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(共72張PPT)
第九章　綜合與實(shí)踐
第29課時(shí)　綜合與實(shí)踐
課前循環(huán)練
（限時(shí)5分鐘）
1. （廣東真題）下表為五種運(yùn)動(dòng)耗氧情況，其中耗氧量的中位數(shù)是 （ ）
A. 80 L/h
B. 107.5 L/h
C. 105 L/h
D. 110 L/h
打網(wǎng)球 跳繩 爬樓梯 慢跑 游泳
80 L/h 90 L/h 105 L/h 110 L/h 115 L/h
C
2. （廣東真題）一副三角板如圖9-29-1所示放置，斜邊平行，則∠1的度數(shù)為 （ ）
A. 3.5° B. 10°
C. 15° D. 20°
圖9-29-1
C
B
圖9-29-2
2π
5. （廣東真題）如圖9-29-3，已知反比例函數(shù)的圖象過A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)（2，3），直線AB經(jīng)過原點(diǎn)，將線段AB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BC，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為　 　.
圖9-29-3
（4，-7）
①在社會(huì)生活和科學(xué)技術(shù)的真實(shí)情境中，結(jié)合方程與不等式、函數(shù)、圖形的變化、圖形與坐標(biāo)、抽樣與數(shù)據(jù)分析等內(nèi)容，經(jīng)歷現(xiàn)實(shí)情境數(shù)學(xué)化，探索數(shù)學(xué)關(guān)系、性質(zhì)與規(guī)律的過程，感悟如何從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，逐步形成“會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界”的核心素養(yǎng).
②用數(shù)學(xué)的思維方法，運(yùn)用數(shù)學(xué)與其他相關(guān)學(xué)科的知識(shí)，綜合地、有邏輯地分析問題，經(jīng)歷分工合作、試驗(yàn)調(diào)查、建立模型、計(jì)算反思、解決問題的過程，提升思維能力，逐步形成“會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界”的核心素養(yǎng).
課標(biāo)要求
③用數(shù)學(xué)的語言，將現(xiàn)實(shí)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，經(jīng)歷用數(shù)學(xué)方法解決問題的過程，感悟科學(xué)研究的過程與方法，感受數(shù)學(xué)在與其他學(xué)科融合中所彰顯的功效，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，逐步形成“會(huì)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界”的核心素養(yǎng).
對(duì)接教材 人教：綜合與實(shí)踐分布在各年級(jí)上下冊(cè)的數(shù)學(xué)活動(dòng)和課題學(xué)習(xí)部分
北師：綜合與實(shí)踐分布在各年級(jí)上下冊(cè)的綜合與實(shí)踐部分　
考點(diǎn)梳理
考點(diǎn)復(fù)習(xí)
1.數(shù)與代數(shù)的綜合與實(shí)踐問題
數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域包括“數(shù)與式”“方程與不等式”和“函數(shù)”三個(gè)主題，通過實(shí)踐活動(dòng)，經(jīng)歷現(xiàn)實(shí)情境數(shù)學(xué)化，探索數(shù)學(xué)關(guān)系、性質(zhì)與規(guī)律的過程，感悟從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，綜合運(yùn)用“數(shù)與式”“方程與不等式”和“函數(shù)”的相關(guān)知識(shí)解決相關(guān)的綜合問題
廣東省對(duì)應(yīng)考點(diǎn)例題
例1. （2023·臨沂改編）綜合與實(shí)踐
【問題情境】
小瑩媽媽的花卉超市以15元/盆的價(jià)格新購進(jìn)了某種盆栽花卉，為了確定
售價(jià)，小瑩幫媽媽調(diào)查了
附近A，B，C，D，E五
家花卉店近期該種盆栽花
卉的售價(jià)與日銷售量情況，
記錄如下：
花卉店 售價(jià)/（元·盆-1） 日銷售量/盆
A 20 50
B 30 30
C 18 54
D 22 46
E 26 38
【數(shù)據(jù)整理】
（1）請(qǐng)將以上調(diào)查數(shù)據(jù)按照
一定順序重新整理，填寫在
下表中：
售價(jià)/（元·盆-1） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　
日銷售量/盆 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　
18
20
22
26
30
54
50
46
38
30
花卉店 售價(jià)/（元·盆-1） 日銷售量/盆
A 20 50
B 30 30
C 18 54
D 22 46
E 26 38
【模型建立】
（2）分析數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，求出日銷售量y（盆）與售價(jià)x（元/盆）之間的函數(shù)關(guān)系式；
【拓廣應(yīng)用】
（3）根據(jù)以上信息，小瑩媽媽在銷售該種花卉中，
①要想每天獲得400元的利潤(rùn)，應(yīng)如何定價(jià)？
②售價(jià)定為多少時(shí)，每天能夠獲得的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？
②設(shè)每天獲得的利潤(rùn)為w元.
由題意，得w=（x-15）（-2x+90）=-2x2+120x-1 350=-2（x-30）2+450.
∵-2<0，∴當(dāng)x=30時(shí)，w取最大值為450.
答：售價(jià)定為30元/盆時(shí)，每天能夠獲得的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是450元.
（3）①由題意，得（x-15）（-2x+90）=400.解得x1=25，x2=35.
答：要想每天獲得400元的利潤(rùn)，應(yīng)定價(jià)為25元/盆或35元/盆.
2.圖形與幾何的綜合與實(shí)踐問題
通常以圖形的操作探究為主要形式，綜合圖形的平移、折疊、旋轉(zhuǎn)等圖形變化，結(jié)合有關(guān)線段、角、三角形、四邊形的知識(shí)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)各部分之間、數(shù)學(xué)與生活、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間的聯(lián)系，考查幾何猜想、畫圖、推理、證明與計(jì)算能力以及創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力
例2. （2024·宿遷節(jié)選）綜合與實(shí)踐
在綜合實(shí)踐活動(dòng)課上，同學(xué)們以折疊正方形紙片展開數(shù)學(xué)探究活動(dòng).
【操作判斷】
操作一：如圖9-29-4①，對(duì)折正方形紙片ABCD，得到折痕AC，把紙片展平；
操作二：如圖9-29-4②，在邊AD上選一點(diǎn)E，沿BE折疊，使點(diǎn)A落在正方形內(nèi)部，得到折痕BE；
操作三：如圖9-29-4③，在邊CD上選一點(diǎn)F，沿BF折疊，使邊BC與邊BA重合，得到折痕BF.
把正方形紙片展平，得圖9-29-4④，折痕BE，BF與AC的交點(diǎn)分別為G，H.
（1）根據(jù)以上操作，得∠EBF=　 ；
圖9-29-4
45°　
【探究證明】
（2）如圖9-29-5①，連接GF，試判斷△BFG的形狀并證明；
圖9-29-5
（2）解：△BFG為等腰直角三角形.證明如下.
∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ACD=∠ACB=45°.
∵∠EBF=45°，∴∠GBF=∠GCF=45°.
∴G，B，C，F(xiàn)四點(diǎn)共圓.
∴∠BFG=∠ACB=45°. ∴∠BFG=∠EBF. ∴FG=BG.
又∵∠BGF=180°-∠BFG-∠EBF=90°，
∴△BFG為等腰直角三角形.
（3）如圖9-29-5②，連接EF，過點(diǎn)G作CD的垂線，分別交AB，CD，EF于點(diǎn)P，Q，M.求證：EM=MF.
圖9-29-5
（3）證明：∵PQ⊥CD，∴∠PQF=90°.
在正方形ABCD中，∠D=90°，
∴∠PQF=∠D. ∴PQ∥AD. ∴∠PGB=∠AEB.
由折疊的性質(zhì)，得∠AEB=∠BEF，∴∠PGB=∠BEF.
∵∠BGF=90°，∴∠PGB+∠MGF=90°，∠BEF+∠MFG=90°.
∴∠MGF=∠MFG. ∴MG=MF.
∵∠PGB=∠EGM，∠PGB=∠BEF，
∴∠BEF=∠EGM. ∴EM=GM. ∴EM=MF.
3.統(tǒng)計(jì)與概率的綜合與實(shí)踐問題
在社會(huì)生活和科學(xué)技術(shù)的真實(shí)情境中，通過綜合與實(shí)踐活動(dòng)結(jié)合抽樣與數(shù)據(jù)分析等，綜合地、有邏輯地分析問題，經(jīng)歷分工合作、試驗(yàn)調(diào)查、建立模型、計(jì)算反思、解決統(tǒng)計(jì)與概率的綜合問題
例3. （2023·德州）綜合與實(shí)踐
某校勞動(dòng)實(shí)踐小組為了解全校1 800名學(xué)生參與家務(wù)勞動(dòng)的情況，隨機(jī)抽取部分學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，形成了如下調(diào)查報(bào)告：
××學(xué)校學(xué)生參與家務(wù)勞動(dòng)情況調(diào)查報(bào)告
調(diào)查主題 ××學(xué)校學(xué)生參與家務(wù)勞動(dòng)情況
調(diào)查方式 抽樣調(diào)查 調(diào)查對(duì)象 ××學(xué)校學(xué)生
數(shù)據(jù)
的收
集、
整理
與描
述 第
一
項(xiàng) 你日常家務(wù)勞動(dòng)的參與程度是（單選）
A.天天參與
B.經(jīng)常參與
C.偶爾參與
D.幾乎不參與
圖9-29-6
第
二
項(xiàng) 你日常參與的家務(wù)勞動(dòng)項(xiàng)目是（可多選）
E.掃地抹桌
F.廚房幫廚
G.整理房間
H.洗曬衣服
圖9-29-7
調(diào)查結(jié)論 ……
請(qǐng)根據(jù)以上調(diào)查報(bào)告，解答下列問題：
（1）參與本次抽樣調(diào)查的學(xué)生有　 　人；
（2）若將上述報(bào)告第一項(xiàng)的條形統(tǒng)計(jì)圖轉(zhuǎn)化為相對(duì)應(yīng)的扇形統(tǒng)計(jì)圖，求扇形統(tǒng)計(jì)圖中選項(xiàng)“天天參與”對(duì)應(yīng)扇形的圓心角度數(shù)；
200
（3）估計(jì)該校1 800名學(xué)生中，參與家務(wù)勞動(dòng)項(xiàng)目為“整理房間”的人數(shù)；
（3）1 800×83%=1 494（人）.
答：估計(jì)該校1 800名學(xué)生中，參與家務(wù)勞動(dòng)項(xiàng)目為“整理房間”的人數(shù)為1 494人.
（4）如果你是該校學(xué)生，為鼓勵(lì)同學(xué)們更加積極地參與家務(wù)勞動(dòng)，請(qǐng)你面向全體同學(xué)寫出一條倡議.
（4）同學(xué)們可在家多幫助父母掃地抹桌和洗曬衣服.（答案不唯一，合理即可）
廣東中考
1. （2023·廣東題20，9分，正方形的性質(zhì)；等腰直角三角形的判定與性質(zhì)）綜合與實(shí)踐
圖9-29-8
主題：制作無蓋正方體形紙盒.
素材：一張正方形紙板.
步驟1：如圖9-29-8①，將正方形
紙板的邊長(zhǎng)三等分，畫出九個(gè)相
同的小正方形，并剪去四個(gè)角上的小正方形；
步驟2：如圖9-29-8②，把剪好的紙板折成無蓋正方體形紙盒.
（2）證明（1）中你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論.
答圖9-29-1
猜想與證明：（1）直接寫出紙板上∠ABC與紙盒上∠A1B1C1的大小關(guān)系；
（1）解：∠ABC=∠A1B1C1.
2. （2024·廣東題21，9分，圓錐的計(jì)算；展開圖折疊成幾何體）綜合與實(shí)踐
【主題】濾紙與漏斗
【素材】如圖9-29-9①所示：
①一張直徑為10 cm的圓形濾紙；
②一只漏斗口直徑與母線均為7 cm的圓錐形過濾漏斗.
圖9-29-9
【實(shí)踐操作】
步驟1：取一張濾紙；
步驟2：按如圖9-29-9②所示步驟折疊好濾紙；
步驟3：將其中一層撐開，圍成圓錐形；
步驟4：將圍成圓錐形的濾紙放入如圖9-29-9①所示漏斗中.
【實(shí)踐探索】
（1）濾紙是否能緊貼此漏斗內(nèi)壁（忽略漏斗管口處）？用你所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)說明；
（2）當(dāng)濾紙緊貼漏斗內(nèi)壁時(shí)，求濾紙圍成圓錐形的體積. （結(jié)果保留π）
高分擊破
【典型考點(diǎn)】綜合與實(shí)踐 得分點(diǎn)分析
圖9-29-10
1. （2024·通遼）綜合與實(shí)踐
【實(shí)際情境】
手工課堂上，老師給每個(gè)制作小組發(fā)放一把花折傘和制作花折傘的材料及工具.同學(xué)們認(rèn)真觀察后，組裝了花折傘的骨架，粘貼了彩色傘面，制作出精美的花折傘（如圖9-29-10）.
【模型建立】
（1）如圖9-29-11①，從花折傘中抽象出“牽形圖”，AM=AN，DM=DN.求證：∠AMD=∠AND；
圖9-29-11
【模型應(yīng)用】
（2）如圖9-29-11②，△AMC中，∠MAC的平分線AD交MC于點(diǎn)D.請(qǐng)你從以下兩個(gè)條件：①∠AMD=2∠C；②AC=AM+MD中選擇一個(gè)作為已知條件，另一個(gè)作為結(jié)論，并寫出結(jié)論成立的證明過程；（注：只需選擇一種情況作答）
圖9-29-11
（2）解：選擇①為條件，②為結(jié)論. （選擇②為條件，①為結(jié)論亦可證明）
證明：如圖9-29-12，在AC取點(diǎn)N，使AN=AM，連接DN.
∵AD平分∠MAC，∴∠DAM=∠DAN.
又∵AD=AD，∴△ADM≌△ADN（SAS）. ························ 3分（利用全等三角形的判定得1分）
∴ND=MD，∠AND=∠AMD=2∠C. ························4分（利用全等三角形的性質(zhì)得1分）
∵∠AND=∠CDN+∠C，∴∠CDN=∠C. ∴ND=NC. ∴MD=NC.
∵AC=AN+NC，∴AC=AM+MD. ··············5分（等量代換得1分）
圖9-29-12
圖9-29-13
溫馨提示：此類考題常見于廣東省中考數(shù)學(xué)試卷的第21小題，分值一般為9分，答題時(shí)要注意書寫格式，分步書寫，慢做會(huì)求全對(duì)，評(píng)卷老師是分步給分的哦！
【典型錯(cuò)例】考慮問題不全面
2. （跨學(xué)科融合）在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，同學(xué)們了解了杠桿原理，即動(dòng)力×動(dòng)力臂=阻力×阻力臂（支點(diǎn)：杠桿繞著轉(zhuǎn)動(dòng)的固定點(diǎn)；動(dòng)力：使杠桿轉(zhuǎn)動(dòng)的力；阻力：阻礙杠桿轉(zhuǎn)動(dòng)的力；動(dòng)力臂：從支點(diǎn)到動(dòng)力作用線的距離；阻力臂：從支點(diǎn)到阻力作用線的距離）. 如圖9-29-14，現(xiàn)有一個(gè)直角棒ABO自重不計(jì)，可繞O點(diǎn)自由旋轉(zhuǎn). 已知AB=30 cm，OB=40 cm，現(xiàn)在OB的中點(diǎn)C懸掛重為G=50 N的物體，則在A點(diǎn)至少需要多大的力才能使杠桿平衡（OB保持水平）？
圖9-29-14
圖9-29-14
答圖9-29-2

圖9-29-15
知識(shí)種子：基本概念
（1）若單擺細(xì)線的長(zhǎng)度為40 cm，則小球來回?cái)[
動(dòng)一次所用的時(shí)間為 　s；
種子生長(zhǎng)：實(shí)踐探究
（2）如圖9-29-16，OA表示小球靜止時(shí)的位置，當(dāng)小球擺到OB位置時(shí)，過點(diǎn)B作BD⊥OA于點(diǎn)D，當(dāng)小球擺到OC位置時(shí)，過點(diǎn)C作CE⊥OA于點(diǎn)E.
若OB與OC恰好垂直（點(diǎn)A，B，O，C在同一平面上），且BD=8 cm，ED=7 cm，求單擺細(xì)線的長(zhǎng)度；
圖9-29-16
圖9-29-16
生長(zhǎng)變式：探究變式
（3）如圖9-29-17，一次單擺實(shí)驗(yàn)過程中，擺到OB的位置時(shí)俯角為30°，擺到OC的位置時(shí)俯角為60°. 若OA⊥FG，點(diǎn)B比點(diǎn)C高7 cm，求單擺細(xì)線的長(zhǎng)度；
圖9-29-17
圖9-29-17
種子成樹：綜合創(chuàng)新
（4）如圖9-29-18，在點(diǎn)O正下方的P處有一枚釘子. 某學(xué)生進(jìn)行單擺運(yùn)動(dòng)實(shí)驗(yàn)，從點(diǎn)B出發(fā)，在右側(cè)達(dá)到最高點(diǎn)C，在點(diǎn)O測(cè)得點(diǎn)B的俯角是45°，點(diǎn)C的俯角是60°，在點(diǎn)C測(cè)得點(diǎn)P的仰角是45°. 若OA⊥FG，OP的長(zhǎng)為4 cm，求單擺細(xì)線的長(zhǎng)度.
圖9-29-18
答圖9-29-3
中考演練
（限時(shí)15分鐘）
一、選擇題
1. （2024·淄博）如圖9-29-19，在綜合與實(shí)踐活動(dòng)課上，小強(qiáng)先測(cè)得教學(xué)樓在水平地面上的影長(zhǎng)BC為35 m. 又在點(diǎn)C處測(cè)得該樓的頂端A的仰角是29°，則用科學(xué)計(jì)算器計(jì)算教學(xué)樓高度的按鍵順序正確的是（ ）
圖9-29-19
A
C
3. （2024·長(zhǎng)春）在剪紙活動(dòng)中，小花同學(xué)想用一張矩形紙片剪出一個(gè)正五邊形，其中正五邊形的一條邊與矩形的邊重合，如圖9-29-20所示，則∠α的大小為 （ ）
A. 54° B. 60°　
C. 70°　 D. 72°
圖9-29-20
D
圖9-29-21
C
5. （2024·大慶）如圖9-29-22，在一次綜合實(shí)踐課上，為檢驗(yàn)紙帶①、②的邊線是否平行，小慶和小鐵采用了兩種不同的方法：小慶把紙帶①沿AB折疊，量得∠1=∠2=59°；小鐵把紙帶②沿GH折疊，發(fā)現(xiàn)GD與GC重合，HF與HE重合，且點(diǎn)C，G，D在同一直線上，點(diǎn)E，H，F(xiàn)也在同一直線上. 則下列判斷正確的是 （ ）
A. 紙帶①、②的邊線都平行
B. 紙帶①、②的邊線都不平行
C. 紙帶①的邊線平行，紙帶②的邊線不平行
D. 紙帶①的邊線不平行，紙帶②的邊線平行
圖9-29-22
D
二、填空題
6. （2024·陜西）小華探究“幻方”時(shí)，提出了一個(gè)問題：如圖9-29-23，將0，-2，-1，1，2這五個(gè)數(shù)分別填在五個(gè)小正方形內(nèi)，使橫向三個(gè)數(shù)之和與縱向三個(gè)數(shù)之和相等，則填入中間位置的小正方形內(nèi)的數(shù)可以是_____
　 　. （寫出一個(gè)符合題意的數(shù)即可）
圖9-29-23
0（答案不唯一）
7. （2024·雅安）如圖9-29-24是1個(gè)紙杯和若干個(gè)疊放在一起的紙杯的示意圖，在探究紙杯疊放在一起后的總高度H與杯子數(shù)量n的變化規(guī)律的活動(dòng)中，我們可以獲得以下數(shù)據(jù)（字母），請(qǐng)選用適當(dāng)?shù)淖帜副硎綡=
　 .
①杯子底部到杯沿底邊的高h(yuǎn)；
②杯口直徑D；
③杯底直徑d；
④杯沿高a.
圖9-29-24
h+an　
圖9-29-25
2或3
三、解答題
9. （2024·遂寧）綜合與實(shí)踐
遂寧市作為全國(guó)旅游城市，有眾多著名景點(diǎn)，為了解“五一”假期同學(xué)們的出游情況，某實(shí)踐探究小組對(duì)部分同學(xué)假期旅游地做了調(diào)查，以下是調(diào)查報(bào)告的部分內(nèi)容，請(qǐng)完善報(bào)告：
××小組關(guān)于××學(xué)校學(xué)生“五一”出游情況調(diào)查報(bào)告
數(shù)據(jù)收集
調(diào)查方式 抽樣調(diào)查 調(diào)查對(duì)象 學(xué)校學(xué)生
數(shù)據(jù)的整理與描述
景點(diǎn) A：中國(guó)死海 B：龍鳳古鎮(zhèn) C：靈泉風(fēng)景區(qū) D：金華山 E：未出游 F：其他
圖9-29-26
數(shù)據(jù)分析及運(yùn)用
（1）本次被抽樣調(diào)查的學(xué)生總?cè)藬?shù)為　 　，扇形統(tǒng)計(jì)圖中，m=
　 　，“B：龍鳳古鎮(zhèn)”對(duì)應(yīng)圓心角的度數(shù)是　 ；
（2）請(qǐng)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；
（3）該學(xué)校總?cè)藬?shù)為1 800人，請(qǐng)你估計(jì)該學(xué)校學(xué)生“五一”假期未出游的人數(shù)；
（4）未出游中的甲、乙兩位同學(xué)計(jì)劃下次假期從A，B，C，D四個(gè)景點(diǎn)中任選一個(gè)景點(diǎn)旅游，請(qǐng)用樹狀圖或列表的方法求出他們選擇同一景點(diǎn)的概率.
100
10
72°　
解：（2）出游景點(diǎn)C的有100×10%=10（人），
補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖如答圖9-29-4.
答圖9-29-4
（2）請(qǐng)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；
（3）該學(xué)校總?cè)藬?shù)為1 800人，請(qǐng)你估計(jì)該學(xué)校學(xué)生“五一”假期未出游的人數(shù)；

答圖9-29-5
（4）未出游中的甲、乙兩位同學(xué)計(jì)劃下次假期從A，B，C，D四個(gè)景點(diǎn)中任選一個(gè)景點(diǎn)旅游，請(qǐng)用樹狀圖或列表的方法求出他們選擇同一景點(diǎn)的概率.
10. （2024·濟(jì)寧）綜合與實(shí)踐
某校數(shù)學(xué)課外活動(dòng)小組用一張矩形紙片（如圖9-29-27①，矩形ABCD中，AB>AD且AB足夠長(zhǎng)）進(jìn)行探究活動(dòng).
【動(dòng)手操作】
如圖9-29-27②，第一步，沿點(diǎn)A所在直線折疊，使點(diǎn)D落在AB上的點(diǎn)E處，折痕為AF，連接EF，把紙片展平.
第二步，把四邊形AEFD折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)E重合，點(diǎn)D與點(diǎn)F重合，折痕為GH，再把紙片展平.
圖9-29-27
（1）請(qǐng)分別判斷甲、乙兩同學(xué)的結(jié)論是否正確. 若
正確，寫出證明過程；若不正確，請(qǐng)說明理由；
（1）解：甲、乙兩同學(xué)的結(jié)論都正確. 證明如下.
①∵四邊形ABCD是矩形，∴∠D=∠BAD=90°.
由折疊的性質(zhì)，得∠AEF=∠D=90°，AD=AE，
∴四邊形AEFD是正方形. 故甲同學(xué)的結(jié)論正確.
圖9-29-27
答圖9-29-6
【繼續(xù)探究】
在上面操作的基礎(chǔ)上，丙同學(xué)繼續(xù)操作.
如圖9-29-27③，第四步，沿點(diǎn)G所在直線折疊，使點(diǎn)F落在AB上的點(diǎn)M處，折痕為GP，連接PM，把紙片展平.
第五步，連接FM交GP于點(diǎn)N.
根據(jù)以上操作，丁同學(xué)寫出了一個(gè)正確結(jié)論：FN·AM=GN·AD.
圖9-29-27
答圖9-29-7
（2）請(qǐng)證明這個(gè)結(jié)論.
命題趨勢(shì)
（ 限時(shí) 5 分鐘）
（2023·廣西，跨學(xué)科融合）綜合與實(shí)踐
有言道：“桿秤一頭稱起人間生計(jì)，一頭稱起天地良心”. 某興趣小組將利用物理學(xué)中杠桿原理制作簡(jiǎn)易桿秤，小組先設(shè)計(jì)方案，然后動(dòng)手制作，再結(jié)合實(shí)際進(jìn)行調(diào)試，請(qǐng)完成下列方案設(shè)計(jì)中的任務(wù).
【知識(shí)背景】如圖9-29-28，稱重物時(shí)，移動(dòng)秤砣可使桿秤平衡，根據(jù)杠桿原理推導(dǎo)得：（m0+m）·l=M·（a+y），其中秤盤質(zhì)量m0 g，重物質(zhì)量m g，秤砣質(zhì)量M g，秤紐與秤盤的水平距離為l cm，秤紐與零刻線的水平距離為a cm，秤砣與零刻線的水平距離為y cm.
【方案設(shè)計(jì)】目標(biāo)：設(shè)計(jì)簡(jiǎn)易桿秤. 設(shè)定
m0=10，M=50，最大可稱重物質(zhì)量為
1 000 g，零刻線與末刻線的距離定為
50 cm.
圖9-29-28
任務(wù)一：確定l和a的值.
（1）當(dāng)秤盤不放重物，秤砣在零刻線時(shí)，桿秤平衡，請(qǐng)列出關(guān)于l，a的方程；
解：（1）由題意，得m=0，y=0.
∵m0=10，M=50，∴10l=50a. 整理，得l=5a.
圖9-29-28
（2）當(dāng)秤盤放入質(zhì)量為1 000 g的重物，秤砣從零刻線移至末刻線時(shí)，桿秤平衡，請(qǐng)列出關(guān)于l，a的方程；
（2）由題意，得m=1 000，y=50.
∵m0=10，M=50，∴（10+1 000）l=50（a+50）.
整理，得101l-5a=250.
圖9-29-28
（3）根據(jù)（1）和（2）所列方程，求出l和a的值；
圖9-29-28
任務(wù)二：確定刻線的位置.
（4）根據(jù)任務(wù)一，求y關(guān)于m的函數(shù)解析式；
圖9-29-28
（5）從零刻線開始，每隔100 g在秤桿上找到對(duì)應(yīng)刻線，請(qǐng)寫出相鄰刻線間的距離.
圖9-29-28
命題解讀：根據(jù)最新課程標(biāo)準(zhǔn)和近三年中考命題動(dòng)向，預(yù)測(cè)2025年中考命題方向可能注重與現(xiàn)實(shí)情境的緊密聯(lián)系，在社會(huì)生活和科學(xué)技術(shù)的真實(shí)情境中，用數(shù)學(xué)的語言，將現(xiàn)實(shí)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，如設(shè)計(jì)或制作物品、探索數(shù)學(xué)關(guān)系、性質(zhì)或規(guī)律等；強(qiáng)調(diào)跨學(xué)科融合，綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)和其他學(xué)科的知識(shí)與方法解決真實(shí)問題；可能會(huì)加強(qiáng)對(duì)學(xué)生動(dòng)手操作能力和空間想象能力的考查.

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