程：
已知：x≠0，且滿足x2﹣3x＝1．求：的值．
解：∵x2﹣3x＝1，∴x2﹣3x﹣1＝0
∴，即．
∴32+2＝11．
請通過閱讀以上內容，解答下列問題：
已知a≠0，且滿足（2a+1）（1﹣2a）﹣（3﹣2a）2+9a2＝14a﹣7，
求：（1）的值；（2）的值．
【解答】解：（1）（2a+1）（1﹣2a）﹣（3﹣2a）2+9a2＝14a﹣71﹣4a2﹣（9﹣12a+4a2）+9a2﹣14a+7＝0，
整理得：a2﹣2a﹣1＝0
∴，
∴；
（2）解：的倒數為，
∵，
∴．
18．已知（x+y）2＝25，（x﹣y）2＝9，求xy與x2+y2的值．
【解答】解：∵（x+y）2＝25，（x﹣y）2＝9，
∴xy[（x+y）2﹣（x﹣y）2][25﹣9]＝4；
x2+y2[（x+y）2+（x﹣y）2][25+9]＝17．
二．完全平方公式的幾何背景（共7小題）
19．如圖的圖形面積由以下哪個公式表示（　?。?br/>A．a2﹣b2＝a（a﹣b）+b（a﹣b）
B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2
D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
【解答】解：根據圖形可得出：大正方形面積為：（a+b）2，大正方形面積＝4個小圖形的面積和＝a2+b2+ab+ab，
∴可以得到公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2．
故選：C．
20．如圖將4個長、寬分別均為a，b的長方形，擺成了一個大的正方形，利用面積的不同表示方法寫出一個代數恒等式是（　　）
A．a2+2ab+b2＝（a+b）2 B．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2
C．4ab＝（a+b）2﹣（a﹣b）2 D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
【解答】解：∵大正方形的面積﹣小正方形的面積＝4個矩形的面積，
∴（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab，即4ab＝（a+b）2﹣（a﹣b）2．
故選：C．
21．有兩個正方形A，B，現將B放在A的內部得圖甲，將A，B并列放置后構造新的正方形得圖乙．若圖甲和圖乙中陰影部分的面積分別為1和12，則正方形A，B的面積之和為　13　 ．
【解答】解：設正方形A的邊長為a，正方形B的邊長為b，
由圖甲得a2﹣b2﹣2（a﹣b）b＝1即a2+b2﹣2ab＝1，
由圖乙得（a+b）2﹣a2﹣b2＝12，2ab＝12，
所以a2+b2＝13，
故答案為：13．
22．如圖，用三個同（1）圖的長方形和兩個同（2）圖的長方形用兩種方式去覆蓋一個大的長方形ABCD，兩種方式未覆蓋的部分（陰影部分）的周長一樣，那么（1）圖中長方形的面積S1與（2）圖中長方形的面積S2的比是 　　 ．
【解答】解：設（1）中長方形的長為a，寬為b，（2）中長方形的長為y，寬為x．
則AD＝3b+2y＝a+x．
第一種覆蓋方式中陰影部分的周長為：2（3b+2y+DC﹣x）＝6b+4y+2DC﹣2x＝2a+2DC．
第二種覆蓋方式中有一部分的周長為：2（a+x+DC﹣3b）＝2a+2x+2DC﹣6b＝2a+2x+2DC﹣2（a+x﹣2y）＝2DC+4y．
∵兩種方式周長相同．
∴2a+2DC＝2DC+4y．
∴a＝2y．
∵3b+2y＝a+x．
∴x＝3b．
∴S1：S2＝ab：xy＝2y：（xy）．
故答案為：．
23．如圖，從邊長為（a+4）cm的正方形紙片中剪去一個邊長為（a+1）cm的正方形（a＞0），把剩余部分沿虛線又剪拼成一個長方形（不重疊無縫隙），則拼得的長方形的周長為　（4a+16）　 cm．（用含a的代數式表示）
【解答】解：根據題意得，長方形的寬為（a+4）﹣（a+1）＝3，
則拼成得長方形的周長為：2（a+4+a+1+3）＝2（2a+8）＝（4a+16）cm．
故答案為（4a+16）．
24．完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2適當的變形，可以解決很多的數學問題．
例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．
解：因為a+b＝3，ab＝1
所以（a+b）2＝9，2ab＝2
所以a2+b2+2ab＝9，2ab＝2
得a2+b2＝7
根據上面的解題思路與方法，解決下列問題：
（1）若x+y＝8，x2+y2＝40，求xy的值；
（2）請直接寫出下列問題答案：
①若2a+b＝5，ab＝2，則2a﹣b＝　±3　 ；
②若（4﹣x）（5﹣x）＝8，則（4﹣x）2+（5﹣x）2＝　17　 ．
（3）如圖，點C是線段AB上的一點，以AC，BC為邊向兩邊作正方形，設AB＝6，兩正方形的面積和S1+S2＝18，求圖中陰影部分面積．
【解答】解：（1）∵（x+y）2﹣2xy＝x2+y2，x+y＝8，x2+y2＝40，
∴82﹣2xy＝40，
∴xy＝12，
答：xy的值為12；
（2）①∵（2a﹣b）2＝（2a+b）2﹣8ab，2a+b＝5，ab＝2，
∴（2a﹣b）2＝52﹣8×2＝9，
∴2a﹣b＝±±3，
故答案為：±3；
②根據a2+b2＝（a﹣b）2+2ab可得，
（4﹣x）2+（5﹣x）2＝[（4﹣x）﹣（5﹣x）]2+2（4﹣x）（5﹣x），
又∵（4﹣x）（5﹣x）＝8，
∴（4﹣x）2+（5﹣x）2＝（﹣1）2+2×8＝17，
故答案為：17；
（3）設AC＝m，CF＝n，
∵AB＝6，
∴m+n＝6，
又∵S1+S2＝18，
∴m2+n2＝18，
由完全平方公式可得，（m+n）2＝m2+2mn+n2，
∴62＝18+2mn，
∴mn＝9，
∴S陰影部分mn，
答：陰影部分的面積為．
25．乘法公式的探究及應用：
數學活動課上，老師準備了若干個如圖1的三種紙片：A種紙片是邊長為a的正方形，B種紙片是邊長為b的正方形，C種紙片是長為b、寬為a的長方形．并用A種紙片一張，B種紙片一張，C種紙片兩張拼成如圖2的大正方形．
（1）請用兩種不同的方法表示圖2大正方形的面積：
方法1：?。╝+b）2　 ，
方法2：　a2+b2+2ab　 ；
（2）觀察圖2，請你寫出三個代數式（a+b）2，a2+b2，ab之間的數量關系：　（a+b）2＝a2+b2+2ab　 ；
（3）根據（2）題中的等量關系，解決如下問題：
①已知a+b＝7，a2+b2＝33，求ab的值；
②已知（2023﹣a）2+（a﹣2021）2＝8，求（2023﹣a）（a﹣2021）的值．
【解答】解：（1）（a+b）2，a2+b2+2ab；
（2）（a+b）2＝a2+b2+2ab；
（3）①∵a+b＝7，a2+b2＝33，且 （a+b）2＝a2+b2+2ab，
∴49＝33+2ab，
解得：ab＝8；
②設2023﹣a＝m，a﹣2021＝n，可得 m2+n2＝8，m+n＝2023﹣a+a﹣2021＝2，
∴（m+n）2＝m2+n2+2mn，即4＝8+2mn，
解得：mn＝﹣2，
則（2023﹣a）（a﹣2021）的值為﹣2．
三．平方差公式（共10小題）
26．下列各式，能用平方差公式計算的是（　　）
A．（x+2y）（2x﹣y） B．（x+y）（x﹣2y）
C．（x+2y）（2y﹣x） D．（x﹣2y）（2y﹣x）
【解答】解：A、（x+2y）（2x﹣y）不符合平方差公式的形式，故本選項錯誤；
B、（x+y）（x﹣2y）不符合平方差公式的形式，故本選項錯誤；
C、（x+2y）（2y﹣x）＝﹣（x+2y）（x﹣2y）＝﹣x2+4y2，正確；
D、（x﹣2y）（2y﹣x）＝﹣（x﹣2y）2，故本選項錯誤．
故選：C．
27．下列多項式相乘，不能用平方差公式計算的是（　?。?br/>A．（2x﹣3y）（3y﹣2x） B．（﹣2x+3y）（﹣2x﹣3y）
C．（x﹣2y）（2y+x） D．（x+3y）（x﹣3y）
【解答】解：（2x﹣3y）（3y﹣2x）不能利用平方差公式計算，
故選：A．
28．計算（a﹣b）（a+b）（a2+b2）（a4﹣b4）的結果是（　?。?br/>A．a8+2a4b4+b8 B．a8﹣2a4b4+b8
C．a8+b8 D．a8﹣b8
【解答】解：（a﹣b）（a+b）（a2+b2）（a4﹣b4），
＝（a2﹣b2）（a2+b2）（a4﹣b4），
＝（a4﹣b4）2，
＝a8﹣2a4b4+b8．
故選：B．
29．計算：（x+2y﹣3）（x﹣2y+3）＝（　　）
A．（x+2y）2﹣9 B．（x﹣2y）2﹣9
C．x2﹣（2y﹣3）2 D．x2﹣（2y+3）2
【解答】解：原式＝[x+（2y﹣3）][x﹣（2y﹣3）]
＝x2﹣（2y﹣3）2
故選：C．
30．（2+1）（22+1）（24+1）…（232+1）﹣1的個位數字（　?。?br/>A．2 B．4 C．6 D．8
【解答】解：原式＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）…（232+1）﹣1
＝（22﹣1）（22+1）（24+1）…（232+1）﹣1
＝（24﹣1）（24+1）…（232+1）﹣1
＝264﹣1﹣1
＝264﹣2，
∵21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，
25＝32，26＝64，27＝128，28＝256，
∴2n的個位數字為2，4，8，6四個數字的循環．
∵64÷4＝16，
∴264﹣2的個位數字是4．
故選：B．
31．若（a2+b2+1）（a2+b2﹣1）＝35，則a2+b2＝（　?。?br/>A．3 B．6 C．±3 D．±6
【解答】解：∵（a2+b2+1）（a2+b2﹣1）＝35，
∴[（a2+b2）+1][（a2+b2）﹣1]＝35，
（a2+b2）2﹣1＝35，
（a2+b2）2＝36，
∵a2+b2≥0，
∴a2+b2＝6，
故選：B．
32．若x2﹣y2＝12，x+y＝6，則x﹣y＝　2　 ．
【解答】解：∵x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝12，x+y＝6，
∴x﹣y＝2，
故答案為：2
33．計算：20232﹣2022×2024＝　1　 ．
【解答】解：20232﹣2022×2024
＝20232﹣（2023﹣1）（2023+1）
＝20232﹣（20232﹣12）
＝20232﹣20232+1
＝1．
故答案為：1．
34．若a﹣b＝1，則代數式a2﹣b2﹣2b的值為　1　 ．
【解答】解：因為a﹣b＝1，
a2﹣b2﹣2b＝（a+b）（a﹣b）﹣2b＝a+b﹣2b＝a﹣b＝1，
故答案為：1．
35．閱讀下列材料：
已知實數m，n滿足（2m2+n2+1）（2m2+n2﹣1）＝80，試求2m2+n2的值．
解：設2m2+n2＝t，則原方程變為（t+1）（t﹣1）＝80，
整理得t2﹣1＝80，t2＝81，
∴t＝±9，
∵2m2+n2≥0，
∴2m2+n2＝9．
上面這種方法稱為“換元法”，換元法是數學學習中最常用的一種思想方法，在結構較復雜的數和式的運算中，若把其中某些部分看成一個整體，并用新字母代替（即換元），則能使復雜的問題簡單化．
根據以上閱讀材料內容，解決下列問題，并寫出解答過程．
（1）已知實數x、y滿足（2x2+2y2+3）（2x2+2y2﹣3）＝27，求x2+y2的值；
（2）在（1）的條件下，若xy＝1，求（x+y）2和x﹣y的值．
【解答】解：（1）設2x2+2y2＝t，
則原方程變形為（t+3）（t﹣3）＝27，
整理得：整理得t2﹣9＝27，
∴t2＝36，
解得t＝±6，
∵2x2+2y2≥0，
∴2x2+2y2＝6，
∴x2+y2＝3；
（2）∵x2+y2＝3，xy＝1，
∴（x+y）2＝x2+y2+2xy＝3+2＝5，
（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy＝3﹣2＝1，
∴x﹣y＝±1．
四．平方差公式的幾何背景（共7小題）
36．如圖，邊長為a的大正方形剪去一個邊長為b的小正方形后，將剩余部分通過割補拼成新的圖形．根據圖形能驗證的等式為（　?。?br/>A．a2﹣b2＝（a﹣b）2 B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．（a+b）2＝a2+2ab+b2
【解答】解：圖中陰影部分的面積等于兩個正方形的面積之差，即為a2﹣b2；
剩余部分通過割補拼成的平行四邊形的面積為（a+b）（a﹣b），
∵前后兩個圖形中陰影部分的面積相等，
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
故選：B．
37．如圖，從邊長為（a+4）cm的正方形紙片中剪去一個邊長為（a+1）cm的正方形．（a＞0）剩余部分沿虛線又剪拼成一個矩形（不重疊無縫隙）則矩形的面積為（　　）
A．（2a2+5a）cm2 B．（3a+15）cm2
C．（6a+9）cm2 D．（6a+15）cm2
【解答】解：長方形的面積為：
（a+4）2﹣（a+1）2
＝（a+4+a+1）（a+4﹣a﹣1）
＝3（2a+5）
＝6a+15（cm2）．
答：矩形的面積是（6a+15）cm2．
故選：D．
38．如圖，若大正方形與小正方形的面積之差為28，則圖中陰影部分的面積是 　14　 ．
【解答】解：如圖，設大正方形的邊長為a，小正方形的邊長為b，則AB＝a﹣b，
由于大正方形與小正方形的面積之差是28，即a2﹣b2＝28，
S陰影部分＝S△ACB+S△ADB
＝14．
故答案為：14．
39．如圖，大正方形與小正方形的面積之差是30，則陰影部分的面積是 　15　 ．
【解答】解：設大正方形和小正方形的邊長各為a，b，
由題意可得a2﹣b2＝30，
∴陰影部分的面積為：
＝15，
故答案為：15．
40．如圖，陰影部分是邊長是a的大正方形剪去一個邊長是b的小正方形后所得到的圖形，將陰影部分通過割、拼，形成新的圖形，給出下列4幅圖割拼方法中，其中能夠驗證平方差公式有　①②③④　 （填序號）
【解答】解：在圖①中，左邊的圖形陰影部分的面積＝a2﹣b2，右邊圖形中陰影部分的面積＝（a+b）（a﹣b），故可得：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），可以驗證平方差公式；
在圖②中，陰影部分的面積相等，左邊陰影部分的面積＝a2﹣b2，右邊陰影部分面積＝（a+b）（a﹣b）．可得：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），可以驗證平方差公式；
在圖③中，陰影部分的面積相等，左邊陰影部分的面積＝a2﹣b2，右邊陰影部分面積（2b+2a） （a﹣b）＝（a+b）（a﹣b），可得：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），可以驗證平方差公式；
在圖④中，陰影部分的面積相等，左邊陰影部分的面積＝a2﹣b2，右邊陰影部分面積＝（a+b） （a﹣b），可得：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），可以驗證平方差公式．
故答案為：①②③④．
41．如圖①，從邊長為a的大正方形中剪掉一個邊長為b的小正方形，將陰影部分如圖剪開，拼成圖②的長方形．
（1）分別計算這兩個圖形陰影部分的面積，可以驗證的等式是 　A　 ．
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2
D．a2+ab＝a（a+b）
（2）應用這個公式完成下列各題．
①已知4m2﹣n2＝12，2m+n＝4，求2m﹣n的值；
②計算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）．
【解答】解：（1）圖①中陰影部分的面積為a2﹣b2，圖②陰影部分是長為（a+b），寬為（a﹣b）的長方形，因此面積為（a+b）（a﹣b），
由圖①，圖②中陰影部分的面積相等可得，a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故選：A；
（2）①∵4m2﹣n2＝12，
∴（2m+n）（2m﹣n）＝12，
又∵2m+n＝4，
∴2m﹣n＝12÷4＝3；
②（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）
＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）
＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）
＝（24﹣1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）
＝（28﹣1）（28+1）（216+1）（232+1）
＝（216﹣1）（216+1）（232+1）
＝（232﹣1）（232+1）
＝264﹣1．
42．從邊長為a的正方形中剪掉一個邊長為b的正方形（如圖1），然后將剩余部分拼成一個長方形（如圖2）．
（1）上述操作能驗證的等式是 ?、凇?（只填序號）；
①（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2；②a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；③（a+b）2＝a2+2ab+b2．
（2）應用你從（1）中選出的等式，完成下列各題：
①已知x2﹣4y2＝18，x+2y＝4，求x﹣2y的值；
②計算：．
【解答】解：（1）圖1中，邊長為a的正方形的面積為：a2，
邊長為b的正方形的面積為：b2，
∴圖1 的陰影部分為面積為：a2﹣b2，
圖2中長方形的長為：a+b，
長方形的寬為：a﹣b，
∴圖2長方形的面積為：（a+b）（a﹣b），
∴驗證的等式是a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故答案為：②；
（2）①，是（1）得x2﹣4y2＝（x+2y）（x﹣2y）＝18，
∵x+2y＝4，
∴4（x﹣2y）＝18，
∴；
②原式
．
五．整式的混合運算—化簡求值（共6小題）
43．已知：a+b＝m，ab＝﹣4，化簡（a﹣2）（b﹣2）的結果是（　?。?br/>A．6 B．2m﹣8 C．2m D．﹣2m
【解答】解：（a﹣2）（b﹣2）＝ab﹣2（a+b）+4＝﹣4﹣2m+4＝﹣2m．
故選：D．
44．若a﹣b＝3，ab＝1，則a3b﹣2a2b2+ab3的值為（　?。?br/>A．3 B．4 C．9 D．12
【解答】解：a3b﹣2a3b2+ab3＝ab（a2﹣2ab+b2）＝ab（a﹣b）2
將a﹣b＝3，ab＝1代入，
原式＝1×32＝9，
故選：C．
45．如果a2+4a﹣4＝0，那么代數式（a﹣2）2+4（2a﹣3）+1的值為（　?。?br/>A．13 B．﹣11 C．3 D．﹣3
【解答】解：原式＝a2﹣4a+4+8a﹣12+1
＝a2+4a﹣7，
由a2+4a﹣4＝0，得到a2+4a＝4，
則原式＝4﹣7＝﹣3．
故選：D．
46．已知（2023﹣a）2+（a﹣2022）2＝7，則代數式（2023﹣a）（a﹣2022）的值是（　?。?br/>A．2 B．1 C．3 D．﹣3
【解答】解：∵[（2023﹣a）+（a﹣2022）]2
＝（2023﹣a）2+（a﹣2022）2+2（2023﹣a）（a﹣2022），
∴1＝7+2（2023﹣a）（a﹣2022），
∴（2023﹣a）（a﹣2022）＝﹣3，
故選：D．
47．已知（a2+b2+3）（a2+b2﹣3）＝7，ab＝3，則（a+b）2＝（　　）
A．4 B．10 C．16 D．20
【解答】解：∵（a2+b2+3）（a2+b2﹣3）＝7，
∴（a2+b2）2﹣9＝7，
∴a2+b2＝4，
∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝4+6＝10．
故選：B．
48．先化簡，再求值：（a﹣b）2﹣2a（a+3b）+（a+2b）（a﹣2b），其中a＝1，b＝﹣3．
【解答】解：原式＝a2﹣2ab+b2﹣2a2﹣6ab+a2﹣4b2＝﹣8ab﹣3b2．
當a＝1、b＝﹣3時，
原式＝﹣8×1×（﹣3）﹣3×（﹣3）2
＝24﹣27
＝﹣3．
六．同底數冪的除法（共7小題）
49．計算：a5÷a3＝　a2　 ．
【解答】解：a5÷a3＝a5﹣3＝a2．
故填a2．
50．若3x﹣5y﹣1＝0，則103x÷105y＝　10　 ．
【解答】解：因為3x﹣5y﹣1＝0，
所以3x﹣5y＝1，
所以103x÷105y＝103x﹣5y＝10．
故答案為：10．
51．已知am＝3，an＝2，則a2m﹣n的值為 　4.5　 ．
【解答】解：∵am＝3，
∴a2m＝32＝9，
∴a2m﹣n4.5．
故答案為：4.5．
52．若2m＝3，4n＝8，則23m﹣2n+3的值是　27　 ．
【解答】解：∵2m＝3，4n＝8，
∴23m﹣2n+3＝（2m）3÷（2n）2×23，
＝（2m）3÷4n×23，
＝33÷8×8，
＝27．
故答案為：27．
53．若，則a2m﹣3n＝　﹣32　 ．
【解答】解：a2m＝（am）2＝4，\;a4{3n}＝（{a}^{n}）^{3}＝﹣\frac{1}{8}，＜br/＞a＜sup＞2m﹣3n＜/sup＞＝4÷（﹣\frac{1}{8}）$＝﹣32，
故答案為：﹣32．
54．已知，3m＝2，3n＝5，求
（1）33m+2n；
（2）34m﹣3n．
【解答】解：∵3m＝2，3n＝5，
∴（1）33m+2n＝33m×32n＝（3m）3×（3n）2＝8×25＝200；
（2）34m﹣3n＝34m÷33n＝（3m）4÷（3n）3＝16÷125．
55．已知5a＝3，5b＝8，5c＝72．
（1）求（5a）2的值．
（2）求5a﹣b+c的值．
（3）直接寫出字母a、b、c之間的數量關系為 　c＝2a+b　 ．
【解答】解：（1）∵5a＝3，
∴（5a）2＝32＝9；
（2）∵5a＝3，5b＝8，5c＝72，
∴5a﹣b+c27；
（3）c＝2a+b；
故答案為：c＝2a+b．
七．零指數冪（共5小題）
56．（﹣4）0的結果是（　?。?br/>A．﹣4 B．﹣40 C．0 D．1
【解答】解：（﹣4）0＝1．
故選：D．
57．關于代數式（a+1）0，下列說法正確的是（　　）
A．（a+1）0的值一定是0
B．（a+1）0的值一定是1
C．當a≠0時，（a+1）0有意義
D．當a≠﹣1時，（a+1）0有意義
【解答】解：（a+1）0有意義的條件是：a+1≠0，
解得a≠﹣1，
即當a≠﹣1時（a+1）0＝1，
故選：D．
58．等式（x﹣3）0＝1成立的條件是（　　）
A．x≠﹣3 B．x≥﹣3 C．x≤﹣3 D．x≠3
【解答】解：等式（x﹣3）0＝1成立的條件是：x≠3．
故選：D．
59．若（x+2）|x|﹣2＝1，則x的值為　2或﹣1　 ．
【解答】解：①當|x|﹣2＝0時，x＝2或x＝﹣2（不符合，舍去），
②當x+2＝1時，x＝﹣1，此時，|x|﹣2＝|﹣1|﹣2＝﹣1，
∴1﹣1＝1，
③當x+2＝﹣1時，x＝﹣3，|x|﹣2＝|﹣3|﹣2＝1，
∴（﹣1）1＝﹣1（不符合，舍去），
綜上所述，x的值為2或﹣1．
故答案為：2或﹣1
60．若（2a﹣1）0＝1成立，a的取值范圍是　a　 ．
【解答】解：∵（2a﹣1）0＝1成立，
∴2a﹣1≠0，
∴a，
故答案為：a．
(
1
)第三章 整式的乘除
考點分布
一．完全平方公式
二．完全平方公式的幾何背景
三．平方差公式
四．平方差公式的幾何背景
五．整式的混合運算—化簡求值
六．同底數冪的除法
七．零指數冪
一．完全平方公式
知識點梳理：
完全平方公式
（1）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．
可巧記為：“首平方，末平方，首末兩倍中間放”．
（2）完全平方公式有以下幾個特征：①左邊是兩個數的和的平方；②右邊是一個三項式，其中首末兩項分別是兩項的平方，都為正，中間一項是兩項積的2倍；其符號與左邊的運算符號相同．
（3）應用完全平方公式時，要注意：①公式中的a，b可是單項式，也可以是多項式；②對形如兩數和（或差）的平方的計算，都可以用這個公式；③對于三項的可以把其中的兩項看做一項后，也可以用完全平方公式．
例題講解：
1．已知（3x+a）2＝9x2+bx+4，則b的值為（　?。?br/>A．6 B．±6 C．12 D．±12
2．若a+b＝3，a2+b2＝7，則ab等于（　　）
A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣1
3．已知a+b＝5，ab＝3，則a2+b2＝（　?。?br/>A．25 B．22 C．19 D．13
4．若m+n＝10，mn＝5，則m2+n2的值為 　 　 ．
5．已知：m﹣n＝6，mn＝1，則m2+n2＝　 　 ．
6．已知m2+n2＝7，m+n＝3，則（m﹣n）2＝　 　 ．
7．若m+n＝7，mn＝12，則m2﹣mn+n2的值是（　?。?br/>A．11 B．13 C．37 D．61
8．已知a+b＝5，ab＝2，則代數式a2﹣ab+b2的值為（　?。?br/>A．8 B．18 C．19 D．25
9．已知：x3，則x2　 　 ．
10．已知a＝5+4b，則代數式a2﹣8ab+16b2的值是（　　）
A．16 B．20 C．25 D．30
11．已知（x﹣2021）2+（x﹣2025）2＝34，則（x﹣2023）2的值是（　　）
A．5 B．9 C．13 D．17
12．不論x、y為什么實數，代數式x2+y2+2x﹣4y+7的值（　　）
A．總不小于2 B．總不小于7
C．可為任何實數 D．可能為負數
13．若A＝x2+2x﹣6y，B＝﹣y2+4x﹣11，則A、B的大小關系為（　?。?br/>A．A＞B B．A＜B C．A≥B D．A＝B
14．已知m2﹣6m﹣1＝0，求2m2﹣6m　 　 ．
15．（1）已知x+y＝7，xy＝5，則x2+y2的值為 　 　 ．
（2）已知（x+y）2＝49，x2+y2＝27，則（x﹣y）2的值為 　 　 ．
（3）已知x滿足（x﹣2022）2+（2024﹣x）2＝12，則（x﹣2023）2的值為 　 　 ．
16．（1）已知a的值；
（2）已知xy＝9，x﹣y＝3，求x2+3xy+y2的值．
17．閱讀下列解答過程：
已知：x≠0，且滿足x2﹣3x＝1．求：的值．
解：∵x2﹣3x＝1，∴x2﹣3x﹣1＝0
∴，即．
∴32+2＝11．
請通過閱讀以上內容，解答下列問題：
已知a≠0，且滿足（2a+1）（1﹣2a）﹣（3﹣2a）2+9a2＝14a﹣7，
求：（1）的值；（2）的值．
18．已知（x+y）2＝25，（x﹣y）2＝9，求xy與x2+y2的值．
二．完全平方公式的幾何背景
知識點梳理：
完全平方公式的幾何背景
（1）運用幾何直觀理解、解決完全平方公式的推導過程，通過幾何圖形之間的數量關系對完全平方公式做出幾何解釋．
（2）常見驗證完全平方公式的幾何圖形
（a+b）2＝a2+2ab+b2．（用大正方形的面積等于邊長為a和邊長為b的兩個正方形與兩個長寬分別是a，b的長方形的面積和作為相等關系）
例題講解：
19．如圖的圖形面積由以下哪個公式表示（　?。?br/>A．a2﹣b2＝a（a﹣b）+b（a﹣b）
B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2
D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
20．如圖將4個長、寬分別均為a，b的長方形，擺成了一個大的正方形，利用面積的不同表示方法寫出一個代數恒等式是（　?。?br/>A．a2+2ab+b2＝（a+b）2 B．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2
C．4ab＝（a+b）2﹣（a﹣b）2 D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
21．有兩個正方形A，B，現將B放在A的內部得圖甲，將A，B并列放置后構造新的正方形得圖乙．若圖甲和圖乙中陰影部分的面積分別為1和12，則正方形A，B的面積之和為　 　 ．
22．如圖，用三個同（1）圖的長方形和兩個同（2）圖的長方形用兩種方式去覆蓋一個大的長方形ABCD，兩種方式未覆蓋的部分（陰影部分）的周長一樣，那么（1）圖中長方形的面積S1與（2）圖中長方形的面積S2的比是 　 　 ．
23．如圖，從邊長為（a+4）cm的正方形紙片中剪去一個邊長為（a+1）cm的正方形（a＞0），把剩余部分沿虛線又剪拼成一個長方形（不重疊無縫隙），則拼得的長方形的周長為　 　 cm．（用含a的代數式表示）
24．完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2適當的變形，可以解決很多的數學問題．
例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．
解：因為a+b＝3，ab＝1
所以（a+b）2＝9，2ab＝2
所以a2+b2+2ab＝9，2ab＝2
得a2+b2＝7
根據上面的解題思路與方法，解決下列問題：
（1）若x+y＝8，x2+y2＝40，求xy的值；
（2）請直接寫出下列問題答案：
①若2a+b＝5，ab＝2，則2a﹣b＝　 　 ；
②若（4﹣x）（5﹣x）＝8，則（4﹣x）2+（5﹣x）2＝　 　 ．
（3）如圖，點C是線段AB上的一點，以AC，BC為邊向兩邊作正方形，設AB＝6，兩正方形的面積和S1+S2＝18，求圖中陰影部分面積．
25．乘法公式的探究及應用：
數學活動課上，老師準備了若干個如圖1的三種紙片：A種紙片是邊長為a的正方形，B種紙片是邊長為b的正方形，C種紙片是長為b、寬為a的長方形．并用A種紙片一張，B種紙片一張，C種紙片兩張拼成如圖2的大正方形．
（1）請用兩種不同的方法表示圖2大正方形的面積：
方法1：　 　 ，
方法2：　 　 ；
（2）觀察圖2，請你寫出三個代數式（a+b）2，a2+b2，ab之間的數量關系：　 　 ；
（3）根據（2）題中的等量關系，解決如下問題：
①已知a+b＝7，a2+b2＝33，求ab的值；
②已知（2023﹣a）2+（a﹣2021）2＝8，求（2023﹣a）（a﹣2021）的值．
三．平方差公式
知識點梳理：
平方差公式
（1）平方差公式：兩個數的和與這兩個數的差相乘，等于這兩個數的平方差．
（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
（2）應用平方差公式計算時，應注意以下幾個問題：
①左邊是兩個二項式相乘，并且這兩個二項式中有一項完全相同，另一項互為相反數；
②右邊是相同項的平方減去相反項的平方；
③公式中的a和b可以是具體數，也可以是單項式或多項式；
④對形如兩數和與這兩數差相乘的算式，都可以運用這個公式計算，且會比用多項式乘以多項式法則簡
便．
例題講解：
26．下列各式，能用平方差公式計算的是（　?。?br/>A．（x+2y）（2x﹣y） B．（x+y）（x﹣2y）
C．（x+2y）（2y﹣x） D．（x﹣2y）（2y﹣x）
27．下列多項式相乘，不能用平方差公式計算的是（　?。?br/>A．（2x﹣3y）（3y﹣2x） B．（﹣2x+3y）（﹣2x﹣3y）
C．（x﹣2y）（2y+x） D．（x+3y）（x﹣3y）
28．計算（a﹣b）（a+b）（a2+b2）（a4﹣b4）的結果是（　　）
A．a8+2a4b4+b8 B．a8﹣2a4b4+b8
C．a8+b8 D．a8﹣b8
29．計算：（x+2y﹣3）（x﹣2y+3）＝（　　）
A．（x+2y）2﹣9 B．（x﹣2y）2﹣9
C．x2﹣（2y﹣3）2 D．x2﹣（2y+3）2
30．（2+1）（22+1）（24+1）…（232+1）﹣1的個位數字（　?。?br/>A．2 B．4 C．6 D．8
31．若（a2+b2+1）（a2+b2﹣1）＝35，則a2+b2＝（　?。?br/>A．3 B．6 C．±3 D．±6
32．若x2﹣y2＝12，x+y＝6，則x﹣y＝　 　 ．
33．計算：20232﹣2022×2024＝　 　 ．
34．若a﹣b＝1，則代數式a2﹣b2﹣2b的值為　 　 ．
35．閱讀下列材料：
已知實數m，n滿足（2m2+n2+1）（2m2+n2﹣1）＝80，試求2m2+n2的值．
解：設2m2+n2＝t，則原方程變為（t+1）（t﹣1）＝80，
整理得t2﹣1＝80，t2＝81，
∴t＝±9，
∵2m2+n2≥0，
∴2m2+n2＝9．
上面這種方法稱為“換元法”，換元法是數學學習中最常用的一種思想方法，在結構較復雜的數和式的運算中，若把其中某些部分看成一個整體，并用新字母代替（即換元），則能使復雜的問題簡單化．
根據以上閱讀材料內容，解決下列問題，并寫出解答過程．
（1）已知實數x、y滿足（2x2+2y2+3）（2x2+2y2﹣3）＝27，求x2+y2的值；
（2）在（1）的條件下，若xy＝1，求（x+y）2和x﹣y的值．
四．平方差公式的幾何背景
知識點梳理：
平方差公式的幾何背景
（1）常見驗證平方差公式的幾何圖形（利用圖形的面積和作為相等關系列出等式即可驗證平方差公式）．
（2）運用幾何直觀理解、解決平方差公式的推導過程，通過幾何圖形之間的數量關系對平方差公式做出幾何解釋．
例題講解：
36．如圖，邊長為a的大正方形剪去一個邊長為b的小正方形后，將剩余部分通過割補拼成新的圖形．根據圖形能驗證的等式為（　?。?br/>A．a2﹣b2＝（a﹣b）2 B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．（a+b）2＝a2+2ab+b2
37．如圖，從邊長為（a+4）cm的正方形紙片中剪去一個邊長為（a+1）cm的正方形．（a＞0）剩余部分沿虛線又剪拼成一個矩形（不重疊無縫隙）則矩形的面積為（　?。?br/>A．（2a2+5a）cm2 B．（3a+15）cm2
C．（6a+9）cm2 D．（6a+15）cm2
38．如圖，若大正方形與小正方形的面積之差為28，則圖中陰影部分的面積是 　 　 ．
39．如圖，大正方形與小正方形的面積之差是30，則陰影部分的面積是 　 　 ．
40．如圖，陰影部分是邊長是a的大正方形剪去一個邊長是b的小正方形后所得到的圖形，將陰影部分通過割、拼，形成新的圖形，給出下列4幅圖割拼方法中，其中能夠驗證平方差公式有　 　 （填序號）
41．如圖①，從邊長為a的大正方形中剪掉一個邊長為b的小正方形，將陰影部分如圖剪開，拼成圖②的長方形．
（1）分別計算這兩個圖形陰影部分的面積，可以驗證的等式是 　 　 ．
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2
D．a2+ab＝a（a+b）
（2）應用這個公式完成下列各題．
①已知4m2﹣n2＝12，2m+n＝4，求2m﹣n的值；
②計算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）．
42．從邊長為a的正方形中剪掉一個邊長為b的正方形（如圖1），然后將剩余部分拼成一個長方形（如圖2）．
（1）上述操作能驗證的等式是 　 　 （只填序號）；
①（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2；②a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；③（a+b）2＝a2+2ab+b2．
（2）應用你從（1）中選出的等式，完成下列各題：
①已知x2﹣4y2＝18，x+2y＝4，求x﹣2y的值；
②計算：．
五．整式的混合運算—化簡求值
知識點梳理：
整式的混合運算—化簡求值
先按運算順序把整式化簡，再把對應字母的值代入求整式的值．
有乘方、乘除的混合運算中，要按照先乘方后乘除的順序運算，其運算順序和有理數的混合運算順序相似．
例題講解：
43．已知：a+b＝m，ab＝﹣4，化簡（a﹣2）（b﹣2）的結果是（　?。?br/>A．6 B．2m﹣8 C．2m D．﹣2m
44．若a﹣b＝3，ab＝1，則a3b﹣2a2b2+ab3的值為（　?。?br/>A．3 B．4 C．9 D．12
45．如果a2+4a﹣4＝0，那么代數式（a﹣2）2+4（2a﹣3）+1的值為（　　）
A．13 B．﹣11 C．3 D．﹣3
46．已知（2023﹣a）2+（a﹣2022）2＝7，則代數式（2023﹣a）（a﹣2022）的值是（　?。?br/>A．2 B．1 C．3 D．﹣3
47．已知（a2+b2+3）（a2+b2﹣3）＝7，ab＝3，則（a+b）2＝（　　）
A．4 B．10 C．16 D．20
48．先化簡，再求值：（a﹣b）2﹣2a（a+3b）+（a+2b）（a﹣2b），其中a＝1，b＝﹣3．
六．同底數冪的除法
知識點梳理：
同底數冪的除法
同底數冪的除法法則：底數不變，指數相減．
am÷an＝a m﹣n（a≠0，m，n是正整數，m＞n）
①底數a≠0，因為0不能做除數；
②單獨的一個字母，其指數是1，而不是0；
③應用同底數冪除法的法則時，底數a可是單項式，也可以是多項式，但必須明確底數是什么，指數是什么．
例題講解：
49．計算：a5÷a3＝　 　 ．
50．若3x﹣5y﹣1＝0，則103x÷105y＝　 　 ．
51．已知am＝3，an＝2，則a2m﹣n的值為 　 　 ．
52．若2m＝3，4n＝8，則23m﹣2n+3的值是　 　 ．
53．若，則a2m﹣3n＝　 　 ．
54．已知，3m＝2，3n＝5，求
（1）33m+2n；
（2）34m﹣3n．
55．已知5a＝3，5b＝8，5c＝72．
（1）求（5a）2的值．
（2）求5a﹣b+c的值．
（3）直接寫出字母a、b、c之間的數量關系為 　 　 ．
七．零指數冪
知識點梳理：
零指數冪
零指數冪：a0＝1（a≠0）
由am÷am＝1，am÷am＝am﹣m＝a0可推出a0＝1（a≠0）
注意：00≠1．
例題講解：
56．（﹣4）0的結果是（　　）
A．﹣4 B．﹣40 C．0 D．1
57．關于代數式（a+1）0，下列說法正確的是（　　）
A．（a+1）0的值一定是0
B．（a+1）0的值一定是1
C．當a≠0時，（a+1）0有意義
D．當a≠﹣1時，（a+1）0有意義
58．等式（x﹣3）0＝1成立的條件是（　?。?br/>A．x≠﹣3 B．x≥﹣3 C．x≤﹣3 D．x≠3
59．若（x+2）|x|﹣2＝1，則x的值為　 　 ．
60．若（2a﹣1）0＝1成立，a的取值范圍是　 　
(
1
)第三章 整式的乘除
一．負整數指數冪（共4小題）
1．化簡2﹣1的結果是（　?。?br/>A．2 B．﹣2 C． D．
【解答】解：2﹣1，
故選：C．
2．若（x﹣3）0﹣2（2x﹣4）﹣1有意義，則x取值范圍是（　?。?br/>A．x≠3 B．x≠2 C．x≠3且x≠﹣2 D．x≠3且x≠2
【解答】解：若（x﹣3）0﹣2（2x﹣4）﹣1有意義，
則x﹣3≠0且2x﹣4≠0，
解得：x≠3且x≠2．
故選：D．
3．將代數式3x﹣2y3化為只含有正整數指數冪的形式是　　 ．
【解答】解：3x﹣2y3＝3y3，
故答案為：．
4．已知10﹣2α＝3，，求106α+2β的值．
【解答】解：∵10﹣2α3，10﹣β，
∴102α，10β＝﹣5，
∴106α+2β＝（102α）3 （10β）2，
＝（）3×（﹣5）2，
25，
．
二．整式的除法（共6小題）
5．計算3a6÷a的結果是（　　）
A．3a6 B．2a5 C．2a6 D．3a5
【解答】解：3a6÷a＝3a5．
故選：D．
6．計算（﹣4a2+12a3b）÷（﹣4a2）的結果是（　?。?br/>A．1﹣3ab B．﹣3ab C．1+3ab D．﹣1﹣3ab
【解答】解：（﹣4a2+12a3b）÷（﹣4a2）
＝1﹣3ab．
故選：A．
7．已知長方形的面積是6a3+9a2﹣3ab，一邊長是3a，則它的鄰邊長是（　?。?br/>A．3a2﹣b+2a2 B．2a2+3a﹣b C．b+3a+2a2 D．3a2﹣b+2a
【解答】解：由題意得：（6a3+9a2﹣3ab）÷3a
＝6a3÷3a+9a2÷3a﹣3ab÷3a
＝2a2+3a﹣b．
故選：B．
8．如圖1，將一張長方形紙板四角各切去一個同樣的正方形，制成如圖2的無蓋紙盒，若該紙盒的容積為4a2b，則圖2中紙盒底部長方形的周長為（　?。?br/>A．4ab B．8ab C．4a+b D．8a+2b
【解答】解：根據題意，得
紙盒底部長方形的寬為4a，
∴紙盒底部長方形的周長為：2（4a+b）＝8a+2b．
故選：D．
9．計算：（16x3﹣8x2+4x）÷（﹣2x）＝　﹣8x2+4x﹣2　 ．
【解答】解：（16x3﹣8x2+4x）÷（﹣2x）
＝﹣8x2+4x﹣2．
故答案為：﹣8x2+4x﹣2．
10．化簡求值：[（x﹣y）2﹣x（3x﹣2y）+（x+y）（x﹣y）]÷2x，其中x＝1，y＝﹣2．
【解答】解：原式＝[x2﹣2xy+y2﹣3x2+2xy+x2﹣y2]÷2x
＝（﹣x2）÷2x
x，
當x＝1，y＝﹣2時，原式．
三．整式的混合運算（共12小題）
11．下列計算正確的是（　　）
A．（a﹣b）（﹣a﹣b）＝a2﹣b2 B．2a3+3a3＝5a6
C．6x3y2÷3x＝2x2y2 D．（﹣2x2）3＝﹣6x6
【解答】解：（a﹣b）（﹣a﹣b）＝b2﹣a2，故選項A錯誤；
2a3+3a3＝5a3，故選項B錯誤；
6x3y2÷3x＝2x2y2，故選項C正確；
（﹣2x2）3＝﹣8x6，故選項D錯誤；
故選：C．
12．7張如圖1的長為a，寬為b（a＞b）的小長方形紙片，按圖2的方式不重疊地放在矩形ABCD內，未被覆蓋的部分（兩個矩形）用陰影表示．設左上角與右下角的陰影部分的面積的差為S，當BC的長度變化時，按照同樣的放置方式，S始終保持不變，則a，b滿足（　?。?br/>A．ab B．a＝3b C．ab D．a＝4b
【解答】解：左上角陰影部分的長為AE，寬為AF＝3b，右下角陰影部分的長為PC，寬為a，
∵AD＝BC，即AE+ED＝AE+a，BC＝BP+PC＝4b+PC，
∴AE+a＝4b+PC，即AE﹣PC＝4b﹣a，
∴陰影部分面積之差S＝AE AF﹣PC CG＝3bAE﹣aPC＝3b（PC+4b﹣a）﹣aPC＝（3b﹣a）PC+12b2﹣3ab，
則3b﹣a＝0，即a＝3b．
解法二：既然BC是變化的，當點P與點C重合開始，然后BC向右伸展，
設向右伸展長度為X，左上陰影增加的是3bX，右下陰影增加的是aX，因為S不變，
∴增加的面積相等，
∴3bX＝aX，
∴a＝3b．
故選：B．
13．如圖，長為y（cm），寬為x（cm）的大長方形被分割為7小塊，除陰影A，B外，其余5塊是形狀、大小完全相同的小長方形，其較短的邊長為5cm，下列說法中正確的是（　　）
①小長方形的較長邊為y﹣15；
②陰影A的較短邊和陰影B的較短邊之和為x﹣y+5；
③若x為定值，則陰影A和陰影B的周長和為定值；
④當x＝15時，陰影A和陰影B的面積和為定值．
A．①③④ B．②④ C．①③ D．①④
【解答】解：①∵大長方形的長為y cm，小長方形的寬為5cm，
∴小長方形的長為y﹣3×5＝（y﹣15）cm，說法①正確；
②∵大長方形的寬為x cm，小長方形的長為（y﹣15）cm，小長方形的寬為5cm，
∴陰影A的較短邊為x﹣2×5＝（x﹣10）cm，陰影B的較短邊為x﹣（y﹣15）＝（x﹣y+15）cm，
∴陰影A的較短邊和陰影B的較短邊之和為x﹣10+x﹣y+15＝（2x+5﹣y）cm，說法②錯誤；
③∵陰影A的較長邊為（y﹣15）cm，較短邊為（x﹣10）cm，陰影B的較長邊為3×5＝15cm，較短邊為（x﹣y+15）cm，
∴陰影A的周長為2（y﹣15+x﹣10）＝2（x+y﹣25），陰影B的周長為2（15+x﹣y+15）＝2（x﹣y+30），
∴陰影A和陰影B的周長之和為2（x+y﹣25）+2（x﹣y+30）＝2（2x+5），
∴若x為定值，則陰影A和陰影B的周長之和為定值，說法③正確；
④∵陰影A的較長邊為（y﹣15）cm，較短邊為（x﹣10）cm，陰影B的較長邊為3×5＝15cm，較短邊為（x﹣y+15）cm，
∴陰影A的面積為（y﹣15）（x﹣10）＝（xy﹣15x﹣10y+150）cm2，陰影B的面積為15（x﹣y+15）＝（15x﹣15y+225）cm2，
∴陰影A和陰影B的面積之和為xy﹣15x﹣10y+150+15x﹣15y+225＝（xy﹣25y+375）cm2，
當x＝15時，xy﹣25y+375＝（375﹣10y）cm2，說法④錯誤．
綜上所述，正確的說法有①③．
故選：C．
14．將一張邊長為a的正方形紙片按圖1方式放置于長方形ABCD內，再將長為b（b＜a），寬為的長方形紙片按圖2，圖3兩種方式放置，長方形中未被覆蓋的部分用陰影表示，設圖2中陰影部分的面積為S1，圖3中陰影部分的面積為S2，且S2﹣S1＝2b，則AD﹣AB的值為（　　）
A．1 B．2 C．4 D．無法確定
【解答】解：∵S1＝（CD﹣a） a+（ABb）（BC﹣a）＝（AB﹣a） a+（ABb）（AD﹣a），
S2＝AB（AD﹣a）+（a）（AB﹣a），
∴S1﹣S2＝（AB﹣a） a+（AB）（AD﹣a）﹣AB（AD﹣a）﹣（a）（AB﹣a）
＝（AD﹣a）（ABAB）+（AB﹣a）（a﹣a）
（AD﹣a）（AB﹣a）
（AB﹣AD），
∵S2﹣S1＝2b，
∴（AD﹣AB）＝2b，
∴AD﹣AB＝4．
故選：C．
15．任意給定一個非零數，按下列程序計算，最后輸出的結果是（　?。?br/>A．m B．m2 C．m+1 D．m﹣1
【解答】解：根據題意可列出代數式：（m2﹣m）÷m+2＝m﹣1+2＝m+1．
故選：C．
16．定義運算a b＝a（1﹣b），下列給出了關于這種運算的幾個結論：
①2 （﹣2）＝6；
②a b＝b a；
③若a+b＝0，則（a a）+（b b）＝2ab；
④若a b＝0，則a＝0．
其中正確結論的序號是?、佗邸?．（在橫線上填上你認為所有正確結論的序號）
【解答】解：∵a b＝a（1﹣b），
①2 （﹣2）＝6
＝2×[1﹣（﹣2）]
＝2×3
＝6
故本選項正確；
②a b
＝a×（1﹣b）
＝a﹣ab
b a
＝b（1﹣a）
＝b﹣ab，
故本選項錯誤；
③∵（a a）+（b b）
＝[a（1﹣a）]+[b（1﹣b）]
＝a﹣a2+b﹣b2，
∵a+b＝0，
∴原式＝（a+b）﹣（a2+b2）
＝0﹣[（a+b）2﹣2ab]
＝2ab，
故本選項正確；
④∵a b
＝a（1﹣b）＝0，
∴a＝0錯誤．
故答案為：①③
17．我國南宋數學家楊輝用三角形解釋二項和的乘方規律，稱之為“楊輝三角”．這個三角形給出了（a+b）n（n＝1，2，3，4…）的展開式的系數規律（按a的次數由大到小的順序）：
請依據上述規律，寫出（x）2016展開式中含x2014項的系數是　﹣4032　 ．
【解答】解：（x）2016展開式中含x2014項的系數，
由（x）2016＝x2016﹣2016 x2015 （）+…
可知，展開式中第二項為﹣2016 x2015 （）＝﹣4032x2014，
∴（x）2016展開式中含x2014項的系數是﹣4032，
故答案為﹣4032．
18．已知A＝2x，B是多項式，在計算B+A時，小馬虎同學把B+A看成了B÷A，結果得x2x，則B+A＝　2x3+x2+2x　 ．
【解答】解：∵B÷A＝x2x，A＝2x，
∴B＝（x2x） 2x＝2x3+x2．
∴B+A＝2x3+x2+2x，
故答案為：2x3+x2+2x．
19．若規定符號的意義是ad﹣bc，則當a2+2a﹣3＝0時，的值為 　3　 ．
【解答】解：由題意得：
a（a+2）﹣（a+3）（1﹣a）
＝a2+2a﹣（a﹣a2+3﹣3a）
＝a2+2a﹣a+a2﹣3+3a
＝2a2+4a﹣3，
∵a2+2a﹣3＝0，
∴a2+2a＝3，
∴當a2+2a＝3時，原式＝2（a2+2a）﹣3
＝2×3﹣3
＝6﹣3
＝3，
故答案為：3．
20．如果表示﹣4xyz，表示2abcd，則＝　﹣16m4n3　 ．
【解答】解：由題意可得，
＝（﹣4mn×2）×2n2m3
＝﹣8mn×2n2m3
＝﹣16m4n3，
故答案為：﹣16m4n3．
21．計算：
（1）（15x2y﹣10xy2）÷5xy；
（2）（2x﹣1）2﹣（2x+5）（2x﹣5）；
（3）[2a2 8a2+（2a）3﹣4a2]÷2a．
【解答】解：（1）（15x2y﹣10xy2）÷5xy
＝15x2y÷5xy﹣10xy2÷5xy
＝3x﹣2y；
（2）（2x﹣1）2﹣（2x+5）（2x﹣5）
＝4x2﹣4x+1﹣（4x2﹣25）
＝4x2﹣4x+1﹣4x2+25
＝﹣4x+26；
（3）[2a2 8a2+（2a）3﹣4a2]÷2a
＝（16a4+8a3﹣4a2）÷2a
＝16a4÷2a+8a3÷2a﹣4a2÷2a
＝8a3+4a2﹣2a．
22．把代數式通過配湊等手段，得到完全平方式，再運用完全平方式是非負性這一性質增加問題的條件，這種解題方法叫做配方法．配方法在代數式求值，解方程，最值問題等都有著廣泛的應用．
例如：①用配方法因式分解：a2+6a+8．
原式＝a2+6a+9﹣1＝（a+3）2﹣1＝（a+3﹣1）（a+3+1）＝（a+2）（a+4）
②若M＝a2﹣2ab+2b2﹣2b+2，利用配方法求M的最小值：a2﹣2ab+2b2﹣2b+2＝a2﹣2ab+b2+b2﹣2b+1+1＝（a﹣b）2+（b﹣1）2+1
∵（a﹣b）2≥0，（b﹣1）2≥0，
∴當a＝b＝1時，M有最小值1．
請根據上述材料解決下列問題：
（1）在橫線上添上一個常數項使之成為完全平方式：a2+4a+　4　 ．
（2）若M＝a2﹣3a+1，求M的最小值．
（3）已知a2+2b2+c2﹣2ab﹣4b﹣6c+13＝0，求a+b+c的值．
【解答】解（1）∵（a+2）2＝a2+4a+4，
∴常數項為4．
故答案為：4．
（2）M＝a2﹣3a+1
＝a2﹣3a
＝（a）2，
∵（a）2≥0，
∴M的最小值為；
（3）∵a2+2b2+c2﹣2ab﹣4b﹣6c+13＝0，
∴a2﹣2ab+b2+b2﹣4b+4+c2﹣6c+9＝0，
∴（a﹣b）2+（b﹣2）2+（c﹣3）2＝0，
又∵（a﹣b）2≥0，（b﹣2）2≥0，（c﹣3）2≥0，
∴a﹣b＝0，b﹣2＝0，c﹣3＝0，
∴a＝b＝2，c＝3，
∴a+b+c＝7．
(
1
)第三章 整式的乘除
考點分布
一．負整數指數冪
二．整式的除法
三．整式的混合運算
一．負整數指數冪
知識點梳理：
負整數指數冪
負整數指數冪：a﹣p（a≠0，p為正整數）
注意：①a≠0；
②計算負整數指數冪時，一定要根據負整數指數冪的意義計算，避免出現（﹣3）﹣2＝（﹣3）×（﹣2）的錯誤．
③當底數是分數時，只要把分子、分母顛倒，負指數就可變為正指數．
④在混合運算中，始終要注意運算的順序．
例題講解：
1．化簡2﹣1的結果是（　　）
A．2 B．﹣2 C． D．
2．若（x﹣3）0﹣2（2x﹣4）﹣1有意義，則x取值范圍是（　　）
A．x≠3 B．x≠2 C．x≠3且x≠﹣2 D．x≠3且x≠2
3．將代數式3x﹣2y3化為只含有正整數指數冪的形式是　 　 ．
4．已知10﹣2α＝3，，求106α+2β的值．
二．整式的除法
知識點梳理：
整式的除法
整式的除法：
（1）單項式除以單項式，把系數，同底數冪分別相除后，作為商的因式；對于只在被除式里含有的字母，則連同他的指數一起作為商的一個因式．
關注：從法則可以看出，單項式除以單項式分為三個步驟：①系數相除；②同底數冪相除；③對被除式里含有的字母直接作為商的一個因式．
（2）多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項分別除以單項式，再把所得的商相加．
說明：多項式除以單項式實質就是轉化為單項式除以單項式．多項式除以單項式的結果仍是一個多項
式．
例題講解：
5．計算3a6÷a的結果是（　?。?br/>A．3a6 B．2a5 C．2a6 D．3a5
6．計算（﹣4a2+12a3b）÷（﹣4a2）的結果是（　?。?br/>A．1﹣3ab B．﹣3ab C．1+3ab D．﹣1﹣3ab
7．已知長方形的面積是6a3+9a2﹣3ab，一邊長是3a，則它的鄰邊長是（　?。?br/>A．3a2﹣b+2a2 B．2a2+3a﹣b C．b+3a+2a2 D．3a2﹣b+2a
8．如圖1，將一張長方形紙板四角各切去一個同樣的正方形，制成如圖2的無蓋紙盒，若該紙盒的容積為4a2b，則圖2中紙盒底部長方形的周長為（　?。?br/>A．4ab B．8ab C．4a+b D．8a+2b
9．計算：（16x3﹣8x2+4x）÷（﹣2x）＝　 　 ．
10．化簡求值：[（x﹣y）2﹣x（3x﹣2y）+（x+y）（x﹣y）]÷2x，其中x＝1，y＝﹣2．
三．整式的混合運算
知識點梳理：
整式的混合運算
（1）有乘方、乘除的混合運算中，要按照先乘方后乘除的順序運算，其運算順序和有理數的混合運算順序相似．
（2）“整體”思想在整式運算中較為常見，適時采用整體思想可使問題簡單化，并且迅速地解決相關問題，此時應注意被看做整體的代數式通常要用括號括起來．
例題講解：
11．下列計算正確的是（　?。?br/>A．（a﹣b）（﹣a﹣b）＝a2﹣b2 B．2a3+3a3＝5a6
C．6x3y2÷3x＝2x2y2 D．（﹣2x2）3＝﹣6x6
12．7張如圖1的長為a，寬為b（a＞b）的小長方形紙片，按圖2的方式不重疊地放在矩形ABCD內，未被覆蓋的部分（兩個矩形）用陰影表示．設左上角與右下角的陰影部分的面積的差為S，當BC的長度變化時，按照同樣的放置方式，S始終保持不變，則a，b滿足（　?。?br/>A．ab B．a＝3b C．ab D．a＝4b
13．如圖，長為y（cm），寬為x（cm）的大長方形被分割為7小塊，除陰影A，B外，其余5塊是形狀、大小完全相同的小長方形，其較短的邊長為5cm，下列說法中正確的是（　　）
①小長方形的較長邊為y﹣15；
②陰影A的較短邊和陰影B的較短邊之和為x﹣y+5；
③若x為定值，則陰影A和陰影B的周長和為定值；
④當x＝15時，陰影A和陰影B的面積和為定值．
A．①③④ B．②④ C．①③ D．①④
14．將一張邊長為a的正方形紙片按圖1方式放置于長方形ABCD內，再將長為b（b＜a），寬為的長方形紙片按圖2，圖3兩種方式放置，長方形中未被覆蓋的部分用陰影表示，設圖2中陰影部分的面積為S1，圖3中陰影部分的面積為S2，且S2﹣S1＝2b，則AD﹣AB的值為（　　）
A．1 B．2 C．4 D．無法確定
15．任意給定一個非零數，按下列程序計算，最后輸出的結果是（　?。?br/>A．m B．m2 C．m+1 D．m﹣1
16．定義運算a b＝a（1﹣b），下列給出了關于這種運算的幾個結論：
①2 （﹣2）＝6；
②a b＝b a；
③若a+b＝0，則（a a）+（b b）＝2ab；
④若a b＝0，則a＝0．
其中正確結論的序號是　 　 ．（在橫線上填上你認為所有正確結論的序號）
17．我國南宋數學家楊輝用三角形解釋二項和的乘方規律，稱之為“楊輝三角”．這個三角形給出了（a+b）n（n＝1，2，3，4…）的展開式的系數規律（按a的次數由大到小的順序）：
請依據上述規律，寫出（x）2016展開式中含x2014項的系數是　 　 ．
18．已知A＝2x，B是多項式，在計算B+A時，小馬虎同學把B+A看成了B÷A，結果得x2x，則B+A＝　 　 ．
19．若規定符號的意義是ad﹣bc，則當a2+2a﹣3＝0時，的值為 　 　 ．
20．如果表示﹣4xyz，表示2abcd，則＝　 　 ．
21．計算：
（1）（15x2y﹣10xy2）÷5xy；
（2）（2x﹣1）2﹣（2x+5）（2x﹣5）；
（3）[2a2 8a2+（2a）3﹣4a2]÷2a．
22．把代數式通過配湊等手段，得到完全平方式，再運用完全平方式是非負性這一性質增加問題的條件，這種解題方法叫做配方法．配方法在代數式求值，解方程，最值問題等都有著廣泛的應用．
例如：①用配方法因式分解：a2+6a+8．
原式＝a2+6a+9﹣1＝（a+3）2﹣1＝（a+3﹣1）（a+3+1）＝（a+2）（a+4）
②若M＝a2﹣2ab+2b2﹣2b+2，利用配方法求M的最小值：a2﹣2ab+2b2﹣2b+2＝a2﹣2ab+b2+b2﹣2b+1+1＝（a﹣b）2+（b﹣1）2+1
∵（a﹣b）2≥0，（b﹣1）2≥0，
∴當a＝b＝1時，M有最小值1．
請根據上述材料解決下列問題：
（1）在橫線上添上一個常數項使之成為完全平方式：a2+4a+　 　 ．
（2）若M＝a2﹣3a+1，求M的最小值．
（3）已知a2+2b2+c2﹣2ab﹣4b﹣6c+13＝0，求a+b+c的值．
(
1
)

展開更多......

收起↑