資源簡介

2024-2025學(xué)年五年級下冊數(shù)學(xué)易錯題型
第八單元 數(shù)學(xué)廣角—找次品
（知識梳理+典例精講+培優(yōu)必刷）
【知識點一】利用天平平衡原理找次品
1、在找次品的活動中,可以通過天平演示，也可以不實際稱量,利用天平平衡的原理找出次品。
2、利用直觀流程圖表示數(shù)學(xué)思維的過程既清晰,又簡明,這類方法應(yīng)該注意掌握。
【知識點二】運用優(yōu)化策略解決問題
1、用天平找次品的最優(yōu)策略（稱量次數(shù)最少）:
（1）把待測物品盡量平均分成3份;
（2）不能平均分時,也應(yīng)使多的一份與少的一份只相差1,這樣才能使稱量的次數(shù)最少
2、“保證”指的是無論在什么情況下，都能把次品找出來。
【考點一】優(yōu)化策略分析解決找次品問題
【典例一】有6盒餅干，其中5盒質(zhì)量相同，有1盒少了幾塊（輕一些）。如果用天平稱，至少稱( )次保證可以找出這盒餅干。
【答案】2
【分析】第一次，把6盒餅干平均分成3份，2盒、2盒和2盒，將其中的2份放在天平的兩邊稱，如果一樣重，那么另外的1份中有次品；如果一重一輕，那么輕的那份內(nèi)有次品；
第二次，把有次品的2盒餅干分成1盒和1盒，一重一輕，那么輕的那盒內(nèi)為次品。
【解答】根據(jù)分析得，要找出6盒餅干中那盒次品，如果用天平稱，至少稱2次可以保證找出這盒餅干。
【典例二】10件物品，其中一件是次品（略重些），用天平稱至少要稱( )次才能保證找出次品。
【答案】3
【分析】找次品的最優(yōu)策略：一是把待測物品分成2份或3份；二是要盡量平均分，不能平均分的，應(yīng)該使多的一份與少的一份只相差1，這樣不但能保證找出次品，而且稱的次數(shù)一定最少，據(jù)此解答。
【解答】有10件物品，其中有一件是次品，比其它略重。
第一次稱重：先分成兩份，天平兩邊各放5件，次品在較重的5件中；
第二次稱重：把5件分成2件，2件和1件，天平兩邊各放2件，①若天平平衡，則次品就是剩下的1件；②若天平不平衡，次品就在較重的那2件中；
第三次稱重：把較重的2件分成兩份，天平兩邊各放1件，次品就是較重的1件。
10件物品，其中一件是次品（略重些），用天平稱至少要稱3次才能保證找出次品。
【典例三】在8個零件中找出一個次品（次品輕），其它零件的質(zhì)量相同。用天平稱，至少稱( )次就一定能找出。
【答案】2
【分析】把8個零件分成3份，即（3，3，2），第一次稱，天平兩邊各放3個，如果天平不平衡，次品就在較輕的3個中；如果天平平衡，次品在剩下的2個中；考慮最不利原則，次品在數(shù)量多的里面，再把有次品的3個零件分成3份，即（1，1，1），第二次稱，天平兩邊各放1個，如果天平不平衡，次品就是較輕的那一個；如果天平平衡，次品是剩下的那1個。所以至少稱2次就一定能找到這個次品。
【解答】
用天平稱，至少稱2次就一定能找出。
【考點二】用直觀流程圖表示找次品的過程
【典例一】福建物產(chǎn)豐富，有很多地方盛產(chǎn)水果，才溪臍橙產(chǎn)自著名革命老區(qū)上杭縣才溪鎮(zhèn)，被評為“福建省名牌農(nóng)產(chǎn)品”。王伯伯準備了12箱臍橙寄往外地，其中11箱質(zhì)量相同，另外有1箱質(zhì)量稍輕一些，至少稱幾次能保證找出這箱輕一些的臍橙？（請你試著用圖表示稱的過程）
【答案】3次
【分析】分成每6箱一組，用天平稱，因有一箱質(zhì)量不足，所以找出輕的一組，再把輕的一組任意3箱分成一組用天平稱，再找出輕的一組，再任取2箱用天平稱，若天平平衡，則沒稱的1箱是次品，若不平衡測輕的是次品，據(jù)此解答。
【解答】把12箱分成兩組：6箱為1組，進行第一次稱量，左右不相等，那么次品就在較輕的那一組中；
由此再把較輕的一端的6箱分成2組：3箱為1組，左右不相等，那么次品就在較輕的那一組中；
由此再把較輕的一端的3箱分成3組：1箱為1組，取兩箱稱量，如果左右相等，那么說明剩下的1箱就是次品。如果左右不相等，那么次品就是較輕的那一箱；
答：至少稱3次就能能保證找出這箱輕一些的臍橙，稱量過程如下圖所示：
【點評】根據(jù)天平的平衡性進行稱量，找到質(zhì)量較輕的物品，合理分組是解題的關(guān)鍵。
【典例二】1箱糖果有15袋，其中有14袋質(zhì)量相同，另有1袋質(zhì)量不足，輕一些。至少稱幾次能保證找出這袋糖果來？你會用下面的圖表示出來嗎？
【答案】3次；作圖見詳解
【分析】找次品的最優(yōu)策略：
（1）把待分物品分成3份；
（2）每份數(shù)量盡量平均，如果不能平均分的，也應(yīng)該使多的一份與少的一份只相差1。
【解答】
3次；
【點評】在生活中，常常出現(xiàn)這樣的情況：在一些看似完全相同的物品中混著輕一點或者重一點的物品，需要我們想辦法把它找出來，我們把這類問題叫做找次品。
【典例三】1箱糖果有12袋，其中11袋質(zhì)量相同，另有1袋質(zhì)量輕一些。假如用天平稱，至少稱幾次能保證找出這袋糖果？
【答案】3次，過程見詳解。
【分析】將這12袋糖果分成4、4、4共3份。
第一次稱：將其中兩份放在天平兩端，若天平平衡，次品在剩下的4袋里。若天平不平衡，次品在天平上升的一端里（4袋）。
第二次稱：將次品所在的4袋糖果分成1、1、2共3份。天平兩端分別放1袋糖果，若天平平衡，次品就是剩下那兩袋糖果中。若天平不平衡，次品在天平上升的一端里（1袋）。
第三次稱：將次品所在的2袋糖果分成1、1共2份。天平兩端分別放1袋糖果，次品在天平上升的一端里。
【解答】本題一共12袋糖果且已知其中有1袋糖果質(zhì)量更輕，至少要稱3次，過程如下圖：
答：至少稱3次能保證找出這袋糖果。
一、填空題
1．洛陽一家儀器工廠借助天平檢測精密零件的質(zhì)量是否合格。在12個精密零件中有一個不合格零件（不合格零件略輕些）。用天平至少稱( )次，就能保證找出那個不合格零件。
【答案】3
【分析】把12個精密零件平均分成3份，每份4個，即（4，4，4），第一次稱，天平兩邊各放4個，如果天平不平衡，次品就在較輕的4個中；如果天平平衡，次品在剩下的4個中；再把有次品的4個精密零件分成（1，1，2），第二次稱，天平兩邊各放1個，如果天平不平衡，次品就是較輕的那一個；如果天平平衡，次品在剩下的2個中；考慮最不利原則，次品在數(shù)量多的里面，最后把有次品的2個精密零件分成（1，1），第三次稱，天平兩邊各放1個，次品就是較輕的那一個。至少稱3次就能保證找出那個不合格的零件。
【解答】
用天平至少稱3次，就能保證找出那個不合格零件。
2．有15個乒乓球，其中14個質(zhì)量相同，另有一個較重一點。如果用天平稱，至少稱( )次保證能找出這個較重的乒乓球。
【答案】3
【分析】把15個乒乓球平均分成3份，即（5，5，5）；第一次稱，天平兩邊各放5個，如果天平不平衡，次品就在較重的5個中；如果天平平衡，次品在剩下的5個中；把有次品的5個乒乓球分成3份，即（2，2，1），第二次稱，天平兩邊各放2個，如果天平不平衡，次品就在較重的2個中；如果天平平衡，次品就是剩下的1個；考慮最不利原則，次品在數(shù)量多的里面，最后把有次品的2個乒乓球成2份，即（1，1），第三次稱，天平兩邊各放1個，次品就是較重的那一個。所以至少稱3次保證能找出這個較重的乒乓球。
【解答】
如果用天平稱，至少稱3次保證能找出這個較重的乒乓球。
3．1箱糖果有24袋，其中有23袋質(zhì)量相同，另有1袋質(zhì)量不足，輕一些。至少稱( )次才能保證找出這袋糖果來。
【答案】3
【分析】根據(jù)題意，本題和找次品是同類型題目，解題的關(guān)鍵是利用天平平衡原理來逐步進行排除，從而達到縮小范圍的目的。找次品的最優(yōu)策略：（1）把待分物品分成3份；（2）每份數(shù)量盡量平均，如果不能平均分的，也應(yīng)該使多的一份與少的一份只相差1。
【解答】將24袋糖果平均分成3份，每份8袋。
第一次把其中的兩份8袋放在天平上稱一稱，如天平平衡，則這些稱的糖果中沒有輕的一袋，如天平不平衡，拿出輕一些的那8袋，繼續(xù)稱；
第二次把有1袋質(zhì)量不足的糖果分成3袋、3袋和2袋，把其中的兩份3袋放在天平上稱一稱，如天平平衡，則沒有稱的2袋里有1袋質(zhì)量不足，如天平不平衡，則拿出輕一些的那3袋繼續(xù)稱；
第三次根據(jù)最不利原則，假設(shè)輕一些的在那3袋中，把其中2袋放在天平上稱一稱，如天平平衡，則沒有稱的那一袋是質(zhì)量不足的，如天平不平衡，則輕一些的1袋是質(zhì)量不足的。在上述描述中，找出質(zhì)量不足的糖果的規(guī)律為：2~3個物品，至少稱1次；4~9個物品，至少稱2次；10~27個物品，至少稱3次；28~81個物品，至少稱4次；
24在10~27這個范圍內(nèi)，至少稱3次才能保證找出這袋糖果來。
4．用天平找次品的方法很多，在眾多的方法中，我們發(fā)現(xiàn)了分( )份稱的方法最好。已知一堆物品中有1個次品（比正品輕），如果至少稱3次就能保證找出這個次品，這堆物品最少有( )個，最多有( )個。
【答案】3/三 10 27
【分析】解決找次品的方法很多，在眾多的方法中，我們發(fā)現(xiàn)了分3份稱的方法是最好的。因為分3份稱找到次品用的次數(shù)最少。用天平找次品時，所測物品數(shù)目與測試的次數(shù)有以下關(guān)系。（只含有一個次品，已知次品比正品輕）
要辨別的數(shù)目 保證能找出次品需要的次數(shù)
2~3 1
4~9 2
10~27 3
28~81 4
82~243 5
… …
觀察表格中物品數(shù)目的每一組數(shù)據(jù)中的第二個數(shù)字可得，2~3個需要1次；9＝3×3，需要2次；27＝3×3×3，需要3次；81＝3×3×3×3，需要4次； 據(jù)此可得需要3次測出的次品，數(shù)量在3×3＋1和3×3×3之間。
【解答】根據(jù)分析得，用天平找次品的方法很多，在眾多的方法中，我們發(fā)現(xiàn)了分3份稱的方法最好。
3×3＋1
＝9＋1
＝10（個）
3×3×3＝27（個）
所以這堆物品最少有10個，最多有27個。
【點評】本題考查了找次品，掌握找次品的方法是解題的關(guān)鍵。
5．找次品的最優(yōu)策略：把待測物品分成( )份。盡量( )分，如果不能平均分，也要使多的一份與少的一份只相差( )。
【答案】3 平均 1
【解答】找次品的最優(yōu)策略：把待測物品分成3份。盡量平均分，如果不能平均分，也要使多的一份與少的一份只相差1。
如12可以分成3份（4，4，4）；
不能平均分成3份的，要使每份分得數(shù)量盡量相差最少，如11（4，4，3）。
6．如果把質(zhì)量不同的兩個物體分別放在天平的左右兩邊，質(zhì)量( )的一邊會翹起，質(zhì)量( )的一邊會下沉。當(dāng)天平的左右兩邊放入的物體質(zhì)量( )時，天平才會平衡。
【答案】輕 重 相等/一樣
【解答】如果把質(zhì)量不同的兩個物體分別放在天平的左右兩邊，質(zhì)量輕的一邊會翹起，質(zhì)量重的一邊會下沉。當(dāng)天平的左右兩邊放入的物體質(zhì)量相等時，天平才會平衡。
如圖：，當(dāng)左邊砝碼質(zhì)量比長方體輕時，左邊就會翹起，右邊就會下沉；當(dāng)左邊砝碼質(zhì)量等于長方體質(zhì)量時，天平才會平衡。
7．有5瓶形狀、外觀相同的鈣片，其中1瓶少了3片。下圖是同學(xué)們用天平來稱的實驗情況，哪幾幅圖的實驗表示稱一次恰好找到少3片的那瓶鈣片，請?zhí)钌虾线m的序號( )。
【答案】②
【分析】把5瓶鈣片分成2瓶，2瓶，1瓶三份，第一次：把兩份2瓶的鈣片分別放在天平秤兩端，若天平秤平衡，則未取那瓶即是少了3片的；若不平衡，第二次：把在天平秤較高端的2瓶鈣片，分別放在天平秤兩端，在天平秤較高端鈣片即為少3片的那瓶，據(jù)此即可解答。
【解答】根據(jù)分析得，如果只稱一次恰好找到少3片的那瓶鈣片，說明在第一次稱重的過程中，左右兩邊的2瓶是平衡的，則未取的那一瓶就是少了3片的那瓶鈣片，圖②中的實驗即可表示。
【點評】本題主要考查學(xué)生依據(jù)天平秤平衡原理解決問題的能力。
8．有6個小球，其中一個是次品要輕一些。根據(jù)圖判斷次品球的編號是( )號。
【答案】⑤
【分析】從右圖可以看出，①＋④＝②＋⑥，所以這里面不存在次品，次品就是③或⑤，再看左圖，圖中的②和④都是正品可以忽略掉，只看③和⑤，③比⑤重，因此，由于次品輕一些，那么⑤號就是次品。
【解答】有6個小球，其中一個是次品要輕一些。根據(jù)圖判斷次品球的編號是⑤。
【點評】本題考查了找次品這個數(shù)學(xué)問題。根據(jù)圖示進行合理的推斷是解答本題的關(guān)鍵。
9．5個零件中有1個是次品（輕一些），完成下面找次品的過程。

至少要稱（ ）次。
【答案】剩下的沒有編號零件；2
【分析】將5個零件拿出4個零件來，分別編號1、2、3、4，先將拿出來的1和2兩個零件分別放在天平兩端，若不平衡則向上的一端是次品；若平衡則次品不在1、2兩個零件中，再將3和4兩個零件放在天平兩端，若平衡則次品是沒有編號的零件，若不平衡則天平向上的一端是次品。據(jù)此可得出答案。
【解答】將5個零件拿出4個零件來，分別編號1、2、3、4，先將拿出來的1和2兩個零件分別放在天平兩端，若不平衡則向上的一端是次品；若平衡則次品不在1、2兩個零件中，再將3和4兩個零件放在天平兩端，若平衡則次品是沒有編號的零件，若不平衡則天平向上的一端是次品。
即要找到5個零件中的次品，至少要稱2次。
【點評】本題主要考查的是運用天平找次品，解題的關(guān)鍵是熟練掌握天平的使用原理，進而得出答案。
二、選擇題
10．有9顆鋼珠，其中8顆一樣重，另有1顆比這8顆略輕，如果用一架天平最少稱2次，就保證可以找到那顆較輕的鋼珠，下列分組方法正確的是（ ）。
A．一定按（，，）分組
B．一定按（，，）分組
C．一定按（，，）分組
【答案】C
【分析】找次品的最優(yōu)策略：一是把待測物品分成3份；二是要盡量平均分，不能平均分的，應(yīng)該使多的一份與少的一份只相差1，這樣不但能保證找出次品，而且稱的次數(shù)一定最少，據(jù)此解答。
【解答】有9顆鋼珠，其中有一件是次品，比其它略輕。
第一次稱重：先分成（3，3，3），天平兩邊各放3顆，①若天平平衡，則次品就在剩下的3顆中；②若天平不平衡，次品就在較輕的那3顆中；
第二次稱重：把3顆分成（1，1，1），天平兩邊各放1顆，①若天平平衡，則次品就是剩下的1顆；②若天平不平衡，次品就是較輕的那1顆。
有9顆鋼珠，其中8顆一樣重，另有1顆比這8顆略輕，如果用一架天平最少稱2次，就保證可以找到那顆較輕的鋼珠，正確的分組方法是（，，）。
故答案為：C
11．在27個零件中有一個是次品（稍輕一些），用天平至少稱（ ）次就一定能找出這個次品。
A．2 B．3 C．4
【答案】B
【分析】一般情況是把物品平均分成3份，不能平均分的，使多的與少的一份只差1；每次找出有次品的那份，直到找出次品為止，看一共稱了幾次。據(jù)此解答。
【解答】27個分為9，9，9，把兩個9放在天平上，平衡，說明剩下的9有次品，不平衡，說明輕的那個有次品；
9分為3，3，3，把兩個3放在天平上，平衡，說明剩下的3有次品，不平衡，說明輕的那個有次品；
3分為1，1，1，把兩個1放在天平上，平衡，說明剩下的是次品，不平衡，說明輕的那個是次品。
用天平至少稱3次就一定能找出這個次品。
故答案為：B
12．8個乒乓球里面有一個是次品（次品輕一些），根據(jù)下圖找次品的過程，可以推斷出（ ）。
A．次品在⑦⑧里面 B．①②里面有次品 C．⑥是次品
【答案】A
【分析】觀察可知，①②③和④⑤⑥一樣重，由題意可知，次品輕一些，可知次品在⑦⑧里面。據(jù)此解答。
【解答】據(jù)分析可知，8個乒乓球里面有一個是次品（次品輕一些），根據(jù)下圖找次品的過程，可以推斷出次品在⑦⑧里面。
故答案為：A
13．有五袋糖果，其中四袋各重200克，另一袋不是200克，但不知道比200克重還是輕，下圖（ ）稱一次就找到了那袋不同質(zhì)量的糖果。
A．B．C．
【答案】B
【分析】要達到次數(shù)最少，需要將要識別的物品的數(shù)目盡可能均勻的分成三份，然后每次稱重時，需要將數(shù)目相等的兩份放到天平兩邊稱重，不斷識別，一直到找到次品為止。據(jù)此答題即可。
【解答】把其中4袋拿出分作2份，放在天平左右兩邊進行稱量，如果左右相等，那么說明剩下的那一袋是次品。
故答案為：B
【點評】解答此題的關(guān)鍵是將所給物品進行合理的分組，逐次稱量，即可找出次品。
14．有一堆玻璃球，其中有一個較重的是次品，萬老師告訴大家：若用天平稱，至少稱3次就一定能找出這個較重的玻璃球。這堆玻璃球可能有（ ）個。
A． B． C．
【答案】B
【分析】（1）如果有3個玻璃球，稱1次能夠找出次品：把3分成三組（1，1，1），先稱其中兩個玻璃球，如果天平平衡，剩下的一個是次品，如果天平不平衡，天平下沉的一端是次品；如果再多1個玻璃球，則最少需要2次才能找出次品；
（2）如果有個玻璃球，最少需要2次能夠找出次品：把9分成三組（3，3，3），先稱其中兩組玻璃球，如果天平平衡，次品在剩下一組里面，如果天平不平衡，次品在天平下沉的一組里面；把次品所在組的玻璃球分成三組（1，1，1），先稱其中兩個玻璃球，如果天平平衡，剩下的一個是次品，如果天平不平衡，天平下沉的一端是次品；如果再多1個玻璃球，則最少需要3次才能找出次品；
（3）如果有個玻璃球，最少需要3次能夠找出次品：把27分成三組（9，9，9），先稱其中兩組玻璃球，如果天平平衡，次品在剩下一組里面，如果天平不平衡，次品在天平下沉的一組里面；把次品所在組的玻璃球分成三組（3，3，3），先稱其中兩組玻璃球，如果天平平衡，次品在剩下一組里面，如果天平不平衡，次品在天平下沉的一組里面；把次品所在組的玻璃球分成三組（1，1，1），先稱其中兩個玻璃球，如果天平平衡，剩下的一個是次品，如果天平不平衡，天平下沉的一端是次品；如果再多1個玻璃球，則最少需要4次才能找出次品；據(jù)此解答。
【解答】分析可知，當(dāng)玻璃球個數(shù)為9個時，至少需要稱2次找出次品，當(dāng)玻璃球個數(shù)為10個時，至少需要稱3次找出次品，當(dāng)玻璃球個數(shù)為27個時，至少需要稱3次找出次品，如果至少稱3次就一定能找出這個較重的玻璃球，這堆玻璃球可能有個。
故答案為：B
【點評】掌握找次品問題的解題方法是解答題目的關(guān)鍵。
三、判斷題
15．有13個乒乓球，其中有12個質(zhì)量相同，另有一個較輕，如果用天平稱，至少稱3次保證能找出這個較輕的乒乓球。( )
【答案】√
【分析】找次品的方法：一般是把待測物品分成3份，能平均分的就平均分，不能平均分的，使其中的2份相同，第3份盡量與這兩份相同，再稱其中的2份，根據(jù)天平平衡、不平衡進行判斷，如果不能找出次品，繼續(xù)把含有次品的份數(shù)再分成3份，方法同上，直到找出次品。
找次品的公式計算規(guī)律：
2～3個物品稱1次；
4～9個物品稱2次；
10～27個物品稱3次；
28～81個物品稱4次（以上是知道次品輕重的，不知道次品輕重要稱多一次）。
……
【解答】13在10～27個之間，由分析可知，10～27個物品至少稱3次。
所以原題說法正確。
故答案為：√
16．有①、②、③、④、⑤5個零件，其中有1個質(zhì)量稍輕的次品。根據(jù)下圖可以推斷出②③④⑤號零件一定不是次品。( )
【答案】×
【分析】根據(jù)題意，由于只有1個質(zhì)量稍輕的次品，可以肯定這個次品在天平的左邊，其他的都是正品，據(jù)此即可解答。
【解答】由分析得：
因為①＋②＜③＋④
所以次品在①和②中，③④⑤都是正品。
因此根據(jù)下圖可以推斷出②③④⑤號零件一定不是次品。原題說法錯誤。
故答案為：×
【點評】本題主要考查找次品的方法，根據(jù)天平作出判斷是關(guān)鍵。
17．有5筐梨，其中4筐的質(zhì)量相等，另外1筐少1kg，只稱1次就一定可以找到這筐梨。( )
【答案】×
【分析】把這5筐梨分成三份（2，2，1），在天平的兩邊各放2筐梨，若平衡，則剩下的那1筐就是要找的那筐梨；若不平衡，則質(zhì)量少的那筐梨就在上升的那2筐里面，再秤1次即可。
【解答】由分析可知：
至少稱2次就一定可以找到這筐梨。所以原題干說法錯誤。
故答案為：×
【點評】本題考查找次品問題，明確把待測物體盡量平均分成3份是解題的關(guān)鍵。
18．有3把鎖，其中兩把質(zhì)量相同，只稱一次不可能找到質(zhì)量不同的那把鎖。( )
【答案】×
【分析】任意稱2把鎖，如果天平平衡，那么剩下未稱重的一把是質(zhì)量不同的那把鎖；如果天平不平衡，把天平一端換為剩下的一把鎖，此時天平平衡，那么取下的那把是質(zhì)量不同的那把鎖；此時天平不平衡，那么沒有取下的那把是質(zhì)量不同的那把鎖；據(jù)此解答。
【解答】
所以，有3把鎖，其中兩把質(zhì)量相同，只稱一次有可能找到質(zhì)量不同的那把鎖。
故答案為：×
【點評】掌握找次品問題的解題方法是解答題目的關(guān)鍵。
19．找次品盡量待測物品平均分成3份，不能平均分的，多的一份與少的一份盡量相差1，才能使稱的次數(shù)最少。( )
【答案】√
【分析】找次品的最優(yōu)策略：
（1）把待分物品分成3份；
（2）每份數(shù)量盡量平均，如果不能平均分的，也應(yīng)該使多的一份與少的一份只相差1。
【解答】找次品盡量待測物品平均分成3份，不能平均分的，多的一份與少的一份盡量相差1，才能使稱的次數(shù)最少，說法正確。
故答案為：√
【點評】在生活中，常常出現(xiàn)這樣的情況：在一些看似完全相同的物品中混著輕一點或者重一點的物品，需要我們想辦法把它找出來，我們把這類問題叫做找次品。
20．有若干瓶某品牌糖果，其中一瓶開蓋吃了幾顆。如果采用科學(xué)的方法用天平稱了3次就找到了開蓋的那一瓶糖果，那么這些糖果最多有27瓶。( )
【答案】√
【分析】用天平找次品時，所測物品與測試次數(shù)有以下關(guān)系：在辨別數(shù)目是2~3時，保證能找出次品的是1次；4~9時，2次；10~27時，3次；28~81時，4次，依次往后推，據(jù)此可得出答案。
【解答】現(xiàn)在用天平稱了3次就找到了次品，被檢測物品最少有10個，最多是27個。因此，若干瓶某品牌糖果，其中一瓶開蓋吃了幾顆，這些糖果最多有27顆。故本題正確。
【點評】本題主要考查的是找次品的方法，解題時需要掌握用天平找次品的規(guī)律，進而求出答案。
四、解答題
21．有21袋棒棒糖，其中有1袋質(zhì)量稍輕一些，是次品。
（1）如果用天平稱，至少稱幾次可以保證找出次品？請寫出主要過程。
（2）稱一次有可能找出次品嗎？為什么？
【答案】（1）3次；過程見詳解
（2）有可能；原因見詳解
【分析】（1）找次品的最優(yōu)策略：（1）把待分物品分成3份；（2）每份數(shù)量盡量平均，如果不能平均分的，也應(yīng)該使多的一份與少的一份只相差1。
（2）極端情況下，稱一次有可能找出次品，即次品剛好是其中的1袋的情況。
【解答】（1）將21袋分成（7、7、7），只考慮最不利的情況，即次品在多的里面，稱（7、7），無論平衡不平衡，都可確定次品在其中7袋；將7袋分成（2、2、3），稱（2、2），平衡，次品在3袋中；將3袋分成（1、1、1），稱（1、1），無論平衡不平衡，都可確定次品，共3次。
答：至少稱3次可以保證找出次品。
（2）稱一次有可能找出次品。天平兩端各放10袋，平衡，則剩下的1袋就是次品；或者任取2袋，天平兩端各放1袋，不平衡，天平高的一端就是次品。
22．有12袋奶粉，其中有一袋質(zhì)量不足，輕一些。如果用天平秤，至少秤多少次才能保證找出這袋次品？（寫出分組的方法，并把找的過程表示出來）
【答案】3次；方法和過程見詳解
【分析】找次品的最優(yōu)策略：（1）把待分物品分成3份；（2）每份數(shù)量盡量平均，如果不能平均分的，也應(yīng)該使多的一份與少的一份只相差1。
【解答】把12袋奶粉分成（4、4、4），稱（4、4），無論平衡不平衡，都可確定次品在其中4袋；
將4袋分成（1、1、2），稱（1、1），不平衡，輕的是次品，平衡，次品在2袋中；
將2袋分成（1、1），再稱1次，輕的是次品，共3次。
答：至少秤3次才能保證找出這袋次品。
23．倉庫里有16箱同一規(guī)格的零件。李師傅只記得從其中某一箱中用去3個，但現(xiàn)在無法憑眼睛看出哪一箱是用過的，若要數(shù)，由于零件較小，很難數(shù)清。李師傅只好找來一架無砝碼的天平稱，最少要稱幾次？
【答案】3次
【分析】找次品的最優(yōu)策略：
（1）把待分物品分成3份；
（2）每份數(shù)量盡量平均，如果不能平均分的，也應(yīng)該使多的一份與少的一份只相差1。
【解答】將16箱分成（5、5、6），先稱（5、5），只考慮最不利的情況，平衡，次品在6箱中；再將6箱分成（2、2、2），稱（2、2），無論平衡不平衡，都可確定次品在其中2箱；再稱1次即可確定次品，共3次。
答：最少要稱3次。
【點評】關(guān)鍵是掌握找次品的最優(yōu)策略。
24．有兩堆零件，第一堆比第二堆多一個零件，這兩堆零件中各有一個次品（次品比正品重一些），現(xiàn)在用天平分別找這兩堆零件中的次品，第一堆零件需要稱5次，才能保證找出次品；第二堆零件需要稱4次，才能保證找出次品，你知道這兩堆零件分別有多少個嗎？
【答案】82個；81個
【分析】因為需要稱量n次，待測物品的數(shù)量就在n－1個3相乘的積與n個3相乘的積之間，所以第一堆零件需要稱5次，則第一堆零件的個數(shù)在82個與243個之間；第二堆零件需要稱4次，則第二堆零件的個數(shù)在28個與81個之間，又知第一堆比第二堆多一個零件，所以第一堆有82個零件，第二堆有81個零件。
【解答】第一堆零件需要稱5次。
＝9×9＋1
＝81＋1
＝82（個）
＝9×9×3
＝81×3
＝243（個）
第一堆零件的個數(shù)在82個與243個之間；
第二堆零件需要稱4次。
（個）
＝9×9
＝81（個）
則第二堆零件的個數(shù)在28個與81個之間，又知第一堆比第二堆多一個零件，所以第一堆有82個零件，第二堆有81個零件。
答：第一堆有82個零件，第二堆有81個零件。
【點評】此題是靈活考查利用天平找次品的規(guī)律，是需要識記的內(nèi)容。
25．1箱糖果有15袋，其中有14袋質(zhì)量相同，另有1袋質(zhì)量不足，輕一些。至少稱幾次能保證找出這袋糖果來？你會用下面的圖表示出來嗎？
【答案】3次；作圖見詳解
【分析】找次品的最優(yōu)策略：
（1）把待分物品分成3份；
（2）每份數(shù)量盡量平均，如果不能平均分的，也應(yīng)該使多的一份與少的一份只相差1。
【解答】
3次；
【點評】在生活中，常常出現(xiàn)這樣的情況：在一些看似完全相同的物品中混著輕一點或者重一點的物品，需要我們想辦法把它找出來，我們把這類問題叫做找次品。
26．已知一堆物品中有1個次品（比正品輕），如果至少稱3次就能保證找出這個次品，那么這堆物品最少有多少個？最多有多少個？
【答案】10個；27個
【分析】利用找次品的公式：當(dāng)物品個數(shù)最多為時，n次即可找到這個次品，所以利用天平至少稱3次就能保證把次品找出來，這批零件的個數(shù)為（3 ＋1）~3 個，據(jù)此解答即可。
【解答】3 ＋1
＝9＋1
＝10（個）；
3 ＝27（個）；
答：這堆物品最少有10個，最多有27個。
【點評】熟記找次品的公式是解答本題的關(guān)鍵。
27．有12袋餅干，其中只有一袋里有獎品，它比其他11袋都要略重一些，至少稱幾次才能保證找到這袋有獎品的餅干？怎么稱？
【答案】3次；過程見解析
【分析】找次品的最優(yōu)策略：
（1）把待分物品分成3份；
（2）每份數(shù)量盡量平均，如果不能平均分的，也應(yīng)該使多的一份與少的一份只相差1。
【解答】第一次：把12袋餅干平均分成三份，每份4袋，任取2袋，分別放在天平秤兩端，若天平秤平衡，則較重的即在未取的4袋中（按照下面方法操作），若天平秤不平衡；
第二次：把天平秤較低端的4袋分成兩份，每份2袋，分別放在天平秤兩端；
第三次：把在天平秤較低端的2袋分別放在天平秤兩端，較低端的那袋即為較重的。
答：至少稱3次才能保證找到這袋有獎品的餅干。
【點評】本題主要考查學(xué)生運用天平秤平衡原理解決問題的能力。
28．我國是世界上最早發(fā)現(xiàn)茶樹和利用茶樹的國家，中國是茶的故鄉(xiāng)，中國是世界茶葉的祖國。某茶廠進行質(zhì)量抽檢。在抽檢的15盒茶葉中，其中的14盒質(zhì)量相同，另有1盒質(zhì)量較重一些，如果用天平稱，至少稱幾次能保證將這盒質(zhì)量較重的茶葉找出來？
【答案】3次
【分析】15（5，5，5）其中任意兩組放在天平上稱。可找出有次品的一組。再把5分成（2，2，1），然后再把兩個一組的放在天平上稱，如平衡，則1個1組的是次品，需要兩次，如不平衡，可再把2分成（1，1），再放在天平上稱，可找出次品，則需三次。
【解答】第一次，把15盒茶葉平均分成3份，取其中的2份分別放在天平的兩側(cè)，若天平平衡，則較重的一盒在未取的一份中，若天平不平衡，取較重的一份繼續(xù)；第二次，把含有較重的一份（5盒）分成3份（2盒、2盒、1盒），取2盒中的2份分別放在天平的兩側(cè)，若天平平衡，則較重的一盒在未取的一份中，若天平不平衡，取較重的一份繼續(xù)；第三次，取含有較重的那份（2盒），分別放在天平的兩側(cè)，即可找到較重的一盒。
答：至少稱3次能保證將這盒質(zhì)量較重的茶葉找出來。
【點評】本題考查找次品問題，稱n次，最多可以分辨3的n次方格物品數(shù)目。
29．中藥學(xué)是中國的瑰寶！奶奶因病需要到中藥店買中藥8副，每副共計重200g，但由于藥師的疏忽，其中一副中藥少放了一味藥。用天平至少稱幾次，能保證找到這副中藥。
（1）最好的方法是先把這8副中藥分成（ ），然后再稱。
（2）請說明這樣來分的理由。
（3）請畫出稱量的流程圖。
【答案】（1）（3，3，2）
（2）見詳解
（3）見詳解
【分析】為了盡可能的縮小次品所在的范圍，應(yīng)該盡量把待測物品平均分成三份，也就是（3，3，2），在天平兩邊各放3副，若平衡，則次品在剩下的2副中，再稱1次即可；若不平衡，次品在較輕的3副中，把這3副分成（1，1，1），在天平兩邊各放1副，若平衡，剩下的那包就是次品，若不平衡，較輕的那副就是次品。
【解答】（1）最好的方法是先把這8副中藥分成（3，3，2），然后再稱。
（2）盡可能的縮小次品所在的范圍。
（3）流程圖如下：
【點評】本題考查找次品問題，明確把待測物品盡量平均分成三份是解題的關(guān)鍵。
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第八單元 數(shù)學(xué)廣角—找次品
（知識梳理+典例精講+培優(yōu)必刷）
【知識點一】利用天平平衡原理找次品
1、在找次品的活動中,可以通過天平演示，也可以不實際稱量,利用天平平衡的原理找出次品。
2、利用直觀流程圖表示數(shù)學(xué)思維的過程既清晰,又簡明,這類方法應(yīng)該注意掌握。
【知識點二】運用優(yōu)化策略解決問題
1、用天平找次品的最優(yōu)策略（稱量次數(shù)最少）:
（1）把待測物品盡量平均分成3份;
（2）不能平均分時,也應(yīng)使多的一份與少的一份只相差1,這樣才能使稱量的次數(shù)最少
2、“保證”指的是無論在什么情況下，都能把次品找出來。
【考點一】優(yōu)化策略分析解決找次品問題
【典例一】有6盒餅干，其中5盒質(zhì)量相同，有1盒少了幾塊（輕一些）。如果用天平稱，至少稱( )次保證可以找出這盒餅干。
【典例二】10件物品，其中一件是次品（略重些），用天平稱至少要稱( )次才能保證找出次品。
【典例三】在8個零件中找出一個次品（次品輕），其它零件的質(zhì)量相同。用天平稱，至少稱( )次就一定能找出。
【考點二】用直觀流程圖表示找次品的過程
【典例一】福建物產(chǎn)豐富，有很多地方盛產(chǎn)水果，才溪臍橙產(chǎn)自著名革命老區(qū)上杭縣才溪鎮(zhèn)，被評為“福建省名牌農(nóng)產(chǎn)品”。王伯伯準備了12箱臍橙寄往外地，其中11箱質(zhì)量相同，另外有1箱質(zhì)量稍輕一些，至少稱幾次能保證找出這箱輕一些的臍橙？（請你試著用圖表示稱的過程）
【典例二】1箱糖果有15袋，其中有14袋質(zhì)量相同，另有1袋質(zhì)量不足，輕一些。至少稱幾次能保證找出這袋糖果來？你會用下面的圖表示出來嗎？
【典例三】1箱糖果有12袋，其中11袋質(zhì)量相同，另有1袋質(zhì)量輕一些。假如用天平稱，至少稱幾次能保證找出這袋糖果？
一、填空題
1．洛陽一家儀器工廠借助天平檢測精密零件的質(zhì)量是否合格。在12個精密零件中有一個不合格零件（不合格零件略輕些）。用天平至少稱( )次，就能保證找出那個不合格零件。
2．有15個乒乓球，其中14個質(zhì)量相同，另有一個較重一點。如果用天平稱，至少稱( )次保證能找出這個較重的乒乓球。
3．1箱糖果有24袋，其中有23袋質(zhì)量相同，另有1袋質(zhì)量不足，輕一些。至少稱( )次才能保證找出這袋糖果來。
4．用天平找次品的方法很多，在眾多的方法中，我們發(fā)現(xiàn)了分( )份稱的方法最好。已知一堆物品中有1個次品（比正品輕），如果至少稱3次就能保證找出這個次品，這堆物品最少有( )個，最多有( )個。
5．找次品的最優(yōu)策略：把待測物品分成( )份。盡量( )分，如果不能平均分，也要使多的一份與少的一份只相差( )。
6．如果把質(zhì)量不同的兩個物體分別放在天平的左右兩邊，質(zhì)量( )的一邊會翹起，質(zhì)量( )的一邊會下沉。當(dāng)天平的左右兩邊放入的物體質(zhì)量( )時，天平才會平衡。
7．有5瓶形狀、外觀相同的鈣片，其中1瓶少了3片。下圖是同學(xué)們用天平來稱的實驗情況，哪幾幅圖的實驗表示稱一次恰好找到少3片的那瓶鈣片，請?zhí)钌虾线m的序號( )。
8．有6個小球，其中一個是次品要輕一些。根據(jù)圖判斷次品球的編號是( )號。
9．5個零件中有1個是次品（輕一些），完成下面找次品的過程。

至少要稱（ ）次。
二、選擇題
10．有9顆鋼珠，其中8顆一樣重，另有1顆比這8顆略輕，如果用一架天平最少稱2次，就保證可以找到那顆較輕的鋼珠，下列分組方法正確的是（ ）。
A．一定按（，，）分組
B．一定按（，，）分組
C．一定按（，，）分組
11．在27個零件中有一個是次品（稍輕一些），用天平至少稱（ ）次就一定能找出這個次品。
A．2 B．3 C．4
12．8個乒乓球里面有一個是次品（次品輕一些），根據(jù)下圖找次品的過程，可以推斷出（ ）。
A．次品在⑦⑧里面 B．①②里面有次品 C．⑥是次品
13．有五袋糖果，其中四袋各重200克，另一袋不是200克，但不知道比200克重還是輕，下圖（ ）稱一次就找到了那袋不同質(zhì)量的糖果。
A．B．C．
14．有一堆玻璃球，其中有一個較重的是次品，萬老師告訴大家：若用天平稱，至少稱3次就一定能找出這個較重的玻璃球。這堆玻璃球可能有（ ）個。
A． B． C．
三、判斷題
15．有13個乒乓球，其中有12個質(zhì)量相同，另有一個較輕，如果用天平稱，至少稱3次保證能找出這個較輕的乒乓球。( )
16．有①、②、③、④、⑤5個零件，其中有1個質(zhì)量稍輕的次品。根據(jù)下圖可以推斷出②③④⑤號零件一定不是次品。( )
17．有5筐梨，其中4筐的質(zhì)量相等，另外1筐少1kg，只稱1次就一定可以找到這筐梨。( )
18．有3把鎖，其中兩把質(zhì)量相同，只稱一次不可能找到質(zhì)量不同的那把鎖。( )
19．找次品盡量待測物品平均分成3份，不能平均分的，多的一份與少的一份盡量相差1，才能使稱的次數(shù)最少。( )
20．有若干瓶某品牌糖果，其中一瓶開蓋吃了幾顆。如果采用科學(xué)的方法用天平稱了3次就找到了開蓋的那一瓶糖果，那么這些糖果最多有27瓶。( )
四、解答題
21．有21袋棒棒糖，其中有1袋質(zhì)量稍輕一些，是次品。
（1）如果用天平稱，至少稱幾次可以保證找出次品？請寫出主要過程。
（2）稱一次有可能找出次品嗎？為什么？
22．有12袋奶粉，其中有一袋質(zhì)量不足，輕一些。如果用天平秤，至少秤多少次才能保證找出這袋次品？（寫出分組的方法，并把找的過程表示出來）
23．倉庫里有16箱同一規(guī)格的零件。李師傅只記得從其中某一箱中用去3個，但現(xiàn)在無法憑眼睛看出哪一箱是用過的，若要數(shù)，由于零件較小，很難數(shù)清。李師傅只好找來一架無砝碼的天平稱，最少要稱幾次？
24．有兩堆零件，第一堆比第二堆多一個零件，這兩堆零件中各有一個次品（次品比正品重一些），現(xiàn)在用天平分別找這兩堆零件中的次品，第一堆零件需要稱5次，才能保證找出次品；第二堆零件需要稱4次，才能保證找出次品，你知道這兩堆零件分別有多少個嗎？
25．1箱糖果有15袋，其中有14袋質(zhì)量相同，另有1袋質(zhì)量不足，輕一些。至少稱幾次能保證找出這袋糖果來？你會用下面的圖表示出來嗎？
26．已知一堆物品中有1個次品（比正品輕），如果至少稱3次就能保證找出這個次品，那么這堆物品最少有多少個？最多有多少個？
27．有12袋餅干，其中只有一袋里有獎品，它比其他11袋都要略重一些，至少稱幾次才能保證找到這袋有獎品的餅干？怎么稱？
28．我國是世界上最早發(fā)現(xiàn)茶樹和利用茶樹的國家，中國是茶的故鄉(xiāng)，中國是世界茶葉的祖國。某茶廠進行質(zhì)量抽檢。在抽檢的15盒茶葉中，其中的14盒質(zhì)量相同，另有1盒質(zhì)量較重一些，如果用天平稱，至少稱幾次能保證將這盒質(zhì)量較重的茶葉找出來？
29．中藥學(xué)是中國的瑰寶！奶奶因病需要到中藥店買中藥8副，每副共計重200g，但由于藥師的疏忽，其中一副中藥少放了一味藥。用天平至少稱幾次，能保證找到這副中藥。
（1）最好的方法是先把這8副中藥分成（ ），然后再稱。
（2）請說明這樣來分的理由。
（3）請畫出稱量的流程圖。
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