資源簡介

(共62張PPT)
第七章　尺規作圖及圖形變換
第24課時　尺 規 作 圖
課前循環練
（限時5分鐘）
1. （廣東真題）一元二次方程x2-4x-1=0配方后可化為 （ ）
A. （x+2）2=3 B. （x+2）2=5
C. （x-2）2=3 D. （x-2）2=5
2. （廣東真題）下列運算正確的是 （ ）
A. （-m2n）3=-m6n3 B. m5-m3=m2
C. （m+2）2=m2+4 D. （12m4-3m）÷3m=4m3
D
A
A
圖7-24-1
①能用尺規作圖：作一個角等于已知角；作一個角的平分線；作一條線段的垂直平分線；過一點作已知直線的垂線；過直線外一點作這條直線的平行線； *過圓外一點作圓的切線.
②能用尺規作圖：已知三邊、兩邊及其夾角、兩角及其夾邊作三角形；已知底邊及底邊上的高線作等腰三角形；已知一直角邊和斜邊作直角三角形.
③能用尺規作圖： 過不在同一直線上的三點作圓；作三角形的外接圓、內切圓；作圓的內接正方形和內接正六邊形.
課標要求
對接教材 人教：尺規作圖分布在各年級上下冊的幾何部分
北師：尺規作圖分布在各年級上下冊的幾何部分　
考點梳理
考點復習
1.作一條線段等于已知線段
如圖7-24-2①，已知線段a，作一條線段AB=a.
步驟（如圖7-24-2②）：
（1）作射線AM；
（2）在射線AM上截取　 　，則線段AB即為所求作的線段
圖7-24-2
AB=a
廣東省對應考點例題
例1. 如圖7-24-3，已知線段a，求作一條線段，使它等于2a.（保留作圖痕跡，不寫作法）
圖7-24-3
解：如答圖7-24-1，線段AC即為所作.
答圖7-24-1
2.作一個角等于已知角
如圖7-24-4①，已知∠AOB，作∠A'O'B'=∠AOB.
圖7-24-4
步驟（如圖7-24-4②）：
（1）在圖①中，以點O為圓心，任意長為
半徑畫弧，交OA于點D，交OB于點C；
（2）作射線O'B'，以點O'為圓心，OC長
為半徑畫弧，交O'B'于點C'；
（3）以點C'為圓心，　 　長為半徑畫弧，與上一步畫的弧交于點D'；
（4）過點D'作射線O'A'，則∠A'O'B'即為所求作的角
CD
例2. 如圖7-24-5，已知∠AOB，求作一個角等于∠AOB的補角.（保留作圖痕跡，不寫作法）
圖7-24-5
解：如答圖7-24-2，∠DEF即為所作.
答圖7-24-2
3.作一個角的平分線
如圖7-24-6①，已知∠AOB，作它的角平分線.
圖7-24-6
步驟（如圖7-24-6②）：
（1）以點O為圓心，適當長為半徑畫弧，
交OA于點D，交OB于點E；
（2）分別以點D，E為圓心，大于 　的長為半徑畫弧，兩弧在∠AOB內部交于點C；
（3）作射線OC，則射線OC即為∠AOB的平分線
例3.如圖7-24-7，已知△ABC，求作∠ABC的平分線BD，交AC于點D.（保留作圖痕跡，不寫作法）
圖7-24-7
解：如答圖7-24-3，BD即為所作.
答圖7-24-3
4.作一條線段的垂直平分線
如圖7-24-8①，已知線段AB，作它的垂直平分線.
步驟（如圖7-24-8②）：
（1）分別以點A，B為圓心，大于 的長為半徑畫弧，兩弧分別交于點C，D；
（2）作直線CD，則直線CD即為線段AB的垂直平分線
圖7-24-8
例4.為了方便居民的生活，計劃在三個住宅小區A，B，C（如圖7-24-9）之間建購物商場，該購物商場建在何處才能使這三個住宅小區的居民到該購物商場的距離相等？請在圖中確定購物商場的位置.（保留作圖痕跡，不寫作法）
圖7-24-9
解：如答圖7-24-4，點P即為商場的位置.（作法不唯一）
答圖7-24-4
圖7-24-10
圖7-24-11
例5.如圖7-24-12，過點P分別向角的兩邊作垂線.（保留作圖痕跡，不寫作法）
圖7-24-12
解：如答圖7-24-5.
答圖7-24-5
6.過直線外一點作這條直線的平行線
如圖7-24-13①，已知直線l及直線l外一點A，求作直線AD，使得AD∥l.
圖7-24-13
步驟（如圖7-24-13②）：
（1）在直線l上任取一點B，連接AB；
（2）以點B為圓心，AB長為半徑畫弧，交直線l于點C；
（3）分別以點A，C為圓心，AB長為半徑畫弧，兩弧交于點D（不與點B重合）；
（4）作直線AD，則直線AD即為所求作的直線
例6. 如圖7-24-14是小明同學完成“過直線外一點P，作直線l的平行線”的尺規作圖.
（1）根據作圖痕跡，填空：
①AC是∠PAB的　 ??；
②PA=　 ??；
平分線
PQ
（2）根據作圖痕跡，說明直線PQ與l為什么平行？
圖7-24-14
解：（2）∵AC平分∠PAB，
∴∠PAC=∠CAB.
∵PA=PQ，∴∠PAC=∠PQA.
∴∠PQA=∠CAB.
∴PQ∥l.
*7. 過圓外一點作圓的切線
如圖7-24-15①，已知☉O和圓外一點P，求過點P作☉O的切線.步驟是：
圖7-24-15
步驟（如圖7-24-15②）：
（1）連接OP，作線段OP的垂直平分線交OP于點M；
（2）以點M為圓心，OM的長為半徑作圓，交☉O于A，B兩點；
（3）作直線PA，PB，則直線PA，PB即為所求作的切線
例7. 如圖7-24-16是小海同學設計的“過圓外一點A，作☉O的一條切線AC”的尺規作圖.
作法：①連接AO交☉O于點D，并延長AO交☉O于點E；
②以點A為圓心，AO長為半徑畫弧，以點O為圓心，DE的長為半徑畫弧，兩弧交于點B；
③連接OB交☉O于點C，作直線AC，則直線AC是☉O的一條切線.
請你證明AC是☉O的切線.
圖7-24-16
證明：∵OB=DE=2OD=2OC，
∴OC=BC.∵AO=AB，∴AC⊥OB.
又∵OC是☉O的半徑，
∴AC是☉O的切線.
8.利用尺規作三角形
（1）已知三角形的三邊作三角形
如圖7-24-17①，已知線段a，b，c.求作△ABC，使AB=c，AC=b，BC=a.
步驟（如圖7-24-17②）：
①作射線BM；
②在射線BM上截取BC=a，再分別以點B，
C為圓心，c，b為半徑畫弧，兩弧相交于點A；
③連接AB，AC，則△ABC即為所作.
圖7-24-17
（2）已知三角形的兩邊及夾角作三角形
如圖7-24-18①，已知線段m，n和∠β，求作△ABC，使AB=m，BC=n，∠ABC=∠β.
步驟（如圖7-24-18②）：
①作∠MBN=∠β；
②在BM上截取AB=m，BN上截取BC=n；
③連接AC，則△ABC即為所作.
圖7-24-18
（3）已知三角形的兩角及其夾邊作三角形
如圖7-24-19①，已知∠α，∠β和線段a，求作△ABC，使∠A=∠α，∠B=∠β，AB=a.
步驟（如圖7-24-19②）：
①作射線AM；
②在射線AM上截取AB=a，作∠EAB=∠α，
∠FBA=∠β，射線AE交射線BF于點C，
則△ABC即為所作
圖7-24-19
例8.（1）如圖7-24-20，已知△ABC，在△ABC下方作△ABD，使得△ABD≌△ABC；（保留作圖痕跡，不寫作法）
圖7-24-20
解：如答圖7-24-6，△ABD即為所作.
答圖7-24-6
（2）如圖7-24-21，已知線段a，b，求作△ABC，使∠A=90°，AB=a，AC=b；（保留作圖痕跡，不寫作法）
圖7-24-21
解：如答圖7-24-7，△ABC即為所作.
答圖7-24-7
（3）如圖7-24-22，已知∠α和線段a，用尺規作△ABC，使∠ABC=∠α，∠ACB=2∠α，BC=a.（保留作圖痕跡，不寫作法）
圖7-24-22
解：如答圖7-24-8，△ABC即為所作.
答圖7-24-8
9.利用尺規作三角形的外接圓和內切圓
（1）作三角形的外接圓
如圖7-24-23①，已知△ABC，求作△ABC的外接圓☉O.
步驟（如圖7-24-23②）：
①分別作線段AB，BC的　 　，它們交于點O；
②以點O為圓心，OB為半徑作☉O，則☉O即為所作.
圖7-24-23
垂直平分線
（2）作三角形的內切圓
如圖7-24-24①，已知△ABC，求作△ABC的內切圓☉O.
步驟（如圖7-24-24②）：
①分別作∠B，∠C的　 　，它們
交于點O；
②過點O作BC的垂線，垂足為D；
③以點O為圓心，OD為半徑作☉O，則☉O即為所作
圖7-24-24
平分線
例9.（1）如圖7-24-25是☉O一段弧，AB和BC是圓弧的兩條弦，請你作出圓心O的位置，并把圓補充完整；（保留作圖痕跡，不寫作法）
圖7-24-25
解：如答圖7-24-9，點O和☉O即為所作.
答圖7-24-9
（2）如圖7-24-26，在△ABC中，∠B=∠C，AD是BC邊上的中線，求作△ABC的內切圓.（保留作圖痕跡，不寫作法）
圖7-24-26
解：如答圖7-24-10，☉O即為所作.
答圖7-24-10
廣東中考

圖7-24-27
45°
2. （2023·廣東題19，9分，作圖——基本作圖；解直角三角形）如圖7-24-28，在 ABCD中，∠DAB=30°.
（1）實踐與操作：用尺規作圖法過點D作AB邊上的高DE；（保留作圖痕跡，不要求寫作法）
圖7-24-28
解：（1）如答圖7-24-11，DE即為所作.
答圖7-24-11
（2）應用與計算：在（1）的條件下，AD=4，AB=6，求BE的長.
答圖7-24-11
3. （2024·廣東題17，7分，作圖—基本作圖；角平分線的性質；切線的判定）如圖7-24-29，在△ABC中，∠C=90°.
（1）實踐與操作：用尺規作圖法作∠A的平分線AD交BC于點D；（保留作圖痕跡，不要求寫作法）
圖7-24-29
（1）解：如答圖7-24-12，AD即為所作.
答圖7-24-12
（2）應用與證明：在（1）的條件下，以點D為圓心，DC長為半徑作☉D. 求證：AB與☉D相切.
（2）證明：如答圖7-24-12，過點D作DE⊥AB于點E.
∵∠ACB=90°，∴DC⊥AC.
又∵AD平分∠BAC，∴DE=DC，即DE為☉D的半徑.
又∵DE⊥AB，∴AB與☉D相切.
答圖7-24-12
高分擊破
【典型考點】作圖—復雜作圖；直線與圓的位置關系 得分點分析
1. （2024·廣東改編）如圖7-24-30，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分線AD交BC于點D.
（1）實踐與操作：利用尺規作☉O，使☉O經過點A，D，且圓心O在AB上；（保留作圖痕跡，不寫作法）
····································································
圖7-24-30
解：（1）如圖7-24-31，☉O即為所作. ··············2分（尺規作圖得2分）
（2）應用與證明：在（1）的條件下，判斷直線BC與☉O的位置關系，并說明理由.
（2）直線BC與☉O相切.
理由：如圖7-24-31，連接OD.
∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA.
······························3分（利用等邊對等角得1分）
∵AD平分∠BAC，∴∠CAD=∠OAD. ··············4分（利用角平分線的定義得1分）
∴∠CAD=∠ODA.∴AC∥OD. ·········5分（利用“內錯角相等，兩直線平行”得1分）
∴∠ODB=∠C=90°，即OD⊥BC. 6分（利用平行線的性質得出OD⊥BC得1分）
又∵OD是☉O的半徑，∴直線BC與☉O相切. ···· 7分（利用切線的判定得1分）
溫馨提示：此類考題常見于廣東省中考數學試卷的第17題，分值一般為7分，答題時要注意書寫格式，分步書寫，慢做會求全對，評卷老師是分步給分的哦！
【典型錯例】由于不理解三角形高的定義導致作圖出錯
2. 如圖7-24-32，利用尺規作圖，作△ABC的邊BC上的高.（保留作圖痕跡，不寫作法）
圖7-24-32
解：如答圖7-24-13，線段AD即為所作.
答圖7-24-13
錯解分析
錯解：如圖7-24-33，線段AD即為所作.
剖析：錯解①是作BC的垂直平分線；錯解②是過點C作BC的垂線；錯解③是過點A作AB的垂線.三個解法都沒正確理解△ABC的邊BC上的高.
圖7-24-33
【生長式訓練】知識生長→變式創新
3. （中考創新，原創題）如圖7-24-34，已知△ABC.
知識種子：基本概念
（1）若∠B=60°，∠A=80°，以點A為圓心，AB長為半徑作弧，交射線CA于點D，連接BD，則∠CBD的度數是　 ?。?
　圖7-24-34
10°或100°
種子生長：尺規作圖
（2）①尺規作圖：在圖7-24-34中作∠BAC的平分線AD，交BC于點D.作AD的垂直平分線EF，交AB于點E，交AC于點F，連接DE，DF；（保留作圖痕跡，不寫作法）
　圖7-24-34
①解：如答圖7-24-14.
答圖7-24-14
②在①的條件下，求證：四邊形AEDF是菱形；
②證明：如答圖7-24-14，設AD與EF相交于點O.
∵EF垂直平分AD，∴AE=DE，AF=DF，AD⊥EF.
∴∠AOE=∠AOF=90°.
∵AD平分∠BAC，∴∠EAO=∠FAO.
又∵OA=OA，∴△AOE≌△AOF（ASA）.
∴AE=AF，即AE=DE=AF=DF.
∴四邊形AEDF是菱形.
答圖7-24-14
生長變式：作圖變式
（3）①尺規作圖：在圖7-24-35中AC的右上方確定一點D，使∠DAC=∠ACB，且CD⊥AD；（保留作圖痕跡，不寫作法）
圖7-24-35
解：①如答圖7-24-15，點D即為所求.
答圖7-24-15
②在①的條件下，若∠B=60°，AB=2，BC=3，求四邊形ABCD的面積；
答圖7-24-15
種子成樹：綜合創新
（4）如圖7-24-36，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=8，AC=6.
①尺規作圖：作☉O，使☉O經過點A，且與BC相切于點D；（保留作圖痕跡，不寫作法）
圖7-24-36
解：①如答圖7-24-16，☉O即為所作.
答圖7-24-16
②在①的條件下，若D是邊BC上的動點，設☉O與邊AB，AC分別交于點E，F，求EF的最小值.
答圖7-24-17
中考演練
（限時15分鐘）
一、選擇題
1. （2024·河北）觀察圖7-24-37中尺規作圖的痕跡，可得線段BD一定是△ABC的 （ ）
A. 角平分線 B. 高線
C. 中位線 D. 中線
圖7-24-37
B
圖7-24-38
C
圖7-24-39
C
4. （2024·深圳）在如圖7-24-40所示的三個圖形中，根據尺規作圖的痕跡，能判斷射線AD平分∠BAC的是 （ ）
A. ①②
B. ①③
C. ②③
D. 只有①
圖7-24-40
B
圖7-24-41
D
圖7-24-42
35
圖7-24-43
4
圖7-24-44
13
三、解答題
9. （2024·廣州）如圖7-24-45，Rt△ABC中，∠B=90°.
（1）尺規作圖：作AC邊上的中線BO；（保留作圖痕跡，不寫作法）
圖7-24-45
（1）解：如答圖7-24-18，線段BO為AC邊上的中線.
答圖7-24-18
（2）在（1）所作的圖中，將中線BO繞點O逆時針旋轉180°得到DO，連接AD，CD. 求證：四邊形ABCD是矩形.
（2）證明：如答圖7-24-18.
∵BO是AC邊上的中線，∴AO=CO.
∵將中線BO繞點O逆時針旋轉180°得到DO，
∴BO=DO.
∴四邊形ABCD是平行四邊形.
又∵∠ABC=90°，
∴四邊形ABCD是矩形.
答圖7-24-18
10. （2024·無錫）如圖7-24-46，在△ABC中，AB>AC.
（1）尺規作圖：作∠BAC的平分線，在角平分線上確定點D，使得DB=DC；（保留作圖痕跡，不寫作法）
圖7-24-46
解：（1）如答圖7-24-19，AD即為所作.
答圖7-24-19
（2）在（1）的條件下，若∠BAC=90°，AB=7，AC=5，則AD的長是多少？（請直接寫出AD的值）
答圖7-24-19
命題趨勢
（ 限時 5 分鐘）
（綜合探究）如圖7-24-47，在Rt△ACB中，∠C=90°.
（1）請按如下要求完成尺規作圖.（不寫作法，
保留作圖痕跡）
①作∠CBD=∠A，交線段AC于點D；
②作線段AD的垂直平分線，交AB于點O；
③以點O為圓心，OA為半徑作☉O，交AB于點E；
　圖7-24-47
解：（1）如答圖7-24-20.
答圖7-24-20
（2）在（1）的條件下，判斷BD所在直線與☉O的位置關系，并說明理由；
（2）BD所在直線與☉O相切.
理由：如答圖7-24-20，連接OD，則OD=OA.∴∠ODA=∠A.
又∵∠CBD=∠A，∴∠CBD=∠ODA.
∵∠C=90，∴∠CBD+∠CDB=90°.
∴∠ODA+∠CDB=90°.
∴∠ODB=180°-（∠ODA+∠CDB）=90°，即OD⊥BD.
又∵OD是☉O的半徑，∴BD所在直線與☉O相切.
答圖7-24-20

答圖7-24-20

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