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專練二　二次函數綜合題
二次函數壓軸題常考題型與方法總結
類型 常考問題設計 解題通用技法
母題 如圖Z2-1，拋物線y=x2+bx+c的頂點為D（-1，-4），與y軸相交于點C（0，-3），與x軸交于點A，B（點A在點B的左邊），求拋物線的解析式.
　圖Z2-1 由待定系數法將點D，C的坐標代入，求得b，c的值進而得出解析式
圖Z2-1
以下對于上述母題設計若干常考問題，并進行分析
類型 常考問題設計 解題通用技法
二次函數與
特殊三角形
（直角三角形） （1）如圖Z2-2，連接AC，CD，AD.試判斷△ACD的形狀，并說明理由.
　圖Z2-2 先應用勾股定理或平面內兩點間的距離公式，求出三角形各邊的長，再根據勾股定理的逆定理判定三角形的形狀
圖Z2-2
類型 常考問題設計 解題通用技法
二次函數與
特殊三角形
（等腰三角
形與動點） （2）如圖Z2-3，在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使△PCB是等腰三角形？若存在，請求出點P的坐標，若不存在，請說明理由.
圖Z2-3 設出動點P的坐標為（-1，t）后，分三種情況，若∠BPC為頂角，則PB=PC；若∠PBC為頂角，則BP=BC；若∠PCB為頂角，則CP=CB，分別用兩點間的距離公式求出或表示各線段的長度，再根據上述等式列方程求解即可
圖Z2-3
圖Z2-3
類型 常考問題設計 解題通用技法
二次函數與
角度 （3）如圖Z2-4，若點P在拋物線上，且∠PCA=45°，求點P的坐標.
圖Z2-4 利用直線AC的解析式與△AOC的特點，數形結合，列出有關的方程，即可求出點P的坐標
解：∵A（-3，0），C（0，-3），
∴在Rt△AOC中，OA=OC=3.
∴∠OAC=45°.
∵∠OAC=∠PCA=45°，點P在拋物線上，
∴CP∥x軸.
令y=-3，得x2+2x-3=-3.
解得x1=0，x2=-2.
∴點P的坐標為（-2，-3）.
圖Z2-4
類型 常考問題設計 解題通用技法
二次函數與
相似 　　　　　　 　　　　　　　　　　
（4）如圖Z2-5，△ACD與△COB是否相似？請說明理由.
圖Z2-5 用兩點間的距離公式分別求出兩個三角形的各邊長度，再用相似的判定方法進行判定.注意相似中沒有指明對應邊時，要進行分類討論
圖Z2-5
類型 常考問題設計 解題通用技法
二次函數與
相似（動點、
動線） （5）如圖Z2-6，若Q是線段AB上的一個動點（不與點A，B重合），QE∥AC交BC于點E，當△QCE的面積最大時，求動點Q的坐標.
圖Z2-6 △QCE是三邊均動的動三角形，把該三角形分割成大三角形減去小三角形的差.根據平行線的性質得出兩個三角形相似，從而有面積的比等于對應邊的比的平方，最后該動三角形的面積可表示為與動點Q（t，0）的坐標有關的開口向下的二次函數，根據二次函數的性質即可求解
圖Z2-6
圖Z2-6
類型 常考問題設計 解題通用技法
二次函數與
特殊四邊形 （6）如圖Z2-7，若E為x軸上的一個動點，F為拋物線上的一個動點，當C，A，E，F構成平行四邊形時，求點E的坐標.
圖Z2-7 以其中一個已知點（如：點A）作為起點，列出所有對角線的情況（如：AC，AF，AE），分別設出兩個動點（點E，點F）的坐標，運用中點坐標公式，求出每一種情況下，兩條對角線的中點坐標.因為兩條對角線的中點重合，所以兩個中點的坐標對應相等，列出方程組，求解即可
圖Z2-7
圖Z2-7
圖Z2-7
類型 常考問題設計 解題通用技法
二次函數與
線段的和差
（最值問題） （7）如圖Z2-8，試在x軸上找一點P，使PC+PD的值最小，并求出其最小值以及點P的坐標.
圖Z2-8 在兩定點中任選一個點（為了方便計算，常常選擇軸上的點），求出該點關于題中的動點運動所經過的那條直線的對稱點的坐標，再把此對稱點與另一個定點相連，連線與動點所在直線的交點即為所求的點
答圖Z2-1
答圖Z2-1
類型 常考問題設計 解題通用技法
二次函數與
周長（最值
問題） 　　　　　　 　　　　　　　　　　
（8）如圖Z2-9，在y軸上是否存在點P，使△PAD的周長最小？若存在，求出點P的坐標，并求出周長的最小值；若不存在，請說明理由.
圖Z2-9 注意到AD是定線段，其長度是個定值，因此只需求PA+PD的最小值，再加上定值AD即可
答圖Z2-2
答圖Z2-2
類型 常考問題設計 解題通用技法
二次函數與
面積（最值
問題） （9）如圖Z2-10，P為直線AC下方的拋物線上一動點，當△APC的面積最大時，求出其最大值及點P的坐標.
圖Z2-10
答圖Z2-3
答圖Z2-3
類型 常考問題設計 解題通用技法
二次函數與
面積（最值
問題） （10）如圖Z2-11，P為直線AC下方的拋物線上一動點，當四邊形AOCP的面積最大時，求出其最大值及點P的坐標.
圖Z2-11 四邊形AOCP是不規則圖形，通常用割補法求解，則
S四邊形AOCP=S△AOC+S△ACP或
S四邊形AOCP=S△COP+S△AOP
圖Z2-11
類型 常考問題設計 解題通用技法
二次函數與
距離（最值
問題） （11）如圖Z2-12，P為直線AC下方的拋物線上一動點，當點P到直線AC的距離最大時，求出最大距離及點P的坐標.
圖Z2-12 已知AC是定線段，當△ACP的面積最大時，也就是點P到直線AC的距離最大
圖Z2-12
類型 常考問題設計 解題通用技法
二次函數與
面積 （12）如圖Z2-13，在拋物線上是否存在點P，使S△PBC=2S△ACD？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.
圖Z2-13
圖Z2-13
答圖Z2-4
圖Z2-14
答圖Z2-5
（2）若△OAB的內切圓半徑為1，求此拋物線的函數表達式；
答圖Z2-6
（3）在（2）的條件下，拋物線上是否存在點P，使△POB是直角三角形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.

答圖Z2-7
題型二：二次函數與特殊四邊形、面積
例2.如果一條拋物線與x軸有兩個交點，那么以這兩個交點和該拋物線的頂點、對稱軸上一點為頂點的四邊形稱為這條拋物線的“拋物四邊形”.
如圖Z2-15①，拋物線y=ax2+bx+c（a<0）與x軸交于A，C兩點，B為拋物線的頂點，點D在拋物線的對稱軸上，則四邊形ABCD為“拋物四邊形”，已知A（-1，0），C（3，0）.
（1）若圖Z2-15①中的“拋物四邊形”ABCD
為菱形，且∠ABC=60°，則頂點B的坐標
為　 ；
圖Z2-15
（2）如圖Z2-15②，若“拋物四邊形”ABCD為正方形，邊AB與y軸交于點E，連接CE.
①求這條拋物線的函數解析式；
圖Z2-15
②P為第一象限拋物線上一個動點，設△PEC的面積為S，點P的橫坐標為m，求S關于m的函數關系式，并求S的最大值；
圖Z2-15
答圖Z2-8
③如圖Z2-15③，連接OB，拋物線上是否存在點Q，使直線QC與直線BC所夾銳角等于∠OBD？若存在，請直接寫出點Q的橫坐標：若不存在，說明理由.
圖Z2-15
圖Z2-16
圖Z2-16
（1）求拋物線的解析式；
（2）求證：OE⊥AB；
答圖Z2-9
答圖Z2-9
（3）P為拋物線上的一動點，直線PO交AD于點M，是否存在這樣的點P，使以A，O，M為頂點的三角形與△ACD相似？若存在，求點P的橫坐標；若不存在，請說明理由.
圖Z2-16

答圖Z2-10
答圖Z2-11
1. （2024·海南）如圖Z2-17①，拋物線y=-x2+bx+4經過點A（-4，0），
B（1，0），交y軸于點C（0，4），P是拋物線上一動點.
（1）求該拋物線的函數表達式；
圖Z2-17
解：（1）由題意，得y=-（x+4）（x-1）= -（x2+3x-4）=-x2-3x+4.
（2）當點P的坐標為（-2，6）時，求四邊形AOCP的面積；
答圖Z2-12
（3）當∠PBA=45°時，求點P的坐標；
（3）當∠PBA=45°時，則直線BP的表達式為y=±（x-1）.
聯立上式和拋物線的表達式，得-x2-3x+4=x-1或-x+1=-x2-3x+4.
解得x=-5或-3或1（舍去）.
∴點P的坐標為（-5，-6）或（-3，4）.
圖Z2-17
（4）過點A，O，C的圓交拋物線于點E，F，如圖Z2-17②.連接AE，AF，EF，判斷△AEF的形狀，并說明理由.
（4）△AEF為等邊三角形.理由如下：
如答圖Z2-12②，連接AC，由于∠AOC=90°，則AC為圓的直徑.連接EC，EA，則∠AEC=90°.
過點E作x軸的平行線交y軸于點N，交過點A和y軸的平行線于點M.
設點E（m，-m2-3m+4），
則EN=-m，ME=m+4，AM=-m2-3m+4，CN=-m2-3m+4-4=-m2-3m.
答圖Z2-12
答圖Z2-12
圖Z2-18
圖Z2-18
（2）P是二次函數圖象上的一個動點，當點P在直線AB上方時，過點P作PE⊥x軸于點E，與直線AB交于點D，設點P的橫坐標為m.
①m為何值時線段PD的長度最大，并求出最大值；
答圖Z2-13
②是否存在點P，使得△BPD與△AOC相似.若存在，請求出點P坐標；若不存在，請說明理由.
②存在.
∵∠PDB=∠ADE，∠ADE=∠ACO，
∴∠BDP=∠ACO.
∵△AOC是直角三角形，
∴要使△BPD與△AOC相似，只有保證△BPD
是直角三角形就可以.
答圖Z2-13
（Ⅰ）當△BPD∽△AOC時，如答圖Z2-14.
∴∠BPD=∠AOC=90°.
此時BP∥x軸，B，P關于對稱軸對稱，∴P（3，3）；
答圖Z2-14
答圖Z2-15
3. （2024·濟南）在平面直角坐標系xOy中，拋物線C1：y=x2+bx+c經過點A（0，2），B（2，2），頂點為D；拋物線C2：y=x2-2mx+m2-m+2（m≠1），頂點為Q.
（1）求拋物線C1的表達式及頂點D的坐標；
圖Z2-19
（2）如圖Z2-19①，連接AD，E是拋物線C1對稱軸右側圖象上一點，F是拋物線C2上一點，若四邊形ADFE是面積為12的平行四邊形，求m的值；
答圖Z2-16
圖Z2-19
答圖Z2-16
（3）如圖Z2-19②，連接BD，DQ，M是拋物線C1對稱軸左側圖象上的動點（不與點A重合），過點M作MN∥DQ交x軸于點N，連接BN，DN，求△BDN面積的最小值.
答圖Z2-17
圖Z2-19
答圖Z2-17

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