資源簡介

2024-2025學年五年級下冊數學易錯題型
第三單元 長方體和正方體
（知識梳理+典例精講+培優必刷）
【知識點一】長方體和正方體的認識
1、長方體的特征：長方體是由6個長方形（特殊情況下由2個相對的面是正方形）圍成的立體圖形。長方體有6個面，相對的面完全相同；有12條棱，相對的棱長度相等；有8個頂點。
2、相交與一個頂點的3條棱的長度分別叫作長方體的長、寬、高，長方體的12條棱中有4條長、4條寬和4調高。
3、正方體是由6個完全相同的正方形圍成的立體圖形。正方形有12條棱，每條棱的長度都相等；正方體有8個頂點。
4、正方體可以堪稱長、寬、高都相等的長方體。正方體是特殊的長方體。
5、認識長方體和正方體的展開圖。
【知識點二】長方體和正方體的表面積
1、長方體或正方體6個面的總面積，叫做它的表面積。
2、長方體的表面積=(長×寬+長×高+寬×高)×2。
用字母表示:S=(ab+ah+bh)×2。
3、正方體的表面積=棱長×棱長×6。
用字母表示:S=6a2。
【知識點三】長方體和正方體的體積
1、體積單位
（1）物體所占空間的大小叫做物體的體積。
（2）常用的體積單位有立方厘米、立方分米和立方米，可以分別寫成cm3、dm3、m3。
棱長是1cm的正方體，體積是1cm3;
棱長是1dm的正方體，體積是1dm3;
棱長是1m的正方體，體積是1m3。
2、體積計算公式
（1）長方體的體積=長×寬×高。
用字母表示:V=abh。
（2）正方體的體積=棱長×棱長×棱長。
用字母表示:V=a3。
【知識點四】體積單位間的進率
體積單位換算：1立方分米=1000立方厘米　1立方米=1000立方分米
相鄰的兩個體積單位間的進率是1000。
【知識點五】容積單位
1、容積單位
（1）容器所能容納物體的體積，通常叫做它們的容積。
（2）計量容積，一般用體積單位。計量液體的體積，如水、油等，常用容積單位升和毫升，也可以寫作L或mL。
（3）容積單位的換算:1升=1000毫升
容積單位和體積單位的關系:1升=1立方分米
1毫升=1立方厘米
【考點一】長方體和正方體的認識
【典例一】圖中一共有（ ）個小正方體，不改變小正方體的位置，至少再添（ ）個同樣的小正方體才可以搭成一個大正方體。
【分析】
第一層有1個小正方體，第二層有5個小正方體，把每層的小正方體個數加起來，可知圖中一共有6個小正方體。題中的組合體一共由3列小正方體搭成，不改變小正方體的位置，要想搭成一個大正方體，至少需要27個小正方體。已有6個小正方體，所以至少還需要再添（個）。
【解答】
圖中一共有6個小正方體，不改變小正方體的位置，至少再添21個同樣的小正方體才可以搭成一個大正方體。
【點評】
數小正方形個數時，注意不要忘記隱藏的小正方體。一個正方體的一條棱上有3個小正方形，則這個正方形應是由3×3×3個小正方體組成的。
【典例二】用一根長為132厘米的鐵絲圍成一個正方體的模型，棱長是（ ）厘米，如果圍成一個長方體的模型，一條長、寬、高的和是（ ）厘米．
【分析】由題意可知長方體和正方體的棱長總和都是132厘米，根據正方體的特征，12條棱的長度都相等，正方體的棱長總和=棱長×12，棱長=棱長總和÷12；長方體的特征是：12條棱分為互相平行（相對）的3組，每組4條棱的長度相等，長方體的棱長總和=（長+寬+高）×4，由此解答．
【解答】132×12=11（厘米）；
132÷4=33（厘米）；
答：正方體的棱長是11厘米，長方體的長、寬、高的和是33厘米．
故答案為11，33．
【典例三】心靈手巧的小美要用一根長10m的繩子給禮盒做裝飾（方法如圖），結頭處繩長30cm，這根繩子最多可捆扎幾個這樣的禮盒？
【分析】先求出一個禮盒需要的長度＝長方體的兩條長＋兩條寬＋四條高＋結頭處長度，再用總長度除以一個禮盒需要的長度即可計算出結果。
【解答】10米＝1000厘米
15×2＋2×10＋4×6＋30
＝30＋20＋24＋30
＝104（厘米）
1000÷104＝9（個）……64（厘米）
答：這根繩子最多可捆扎9個這樣的禮盒。
【點評】主要利用長方體棱長解決實際問題，長方體的棱長總和＝（長＋寬＋高）×4。
【考點二】長方體和正方體的表面積
【典例一】一根鋼管，它的橫截面面積是20平方厘米，把它截成4段，表面積增加了（ ）。
A． B． C． D．
【分析】
鋼管截成4段，增加了6個橫截面，用橫截面積×6即可。
【解答】
20×6＝120（平方厘米）
故答案為：C
【點評】
關鍵是理解截成4段只需要截3次，每截一次增加兩個橫截面。
【典例二】用長6cm、寬3cm、高1cm的兩個小長方體拼成一個大長方體。這個大長方體的表面積最小是（ ）cm2，表面積最大是（ ）cm2。
【分析】
要使拼成的長方體的表面積最小，那就要把最大面拼在一起，即把長方體最大的兩個面對著合起來，減少了2個最大的面，此時的長方體顯然是最小的表面積；同理，要使拼成的長方體的表面積最大，就要把最小面拼在一起，據此即可解答。
【解答】
最小表面積：（6×3＋6×1＋3×1）×2×2－3×6×2
＝27×4－36
＝108－36
＝72（平方厘米）
最大表面積：（6×3＋6×1＋3×1）×2×2－3×1×2
＝27×4－6
＝108－6
＝102（平方厘米）
【點評】
掌握將兩個長方體最大的兩個面相粘合在一起，才能保證拼成的新長方體的表面積最小；將兩個最小面相粘合，新長方體的表面積最大。這是解決此題的關鍵。
【典例三】如圖，小明的臥室是一個長方體，長5米，寬4米，高2.7米，臥室有一扇門與客廳相通，門高2米，寬1米，在另一面墻上距地面1米處有一個長1.5米，高1米的窗子。現在要對臥室進行如下裝修。
（1）給地面鋪上的地磚，每塊地磚的價格是16元，買地磚需多少元？
（2）從地面向上給四周的墻壁貼上1米高的木板，需木板多少平方米？
【分析】
（1）先求出長方體底面積，用底面積÷一塊地磚面積，求出地磚塊數，用塊數×每塊價格即可；
（2）將木板展開是一個長方形，求出底面周長，減去門的寬度，再乘木板高度即可；
【解答】
（1）5×4＝20（平方米）＝200000（平方厘米）
200000÷（50×50）
＝200000÷2500
＝80（塊）
80×16＝1280（元）
答：買地磚需1280元。
（2）（5＋4）×2－1
＝9×2－1
＝18－1
＝17（米）
17×1＝17（平方米）
答：需木板17平方米。
【點評】本題考查了長方體表面積，關鍵是想清楚需要求的是哪些部分的面積，完整的長方體表面積＝（長×寬＋長×高＋寬×高）×2。
【考點三】體積和體積單位
【典例一】一段長為2米的長方體木料，底面是邊長3cm的正方形，這段木料的體積是（ ）dm3。
A．600 B．18 C．1.8 D．1800
【分析】
木料的體積＝底面積×高（木料的長度），據此解答。
【解答】
2米＝20分米，3厘米＝0.3分米
0.3×0.3×20
＝0.09×20
＝1.8（立方分米）
故選擇：C
【點評】
此題考查長方體的體積計算，牢記公式，找準對應的底面積和高是解題關鍵。注意換算單位。
【典例二】如圖：在棱長是1分米的正方體中挖下一個棱長4厘米的小正方體，剩下部分的表面積是（ ）平方分米。剩下部分的體積是（ ）立方分米。
【分析】
挖下一個棱長4厘米的小正方體，表面積增加了兩個小正方形；剩下部分的體積用大正方體的體積減去小正方體的體積即可。
【解答】
4厘米＝0.4分米
（平方分米）
（立方分米）
【點評】
在大正方體的頂點處挖去一個小正方體，表面積不變；在棱上挖去一個小正方體，表面積增加兩個小正方形；在面上去一個小正方體，表面積增加四個小正方形。
【典例三】游泳池的長為225米，寬為10米，深為1.6米。
（1）這個游泳池的占地面積是多少平方米？
（2）如果在游泳池的四周和池底貼上瓷磚，貼瓷磚部分的面積是多少平方米？
（3）游泳池的體積是多少立方米？
【分析】
（1）求游泳池的占地面積即是求泳池的底面積；
（2）貼瓷磚的面積為泳池的四個側面的面積加1個底面積；
（3）泳池的體積＝225×10×1.6＝3600（立方米）；據此解答。
【解答】
（1）225×10＝2250（平方米）
答：這個游泳池的占地面積是2250平方米。
（2）225×1.6×2＋10×1.6×2＋2250
＝360×2＋16×2＋2250
＝720＋32＋2250
＝3002（平方米）
答：貼瓷磚部分的面積是3002平方米。
（3）225×10×1.6
＝2250×1.6
＝3600（立方米）
答：游泳池的體積是3600立方米。
【點評】
本題考查了長方體的表面積以及體積的應用，關鍵是要掌握長方體的表面積與體積公式，并靈活運用。
【考點四】體積單位間的進率
【典例一】一根長方體方木，橫截面積是40平方厘米，長6.5米，它的體積是（ ） 立方厘米．
A．260 B．26000 C．0.26
【分析】
長方體的體積＝長×寬×高＝橫截面積×長，題目中給的長是6.5米，單位是米，最后體積是多少，單位是立方厘米，所以先需要把6.5米轉化成650厘米，再計算。
【解答】
6.5米＝650（厘米）
40×650＝26000（立方厘米）
故選擇：B
【點評】
此題考查了長方體體積的計算，牢記公式并能靈活運用。
【典例二】有一個長60厘米，寬50厘米的長方體水缸，把買的西瓜完全浸入在水里，水面上升了3厘米。這個西瓜的體積是多少立方分米？
【分析】
把買的西瓜完全浸入在水里，西瓜占據了水缸內水的一部分空間，因此水面上升，已知水面上升了3厘米，西瓜的體積就是水面上升3厘米的水的體積，根據長方體的體積公式V=abh列式解答即可。
【解答】
60×50×3＝9000（立方厘米）
9000立方厘米＝9立方分米
答：這個西瓜的體積是9立方分米。
【點評】
此題屬于長方體體積的實際應用，直接根據長方體的體積公式解決問題，解答時要注意題干單位。
【典例三】一個無蓋的魚缸，長1.2m，寬80cm，高6dm，這個魚缸可以放多少立方分米的水？
【答案】1.2m=12dm
80cm=8dm
V=abh
=12×8×6
=576（dm3）
答：這個魚缸可以放576dm3的水。
【考點五】容積和容積單位
【典例一】一個魚缸最多能容納100升的水，這個魚缸的體積可能是（ ）。
A．98立方分米 B．99立方分米 C．100立方分米 D．102立方分米
【分析】
體積指物體所占空間的大小，而容積指容器所能容納物體體積的大小，據此解答。
【解答】
一個魚缸最多能容納100升的水，100升指魚缸的容積，魚缸的體積要大于它的容積，故大于100升，也就是大于100立方分米。只有D符合題意。
故選擇：D。
【點評】
掌握物體的體積和容積概念是解題關鍵，一般情況下物體的體積大于它的容積。
【典例二】一個長方體的無蓋鐵皮水箱，長0.8米，寬0.65米，高0.6米。做這個水箱至少需要鐵皮（ ）平方米。如果每升水重1千克，這個水箱最多能裝水（ ）千克。（鐵皮厚度不計）
【分析】
已知長方體的長、寬、高，求無蓋長方體的表面積，用公式：無蓋長方體的表面積＝（長×高＋寬×高）×2＋長×寬；要求長方體的體積，用公式：長方體的體積＝長×寬×高，據此求出體積，然后用體積乘每升水的質量即可求出總質量。
【解答】
（0.8×0.6＋0.65×0.6）×2＋0.8×0.65
＝（0.48＋0.39）×2＋0.8×0.65
＝0.87×2＋0.8×0.65
＝1.74＋0.52
＝2.26（平方米）；
0.8×0.65×0.6
＝0.52×0.6
＝0.312（立方米）
＝312（升）；
312×1＝312（千克）；
【點評】
熟練掌握長方體的表面積和體積計算公式是解答本題的關鍵。
【典例三】要挖一個長9米，寬5米，深3米的蓄水池。
（1）這個蓄水池的占地面積是多少平方米？
（2）如果要給這個蓄水池的四周和底部抹上水泥，抹水泥部分的面積是多少平方米？
（3）這個水池能蓄水多少升？
【分析】
（1）求蓄水池的占地面積面積就是求底面積，用長乘寬即可；
（2）根據題意可知，就是給前后面、左右面和底面抹上水泥，求出它們的面積再相加即可；
（3）長方體的容積＝長×寬×高，據此解答即可。
【解答】
（1）5×9＝45（平方米）；
答：這個蓄水池的占地面積是45平方米；
（2）5×9＋2×（9×3＋5×3）
＝45＋84
＝129（平方米）；
答：抹水泥部分的面積是129平方米；
（3）5×9×3
＝45×3
＝135（立方米）；
135立方米＝135000升；
答：這個水池能蓄水135000升。
【點評】
熟記長方體表面積和容積的計算公式是解答本題的關鍵。
一、填空題（滿分20分）
1．（2分）如圖，一根長12dm的長方體木料，把它鋸成4個大小不等的長方體后，總表面積比原來增加了9dm2，這根木料的原體積是( )dm3。
【答案】18
【分析】看圖可知，將長方體木料鋸成4個大小不等的長方體后，表面積增加了6個截面面積，增加的表面積÷增加的截面個數＝截面面積，根據長方體體積＝截面面積×長，列式計算即可。
【解答】9÷6×12＝18（dm3）
這根木料的原體積是18dm3。
2．（2分）包裝一個棱長是9cm的正方體禮品盒，實際用紙是表面積的1.2倍，包裝好這個禮品盒實際用紙( )平方厘米，這個禮品盒的體積是 ( )立方分米。
【答案】583.2 0.729
【分析】正方體的表面積＝邊長×邊長×6，據此求出棱長是9cm的正方體的表面積，再根據求一個數的幾倍是多少，用這個數乘倍數求出包裝好這個禮品盒實際用紙的面積；根據正方體的體積＝邊長×邊長×邊長，代入數據解答即可。
【解答】9×9×6×1.2
＝81×6×1.2
＝486×1.2
＝583.2（平方厘米）
9×9×9
＝81×9
＝729（立方厘米）
729立方厘米＝0.729立方分米
所以包裝好這個禮品盒實際用紙583.2平方厘米，這個禮品盒的體積是0.729立方分米。
3．（2分）一個無蓋的正方體蓄水箱，棱長0.8m（厚度忽略不計）。這個蓄水箱的占地面積是( )m2，它的容積是( )m3。
【答案】0.64 0.512
【分析】占地面積指的是底面積，根據正方體底面積＝棱長×棱長，求出占地面積；根據正方體體積＝棱長×棱長×棱長，求出蓄水池的容積。
【解答】0.8×0.8＝0.64（m2）
0.8×0.8×0.8＝0.512（m3）
這個蓄水箱的占地面積是0.64m2，它的容積是0.512m3。
4．（2分）一種長方體餅干盒的長20cm，寬10cm，高5cm，把3個這樣的餅干盒包裝在一起，至少需要( )cm2的包裝紙。（拼接處不計）
【答案】1300
【分析】如下圖，把3個這樣的餅干盒包裝在一起有3種情況。把同樣多的物體包裝成長方體，長、寬、高越接近，表面積越小，即包裝紙的面積越少。圖一的包裝長、寬、高最接近，所以圖一的表面積最小，即圖一最省包裝紙。根據長方體的表面積＝（長×寬＋長×高＋寬×高）×2，求出圖一的表面積即可。
【解答】5×3＝15（cm）
（20×10＋20×15＋10×15）×2
＝（200＋300＋150）×2
＝650×2
＝1300（cm2）
所以至少需要1300cm2的包裝紙。
【點評】此題考查了怎樣設計包裝箱能使材料最節省。把同樣多的物體包裝成長方體，長、寬、高越接近，表面積越小；這些物體重合的面積越大，包裝箱的用料越少。
5．（2分）如圖，小涵把三個棱長為5厘米的正方體拼成一個長方體，表面積比原來減少( )平方厘米。
【答案】100
【分析】把三個棱長為5厘米的正方體拼成一個長方體，減少了4個邊長為5厘米的正方形面。先根據正方形的面積＝邊長×邊長求出1個正方形面的面積，再乘4即可求出減少的表面積。
【解答】5×5×4
＝25×4
＝100（平方厘米）
所以表面積比原來減少100平方厘米。
【點評】此題考查了正方體的拼組問題。解決此類題關鍵是明確減少了幾個面。
6．（2分）用2個長5分米，寬3分米，高2分米的長方體拼成一個大長方體，表面積最多減少( )平方分米，最少減少( )平方分米。
【答案】30 12
【分析】2個長方體拼成一個大長方體，減少了2個面。將長方體最大的兩個面拼起來，表面積減少的最多；將長方體最小的兩個面拼起來，表面積減少的最少，據此分析。
【解答】5×3×2＝30（平方分米）
3×2×2＝12（平方分米）
表面積最多減少30平方分米，最少減少12平方分米。
7．（2分）下圖是用棱長1厘米的正方體擺成的物體。至少添加( )個這樣的正方體，才能把它補成一個大正方體，大正方體的表面積是( )平方厘米。
【答案】17 54
【分析】觀察這個物體可知，這個物體的最長邊是3厘米，如果添加同樣的正方體，把這個物體補成一個大正方體，則大正方體的棱長至少是3厘米；正方體的表面積＝棱長×棱長×6，據此求出正方體的表面積。
【解答】圖形要擺成一個最小的正方體，需要：個小正方體；
圖中已經有個小正方體；
所以至少還需添加個小正方體，把它補成一個大正方體。
大正方體表面積：
（平方厘米）
所以至少添加17個這樣的正方體，才能把它補成一個大正方體，大正方體的表面積是54平方厘米。
【點評】本題考查正方體的表面積，解答本題的關鍵是掌握正方體的特征。
8．（2分）一個正方體的六個面上分別標上了數字1～6，下面是從三個不同角度觀察到的情況，“5”這一面相對的面是數字( )。
【答案】2
【分析】正方體相對的面：前面對后面，左面對右面，上面對下面；
從某一個角度觀察正方體時最多能夠觀察到正方體的三個面，而且我們這三個面一定是兩兩相鄰的，不會出現相對面，因此在找相對面時我們可以采用排除法：
如在找“5”相對的面時，圖①中可以排除1和3，圖②中可以排除4和6，再排除本身的5，就能確定5的對面是2。
【解答】找“5”相對的面時，圖①中可以排除1和3，圖②中可以排除4和6，再排除本身的5，就能確定5的對面是2。
故“5”這一面相對的面是數字2。
【點評】本題考查推理能力，解決問題關鍵是運用排除法進行分析。
9．（2分）王老師坐飛機從重慶——成都出差，在機場遇到如下規定：自帶行李總重量不超過5公斤，行李箱體積不超過20×40×55厘米，若超出航空公司規定的重量或尺寸，需要辦理托運并支付額外的行李費用。
王老師的行李箱長37cm，寬24cm，高60cm，行李總重量4.5kg，需要辦理托運嗎？( )。（選填“需要”或“不需要”）
【答案】需要
【分析】由于隨身登機行李箱的總重量不超過5公斤，行李箱體積不超過20×40×55厘米，王老師的行李箱長37cm，寬24cm，高60cm，行李總重量4.5kg，因為60＞55，37＜40，24＞20，所以王老師的行李需要辦理托運。
【解答】根據分析可知，王老師的行李需要辦理托運。
【點評】本題考查長方體，解答本題的關鍵是掌握長方體的特征。
10．（2分）一根鐵絲可以做成一個棱長為5cm的正方體框架，這根鐵絲長( )cm。如果要把它改做成一個長9cm，寬2cm的長方體框架，這個長方體框架的高是( )cm。
【答案】60 4
【分析】這根鐵絲的長就是正方體的棱長總和，正方體有12條棱長，且每條棱長都相等，用棱長乘12即可得解；如果要把它改做成一個長9cm，寬2cm的長方體框架，則根據長方體的特征，長方體的4條長、4條寬、4條高，且每條長相等，每條寬相等，每條高相等，用鐵絲的長度除以4，減一條長與一條寬的和，即可得解。
【解答】（cm）
（cm）
一根鐵絲可以做成一個棱長為5cm的正方體框架，這根鐵絲長60cm。如果要把它改做成一個長9cm，寬2cm的長方體框架，這個長方體框架的高是4cm。
二、判斷題（滿分10分）
11．（2分）用長6厘米、寬5厘米、高3厘米做長方體框架，至少要一根長56厘米的鐵絲。( )
【答案】√
【分析】用一根鐵絲做成長方體的框架，這根鐵絲的長度就是長方體的總棱長，根據長方體的總棱長＝（長＋寬＋高）×4，代入數據計算，即可求出這根鐵絲的長度，據此解答。
【解答】（6＋5＋3）×4
＝14×4
＝56（厘米）
做長方體框架，至少要一根長56厘米的鐵絲。
故答案為：√
12．（2分）甲乙兩個立體圖形（如圖），體積不同，但是表面積一樣大。( )
【答案】√
【分析】觀察圖形，甲乙原來的表面積一樣大，甲乙原來的體積一樣大；乙圖在頂點上挖去小正方體后，減少3個正方形的面積，又增加3個正方形的面積，則剩下的圖形的表面積與原來正方體的表面積相等；乙圖挖去一個小正方體后，剩下的體積比原來的體積小；據此判斷。
【解答】由分析得：
甲乙兩個立體圖形的體積不同，但是表面積一樣大，原題干的說法是正確的。
故答案為：√
13．（2分）把一塊體積為50立方厘米球形橡皮泥捏成一個正方體，那么這個正方體的體積也等于50立方厘米。( )
【答案】√
【分析】體積表示物體所占空間的大小，不管怎么捏，橡皮泥是不會變少的，也就是說它的體積不會變小，于是捏成正方體后，體積依舊是原來的50立方厘米。
【解答】球形橡皮泥捏成一個正方體，形狀雖然發生了變化，但它所占空間的大小一樣，也就是體積沒有發生變化，仍就是50立方厘米。原題干說法正確。
故答案為：√
【點評】本題考查了體積的等積變形，明確同一個物體，形狀無論怎么變化，體積始終保持不變。
14．（2分）正方體的棱長擴大到原來的3倍，那么它的表面積擴大到原來的6倍，體積擴大到原來的9倍。( )
【答案】×
【分析】正方體表面積＝棱長×棱長×6，正方體體積＝棱長×棱長×棱長，正方體棱長擴大到原來的幾倍，表面積擴大到原來的倍數×倍數，體積擴大到原來的倍數×倍數×倍數，據此分析。
【解答】3×3＝9
3×3×3＝27
正方體的棱長擴大到原來的3倍，那么它的表面積擴大到原來的9倍，體積擴大到原來的27倍，所以原題說法錯誤。
故答案為：×
15．（2分）棱長是6厘米的正方體的表面積和體積相等。( )
【答案】×
【分析】物體表面面積的總和，叫做物體的表面積；體積是指物體所占空間的大小；正方體表面積公式：表面積＝棱長×棱長×6，正方體體積公式：體積＝棱長×棱長×棱長，據此分析解答。
【解答】表面積：
6×6×6
＝36×6
＝216（平方厘米）
體積：
6×6×6
＝36×6
＝216（立方厘米）
棱長是6厘米的正方體，雖然它的體積和表面積的數值相等，但是表面積和體積是兩種不同的量，無法進行比較，所以棱長是6厘米的正方體的表面積和體積無法比較。
原題干說法錯誤。
故答案為：×
三、選擇題（滿分10分）
16．（2分）用四個同樣的小長方體拼成不同的大長方體（如下圖）。甲體積（ ）乙體積；甲表面積（ ）乙表面積。
A．大于；小于 B．等于；小于 C．等于；大于 D．不確定
【答案】B
【分析】根據數量相同的小長方體拼成的大長方體體積相等，數量相同的小長方體拼成的大長方體的表面積與拼接面的數量和大小有關即可解答。
【解答】因為四個小長方體完全相同，拼接甲長方體的小長方體的個數與乙長方體的個數相等，
所以甲長方體的體積等于乙長方體的體積；
因為乙的重合面面積小于甲的重合面面積，因此乙的表面積大于甲的表面積，
所以甲的表面積小于乙的表面積；
故答案為：。
【點評】本題考查了體積和表面積的概念，理解體積和表面積的概念是解題的關鍵。
17．（2分）琪琪有一個長方體，把它分割成如圖的幾個小正方體，原來長方體的表面積是162平方厘米，這個長方體的體積是（ ）立方厘米。
A．40.5 B．81 C．108 D．162
【答案】C
【分析】觀察可知，這個長方體的表面可以分成（4×4＋2）個小正方形，長方體的寬和高都等于小正方形的邊長，長方體表面積÷小正方形個數＝每個小正方形的面積，根據正方形面積＝邊長×邊長，確定長方體的寬和高，小正方形邊長×4＝長方體的寬，根據長方體體積＝長×寬×高，即可求出這個長方體的體積。
【解答】162÷（4×4＋2）
＝162÷（16＋2）
＝162÷18
＝9（平方厘米）
9＝3×3
3×4＝12（厘米）
12×3×3＝108（立方厘米）
這個長方體的體積是108立方厘米。
故答案為：C
18．（2分）一個長方體的長，寬，高分別是a厘米，b厘米，h厘米，如果高增加2厘米，則其體積增加（ ）立方厘米。
A．abh B．2ab C．2ah D．ab（h＋2）
【答案】B
【分析】如果高增加2厘米，則其增加的體積等于長a厘米、寬b厘米、高2厘米的長方體的體積，根據長方體的體積＝長×寬×高，代入數據計算即可解答。
【解答】a×b×2＝2ab（立方厘米）
所以一個長方體的長，寬，高分別是a厘米，b厘米，h厘米，如果高增加2厘米，則其體積增加2ab立方厘米。
故答案為：B
19．（2分）下列各圖中，不能折成正方體的是（ ）。
A．B． C． D．
【答案】C
【分析】正方體展開圖一共有11種。
（1）“1－4－1”型： 中間4個一連串，兩邊各一隨便放。
（2）“2－3－1”型： 二三緊連錯一個，三一相連一隨便。
（3）“2－2－2”型：兩兩相連各錯一。
（4）“3－3”型：三個兩排一對齊。
據此解答。
【解答】A．符合正方體展開圖“1－4－1”型的特點，能折成正方體；
B．符合正方體展開圖“2－3－1”型的特點，能折成正方體；
C．不符合正方體展開圖的特點，不能折成正方體；
D．符合正方體展開圖“1－4－1”型的特點，能折成正方體。
故答案為：C
20．（2分）把一個棱長為1分米的正方體木塊切成棱長為1厘米的正方體小木塊，再把這些切成的小木塊拼成一排放在地面上，共占地（ ）平方分米。
A．1 B．10 C．100 D．1000
【答案】B
【分析】一個棱長為1分米的正方體體積是1立方分米，棱長為1厘米的正方體的體積為1立方厘米，1立方分米＝1000立方厘米，故可以切1000個這樣的正方體小木塊，邊長l厘米的正方形面積是1平方厘米，1000個這樣的小正方體占地1000平方厘米，1平方分米＝100平方厘米，將1000平方厘米換算成平方米即可解答。
【解答】由分析可知，每個小正方體占地面積為1平方厘米，1000個棱長為1厘米的小正方體占地面積為1000平方厘米，
1平方分米＝100平方厘米
1000÷100＝10
1000平方厘米＝10平方分米
即把這些切成的小木塊拼成一排放在地面上，共占地10平方分米。
故答案為：B
四、計算題（滿分6分）
21．（6分）計算下列圖形的表面積和體積。（單位：厘米）
【答案】（1）1312平方厘米；2688立方厘米
（2）312平方厘米；304立方厘米
【分析】（1）長方體的表面積＝（長×寬＋長×高＋寬×高）×2，長方體的體積＝長×寬×高，代入數據計算即可；
（2）組合體的表面積等于下面長方體的表面積加上面正方體的側面積，組合體的體積等于下面長方體的體積加上面正方體的體積，正方體的側面積＝棱長×棱長×4，正方體的體積＝棱長×棱長×棱長，結合長方體的表面積和體積公式，代入數據計算即可。
【解答】（1）
（平方厘米）
（立方厘米）
長方體的表面積是1312平方厘米，體積是2688立方厘米。
（2）
（平方厘米）
（立方厘米）
組合體的表面積是312平方厘米，體積是304立方厘米。
五、作圖題（滿分6分）
22．（6分）如圖，在一個正方體的上面涂滿了顏色，前、后、左、右面涂了顏色，底面不涂顏色，在下面方格紙里畫出正方體展開圖的涂色部分。
【答案】見詳解
【分析】由正方體的展開圖可知，涂滿了顏色的為上面，則中間一行左起第一個為底面，不涂色，最下面一個正方形是前面、要涂色，中間左起第二個是右面，要涂色，最右一列下面的小正方形是左面，要涂色，最右一列上面是后面，要涂色，（前、后、左、右面涂了顏色，但沒說圖多少，只要涂色就對）。所以本題畫法不唯一。
【解答】作圖如下：
六、解答題（滿分48分）
23．（6分）媽媽給奶奶準備了一件母親節的禮物，她用絲帶把禮物按照下圖的方法捆扎，打結處需要50厘米絲帶。捆綁這個禮物一共需要多少厘米絲帶？
【答案】250厘米
【分析】觀察圖形可知，絲帶的長度＝兩條長的長度＋兩條寬的長度＋四條高的長度＋打結處的長度，據此進行計算即可。
【解答】50×2＋30×2＋10×4＋50
＝100＋60＋40＋50
＝160＋40＋50
＝200＋50
＝250（厘米）
答：捆綁這個禮物一共需要250厘米絲帶。
24．（6分）在氣象興趣小組的一次活動中，老師為每位同學準備了一套“太空氣象站”材料套裝（如圖所示），這個材料套裝的表面積是多少平方分米？體積是多少立方分米？
【答案】30平方分米；9立方分米
【分析】1分米＝10厘米＝100毫米，據此先將套裝的長、寬、高單位換算到分米。長方體表面積＝（長×寬＋長×高＋寬×高）×2，長方體體積＝長×寬×高。根據長方體的表面積公式，列式求出這個套裝的表面積。根據長方體的體積公式，列式求出這個套裝的體積。
【解答】300毫米＝3分米，100毫米＝1分米
（3×1＋3×3＋1×3）×2
＝（3＋9＋3）×2
＝15×2
＝30（平方分米）
3×1×3＝9（立方分米）
答：這個材料套裝的表面積是30平方分米，體積是9立方分米。
25．（6分）普安紅茶是黔西南州普安縣特產，中國國家地理標志產品。李阿姨購買了一盒普安紅茶，盒子近似于一個長34厘米，寬15厘米，高7厘米的長方體。做一個這樣的盒子至少需要材料多少平方厘米，合多少平方分米？（接頭處忽略不計）
【答案】1706平方厘米；17.06平方分米
【分析】長方體表面積＝（長×高＋寬×高＋長×寬）×2，據此列式計算出這個盒子的表面積，即需要材料多少平方厘米，再根據“1平方分米＝100平方厘米”進行單位換算。
【解答】（34×7＋15×7＋34×15）×2
＝（238＋105＋510）×2
＝853×2
＝1706（平方厘米）
1706平方厘米＝17.06平方分米
答：做一個這樣的盒子至少需要材料1706平方厘米，合17.06平方分米。
26．（6分）春游結束后，學校給每名學生準備了一個長方體形狀的大禮包，現在需要把這些禮包用絲帶綁扎起來，打結處需要15厘米，10個大禮包至少需要多長的絲帶？如果用彩紙包裝，1個大禮包至少需要多少平方厘米的彩紙？
【答案】1290厘米；1340平方厘米
【分析】觀察圖形可知，1個禮品盒用的絲帶含2個長，2個寬，4個高，再加上打結處用的部分長度，計算出1個禮品盒需要彩帶的長度，再乘10，即可解答；
求1個大禮包至少需要彩紙的面積，就是求這個禮品盒的表面積，根據長方體表面積公式：表面積＝（長×寬＋長×高＋寬×高）×2，代入數據，即可解答。
【解答】（25×2＋12×2＋10×4＋15）×10
＝（50＋24＋40＋15）×10
＝（74＋40＋15）×10
＝（114＋15）×10
＝129×10
＝1290（厘米）
（25×12＋25×10＋12×10）×2
＝（300＋250＋120）×2
＝（550＋120）×2
＝670×2
＝1340（平方厘米）
答：10個大禮包至少需要1290厘米長的絲帶，1個大禮包至少需要1340平方厘米的彩紙。
27．（6分）學校要粉刷會議室。已知會議室的長是20米，寬是15米，高是4米，門窗的面積是31.5平方米。如果每平方米需要花7元涂料費，粉刷這個會議室需要多少涂料費？
【答案】3839.5元
【分析】粉刷會議室時，地面不用刷，那么需要粉刷的是會議室的上面、前面、后面、左面、右面。根據“長×寬＋長×高×2＋寬×高×2”求出這五個面的面積和，再減去門窗的面積，求出需要粉刷的總面積。將需要粉刷的總面積乘7，求出涂料費。
【解答】20×15＋20×4×2＋15×4×2－31.5
＝300＋160＋120－31.5
＝580－31.5
＝548.5（平方米）
548.5×7＝3839.5（元）
答：粉刷這個會議室需要3839.5元涂料費。
28．（6分）“冰立方”是長和寬均為177米，高為31米的長方體建筑。國家游泳中心從“水立方”到“冰立方”的自由轉換高度切合了綠色共享的辦奧理念，是世界上唯一水上項目和冰上項目均可運行的“雙奧”場館。
小亮想利用一根長56.6厘米的鐵絲搭建出一個長6.5厘米、寬6.5厘米的“冰立方”的模型，這個“冰立方”的高為多少厘米？
【答案】1.15厘米
【分析】“冰立方”是一個長方體，根據題意可知，小亮想利用一根長56.6厘米的鐵絲做一個長方體，即長方體的棱長和為56.6厘米，已知長方體的長6.5厘米、寬6.5厘米，根據長方體的棱長和＝（長＋寬＋高）×4，所以長方體的高＝棱長和÷4－長－寬，由此可計算出這個“冰立方”模型的高。
【解答】56.6÷4－6.5－6.5
＝14.15－6.5－6.5
＝7.65－6.5
＝1.15（厘米）
答：這個“冰立方”模型的高為1.15厘米。
29．（6分）如圖，一個無蓋的長方體玻璃魚缸，長50厘米、寬30厘米、高25厘米。
現將一塊高14厘米，體積為1000立方厘米的假石山放入缸內。如果水龍頭以每分5000毫升的流量向魚缸內注水，那么至少需要多少分鐘才能將假石山完全淹沒？
【答案】4分鐘
【分析】根據題意，要將一塊高14厘米，體積為1000立方厘米的假石山完全淹沒，那么要向長方體魚缸內注入14厘米高的水；根據長方體的體積＝長×寬×高，求出將假石山完全浸沒水和假山石的體積之和，再減去假山石的體積，即是需注入水的體積；然后根據進率“1立方厘米＝1毫升”換算單位；
已知水龍頭以每分5000毫升的流量向魚缸內注水，用注入水的體積除以水的流速，即可求出時間。
【解答】50×30×14
＝1500×14
＝21000（立方厘米）
21000－1000＝20000（立方厘米）
20000立方厘米＝20000毫升
20000÷5000＝4（分鐘）
答：至少需要4分鐘才能將假石山完全淹沒。
30．（6分）（如下圖）一塊長方體木塊，從上部和下部分別截去高3厘米和2厘米的小長方體后，成為一個正方體。表面積減少120平方厘米，原來長方體體積是多少立方厘米？
【答案】396立方厘米
【分析】根據題意，把從長方體木塊的上部和下部分別截去高3厘米和2厘米的小長方體，看作把長方體的高截去（3＋2）厘米，表面積減少120平方厘米，變成一個正方體，說明原來長方體的長、寬相等；
減少的表面積是4個完全一樣的長方形的面積，長方形的寬是（3＋2）厘米，長是原來長方體的長或寬；用減少的表面積除以4，求出一個長方形的面積，然后除以（3＋2），即可求出原來長方體的長、寬；再用長方體的長或寬加上（3＋2）厘米，得到原來長方體的高；
最后根據長方體的體積＝長×寬×高，求出原來長方體的體積。
【解答】原來長方體的長、寬：
120÷4÷（3＋2）
＝120÷4÷5
＝6（厘米）
原來長方體的高：
3＋2＋6＝11（厘米）
原來長方體的體積：
6×6×11
＝36×11
＝396（立方厘米）
答：原來長方體體積是396立方厘米。
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21世紀教育網(www.21cnjy.com)2024-2025學年五年級下冊數學易錯題型
第三單元 長方體和正方體
（知識梳理+典例精講+培優必刷）
【知識點一】長方體和正方體的認識
1、長方體的特征：長方體是由6個長方形（特殊情況下由2個相對的面是正方形）圍成的立體圖形。長方體有6個面，相對的面完全相同；有12條棱，相對的棱長度相等；有8個頂點。
2、相交與一個頂點的3條棱的長度分別叫作長方體的長、寬、高，長方體的12條棱中有4條長、4條寬和4調高。
3、正方體是由6個完全相同的正方形圍成的立體圖形。正方形有12條棱，每條棱的長度都相等；正方體有8個頂點。
4、正方體可以堪稱長、寬、高都相等的長方體。正方體是特殊的長方體。
5、認識長方體和正方體的展開圖。
【知識點二】長方體和正方體的表面積
1、長方體或正方體6個面的總面積，叫做它的表面積。
2、長方體的表面積=(長×寬+長×高+寬×高)×2。
用字母表示:S=(ab+ah+bh)×2。
3、正方體的表面積=棱長×棱長×6。
用字母表示:S=6a2。
【知識點三】長方體和正方體的體積
1、體積單位
（1）物體所占空間的大小叫做物體的體積。
（2）常用的體積單位有立方厘米、立方分米和立方米，可以分別寫成cm3、dm3、m3。
棱長是1cm的正方體，體積是1cm3;
棱長是1dm的正方體，體積是1dm3;
棱長是1m的正方體，體積是1m3。
2、體積計算公式
（1）長方體的體積=長×寬×高。
用字母表示:V=abh。
（2）正方體的體積=棱長×棱長×棱長。
用字母表示:V=a3。
【知識點四】體積單位間的進率
體積單位換算：1立方分米=1000立方厘米　1立方米=1000立方分米
相鄰的兩個體積單位間的進率是1000。
【知識點五】容積單位
1、容積單位
（1）容器所能容納物體的體積，通常叫做它們的容積。
（2）計量容積，一般用體積單位。計量液體的體積，如水、油等，常用容積單位升和毫升，也可以寫作L或mL。
（3）容積單位的換算:1升=1000毫升
容積單位和體積單位的關系:1升=1立方分米
1毫升=1立方厘米
【考點一】長方體和正方體的認識
【典例一】圖中一共有（ ）個小正方體，不改變小正方體的位置，至少再添（ ）個同樣的小正方體才可以搭成一個大正方體。
【典例二】用一根長為132厘米的鐵絲圍成一個正方體的模型，棱長是（ ）厘米，如果圍成一個長方體的模型，一條長、寬、高的和是（ ）厘米．
【典例三】心靈手巧的小美要用一根長10m的繩子給禮盒做裝飾（方法如圖），結頭處繩長30cm，這根繩子最多可捆扎幾個這樣的禮盒？
【考點二】長方體和正方體的表面積
【典例一】一根鋼管，它的橫截面面積是20平方厘米，把它截成4段，表面積增加了（ ）。
A． B． C． D．
【典例二】用長6cm、寬3cm、高1cm的兩個小長方體拼成一個大長方體。這個大長方體的表面積最小是（ ）cm2，表面積最大是（ ）cm2。
【典例三】如圖，小明的臥室是一個長方體，長5米，寬4米，高2.7米，臥室有一扇門與客廳相通，門高2米，寬1米，在另一面墻上距地面1米處有一個長1.5米，高1米的窗子。現在要對臥室進行如下裝修。
（1）給地面鋪上的地磚，每塊地磚的價格是16元，買地磚需多少元？
（2）從地面向上給四周的墻壁貼上1米高的木板，需木板多少平方米？
【考點三】體積和體積單位
【典例一】一段長為2米的長方體木料，底面是邊長3cm的正方形，這段木料的體積是（ ）dm3。
A．600 B．18 C．1.8 D．1800
【分析】
木料的體積＝底面積×高（木料的長度），據此解答。
【詳解】
2米＝20分米，3厘米＝0.3分米
0.3×0.3×20
＝0.09×20
＝1.8（立方分米）
故選擇：C
【點睛】
此題考查長方體的體積計算，牢記公式，找準對應的底面積和高是解題關鍵。注意換算單位。
【典例二】如圖：在棱長是1分米的正方體中挖下一個棱長4厘米的小正方體，剩下部分的表面積是（ ）平方分米。剩下部分的體積是（ ）立方分米。
【典例三】游泳池的長為225米，寬為10米，深為1.6米。
（1）這個游泳池的占地面積是多少平方米？
（2）如果在游泳池的四周和池底貼上瓷磚，貼瓷磚部分的面積是多少平方米？
（3）游泳池的體積是多少立方米？
【考點四】體積單位間的進率
【典例一】一根長方體方木，橫截面積是40平方厘米，長6.5米，它的體積是（ ） 立方厘米．
A．260 B．26000 C．0.26
【典例二】有一個長60厘米，寬50厘米的長方體水缸，把買的西瓜完全浸入在水里，水面上升了3厘米。這個西瓜的體積是多少立方分米？
【典例三】一個無蓋的魚缸，長1.2m，寬80cm，高6dm，這個魚缸可以放多少立方分米的水？
【考點五】容積和容積單位
【典例一】一個魚缸最多能容納100升的水，這個魚缸的體積可能是（ ）。
A．98立方分米 B．99立方分米 C．100立方分米 D．102立方分米
【典例二】一個長方體的無蓋鐵皮水箱，長0.8米，寬0.65米，高0.6米。做這個水箱至少需要鐵皮（ ）平方米。如果每升水重1千克，這個水箱最多能裝水（ ）千克。（鐵皮厚度不計）
【典例三】要挖一個長9米，寬5米，深3米的蓄水池。
（1）這個蓄水池的占地面積是多少平方米？
（2）如果要給這個蓄水池的四周和底部抹上水泥，抹水泥部分的面積是多少平方米？
（3）這個水池能蓄水多少升？
一、填空題（滿分20分）
1．（2分）如圖，一根長12dm的長方體木料，把它鋸成4個大小不等的長方體后，總表面積比原來增加了9dm2，這根木料的原體積是( )dm3。
2．（2分）包裝一個棱長是9cm的正方體禮品盒，實際用紙是表面積的1.2倍，包裝好這個禮品盒實際用紙( )平方厘米，這個禮品盒的體積是 ( )立方分米。
3．（2分）一個無蓋的正方體蓄水箱，棱長0.8m（厚度忽略不計）。這個蓄水箱的占地面積是( )m2，它的容積是( )m3。
4．（2分）一種長方體餅干盒的長20cm，寬10cm，高5cm，把3個這樣的餅干盒包裝在一起，至少需要( )cm2的包裝紙。（拼接處不計）
5．（2分）如圖，小涵把三個棱長為5厘米的正方體拼成一個長方體，表面積比原來減少( )平方厘米。
6．（2分）用2個長5分米，寬3分米，高2分米的長方體拼成一個大長方體，表面積最多減少( )平方分米，最少減少( )平方分米。
7．（2分）下圖是用棱長1厘米的正方體擺成的物體。至少添加( )個這樣的正方體，才能把它補成一個大正方體，大正方體的表面積是( )平方厘米。
8．（2分）一個正方體的六個面上分別標上了數字1～6，下面是從三個不同角度觀察到的情況，“5”這一面相對的面是數字( )。
9．（2分）王老師坐飛機從重慶——成都出差，在機場遇到如下規定：自帶行李總重量不超過5公斤，行李箱體積不超過20×40×55厘米，若超出航空公司規定的重量或尺寸，需要辦理托運并支付額外的行李費用。
王老師的行李箱長37cm，寬24cm，高60cm，行李總重量4.5kg，需要辦理托運嗎？( )。（選填“需要”或“不需要”）
10．（2分）一根鐵絲可以做成一個棱長為5cm的正方體框架，這根鐵絲長( )cm。如果要把它改做成一個長9cm，寬2cm的長方體框架，這個長方體框架的高是( )cm。
二、判斷題（滿分10分）
11．（2分）用長6厘米、寬5厘米、高3厘米做長方體框架，至少要一根長56厘米的鐵絲。( )
12．（2分）甲乙兩個立體圖形（如圖），體積不同，但是表面積一樣大。( )
13．（2分）把一塊體積為50立方厘米球形橡皮泥捏成一個正方體，那么這個正方體的體積也等于50立方厘米。( )
14．（2分）正方體的棱長擴大到原來的3倍，那么它的表面積擴大到原來的6倍，體積擴大到原來的9倍。( )
15．（2分）棱長是6厘米的正方體的表面積和體積相等。( )
三、選擇題（滿分10分）
16．（2分）用四個同樣的小長方體拼成不同的大長方體（如下圖）。甲體積（ ）乙體積；甲表面積（ ）乙表面積。
A．大于；小于 B．等于；小于 C．等于；大于 D．不確定
17．（2分）琪琪有一個長方體，把它分割成如圖的幾個小正方體，原來長方體的表面積是162平方厘米，這個長方體的體積是（ ）立方厘米。
A．40.5 B．81 C．108 D．162
18．（2分）一個長方體的長，寬，高分別是a厘米，b厘米，h厘米，如果高增加2厘米，則其體積增加（ ）立方厘米。
A．abh B．2ab C．2ah D．ab（h＋2）
19．（2分）下列各圖中，不能折成正方體的是（ ）。
A．B． C． D．
20．（2分）把一個棱長為1分米的正方體木塊切成棱長為1厘米的正方體小木塊，再把這些切成的小木塊拼成一排放在地面上，共占地（ ）平方分米。
A．1 B．10 C．100 D．1000
四、計算題（滿分6分）
21．（6分）計算下列圖形的表面積和體積。（單位：厘米）
五、作圖題（滿分6分）
22．（6分）如圖，在一個正方體的上面涂滿了顏色，前、后、左、右面涂了顏色，底面不涂顏色，在下面方格紙里畫出正方體展開圖的涂色部分。
六、解答題（滿分48分）
23．（6分）媽媽給奶奶準備了一件母親節的禮物，她用絲帶把禮物按照下圖的方法捆扎，打結處需要50厘米絲帶。捆綁這個禮物一共需要多少厘米絲帶？
24．（6分）在氣象興趣小組的一次活動中，老師為每位同學準備了一套“太空氣象站”材料套裝（如圖所示），這個材料套裝的表面積是多少平方分米？體積是多少立方分米？
25．（6分）普安紅茶是黔西南州普安縣特產，中國國家地理標志產品。李阿姨購買了一盒普安紅茶，盒子近似于一個長34厘米，寬15厘米，高7厘米的長方體。做一個這樣的盒子至少需要材料多少平方厘米，合多少平方分米？（接頭處忽略不計）
26．（6分）春游結束后，學校給每名學生準備了一個長方體形狀的大禮包，現在需要把這些禮包用絲帶綁扎起來，打結處需要15厘米，10個大禮包至少需要多長的絲帶？如果用彩紙包裝，1個大禮包至少需要多少平方厘米的彩紙？
27．（6分）學校要粉刷會議室。已知會議室的長是20米，寬是15米，高是4米，門窗的面積是31.5平方米。如果每平方米需要花7元涂料費，粉刷這個會議室需要多少涂料費？
28．（6分）“冰立方”是長和寬均為177米，高為31米的長方體建筑。國家游泳中心從“水立方”到“冰立方”的自由轉換高度切合了綠色共享的辦奧理念，是世界上唯一水上項目和冰上項目均可運行的“雙奧”場館。
小亮想利用一根長56.6厘米的鐵絲搭建出一個長6.5厘米、寬6.5厘米的“冰立方”的模型，這個“冰立方”的高為多少厘米？
29．（6分）如圖，一個無蓋的長方體玻璃魚缸，長50厘米、寬30厘米、高25厘米。
現將一塊高14厘米，體積為1000立方厘米的假石山放入缸內。如果水龍頭以每分5000毫升的流量向魚缸內注水，那么至少需要多少分鐘才能將假石山完全淹沒？
30．（6分）（如下圖）一塊長方體木塊，從上部和下部分別截去高3厘米和2厘米的小長方體后，成為一個正方體。表面積減少120平方厘米，原來長方體體積是多少立方厘米？
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