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(單元講義)第四單元分數的意義和性質(知識梳理+典例精講+培優必刷)-人教版2024-2025學年五年級數學下冊

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(單元講義)第四單元分數的意義和性質(知識梳理+典例精講+培優必刷)-人教版2024-2025學年五年級數學下冊

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2024-2025學年五年級下冊數學易錯題型
第四單元 分數的意義和性質
(知識梳理+典例精講+培優必刷)
【知識點一】分數的意義
1、實際生活中,在進行測量、分物或計算時,往往不能正好得到整數的結果,在這種情況下就產生了另一種數——分數。
2.一個物體、一個計量單位或是一些物體等都可以看作一個整體,這個整體可以用自然數1表示,通常把它叫做單位“1”。
3.把單位“1”平均分成若干份,這樣的一份或幾份都可以用分數來表示,表示其中一份的數叫做分數單位。
【知識點二】分數與除法
1、兩個數相除,商可以用分數來表示,即被除數÷除數=,用字母表示為a÷b=(b≠0)。反之,分數也可以看作兩個數相除,分數的分子相當于被除數,分母相當于除數,分數線相當于除號。
2、分數與除法的聯系及區別
3、求一個數是另個數的幾分之幾
求一個數是另一個數的幾分之幾,用除法計算,列式為:一個數÷另一個數=,即比較量÷標準量=,商表示的是兩個數的倍比關系,沒有單位名稱。
【知識點三】真分數和假分數、帶分數及其互化
1、分子比分母小的分數叫做真分數,真分數小于1。
2、分子比分母大或分子等于分母的分數叫做假分數,假分數大于1或等于1。
3、由整數(0除外)和真分數合成的數叫做帶分數,帶分數大于1。
4、帶分數的讀法:先讀帶分數的整數部分,再讀分數部分,分數部分和整數部分中間加一個“又”字。
5、帶分數的寫法:“又”前面是整數部分,后面是分數部分,先寫整數部分,再寫分數部分。
6、假分數化成整數或帶分數的方法。
(1)有些假分數的分子恰好是分母的倍數,它們實際上是整數;有些假分數的分子不是分母的倍數,這樣的假分數可以寫成帶分數。
(2)把假分數化成整數或帶分數的方法:用分子除以分母。當分子是分母的整數倍時,能化成整數,商就是這個整數;當分子不是分母的整數倍時,能化成帶分數,商就是帶分數的整數部分,余數是分數部分的分子,分母不變。
【知識點四】分數的基本性質
1、分數的分子和分母同時乘或者除以相同的數(0除外),分數的大小不變,這叫做分數的基本性質。
2、根據分數的基本性質,可以把一個分數化成分母不同而大小不變的分數。
【知識點五】公因數和約分
1、幾個數公有的因數,叫做這幾個數的公因數,其中最大的公因數,叫做它們的最大公因數。
2、求兩個數最大公因數的方法:
列舉法;篩選法;分解質因數法;短除法。
3、求兩個數的最大公因數的特殊情況:
(1)當兩個數成倍數關系時,較小數就是它們的最大公因數;
(2)當兩個數的公因數只有1時,它們的最大公因數就是1。
4、把一個分數化成和它相等,但分子和分母都比較小的分數,叫做約分。約分依據的是分數的基本性質。
5.分子和分母只有公因數1的分數是最簡分數。約分時,通常要約成最簡分數。
【知識點六】公倍數和通分
1、幾個數公有的倍數叫做這幾個數的公倍數,其中最小的一個,叫做這幾個數的最小公倍數。
2、求兩個數最小公倍數的方法。
列舉法;篩選法;分解質因數法;短除法。
3、同分母分數、同分子分數的大小比較方法:
(1)分母相同的兩個分數,分子大的分數比較大;
(2)分子相同的兩個分數,分母小的分數反而大。
4、通分的意義及通分的方法。
(1)通分的意義:把異分母分數分別化成和原來分數相等的同分母分數,叫做通分。
(2)通分的方法:通分時用原分母的公倍數作公分母,為了計算簡便,通常選用它們的最小公倍數作公分母,然后把各分數化成用這個最小公倍數作分母的分數。
5、分數的大小比較。
比較異分母分數的大小:先通分化成分母相同的分數,再比較大小。
【知識點七】分數與小數的互化
1、小數化分數的規律:一位小數化分數,用10作分母,一位小數去掉小數點作分子;兩位小數化分數,用100作分母,兩位小數去掉小數點作分子……把小數化成分數,能約分的都應約成最簡分數。
3、分數化成小數的方法:
(1)分母是10,100,1000……的分數化成小數,可以直接去掉分母,看分母中有幾個0,有幾個0就在分子中從右邊起向左數出幾位,點上小數點;
(2)分母不是10,100,1000……的分數化成小數,用分子除以分母,除不盡時,要根據需要按“四舍五入”法保留幾位小數。
(3)把帶分數化成小數,方法與上面相同,帶分數的整數部分作為小數的整數部分,分數部分化成小數,作為小數的小數部分。
【考點一】分數的意義
【典例一】1.把一塊蛋糕平均分給3個人,每人分得這塊蛋糕的( )。
A. B. C.
【答案】A
【典例二】(1)請在下面每個圖中表示。
它們為什么都能表示?
【答案】(1)第一個圖形中和共有12個蘋果,將它平均分為4份,每份有3個,占其中的三份,就是9個;
(紅色部分表示);
第二個圖形中一條線段將它平均分成4份,取其中的三份,就表示;
(紅色部分表示);
第三個圖形是一個長方形,將它平均分成4份,取其中三份。
(紅色部分表示)。
(2)它們都是將圖形平均分成4份,再取其中的三份,故能表示為。
【典例三】一條水渠長500米,計劃14天修完,照這樣計算,4天可以修這條路的。
【分析】由題意可知,總長度為單位“1”,將其平均分成14份,取其中的4份,即4天可以修這條路的,由此解答即可。
【解答】一條水渠長500米,計劃14天修完,照這樣計算,4天可以修這條路的。
【點評】明確分數的意義是解答本題的關鍵。
【考點二】分數與除法
【典例一】將6m長的鐵絲平均分成9段,每段長( )。
A.m B.m C.m
【答案】C
【典例二】修路隊修一條公路,已修80千米,還剩下31千米沒有修。已修的和沒有修的各占這條公路的幾分之幾?
【答案】;
80÷(80+31)
=80÷111
=;
31÷(80+31)
=31÷111
=;
答:已修的長度占這條公路的,沒有修的長度占這條公路的。
【典例三】五(6)班有50人,其中男生31人,而男生中愛好體育的有20人。
(1)五(6)班愛好體育的男生人數占全部男生人數的幾分之幾?
(2)五(6)班女生人數占全班的幾分之幾?
【分析】(1)愛好體育的男生人數占全部男生人數的分率=愛好體育的男生人數÷全部男生人數,結果用分數表示;
(2)女生人數=全班人數-男生人數,女生人數占全班人數的分率=女生人數÷全班人數,結果用分數表示,據此解答。
【解答】(1)20÷31=
答:五(6)班愛好體育的男生人數占全部男生人數的。
(2)(50-31)÷50
=19÷50

答:五(6)班女生人數占全班的。
【點評】掌握一個數占另一個數幾分之幾的計算方法是解答題目的關鍵。
【考點三】真分數和假分數、帶分數及其互化
【典例一】下列說法正確的是( )。
A.所有的質數都是奇數 B.兩個奇數的差一定是偶數
C.整數都比分數大 D.一個數的倍數一定比它的因數大
【答案】B
【典例二】把下面的假分數化成整數或帶分數。
= = = =
【答案】
【典例三】一個帶分數,它的分數部分的分子是4,化成假分數后,分子是53,這個帶分數可能是多少?
【解答】(1)
(2)找出乘積是49的兩個因數,也就是這個帶分數的整數部分和分母。因為49=7×7,所以這個帶分數的整數部分和分母都是7,這個帶分數是7 。
【考點四】分數的基本性質
【典例一】分數的分母乘2,要使分數的大小不變,分子應該( )。
A.加2 B.加10 C.除以2 D.乘2
【答案】D
【典例二】把下面的分數化成分母是24而大小不變的分數,請寫出過程。

【分析】分數的基本性質,分數的分子和分母同時乘或除以相同的數(0除外),分數的大小不變;據此解答。
【解答】==
==
==
【典例三】甲、乙兩位師傅完成同一種零件,甲師傅用了小時,乙師傅用了小時。小麗說:“兩位師傅用的時間一樣長。”小麗說的對嗎?請用計算或畫圖的方法說明理由。
【分析】根據分數的基本性質:分數的分子和分母同時乘或除以相同的數(0除外),分數大小不變,的分子和分母同時乘2,則=;據此解答。
【解答】==
所以兩位師傅用的時間一樣長。
答:小麗說的對。
【點評】掌握分數的基本性質是解題的關鍵。
【考點五】約分及最大公因數
【典例一】把12個梨和36個橘子,平均分給若干個小朋友,都正好分完。小朋友最多有( )人,每人分到( )個梨和( )個橘子。
【分析】求小朋友最多有多少人,就是求12和36的最大公因數,求出最大公因數后分別除12和36,即可求出每人分到多少個梨和多少個橘子,據此解答即可。
【解答】12=2×2×3
36=2×2×3×3
12和36的最大公因數是:
2×2×3
=4×3
=12
即小朋友最多有12人;
12÷12=1(個)
36÷12=3(個)
【點評】此題考查最大公因數在實際生活中的應用,關鍵理解求小朋友最多人數就是求最大公因數。
【典例二】五年級(1)(2)班要參加學校組織的義務勞動,五(1)班來了48人,五(2)班來了42人。如果把兩個班的學生分別分成若干小組,要使兩個班每個小組的人數相同,每組最多有多少人?一共有多少個小組?
【答案】6人;15個小組
48=2×2×2×2×3
42=2×3×7
2×3=6(人)
(48+42)÷6
=90÷6
=15(個)
答:每組最多有6人,一共有15個小組。
【典例三】一個分數,用2約分一次,再用3約分一次,得到,原來這個分數是( )。
【分析】根據約分的方法,分別用的分子和分母乘3再乘2,求出原來的分子和分母,寫出原分數即可。
【解答】2×3×2=12、3×3×2=18,原來這個分數是。
【點評】關鍵是掌握并靈活運用約分的方法。
【典例四】2021年春茶之際,茶農平均每天可以采摘50千克茶葉,其中龍井茶有20千克,白茶有14千克,其余是烏牛早。
(1)白茶質量是總質量的幾分之幾?
(2)算式“20÷(50-20-14)”解決的是什么問題?并計算。
【分析】(1)用白茶的質量除以茶葉的總質量即可;
(2)由題意可知,20千克表示龍井茶的重量,(50-20-14)表示烏牛早的重量,則20÷(50-20-14)解決的是龍井茶的重量是烏牛早的重量的幾倍,據此進行計算即可。
【解答】(1)14÷50=
答:白茶質量是總質量的。
(2)20÷(50-20-14)解決的是龍井茶的重量是烏牛早的重量的幾倍;
20÷(50-20-14)
=20÷16

答:龍井茶的重量是烏牛早的倍。
【點評】本題考查求一個數占另一個數的幾分之幾,明確用除法是解題的關鍵。
【考點六】通分及最小公倍數
【典例一】水仙花每6天澆一次水,蘭花每8天澆一次水,花匠今天給兩種花同時澆了水,至少( )天后給這兩種花同時澆水。
【答案】24
【典例二】樂樂家的空氣加濕器,每6天會亮一次燈(提醒清洗),每15天會響一次提醒音(提醒消毒)。9月1日的時候既亮燈又響鈴了,下一次既亮燈又響鈴是在哪一天?
【分析】由題意可知,先求出6和15的最小公倍數,再用9月1日加上它們的最小公倍數即可。
【解答】6=2×3
15=3×5
則6和15的最小公倍數是2×3×5=30
9月1日+30=10月1日
答:下一次既亮燈又響鈴是在10月1日。
【點評】本題考查最小公倍數,明確求最小公倍數的方法是解題的關鍵。
【典例三】同走一段路,小華用了小時,小蘭用了小時,小明用了小時,( )的速度最快。
【分析】同一段路程,如果速度越快,說明用的時間越少。所以只需要比較三個人用去的時間的大小,按照異分母分數比較大小的方法,找出用時最短的那個人,即可求出那個人的速度最快。
【解答】
因為,所以。
說明小華用時最短,意味著小華的速度最快。
【點評】此題的解題關鍵是相同的路程,只需要比較用的時間的大小,按照異分母分數比較大小的方法,解決問題。
【典例四】尚好飲品店進了三種總容量相同的飲品,星期六整天的銷售情況如下表,如果你是這家飲品的一名員工,你想對老板提些什么好建議?(要求先比較大小再提出一個好建議)
咖啡奶 椰奶 果汁
售出占 售出占 售出占
【分析】咖啡奶的銷售量占總銷售量的,椰奶的銷售量占總銷售量的,果汁的銷售量占總銷售量的,它們所對應的單位“1”相同,都是總銷售量,所以只需要比較分率的大小,即可說明哪種飲品的銷售量更多;因此利用分數的基本性質,將三個分數化成同分母分數,即可比較大小,如果哪種飲品售出的多,就應該多進貨,問題即可得解。
【解答】==
==
==
<<
說明果汁的銷售量最多。
答:通過比較大小,可知果汁售出的更多,對老板提的建議是:多進一些果汁,加強廣告宣傳。
【點評】此題的解題關鍵是掌握異分母異分子分數的大小比較的方法。
【考點七】分數和小數的互化
【典例一】把一根3m長的木條鋸成同樣長的8段,每段長度是這根木條總長度的,每段長m,也就是( )m。(填小數)
【答案】;;0.375
【典例二】五年級(l )班舉行折紙比賽,一組7個人共折了23個,二組8個人共折了36個,三組6個人共折了20個,平均每人折的最多的是哪個組呢?
【分析】分別算出每組平均每人折的個數,作比較即可。
【解答】第一組平均每人折的個數:23÷7=3(個) ≈3.286(個)
第二組平均每人折的個數:36÷8=4.5(個);
第三組平均每人折的個數:20÷6=3(個)≈3.333(個);
因為4.5>3.333>3.286,所以第二組平均每人折的個數多。
答:平均每人折的個數最多的是二組。
【點評】求出三個小組平均每人折的個數是解題關鍵,比較分數大小,把分數化成小數是其中方法之一,也可以通過通分的方法比較。
【典例三】2022年6月5日神舟十四號載人飛船順利升空,我國航天事業愈發強大。王阿姨和李叔叔打同樣一篇有關航天新聞的稿子,王阿姨平均每秒打個字,李叔叔平均每秒打0.9個字,誰打字快一些?
【分析】把化成小數,用分子除以分母即可;然后按照小數大小比較的方法進行比較,誰每秒打的字多,誰就打字快一些。
【解答】=5÷6≈0.83
因為0.83<0.9,所以<0.9。
答:李叔叔打字快一些。
【點評】本題考查分數與小數的互化以及小數大小的比較,也可以將0.9化成分數,再按照分數大小比較的方法進行比較。
一、填空題(滿分20分)
1.(2分)一項工作,甲用了0.35小時完成,乙用了小時完成,( )做得快些。
【答案】甲
【分析】比較兩人用的時間,同樣一項工作,用時越少速度越快。小數和分數比大小,將分數化成小數再比較,分數化小數,直接用分子÷分母即可。
【解答】=11÷25=0.44、0.35小時<小時,甲做得快些。
2.(2分)完成同樣的一份數學試卷,聰聰用了小時,紅紅用了小時,( )的速度快一些。
【答案】紅紅
【分析】已知聰聰和紅紅完成同樣的一份數學試卷所用的時間,求誰的速度快一些,只需比較兩人所用的時間長短,用時越短,速度就越快。
【解答】==
==
>,所以>;
紅紅用的時間短,那么紅紅的速度快一些。
3.(2分)實驗小學開展“我是小小宣傳員”公益活動,參加人員每16人分成一組,或者每12人分成一組,都正好分完,該校參加“我是小小宣傳員”公益活動的學生至少有( )人。
【答案】48
【分析】根據題意,每16人分成一組,或者每12人分成一組,都正好分完,說明參加公益活動的最少學生人數是16和12的最小公倍數。
先把16和12分解質因數,再把它們的公有質因數和各自獨有質因數的連乘積就是它們的最小公倍數。
【解答】16=2×2×2×2
12=2×2×3
16和12的最小公倍數是:2×2×2×2×3=48
該校參加“我是小小宣傳員”公益活動的學生至少有48人。
4.(2分)有兩條絲帶,分別長12cm和20cm,現在要把它們截成同樣長的小段(整厘米),不能有剩余,每小段最長是( )cm。
【答案】4
【分析】求每小段絲帶最長是多少厘米,即求12和20的最大公因數,先把12和20進行分解質因數,這兩個數的公有質因數的乘積就是這兩個數的最大公因數,據此解答。
【解答】12=2×2×3,20=2×2×5,12和20的最大公因數是2×2=4。
有兩條絲帶,分別長12cm和20cm,現在要把它們截成同樣長的小段(整厘米),不能有剩余,每小段最長是4cm。
5.(2分)一個最簡分數,它的分子與分母的積是14,這個最簡真分數可能是( )或( )。
【答案】
【分析】最簡真分數:分子和分母只有公因數1且分子小于分母的分數 ,據此求出14的所有因數,再寫出符合條件的最簡真分數即可。
【解答】14的因數有:1,2,7,14,所以這個最簡真分數可能是或。
6.(2分)把的分子增加9,要使分數大小不變,則分母增加( )。
【答案】24
【分析】根據分數的基本性質,分子和分母同時乘或除以一個相同的數(0除外),分數的大小不變,據此確定分子擴大的倍數,進而求出分母的值,最后求出分母應乘或加上多少。
【解答】(3+9)÷3
=12÷3
=4
8×4-8
=32-8
=24
把的分子增加9,要使分數大小不變,則分母增加24。
7.(2分)是真分數,那么a最小是( );當a=3時,可以寫成帶分數( )。
【答案】6
【分析】分子比分母小的分數叫做真分數;分子比分母大或分子和分母相等的分數叫做假分數。
把假分數化成帶分數的方法:用分子除以分母,得到的商和余數;商是帶分數的整數部分,余數是帶分數的分子,分母不變。當假分數的分子為分母的倍數時,能化成整數。
【解答】當是真分數時,則a>5,a可以是6、7、8、9…,a最小是6;
當a=3時,==。
填空如下:
是真分數,那么a最小是(6);當a=3時,可以寫成帶分數()。
8.(2分)如果是真分數,那么a最大是( );如果是假分數,那么a最小是( )。
【答案】7 8
【分析】真分數表示分子小于分母的分數,假分數表示分子大于或等于分母的分數,將滿足條件的數列舉出來,再從中找出最大或最小數。
【解答】是真分數,a<8, a可以是:1、2、3、4、5、6、7,所以,如果是真分數,那么a最大是7;
如果是假分數,則a≥8,a可以是:8、9、10、11、12、13、14…,所以,如果是假分數,那么a最小是8。
9.(2分)3名小朋友平均分5個同樣大小的月餅,每名小朋友分到( )個月餅,每名小朋友分到這些月餅的( )。
【答案】/
【分析】求每名小朋友分到多少個月餅,平均分的是具體的數量5個,求的是具體的數量;求每名小朋友分到這些月餅的幾分之幾,平均分的是單位“1”,求的是分率;都用除法計算。
【解答】5÷3=(個)
1÷3=
所以3名小朋友平均分5個同樣大小的月餅,每名小朋友分到個月餅,每名小朋友分到這些月餅的。
10.(2分)5米長的鋼管,鋸成每段一樣長的小段,共鋸了5次,每段占全長的( ),每段長( )米。
【答案】
【分析】把鋼管共鋸5次,實際把鋼管平均分成6段,把鋼管的長度看作單位“1”,平均分成6段,求每段占全長的分率,用1÷6解答;求每段長度,用鋼管的長度÷6,即5÷6解答。
【解答】1÷6=
5÷6=(米)
5米長的鋼管,鋸成每段一樣長的小段,共鋸了5次,每段占全長的,每段長米。
二、判斷題(滿分10分)
11.(2分)超市新進一批家用電器,冰箱的數量相當于電視機的,則冰箱的數量比電視機的少。( )
【答案】√
【分析】將電視機數量看作單位“1”,冰箱的數量相當于電視機的,據此比較即可。
【解答】1>
超市新進一批家用電器,冰箱的數量相當于電視機的,則冰箱的數量比電視機的少,原題說法正確。
故答案為:√
12.(2分)3米的和1米的一樣長。( )
【答案】√
【分析】根據分數的意義,3米的表示,把3米看作單位“1”,平均分成4份,其中的1份是米;1米的表示,把1米看作單位“1”,平均分成4份,其中的3份是米;據此判斷。
【解答】3米的是米,1米的也是米;
所以,3米的和1米的一樣長。
原題說法正確。
故答案為:√
13.(2分)分數,因為分母中含有因數3,所以它不能化為有限小數。( )
【答案】×
【分析】有限小數指的是小數部分有限的小數,如果一個分數(最簡分數)的分母中除了質因數2和5以外,不含有其他質因數,那么這個分數就能化成有限小數。據此解答。
【解答】,最簡分數的分母是4,只有質因數2,因此是能夠化成有限小數的0.75。所以上述說法錯誤。
故答案為:×
14.(2分)兩個連續偶數的和是18,這兩個數的最大公因數是2。 ( )
【答案】√
【分析】先根據兩個連續偶數的和是18,兩個連續偶數的差是2,用18減去2等于兩個較小的偶數的和,再用兩個較小的偶數和除以2,求出較小得偶數,再加上2求出較大的偶數;求得這兩個數為8和10,再根據求兩個數最大公因數也就是這兩個數的公有質因數的連乘積求解。
【解答】(18-2)÷2
=16÷2
=8
8+2=10
8=2×2×2
10=2×5
所以8和10的最大公因數是2。
原題說法正確。
故答案為:√
15.(2分)a、b、c都是非0的自然數,且,則。( )
【答案】√
【分析】假設a、b、c這三個自然數分別是3、2、1,代入則、,再比較大小即可。
【解答】假設a、b、c這三個自然數分別是3、2、1
所以,a、b、c都是非0的自然數,且,則。原題說法正確。
故答案為:√
三、選擇題(滿分10分)
16.(2分)一袋糖,4顆4顆地分、5顆5顆地分、6顆6顆地分,都正好分完而沒有剩余,這袋糖最少有( )顆。
A.30 B.60 C.120 D.240
【答案】B
【分析】根據題意,一袋糖,4顆4顆地分、5顆5顆地分、6顆6顆地分,都正好分完而沒有剩余,說明這袋糖最少的顆數是4、5、6的最小公倍數,據此解答。
【解答】
4、5、6的最小公倍數是2×2×3×5=60
即這袋糖最少有60顆。
故答案為:B
17.(2分)把一張長72cm,寬60cm的長方形紙,裁成同樣大小、面積盡可能大的正方形紙,且紙無剩余,至少能裁( )張。
A.2 B.4 C.30 D.6
【答案】C
【分析】把一塊長方形紙裁成同樣大小、面積盡可能大的正方形,且沒有剩余,說明正方形的邊長是長、寬的最大公因數,把72、60分解質因數后,把公有的相同質因數乘起來就是最大公因數,即是正方形的最大邊長。再看長、寬里面分別有幾個這樣的最大公因數,最后相乘,即可求出至少能裁的張數。
【解答】72=2×2×2×3×3
60=2×2×3×5
72和60的最大公因數是:2×2×3=12
即正方形的邊長最大是12cm。
72÷12=6(張)
60÷12=5(張)
一共:6×5=30(張)
至少能裁30張。
故答案為:C
18.(2分)下面等式成立的是( )。
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】根據分數的基本性質:分數的分子分母同時乘或除以一個不為0的數,分數的大小不變,據此判斷解答。
【解答】A.
等式不成立;不符合題意;
B.
等式不成立;不符合題意;
C.
等式成立;符合題意;
D.
等式不成立;不符合題意。
等式成立的是。
故答案為:C
19.(2分)給的分母加上14,要使原分數的大小不變,則分子應( )。
A.乘3 B.加上3 C.加上14 D.乘14
【答案】A
【分析】7+14=21,21=7×3,分數的分母加上14后變為21,相當于分母乘3,要使分數的大小不變,分數的分子也要乘3,2×3=6,6-2=4,相當于分子加上4。因此給的分母加上14,要使原分數的大小不變,則分子應乘3或者加上4,據此解答。
分數的基本性質:分數的分子和分母同時乘或除以同一個不為零的數,分數的大小不變。
【解答】(7+14)÷7
=21÷7
=3
2×3-2
=6-2
=4
給的分母加上14,要使原分數的大小不變,則分子應應乘3或者加上4。
故答案為:A
20.(2分)分子和分母是兩個相鄰的奇數,這樣的分數一定是( )。
A.真分數 B.假分數 C.最簡分數 D.不能確定
【答案】C
【分析】先理解真分數、假分數、最簡分數的概念,再根據分子分母是相鄰奇數這一條件判斷該分數屬于哪種類型。真分數是分子小于分母的分數;假分數是分子大于等于分母的分數;最簡分數是分子和分母互質的分數,即分子分母除了1以外沒有其他公因數。
【解答】僅知道分子分母是相鄰奇數,不知道分子分母誰大誰小,所以不能確定它是真分數還是假分數。比如分子是5,分母是3時,它是假分數;若分子是3,分母是5時,它是真分數;所以分子和分母是兩個相鄰的奇數,這樣的分數可能是真分數,也可能是假分數;由此排出選項A和選項B;
兩個相鄰的奇數,它們的公因數只有1。因為相鄰奇數相差2,不存在除1以外的其他數能同時整除這兩個數。所以這樣的分數一定是最簡分數。
所以分子和分母是兩個相鄰奇數的分數一定是最簡分數。
故答案為:C
四、計算題(滿分12分)
21.(6分)把下列各分數約分,是假分數的再化成帶分數或整數。

【答案】;;3;;
【分析】約分:把一個分數化成和它相等,但分子和分母都比較小的分數,叫做約分;根據分數的基本性質進行約分,分子、分母同時除以它們的最大公因數,結果就是分子和分母只有公因數1的最簡分數。
假分數化成整數:用假分數的分子除以分母,如果沒有余數,商就是所要化成的整數。分子能被分母整除的假分數可以化成整數。
假分數化成帶分數:用假分數的分子除以分母,得到整數商和余數(余數比除數小)。整數商就是帶分數的整數部分,余數為真分數部分的分子,分母不變。
【解答】
22.(6分)先通分,再比較大小。
和 和 和
、和 、和 、和
【答案】,,<;,,>;,,<;
,,,<<;,,,>>;,,,<<
【分析】把異分母分數化成和原來分數相等的同分母分數,叫做通分;通分時可以把兩個分母的最小公倍數作為公分母,根據分數的基本性質,分子和分母要同時乘相同的數,這樣分數大小不變;最后比較兩個同分母分數的大小:分母相同,分子大的,分數就大。
【解答】==,因為4<7,所以<,所以<;
==,==,因為35>24,所以>,所以>;
因為==,==,9<10,所以<,所以<;
==,==,==,
因為20<24<25,所以<<,
所以<<;
==,==,
因為6<7<20,所以>>,所以>>,
==,==,==,
因為12<21<40,所以<<,所以<<。
五、作圖題(滿分6分)
23.(6分)下面一個正方形表示單位“1”,請你涂色表示出。
【答案】見詳解
【分析】根據分數的意義,將每個正方形看作單位“1”,將它平均分成4份,每1份是這個正方形的,9份表示 。據此涂色即可。
【解答】根據分析,涂色如下:
六、解答題(滿分42分)
24.(6分)同一種零件,甲師傅3小時做了20個,乙師傅2小時做了15個。誰做得快一些?
【答案】乙師傅
【分析】做的個數÷用的時間=每小時做的個數,據此求出甲乙兩位師傅每小時做的個數,比較即可。分數的分子相當于被除數,分母相當于除數;異分母分數比較大小,先通分再比較。
【解答】甲師傅:20÷3=(個)=(個)
乙師傅:15÷2=(個)=(個)

答:乙師傅做得快一些。
25.(6分)學校藝術節開幕式上有40多名同學進行體操表演,他們12人排成一排或者8人排成一排都正好排完,一共有多少名學生參加體操表演?
【答案】48名
【分析】12人排成一排或者8人排成一排都正好排完,說明總人數是12和8的公倍數,求出12和8的最小公倍數,再通過最小公倍數找到40至50之間的公倍數即可。全部公有的質因數和各自獨立的質因數,它們連乘的積就是這幾個數的最小公倍數。
【解答】12=2×2×3
8=2×2×2
2×2×2×3=24(人)
24×2=48(人)
40<48<50
答:一共有48名學生參加體操表演。
26.(6分)五年級共有男生96人,女生84人,男、女生分別站成若干排。要使每排人數相同,每排最多站多少人?這時,男、女生一共站了幾排?
【答案】15排
【分析】要使得每排人數相同,每排最多站的人數就是96和84的最大公因數。先將96和84分別分解質因數,兩個數公有質因數的乘積是這兩個數的最大公因數。將女生人數除以這個最大公因數,求出女生有多少排。同理求出男生有多少排。利用加法求出一共站了幾排。
【解答】96=2×2×2×2×2×3
84=2×2×3×7
96和84的最大公因數:2×2×3=12
96÷12+84÷12
=8+7
=15(排)
答:這時,男、女生一共站了15排。
27.(6分)春城小學舉行繪畫比賽,全校共有140幅作品參賽。其中五年級組有28幅作品參賽,最終五年級組有6幅作品獲得獎項。
(1)五年級組獲獎作品占五年級組參賽作品的幾分之幾?
(2)五年級組參賽作品占全校參賽作品的幾分之幾?
【答案】(1);(2)
【分析】求一個數是另一個數的幾分之幾,用這個數除以另一個數。
分數和除法的關系:被除數相當于分子,除數相當于分母。
(1)將五年級組獲獎作品數除以五年級組參賽作品數,求出五年級組獲獎作品占五年級組參賽作品的幾分之幾;
(2)將五年級組參賽作品數除以全校參賽作品數,求出五年級組參賽作品占全校參賽作品的幾分之幾。
【解答】(1)6÷28=
答:五年級組獲獎作品占五年級組參賽作品的。
(2)28÷140=
答:五年級組參賽作品占全校參賽作品的。
28.(6分)甲、乙兩位師傅完成同一種零件,甲師傅用了小時,乙師傅用了小時。小麗說:“兩位師傅用的時間一樣長。”小麗說的對嗎?請用計算或畫圖的方法說明理由。
【答案】小麗說得對
【分析】根據分數的基本性質:分數的分子和分母同時乘或除以相同的數(0除外),分數大小不變,的分子和分母同時乘2,則=;據此解答。
【解答】==
所以兩位師傅用的時間一樣長。
答:小麗說的對。
【點評】掌握分數的基本性質是解題的關鍵。
29.(6分)小麗、小紅和小芳做同樣的數學題。小麗3分鐘做了11道題,小紅4分鐘做了13道題,小芳5分鐘做了16道題。她們平均每分鐘各做了幾道題?(結果化成帶分數)
【答案】;;
【分析】根據做題總數÷時間=平均每分鐘做題數量,分別代入數據計算,即可求出她們平均每分鐘各做了幾道題。再根據假分數化成整數,用假分數的分子除以分母,如果沒有余數,商就是所要化成的整數。分子能被分母整除的假分數可以化成整數。將計算結果化成帶分數即可。
【解答】11÷3

=(道)
13÷4

=(道)
16÷5

=(道)
答:小麗平均每分鐘做了道題,小紅平均每分鐘做了道題,小芳平均每分鐘做了道題。
30.(6分)幼兒園的張阿姨買了4袋同樣的糖果,每袋1.5千克。她要把這些糖果平均分給5個小朋友。
(1)每個小朋友分到多少千克糖果?
(2)每個小朋友分到幾袋糖果?
【答案】(1)千克
(2)袋
【分析】(1)先用1.5×4=6千克,求出糖果總質量,再將6千克÷5即可求出平均1份的質量,即每個小朋友分到多少千克糖果。
(2)將4袋平均分成5份,用4÷5求出1份多少袋,即可求出平均每個小朋友分到袋數。
【解答】(1)4×1.5÷5
=6÷5
=(千克)
答:每個小朋友分到千克糖果
(2)4÷5=(袋)
答:每個小朋友分到袋糖果。
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21世紀教育網(www.21cnjy.com)2024-2025學年五年級下冊數學易錯題型
第四單元 分數的意義和性質
(知識梳理+典例精講+培優必刷)
【知識點一】分數的意義
1、實際生活中,在進行測量、分物或計算時,往往不能正好得到整數的結果,在這種情況下就產生了另一種數——分數。
2.一個物體、一個計量單位或是一些物體等都可以看作一個整體,這個整體可以用自然數1表示,通常把它叫做單位“1”。
3.把單位“1”平均分成若干份,這樣的一份或幾份都可以用分數來表示,表示其中一份的數叫做分數單位。
【知識點二】分數與除法
1、兩個數相除,商可以用分數來表示,即被除數÷除數=,用字母表示為a÷b=(b≠0)。反之,分數也可以看作兩個數相除,分數的分子相當于被除數,分母相當于除數,分數線相當于除號。
2、分數與除法的聯系及區別
3、求一個數是另個數的幾分之幾
求一個數是另一個數的幾分之幾,用除法計算,列式為:一個數÷另一個數=,即比較量÷標準量=,商表示的是兩個數的倍比關系,沒有單位名稱。
【知識點三】真分數和假分數、帶分數及其互化
1、分子比分母小的分數叫做真分數,真分數小于1。
2、分子比分母大或分子等于分母的分數叫做假分數,假分數大于1或等于1。
3、由整數(0除外)和真分數合成的數叫做帶分數,帶分數大于1。
4、帶分數的讀法:先讀帶分數的整數部分,再讀分數部分,分數部分和整數部分中間加一個“又”字。
5、帶分數的寫法:“又”前面是整數部分,后面是分數部分,先寫整數部分,再寫分數部分。
6、假分數化成整數或帶分數的方法。
(1)有些假分數的分子恰好是分母的倍數,它們實際上是整數;有些假分數的分子不是分母的倍數,這樣的假分數可以寫成帶分數。
(2)把假分數化成整數或帶分數的方法:用分子除以分母。當分子是分母的整數倍時,能化成整數,商就是這個整數;當分子不是分母的整數倍時,能化成帶分數,商就是帶分數的整數部分,余數是分數部分的分子,分母不變。
【知識點四】分數的基本性質
1、分數的分子和分母同時乘或者除以相同的數(0除外),分數的大小不變,這叫做分數的基本性質。
2、根據分數的基本性質,可以把一個分數化成分母不同而大小不變的分數。
【知識點五】公因數和約分
1、幾個數公有的因數,叫做這幾個數的公因數,其中最大的公因數,叫做它們的最大公因數。
2、求兩個數最大公因數的方法:
列舉法;篩選法;分解質因數法;短除法。
3、求兩個數的最大公因數的特殊情況:
(1)當兩個數成倍數關系時,較小數就是它們的最大公因數;
(2)當兩個數的公因數只有1時,它們的最大公因數就是1。
4、把一個分數化成和它相等,但分子和分母都比較小的分數,叫做約分。約分依據的是分數的基本性質。
5.分子和分母只有公因數1的分數是最簡分數。約分時,通常要約成最簡分數。
【知識點六】公倍數和通分
1、幾個數公有的倍數叫做這幾個數的公倍數,其中最小的一個,叫做這幾個數的最小公倍數。
2、求兩個數最小公倍數的方法。
列舉法;篩選法;分解質因數法;短除法。
3、同分母分數、同分子分數的大小比較方法:
(1)分母相同的兩個分數,分子大的分數比較大;
(2)分子相同的兩個分數,分母小的分數反而大。
4、通分的意義及通分的方法。
(1)通分的意義:把異分母分數分別化成和原來分數相等的同分母分數,叫做通分。
(2)通分的方法:通分時用原分母的公倍數作公分母,為了計算簡便,通常選用它們的最小公倍數作公分母,然后把各分數化成用這個最小公倍數作分母的分數。
5、分數的大小比較。
比較異分母分數的大小:先通分化成分母相同的分數,再比較大小。
【知識點七】分數與小數的互化
1、小數化分數的規律:一位小數化分數,用10作分母,一位小數去掉小數點作分子;兩位小數化分數,用100作分母,兩位小數去掉小數點作分子……把小數化成分數,能約分的都應約成最簡分數。
3、分數化成小數的方法:
(1)分母是10,100,1000……的分數化成小數,可以直接去掉分母,看分母中有幾個0,有幾個0就在分子中從右邊起向左數出幾位,點上小數點;
(2)分母不是10,100,1000……的分數化成小數,用分子除以分母,除不盡時,要根據需要按“四舍五入”法保留幾位小數。
(3)把帶分數化成小數,方法與上面相同,帶分數的整數部分作為小數的整數部分,分數部分化成小數,作為小數的小數部分。
【考點一】分數的意義
【典例一】1.把一塊蛋糕平均分給3個人,每人分得這塊蛋糕的( )。
A. B. C.
【典例二】(1)請在下面每個圖中表示。
它們為什么都能表示?
【典例三】一條水渠長500米,計劃14天修完,照這樣計算,4天可以修這條路的。
【考點二】分數與除法
【典例一】將6m長的鐵絲平均分成9段,每段長( )。
A.m B.m C.m
【典例二】修路隊修一條公路,已修80千米,還剩下31千米沒有修。已修的和沒有修的各占這條公路的幾分之幾?
【典例三】五(6)班有50人,其中男生31人,而男生中愛好體育的有20人。
(1)五(6)班愛好體育的男生人數占全部男生人數的幾分之幾?
(2)五(6)班女生人數占全班的幾分之幾?
【考點三】真分數和假分數、帶分數及其互化
【典例一】下列說法正確的是( )。
A.所有的質數都是奇數 B.兩個奇數的差一定是偶數
C.整數都比分數大 D.一個數的倍數一定比它的因數大
【典例二】把下面的假分數化成整數或帶分數。
= = = =
【典例三】一個帶分數,它的分數部分的分子是4,化成假分數后,分子是53,這個帶分數可能是多少?
【考點四】分數的基本性質
【典例一】分數的分母乘2,要使分數的大小不變,分子應該( )。
A.加2 B.加10 C.除以2 D.乘2
【典例二】把下面的分數化成分母是24而大小不變的分數,請寫出過程。

【典例三】甲、乙兩位師傅完成同一種零件,甲師傅用了小時,乙師傅用了小時。小麗說:“兩位師傅用的時間一樣長。”小麗說的對嗎?請用計算或畫圖的方法說明理由。
【考點五】約分及最大公因數
【典例一】把12個梨和36個橘子,平均分給若干個小朋友,都正好分完。小朋友最多有( )人,每人分到( )個梨和( )個橘子。
【典例二】五年級(1)(2)班要參加學校組織的義務勞動,五(1)班來了48人,五(2)班來了42人。如果把兩個班的學生分別分成若干小組,要使兩個班每個小組的人數相同,每組最多有多少人?一共有多少個小組?
【典例三】一個分數,用2約分一次,再用3約分一次,得到,原來這個分數是( )。
【典例四】2021年春茶之際,茶農平均每天可以采摘50千克茶葉,其中龍井茶有20千克,白茶有14千克,其余是烏牛早。
(1)白茶質量是總質量的幾分之幾?
(2)算式“20÷(50-20-14)”解決的是什么問題?并計算。
【考點六】通分及最小公倍數
【典例一】水仙花每6天澆一次水,蘭花每8天澆一次水,花匠今天給兩種花同時澆了水,至少( )天后給這兩種花同時澆水。
【典例二】樂樂家的空氣加濕器,每6天會亮一次燈(提醒清洗),每15天會響一次提醒音(提醒消毒)。9月1日的時候既亮燈又響鈴了,下一次既亮燈又響鈴是在哪一天?
【典例三】同走一段路,小華用了小時,小蘭用了小時,小明用了小時,( )的速度最快。
【典例四】尚好飲品店進了三種總容量相同的飲品,星期六整天的銷售情況如下表,如果你是這家飲品的一名員工,你想對老板提些什么好建議?(要求先比較大小再提出一個好建議)
咖啡奶 椰奶 果汁
售出占 售出占 售出占
【考點七】分數和小數的互化
【典例一】把一根3m長的木條鋸成同樣長的8段,每段長度是這根木條總長度的,每段長m,也就是( )m。(填小數)
【典例二】五年級(l )班舉行折紙比賽,一組7個人共折了23個,二組8個人共折了36個,三組6個人共折了20個,平均每人折的最多的是哪個組呢?
【典例三】2022年6月5日神舟十四號載人飛船順利升空,我國航天事業愈發強大。王阿姨和李叔叔打同樣一篇有關航天新聞的稿子,王阿姨平均每秒打個字,李叔叔平均每秒打0.9個字,誰打字快一些?
一、填空題(滿分20分)
1.(2分)一項工作,甲用了0.35小時完成,乙用了小時完成,( )做得快些。
2.(2分)完成同樣的一份數學試卷,聰聰用了小時,紅紅用了小時,( )的速度快一些。
3.(2分)實驗小學開展“我是小小宣傳員”公益活動,參加人員每16人分成一組,或者每12人分成一組,都正好分完,該校參加“我是小小宣傳員”公益活動的學生至少有( )人。
4.(2分)有兩條絲帶,分別長12cm和20cm,現在要把它們截成同樣長的小段(整厘米),不能有剩余,每小段最長是( )cm。
5.(2分)一個最簡分數,它的分子與分母的積是14,這個最簡真分數可能是( )或( )。
6.(2分)把的分子增加9,要使分數大小不變,則分母增加( )。
7.(2分)是真分數,那么a最小是( );當a=3時,可以寫成帶分數( )。
8.(2分)如果是真分數,那么a最大是( );如果是假分數,那么a最小是( )。
9.(2分)3名小朋友平均分5個同樣大小的月餅,每名小朋友分到( )個月餅,每名小朋友分到這些月餅的( )。
10.(2分)5米長的鋼管,鋸成每段一樣長的小段,共鋸了5次,每段占全長的( ),每段長( )米。
二、判斷題(滿分10分)
11.(2分)超市新進一批家用電器,冰箱的數量相當于電視機的,則冰箱的數量比電視機的少。( )
12.(2分)3米的和1米的一樣長。( )
13.(2分)分數,因為分母中含有因數3,所以它不能化為有限小數。( )
14.(2分)兩個連續偶數的和是18,這兩個數的最大公因數是2。 ( )
15.(2分)a、b、c都是非0的自然數,且,則。( )
三、選擇題(滿分10分)
16.(2分)一袋糖,4顆4顆地分、5顆5顆地分、6顆6顆地分,都正好分完而沒有剩余,這袋糖最少有( )顆。
A.30 B.60 C.120 D.240
17.(2分)把一張長72cm,寬60cm的長方形紙,裁成同樣大小、面積盡可能大的正方形紙,且紙無剩余,至少能裁( )張。
A.2 B.4 C.30 D.6
18.(2分)下面等式成立的是( )。
A. B. C. D.
19.(2分)給的分母加上14,要使原分數的大小不變,則分子應( )。
A.乘3 B.加上3 C.加上14 D.乘14
20.(2分)分子和分母是兩個相鄰的奇數,這樣的分數一定是( )。
A.真分數 B.假分數 C.最簡分數 D.不能確定
四、計算題(滿分12分)
21.(6分)把下列各分數約分,是假分數的再化成帶分數或整數。

22.(6分)先通分,再比較大小。
和 和 和
、和 、和 、和
五、作圖題(滿分6分)
23.(6分)下面一個正方形表示單位“1”,請你涂色表示出。
六、解答題(滿分42分)
24.(6分)同一種零件,甲師傅3小時做了20個,乙師傅2小時做了15個。誰做得快一些?
25.(6分)學校藝術節開幕式上有40多名同學進行體操表演,他們12人排成一排或者8人排成一排都正好排完,一共有多少名學生參加體操表演?
26.(6分)五年級共有男生96人,女生84人,男、女生分別站成若干排。要使每排人數相同,每排最多站多少人?這時,男、女生一共站了幾排?
27.(6分)春城小學舉行繪畫比賽,全校共有140幅作品參賽。其中五年級組有28幅作品參賽,最終五年級組有6幅作品獲得獎項。
(1)五年級組獲獎作品占五年級組參賽作品的幾分之幾?
(2)五年級組參賽作品占全校參賽作品的幾分之幾?
28.(6分)甲、乙兩位師傅完成同一種零件,甲師傅用了小時,乙師傅用了小時。小麗說:“兩位師傅用的時間一樣長。”小麗說的對嗎?請用計算或畫圖的方法說明理由。
29.(6分)小麗、小紅和小芳做同樣的數學題。小麗3分鐘做了11道題,小紅4分鐘做了13道題,小芳5分鐘做了16道題。她們平均每分鐘各做了幾道題?(結果化成帶分數)
30.(6分)幼兒園的張阿姨買了4袋同樣的糖果,每袋1.5千克。她要把這些糖果平均分給5個小朋友。
(1)每個小朋友分到多少千克糖果?
(2)每個小朋友分到幾袋糖果?
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