資源簡介

模型2 過角平分線上的點向角兩邊作垂線 精準作業設計
課前診斷
1.如圖，在 ABCD中，E為CD邊上一點，連接BE，F為BE上一點，且BF＝CE，EF＝CD，連接AC，AF，CF.
(1)用尺規完成以下基本作圖：作∠AFC的平分線交AC于點G；(保留作圖痕跡，不寫作法)
(2)在(1)的條件下，求證：FG⊥AC.
精準作業
必做題
2. 如圖，在平行四邊形ABCD中，點E在AD邊上，且BE＝BC.
(1)用直尺和圓規在BC上方作∠BCF，使∠BCF＝∠ABE，CF交BE于點F；
(2)在(1)的條件下，為了證明CF＝CD，小才的思路是：先證明△ABE≌△FCB，再結合平行四邊形的性質，證明結論.請根據小才的思路完成證明.
3. 學習了正方形的相關知識后，小新進行了拓展性研究，她發現，分別連接正方形的兩個頂點與它們的對邊，所得兩條相交線段，若垂直，則相等.她的解決思路是通過證明這兩條線段所在的兩個三角形全等得出結論.根據她的想法與思路，完成以下作圖和填空.
(1)如圖，在正方形ABCD中，E為BC上一點(點E不與點B，C重合)，連接AE，用直尺和圓規過點B作AE的垂線，垂足為O，交DC于點F；(不寫作法，保留作圖痕跡)
(2)已知：四邊形ABCD是正方形，點E在BC上(點E不與點B，C重合)，連接AE，BF⊥AE，垂足為O，交DC于點F.求證：AE＝BF.
證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴①____________，∠ABC＝∠BCD＝90°，
∴∠CBF＋∠ABF＝90°.
∵BF⊥AE，∴∠AOB＝90°，
∴②___________________________，
∴∠EAB＝③__________，
∴△ABE≌△BCF(ASA)，∴AE＝BF.
4.小李在學行線的相關性質后，認為兩條平行線被第三條直線所截，所得的一組內錯角的平分線具有某種關系，小李計劃通過證明三角形全等對此問題進行探究.根據他的想法與思路，完成以下作圖和填空：
(1)如圖，在四邊形ABCD中，直線EF分別與AD，BC交于點E，F，與AC交于點O，AB∥DC，∠B＝∠D，EM平分∠DEF.用尺規作∠BFE的平分線FN，交AB于點N；(不寫作法，保留作圖痕跡)
(2)在(1)所作的圖形中，求證：EM∥FN.
證明：∵AB∥DC.
∴①____________________.
在△ABC和△CDA中，
∴△ABC≌△CDA(AAS)，
∴②____________________，
∴AD∥BC，∴∠DEF＝∠BFE.
5.如圖，三角板在燈光照射下形成投影，三角板與其投影的相似比為2∶3，且三角板的周長為16 cm，則投影三角板的對應邊長為(　　)
A. cm　 B.24 cm
C.36 cm　 D.cm
6.用3個同樣的小正方體擺出的幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體是(　　)
精準作業答案
解：（1）如圖所示
（2）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，AB＝CD.
∵EF＝CD，∴AB＝EF.
∵AB∥CD，∴∠1＝∠2.
又∵BF＝CE，
∴△ABF≌△FEC(SAS)，∴AF＝CF.
∵FG平分∠AFC，∴FG⊥AC.
2.解：（1）如圖所示
（2）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，∴∠AEB＝∠EBC.
在△ABE和△FCB中，
∴△ABE≌△FCB(ASA)，∴AB＝FC.
∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，∴CF＝CD.
3.解：（1）如圖所示
（2）①AB＝BC
②∠EAB＋∠ABF＝90 °
③∠CBF
④線段MN與線段AE的長相等
4.解：（1）如圖所示
（2）①∠BAC＝∠DCA
②∠ACB＝∠CAD
③∠MEF＝∠NFE
④兩條平行線被第三條直線所截，所得的一組內錯角的平分線互相平行
B
C(共17張PPT)
課題30 尺規作圖、視圖與投影
人教版數學九年級下冊
基本作圖 圖示及依據 作法
作一條線段等于已知線段 OA＝a 依據：圓上的點到圓心的距離都等于半徑 用途：作等長線段，整數倍長線段 (1)作射線OP；
(2)以點O為圓心，
①_______的長為半徑作弧，交OP于點A，則OA即為所求線段
線段a
知識梳理一：尺規作圖
基本作圖 圖示及依據 作法
作一個角等于已知角(掌握) ∠A'O'B'＝∠AOB 依據：三邊分別相等的兩個三角形全等；全等三角形的對應角相等 用途：作等角 (1)作射線O'A'；
(2)以點O為圓心，任意長為半徑作弧，交OA于點C，交OB于點D；
(3)以點O '為圓心，OC長為半徑作弧，交O'A'于點C'；
(4)以點C '為圓心，CD長為半徑作弧，交(3)中的弧于點D'；
(5)過點D'作射線O'B'，
②___________即為所求角
∠A 'O 'B '
基本作圖 圖示及依據 作法
作一個角的平分線(掌握) ∠AOP＝∠BOP 依據：三邊分別相等的兩個三角形全等，全等三角形的對應角相等，兩點確定一條直線 用途：作等角，平分角 (1)以點O為圓心，適當長為半徑作弧，分別交OA，OB于點M，N；
(2)分別以點M，N為圓
心，大于③____
MN
基本作圖 圖示及依據 作法
作一條線段的垂直平分線(掌握) MN垂直平分AB 依據：到線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上 用途：作直角(垂直)，平分線段 (1)分別以點A，B為圓心，大于
④____
AB
基本作圖 圖示及依據 作法
過一點作已知直線的垂線 (掌握) 過直線上一點O作已知直線l的垂線 MN⊥l 依據：等腰三角形“三線合一” 用途：作直角(垂直) (1)以點O為圓心，適當長為半徑作弧，交直線l于A，B兩點；
(2)分別以點A，B為圓心，
大于⑤____的長為半徑在直線l兩側作弧，所作弧分別交于點M，N，作直線MN，則⑥______即為所求垂線
AB
MN
基本作圖 圖示及依據 作法
過一點作 已知直線 的垂線 (掌握) 過直線外一點P作已知直線l的垂線 PN⊥l 依據：到線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上 用途：作直角(垂直) (1)在直線l異于點P的一側取點M；
(2)以點P為圓心，PM的長為半徑作弧，交直線l于A，B兩點；
(3)分別以點A，B為圓心，大于AB的長為半徑作弧，在點M的同側交于點N；
(4)作直線PN，則PN即為所求垂線
1.(2024·重慶A，B卷21題10分)在學習了矩形與菱形的相關知識后，智慧小組進行了更深入的研究，他們發現：過矩形的一條對角線的中點作這條對角線的垂線，與矩形兩邊相交的兩點和這條對角線的兩個端點構成的四邊形是菱形，可利用證明三角形全等得到此結論.根據他們的想法與思路，完成以下作圖和填空：
(1)如圖，在矩形ABCD中，O是對角線AC的中點.
用尺規過點O作AC的垂線，分別交AB，CD于點E，
F，連接AF，CE(不寫作法，保留作圖痕跡).
直擊中考
(2)已知：矩形ABCD，點E，F分別在AB，CD上，EF經過對角線AC的中點O，且EF⊥AC.求證：四邊形AECF是菱形.
證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD，
∴①_________________，∠OCF＝∠OAE.∵O是AC的中點，
∴②__________，∴△CFO≌△AEO(AAS)，∴③___________.
又∵OA＝OC，∴四邊形AECF是平行四邊形.
∵EF⊥AC，∴四邊形AECF是菱形.
進一步思考，如果四邊形ABCD是平行四邊形呢？請你模仿題中表述，寫出你猜想的結論：④____________________________________________.
∠CFO＝∠AEO
OC＝OA
OF＝OE
過平行四邊形的一條對角線的中點作這條對角線的垂線，與平行四邊形兩邊相交的兩點和這條對角線的兩個端點構成的四邊形是菱形
2.在學習矩形的過程中，小明遇到了一個問題：如圖，在矩形ABCD中，E是AD邊上的一點，試說明△BCE的面積與矩形ABCD的面積之間的關系.他的思路是：首先過點E作BC的垂線，將其轉化為證明三角形全等，然后根據全等三角形的面積相等使問題得到解決.請根據小明的思路完成下面的作圖與填空：
(1)如圖，用直尺和圓規，過點E作BC的垂線EF，垂足為F(只保留作圖痕跡).
(2)證明：在△BAE和△EFB中，∵EF⊥BC，∴∠EFB＝90°.
又∵∠A＝90°，∴①________________.
∵AD∥BC，∴②____________________.
又∵③____________，∴△BAE≌△EFB(AAS).
同理可得④____________________________，
∴S△BCE＝S△EFB＋S△EFC＝S矩形ABFE＋S矩形EFCD＝S矩形ABCD.
∠A＝∠EFB
∠AEB＝∠FBE
BE＝EB
△EDC≌△CFE(AAS)
知識梳理二：投影與視圖
投影
平行投影
中心投影
正投影
三視圖
主視圖
左視圖
俯視圖
直擊中考
3.如圖，一塊面積為18 cm2的三角形硬紙板(記為△ABC)平行于投影面時，在點光源O的照射下形成的投影是△A1B1C1.若OB∶BB1＝3∶4，則△A1B1C1的面積是(　 　)
A.32 cm2 B.98 cm2
C.42 cm2 D.49 cm2
B
4.如圖，該紙杯的主視圖是(　 　)
A B C D
A
5.如圖，正方體的表面展開圖上寫有“我們熱愛中國”六個字，還原成正方體后“熱”的對面的字是(　 　)
A.熱 B.愛
C.中 D.國
D
課堂小結
本節課，你學到了什么？還有哪些困惑？
布置作業
見精準作業單！
謝謝大家！課題30 尺規作圖、視圖與投影導學案
學習目標：
1.梳理尺規作圖、視圖與投影相關知識．
2．熟悉中考題型．
3.動手能力的培養
教學重難點：
重點：會做相關中考題型.
難點：培養數學思維．
一、知識梳理
1.有哪幾種常規基本尺規作圖？
2.視圖與投影
二、直擊中考
1.(2024·重慶A，B卷21題10分)在學習了矩形與菱形的相關知識后，智慧小組進行了更深入的研究，他們發現：過矩形的一條對角線的中點作這條對角線的垂線，與矩形兩邊相交的兩點和這條對角線的兩個端點構成的四邊形是菱形，可利用證明三角形全等得到此結論.根據他們的想法與思路，完成以下作圖和填空：
(1)如圖，在矩形ABCD中，O是對角線AC的中點.
用尺規過點O作AC的垂線，分別交AB，CD于點E，
連接AF，CE(不寫作法，保留作圖痕跡).
(2)已知：矩形ABCD，點E，F分別在AB，CD上，EF經過對角線AC的中點O，且EF⊥AC.求證：四邊形AECF是菱形.
證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD，
∴①_________________，∠OCF＝∠OAE.∵O是AC的中點，
∴②__________，∴△CFO≌△AEO(AAS)，∴③___________.
又∵OA＝OC，∴四邊形AECF是平行四邊形.
∵EF⊥AC，∴四邊形AECF是菱形.
進一步思考，如果四邊形ABCD是平行四邊形呢？請你模仿題中表述，寫出你猜想的結論：④____________________________________________.
2.在學習矩形的過程中，小明遇到了一個問題：如圖，在矩形ABCD中，E是AD邊上的一點，試說明△BCE的面積與矩形ABCD的面積之間的關系.他的思路是：首先過點E作BC的垂線，將其轉化為證明三角形全等，然后根據全等三角形的面積相等使問題得到解決.請根據小明的思路完成下面的作圖與填空：
(1)如圖，用直尺和圓規，過點E作BC的垂線EF，垂足為F(只保留作圖痕跡).
(2)證明：在△BAE和△EFB中，∵EF⊥BC，∴∠EFB＝90°.
又∵∠A＝90°，∴①________________.
∵AD∥BC，∴②____________________.
又∵③____________，∴△BAE≌△EFB(AAS).
同理可得④____________________________，
∴S△BCE＝S△EFB＋S△EFC＝S矩形ABFE＋S矩形EFCD＝S矩形ABCD.
3.如圖，一塊面積為18 cm2的三角形硬紙板(記為△ABC)平行于投影面時，在點光源O的照射下形成的投影是△A1B1C1.若OB∶BB1＝3∶4，則△A1B1C1的面積是(　 　)
A.32 cm2 B.98 cm2
C.42 cm2 D.49 cm2
4.如圖，該紙杯的主視圖是(　 　)
A B C D
5.如圖，正方體的表面展開圖上寫有“我們熱愛中國”六個字，還原成正方體后“熱”的對面的字是(　 　)
A.熱 B.愛
C.中 D.國
三、課堂小結
本節課，你學到了什么？
悟到了 什么數學思想方法？
四、布置作業
見精準作業單課題30 尺規作圖、視圖與投影教學設計
學習目標：
1.梳理尺規作圖、視圖與投影相關知識．
2．熟悉中考題型．
3.動手能力的培養
教學重難點：
重點：會做相關中考題型.
難點：培養數學思維．
一、知識梳理
1.有哪幾種常規基本尺規作圖？
2.視圖與投影
二、直擊中考
1.(2024·重慶A，B卷21題10分)在學習了矩形與菱形的相關知識后，智慧小組進行了更深入的研究，他們發現：過矩形的一條對角線的中點作這條對角線的垂線，與矩形兩邊相交的兩點和這條對角線的兩個端點構成的四邊形是菱形，可利用證明三角形全等得到此結論.根據他們的想法與思路，完成以下作圖和填空：
(1)如圖，在矩形ABCD中，O是對角線AC的中點.
用尺規過點O作AC的垂線，分別交AB，CD于點E，
連接AF，CE(不寫作法，保留作圖痕跡).
(2)已知：矩形ABCD，點E，F分別在AB，CD上，EF經過對角線AC的中點O，且EF⊥AC.求證：四邊形AECF是菱形.
證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD，
∴①_________________，∠OCF＝∠OAE.∵O是AC的中點，
∴②__________，∴△CFO≌△AEO(AAS)，∴③___________.
又∵OA＝OC，∴四邊形AECF是平行四邊形.
∵EF⊥AC，∴四邊形AECF是菱形.
進一步思考，如果四邊形ABCD是平行四邊形呢？請你模仿題中表述，寫出你猜想的結論：④____________________________________________.
解：（1）如圖所示
（2）①∠CFO＝∠AEO
②OC＝OA
③OF＝OE
④過平行四邊形的一條對角線的中點作這條對角線的垂線，與平行四邊形兩邊相交的兩點和這條對角線的兩個端點構成的四邊形是菱形
2.在學習矩形的過程中，小明遇到了一個問題：如圖，在矩形ABCD中，E是AD邊上的一點，試說明△BCE的面積與矩形ABCD的面積之間的關系.他的思路是：首先過點E作BC的垂線，將其轉化為證明三角形全等，然后根據全等三角形的面積相等使問題得到解決.請根據小明的思路完成下面的作圖與填空：
(1)如圖，用直尺和圓規，過點E作BC的垂線EF，垂足為F(只保留作圖痕跡).
(2)證明：在△BAE和△EFB中，∵EF⊥BC，∴∠EFB＝90°.
又∵∠A＝90°，∴①________________.
∵AD∥BC，∴②____________________.
又∵③____________，∴△BAE≌△EFB(AAS).
同理可得④____________________________，
∴S△BCE＝S△EFB＋S△EFC＝S矩形ABFE＋S矩形EFCD＝S矩形ABCD.
解：（1）如圖所示
（2）①∠A＝∠EFB
②∠AEB＝∠FBE
③BE＝EB
④△EDC≌△CFE(AAS)
3.如圖，一塊面積為18 cm2的三角形硬紙板(記為△ABC)平行于投影面時，在點光源O的照射下形成的投影是△A1B1C1.若OB∶BB1＝3∶4，則△A1B1C1的面積是(　B 　)
A.32 cm2 B.98 cm2
C.42 cm2 D.49 cm2
4.如圖，該紙杯的主視圖是(　A 　)
A B C D
5.如圖，正方體的表面展開圖上寫有“我們熱愛中國”六個字，還原成正方體后“熱”的對面的字是(　D 　)
A.熱 B.愛
C.中 D.國
三、課堂小結
本節課，你學到了什么？
悟到了 什么數學思想方法？
四、布置作業
見精準作業單
五、板書設計
課題30 尺規作圖、視圖與投影教學設計
尺規的5個基本作圖 例
投影、三視圖

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