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專練三　圓的綜合題
與圓有關的?？碱}型與方法總結
類型 ?？紗栴}設計 解題通用技法
母題
（證明兩個角
相等） 證明兩角相等的方法：
1.計算法：
①證明兩個角的度數相同；
②利用三角函數
2.幾何證明法：
①利用圓周角定理；
②利用圓內接四邊形的性質；
③證明等腰三角形；
④同角或等角的余角（補角）相等；
⑤證明全等或相似三角形；
⑥利用平行線的性質
答圖Z3-1
以下對于上述母題設計若干?？紗栴}，并進行分析
類型 ?？紗栴}設計 解題通用技法
求線段長 　　　　　　 　　　　　　　　　　
（1）如圖Z3-2，若BE=2，CD=8，求AD的長.
圖Z3-2 求線段長的方法：
1.若題干中作輔助線后有直角三角形存在，考慮用勾股定理求長度；
2.若題中無直角三角形時，考慮用三角形相似或特殊角的三角函數求長度；
3. 若題干中含有30°，45°，60°等角度或出現三角函數sin α，cos α，
tan α時，考慮用三角函數求長度
答圖Z3-2
類型 ?？紗栴}設計 解題通用技法
證明兩條
線段相等 （2）如圖Z3-3，若AD=GD，求證：△FCG為等腰三角形.
　
圖Z3-3 證明兩條線段相等的方法：
1.若所證兩條線段相連且不共線，則可以考慮將兩條線段放到一個三角形中，利用等腰三角形的性質（等角對等邊）來證明；
2.若所證兩條線段在不同的兩個三角形中，則可考慮利用兩個三角形全等來證明；
3.若所證兩條線段相連且共線，則可以考慮等腰三角形“三線合一”或直角三角形“斜邊上的中線等于斜邊的一半”來證明；
4.若所證兩條線段在同一個特殊四邊形中，則可考慮利用特殊四邊形的性質來證明
證明：∵A，D，C，G四點共圓，
∴∠FGC=∠ADC=∠AGD，∠FCG=∠GAD.
∵AD=GD，
∴∠GAD=∠DGA.
∴∠FCG=∠FGC.
∴FC=FG.
∴△FCG為等腰三角形.
圖Z3-3
類型 ?？紗栴}設計 解題通用技法
證明兩條
線段垂直 （3）如圖Z3-4，若DG是☉O的直徑，連接BG，求證：BG⊥AF.
圖Z3-4 證明兩條線段垂直的方法（要證兩條線段垂直，即要證兩條線段所夾的角為90°）：
1.證明圖中另外的線段與所要求證的兩條垂直線段中的一條線段平行，根據垂直于同一直線的兩條直線平行證得；
2.設法將兩條垂直的線段構成的夾角放在一個三角形中，通過角度間的等量代換，證得其余兩角之和為90°
證明：由題意可得∠DAB=∠DGB，OA=OD，
則∠OAD=∠ODA.
∴∠ODA=∠DGB.
∴AD∥GB.
∴∠DAG=∠BGF.
∵DG是☉O的直徑，
∴∠DAG=90°.
∴∠BGF=∠DAG=90°，即BG⊥AF.
圖Z3-4
類型 ?？紗栴}設計 解題通用技法
證明兩直
線平行 （4）如圖Z3-5，若FC=FG，求證：AD∥GC.
　 圖Z3-5 證明兩直線平行的方法：
1.根據同位角相等、內錯角相等或同旁內角互補的方法證明，通過角度間等量代換或找到相等的角或互補的角即可；
2.垂直于同一條直線的兩條直線互相平行
證明：∵A，D，C，G四點共圓，
∴∠FCG=∠DAG.
∵FC=FG，
∴∠FCG=∠FGC.
∴∠DAG=∠FGC.
∴AD∥GC.
類型 ?？紗栴}設計 解題通用技法
證明直線
與圓相切 （5）如圖Z3-6，設BG與CD交于點H，M是DF上一點，且MH=MG.求證：MG是☉O的切線.
圖Z3-6 證明直線與圓相切的方法：
1.定義法：若直線與圓有唯一公共點，則直線與圓相切；
2. d=r法：證明圓心到直線的距離d等于該圓的半徑r，就能判定直線與圓相切；
3.利用“切線的判定定理”證明，即經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線
證明：如答圖Z3-3，連接OG，則OG=OB=OA.
∴∠OGB=∠B.
∵CD⊥AB于點E，
∴∠BEC=90°. ∴∠BHE+∠B=180°-90°=90°.
∵MH=MG，
∴∠MGH=∠MHG=∠BHE.
∴∠OGM=∠MGH+∠OGB=∠BHE+∠B=90°.
∴MG⊥OG.
∵OG是☉O的半徑，且MG⊥OG，
∴MG是☉O的切線.
答圖Z3-3
題型一：圓的有關性質綜合題
例1.如圖Z3-7，四邊形ABCD內接于☉O，AB=AC，∠ABD=∠CBE，D，C，E三點共線.
圖Z3-7
（1）證明：∵∠ABD=∠CBE，
∴∠ABD+∠DBC=∠CBE+∠DBC，即∠ABC=∠DBE.
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB.
∴∠DBE=∠ACB.
∵∠ADB=∠ACB，
∴∠DBE=∠ADB.
∴BE∥AD.
圖Z3-7
（1）求證：BE∥AD；
（2）解：如答圖Z3-4，設BE與☉O交于點M，連接MC，過點M作MN⊥CE于點N.
∵∠ABC=∠DBE，∠BDE=∠BAC，
∴∠E=∠ACB.
∵∠DBE=∠ACB，
∴∠E=∠DBE.
∵四邊形DBMC內接于☉O，
∴∠DBE+∠DCM=180°.
答圖Z3-4
答圖Z3-4
題型二：圓與相似三角形
例2.如圖Z3-8，在☉O中，弦AB與弦CD相交于點G，OA⊥CD于點E，過點B的直線與CD的延長線交于點F，AC∥BF.
（1）若∠FGB=∠FBG，求證：BF是☉O的切線；
圖Z3-8
（1）證明：∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA. ∵OA⊥CD，
∴∠OAB+∠AGC=90°.
又∵∠FGB=∠FBG，∠FGB=∠AGC，
∴∠FBG+∠OBA=90°，即∠OBF=90°.∴OB⊥FB.
∵點B在☉O上， ∴BF是☉O的切線.
（2）求證：GB2=GD·GF；
答圖Z3-5
圖Z3-8
如答圖Z3-5，連接OC.
設圓的半徑為r，則OC=r，OE=r-9.
在Rt△OCE中，由勾股定理，得CE2+OE2=OC2，
即122+（r-9）2=r2.
解得r=12.5.
∴☉O的半徑為12.5.
答圖Z3-5
圖Z3-9
（1）證明：如答圖Z3-6，連接OE.
∵CD為☉O的直徑，
∴∠CED=90°. ∴∠OED+∠OEC=90°.
∵OC=OE，
∴∠OEC=∠OCE. ∴∠OCE+∠OED=90°.
∵∠PEF=∠DCE，
∴∠PEF+∠OED=90°.∴∠OEP=180°-∠OED-∠PEF=180°-90°=90°.
∴OE⊥PE.
∵OE為☉O的半徑，∴PE是☉O的切線.
答圖Z3-6
（1）求證：PE是☉O的切線；
（2）當∠DCE=15°時，求證：AM=2ME；
答圖Z3-6
（3）在點E的移動過程中，判斷AN·CM是否為定值，若是，求出該定值；若不是，請說明理由.
（3）解：在點E的移動過程中，AN·CM為定值，該定值為2r2.
∵AB⊥CD，∴∠AOC=90°.
∴∠AEC=45°.
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA=45°.
∵∠AMC=∠AEC+∠DCE=45°+∠DCE，∠ACN=∠ACO+∠DCE=45°+∠DCE，
∴∠ACN=∠AMC.
圖Z3-9
圖Z3-9
　圖Z3-10

答圖Z3-7
（1）求該拋物線的解析式；
（2）若☉M的切線交x軸正半軸于點P，交y軸負半軸于點Q，切點為N，且∠OPQ=30°，試判斷直線PQ是否經過拋物線的頂點？說明理由；

答圖Z3-7
（3）K是☉M位于y軸右側上的一動點，連接KB交y軸于點H，問是否存在一個常數k始終滿足BH·BK=k？如果存在，請求出k的值；如果不存在，請說明理由.
答圖Z3-7
圖Z3-11
（2）求證：△AEB∽△BEC；

答圖Z3-8
∴∠AEB=∠AEO+∠MEB=135°，∠BEC=180°-∠MEB=135°.
∴∠AEB=∠BEC.
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ABC=45°.
∴∠ABM=∠CBE.
∴∠BAE=∠CBE.
∴△AEB∽△BEC.
答圖Z3-8
（3）求證：AD與EF互相平分.
答圖Z3-8
∴△AOE∽△BDE. ∴∠BED=∠AEO=90°.∴∠DEF=90°.
∴∠AFB=∠DEF.
∴AF∥DE.
由（2）知，∠AEB=135°，
∴∠AEF=180°-∠AEB=45°.
∵∠DFB=∠DAB=45°，
∴∠DFB=∠AEF.
∴AE∥FD.
∴四邊形AEDF是平行四邊形.
∴AD與EF互相平分.
答圖Z3-8
2. （2024·涼山州）如圖Z3-12，AB是☉O的直徑，點C在☉O上，AD平分∠BAC交☉O于點D，過點D的直線DE⊥AC，交AC的延長線于點E，交AB的延長線于點F.
（1）求證：EF是☉O的切線；
圖Z3-12
（1）證明：如答圖Z3-9，連接OD.
∵AD平分∠BAC，∴∠DAE=∠OAD.
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA. ∴∠DAE=∠ODA.
∴OD∥AC.
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE.
∵OD是☉O的半徑，
∴EF是☉O的切線.
答圖Z3-9
（2）連接EO并延長，分別交☉O于M、N兩點，交AD于點G，若☉O的半徑為2，∠F=30°，求GM·GN的值.
答圖Z3-9
答圖Z3-9
圖Z3-13
答圖Z3-10
（2）過點D作BC的平行線交AB的延長線于點F.
①判斷DF與☉O的位置關系，并說明理由；
答圖Z3-10
②若△ABC為銳角三角形，求DF的取值范圍.
答圖Z3-11
答圖Z3-12

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