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小升初培優講義 多次相遇問題
例題1：小明和小紅兩人在長100米的直線跑道上來回跑步，做體能訓練，小明的速度為6米/秒，小紅的速度為4米/秒．他們同時從跑道兩端出發，連續跑了12分鐘．在這段時間內，他們迎面相遇了多少次？
【答案】39．36
【詳解】第一次相遇時，兩人共跑完了一個全程，所用時間為：(秒)．此后，兩人每相遇一次，就要合跑2倍的跑道長，也就是每20秒相遇一次，除去第一次的10秒，兩人共跑了(秒)．求出710秒內兩人相遇的次數再加上第一次相遇，就是相遇的總次數．列式計算為：(秒)，，共相遇(次)．注：解決問題的關鍵是弄清他們首次相遇以及以后每次相遇兩人合跑的路程長．
例題2：A，B兩地相距540千米．甲、乙兩車往返行駛于A，B兩地之間，都是到達一地之后立即返回，乙車較甲車快．設兩輛車同時從A地出發后第一次和第二次相遇都在途中P地．那么到兩車第三次相遇為止，乙車共走了多少千米？
【答案】2160
【詳解】第一次相遇，甲乙總共走了2個全程，第二次相遇，甲乙總共走了4個全程，乙比甲快，相遇又在P點，所以可以根據總結和畫圖推出：從第一次相遇到第二次相遇，乙從第一個P點到第二個P點，路程正好是第一次的路程．所以假設一個全程為3份，第一次相遇甲走了2份乙走了4份．第二次相遇，乙正好走了1份到B地，又返回走了1份．這樣根據總結：2個全程里乙走了（540÷3）×4=180×4=720千米，乙總共走了720×3=2160千米．
例題3：甲、乙兩車同時從東城出發，開往相距750千米的西城，甲車每小時行68千米，乙車每小時行57千米，甲車到達西城后立刻返回．兩車從出發到相遇一共經過多長時間？
【答案】12小時
【分析】甲車到達西城后返回與乙車相遇時，兩車一共走了2個全程．
【詳解】750×2÷（68+57）
=1500÷125
=12（小時）
答：兩車從出發到相遇一共經過12小時．
例題4：甲乙兩人同時從A、B兩地出發相向而行，兩人在離A地90米處第一次相遇，相遇后兩人仍以原速繼續行駛，并且在各自到達對方出發點后立即沿原路返回，途中兩人在距B地70米處第二次相遇．兩人從第一次相遇到第二次相遇恰好經過了5分鐘，甲、乙兩人的速度是多少？
【答案】甲的速度為每分鐘36米，乙的速度為每分鐘44米
【詳解】解：A、B間距離：90×3－70=270－70=200（米）
甲的速度：90÷（5÷2）=90÷2.5=36（米）
乙的速度：（200－70+90）÷5=220÷5=44（米）
答：甲的速度為每分鐘36米，乙的速度為每分鐘44米．
【點睛】兩人第一次相遇時，合行的路程是A、B之間的距離．兩人從出發到第二次相遇時，合行的路程是三個A、B之間的距離 ，即從第一次相遇到第二次相遇所行的路程應是從出發到第一次相遇的兩倍．因此甲從第一次相遇到第二次相遇所行的時間也是從出發到第一次相遇時間的兩倍，所以甲行90米用了5分鐘的一半時間．
例題5：快、慢兩輛汽車同時從A、B兩地相向而行，快車每小時行45千米，慢車每小時行30千米．兩車不斷往返于A、B兩地運送貨物．當兩車第三次相遇后，快車又行了270千米才與慢車相遇．求A、B兩地間的距離．
【答案】225千米
【分析】快車和慢車第一次相遇后，從一次相會到另一次相會需要行2個全程，已知快車的速度和兩次相會間隔行駛的路程，可求出間隔的時間，又已知兩車的速度和，可求出兩個全程的長度，則甲、乙兩地的距離可求．
【詳解】（45+30）×（270÷45）÷2
=75×6÷2
=225（千米）
答：A、B兩地間的距離是225千米．
例題6：李明和王華步行同時從A、B兩地出發，相向而行，第一次在距離A地520米處相遇，相遇后繼續前進，到對方出發點后立即原速返回，第二次在距離A地440米處相遇，計算A、B兩地之間距離．
【答案】1000米
【分析】第一次相遇時，李明和王華一共行了1個全程，其中李明行了520米；
第二次相遇時，李明和王華一共行了3個全程，李明行了520×3=1560米；李明實際行了兩個全程少440米．可得AB兩地的距離為 (1560+440)÷2=1000米．
【詳解】(520×3+440)÷2
=(1560+440)÷2
=2000÷2
=1000（米）
答：A、B兩地之間距離是1000米．
多次相遇的基本公式和方法計算： 距離、速度、時間這三個量之間的關系，可以用下面的公式來表示：距離＝速度×時間．顯然，知道其中的兩個量，就可以求出第三個量． 還可以發現：當時間相同時，路程和速度成正比；當速度相同時，路程和時間成正比；當路程相同時，速度和時間成反比．也就是說：設甲、乙兩個人，所走的路程分別為S甲、S乙；速度分別為V甲、V乙；所用時間分別為T甲、T乙時，由于S甲＝V甲×T甲，S乙＝V乙×T乙，有如下關系： （1）當時間相同即T甲＝T乙時，有S甲：S乙＝V甲：V乙； （2）當速度相同即V甲＝V乙時，有S甲：S乙＝T甲：T乙； （3）當路程相同即S甲＝S乙時，有V甲：V乙＝T乙：T甲． 在多次相遇、追及問題中，用比例方法來解往往能收到很好的效果．
1．甲乙兩車同時從A地出發，向B地勻速行駛，與此同時，丙車從B地出發向A地勻速行駛，當丙行了30千米時與甲相遇，相遇后甲立即掉頭，并且將速度提高到原來的2倍，當甲乙兩車相遇時，丙行駛了40千米。當乙丙兩車相遇時，甲恰好回到A地，那么AB兩地的距離是多少千米？
2．甲、乙、丙三車同時從地出發到地去．甲、乙兩車的速度分別是每小時60千米和每小時48千米．有一輛卡車同時從地迎面開來，分別在它們出發后6小時、7小時、8小時先后與甲、乙、丙車相遇，求丙車的速度．
3．每天中午有一條輪船從哈佛開往紐約，且每天同一時刻也有一艘輪船從紐約開往哈佛．輪船在途中均要航行七天七夜．試問：某條從哈佛開出的輪船在到達紐約前（途中）能遇上幾艘從紐約開來的輪船？
4．、兩地間有條公路，甲從地出發，步行到地，乙騎摩托車從地出發，不停地往返于、兩地之間，他們同時出發，80分鐘后兩人第一次相遇，100分鐘后乙第一次追上甲，問：當甲到達地時，乙追上甲幾次？
5．甲、乙兩人在一條長為30米的直路上來回跑步，甲的速度是每秒1米，乙的速度是每秒米．如果他們同時分別從直路的兩端出發，當他們跑了10分鐘后，共相遇幾次？
6．在公路上，汽車、、分別以，，的速度勻速行駛，若汽車從甲站開往乙站的同時，汽車、從乙站開往甲站，并且在途中，汽車在與汽車相遇后的兩小時又與汽車相遇，求甲、乙兩站相距多少？
7．李想和朱朱兩人同時分別從甲、乙兩地相對出發，各自到達對方地點后立即返回，兩人第二次相遇時，李想比朱朱多行了210米。求李想、朱朱第一次相遇的地點距離中點多少米？
8．電子游戲《保衛家園》中有兩個警衛兵每天在樂樂家門前一條長20厘米的路上巡邏，大警衛每秒走0.5厘米，小警衛每秒走0.3厘米，每天早晨倆人同時從路的兩段相向走來，走到對方出發地點再向后轉接著走．當他們第三次相遇時，大警衛走了多少厘米？
9．小新、正南、妮妮三人同時從學校出發到公園去。小新、正南兩人的速度分別是每分鐘20米和每分鐘16米。在他們出發的同時，風間從公園迎面走來，分別在他們出發后6分鐘、7分鐘、8分鐘先后與小新、正南、妮妮相遇，求妮妮的速度。
10．汽車從A地出發，到B地去，一人騎自行車同時從B地出發到A地去，當汽車與騎自行車人第一次相遇時，距B地12.8千米，自行車與汽車繼續以原速駛到各自的目的地后立即返回，第二次相遇時，距A地0.24千米，求AB兩地間的路程是多少千米？
11．甲、乙、丙三人在學校到體育場的路上練習競走，甲每分比乙多走10米，比丙多走31米．上午9點三人同時從學校出發，上午10點甲到達體育場后立即返回學校，在距體育場310米處遇到乙．
問：（1）從學校到體育場的距離是多少？
（2）甲與丙何時相遇（精確到秒）？
12．甲、乙兩車分別從A、B兩地同時出發，在A、B間不斷往返行駛。甲車每小時行20千米，乙車每小時行50千米，已知兩車第10次與第18次迎面相遇的地點相距60千米，則A、B相距多少千米？
13．小張、小明兩人同時從甲、乙兩地出發相向而行，兩人在離甲地40米處第一次相遇，相遇后兩人仍以原速繼續行駛，并且在各自到達對方出發點后立即沿原路返回，途中兩人在距乙地15米處第二次相遇．甲、乙兩地相距多少米？
14．甲、乙、丙三人，甲每分鐘走20米，乙每分鐘走22.5米，丙每分鐘走25米。甲、乙從東鎮，丙從西鎮，同時相向出發，丙遇乙后10分鐘再遇甲，求兩鎮相距多少米？
15．甲、乙兩名同學在周長300米的圓形跑道上從同一地點同時背向練習跑步，甲每秒跑3.5米，乙每秒跑4米，他們第十次相遇時，甲還跑多少米才能回到出發點？
16．一輛汽車和一輛摩托車同時從甲乙兩地相對開出，摩托車每小時行千米．汽車每小時行千米．兩車相遇后又以原來的速度繼續前進，摩托車到乙地立即返回．汽車到甲地立即返回．兩車在距離中點千米的地方再次相遇，那么甲乙兩地的路程是多少千米？
17．鐵路旁一條小路，一列長為110米的火車以每小時30千米的速度向南駛去，8點時追上向南行走的一名軍人，15秒后離他而去，8點6分迎面遇到一個向北行走的農民，12秒后離開這個農民，問：軍人與農民何時相遇？
18．A、B兩地相距24千米，甲和乙兩人分別由A、B兩地同時相向而行，往返一次，甲比乙早返回原地．途中兩人第一次相遇于C點，第二次相遇于點D．CD相距6千米，則甲、乙兩人的速度比是為多少？
19．大寶和小寶兩人同時分別從甲、乙兩地相對出發，各自到達對方地點后立即返回，第一次相遇時大寶比小寶多走了80米，求第二次相遇地點距離中點多少米？
20．甲、乙兩人分別從A、B兩地同時出發相向而行，他們在距中點160米處相遇。出發時，甲看了下手表，當時是下午六點多，時針與分針的夾角為；相遇時，甲又看了下手表，還沒有到下午七點，但時針與分針的夾角仍然為。如果甲出發后在途中某地停留了一段時間，兩人還是在距中點160米處相遇，且已知甲的速度為80米/分鐘，問甲在途中停留了多少分鐘？
21．小王的步行速度是4.8千米/小時，小張的步行速度是5.4千米/小時，他們兩人從甲地到乙地去.小李騎自行車的速度是10.8千米/小時，從乙地到甲地去.他們3人同時出發，在小張與小李相遇后5分鐘，小王又與小李相遇.問：小李騎車從乙地到甲地需要多少時間？
22．小張與小王分別從甲、乙兩村同時出發，在兩村之間往返行走（到達另一村后就馬上返回），他們在離甲村3.5千米處第一次相遇，在離乙村2千米處第二次相遇．問他們兩人第四次相遇的地點離乙村多遠（相遇指迎面相遇）？
23．甲、乙二人分別從山頂和山腳同時出發，沿同一山道行進．兩人的上山速度都是米/分，下山的速度都是米/分．甲到達山腳立即返回，乙到達山頂休息分鐘后返回，兩人在距山頂米處再次相遇．山道長多少米？
24．甲、乙二人以均勻的速度分別從A、B兩地同時出發，相向而行，他們第一次相遇地點離A地4千米，相遇后二人繼續前進，走到對方出發點后立即返回，在距B地3千米處第二次相遇，求兩次相遇地點之間的距離。
25．有甲、乙、丙3人，甲每分鐘走100米，乙每分鐘走80米，丙每分鐘走75米．現在甲從東村，乙、丙兩人從西村同時出發相向而行，在途中甲與乙相遇6分鐘后，甲又與丙相遇. 那么，東、西兩村之間的距離是多少米
26．甲、乙兩車同時從相距300km的兩站相向開出，到達對方站后立即返回．經過5小時甲、乙兩車在途中相遇，相遇時甲車比乙車多行駛了120km．求兩車的速度．
27．小王和小李同時從東、西兩村出發，相向而行，當他們第一次相遇時，離開東村1.8千米，然后他們各以原速繼續前進，小王到達西村后立即返回，小李到達東村后也立即返回，當他們第二次相遇時，相遇點離開西村1.2千米，那么東西二村相距多少千米？
28．一輛卡車和一輛摩托車同時從A、B兩地相對開出，兩車在途中距A地60千米處第一次相遇，然后兩車繼續前進，卡車到達B地，摩托車到達A地后都立即返回，兩車又在途中距B地30千米處第二次相遇。A、B兩地之間的距離是多少千米？
29．有一隊伍以1.4米/秒的速度行軍，末尾有一通訊員因事要通知排頭，于是以2.6米/秒的速度從末尾趕到排頭并立即返回排尾，共用了10分50秒．問：隊伍有多長？
30．甲、乙兩車同時從A、B兩地相向而行，在距A地80千米處相遇，相遇后兩車繼續前進，甲車到達B地、乙車到達A地后均立即按原路返回，第二次在距B地60千米處相遇．求A、B兩地間的路程．
31．甲、乙兩地相距216千米，客貨兩車同時從甲、乙兩地相向而行。已知客車每小時行58千米，貨車每小時行50千米，各自到達對方出發地點后立即返回，兩車第二次相遇時，客車比貨車多行多少千米？
32．甲、乙兩車分別從A、B兩地同時出發,在A、B兩地之間不斷往返行駛.甲、乙兩車的速度比為3:7,并且甲、乙兩車第1996次相遇的地點和第1997次相遇的地點恰好相距120千米(注:當甲、乙兩車同向時,乙車追上甲車不算作相遇).那么,A、B兩地之間的距離是多少千米
33．甲、乙兩名同學在周長為米圓形跑道上從同一地點同時背向練習跑步，甲每秒鐘跑米，乙每秒鐘跑米，問：他們第十次相遇時，甲還需跑多少米才能回到出發點？
34．甲、乙二人分別從A、B同時出發，相向而行。乙的速度是甲的，二人相遇后繼續前進。甲到B地乙到A地都立即返回。已知他們兩次相遇的地點之間相距3000米。求A、B兩地的距離。
35．A、B兩地相距1000米，甲從地、乙從地同時出發，在、兩地間往返鍛煉．乙跑步每分鐘行150米，甲步行每分鐘行60米．在30分鐘內，甲、乙兩人第幾次相遇（含追及）時距B地最近？最近距離是多少？
36．二人同時從AB兩地出發相向而行，當他們第一次相遇時，離開A地1.62千米，然后他們以不變的速度不停地往前走，各自到達目的地后立即返回，第二次相遇時，距B地1.12千米，求AB兩地間的路程是多少？
37．甲、乙兩人在相距90米的直路上來回的跑步，甲的速度是每秒鐘3米，乙的速度是每秒鐘2米，如果他們分別在直路的兩端出發，跑了12分鐘，共相遇多少次？
38．甲、乙二人相距2000米，兩人同時從兩地相向而行．甲分鐘走60米，乙每分鐘走40米，甲帶著一只狗，同甲一起出發，狗每分鐘走100米，碰到乙時狗立即調頭往甲的方向走，碰到甲時又立即調頭向乙的方向走，如此繼續往返，當甲和乙相遇時，這只狗一共走了多少米？
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參考答案：
1．54千米
【分析】此行程問題比較復雜，既有變速問題，又有多次相遇問題。我們可以分開考慮。
由圖可知，甲到達某地又立即2倍速度返回，可以假設甲走了3份時間，因為往返兩地總路程不變，速度和時間成反比，返回是去時速度的2倍說明去時用了2份時間，返回用了1份時間；乙的速度沒有發生變化，我們可以假設一份時間內乙走的路程是a，可以得出整個行程過程中乙走的路程是3a；再回頭考慮丙。根據題意，找出甲乙丙三人的行程與總路程的關系，列方程即可解答。
【詳解】解：設甲一共走了3份時間，那么從A地到某地用了2份時間，從某地回到A地一共用1份時間；
根據第一次相遇丙行了30千米，可以計算出丙1份時間的路程：30÷2＝15千米，丙與乙相遇時丙一共行了30＋15＝45千米；
乙一份時間路程是a，那么3份時間內，乙走的路程是3a，故AB兩地的距離是（3a＋45）千米；
甲3份時間內走了從A地到某地路程的2倍，所以甲第一次走的路程是：15＋3a；
甲乙兩車相遇時，丙又走了40－30＝10千米，說明時間用了：10÷15＝份；
那么第二次相遇時，乙一共走的路程是：2a＋a，甲從某地返回走的路程是×（3a＋15），兩項加起來正好是A地到某地的距離，據此等量關系可列方程：
3a＋15＝2a＋a＋×（3a＋15）
化簡得
解得，
3a＋45＝3×3＋45＝54（千米）
答：AB兩地的距離是54米。
【點睛】考查了復雜行程問題及列方程解決實際問題的能力。解答行程問題時，最好畫出線段圖，幫助理解。
2．39千米/小時
【詳解】相遇問題可以看成是草勻速減少的過程，全程看成是原有草量，卡車速度看成是草勻速減少的速度．所以：
卡車速度為：（千米/時）
全程：（千米）
丙車速度為：（千米/時）
3．15
【詳解】這就是著名的柳卡問題．下面介紹的法國數學家柳卡·斯圖姆給出的一個非常直觀巧妙的解法．
他先畫了如下一幅圖：
這是一張運行圖．在平面上畫兩條平行線，以一條直線表示哈佛，另一條直線表示紐約．那么，從哈佛或紐約開出的輪船，就可用圖中的兩組平行線簇來表示．圖中的每條線段分別表示每條船的運行情況．粗線表示從哈佛駛出的輪船在海上的航行，它與其他線段的交點即為與對方開來輪船相遇的情況．
從圖中可以看出，某天中午從哈佛開出的一條輪船（圖中用實線表示）會與從紐約開出的15艘輪船相遇（圖中用虛線表示）．而且在這相遇的15艘船中，有1艘是在出發時遇到（從紐約剛到達哈佛），1艘是到達紐約時遇到（剛好從紐約開出），剩下13艘則在海上相遇；另外，還可從圖中看到，輪船相遇的時間是每天中午和子夜．如果不仔細思考，可能認為僅遇到7艘輪船．這個錯誤，主要是只考慮以后開出的輪船而忽略了已在海上的輪船．
4．4次
【分析】
由上圖容易看出：在第一次相遇與第一次追上之間，乙在100－80＝20（分鐘）內所走的路程恰等于線段的長度再加上線段的長度，即等于甲在（80＋100）分鐘內所走的路程，因此，乙的速度是甲的9倍（180÷20），則的長為的9倍，所以，甲從到，共需走80×（1＋9）＝800（分鐘）乙第一次追上甲時，所用的時間為100分鐘，且與甲的路程差為一個全程。從第一次追上甲時開始，乙每次追上甲的路程差就是兩個全程，因此，追及時間也變為200分鐘（100×2），所以，在甲從到的800分鐘內，乙共有4次追上甲，即在第100分鐘，300分鐘，500分鐘和700分鐘。
【詳解】有題意可知：走相同距離的路程，甲和乙所需時間比：
（80＋100）∶（100－80）＝180∶20＝9∶1
所以，甲和乙的速度比是
（100－80）∶（80＋100）＝20∶180＝1∶9
即，甲走一個全程，乙走9個全程，甲行完一個全程，乙行9個全程。第一次是相遇，第二次是追上，...,
所以共相遇5次，追上4次。
答：乙追上甲4次。
【點睛】本題是一道比較復雜的行程問題，計算出乙和甲第一次相遇時間，由乙的速度是甲的9倍，來求出甲從A到B的800分鐘內追擊的時間與次數。
5．20
【詳解】首先，甲跑一個全程需（秒），乙跑一個全程需（秒）．畫折線圖如下，實線表甲，虛線表示乙，那么實虛兩線交點就是甲乙相遇的地點。
從圖中可以看出，當甲跑5個全程時，乙剛好跑3個全程，各自到了不同兩端又重新開始，這正好是一周期150秒．在這一周期內兩人相遇了5次，所以兩人跑10分鐘，正好是四個周期，也就相遇了（次）
6．1950千米
【詳解】汽車在與汽車相遇時，汽車與汽車的距離為：千米，此時汽車與汽車的距離也是260千米，說明這三輛車已經出發了小時，那么甲、乙兩站的距離為：千米．
7．35米
【分析】兩人從出發到第一次相遇共走了1個全程，從出發到第二次相遇共走了3個全程，所以第二次相遇所用的時間是第一次相遇所用時間的3倍；根據題意，兩人第二次相遇時，李想比朱朱多行了210米，所以，第一次相遇時，李想比朱朱多行了210÷3＝70（米），第一次相遇的路程差是相遇點到中點距離的2倍，據此計算得解。
【詳解】210÷3÷2＝35（米）
答：李想、朱朱第一次相遇的地點距離中點35米。
【點睛】本題考查二次相遇問題，關鍵是理解并掌握：二次相遇路程差÷3＝一次相遇路程差，一次相遇距中點距離×2＝一次相遇路程差，通過畫線段圖有助于理解題意，本題也可列方程求解。
8．62.5厘米
【分析】第一次相遇，兩人共同走了一個全長；從第二次相遇到第三次相遇，兩人又走了兩個全長，從開始到第三次相遇，兩人共走了5個全長，5個全長除以速度和求出相遇時間是20×5÷（0.5＋0.3）=125秒，再乘大警衛的速度就是所求．
【詳解】解：20×5÷（0.5＋0.3）×0.5
=100÷0.8×0.5
=125×0.5
=62.5（厘米）
答：當他們第三次相遇時，大警衛走了62.5厘米．
9．13米/分鐘
【分析】當小新和風間相遇時，正南落后小新6×（20－16）＝24（米）。依題意知正南和風間走這24米需要7－6＝1（分鐘），正南和風間的速度和為24÷1＝24（米／分），風間的速度為：24－16＝8（米/分），風間和小新相遇后又過了8－6＝2分鐘，才與妮妮相遇，所以在8分鐘中妮妮的行程為20×6－8×2＝104（米），根據速度＝路程÷時間，即可解答。
【詳解】風間的速度：
（20－16）×6÷（7－6）－16
＝4×6÷1－16
＝24÷1－16
＝24－16
＝8（米/分）
妮妮的速度：
（20×6－8×2）÷8
＝（120－16）÷8
＝104÷8
＝13（米/分）
答：妮妮的速度是13米/分。
【點睛】這是一個多重相遇和追及的問題，考查學生分析與理解能力。
10．38.16千米
【分析】第一次相遇在距B地12.8千米處，此時兩車共行了1個全程，自行車行了12.8千米，即每共行1個全程自行車就行12.8千米，第二次相遇時，兩車共行3個全程，則自行車共行12.8×3＝38.4千米，此時自行車距離A地0.24千米，已知自行車行駛了1個全程多0.24千米，所以讓自行車行駛的總路程減去0.24千米，即是AB之間的距離。
【詳解】3×12.8－0.24
＝38.4－0.24
＝38.16（千米）
答：AB兩地間的路程是38.16千米
【點睛】此題屬于兩次相遇問題，解題關鍵是找出第一次相遇和第二次相遇兩人共同行駛的路程和各自行駛的路程分別是多少。
11．（1）9300米 （2）甲與丙在10時6分40秒相遇
【詳解】（1）從出發到甲、乙相遇，甲比乙多走了620米，又甲比乙每分多走10米，所以從出發到甲、乙相遇共用62分鐘．甲從體育場返回學校只走了62-60=2（分鐘）就遇到了乙，所以甲的速度為310÷2＝155（米/分），學校到體育場的距離為155米/分×60分＝9300（米）．
（2）丙的速度為155－31＝124（米/分），甲和丙相遇需要走兩個學校到體育場的路程為：9300×2＝18600（米）．所以相遇時間為：，所以甲與丙在10時6分40秒相遇．
12．105千米
【分析】將A、B兩地的距離看作單位“1”，相同時間甲、乙的路程比為20∶50＝2∶5，第一次相遇甲、乙共行一個全程，甲行了全程的；往后每相鄰兩次迎面相遇，甲、乙都共行2個全程，第n次相遇所走的路程和為（2n－1）個全程，甲所走的路程是第一次相遇路程的（2n－1）倍，據此可分別求出第10次相遇和第18次相遇甲所走的路程是幾個全程又幾分之幾，若所走全程個數為奇數，則相遇地點距離B地幾分之幾；若所走全程個數為偶數，則相遇地點距離A地幾分之幾，據此分析計算，即可得解。
【詳解】相同時間甲、乙的路程比為20∶50＝2∶5，
第一次相遇，甲行了全程的；
第10次迎面相遇，甲、乙共行了2×10－1＝19個全程，
甲行了全程的，此時甲距離B地占全程的；
第18次迎面相遇，甲、乙共行了2×18－1＝35個全程，
甲行了全程的，此時甲在A地；
第10次與第18次迎面相遇的距離占全程的，
A、B兩地的距離為（千米）。
答：A、B相距105千米。
【點睛】本題考查多次迎面相遇問題，關鍵是理解并掌握此類問題的特點。
13．105米
【分析】根據題意畫圖如下
從圖中可知，小張、小明兩人第一次相遇時，共行的路程即是甲、乙兩地之間的距離，這時，小張行了40米．當他們第二次相遇時，小張行了甲、乙間距離還多15米，小明行了兩個甲、乙間距離少15米，合起來兩個人共行了甲、乙間距離的3倍．因此小張從出發到第二次相遇所行的路程應是他從出發到第一次相遇所行的路程的3倍，即可求出他從出發到第二次相遇所行的路程．又知這段路程比甲、乙間距離多15米，甲、乙間距離就可求出了．
【詳解】解：小張從出發到第二次相遇所行的路程：40×3=120（米）
甲、乙間距離：120－15=105（米）
答：甲、乙兩地相距105米．
14．8550米
【分析】由題干可知，丙先與乙相遇，再過10分鐘與甲相遇，所以丙與乙相遇時，丙與甲的距離為甲、丙在10分鐘內相向而行的路程之和：（20＋25）×10＝450（米），而這段路程正是從出發到乙、丙相遇這段時間里，甲、乙所行的路程之差。所以從出發到乙、丙相遇所用的時間為：450÷（22.5－20）＝180（分）。所以，東、西兩鎮的距離為：（25＋22.5）×180＝8550（米）。
【詳解】[（20＋25）×10] ÷（22.5－20）
＝[45×10]÷2.5
＝450÷2.5
＝180（分）
（25＋22.5）×180
＝47.5×180
＝8550（米）
答：兩鎮相距8550米。
【點睛】要明確：丙與甲的距離為甲、丙在10分鐘內相向而行的路程之和，而這段路程正是從出發到乙、丙相遇這段時間里，甲、乙所行的路程之差；是解答此題的關鍵。
15．100米
【分析】甲乙每相遇一次共跑一圈，所以第十次相遇總共跑了：300×10=3000米。因為甲的速度為每秒鐘跑3.5米，乙的速度為每秒鐘跑4米，時間相同，根據路程比等于速度比即可求出甲、乙分別跑了多少米。最后用甲跑的路程除以300即可求解。
【詳解】甲、乙第十次相遇共跑：300×10=3000（米）
甲總共跑：（米）
由于1400÷300=4（圈）……200（米）
則甲還跑：300-200=100（米）
答：甲還跑100米才能回到出發點。
16．1224千米
【詳解】第二次相遇距中點千米，說明兩車共有(千米)的路程差，由此可知兩車共行駛了：(小時)．又因為第二次相遇兩車共走了三個全程，所以走一個全程用(小時)．這樣可以求出甲乙兩地的路程是：(千米)．
17．8點30分
【分析】涉及火車的行程問題中，火車的長度不能忽略，解題關鍵是找出15秒（12秒）內，火車行駛和人步行與火車車長之間的數量關系。
【詳解】火車速度：30×1000÷60＝500（米/分）
火車速度與軍人速度的差為：110÷（15÷60）＝440（米/分）
軍人的速度：500－440＝＝60（米/分）
農民的速度：110÷（12÷60）－500＝50（米/分）
8點時火車頭與農民的距離為：（500＋50）×6＝3300（米）
軍人與農民相遇：3300÷（60＋50）＝30（分）
此時的時間為8點30分。
答：軍人與農民8點30分相遇。
【點睛】1、此題中有著三個基本問題。火車追及軍人，火車農民相遇，軍人和農民相遇，找到三者之間的關系就是解決題目的關鍵。
2、解決行程問題的關鍵是三步：
a：正確畫出示意圖；
b：把復雜的行程問題分解為每一個基本的相遇或追及問題；
c：找到這些相遇或追及問題之間的數量關系，包括路程關系，時間關系與速度關系。
18．9︰7
【詳解】因為甲比乙早返回原地，甲的速度比乙快，第二個相遇點D應該比C更靠近A點．由于相關數量未知，首先假設第一次相遇時甲和乙分別行走了x千米和y千米．可得：x+y=24①
由假設可得：第二次相遇時，甲、乙分別行走了3x千米和3y千米，那么甲返回時走了3x-（x+y）=2x-y，第二個相遇點距B點（2x-y）千米，這段距離比y多6千米，所以有：（2x-y）-y=6②
聯立①②兩個方程能得到：x=13.5，y=10.5，所以兩人的速度比為9︰7．
19．120米
【分析】第一次相遇的路程差是相遇地點距中點距離的2倍，所以第一次相遇地距中點距離為80÷2＝40（米），即第一次相遇大寶走了全程的一半多40米，從出發到第二次迎面相遇所走的路程是第一次相遇所走路程的3倍，即大寶走了全程的1.5倍多40×3＝120（米），由此得解。
【詳解】解法1：
第一次相遇距中點距離：80÷2＝40（米）
第二次相遇距中點距離：40×3＝120（米）
答：第二次迎面相遇地點距離中點120米。
解法2：
設第一次相遇，小寶走了x米，大寶走了x＋80米，
那么全程為x＋x＋80＝2x＋80米，半程為x＋40米，
從出發到第二次相遇，小寶走了3x米，
則第二次迎面相遇距離中點：
x＋40－[3x－（2x＋80）]
＝x＋40－[3x－2x－80]
＝ x＋40－[x－80]
＝ x＋40－x＋80
＝120（米）
答：第二次迎面相遇地點距離中點120米。
【點睛】本題考查二次相遇問題，關鍵是畫圖分析出第一次相遇點距離中點的距離是兩人路程差的一半，或者列代數式進行計算分析。
20．分鐘
【分析】在時鐘的表盤上，有12個大格，時針走一圈是360°，則每小時時針走一個大格，也就是走30°。一小時＝60分鐘，則時針每分鐘走0.5°，分針轉動一圈是60分鐘轉了360°，分針每分鐘轉動6°。
由題意可知，兩次相遇都是距離中點160米處相遇，但是第二次是甲在停留的情況下，即甲的速度比乙的速度快。在第一次的相遇的過程中，甲行駛的路程比乙行駛的路程多320米。一小時內兩次出現夾角為110°，一定是分針先落后110°，后來又超前110°，分針和時針的路程差是為220°。每一分鐘，時針和分針的差是5.5°，220°就是40分鐘相差的。多出的40分鐘的路程差是320米，即每分鐘的路程差，也就是速度差是8米。因為甲的速度為80米/分鐘，即乙的速度＝甲的速度－8。
第二次相遇，兩人還是在距中點160米處相遇，這時甲走的路程少，對于第一次相遇，甲走的路程是超過中點160米，第二次相遇甲走的路程是少于中點160米，則甲少走的了320米，每分鐘是80米，即少走了4分鐘。乙則多走了分鐘。
甲在途中的停留的時間＝甲少走的時間＋乙多走的時間。
【詳解】160×2＝320（米）
220÷（6－0.5）
＝220÷5.5
＝40（分鐘）
320÷40＝8（米）
80－8＝72（米）
320÷80＝4（分鐘）
320÷72＝（分鐘）
4＋＝（分鐘）
答：甲在途中停留了分鐘。
【點睛】鐘表的夾角的度數，可以將時針和分針想成一個追及的問題。追及問題中，行駛的路程差＝速度差×時間。
21．3小時15分
【分析】畫一張示意圖：
圖中A點是小張與小李相遇的地點，圖中再設置一個B點，它是張、李兩人相遇時小王到達的地點.5分鐘后小王與小李相遇，也就是5分鐘的時間，小王和小李共同走了B與A之間這段距離，它等于(4.8+10.8)=1.3(千米)
這段距離也是出發后小張比小王多走的距離，小王與小張的速度差是（5.4-4.8）千米/小時.小張比小王多走這段距離，需要的時間是1.3÷（5.4-4.8）×60=130（分鐘）.
這也是從出發到張、李相遇時已花費的時間.
小李的速度10.8千米/小時是小張速度5.4千米/小時的2倍.因此小李從A到甲地時間及
從乙地到甲地需要的時間均可求．
【詳解】(4.8+10.8)=1.3(千米)
1.3÷（5.4-4.8）×60=130（分鐘）
130÷2=65（分鐘）
130＋65=195（分鐘）＝3小時15分
答：小李從乙地到甲地需要3小時15分.
22．1千米．
【詳解】畫示意圖如下.
第二次相遇兩人已共同走了甲、乙兩村距離的3倍，因此張走:3.5×3＝10.5（千米）
從圖上可看出，第二次相遇處離乙村2千米.因此，甲、乙兩村距離:10.5-2＝8.5（千米）
每次要再相遇，兩人就要共同再走甲、乙兩村距離2倍的路程.第四次相遇時，兩人已共同走了兩村距離（3＋2＋2）倍的行程.其中張走了:3.5×7＝24.5（千米）
24.5=8.5＋8.5＋7.5（千米）
就知道第四次相遇處，離乙村8.5-7.5=1（千米）
答：第四次相遇地點離乙村1千米.
23．2100米
【詳解】甲、乙兩人相遇后如果甲繼續行走（分鐘）后可以返回山頂，如果乙不休息，那么這個時候乙應該到達山腳，所以這個時候乙還需要分鐘到達山腳，也就是距離山腳還有（米），所以山頂到山腳的距離為（米）．
24．2千米
【分析】甲乙第一次相遇地點離A地4千米，即甲行了4千米，第二次相遇時，兩人一共行了3個全程，則每行一個全程，甲就行了4千米，此時甲一共行了4×3＝12（千米），距B地3千米處第二次相遇，用甲一共行的全程減去3千米就是A、B兩地的距離12－3＝9（千米），用兩地的距離4千米再減去3千米，就是兩次相遇地點之間的距離，可據此解答。
【詳解】A、B兩地的距離：
4×3－3
＝12－3
＝9（千米）
兩次相遇地點之間的距離：
9－4－3
＝5－3
＝2（千米）
答：兩次相遇地點之間的距離是2千米。
【點睛】弄清楚第二次相遇時甲乙行了幾個全程，根據第一次相遇時甲所行的路程求出全程是解此題的關鍵。
25．37800
【詳解】甲、丙6分鐘相遇的路程：(米)；
甲、乙相遇的時間為：(分鐘)；
東、西兩村之間的距離為：(米).
26．甲車：102千米/小時 乙車：78千米/小時
【詳解】經過5小時相遇時,甲乙一共行駛了：300×3=900（千米）
甲車行駛了（900+120）÷2=510（千米）
乙車行駛了900-510=390（千米）
甲車速度：510÷5=102（千米/小時）
乙車速度：390÷5=78（千米/小時）
27．4.2千米
【分析】第一次相遇時小王和小李共走完了1個全程。第二次相遇時，小王和小李共走了3個全程。他們第二次相遇所花的時間是它們第一次相遇所花時間的3倍。小王第一次相遇時走了1.8千米，第二次相遇走了1.8×3＝5.4（千米），小王一共走的路程是1個全程加相遇點到西村的距離，所以兩村相距 5.4－1.2＝4.2（千米）
【詳解】1.8×3－1.2
＝5.4－1.2
＝4.2（千米）
答：東西二村相距4.2千米。
【點睛】解答此題的關鍵是能夠明確第二次相遇時兩人共行了3個路程，以及小王所行的路程包括哪些部分。
28．150千米
【分析】結合兩次相遇的時間規律，找出兩個相遇點位置和A、B兩地距離的關系。
根據題目中所給的條件，可以畫出整個行程過程的線段示意圖：
由示意圖看出卡車從A地出發后行駛了60千米時與摩托車相遇，此時卡車和摩托車共同行駛的路程和相當于一個AB距離。而卡車和摩托車第二次相遇的時候，卡車和摩托車共同行駛的路程和相當于三個AB距離。所以如果卡車、摩托車從出發到第一次相遇時所用時間為t的話，那么卡車、摩托車從出發到第二次相遇時所用時間為3t，因此第二次相遇時卡車行駛的距離為：60×3＝180（千米）。這180千米等于AB的全程再加上B地到第二個相遇點的距離30千米，所以AB的距離為：180－30＝150（千米）。
【詳解】60×3－30
＝180－30
＝150（千米）
答：A、B兩地之間的距離是150千米。
【點睛】題目中使用了比例的知識，題目并沒有直接求出卡車和摩托車的速度和時間，但使用了兩次的比例轉換：首先是利用總路程的三倍關系得出時間的三倍關系，然后利用時間的三倍關系得出卡車的路程三倍關系。
29．600米
【分析】這是一道“追及又相遇”的問題，通訊員從末尾到排頭是追及問題，他與排頭所行路程差為隊伍長；通訊員從排頭返回排尾是相遇問題，他與排尾所行路程和為隊伍長．如果設通訊員從末尾到排頭用了x秒，那么通訊員從排頭返回排尾用了（650-x）秒，于是不難列出方程．
【詳解】解：設通訊員從末尾趕到排頭用了x秒，依題意得
2.6x-1.4x=2.6（650-x）+1.4（650-x）．
解得x＝500．
推知隊伍長為（2.6-1.4）×500=600（米）．
答：隊伍長為600米．
【點睛】在設未知數時，有兩種辦法：一種是設直接未知數，求什么、設什么；另一種設間接未知數，當直接設未知數不易列出方程時，就設與要求相關的間接未知數．對于較難的應用題，恰當選擇未知數，往往可以使列方程變得容易些．
30．180千米
【分析】根據題意可畫出下面的線段圖：
從圖中可知，甲、乙兩車從同時出發到第二次相遇，共行駛了3個全程，第一次相遇距A地80千米，說明行完一個全程時，甲行了80千米．兩車同時出發同時停止，共行了3個全程，說明兩車第二次相遇時甲共行了8×3＝240（千米），從圖中可以看出來甲車實際行了一個全程多60千米．
【詳解】解：80×3－60＝180（千米）
答：A、B兩地間的路程是180千米．
31．48
【分析】客、貨兩車從出發到第二次相遇，共行駛了3個全程，所以“路程×3÷速度和＝二次相遇時間”；客車每小時比貨車多行駛58－50＝8（千米），根據“路程差＝速度差×相遇時間”，即可得解。
【詳解】第二次相遇所用時間：
216×3÷（58＋50）
＝648÷108
＝6（小時）
兩車第二次相遇時，客車比貨車多行的路程：
（58－50）×6
＝8×6
＝48（千米）
答：兩車第二次相遇時，客車比貨車多行48千米。
【點睛】本題考查二次相遇問題，關鍵是理解并掌握第二次相遇時兩車共同行駛了3個路程。
32．200千米
【詳解】如圖,將AB十等分,因甲乙速度之比為3:7,它們第一次相遇時在點,即甲車走了3個單位長,以后甲車每走6個單位就和乙相遇一次.
故兩車相遇地點依次是:以10為周
期循環.故第1996次的相遇點為,第1997次相遇點為,是6個單位長,為120千米.故每個單位長120÷6=20(千米),AB相距20×10=200(千米).
33．100
【詳解】從開始到兩人第十次相遇的這段時間內，甲、乙兩人共跑的路程是操場周長的10倍，為米，因為甲的速度為每秒鐘跑米，乙的速度為每秒鐘跑4米，所以這段時間內甲共行了米，也就是甲最后一次離開出發點繼續行了200米，可知甲還需行米才能回到出發點．
34．7500千米
【詳解】根據題意得：甲乙的路程比＝3：2，即甲行駛了總路程的；乙行駛了總路程的。
3000÷（2×－2×）＝7500（千米）
答：A、B兩地的距離是7500千米。
35．第3次 米
【詳解】畫出“折線示意圖”，判斷哪一次相遇距B地最近．
甲乙行程的折線示意圖如下，圖中實線表示乙，虛線表示甲．
由圖可知，第3次相遇時距離B地最近．
此時兩人共走了：（米）
用時：（分鐘）
相遇地點距離B地：（米）．
36．3.74千米
【分析】兩個人第一次相遇時共行了1個全程，其中一人行了1.62千米，當他們第二次相遇時兩人共行了3個全程，每個人所用時間是第一次相遇所用時間的3倍，則第一次相遇行了1.62千米的人，此時一共行駛了1.62×3＝4.86（千米），是1個全程加第二次相遇點到B地的距離，據此得出全程的距離。
【詳解】1.62×3－1.12
＝4.86－1.12
＝3.74（千米）
答：AB兩地間的路程是3.74千米。
【點睛】此題屬于兩次相遇問題，明確第一次相遇兩人共行駛1個全程，第二次相遇行駛的是3個全程，通過畫線段圖能夠清楚的看出兩人行的路程，方便找出數量關系。
37．20次
【分析】12分鐘=720秒，兩人的速度和是3+2=5米，720×5=3600米，也就是兩個人一共走了3600米，相當于3600÷90=40個全程．兩人相向而行第一次相遇時行了一個全程，之后每兩個全程相遇一次，所以，第1個全程相遇1次，后面39個全程相遇19次，總共20次．
【詳解】12分鐘=720秒
（3+2）×720
=5×720
=3600（米）
3600÷90=40
（40-1）÷2=19……1
19+1=20（次）
答：跑了12分鐘共相遇20次．
38．2000米
【分析】由于甲、乙二人在做相向運動的同時，狗在不停的運動，因此，甲、乙二人的相遇時間就是狗運動的時間，由此，可求出狗所走的路程．
【詳解】解：甲、乙二人的相遇時間是：2000÷（40＋60）=20（分）
所以，狗所走的路程是：100×20=2000（米）
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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