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(共42張PPT)
專練四　綜合探究與綜合運用
題型一：綜合探究
1.【知識技能】
（1）如圖Z4-1①，△ABC和△CDE均為等邊三角形，直線AD和直線BE交于點F.
填空：①∠AFB的度數(shù)是　 　；
②線段AD，BE之間的數(shù)量關系為　 ；
60°
AD=BE　
圖Z4-1
【數(shù)學理解】
（2）如圖Z4-1②，△ABC和△CDE均為等腰直角三角形，∠ABC=∠DEC=90°，AB=BC，DE=EC，直線AD和直線BE交于點F.請判斷∠AFB的度數(shù)及線段AD，BE之間的數(shù)量關系，并說明理由；
圖Z4-1
圖Z4-1
【拓展探索】
（3）如圖Z4-1③，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=5，點D在AB邊上，DE⊥AC于點E，AE=3，將△ADE繞著點A在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，求直線DE經(jīng)過點B時BD的長.
圖Z4-1
答圖Z4-1
答圖Z4-2
圖Z4-2
【數(shù)學理解】
（2）如圖Z4-2②，將等腰直角三角形AMN繞點A順時針旋轉(zhuǎn)α°（0°<
α°<45°），連接CM，DM，CN，若DM∥CN，求證：4DM2+CN2=CM2；
圖Z4-2
答圖Z4-3
【拓展探索】
（3）如圖Z4-2③，線段MN交線段AC于點E，P，Q分別為線段BC，線段AC上的點，連接PM，QN，將△DPM沿PM翻折得到△D'PM，將△EQN沿QN翻折得到ΔE'QN，若AM=3DM，BC=8，在線段BC上找一點F，連接FD'，F(xiàn)E'，請求出FD'+FE'的最小值.
圖Z4-2
答圖Z4-4
3.在平行四邊形ABCD中，AD=8，DC=6，∠FED的頂點在BC上，EF交直線AB于點F.
【知識技能】
（1）如圖Z4-3①，若∠FED=∠B=90°，EF=ED，連接DF，則DF的長為
　 ；
圖Z4-3
圖Z4-3
（2）證明：如答圖Z4-5，在AB上取點G，使BG=BE，連接EG，則△BEG為等邊三角形.
∴∠BGE=∠BEG=60°.
∴∠EGF=180°-∠BGE=120°.
答圖Z4-5
答圖Z4-5
【拓展探索】
（3）如圖Z4-3③，若∠ABC=90°，對角線AC，BD交于點O，點C關于BD的對稱點為點C'，連接OC'交AD于點G，連接AC'，C'C，C'D，求AG的長.
圖Z4-3
答圖Z4-6
答圖Z4-6
4.【經(jīng)典再現(xiàn)】如圖Z4-4①，四邊形ABCD是正方形，點E是邊BC的中點，且EF交正方形外角的平分線CF于點F.求證AE=EF.（提示：取AB的中點H，連接HE）
（1）請你思考題中的“提示”，這樣添加輔助線的目的是為了構(gòu)造出
　，進而得到AE=EF；
　△AHE≌△ECF
圖Z4-4
圖Z4-4
答圖Z4-7
圖Z4-4
答圖Z4-8

答圖Z4-8
圖Z4-5
答圖Z4-9
【構(gòu)建聯(lián)系】
（1）求反比例函數(shù)的關系式；
（2）如圖Z4-5②，連接OF，BF，以B為圓心，BF為半徑作☉B(tài)，求證：OF是☉B(tài)的切線；
圖Z4-5
答圖Z4-10
【深入探究】
（3）點P在直線AC上，點Q是坐標系內(nèi)任意一點，當四邊形BCPQ為菱形時，求出點Q的坐標.
答圖Z4-11
6. 在平面直角坐標系中，直線y=-3x-3分別交x軸、y軸于A（a，0），C（0，b）兩點，點B為x軸正半軸上一點，BE⊥AC于點E，交y軸于點D，OE平分∠AEB.
（1）如圖Z4-6①，分別求a，b的值及點B的坐標；
圖Z4-6
解：（1）直線y=-3x-3分別交x軸、y軸于
A（a，0），C（0，b）兩點，
令y=0，則-3x-3=0，解得x=-1.
∴a=-1.
令x=0，則y=-3，∴b=-3.
∴A（-1，0），C（0，-3）. ∴OC=3.
如答圖Z4-12，過點O作OF⊥AC于點F，作OH⊥BE于點H.
∴∠OHB=∠OFC=90°.
∵OE平分∠AEB，∴OF=OH. ∵BE⊥AC，∴∠BEC=90°.
∵∠BOC=90°，∠ODB=∠EDC，∴∠OBH=∠OCF.
∴△OBH≌△OCF（AAS）. ∴OB=OC=3. ∴B（3，0）.
答圖Z4-12
（1）如圖Z4-6①，分別求a，b的值及點B的坐標；
圖Z4-6
（2）如圖Z4-6②，若點Q在OB延長線上運動，直線QD交BC于點G，直線AT∥BC交直線QD于點T，四邊形ABGT的面積是否為定值？若為定值，請求出此值；若不為定值，請說明理由；
圖Z4-6
答圖Z4-13
（3）如圖Z4-6③，點M為直線BE上一動點，連接OM，將線段OM繞點M逆時針旋轉(zhuǎn)90°，點O的對應點為N.當點M運動時，判斷點N的運動路線是什么圖形，并說明理由.
圖Z4-6

答圖Z4-14
7.【問題背景】一張矩形紙片ABCD（如圖Z4-7①），AB=6，AD=3.E是BC邊上的一個動點，將△ABE沿直線AE折疊得到△AEF，延長AE交直線CD于點G，直線AF與直線CD交于點Q.
【初步探究】
（1）求證：△AQG是等腰三角形；
圖Z4-7
（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD.∴∠BAG=∠G.
由折疊的性質(zhì)可知∠QAG=∠BAG.∴∠G=∠QAG.
∴AQ=GQ.∴△AQG是等腰三角形.
（2）設FQ=m，當BE=2CE時，計算m的值；
（2）解：如答圖Z4-15，過點F作FK∥CD，
交直線AD，BC于點K，L.
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ADC=∠BCD=∠B=90°，AD=BC=3.
∵BE=2CE，∴BE=2，CE=1.
∵FK∥CD，∴∠K=∠L=∠KDC=∠DCL=90°.
∴四邊形DKLC是矩形.∴DK=CL.
答圖Z4-15
圖Z4-7
答圖Z4-15
【深入探究】
（3）將矩形紙片放入平面直角坐標系中（如圖Z4-7②所示），點B與點O重合，邊OC，OA分別與x軸，y軸正半軸重合.點H在OC邊上，將△AOH沿直線AH折疊得到△APH.
圖Z4-7

答圖Z4-16
①當AP經(jīng)過CD的中點N時，求點P的坐標；
圖Z4-7
②在①的條件下，如圖Z4-7③，已知二次函數(shù)y=-x2+bx+c的圖象經(jīng)過A，D兩點.若將直線AH右側(cè)的拋物線沿AH對折，交y軸于點M，則AM的長度為　 　.
圖Z4-7
圖Z4-8
（2）當點P的橫坐標為2時，求證：四邊形CDPF是矩形；
圖Z4-8
圖Z4-8
答圖Z4-17
【深入探究】
（3）如圖Z4-8②，以點H（0，-2）為圓心，作半徑為1的☉H，過點P作☉H的切線PG，切點為G，且點G在第三象限，PG交x軸于點Q.試問在點P的運動過程中，△APQ能否形成等腰三角形，如果能，請直接寫出點G的坐標，如果不能，請說明理由.（參考數(shù)據(jù)：當點P運動到y(tǒng)軸上時，PG與y軸的夾角為15°）
圖Z4-8

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