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專練一　一次函數與反比例函數綜合題
一次函數與反比例函數綜合常考題型與方法總結
類型 常考問題設計 解題通用技法
母題 由點A的坐標求出m的值，得出反比例函數的解析式；從而求出點B的坐標，再由待定系數法求出一次函數的解析式即可
圖Z1-1
以下對于上述母題設計若干?？紗栴}，并進行分析
類型 常考問題設計 解題通用技法
求自變量的
取值范圍 由兩個函數圖象及交點坐標即可得出答案
解：觀察圖象可得，04.
圖Z1-1
類型 ?？紗栴}設計 解題通用技法
求點的坐標 （2）如圖Z1-1，在第一象限雙曲線上找一點P，使點P到x軸、y軸的距離相等.求點P的坐標.
圖Z1-1
類型 常考問題設計 解題通用技法
求點的坐標 （3）如圖Z1-1，若線段CD上的點P到x軸、y軸的距離相等，求點P的坐標.
由點P到x軸、y軸距離相等，可設P（d，d），再把點P的坐標代入直線CD的解析式即可求解
解：設點P（d，d）.
將點P的坐標代入y=-x+5，
得d=-d+5.
解得d=2.5.
∴點P的坐標為（2.5，2.5）.
圖Z1-1
類型 ?？紗栴}設計 解題通用技法
交點問題 聯立解析式，解方程求得點E的橫坐標，根據題意求得點G的橫坐標，將其代入反比例函數的解析式求得點G的坐標，然后根據平移得到直線FG的解析式為y=x+b，最后將點G的坐標代入即可求得b的值

圖Z1-2
類型 常考問題設計 解題通用技法
求三角形的
面積 （5）如圖Z1-3，過點A作y軸的垂線，垂足為M，連接BM.求△ABM的面積.
　
直接利用三角形的面積公式求解即可
圖Z1-3
類型 常考問題設計 解題通用技法
求三角形的
面積 （6）如圖Z1-4，求△AOB的面積.
　
利用面積的和差關系S△AOB=S△AOC-S△BOC，即可求出△AOB的面積
圖Z1-4
類型 ?？紗栴}設計 解題通用技法
求三角形的
面積 先求出點E，F的坐標，再利用面積的和差關系S△AEO=S△EOF+S△AOF，即可求出△AEO的面積
圖Z1-5
類型 常考問題設計 解題通用技法
求三角形的
面積
答圖Z1-1
類型 常考問題設計 解題通用技法
k的幾何
意義 （9）如圖Z1-7，P是線段AB上的點（不與點A，B重合），過點A，B，P分別向x軸作垂線，垂足分別是E，F，G，連接OA，OB，OP，設△AOE面積是S1，△BOF面積是S2，△POG面積是S3，比較S1，S2，S3的大小關系.
　圖Z1-7 根據反比例函數的比例系數k的幾何意義可得三個三角形面積的關系
解：如答圖Z1-2，設PG交反比例函數圖象于點H，連接OH.
∵點A，B，H都在反比例函數圖象上，
∴S△AOE=S△BOF=S△HOG，
即S1=S2=S△HOG. 　
∵PG>HG，
∴S△POG>S△HOG，即S3>S△HOG.
∴S1=S2答圖Z1-2
類型 ?？紗栴}設計 解題通用技法
單動點與面
積問題 （10）如圖Z1-8，點E的坐標是（3，0），P為線段AB上一動點，當點P運動到什么位置時，△POE的面積為3？
　圖Z1-8
先利用三角形面積公式求出點P的縱坐標，再代入一次函數的解析式求出點P的橫坐標，從而得到點P的位置
圖Z1-8
類型 ?？紗栴}設計 解題通用技法
單動點與面
積問題 　　　　　　 　　　　　　　　　　
（11）如圖Z1-9，P為線段AB上一動點，過點P作PQ⊥x軸于點Q，連接OP.求△POQ面積的最大值.
　圖Z1-9
圖Z1-9
類型 ?？紗栴}設計 解題通用技法
單動點與面
積問題 　　　　　　 　　　　　　　　　　
（12）如圖Z1-10，M為線段AB上一動點，過點M作MN⊥y軸于點N，交反比例函數的圖象于點F，連接OF，OM，求△MOF的最大面積.
　
圖Z1-10
圖Z1-10
類型 ?？紗栴}設計 解題通用技法
路徑最短
問題 　　　　　　 　　　　　　　　　　
（13）如圖Z1-11，試在y軸上找一點P，使PA+PB的值最小，并求出其最小值以及點P的坐標.
　圖Z1-11 作點A關于y軸的對稱點A'，連接BA'交y軸于點P，點P即為所求，進而求解即可
答圖Z1-3
答圖Z1-3
圖Z1-12
圖Z1-12
（1）求反比例函數的解析式；
（2）在第二象限內，當y1（3）請根據圖象求出不等式y1>y2的解集；
（2）在第二象限內，當y1圖Z1-12
（4）連接OA，OB，求△AOB的面積；
圖Z1-12
（5）點P在x軸負半軸上，連接PA，且PA⊥AB，求點P的坐標；
答圖Z1-4
（6）在（5）的條件下，設AP與反比例函數圖象交于點N，若點M為x軸上一點，當MA+MN的值最小時，直接寫出點M的坐標.
答圖Z1-4
答圖Z1-4
圖Z1-13
圖Z1-13
（1）如圖Z1-13①，若點A的坐標為（-2，3）.
①求一次函數和反比例函數的解析式；
答圖Z1-5
答圖Z1-5
圖Z1-13
答圖Z1-6
答圖Z1-6

答圖Z1-6
圖Z1-14

圖Z1-14
（1）如圖Z1-14①，若點D是CB的中點，求點E的坐標；
（2）如圖Z1-14②，若直線DE與x軸、y軸分別交于點M，N，連接AC.
①求證：DE∥AC；

圖Z1-14
②求DM·EN的值；
圖Z1-14
（3）如圖Z1-14③，將△BDE沿DE折疊，點B關于DE的對稱點為B'.
①當點B'落在矩形OABC內部時，求k的取值范圍；
答圖Z1-7
圖Z1-14
答圖Z1-7
②連接CB'，求CB'的最小值.
②如答圖Z1-8，連接AC，BB'.
由①知∠B'BC=∠BAC，∴∠B'BC的度數為定值.
由①知BB'⊥AC，
∴點B'在經過點B且與AC垂直的直線上運動.
∴當CB'的值最小時，點B'落在AC上，此時CB'⊥BB'，即∠BB'C=90°.
答圖Z1-8
圖Z1-14
答圖Z1-8
圖Z1-15
（1）證明：∵∠AOB=90°，且∠AOB是☉P中弦AB所對的圓周角，
∴線段AB是☉P的直徑.
（2）求證：OA·OB是定值；
答圖Z1-9
圖Z1-15


圖Z1-15
圖Z1-16
圖Z1-16
（1）求證：四邊形PAOB的面積是定值；
圖Z1-16
（3）若點P的坐標為（5，2），△OAB，△ABP的面積分別記為S△OAB，S△ABP.設S=S△OAB-S△ABP.
①求k1的值；
解：①由題意，得k1=xPyP=5×2=10.
圖Z1-16
圖Z1-16
②當k2為何值時，S有最大值，最大值為多少？
圖Z1-17
圖Z1-17
　圖Z1-18
（2）把點D（4，1）代入y=x+m，得1=4+m.
解得m=-3.
把點E（2，2）代入y=x+m，得2=2+m.
解得m=0.
∴m的取值范圍是-3≤m≤0.
　圖Z1-18
（3）連接OE，OD，求四邊形BEOD的面積S.
　圖Z1-18
圖Z1-19
（2）P是直線x=-2上的一個動點，△PAB的面積為21，求點P坐標；
答圖Z1-10
答圖Z1-11
圖Z1-20
解：（1）把點A（2，a）代入y=2x，得a=2×2=4.
∴A（2，4）.
把點A（2，4）代入y=-x+m，得4=-2+m.
解得m=6.
∴直線AB的解析式為y=-x+6.
把點B（b，0）代入y=-x+6，得0=-b+6.
解得b=6.
∴a的值為4，b的值為6，m的值為6.
（2）若O，A，B，C為頂點的四邊形為平行四邊形，求點C的坐標和k的值；
圖Z1-20
圖Z1-20
（3）過A，C兩點的直線與x軸負半軸交于點D，點E與點D關于y軸對稱.若有且只有一點C，使得△ABD與△ABE相似，求k的值.
答圖Z1-12
答圖Z1-12

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