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第一章 相交線與平行線
一．對頂角、鄰補角（共7小題）
1．如圖，下列各組角中，是對頂角的一組是（　　）
A．∠1和∠2 B．∠3和∠5 C．∠3和∠4 D．∠1和∠5
【解答】解：由對頂角的定義可知：∠3和∠5是一對對頂角，
故選：B．
2．在下面四個圖形中，∠1與∠2是對頂角的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、∠1與∠2不是對頂角；
B、∠1與∠2是對頂角；
C、∠1與∠2不是對頂角；
D、∠1與∠2不是對頂角；
故選：B．
3．如圖，已知直線AB、CD相交于點O，OE平分∠COB，若∠EOB＝50°，則∠BOD的度數是（　　）
A．50° B．60° C．80° D．70°
【解答】解：∵OE平分∠COB，
∴∠EOB＝∠COE，
∵∠EOB＝50°，
∴∠COB＝100°，
∴∠BOD＝180°﹣100°＝80°．
故選：C．
4．如圖，直線AB、CD相交于點O，OA平分∠EOC，∠EOC：∠EOD＝1：2，則∠BOD等于（　　）
A．30° B．36° C．45° D．72°
【解答】解：∵∠EOC：∠EOD＝1：2，
∴∠EOC＝180°60°，
∵OA平分∠EOC，
∴∠AOC∠EOC60°＝30°，
∴∠BOD＝∠AOC＝30°．
故選：A．
5．圖中是對頂角量角器，用它測量角的原理是 　對頂角相等　 ．
【解答】解：由題意得，扇形零件的圓心角與其兩邊的反向延長線組的角是對頂角．因為對頂角相等，所以利用圖中的量角器可以量出這個扇形零件的圓心角的度數．
故答案為：對頂角相等．
6．如圖，直線AB、CD相交于點O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE．若∠AOC的度數為2α．則∠EOF＝　90°　 ．（用含α的代數式表示）
【解答】解：∵∠AOC＝2α，
∴∠BOD＝∠AOC＝2α，
∵OE平分∠BOD，OF平分∠COE，
∴∠BOE＝∠DOE＝α，∠COF＝∠EOF∠COE，
∴∠EOC＝180°﹣α，
∴∠EOF＝90°，
故答案為：90°．
7．如圖，直線AB，CD相交于點O，OE平分∠BOC，∠FOD＝90°．
（1）若∠AOF＝50°，求∠BOE的度數；
（2）若∠BOD：∠BOE＝1：4，求∠AOF的度數．
【解答】解：（1）∵∠COF與∠DOF是鄰補角，
∴∠COF＝180°﹣∠DOF＝90°．
∵∠AOC與∠AOF互為余角，
∴∠AOC＝90°﹣∠AOF＝90°﹣50°＝40°．
∵∠AOC與∠BOC是鄰補角，
∴∠COB＝180°﹣∠AOC＝180°﹣40°＝140°．
∵OE平分∠BOC，
∴∠BOE∠BOC＝70°；
（2）∠BOD：∠BOE＝1：4，
設∠BOD＝∠AOC＝x，∠BOE＝∠COE＝4x．
∵∠AOC與∠BOC是鄰補角，
∴∠AOC+∠BOC＝180°，
即x+4x+4x＝180°，
解得x＝20°．
∵∠AOC與∠AOF互為余角，
∴∠AOF＝90°﹣∠AOC＝90°﹣20°＝70°．
二．點到直線的距離（共7小題）
8．下列圖形中，線段AD的長表示點A到直線BC距離的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：線段AD的長表示點A到直線BC距離的是圖D，
故選：D．
9．小明同學在體育課上跳遠后留下的腳印如圖所示，為了測量他的跳遠成績，測量了腳印上最后的點P到起跳線l的距離，應該選擇線段 　PC　 的長度作為小明的跳遠成績．
【解答】解：小明同學在體育課上跳遠后留下的腳印如圖所示，為了測量他的跳遠成績，測量了腳印上最后的點P到起跳線l的距離，應該選擇線段PC的長度作為小明的跳遠成績．
故答案為：PC．
10．如圖，在鐵路旁有一李莊，現要建一火車站，為了使李莊人乘車最方便，請你在鐵路線上選一點來建火車站，應建在（　　）
A．A點 B．B點 C．C點 D．D點
【解答】解：根據垂線段最短可得：應建在A處，
故選：A．
11．如圖，要把河中的水引到水池A中，應在河岸B處（AB⊥CD）開始挖渠才能使水渠的長度最短，這樣做依據的幾何學原理是（　　）
A．兩點之間線段最短 B．點到直線的距離
C．兩點確定一條直線 D．垂線段最短
【解答】解：要把河中的水引到水池A中，應在河岸B處（AB⊥CD）開始挖渠才能使水渠的長度最短，這樣做依據的幾何學原理是：垂線段最短，
故選：D．
12．如圖，△ABC中，CD⊥AB，M是AD上的點，連接CM，其中AC＝10cm，CM＝8cm，CD＝6cm，CB＝8cm，則點C到邊AB所在直線的距離是 　6　 cm．
【解答】解：∵△ABC中，CD⊥AB，CD＝6cm，
∴點C到邊AB所在直線的距離為6cm，
故答案為：6．
13．如圖，河道l的同側有A，B兩個村莊，計劃鋪設一條管道將河水引至A，B兩地，下面的
四個方案中，管道長度最短的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：四個方案中，管道長度最短的是B．
故選：B．
14．下列圖形中，線段MN的長度表示點M到直線l的距離的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：圖B、C、D中，線段MN不與直線l垂直，故線段MN的長度不能表示點M到直線l的距離；
圖A中，線段MN與直線l垂直，垂足為點N，故線段MN的長度能表示點M到直線l的距離；
故選：A．
三．同位角、內錯角、同旁內角（共6小題）
15．下列所示的四個圖形中，∠1和∠2是同位角的是（　　）
A．②③ B．①②③ C．①②④ D．①④
【解答】解：圖①、②、④中，∠1與∠2在截線的同側，并且在被截線的同一方，是同位角；
圖③中，∠1與∠2的兩條邊都不在同一條直線上，不是同位角．
故選：C．
16．如圖，下列結論中錯誤的是（　　）
A．∠1與∠2是同旁內角 B．∠1與∠6是內錯角
C．∠2與∠5是內錯角 D．∠3與∠5是同位角
【解答】解：A、∠1與∠2是同旁內角，正確，不合題意；
B、∠1與∠6是內錯角，正確，不合題意；
C、∠2與∠5不是內錯角，故C錯誤，符合題意；
D、∠3與∠5是同位角，正確，不合題意；
故選：C．
17．如圖，直線AD，BE被直線BF和AC所截，則∠1的同位角和∠5的內錯角分別是（　　）
A．∠4，∠2 B．∠2，∠6 C．∠5，∠4 D．∠2，∠4
【解答】解：∠1的同位角是∠2，∠5的內錯角是∠6，
故選：B．
18．如圖．
（1）當直線AC、DG被直線CD所截時，∠2的內錯角是 　∠ACD　 ；
（2）∠AEF的同位角是 　∠ACD、∠ACB　 ；
（3）∠1的同旁內角是 　∠ACD、∠ACB、∠EFD　 ．
【解答】解：（1）當直線AC、DG被直線CD所截時，∠2的內錯角是∠ACD．
故答案為：∠ACD．
（2）∠AEF的同位角是∠ACD、∠ACB．
故答案為：∠ACD、∠ACB．
（3）∠1的同旁內角是∠ACD、∠ACB、∠EFD．
故答案為：∠ACD、∠ACB、∠EFD．
19．如圖，有下列說法：①能與∠DEF構成內錯角的角的個數有2個；②能與∠BFE構成同位角的角的個數有2個；③能與∠C構成同旁內角的角的個數有4個．其中正確結論的序號是 　①　 ．
【解答】解：①能與∠DEF構成內錯角的角的個數有2個，即∠EFA和∠EDC，故正確；
②能與∠EFB構成同位角的角的個數只有1個：即∠FAE，故錯誤；
③能與∠C構成同旁內角的角的個數有5個：即∠CDE，∠B，∠CED，∠CEF，∠A，故錯誤；
所以結論正確的是①．
故答案為：①．
20．下列四幅圖中，∠1和∠2是同位角的是 　ABD　 ．
【解答】解：上列四幅圖中，∠1和∠2是同位角的是：ABD，
故答案為：ABD．
四．平行線（共6小題）
21．下列說法不正確的是（　　）
A．過任意一點可作已知直線的一條平行線
B．同一平面內兩條不相交的直線是平行線
C．在同一平面內，過直線外一點只能畫一條直線與已知直線垂直
D．平行于同一直線的兩直線平行
【解答】解：A中，若點在直線上，則不可以作出已知直線的平行線，而是與已知直線重合，錯誤．
B、C、D正確．
故選：A．
22．下列說法中，正確的是（　　）
A．兩條不相交的直線叫做平行線
B．一條直線的平行線有且只有一條
C．在同一平面內，若直線a∥b，a∥c，則b∥c
D．若兩條線段不相交，則它們互相平行
【解答】解：A、平行線的定義：在同一平面內，兩條不相交的直線叫做平行線．故錯誤；
B、過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行．一條直線的平行線有無數條，故錯誤；
C、在同一平面內，平行于同一直線的兩條直線平行．故正確；
D、根據平行線的定義知是錯誤的．
故選：C．
23．在同一平面內，不重合的兩條直線的位置關系是（　　）
A．平行 B．相交
C．相交或垂直 D．相交或平行
【解答】解：在同一平面內，不重合的兩條直線的位置關系是相交或平行，相交包含垂直．
故選：D．
24．在下列4個判斷中：
①在同一平面內，不相交也不重合的兩條線段一定平行；②在同一平面內，不相交也不重合的兩條直線一定平行；③在同一平面內，不平行也不重合的兩條線段一定相交；④在同一平面內，不平行也不重合的兩條直線一定相交．正確判斷的個數是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【解答】解：在同一平面內，不相交也不重合的兩條直線一定平行，故①錯誤，②正確；
在同一平面內，不平行也不重合的兩條直線一定相交故，③錯誤，④正確．
故正確判斷的個數是2．
故選：C．
25．在同一平面內，若a⊥b，b⊥c，則a與c的位置關系是 　a∥c　 ．
【解答】解：∵a⊥b，b⊥c，
∴a∥c．
故答案為a∥c．
26．在下面的方格紙中經過點C畫與線段AB互相平行的直線l1，再經過點B畫一條與線段AB垂直的直線l2．
【解答】解：如圖所示，
五．平行線的判定（共23小題）
27．如圖所示，點E在AC的延長線上，下列條件中能判斷AB∥CD的是（　　）
A．∠3＝∠A B．∠1＝∠2
C．∠D＝∠DCE D．∠D+∠ACD＝180°
【解答】解：A、∠3＝∠A，無法得到，AB∥CD，故此選項錯誤；
B、∠1＝∠2，根據內錯角相等，兩直線平行可得：AB∥CD，故此選項正確；
C、∠D＝∠DCE，根據內錯角相等，兩直線平行可得：BD∥AC，故此選項錯誤；
D、∠D+∠ACD＝180°，根據同旁內角互補，兩直線平行可得：BD∥AC，故此選項錯誤；
故選：B．
28．如圖，下列條件中，不能判斷直線l1∥l2的是（　　）
A．∠1＝∠3 B．∠2＝∠3
C．∠4＝∠5 D．∠2+∠4＝180°
【解答】解：A、根據內錯角相等，兩直線平行可判斷直線l1∥l2，故此選項不合題意；
B、∠2＝∠3，不能判斷直線l1∥l2，故此選項符合題意；
C、根據同位角相等，兩直線平行可判斷直線l1∥l2，故此選項不合題意；
D、根據同旁內角互補，兩直線平行可判斷直線l1∥l2，故此選項不合題意；
故選：B．
29．如圖，小明利用兩塊相同的三角板，分別在三角板的邊緣畫直線AB和CD，并由此判定AB∥CD，這是根據 　內錯角相等　 ，兩直線平行．
【解答】解：如圖，利用兩塊相同的三角板，分別在三角板的邊緣畫直線AB和CD，
直線BC把AB和CD所截，
此時兩塊相同的三角板的最小兩個角的位置關系正好是內錯角，
所以這是根據內錯角相等，來判定兩直線平行的．
故答案為：內錯角相等．
30．如圖，把一塊含有45°的直角三角形的兩個頂點放在直尺的對邊上．如果∠1＝20°，那么∠2的度數是（　　）
A．15° B．20° C．25° D．30°
【解答】解：∵直尺的兩邊平行，∠1＝20°，
∴∠3＝∠1＝20°，
∴∠2＝45°﹣20°＝25°．
故選：C．
31．如圖，∠1＝120°，∠2＝60°，∠3＝100°，則∠4＝　100°　 時，AB∥EF．
【解答】解：當∠4＝100°時，AB∥EF；
理由：∵∠3＝100°，∠4＝100°，
∴DC∥EF，
∵∠1＝120°，
∴∠5＝60°，
∵∠2＝60°，
∴AB∥CD，
∴AB∥EF．
32．如圖，EF∥BC，AC平分∠BAF，∠B＝80°．求∠C的度數．
【解答】解：∵EF∥BC，
∴∠BAF＝180°﹣∠B＝100°，
∵AC平分∠BAF，
∴∠CAF∠BAF＝50°，
∵EF∥BC，
∴∠C＝∠CAF＝50°．
33．已知：如圖，AD∥BE，∠1＝∠2，求證：∠A＝∠E．
【解答】證明：∵AD∥BE，
∴∠A＝∠3，
∵∠1＝∠2，
∴DE∥AC，
∴∠E＝∠3，
∴∠A＝∠EBC＝∠E．
34．如圖所示，一條公路修到湖邊時，需要拐彎繞湖而過，第一次拐的角∠A＝110°，第二次拐的角∠B＝145°，則第三次拐的角∠C＝　145°　 時，道路CE才能恰好與AD平行．
【解答】解：如圖，延長AB，EC，交于點F，
當AD∥EF時，∠F＝∠A＝110°，
∵∠FBC＝180°﹣∠ABC＝35°，
∴∠BCE＝∠F+∠FBC＝110°+35°＝145°，
即第三次拐的角為145°時，道路CE才能恰好與AD平行．
故答案為：145°．
35．將一塊三角板ABC（∠BAC＝90°，∠ABC＝30°）按如圖方式放置，使A，B兩點分別落在直線m，n上．對于給出的五個條件：①∠1＝25.5°，∠2＝55°30'；②∠2＝2∠1；③∠1+∠2＝90°；④∠ACB＝∠1+∠2；⑤∠ABC＝∠2﹣∠1．能判斷直線m∥n的有 　①⑤　 ．（填序號）
【解答】解：①∵∠1＝25.5°，∠ABC＝30°，
∴∠2＝∠1+∠ABC＝55.5°＝55°30'，所以，m∥n；
②沒有指明∠1的度數，當∠1≠30°，∠2≠∠1+30°，不能判斷直線m∥n，故∠2＝2∠1，不能判斷直線m∥n；
③∠1+∠2＝90°，不能判斷直線m∥n；
④∠ACB＝∠1+∠2，不能判斷直線m∥n；
⑤∠ABC＝∠2﹣∠1，判斷直線m∥n；
故答案為：①⑤．
36．如圖表示釘在一起的木條a，b，c．若測得∠1＝50°，∠2＝75°，要使木條a∥b，木條a至少要旋轉 　25　 °．
【解答】解：如圖，
∵∠AOC＝∠1＝50°時，AB∥b，
∴要使木條a與b平行，木條a旋轉的度數至少是75°﹣50°＝25°．
故答案為：25．
37．閱讀理解，補全證明過程及推理依據．
已知：如圖，點E在直線DF上，點B在直線AC上，∠1＝∠2，∠3＝∠4．
求證∠A＝∠F
證明：∵∠1＝∠2（已知）
∠2＝∠DGF（　對頂角相等　 ）
∴∠1＝∠DGF（等量代換）
∴　BD　 ∥　CE　 （　同位角相等，兩直線平行　 ）
∴∠3+∠　C　 ＝180°（　兩直線平行，同旁內角互補　 ）
又∵∠3＝∠4（已知）
∴∠4+∠C＝180°（等量代換）
∴　AC　 ∥　DF　 （　同旁內角互補，兩直線平行　 ）
∴∠A＝∠F（　兩直線平行，內錯角相等　 ）
【解答】解：∵∠1＝∠2（已知）
∠2＝∠DGF （對頂角相等）
∴∠1＝∠DGF（ 等量代換 ）
∴BD∥CE （同位角相等，兩直線平行）
∴∠3+∠C＝180° （兩直線平行，同旁內角互補）
又∵∠3＝∠4（已知）
∴∠4+∠C＝180°
∴AC∥DF（同旁內角互補，兩直線平行）
∴∠A＝∠F （兩直線平行，內錯角相等）；
故答案為：對頂角相等；BD；CE；同位角相等，兩直線平行；C；兩直線平行，同旁內角互補；AC，DF；同旁內角互補，兩直線平行；兩直線平行，內錯角相等．
38．已知，如圖，EF⊥AC于F，DB⊥AC于M，∠1＝∠2，∠3＝∠C，求證：AB∥MN．
【解答】證明：∵EF⊥AC，DB⊥AC，
∴EF∥DM，
∴∠2＝∠CDM，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠CDM，
∴MN∥CD，
∴∠C＝∠AMN，
∵∠3＝∠C，
∴∠3＝∠AMN，
∴AB∥MN．
39．如圖，∠ABC＝∠ADC，BF，DE分別是∠ABC，∠ADC的角平分線，∠1＝∠2，求證：DC∥AB．
【解答】證明：∵BF，DE分別是∠ABC，∠ADC的角平分線，
∴∠3∠ADC，∠2∠ABC，
∵∠ABC＝∠ADC，
∴∠3＝∠2，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3，
∴DC∥AB．
40．如圖，已知直線AB、CD被直線AC所截，AB∥CD，E是平面內任意一點（點E不在直線AB、CD、AC上），設∠BAE＝α，∠DCE＝β．下列各式：①α+β，②α﹣β，③β﹣α，④360°﹣α﹣β，∠AEC的度數可能是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【解答】解：（1）如圖，由AB∥CD，可得∠AOC＝∠DCE1＝β，
∵∠AOC＝∠BAE1+∠AE1C，
∴∠AE1C＝β﹣α．
（2）如圖，過E2作AB平行線，則由AB∥CD，可得∠1＝∠BAE2＝α，∠2＝∠DCE2＝β，
∴∠AE2C＝α+β．
（3）如圖，由AB∥CD，可得∠BOE3＝∠DCE3＝β，
∵∠BAE3＝∠BOE3+∠AE3C，
∴∠AE3C＝α﹣β．
（4）如圖，由AB∥CD，可得∠BAE4+∠AE4C+∠DCE4＝360°，
∴∠AE4C＝360°﹣α﹣β．
∴∠AEC的度數可能為β﹣α，α+β，α﹣β，360°﹣α﹣β．
（5）當點E在CD的下方時，同理可得，∠AEC＝α﹣β或β﹣α．
故選：D．
41．如圖，已知長方形紙片ABCD，點E，H在AD邊上，點F，G在BC邊上，分別沿EF，GH折疊，使點B和點C都落在點P處，若∠FEH+∠EHG＝118°，則∠FPG的度數為（　　）
A．54° B．55° C．56° D．57°
【解答】解：∵四邊形ABCD是長方形，
∴AD∥BC，
∴∠FEH＝∠BFE，∠EHG＝∠CGH，
∴∠BFE+∠CGH＝∠FEH+∠EHG＝118°，
由折疊可知：
EF，GH分別是∠BFP和∠CGP的角平分線，
∴∠PFE＝∠BFE，∠PGH＝∠CGH，
∴∠PFE+∠PGH＝∠BFE+∠CGH＝118°，
∴∠BFP+∠CGP＝2（∠BFE+∠CGH）＝236°，
∴∠PFG+∠PGF＝360°﹣（∠BFP+∠CGP）＝360°﹣236°＝124°，
∴∠FPG＝180°﹣（∠PFG+∠PGF）＝180°﹣124°＝56°．
故選：C．
42．如圖，直線l1∥l2，∠1＝20°，則∠2+∠3＝　200°　 ．
【解答】解：過∠2的頂點作l2的平行線l，如圖所示：
則l∥l1∥l2，
∴∠4＝∠1＝20°，∠BAC+∠3＝180°，
∴∠2+∠3＝180°+20°＝200°；
故答案為：200°．
43．如圖，直線EF上有兩點A、C，分別引兩條射線AB、CD，∠DCF＝60°，∠EAB＝70°，射線AB、CD分別繞A點，C點以1度/秒和4度/秒的速度同時順時針轉動，在射線CD轉動一周的時間內，使得CD與AB平行所有滿足條件的時間＝　秒或秒　 ．
【解答】解：∵∠EAB＝70°，∠DCF＝60°，
∴∠BAC＝110°，∠ACD＝120°，
分二種情況：
如圖①，AB與CD在EF的兩側時，
∠ACD＝120°﹣（4t）°，∠BAC＝110°﹣t°，
要使AB∥CD，則∠ACD＝∠BAC，
即120°﹣（4t）°＝110°﹣t°，
解得t；
②CD旋轉到與AB都在EF的右側時，
∠DCF＝360°﹣（4t）°﹣60°＝300°﹣（4t）°，∠BAC＝110°﹣t°，
要使AB∥CD，則∠DCF＝∠BAC，
即300°﹣（4t）°＝110°﹣t°，
解得t；
綜上所述，當時間t的值為 或秒時，CD與AB平行．
故答案為： 秒或秒．
44．如圖，將長方形ABCD沿線段EF折疊到EB'C'F的位置，若∠EFC'＝100°，則∠DFC'的度數為（　　）
A．20° B．30° C．40° D．50°
【解答】解：由翻折知，∠EFC＝∠EFC'＝100°，
∴∠EFC+∠EFC'＝200°，
∴∠DFC'＝∠EFC+∠EFC'﹣180°＝200°﹣180°＝20°，
故選：A．
45．已知∠1的兩邊分別平行于∠2的兩邊，若∠1＝40°，則∠2的度數為 　40°或140°　 ．
【解答】解：①若∠1與∠2位置如圖1所示：
∵AB∥DE，
∴∠1＝∠3，
又∵DC∥EF，
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠2，
又∵∠1＝40°，
∴∠2＝40°；
②若∠1與∠2位置如圖2所示：
∵AB∥DE，
∴∠1＝∠3，
又∵DC∥EF，
∴∠2+∠3＝180°，
∴∠2+∠1＝180°，
又∵∠1＝40°
∴∠2＝180°﹣∠1＝180°﹣40°＝140°，
綜合所述：∠2的度數為40°或140°，
故答案為：40°或140°．
46．已知直線AB∥CD．
（1）如圖1，直接寫出∠BME、∠E、∠END的數量關系為　∠E＝∠END﹣∠BME　 ；
（2）如圖2，∠BME與∠CNE的角平分線所在的直線相交于點P，試探究∠P與∠E之間的數量關系，并證明你的結論；
（3）如圖3，∠ABM∠MBE，∠CDN∠NDE，直線MB、ND交于點F，則　　 ．
【解答】解：（1）如圖1，∵AB∥CD，
∴∠END＝∠EFB，
∵∠EFB是△MEF的外角，
∴∠E＝∠EFB﹣∠BME＝∠END﹣∠BME，
故答案為：∠E＝∠END﹣∠BME；
（2）如圖2，∵AB∥CD，
∴∠CNP＝∠NGB，
∵∠NPM是△GPM的外角，
∴∠NPM＝∠NGB+∠PMA＝∠CNP+∠PMA，
∵MQ平分∠BME，PN平分∠CNE，
∴∠CNE＝2∠CNP，∠FME＝2∠BMQ＝2∠PMA，
∵AB∥CD，
∴∠MFE＝∠CNE＝2∠CNP，
∵△EFM中，∠E+∠FME+∠MFE＝180°，
∴∠E+2∠PMA+2∠CNP＝180°，
即∠E+2（∠PMA+∠CNP）＝180°，
∴∠E+2∠NPM＝180°；
（3）如圖3，延長AB交DE于G，延長CD交BF于H，
∵AB∥CD，
∴∠CDG＝∠AGE，
∵∠ABE是△BEG的外角，
∴∠E＝∠ABE﹣∠AGE＝∠ABE﹣∠CDE，①
∵∠ABM∠MBE，∠CDN∠NDE，
∴∠ABM∠ABE＝∠CHB，∠CDN∠CDE＝∠FDH，
∵∠CHB是△DFH的外角，
∴∠F＝∠CHB﹣∠FDH∠ABE∠CDE（∠ABE﹣∠CDE），②
由①代入②，可得∠F∠E，
即．
故答案為：．
47．將一副三角板中的兩根直角頂點C疊放在一起（如圖①），其中∠A＝30°，∠B＝60°，∠D＝∠E＝45°．
（1）若∠BCD＝150°，求∠ACE的度數；
（2）試猜想∠BCD與∠ACE的數量關系，請說明理由；
（3）若按住三角板ABC不動，繞頂點C轉動三角板DCE，試探究∠BCD等于多少度時，CD∥AB，并簡要說明理由．
【解答】解：（1）∵∠BCA＝∠ECD＝90°，∠BCD＝150°，
∴∠DCA＝∠BCD﹣∠BCA＝150°﹣90°＝60°，
∴∠ACE＝∠ECD﹣∠DCA＝90°﹣60°＝30°；
（2）∠BCD+∠ACE＝180°，理由如下：
∵∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝90°+∠ACD，
∠ACE＝∠DCE﹣∠ACD＝90°﹣∠ACD，
∴∠BCD+∠ACE＝180°；
（3）當∠BCD＝120°或60°時，CD∥AB．
如圖②，根據同旁內角互補，兩直線平行，
當∠B+∠BCD＝180°時，CD∥AB，此時∠BCD＝180°﹣∠B＝180°﹣60°＝120°；
如圖③，根據內錯角相等，兩直線平行，
當∠B＝∠BCD＝60°時，CD∥AB．
48．將一副三角板如圖1所示擺放，直線GH∥MN，現將三角板ABC繞點A以每秒1°的速度順時針旋轉，同時三角板DEF繞點D以每秒2°的速度順時針旋轉，設時間為t秒，如圖2，∠BAH＝t°，∠FDM＝2t°，且0≤t≤150，若邊BC與三角板的一條直角邊（邊DE，DF）平行時，則所有滿足條件的t的值為 　30或120　 ．
【解答】解：由題意得，∠HAC＝∠BAH+∠BAC＝t°+30°，∠FDM＝2t°，
（1）如圖1，當DE∥BC時，延長AC交MN于點P，
①DE在MN上方時，
∵DE∥BC，DE⊥DF，AC⊥BC，
∴AP∥DF，
∴∠FDM＝∠MPA，
∵MN∥GH，
∴∠MPA＝∠HAC，
∴∠FDM＝∠HAC，即2t°＝t°+30°，
∴t＝30，
②DE在MN下方時，∠FDP＝2t°﹣180°，
∵DE∥BC，DE⊥DF，AC⊥BC，
∴AP∥DF，
∴∠FDP＝∠MPA，
∵MN∥GH，
∴∠MPA＝∠HAC，
∴∠FDP＝∠HAC，即2t°﹣180°＝t°+30°，
∴t＝210（不符合題意，舍去），
（2）當BC∥DF時，延長AC交MN于點I，
①DF在MN上方時，BC∥DF，如圖，
根據題意得：∠FDN＝180°﹣2t°，
∵DF∥BC，AC⊥BC，
∴CI⊥DF，
∴∠FDN+∠MIC＝90°，
即180°﹣2t°+t°+30°＝90°，
∴t＝120，
∴2t＝240°＞180°，此時DF應該在MN下方，不符合題意，舍去；
②DF在MN下方時，如圖，
根據題意可知：∠FDN＝2t°﹣180°，
∵DF∥BC，
∴∠MIC＝∠NDF，
∴∠NDF＝∠AQI＝t+30°﹣90°＝t﹣60°，
即2t°﹣180°＝t°﹣60°，
∴t＝120，
綜上所述：所有滿足條件的t的值為30或120．
故答案為：30或120．
49．如圖1，AB∥CD，直線EF交AB于點E，交CD于點F，點G在CD上，點P在直線EF左側、且在直線AB和CD之間，連接PE、PG．
（1）求證：∠EPG＝∠AEP+∠PGC；
（2）連接EG，若EG平分∠PEF，∠AEP+∠PGE＝110°，∠PGC∠EFC，求∠AEP的度數；
（3）如圖2，若EF平分∠PEB，∠PGC的平分線所在的直線與EF相交于點H，則∠EPG與∠EHG之間的數量關系為　∠EPG+2∠EHG＝180°．　 ．
【解答】解：（1）如圖1，延長EP交CD于M，
∵AB∥CD，
∴∠AEP＝∠GMP，
∵∠EPG是△PGM的外角，
∴∠EPG＝∠PMG+∠PGC＝∠AEP+∠PGC；
（2）如圖1，連接EG，
∵GE平分∠PEF，
∴∠PEG＝∠FEG，
設∠AEP＝α，∠PGC＝β，則∠PGE＝110°﹣α，∠EFG＝2β，
∵AE∥CG，∠AEP+∠PGE＝110°，
∴∠PEG+∠PGC＝180°﹣110°＝70°，即∠PEG＝70°﹣β，
∵∠CGE是△EFG的外角，
∴∠FEG＝∠CGE﹣∠EFG＝β+（110°﹣α）﹣2β＝110°﹣α﹣β，
70°﹣β＝110°﹣α﹣β，
解得α＝40°，
∴∠AEP＝40°；
（3）如圖2，∵EF平分∠PEB，
∴可設∠BEF＝∠PEF＝α，
∵AB∥CD，
∴∠GFE＝∠BEF＝α，
∴四邊形PGFE中，∠PGF＝360°﹣∠P﹣2α，
∴∠PGC＝180°﹣（360°﹣∠P﹣2α）＝∠P+2α﹣180°，
∵∠EFG是△FGH的外角，
∴∠FGH＝∠EFG﹣∠EHG＝α﹣∠EHG，
又∵QG平分∠PGC，
∴∠PGC＝2∠FGH，
即∠P+2α﹣180°＝2（α﹣∠EHG），
整理可得，∠P+2∠EHG＝180°．
故答案為：∠P+2∠EHG＝180°．
六．平移的性質（共6小題）
50．如圖，△ABC沿著由點B到點E的方向，平移到△DEF，已知BC＝5．EC＝3，那么平移的距離為（　　）
A．2 B．3 C．5 D．7
【解答】解：根據平移的性質，
易得平移的距離＝BE＝5﹣3＝2，
故選：A．
51．如圖，將三角形ABE向右平移1cm得到三角形DCF，如果三角形ABE的周長是10cm，那么四邊形ABFD的周長是（　　）
A．12cm B．16cm C．18cm D．20cm
【解答】解：∵△ABE的周長＝AB+BE+AE＝10（cm），由平移的性質可知，BC＝AD＝EF＝1（cm），AE＝DF，
∴四邊形ABFD的周長＝AB+BE+EF+DF+AD＝10+1+1＝12（cm）．
故選：A．
52．如圖，將Rt△ABC沿著點B到C的方向平移到△DEF的位置，AB＝10，DO＝4，平移距離為6，則陰影部分面積為（　　）
A．42 B．96 C．84 D．48
【解答】解：由平移的性質知，BE＝6，DE＝AB＝10，
∴OE＝DE﹣DO＝10﹣4＝6，
∴S四邊形ODFC＝S梯形ABEO（AB+OE） BE（10+6）×6＝48．
故選：D．
53．如圖，將長為5cm，寬為3cm的長方形ABCD先向右平移2cm，再向下平移1cm，得到長方形A'B'C'D'，則陰影部分的面積為　18　 cm2．
【解答】解：由題意，空白部分是矩形，長為5﹣2＝3（cm），寬為3﹣1＝2（cm），
∴陰影部分的面積＝5×3×2﹣2×2×3＝18（cm2），
故答案為：18．
54．如圖，∠1＝70°，將直線m向右平移到直線n處，則∠2﹣∠3＝　110　 °．
【解答】解：如圖，延長AB，交直線n于點C，
由平移的性質得：m∥n，
∴∠BCD＝180°﹣∠1＝180°﹣70°＝110°，
∵∠2﹣∠BDC＝∠BCD，∠BDC＝∠3，
∴∠2﹣∠3＝∠BCD＝110°，
故答案為：110．
55．如圖，已知AB∥CD，點E在直線AB，CD之間，連接AE，CE．
【感知】如圖①，若∠BAE＝40°，∠ECD＝50°，則∠AEC＝　90　 °；
【探究】如圖②，猜想∠BAE、∠ECD和∠AEC之間有什么樣的數量關系，并說明理由；
【應用】如圖③，若AH平分∠BAE，將線段CE沿CD方向平移至FG（CE∥FG）．若∠AEC＝80°，FH平分∠DFG，則∠AHF＝　40　 °．
【解答】解：【感知】如圖①，
過E作EF∥AB，
∵AB∥CD，∠BAE＝40°，∠ECD＝50°，
∴EF∥CD，
∴∠BAE＝∠AEF＝40°，∠ECD＝∠CEF＝50°，
∴∠AEC＝∠AEF+∠CEF＝∠BAE+∠ECD＝40°+50°＝90°．
故答案為：90°；
【探究】∠BAE+∠DCE＝∠AEC，理由：
如圖②，過E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠BAE＝∠AEF，∠DCE＝∠CEF，
∴∠AEC＝∠AEF+∠CEF＝∠BAE+∠DCE，
∴∠BAE+∠DCE＝∠AEC；
【應用】如圖③中，
∵FG∥CE，
∴∠ECD＝∠GFD，
∵AH平分∠BAE，HF平分∠GFD，
∴∠BAH∠BAE，∠DFH∠DFG∠DCE，
∴∠AHF＝∠BAH+∠DFH（∠BAE+∠DCE），
∵∠BAE+∠DCE＝∠AEC＝80°，
∴∠AHF80°＝40°．
故答案為：40．
七．生活中的平移現象（共5小題）
56．如圖，哪一個選項的右邊圖形可由左邊圖形平移得到（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：觀察圖形可知C中的圖形是平移得到的．
故選：C．
57．如圖所示的圖案分別是奔馳、奧迪、大眾、三菱汽車的車標，其中，可以看作由“基本圖案”經過平移得到的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：觀察圖形可知，圖案B可以看作由“基本圖案”經過平移得到．
故選：B．
58．下列生活中的各個現象，屬于平移變換現象的是（　　）
A．拉開抽屜 B．用放大鏡看文字
C．時鐘上分針的運動 D．你和平面鏡中的像
【解答】解：A、是平移；
B、大小發生變化，不是平移；
C、是旋轉；
D、你和平面鏡中的像不是平移，是軸對稱．
故選：A．
59．某數學興趣小組開展動手操作活動，設計了如圖所示的三種圖形，現計劃用鐵絲按照圖形制作相應的造型，則所用鐵絲的長度關系是（　　）
A．甲種方案所用鐵絲最長
B．乙種方案所用鐵絲最長
C．丙種方案所用鐵絲最長
D．三種方案所用鐵絲一樣長
【解答】解：由圖形可得出：甲所用鐵絲的長度為：2a+2b，
乙所用鐵絲的長度為：2a+2b，
丙所用鐵絲的長度為：2a+2b，
故三種方案所用鐵絲一樣長．
故選：D．
60．圖形操作：（圖1、圖2、中的長方形的長均為10米，寬均為5米）
在圖1中，將線段AB向上平移1米到A′B′，得到封閉圖形AA′B′B（陰影部分）；
在圖2中，將折線ABC（其中點B叫做折線ABC的一個“折點”）向上平移1米到折線A′B′C′，得到封閉圖形AA′B′C′CB（陰影部分）．
（1）問題解決，設圖1，圖2中除去陰影部分后剩下部分的面積分別為S1，S2，則S1＝　40　 平方米；并比較大小：S1　＝　 S2（填“＞”“＝”或＜”）；
（2）聯想探索：如圖3，在一塊長方形草地上，有一條彎曲的柏油小路（小路的寬度是1米），長方形的長為a，寬為b，請你直接寫出空白部分表示的草地的面積是 　a（b﹣1）或ab﹣a　 平方米（用含a，b的式子表示）．
（3）實際運用：如圖4，在長方形地塊內修筑同樣寬的兩條“相交”的道路（道路與長方形的邊平行或垂直），余下部分作為耕地，若道路寬為4米，則剩余的耕地面積為 　448　 平方米．
【解答】解：（1）設圖1，圖2中除去陰影部分后剩下部分的面積分別為S1，S2，
則S1＝10×（5﹣1）＝10×4＝40平方米，S2＝10×（5﹣1）＝10×4＝40平方米；
∴S1＝S2．
故答案為：40，＝．
（2）如圖3，長方形的長為32米，寬為20米，小路的寬度是1米，
∴空白部分表示的草地的面積是a（b﹣1）＝（ab﹣a）平方單位．
故答案為：（ab﹣a）．
（3）如圖4，長方形的長為a，寬為b，道路寬為4米，
∴空白部分表示的草地的面積是（32﹣4）（20﹣4）＝448平方米．
故答案為：448
(
1
)第一章 相交線與平行線
考點分布
一．對頂角、鄰補角
二．點到直線的距離
三．同位角、內錯角、同旁內角
四．平行線
五．平行線的判定與性質
六．平移的性質
七．生活中的平移現象
一．對頂角、鄰補角
知識點梳理：對頂角、鄰補角
（1）對頂角：有一個公共頂點，并且一個角的兩邊分別是另一個角的兩邊的反向延長線，具有這種位置關系的兩個角，互為對頂角．
（2）鄰補角：只有一條公共邊，它們的另一邊互為反向延長線，具有這種關系的兩個角，互為鄰補角．
（3）對頂角的性質：對頂角相等．
（4）鄰補角的性質：鄰補角互補，即和為180°．
（5）鄰補角、對頂角成對出現，在相交直線中，一個角的鄰補角有兩個．鄰補角、對頂角都是相對與兩個角而言，是指的兩個角的一種位置關系．它們都是在兩直線相交的前提下形成的．
例題講解：
1．如圖，下列各組角中，是對頂角的一組是（　　）
A．∠1和∠2 B．∠3和∠5 C．∠3和∠4 D．∠1和∠5
2．在下面四個圖形中，∠1與∠2是對頂角的是（　　）
A． B．
C． D．
3．如圖，已知直線AB、CD相交于點O，OE平分∠COB，若∠EOB＝50°，則∠BOD的度數是（　　）
A．50° B．60° C．80° D．70°
4．如圖，直線AB、CD相交于點O，OA平分∠EOC，∠EOC：∠EOD＝1：2，則∠BOD等于（　　）
A．30° B．36° C．45° D．72°
5．圖中是對頂角量角器，用它測量角的原理是 　 　 ．
6．如圖，直線AB、CD相交于點O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE．若∠AOC的度數為2α．則∠EOF＝　 　 ．（用含α的代數式表示）
7．如圖，直線AB，CD相交于點O，OE平分∠BOC，∠FOD＝90°．
（1）若∠AOF＝50°，求∠BOE的度數；
（2）若∠BOD：∠BOE＝1：4，求∠AOF的度數．
二．點到直線的距離
知識點梳理：
點到直線的距離
（1）點到直線的距離：直線外一點到直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離．
（2）點到直線的距離是一個長度，而不是一個圖形，也就是垂線段的長度，而不是垂線段．它只能量出或求出，而不能說畫出，畫出的是垂線段這個圖形．
例題講解：
8．下列圖形中，線段AD的長表示點A到直線BC距離的是（　　）
A． B．
C． D．
9．小明同學在體育課上跳遠后留下的腳印如圖所示，為了測量他的跳遠成績，測量了腳印上最后的點P到起跳線l的距離，應該選擇線段 　 　 的長度作為小明的跳遠成績．
10．如圖，在鐵路旁有一李莊，現要建一火車站，為了使李莊人乘車最方便，請你在鐵路線上選一點來建火車站，應建在（　　）
A．A點 B．B點 C．C點 D．D點
11．如圖，要把河中的水引到水池A中，應在河岸B處（AB⊥CD）開始挖渠才能使水渠的長度最短，這樣做依據的幾何學原理是（　　）
A．兩點之間線段最短 B．點到直線的距離
C．兩點確定一條直線 D．垂線段最短
12．如圖，△ABC中，CD⊥AB，M是AD上的點，連接CM，其中AC＝10cm，CM＝8cm，CD＝6cm，CB＝8cm，則點C到邊AB所在直線的距離是 　 　 cm．
13．如圖，河道l的同側有A，B兩個村莊，計劃鋪設一條管道將河水引至A，B兩地，下面的
四個方案中，管道長度最短的是（　　）
A． B．
C． D．
14．下列圖形中，線段MN的長度表示點M到直線l的距離的是（　　）
A． B．
C． D．
三．同位角、內錯角、同旁內角
知識點梳理：
同位角、內錯角、同旁內角
（1）同位角：兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個角都在兩直線的同側，并且在第三條直線（截線）的同旁，則這樣一對角叫做同位角．
（2）內錯角：兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個角都在兩直線的之間，并且在第三條直線（截線）的兩旁，則這樣一對角叫做內錯角．
（3）同旁內角：兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個角都在兩直線的之間，并且在第三條直線（截線）的同旁，則這樣一對角叫做同旁內角．
（4）三線八角中的某兩個角是不是同位角、內錯角或同旁內角，完全由那兩個角在圖形中的相對位置決定．在復雜的圖形中判別三類角時，應從角的兩邊入手，具有上述關系的角必有兩邊在同一直線上，此直線即為截線，而另外不在同一直線上的兩邊，它們所在的直線即為被截的線．同位角的邊構成“F“形，內錯角的邊構成“Z“形，同旁內角的邊構成“U”形．
例題講解：
15．下列所示的四個圖形中，∠1和∠2是同位角的是（　　）
A．②③ B．①②③ C．①②④ D．①④
16．如圖，下列結論中錯誤的是（　　）
A．∠1與∠2是同旁內角 B．∠1與∠6是內錯角
C．∠2與∠5是內錯角 D．∠3與∠5是同位角
17．如圖，直線AD，BE被直線BF和AC所截，則∠1的同位角和∠5的內錯角分別是（　　）
A．∠4，∠2 B．∠2，∠6 C．∠5，∠4 D．∠2，∠4
18．如圖．
（1）當直線AC、DG被直線CD所截時，∠2的內錯角是 　 　 ；
（2）∠AEF的同位角是 　 　 ；
（3）∠1的同旁內角是 　 　 ．
19．如圖，有下列說法：①能與∠DEF構成內錯角的角的個數有2個；②能與∠BFE構成同位角的角的個數有2個；③能與∠C構成同旁內角的角的個數有4個．其中正確結論的序號是 　 　 ．
20．下列四幅圖中，∠1和∠2是同位角的是 　 　 ．
四．平行線
知識點梳理：
平行線
在同一平面內，兩條直線的位置關系有兩種：平行和相交（重合除外）．
（1）平行線的定義：在同一平面內，不相交的兩條直線叫平行線．
記作：a∥b；
讀作：直線a平行于直線b．
（2）同一平面內，兩條直線的位置關系：平行或相交，對于這一知識的理解過程中要注意：
①前提是在同一平面內；
②對于線段或射線來說，指的是它們所在的直線．
例題講解：
21．下列說法不正確的是（　　）
A．過任意一點可作已知直線的一條平行線
B．同一平面內兩條不相交的直線是平行線
C．在同一平面內，過直線外一點只能畫一條直線與已知直線垂直
D．平行于同一直線的兩直線平行
22．下列說法中，正確的是（　　）
A．兩條不相交的直線叫做平行線
B．一條直線的平行線有且只有一條
C．在同一平面內，若直線a∥b，a∥c，則b∥c
D．若兩條線段不相交，則它們互相平行
23．在同一平面內，不重合的兩條直線的位置關系是（　　）
A．平行 B．相交
C．相交或垂直 D．相交或平行
24．在下列4個判斷中：
①在同一平面內，不相交也不重合的兩條線段一定平行；②在同一平面內，不相交也不重合的兩條直線一定平行；③在同一平面內，不平行也不重合的兩條線段一定相交；④在同一平面內，不平行也不重合的兩條直線一定相交．正確判斷的個數是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
25．在同一平面內，若a⊥b，b⊥c，則a與c的位置關系是 　 　 ．
26．在下面的方格紙中經過點C畫與線段AB互相平行的直線l1，再經過點B畫一條與線段AB垂直的直線l2．
五．平行線的判定與性質
知識點梳理：
平行線的判定
（1）定理1：兩條直線被第三條所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行． 簡單說成：同位角相等，兩直線平行．
（2）定理2：兩條直線被第三條所截，如果內錯角相等，那么這兩條直線平行．簡單說成：內錯角相等，兩直線平行．
（3 ）定理3：兩條直線被第三條所截，如果同旁內角互補，那么這兩條直線平行．簡單說成：同旁內角互補，兩直線平行．
（4）定理4：兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線平行．
（5）定理5：在同一平面內，如果兩條直線同時垂直于同一條直線，那么這兩條直線平行．
平行線的性質
1、平行線性質定理
定理1：兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等．簡單說成：兩直線平行，同位角相等．
定理2：兩條平行線被第三條直線所截，同旁內角互補．簡單說成：兩直線平行，同旁內角互補．
定理3：兩條平行線被第三條直線所截，內錯角相等．簡單說成：兩直線平行，內錯角相等．
2、兩條平行線之間的距離處處相等．
例題講解：
27．如圖所示，點E在AC的延長線上，下列條件中能判斷AB∥CD的是（　　）
A．∠3＝∠A B．∠1＝∠2
C．∠D＝∠DCE D．∠D+∠ACD＝180°
28．如圖，下列條件中，不能判斷直線l1∥l2的是（　　）
A．∠1＝∠3 B．∠2＝∠3
C．∠4＝∠5 D．∠2+∠4＝180°
29．如圖，小明利用兩塊相同的三角板，分別在三角板的邊緣畫直線AB和CD，并由此判定AB∥CD，這是根據 　 　 ，兩直線平行．
30．如圖，把一塊含有45°的直角三角形的兩個頂點放在直尺的對邊上．如果∠1＝20°，那么∠2的度數是（　　）
A．15° B．20° C．25° D．30°
31．如圖，∠1＝120°，∠2＝60°，∠3＝100°，則∠4＝　 　 時，AB∥EF．
32．如圖，EF∥BC，AC平分∠BAF，∠B＝80°．求∠C的度數．
33．已知：如圖，AD∥BE，∠1＝∠2，求證：∠A＝∠E．
34．如圖所示，一條公路修到湖邊時，需要拐彎繞湖而過，第一次拐的角∠A＝110°，第二次拐的角∠B＝145°，則第三次拐的角∠C＝　 　 時，道路CE才能恰好與AD平行．
35．將一塊三角板ABC（∠BAC＝90°，∠ABC＝30°）按如圖方式放置，使A，B兩點分別落在直線m，n上．對于給出的五個條件：①∠1＝25.5°，∠2＝55°30'；②∠2＝2∠1；③∠1+∠2＝90°；④∠ACB＝∠1+∠2；⑤∠ABC＝∠2﹣∠1．能判斷直線m∥n的有 　 　 ．（填序號）
36．如圖表示釘在一起的木條a，b，c．若測得∠1＝50°，∠2＝75°，要使木條a∥b，木條a至少要旋轉 　 　 °．
37．閱讀理解，補全證明過程及推理依據．
已知：如圖，點E在直線DF上，點B在直線AC上，∠1＝∠2，∠3＝∠4．
求證∠A＝∠F
證明：∵∠1＝∠2（已知）
∠2＝∠DGF（　 　 ）
∴∠1＝∠DGF（等量代換）
∴　 　 ∥　 　 （　 　 ）
∴∠3+∠　 　 ＝180°（　 　 ）
又∵∠3＝∠4（已知）
∴∠4+∠C＝180°（等量代換）
∴　 　 ∥　 　 （　 　 ）
∴∠A＝∠F（　 　 ）
38．已知，如圖，EF⊥AC于F，DB⊥AC于M，∠1＝∠2，∠3＝∠C，求證：AB∥MN．
39．如圖，∠ABC＝∠ADC，BF，DE分別是∠ABC，∠ADC的角平分線，∠1＝∠2，求證：DC∥AB．
40．如圖，已知直線AB、CD被直線AC所截，AB∥CD，E是平面內任意一點（點E不在直線AB、CD、AC上），設∠BAE＝α，∠DCE＝β．下列各式：①α+β，②α﹣β，③β﹣α，④360°﹣α﹣β，∠AEC的度數可能是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
41．如圖，已知長方形紙片ABCD，點E，H在AD邊上，點F，G在BC邊上，分別沿EF，GH折疊，使點B和點C都落在點P處，若∠FEH+∠EHG＝118°，則∠FPG的度數為（　　）
A．54° B．55° C．56° D．57°
42．如圖，直線l1∥l2，∠1＝20°，則∠2+∠3＝　 　 ．
43．如圖，直線EF上有兩點A、C，分別引兩條射線AB、CD，∠DCF＝60°，∠EAB＝70°，射線AB、CD分別繞A點，C點以1度/秒和4度/秒的速度同時順時針轉動，在射線CD轉動一周的時間內，使得CD與AB平行所有滿足條件的時間＝　 　 ．
44．如圖，將長方形ABCD沿線段EF折疊到EB'C'F的位置，若∠EFC'＝100°，則∠DFC'的度數為（　　）
A．20° B．30° C．40° D．50°
45．已知∠1的兩邊分別平行于∠2的兩邊，若∠1＝40°，則∠2的度數為 　 　 ．
46．已知直線AB∥CD．
（1）如圖1，直接寫出∠BME、∠E、∠END的數量關系為　 　 ；
（2）如圖2，∠BME與∠CNE的角平分線所在的直線相交于點P，試探究∠P與∠E之間的數量關系，并證明你的結論；
（3）如圖3，∠ABM∠MBE，∠CDN∠NDE，直線MB、ND交于點F，則　 　 ．
47．將一副三角板中的兩根直角頂點C疊放在一起（如圖①），其中∠A＝30°，∠B＝60°，∠D＝∠E＝45°．
（1）若∠BCD＝150°，求∠ACE的度數；
（2）試猜想∠BCD與∠ACE的數量關系，請說明理由；
（3）若按住三角板ABC不動，繞頂點C轉動三角板DCE，試探究∠BCD等于多少度時，CD∥AB，并簡要說明理由．
48．將一副三角板如圖1所示擺放，直線GH∥MN，現將三角板ABC繞點A以每秒1°的速度順時針旋轉，同時三角板DEF繞點D以每秒2°的速度順時針旋轉，設時間為t秒，如圖2，∠BAH＝t°，∠FDM＝2t°，且0≤t≤150，若邊BC與三角板的一條直角邊（邊DE，DF）平行時，則所有滿足條件的t的值為 　 　 ．
49．如圖1，AB∥CD，直線EF交AB于點E，交CD于點F，點G在CD上，點P在直線EF左側、且在直線AB和CD之間，連接PE、PG．
（1）求證：∠EPG＝∠AEP+∠PGC；
（2）連接EG，若EG平分∠PEF，∠AEP+∠PGE＝110°，∠PGC∠EFC，求∠AEP的度數；
（3）如圖2，若EF平分∠PEB，∠PGC的平分線所在的直線與EF相交于點H，則∠EPG與∠EHG之間的數量關系為　 　 ．
六．平移的性質
知識點梳理：
平移的性質
（1）平移的條件：平移的方向、平移的距離
（2）平移的性質
①把一個圖形整體沿某一直線方向移動，會得到一個新的圖形，新圖形與原圖形的形狀和大小完全相同．
②新圖形中的每一點，都是由原圖形中的某一點移動后得到的，這兩個點是對應點．連接各組對應點的線段平行且相等．
例題講解：
50．如圖，△ABC沿著由點B到點E的方向，平移到△DEF，已知BC＝5．EC＝3，那么平移的距離為（　　）
A．2 B．3 C．5 D．7
51．如圖，將三角形ABE向右平移1cm得到三角形DCF，如果三角形ABE的周長是10cm，那么四邊形ABFD的周長是（　　）
A．12cm B．16cm C．18cm D．20cm
52．如圖，將Rt△ABC沿著點B到C的方向平移到△DEF的位置，AB＝10，DO＝4，平移距離為6，則陰影部分面積為（　　）
A．42 B．96 C．84 D．48
53．如圖，將長為5cm，寬為3cm的長方形ABCD先向右平移2cm，再向下平移1cm，得到長方形A'B'C'D'，則陰影部分的面積為　 　 cm2．
54．如圖，∠1＝70°，將直線m向右平移到直線n處，則∠2﹣∠3＝　 　 °．
55．如圖，已知AB∥CD，點E在直線AB，CD之間，連接AE，CE．
【感知】如圖①，若∠BAE＝40°，∠ECD＝50°，則∠AEC＝　 　 °；
【探究】如圖②，猜想∠BAE、∠ECD和∠AEC之間有什么樣的數量關系，并說明理由；
【應用】如圖③，若AH平分∠BAE，將線段CE沿CD方向平移至FG（CE∥FG）．若∠AEC＝80°，FH平分∠DFG，則∠AHF＝　 　 °．
七．生活中的平移現象
知識點梳理：
生活中的平移現象
1、平移的概念
在平面內，把一個圖形整體沿某一的方向移動，這種圖形的平行移動，叫做平移變換，簡稱平移．
2、平移是指圖形的平行移動，平移時圖形中所有點移動的方向一致，并且移動的距離相等．
3、確定一個圖形平移的方向和距離，只需確定其中一個點平移的方向和距離．
例題講解：
56．如圖，哪一個選項的右邊圖形可由左邊圖形平移得到（　　）
A． B． C． D．
57．如圖所示的圖案分別是奔馳、奧迪、大眾、三菱汽車的車標，其中，可以看作由“基本圖案”經過平移得到的是（　　）
A． B．
C． D．
58．下列生活中的各個現象，屬于平移變換現象的是（　　）
A．拉開抽屜 B．用放大鏡看文字
C．時鐘上分針的運動 D．你和平面鏡中的像
59．某數學興趣小組開展動手操作活動，設計了如圖所示的三種圖形，現計劃用鐵絲按照圖形制作相應的造型，則所用鐵絲的長度關系是（　　）
A．甲種方案所用鐵絲最長
B．乙種方案所用鐵絲最長
C．丙種方案所用鐵絲最長
D．三種方案所用鐵絲一樣長
60．圖形操作：（圖1、圖2、中的長方形的長均為10米，寬均為5米）
在圖1中，將線段AB向上平移1米到A′B′，得到封閉圖形AA′B′B（陰影部分）；
在圖2中，將折線ABC（其中點B叫做折線ABC的一個“折點”）向上平移1米到折線A′B′C′，得到封閉圖形AA′B′C′CB（陰影部分）．
（1）問題解決，設圖1，圖2中除去陰影部分后剩下部分的面積分別為S1，S2，則S1＝　 　 平方米；并比較大小：S1　 　 S2（填“＞”“＝”或＜”）；
（2）聯想探索：如圖3，在一塊長方形草地上，有一條彎曲的柏油小路（小路的寬度是1米），長方形的長為a，寬為b，請你直接寫出空白部分表示的草地的面積是 　 　 平方米（用含a，b的式子表示）．
（3）實際運用：如圖4，在長方形地塊內修筑同樣寬的兩條“相交”的道路（道路與長方形的邊平行或垂直），余下部分作為耕地，若道路寬為4米，則剩余的耕地面積為 　 　 平方米．
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