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專題提升二十一　帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)
題型1　帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)
　　　　　 　　　　　　　　　　
考向1　直線邊界磁場(chǎng)
直線邊界(進(jìn)出磁場(chǎng)具有對(duì)稱性,如圖所示)。
【典例1】　
如圖所示,直線MN上方有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng),電子1從磁場(chǎng)邊界上的a點(diǎn)垂直MN和磁場(chǎng)方向射入磁場(chǎng),經(jīng)t1時(shí)間從b點(diǎn)離開磁場(chǎng)。之后電子2也由a點(diǎn)沿圖示方向以相同速率垂直磁場(chǎng)方向射入磁場(chǎng),經(jīng)t2時(shí)間從a、b連線的中點(diǎn)c離開磁場(chǎng),則t1∶t2為(　　)
A.3∶1 B.2∶3
C.3∶2 D.2∶1
考向2　平行直線邊界磁場(chǎng)
平行邊界(存在臨界條件,如圖所示)。
【典例2】　
如圖,真空區(qū)域有寬度為l、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng),方向如圖所示,MN、PQ是磁場(chǎng)的邊界。質(zhì)量為m、電荷量為q的正電荷粒子(不計(jì)重力)沿著與MN夾角為60°的方向射入磁場(chǎng)中,剛好沒能從PQ邊界射出磁場(chǎng)。下列說法正確的是(　　)
A.粒子射入磁場(chǎng)的速度大小為
B.粒子射入磁場(chǎng)的速度大小為
C.粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為
D.粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為
考向3　圓形邊界磁場(chǎng)
圓形邊界(沿徑向射入必沿徑向射出,如圖所示)。
【典例3】　
(多選)(2023·全國(guó)甲卷)光滑剛性絕緣圓筒內(nèi)存在著平行于軸的勻強(qiáng)磁場(chǎng),筒上P點(diǎn)開有一個(gè)小孔,過P的橫截面是以O(shè)為圓心的圓,如圖所示。一帶電粒子從P點(diǎn)沿PO射入,然后與筒壁發(fā)生碰撞。假設(shè)粒子在每次碰撞前、后瞬間,速度沿圓上碰撞點(diǎn)的切線方向的分量大小不變,沿法線方向的分量大小不變、方向相反;電荷量不變,不計(jì)重力。下列說法正確的是(　　)
A.粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡可能通過圓心O
B.最少經(jīng)2次碰撞,粒子就可能從小孔射出
C.射入小孔時(shí)粒子的速度越大,在圓內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)間越短
D.每次碰撞后瞬間,粒子速度方向一定平行于碰撞點(diǎn)與圓心O的連線
考向4　三角形、四邊形邊界磁場(chǎng)
帶電粒子在三角形或多邊形邊界的磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)問題,應(yīng)充分利用幾何圖形的信息解題。
【典例4】　
如圖所示,在邊長(zhǎng)為2a的正三角形區(qū)域內(nèi)存在方向垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng),一個(gè)質(zhì)量為m、電荷量為-q(q>0)的帶電粒子(重力不計(jì))從AB邊的中心O以速度v進(jìn)入磁場(chǎng),粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度方向垂直于磁場(chǎng)且與AB邊的夾角為60°,若要使粒子能從AC邊穿出磁場(chǎng),則勻強(qiáng)磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小B需滿足(　　)
A.B> B.B<
C.B> D.B<
題型2　帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的多解問題
　　　　　 　　　　　　　　　　
考向1　帶電粒子電性不確定形成多解
受洛倫茲力作用的帶電粒子,可能帶正電,也可能帶負(fù)電,在相同的初速度條件下,正、負(fù)粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡不同,因而形成多解。
【典例5】　
(多選)如圖所示,在邊長(zhǎng)為L(zhǎng)的正方形PQMN區(qū)域內(nèi)存在垂直紙面向外、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng),在MN邊界放一剛性擋板,粒子能碰到擋板則能夠以原速率彈回。一質(zhì)量為m、帶電荷量為q的粒子以某一速度從P點(diǎn)射入,恰好從Q點(diǎn)射出,下列說法正確的是(　　)
A.帶電粒子一定帶負(fù)電荷
B.帶電粒子的速度最小值為
C.若帶電粒子與擋板碰撞,則受到擋板作用力的沖量為
D.帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間可能為
考向2　磁場(chǎng)方向不確定形成多解
有些題目只告訴了磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小,而未具體指出磁場(chǎng)的方向,此時(shí)必須考慮由磁場(chǎng)方向不確定而形成的多解。
【典例6】　(多選)一質(zhì)量為m,電荷量為q的負(fù)電荷(重力不計(jì))在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中繞固定的正電荷做勻速圓周運(yùn)動(dòng),若磁場(chǎng)方向垂直于它的運(yùn)動(dòng)平面,且作用在負(fù)電荷的電場(chǎng)力恰好是磁場(chǎng)力的三倍,則負(fù)電荷做圓周運(yùn)動(dòng)的角速度可能是(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
考向3　臨界狀態(tài)不唯一形成多解
如圖所示,帶電粒子在洛倫茲力作用下飛越有界磁場(chǎng)時(shí),由于粒子運(yùn)動(dòng)軌跡是圓弧狀,因此,它可能直接穿過去了,也可能轉(zhuǎn)過 180°從入射界面反向飛出,于是形成了多解。
【典例7】　
(多選)長(zhǎng)為l的水平極板間有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng),如圖所示。磁感應(yīng)強(qiáng)度為B,板間距離也為l,極板不帶電。現(xiàn)有質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子(不計(jì)重力),從左邊極板間中點(diǎn)處垂直磁感線以速度v水平射入磁場(chǎng),欲使粒子不打在極板上,可采用的辦法是(　　)
A.使粒子的速度v<
B.使粒子的速度v>
C.使粒子的速度v>
D.使粒子的速度考向4　運(yùn)動(dòng)的周期性形成多解
帶電粒子在兩個(gè)相鄰磁場(chǎng)或電場(chǎng)、磁場(chǎng)相鄰的空間內(nèi)形成周期性的運(yùn)動(dòng)而形成多解。
【典例8】　(多選)(2022·湖北卷)
在如圖所示的平面內(nèi),分界線SP將寬度為L(zhǎng)的矩形區(qū)域分成兩部分,一部分充滿方向垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng),另一部分充滿方向垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng),磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B,SP與磁場(chǎng)左右邊界垂直。離子源從S處射入速度大小不同的正離子,離子入射方向與磁場(chǎng)方向垂直且與SP成30°角。已知離子比荷為k,不計(jì)重力。若離子從Р點(diǎn)射出,設(shè)出射方向與入射方向的夾角為θ,則離子的入射速度和對(duì)應(yīng)θ角的可能組合為(　　)
A.kBL,0° B.kBL,0°
C.kBL,60° D.2kBL,60°
專題提升二十一　帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)
題型1
【典例1】　A　解析　電子在磁場(chǎng)中都做勻速圓周運(yùn)動(dòng),根據(jù)題意畫出電子的運(yùn)動(dòng)軌跡,如圖所示,電子1垂直射進(jìn)磁場(chǎng),從b點(diǎn)離開,則運(yùn)動(dòng)了半個(gè)圓周,ab即為直徑,c點(diǎn)為圓心,電子2以相同速率垂直磁場(chǎng)方向射入磁場(chǎng),經(jīng)t2時(shí)間從a、b連線的中點(diǎn)c離開磁場(chǎng),根據(jù)半徑r=可知,電子1和2的半徑相等,根據(jù)幾何關(guān)系可知,△aOc為等邊三角形,則粒子2轉(zhuǎn)過的圓心角為60°,所以電子1運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t1==,電子2運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t2==,所以=3,A項(xiàng)正確。
【典例2】　C　解析　根據(jù)題意可以分析粒子到達(dá)PQ邊界時(shí)速度方向與邊界線相切,如圖所示,則根據(jù)幾何關(guān)系可知l=r+rsin 30°,在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng),洛倫茲力提供向心力qvB=m,解得v=,A、B兩項(xiàng)錯(cuò)誤;由粒子運(yùn)動(dòng)軌跡可知粒子轉(zhuǎn)過的圓心角為240°,粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期為T==,粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t=T=,C項(xiàng)正確,D項(xiàng)錯(cuò)誤。
【典例3】　BD　解析　假設(shè)粒子帶負(fù)電,作出粒子在圓筒中的幾種可能的運(yùn)動(dòng)情況。如圖甲所示,由幾何關(guān)系可知△O1PO≌△O1QO,所以∠O1PO=∠O1QO,又粒子沿直徑射入,∠O1PO=90°,則∠O1QO=90°,O1Q⊥OQ,則每次碰撞后瞬間,粒子速度方向一定平行于碰撞點(diǎn)與圓心O的連線,D項(xiàng)正確;粒子在圓筒中先做圓周運(yùn)動(dòng),與圓筒碰后速度反向,繼續(xù)做圓周運(yùn)動(dòng),粒子第一次與筒壁碰撞的運(yùn)動(dòng)過程中軌跡不過圓心,之后軌跡也不可能過圓心,A項(xiàng)錯(cuò)誤;粒子最少與圓筒碰撞2次,就可能從小孔射出,如圖乙所示,B項(xiàng)正確;根據(jù)qvB=m可知,r=,則射入小孔時(shí)粒子的速度越大,粒子的軌跡半徑越大,與圓筒碰撞次數(shù)可能會(huì)增多,在圓內(nèi)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間不一定越短,如圖丙所示,C項(xiàng)錯(cuò)誤。
甲乙
丙
【典例4】　B　解析　若粒子剛好過C點(diǎn)時(shí),其運(yùn)動(dòng)軌跡與AC相切,如圖所示,則粒子運(yùn)動(dòng)的半徑為r0==a。由qvB=得r=,粒子要能從AC邊射出,粒子運(yùn)行的半徑應(yīng)滿足r>r0,解得B<,B項(xiàng)正確。
題型2
【典例5】　BCD　解析　若粒子帶正電,與擋板MN碰撞后恰好從Q點(diǎn)射出,設(shè)軌跡半徑為r2,運(yùn)動(dòng)軌跡如圖甲所示,由圖中幾何關(guān)系可得L2+(r2-0.5L)2=,解得r2=L,由洛倫茲力提供向心力qv2B=m,解得v2=,由動(dòng)量定理得I=2mv2=,A項(xiàng)錯(cuò)誤,C項(xiàng)正確;若粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖乙所示,由左手定則可知,粒子帶負(fù)電,粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑最小,速度最小,軌跡半徑r1=,由qv1B=m,解得v1=,B項(xiàng)正確;若粒子帶負(fù)電,運(yùn)動(dòng)軌跡如圖丙所示,當(dāng)軌跡半徑等于L時(shí),此時(shí)轉(zhuǎn)過的圓心角為60°,所以在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t==,D項(xiàng)正確。
甲　　乙
丙
【典例6】　AC　解析　依題中條件“磁場(chǎng)方向垂直于它的運(yùn)動(dòng)平面”,磁場(chǎng)方向有兩種可能,且這兩種可能方向相反。在方向相反的兩個(gè)勻強(qiáng)磁場(chǎng)中,由左手定則可知負(fù)電荷所受的洛倫茲力的方向也是相反的。當(dāng)負(fù)電荷所受的洛倫茲力與電場(chǎng)力方向相同時(shí),根據(jù)牛頓第二定律可知4Bqv=m,得v=,此種情況下,負(fù)電荷運(yùn)動(dòng)的角速度為ω==;當(dāng)負(fù)電荷所受的洛倫茲力與電場(chǎng)力方向相反時(shí),有2Bqv=m,v=,此種情況下,負(fù)電荷運(yùn)動(dòng)的角速度為ω==,A、C兩項(xiàng)正確。
【典例7】　AB　解析　若帶電粒子剛好打在極板右邊緣,有=r1-2+l2,又因r1=,解得v1=;若粒子剛好打在極板左邊緣時(shí),有r2==,解得v2=,A、B兩項(xiàng)正確。
【典例8】　BC　解析　若粒子通過下部分磁場(chǎng)直接到達(dá)P點(diǎn),如圖甲所示,根據(jù)幾何關(guān)系有R=L,由qvB=m得v==kBL,根據(jù)對(duì)稱性可知出射速度與SP成30°角向上,故出射方向與入射方向的夾角為θ=60°。當(dāng)粒子上下均經(jīng)歷一次時(shí),如圖乙所示,因?yàn)樯舷麓鸥袘?yīng)強(qiáng)度均為B,則根據(jù)對(duì)稱性有R=L,根據(jù)洛倫茲力提供向心力有qvB=m,可得v==kBL,此時(shí)出射方向與入射方向相同,即出射方向與入射方向的夾角為θ=0°。通過以上分析可知當(dāng)粒子從下部分磁場(chǎng)射出時(shí),需滿足v==kBL(n=1,2,3……),此時(shí)出射方向與入射方向的夾角為θ=60°;當(dāng)粒子從上部分磁場(chǎng)射出時(shí),需滿足v==kBL(n=1,2,3……),此時(shí)出射方向與入射方向的夾角為θ=0°。綜上所述,B、C兩項(xiàng)正確,A、D兩項(xiàng)錯(cuò)誤。
甲
乙(共34張PPT)
專題提升二十一
帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)
第十一章　磁場(chǎng)
題型1　帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)
題型2　帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的多解問題
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索引
帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)
題型1
考向1
直線邊界磁場(chǎng)
直線邊界(進(jìn)出磁場(chǎng)具有對(duì)稱性，如圖所示)。
【典例1】　如圖所示，直線MN上方有垂
直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，電子1從磁場(chǎng)邊
界上的a點(diǎn)垂直MN和磁場(chǎng)方向射入磁場(chǎng)，
經(jīng)t1時(shí)間從b點(diǎn)離開磁場(chǎng)。之后電子2也由a
點(diǎn)沿圖示方向以相同速率垂直磁場(chǎng)方向射
入磁場(chǎng)，經(jīng)t2時(shí)間從a、b連線的中點(diǎn)c離開磁場(chǎng)，則t1∶t2為( )
A.3∶1 B.2∶3
C.3∶2 D.2∶1
電子在磁場(chǎng)中都做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)題意
畫出電子的運(yùn)動(dòng)軌跡，如圖所示，電子1垂
直射進(jìn)磁場(chǎng)，從b點(diǎn)離開，則運(yùn)動(dòng)了半個(gè)圓
周，ab即為直徑，c點(diǎn)為圓心，電子2以相同
速率垂直磁場(chǎng)方向射入磁場(chǎng)，經(jīng)t2時(shí)間從a、b連線的中點(diǎn)c離開磁場(chǎng)，根據(jù)半徑r=可知，電子1和2的半徑相等，根據(jù)幾何關(guān)系可
解析
知，△aOc為等邊三角形，則粒子2轉(zhuǎn)過的圓心角為60°，所以電子1運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t1==，電子2運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t2==，所以=3，A項(xiàng)正確。
解析
考向2
平行直線邊界磁場(chǎng)
平行邊界(存在臨界條件，如圖所示)。
【典例2】　如圖，真空區(qū)域有寬度為l、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng),方向如圖所示，MN、PQ是磁場(chǎng)的邊界。質(zhì)量為m、電荷量為q的正電荷粒子(不計(jì)重力)沿著與MN夾角為60°的方向射入磁場(chǎng)中，剛好沒能從PQ邊界射出磁場(chǎng)。下列說法正確的是( )
A.粒子射入磁場(chǎng)的速度大小為
B.粒子射入磁場(chǎng)的速度大小為
C.粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為
D.粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為
根據(jù)題意可以分析粒子到達(dá)PQ邊界時(shí)速度方向與
邊界線相切，如圖所示，則根據(jù)幾何關(guān)系可知l=r+
rsin 30°，在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向
心力qvB=m，解得v=，A、B兩項(xiàng)錯(cuò)誤；由粒
子運(yùn)動(dòng)軌跡可知粒子轉(zhuǎn)過的圓心角為240°，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期為T==，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t=T=，C項(xiàng)正確，D項(xiàng)錯(cuò)誤。
解析
考向3
圓形邊界磁場(chǎng)
圓形邊界(沿徑向射入必沿徑向射出，如圖所示)。
【典例3】　(多選)(2023·全國(guó)甲卷)光滑剛性
絕緣圓筒內(nèi)存在著平行于軸的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，筒上
P點(diǎn)開有一個(gè)小孔，過P的橫截面是以O(shè)為圓心
的圓，如圖所示。一帶電粒子從P點(diǎn)沿PO射入，
然后與筒壁發(fā)生碰撞。假設(shè)粒子在每次碰撞前、后瞬間，速度沿圓上碰撞點(diǎn)的切線方向的分量大小不變，沿法線方向的分量大小不變、方向相反；電荷量不變，不計(jì)重力。下列說法正確的是( )
A.粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡可能通過圓心O
B.最少經(jīng)2次碰撞，粒子就可能從小孔射出
C.射入小孔時(shí)粒子的速度越大，在圓內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)間越短
D.每次碰撞后瞬間，粒子速度方向一定平行于碰撞點(diǎn)與圓心O的連線
假設(shè)粒子帶負(fù)電，作出粒子在圓筒中的幾種可能的運(yùn)動(dòng)情況。如圖甲所示，由幾何關(guān)系可知△O1PO≌△O1QO，所以∠O1PO=
∠O1QO，又粒子沿直徑射入，∠O1PO=90°，則∠O1QO=90°，O1Q⊥OQ，則每次碰撞后瞬間，粒子速度方向一定平行于碰撞點(diǎn)與圓心O的連線，D項(xiàng)正確；粒子在圓筒中先做圓周運(yùn)動(dòng)，與圓筒碰后速度反向，繼續(xù)做圓周運(yùn)動(dòng)，粒子第一次與筒壁碰撞的運(yùn)動(dòng)過程中軌跡不過圓心，之后軌跡也不可能過圓心，A項(xiàng)錯(cuò)誤；粒子最少與圓筒碰撞2次，就可能從小孔射出，如圖乙所示，B項(xiàng)正
解析
確；根據(jù)qvB=m可知，r=，則射入小孔時(shí)粒子的速度越大，粒子的軌跡半徑越大，與圓筒碰撞次數(shù)可能會(huì)增多，在圓內(nèi)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間不一定越短，如圖丙所示，C項(xiàng)錯(cuò)誤。
解析
考向4
三角形、四邊形邊界磁場(chǎng)
帶電粒子在三角形或多邊形邊界的磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)問題，應(yīng)充分利用幾何圖形的信息解題。
【典例4】　如圖所示，在邊長(zhǎng)為2a的正三角形區(qū)域內(nèi)存在方向垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，一個(gè)質(zhì)量為m、電荷量為-q(q>0)的帶電粒子(重力不計(jì))從AB邊的中心O以速度v進(jìn)入磁場(chǎng)，粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度方向垂直于磁場(chǎng)且與AB邊的夾角為60°，若要使粒子能從AC邊穿出磁場(chǎng)，則勻強(qiáng)磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小B需滿足( )
A.B> B.B<
C.B> D.B<
若粒子剛好過C點(diǎn)時(shí)，其運(yùn)動(dòng)軌跡與AC相切，
如圖所示，則粒子運(yùn)動(dòng)的半徑為r0==
a。由qvB=得r=，粒子要能從AC邊
射出，粒子運(yùn)行的半徑應(yīng)滿足r>r0，解得B<，B項(xiàng)正確。
解析
帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的多解問題
題型2
考向1
帶電粒子電性不確定形成多解
受洛倫茲力作用的帶電粒子，可能帶正電，也可能帶負(fù)電，在相同的初速度條件下，正、負(fù)粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡不同，因而形成多解。
【典例5】　(多選)如圖所示，在邊長(zhǎng)為L(zhǎng)的正方形PQMN區(qū)域內(nèi)存在垂直紙面向外、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，在MN邊界放一剛性擋板，粒子能碰到擋板則能夠以原速率彈回。一質(zhì)量為m、帶電荷量為q的粒子以某一速度從P點(diǎn)射入，恰好從Q點(diǎn)射出，下列說法正確的是( )
A.帶電粒子一定帶負(fù)電荷
B.帶電粒子的速度最小值為
C.若帶電粒子與擋板碰撞，則受到擋板作用力的沖量為
D.帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間可能為
若粒子帶正電，與擋板MN碰撞后恰好從Q點(diǎn)射出，設(shè)軌跡半徑為r2，運(yùn)動(dòng)軌跡如圖甲所示，由圖中幾何關(guān)系可得L2+(r2-0.5L)2=,解得r2=L，由洛倫茲力提供向心力qv2B=m，解得v2=，由動(dòng)量定理得I=2mv2=，A項(xiàng)錯(cuò)誤，C項(xiàng)正確；若粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖乙所示，由左手定則可知，粒子帶負(fù)電，粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑最小，速度最小，軌跡半徑r1=，由qv1B=m，解得v1=，B
解析
項(xiàng)正確；若粒子帶負(fù)電，運(yùn)動(dòng)軌跡如圖丙所示，當(dāng)軌跡半徑等于L時(shí)，此時(shí)轉(zhuǎn)過的圓心角為60°，所以在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t==，D項(xiàng)正確。
解析
考向2
磁場(chǎng)方向不確定形成多解
有些題目只告訴了磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小，而未具體指出磁場(chǎng)的方向，此時(shí)必須考慮由磁場(chǎng)方向不確定而形成的多解。
【典例6】　(多選)一質(zhì)量為m，電荷量為q的負(fù)電荷(重力不計(jì))在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中繞固定的正電荷做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，若磁場(chǎng)方向垂直于它的運(yùn)動(dòng)平面，且作用在負(fù)電荷的電場(chǎng)力恰好是磁場(chǎng)力的三倍，則負(fù)電荷做圓周運(yùn)動(dòng)的角速度可能是( )
A. B. C. D.
依題中條件“磁場(chǎng)方向垂直于它的運(yùn)動(dòng)平面”，磁場(chǎng)方向有兩種可能，且這兩種可能方向相反。在方向相反的兩個(gè)勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，由左手定則可知負(fù)電荷所受的洛倫茲力的方向也是相反的。當(dāng)負(fù)電荷所受的洛倫茲力與電場(chǎng)力方向相同時(shí)，根據(jù)牛頓第二定律可知4Bqv=m，得v=，此種情況下，負(fù)電荷運(yùn)動(dòng)的角速度為ω==
；當(dāng)負(fù)電荷所受的洛倫茲力與電場(chǎng)力方向相反時(shí)，有2Bqv=m,
v=，此種情況下，負(fù)電荷運(yùn)動(dòng)的角速度為ω==，A、C兩項(xiàng)正確。
解析
考向3
臨界狀態(tài)不唯一形成多解
如圖所示，帶電粒子在洛倫茲力作用下飛越有界磁場(chǎng)時(shí)，由于粒子運(yùn)動(dòng)軌跡是圓弧狀，因此，它可能直接穿過去了，也可能轉(zhuǎn)過 180°從入射界面反向飛出，于是形成了多解。
【典例7】　(多選)長(zhǎng)為l的水平極板間有垂直紙面向
里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，如圖所示。磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，板間距
離也為l，極板不帶電。現(xiàn)有質(zhì)量為m、電荷量為q的
帶正電粒子(不計(jì)重力)，從左邊極板間中點(diǎn)處垂直磁感線以速度v水平射入磁場(chǎng)，欲使粒子不打在極板上，可采用的辦法是( )
A.使粒子的速度v< B.使粒子的速度v>
C.使粒子的速度v> D.使粒子的速度若帶電粒子剛好打在極板右邊緣，有=
+l2，又因r1=,解得v1=；若
粒子剛好打在極板左邊緣時(shí)，有r2==，
解得v2=，A、B兩項(xiàng)正確。
解析
考向4
運(yùn)動(dòng)的周期性形成多解
帶電粒子在兩個(gè)相鄰磁場(chǎng)或電場(chǎng)、磁場(chǎng)相鄰的空間內(nèi)形成周期性的運(yùn)動(dòng)而形成多解。
【典例8】　(多選)(2022·湖北卷)在如圖所示的平面內(nèi)，分界線SP將寬度為L(zhǎng)的矩形區(qū)域分成兩部分，一部分充滿方向垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，另一部分充滿方向垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B，SP與磁場(chǎng)左右邊界垂直。離子源從S處射入速度大小不同的正離子，離子入射方向與磁場(chǎng)方向垂直且與SP成30°角。已知離子比荷為k，不計(jì)重力。若離子從Р點(diǎn)射出，設(shè)出射方向與入射方向的夾角為θ，則離子的入射速度和對(duì)應(yīng)θ角的可能組合為
( )
A.kBL，0° B.kBL，0°
C.kBL，60° D.2kBL，60°
若粒子通過下部分磁場(chǎng)直接到達(dá)P點(diǎn)，如圖甲所示，根據(jù)幾何關(guān)系有R=L，由qvB=m得v==kBL，根據(jù)對(duì)稱性可知出射速度與SP成30°角向上，故出射方向與入射方向的夾角為θ=60°。當(dāng)粒子上下均經(jīng)歷一次時(shí)，如圖乙所示，因?yàn)樯舷麓鸥袘?yīng)強(qiáng)度均為B，則根據(jù)對(duì)稱性有R=L，根據(jù)洛倫茲力提供向心力有qvB=m，可得v==kBL，此時(shí)出射方向與入射方向相同，即出射方向與入射
解析
方向的夾角為θ=0°。通過以上分析
可知當(dāng)粒子從下部分磁場(chǎng)射出時(shí)，
需滿足v==kBL(n=1，2，
3……)，此時(shí)出射方向與入射方向
的夾角為θ=60°；當(dāng)粒子從上部分磁場(chǎng)射出時(shí)，需滿足v==kBL(n=1，2，3……)，此時(shí)出射方向與入射方向的夾角為θ=0°。綜上所述，B、C兩項(xiàng)正確，A、D兩項(xiàng)錯(cuò)誤。
解析專題提升練21　帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)
　
梯級(jí)Ⅰ基礎(chǔ)練
1.如圖所示，直角三角形ABC區(qū)域中存在一勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，已知AB邊長(zhǎng)為L(zhǎng)，∠C=30°，比荷均為的帶正電粒子(不計(jì)重力)以不同的速率從A點(diǎn)沿AB方向射入磁場(chǎng)，則(　　)
A.粒子速度越大，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間越短
B.粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間為
C.粒子速度越大，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的路程越短
D.粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)路程為πL
2.(2024·廣西卷)Oxy坐標(biāo)平面內(nèi)一有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域如圖所示，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直紙面向里。質(zhì)量為m、電荷量為+q的粒子，以初速度v從O點(diǎn)沿x軸正向開始運(yùn)動(dòng)，粒子過y軸時(shí)速度與y軸正向夾角為45°，交點(diǎn)為P。不計(jì)粒子重力，則P點(diǎn)至O點(diǎn)的距離為(　　)
A. B.
C.(1+) D.
3.(2025·宿州模擬)如圖所示，在半徑為R的圓內(nèi)有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，現(xiàn)有a、b兩個(gè)粒子，分別從P點(diǎn)沿PO方向垂直于磁場(chǎng)射入，a粒子從A點(diǎn)離開磁場(chǎng)，速度方向偏轉(zhuǎn)了90°，b粒子從B點(diǎn)離開磁場(chǎng)，速度方向偏轉(zhuǎn)60°，兩粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間相等。不計(jì)粒子的重力及粒子間的相互作用力，下列說法正確的是(　　)
A.a粒子帶正電
B.a、b粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期之比為1∶3
C.a、b粒子的比荷之比為2∶3
D.a、b粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的速度之比為∶2
4.(多選)(2025·開封模擬)如圖所示，虛線MN右側(cè)有垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，兩個(gè)帶同種電荷的帶電粒子從虛線上同一點(diǎn)A分別以速度v1、v2與MN成相同角度θ垂直磁場(chǎng)方向射入勻強(qiáng)磁場(chǎng)，結(jié)果兩粒子在邊界上B點(diǎn)相遇。不考慮粒子間的相互作用力，不計(jì)兩粒子的重力。則(　　)
A.若兩粒子的比荷相等，則v1=v2
B.若兩粒子的比荷相等，則=
C.若兩粒子同時(shí)從A點(diǎn)射入，則∶=
D.若兩粒子同時(shí)從A點(diǎn)射入，則∶=1
5.(多選)如圖所示，邊長(zhǎng)為L(zhǎng)的等邊三角形區(qū)域ACD內(nèi)、外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B、方向分別垂直紙面向里、向外。三角形頂點(diǎn)A處有一質(zhì)子源，能沿∠A的角平分線發(fā)射速度大小不等、方向相同的質(zhì)子(質(zhì)子重力不計(jì)、質(zhì)子間的相互作用可忽略)，所有質(zhì)子均能通過D點(diǎn)，已知質(zhì)子的比荷=k，則質(zhì)子的速度可能為(　　)
A.　　B.BkL　　C.　　D.
梯級(jí)Ⅱ能力練
6.(多選)如圖所示，A點(diǎn)的離子源沿紙面垂直O(jiān)Q方向向上射出一束負(fù)離子，離子的重力忽略不計(jì)。為把這束負(fù)離子約束在OP之下的區(qū)域，可加垂直紙面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。已知O、A兩點(diǎn)間的距離為s，負(fù)離子的比荷為，速率為v，OP與OQ間的夾角為30°，則所加勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小和方向可能是(　　)
A.B>，垂直紙面向里
B.B>，垂直紙面向里
C.B>，垂直紙面向外
D.B>，垂直紙面向外
7.在如圖所示的xOy平面內(nèi)，邊長(zhǎng)為2R的正方形ABCD區(qū)域中存在方向垂直xOy平面向外、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)(圖中未畫出)，自O(shè)點(diǎn)沿x軸放置一長(zhǎng)為2R的探測(cè)板，與磁場(chǎng)下邊界的間距為R;離子源從正方形一邊(位于y軸上)的中點(diǎn)P沿垂直于磁場(chǎng)方向持續(xù)發(fā)射質(zhì)量為m、電荷量為q的正離子，發(fā)射速度方向斜向上，與x軸正方向的夾角范圍為0~50°，且各向均勻分布，單位時(shí)間發(fā)射離子數(shù)為N，離子的速度大小隨發(fā)射角變化的關(guān)系為v= ，α為發(fā)射速度方向與x軸正方向夾角，其中α=0°的離子恰好從磁場(chǎng)下邊界的中點(diǎn)沿y軸負(fù)方向射出。不計(jì)離子間的相互作用和離子的重力，離子打在探測(cè)板即被吸收并中和，已知R=0.05 m，B=1 T，v0=5×105 m/s，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8，sin 50°=0.77，cos 50°=0.64。
(1)求離子的比荷;
(2)證明:從AB邊飛出磁場(chǎng)的離子速度方向與AB邊垂直;
(3)求單位時(shí)間內(nèi)能打在探測(cè)板上的離子數(shù)n。
8.如圖所示，半徑為R的圓形區(qū)域位于正方形ABCD的中心，圓形區(qū)域內(nèi)、外有垂直紙面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小相等，方向相反。一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子以速率v0沿紙面從M點(diǎn)平行于AB邊沿半徑方向射入圓形磁場(chǎng)，在圓形磁場(chǎng)中轉(zhuǎn)過90°后從N點(diǎn)射出，且恰好沒射出正方形磁場(chǎng)區(qū)域，粒子重力不計(jì)。求:
(1)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B;
(2)正方形區(qū)域的邊長(zhǎng);
(3)粒子再次回到M點(diǎn)所用的時(shí)間。
梯級(jí)Ⅲ創(chuàng)新練
9.(多選)如圖所示，正方形虛線框abcd邊長(zhǎng)為L(zhǎng)，框內(nèi)有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)(未畫出)，e點(diǎn)為bc邊上的點(diǎn)，且∠bae=30°，M、N兩粒子由a點(diǎn)同時(shí)沿ae方向垂直磁場(chǎng)以相同的動(dòng)量進(jìn)入，經(jīng)過一段時(shí)間，粒子M由b點(diǎn)離開磁場(chǎng)，粒子N垂直cd邊離開磁場(chǎng)，忽略粒子的重力以及粒子間的相互作用。下列說法正確的是(　　)
A.粒子M帶負(fù)電，粒子N帶正電
B.粒子M的軌道半徑為L(zhǎng)
C.粒子M的軌道半徑為L(zhǎng)
D.粒子M、N的電荷量之比為2∶
專題提升練21　帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)
1.D　解析　當(dāng)粒子能夠從AC邊射出時(shí),在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示,由幾何關(guān)系可知,粒子運(yùn)動(dòng)軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角為120°,因此運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t=T=,當(dāng)粒子不能從AC邊射出,圓心角變小,時(shí)間變短,可知所有從AC邊射出的粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間相同,且粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間為,A、B兩項(xiàng)錯(cuò)誤;粒子速度越大,粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑越大,當(dāng)粒子運(yùn)動(dòng)軌跡與BC邊相切時(shí)運(yùn)動(dòng)軌跡最長(zhǎng),粒子速度再增大,粒子運(yùn)動(dòng)軌跡變短,并不是速度越大,粒子運(yùn)動(dòng)軌跡越短,C項(xiàng)錯(cuò)誤; 當(dāng)粒子和BC邊相切時(shí)路程最大,此時(shí)有R=AB=L,因此運(yùn)動(dòng)的路程為s=θR=πL,D項(xiàng)正確。
2.C　解析　粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示,在磁場(chǎng)中,根據(jù)洛倫茲力提供向心力有qvB=m,可得粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r=,根據(jù)幾何關(guān)系可得P點(diǎn)至O點(diǎn)的距離LPO=r+=(1+),C項(xiàng)正確。
3.D　解析　a粒子進(jìn)入磁場(chǎng)后,向下偏轉(zhuǎn),由左手定則可知a粒子帶負(fù)電,A項(xiàng)錯(cuò)誤;a粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t=Ta,b粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t=Tb,a、b粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期之比為Ta∶Tb=2∶3,B項(xiàng)錯(cuò)誤;由粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期T=,可得=,則a、b粒子的比荷之比為3∶2,C項(xiàng)錯(cuò)誤;如圖,由幾何知識(shí)可得a粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為ra=R,b粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為rb=R,由qvB=m,解得v=,a、b粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的速度之比為∶2,D項(xiàng)正確。
4.AC　解析　兩粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖,由幾何關(guān)系可知R1=R2,粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng),洛倫茲力提供向心力qvB=,解得R=;若兩粒子的比荷相等,則=,故v1=v2,A項(xiàng)正確,B項(xiàng)錯(cuò)誤;粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期為T==,故∶=T2∶T1,在磁場(chǎng)中兩粒子的運(yùn)動(dòng)時(shí)間分別為t1=T1=T1,t2=T2=T2;若兩粒子同時(shí)從A點(diǎn)射入,則兩粒子相遇時(shí)運(yùn)動(dòng)時(shí)間相等t1=t2,故=,聯(lián)立可得∶=,C項(xiàng)正確,D項(xiàng)錯(cuò)誤。
5.ABD　解析　質(zhì)子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示,由幾何關(guān)系可得2nRcos 60°=L(n=1,2,3,…),由洛倫茲力提供向心力,則有Bqv=m,聯(lián)立解得v==(n=1,2,3,…),所以A、B、D三項(xiàng)正確,C項(xiàng)錯(cuò)誤。
6.BD　解析　當(dāng)所加勻強(qiáng)磁場(chǎng)方向垂直紙面向里時(shí),由左手定則知:負(fù)離子向右偏轉(zhuǎn),約束在OP之下的區(qū)域的臨界條件是離子運(yùn)動(dòng)軌跡與OP相切,如圖所示(大圓弧),由幾何知識(shí)知,OBsin 30°=R2, OB=s+R2,所以R2=s,當(dāng)離子軌跡的半徑小于s時(shí)滿足約束條件,由牛頓第二定律及洛倫茲力公式得qvB=m,解得B>,A項(xiàng)錯(cuò)誤,B項(xiàng)正確;當(dāng)所加勻強(qiáng)磁場(chǎng)方向垂直紙面向外時(shí),由左手定則知:負(fù)離子向左偏轉(zhuǎn),約束在OP之下的區(qū)域的臨界條件是離子運(yùn)動(dòng)軌跡與OP相切,如圖(小圓弧),由幾何知識(shí)知, OCsin 30°=R1, OC=s-R1,所以R1=,當(dāng)離子軌跡的半徑小于時(shí)滿足約束條件,由牛頓第二定律及洛倫茲力公式得qvB=m,解得B>,C項(xiàng)錯(cuò)誤,D項(xiàng)正確。
7.答案　(1)107 C/kg　(2)見解析　(3)N
解析　(1)α=0°時(shí),離子恰好從磁場(chǎng)下邊界中點(diǎn)射出,由幾何關(guān)系可知,此時(shí)離子的運(yùn)動(dòng)軌跡半徑為r=R,
在運(yùn)動(dòng)過程中,由洛倫茲力提供向心力可得qv0B=m,
解得==107 C/kg。
(2)由題意和幾何關(guān)系可知,離子運(yùn)動(dòng)軌跡的半徑為r'==,
在磁場(chǎng)區(qū)域中,由幾何關(guān)系可知,離子做圓周運(yùn)動(dòng)的圓心在y=R(即AB邊)這條直線上,則從AB邊飛出磁場(chǎng)的離子速度方向與AB邊垂直。
(3)由題意可得,離子從B點(diǎn)射出時(shí)有
r'+r'sin α=2R,
即1+sin α=2cos α,
可得α=37°,r'=R,
此時(shí),離子從B點(diǎn)垂直AB邊射出,綜上,α角在0~37°之間時(shí),離子從AB邊射出,且射出的方向都垂直AB。
當(dāng)角度大于37°時(shí),離子的運(yùn)動(dòng)軌跡半徑變大,離子射出磁場(chǎng)后不能打在探測(cè)板上,故在0~50°的范圍內(nèi),單位時(shí)間內(nèi)打在探測(cè)板上的離子數(shù)為n=N。
8.答案　(1)　(2)4R　(3)
解析　(1)粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示,設(shè)粒子在圓形磁場(chǎng)中的軌跡半徑為r1,由幾何關(guān)系可知r1=R,
洛倫茲力提供向心力qv0B=m,
解得B=。
(2)設(shè)粒子在正方形磁場(chǎng)中的軌跡半徑為r2,粒子恰好不從AB邊射出,
qv0B=m,r2==R,
正方形的邊長(zhǎng)L=2r1+2r2=4R。
(3)粒子在圓形磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的周期
T1=,
在圓形磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間t1=T1=,
粒子在正方形區(qū)域做圓周運(yùn)動(dòng)的周期
T2=,t2=T2=,
再次回到M點(diǎn)的時(shí)間為
t=t1+t2=。
9.CD　解析　M、N兩粒子的軌跡如圖所示,根據(jù)左手定則可知,粒子M帶正電,粒子N帶負(fù)電,A項(xiàng)錯(cuò)誤;根據(jù)幾何關(guān)系可知,粒子M的軌道半徑為r1=L,粒子N的軌道半徑為r2==L,由洛倫茲力提供向心力可得qvB=m,解得r=,由于兩粒子的動(dòng)量大小相等,則粒子M、N的電荷量之比為==,B項(xiàng)錯(cuò)誤,C、D兩項(xiàng)正確。(共31張PPT)
專題提升練21
帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)
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6
7
8
9
2
3
4
1.如圖所示，直角三角形ABC區(qū)域中存在一勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，已知AB邊長(zhǎng)為L(zhǎng)，∠C=30°，比荷均為的帶正電粒子(不計(jì)重力)以不同的速率從A點(diǎn)沿AB方向射入磁場(chǎng)，則(　　)
A.粒子速度越大，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間越短
B.粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間為
C.粒子速度越大，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的路程越短
D.粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)路程為πL
梯級(jí)Ⅰ 基礎(chǔ)練
當(dāng)粒子能夠從AC邊射出時(shí)，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，由幾何關(guān)系可知，粒子運(yùn)動(dòng)軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角為120°，因此運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t=T=，當(dāng)粒子不能從AC邊射出，圓心角變小，時(shí)間變短，可知所有從AC邊射出的粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間相同，且粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間為，A、B兩項(xiàng)錯(cuò)誤；粒子速度越大，
解析
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粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑越大，當(dāng)粒子運(yùn)動(dòng)軌跡與BC邊相切時(shí)運(yùn)動(dòng)軌跡最長(zhǎng)，粒子速度再增大，粒子運(yùn)動(dòng)軌跡變短，并不是速度越大，粒子運(yùn)動(dòng)軌跡越短，C項(xiàng)錯(cuò)誤； 當(dāng)粒子和BC邊相切時(shí)路程最大，此時(shí)有R=AB=L，因此運(yùn)動(dòng)的路程為s=θR=πL，D項(xiàng)正確。
解析
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2.(2024·廣西卷)Oxy坐標(biāo)平面內(nèi)一有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域如圖所示，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直紙面向里。質(zhì)量為m、電荷量為+q的粒子，以初速度v從O點(diǎn)沿x軸正向開始運(yùn)動(dòng)，粒子過y軸時(shí)速度與y軸正向夾角為45°，交點(diǎn)為P。不計(jì)粒子重力，則P點(diǎn)至O點(diǎn)的距離為 (　　)
A. B.
C.(1+) D.
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粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，在磁場(chǎng)中，根據(jù)洛倫茲力提供向心力有qvB=m，可得粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r=，根據(jù)幾何關(guān)系可得P點(diǎn)至O點(diǎn)的距離LPO=r+=(1+)，C項(xiàng)正確。
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3.(2025·宿州模擬)如圖所示，在半徑為R的圓內(nèi)有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，現(xiàn)有a、b兩個(gè)粒子，分別從P點(diǎn)沿PO方向垂直于磁場(chǎng)射 入，a粒子從A點(diǎn)離開磁場(chǎng)，速度方向偏轉(zhuǎn)了90°，b粒子從B點(diǎn)離開磁場(chǎng)，速度方向偏轉(zhuǎn)60°，兩粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間相等。不計(jì)粒子的重力及粒子間的相互作用力，下列說法正確的是(　　)
A.a粒子帶正電
B.a、b粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期之比為1∶3
C.a、b粒子的比荷之比為2∶3
D.a、b粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的速度之比為∶2
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a粒子進(jìn)入磁場(chǎng)后，向下偏轉(zhuǎn)，由左手定則可知a粒子帶負(fù)電，A項(xiàng)錯(cuò)誤；a粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t=Ta，b粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t=Tb，a、b粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期之比為Ta∶Tb=2∶3，B項(xiàng)錯(cuò)誤；由粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期T=，可得=，則a、b粒子的比荷之比為3∶2，C項(xiàng)錯(cuò)誤；如圖，由幾何知識(shí)可得a粒子
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做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為ra=R，b粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為rb=R，由qvB=m，解得v=，a、b粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的速度之比為∶2，D項(xiàng)正確。
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4.(多選)(2025·開封模擬)如圖所示，虛線MN右側(cè)有垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，兩個(gè)帶同種電荷的帶電粒子從虛線上同一點(diǎn)A分別以速度v1、v2與MN成相同角度θ垂直磁場(chǎng)方向射入勻強(qiáng)磁場(chǎng)，結(jié)果兩粒子在邊界上B點(diǎn)相遇。不考慮粒子間的相互作用力，不計(jì)兩粒子的重 力。則(　　)
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A.若兩粒子的比荷相等，則v1=v2
B.若兩粒子的比荷相等，則=
C.若兩粒子同時(shí)從A點(diǎn)射入，則∶=
D.若兩粒子同時(shí)從A點(diǎn)射入，則∶=1
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兩粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖，由幾何關(guān)系可知R1=R2，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力qvB=，解得R=；若兩粒子的比荷相等，則=，故v1=v2，A項(xiàng)正確，B項(xiàng)錯(cuò)誤；粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期為T==，故∶=T2∶T1，在磁場(chǎng)中兩粒子的運(yùn)動(dòng)時(shí)間分別為t1=T1=T1，t2=T2=T2；若兩粒子同時(shí)從A
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點(diǎn)射入，則兩粒子相遇時(shí)運(yùn)動(dòng)時(shí)間相等t1=t2，故=，聯(lián)立可得∶=，C項(xiàng)正確，D項(xiàng)錯(cuò)誤。
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5.(多選)如圖所示，邊長(zhǎng)為L(zhǎng)的等邊三角形區(qū)域ACD內(nèi)、外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B、方向分別垂直紙面向里、向外。三角形頂點(diǎn)A處有一質(zhì)子源，能沿∠A的角平分線發(fā)射速度大小不等、方向相同的質(zhì)子(質(zhì)子重力不計(jì)、質(zhì)子間的相互作用可忽略)，所有質(zhì)子均能通過D點(diǎn)，已知質(zhì)子的比荷=k，則質(zhì)子的速度可能為(　　)
A.　　B.BkL　　C.　　D.
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質(zhì)子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，由幾何關(guān)系可得2nRcos 60°=L(n=1，2，3，…)，由洛倫茲力提供向心力，則有Bqv=m，聯(lián)立解得v==(n=1，2，3，…)，所以A、B、D三項(xiàng)正確，C項(xiàng)錯(cuò)誤。
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6.(多選)如圖所示，A點(diǎn)的離子源沿紙面垂直O(jiān)Q方向向上射出一束負(fù)離子，離子的重力忽略不計(jì)。為把這束負(fù)離子約束在OP之下的區(qū) 域，可加垂直紙面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。已知O、A兩點(diǎn)間的距離為s，負(fù)離子的比荷為，速率為v，OP與OQ間的夾角為30°，則所加勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小和方向可能是(　　)
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梯級(jí)Ⅱ 能力練
A.B>，垂直紙面向里 B.B>，垂直紙面向里
C.B>，垂直紙面向外 D.B>，垂直紙面向外
當(dāng)所加勻強(qiáng)磁場(chǎng)方向垂直紙面向里時(shí)，由左手定則知:負(fù)離子向右偏轉(zhuǎn)，約束在OP之下的區(qū)域的臨界條件是離子運(yùn)動(dòng)軌跡與OP相切，如圖所示(大圓弧)，由幾何知識(shí)知，OBsin 30°=R2， OB=s+R2，所以R2=s，當(dāng)離子軌跡的半徑小于s時(shí)滿足約束條件，由牛頓第二定律及洛倫茲力公式得qvB=m，解得B>，A項(xiàng)錯(cuò)誤，B項(xiàng)正確；當(dāng)所加勻強(qiáng)磁場(chǎng)方向垂直紙面向外時(shí)，由左手定
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則知:負(fù)離子向左偏轉(zhuǎn)，約束在OP之下的區(qū)域的臨界條件是離子運(yùn)動(dòng)軌跡與OP相切，如圖(小圓弧)，由幾何知識(shí)知，OCsin 30°= R1， OC=s-R1，所以R1=，當(dāng)離子軌跡的半徑小于時(shí)滿足約束條件，由牛頓第二定律及洛倫茲力公式得qvB=m，解得B>，C項(xiàng)錯(cuò)誤， D項(xiàng)正確。
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7.在如圖所示的xOy平面內(nèi)，邊長(zhǎng)為2R的正方形ABCD區(qū)域中存在方向垂直xOy平面向外、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)(圖中未畫出)，自O(shè)點(diǎn)沿x軸放置一長(zhǎng)為2R的探測(cè)板，與磁場(chǎng)下邊界的間距為R；離子源從正方形一邊(位于y軸上)的中點(diǎn)P沿垂直于磁場(chǎng)方向持續(xù)發(fā)射質(zhì)量為m、電荷量為q的正離子，發(fā)射速度方向斜向上，與x軸正方向的夾角范圍為0~50°，且各向均勻分布，單位時(shí)間發(fā)射離子數(shù)為N，離子的速度大小隨發(fā)射角變化的關(guān)系為v= ，α為發(fā)射速度方向與x軸正方向夾角，其中α=0°的離子恰好從磁場(chǎng)下邊界的中點(diǎn)沿y軸負(fù)方
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向射出。不計(jì)離子間的相互作用和離子的重力，離子打在探測(cè)板即被吸收并中和，已知R=0.05 m，B=1 T，v0=5×105 m/s，sin 37°= 0.6，cos 37°= 0.8，sin 50°=0.77，cos 50°=0.64。
(1)求離子的比荷；
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α=0°時(shí)，離子恰好從磁場(chǎng)下邊界中點(diǎn)射出，由幾何關(guān)系可知，此時(shí)離子的運(yùn)動(dòng)軌跡半徑為r=R，
在運(yùn)動(dòng)過程中，由洛倫茲力提供向心力可得qv0B=m，
解得==107 C/kg。
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(2)證明:從AB邊飛出磁場(chǎng)的離子速度方向與AB邊垂直；
由題意和幾何關(guān)系可知，離子運(yùn)動(dòng)軌跡的半徑為r'==，
在磁場(chǎng)區(qū)域中，由幾何關(guān)系可知，離子做圓周運(yùn)動(dòng)的圓心在y=R(即AB邊)這條直線上，則從AB邊飛出磁場(chǎng)的離子速度方向與AB邊垂直。
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(3)求單位時(shí)間內(nèi)能打在探測(cè)板上的離子數(shù)n。
由題意可得，離子從B點(diǎn)射出時(shí)有r'+r'sin α=2R，
即1+sin α=2cos α，
可得α=37°，r'=R，
此時(shí)，離子從B點(diǎn)垂直AB邊射出，綜上，α角在0~37°之間時(shí)，離子從AB邊射出，且射出的方向都垂直AB。當(dāng)角度大于37°時(shí)，離子的運(yùn)動(dòng)軌跡半徑變大，離子射出磁場(chǎng)后不能打在探測(cè)板上，故在0~50°的范圍內(nèi)，單位時(shí)間內(nèi)打在探測(cè)板上的離子數(shù)為n=N。
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8.如圖所示，半徑為R的圓形區(qū)域位于正方形ABCD的中心，圓形區(qū)域內(nèi)、外有垂直紙面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小相等，方向相 反。一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子以速率v0沿紙面從M點(diǎn)平行
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于AB邊沿半徑方向射入圓形磁場(chǎng)，在圓形磁場(chǎng)中轉(zhuǎn)過90°后從N點(diǎn)射出，且恰好沒射出正方形磁場(chǎng)區(qū)域，粒子重力不計(jì)。求:
(1)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B；
粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，設(shè)粒子在圓形磁場(chǎng)中的軌跡半徑為r1，由幾何關(guān)系可知r1=R，
洛倫茲力提供向心力qv0B=m，
解得B=。
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(2)正方形區(qū)域的邊長(zhǎng)；
設(shè)粒子在正方形磁場(chǎng)中的軌跡半徑為r2，粒子恰好不從AB邊射出，
qv0B=m，r2==R，
正方形的邊長(zhǎng)L=2r1+2r2=4R。
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(3)粒子再次回到M點(diǎn)所用的時(shí)間。
粒子在圓形磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的周期T1=，
在圓形磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間t1=T1=，
粒子在正方形區(qū)域做圓周運(yùn)動(dòng)的周期T2=，t2=T2=，
再次回到M點(diǎn)的時(shí)間為t=t1+t2=。
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9.(多選)如圖所示，正方形虛線框abcd邊長(zhǎng)為L(zhǎng)，框內(nèi)有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)(未畫出)，e點(diǎn)為bc邊上的點(diǎn)，且∠bae=30°，M、N兩粒子由a點(diǎn)同時(shí)沿ae方向垂直磁場(chǎng)以相同的動(dòng)量進(jìn)入，經(jīng)過一段時(shí)
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梯級(jí)Ⅲ 創(chuàng)新練
間，粒子M由b點(diǎn)離開磁場(chǎng)，粒子N垂直cd邊離開磁場(chǎng)，忽略粒子的重力以及粒子間的相互作用。下列說法正確的是(　　)
A.粒子M帶負(fù)電，粒子N帶正電
B.粒子M的軌道半徑為L(zhǎng)
C.粒子M的軌道半徑為L(zhǎng)
D.粒子M、N的電荷量之比為2∶
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M、N兩粒子的軌跡如圖所示，根據(jù)左手定則可知，粒子M帶正 電，粒子N帶負(fù)電，A項(xiàng)錯(cuò)誤；根據(jù)幾何關(guān)系可知，粒子M的軌道半徑為r1=L，粒子N的軌道半徑為r2==L，由洛倫茲力提供向心力可得qvB=m，解得r=，由于兩粒子的動(dòng)量大小相
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等，則粒子M、N的電荷量之比為==，B項(xiàng)錯(cuò)誤，C、D兩項(xiàng)正確。
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