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(共54張PPT)
第三章　函　　數(shù)
第12課時　二 次 函 數(shù)
課前循環(huán)練
（限時5分鐘）
1. （廣東真題）一組數(shù)據(jù)2，6，5，2，4，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（ ）
A. 2　　 B. 4　　　 C. 5　　　 D. 6
2. （廣東真題）到三角形三條邊的距離都相等的點是這個三角形的（ ）
A. 三條中線的交點 B. 三條高的交點
C. 三條邊的垂直平分線的交點 D. 三條角平分線的交點
B
D
圖3-12-1
D
50°
①通過對實際問題的分析，體會二次函數(shù)的意義.
②能畫二次函數(shù)的圖象，通過圖象了解二次函數(shù)的性質(zhì)，知道二次函數(shù)系數(shù)與圖象形狀和對稱軸的關(guān)系.
③會求二次函數(shù)的最大值或最小值，并能確定相應(yīng)自變量的值，能解決相應(yīng)的實際問題.
④知道二次函數(shù)和一元二次方程之間的關(guān)系，會利用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的近似解.
課標(biāo)要求
對接教材 人教：九上第二十二章　二次函數(shù)
北師：九下第二章　二次函數(shù)　
考點梳理
考點復(fù)習(xí)
1.二次函數(shù)的概念
一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，a≠0）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)

②④⑤
2.二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象與性質(zhì)
函數(shù) 二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）
對稱軸
頂點坐標(biāo) _____________________
圖象 a>0 a<0
開口方向 向上 向下
最值
增減性
減小
增大
增大
減小
例2.已知拋物線y=x2-2x-8.
（1）開口方向是　 　；
（2）對稱軸是　 　，頂點坐標(biāo)是　 　；
（3）與x軸的交點坐標(biāo)是　 ；
（4）當(dāng)x　 　時，y隨x的增大而增大，當(dāng)x　 　時，y隨x的增大而減小；
（5）當(dāng)x=　 　時，y有最　 　值為　 　.
向上
直線x=1
（1，-9）
（4，0），（-2，0）　
>1
<1
1
小
-9
3.拋物線y=a（x-h）2+k與y=ax2的關(guān)系
（1）拋物線y=a（x-h）2+k與y=ax2的形狀相同，位置不同，y=a（x-h）2+k是由y=ax2通過平移得到的，平移后的頂點坐標(biāo)為　 .
（2）y=ax2的圖象
y=a（x-h）2的圖象
y=a（x-h）2+k的圖象
（h，k）　
右
左
上
下
例3. 將拋物線y=3x2向左平移2個單位長度，再向下平移1個單位長度，所得到的拋物線解析式為　 .（寫成一般式）
y=3x2+12x+11　
4.確定二次函數(shù)的解析式
（1）若已知拋物線上三個點的坐標(biāo)，可設(shè)解析式為一般式：__________
　 ；
（2）若已知拋物線的頂點坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸或最值，可設(shè)解析式為頂點式：
　 ；
（3）若已知拋物線與x軸兩個交點的橫坐標(biāo)，可設(shè)解析式為兩點式：___
　 　
y=ax2+bx+c（a≠0）　
y=a（x-h）2+k（a≠0）　
y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0）
例4. 在直角坐標(biāo)系中，點A，B，C的坐標(biāo)分別為（-1，0），（3，0），（0，3）.求過A，B，C三點的拋物線的解析式.
解：設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-3）.
將點（0，3）代入上式，得-3a=3.
解得a=-1.
∴拋物線的解析式為y=-（x+1）（x-3）=-x2+2x+3.
5.二次函數(shù)的圖象與各項系數(shù)之間的關(guān)系
代數(shù)式 作用 字母符號 圖象的特征
a 決定開口方向 a>0 開口　 　
a<0 開口　 　
c 決定拋物線與y軸的交點坐標(biāo)（0，c） c>0 交點在x軸上方
c=0 拋物線經(jīng)過　 　
c<0 交點在x軸　 　
向上
向下
原點
下方
代數(shù)式 作用 字母符號 圖象的特征
ab>0 對稱軸在y軸左側(cè)
b=0 對稱軸是　 　
ab<0 對稱軸在y軸　 　
b2-4ac 決定拋物線與x軸的交點個數(shù) b2-4ac>0 與x軸有兩個交點
b2-4ac=0 與x軸有　 　交點
b2-4ac<0 與x軸　 　交點
y軸
右側(cè)
一個
沒有
例5. 如圖3-12-2，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點A（-3，0），其對稱軸為直線x=-1.有下列結(jié)論：①abc<0；②a+b+c<0；③2a-b=0；④4ac-b2>0；⑤若P（-5，y1），Q（m，y2）是拋物線上兩點，且y1>y2，則實數(shù)m的取值范圍是-5A. 1個 　　　　
B. 2個
C. 3個　　 　　　　
D. 4個
圖3-12-2
C
6.二次函數(shù)與一元二次方程、不等式的關(guān)系
（1）二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系
Δ=b2-4ac 方程ax2+bx+c=0
的實數(shù)根情況 拋物線y=ax2+bx+c
與x軸的交點情況
Δ>0 兩個不相等的實數(shù)根 兩個交點
Δ=0 　 　 　
Δ<0 　 　 　 　
方程ax2+bx+c=0的根是拋物線y=ax2+bx+c與x軸的交點的橫坐標(biāo)
兩個相等的實數(shù)根
一個交點　
沒有實數(shù)根
沒有交點
6.（2）二次函數(shù)與不等式的關(guān)系
①不等式ax2+bx+c>0的解集 拋物線y=ax2+bx+c的圖象位于x軸上方對應(yīng)的點的橫坐標(biāo)的取值范圍；
②不等式ax2+bx+c<0的解集 拋物線y=ax2+bx+c的圖象位于x軸下方對應(yīng)的點的橫坐標(biāo)的取值范圍
例6.二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖3-12-3所示，根據(jù)圖象解答下列問題：
（1）寫出方程ax2+bx+c=0的兩個根：　 　；
（2）寫出不等式ax2+bx+c>0的解集：　 　；
（3）寫出y隨x的增大而減小的自變量x的取值范圍：　 　；
（4）若方程ax2+bx+c=k有兩個不相等的實數(shù)根，根據(jù)圖象寫出k的取值范圍：　 　.
圖3-12-3
x1=1，x2=3
1x>2
k<2
7.二次函數(shù)的應(yīng)用
運用二次函數(shù)解決實際問題，首先要用二次函數(shù)表示問題中變量之間的關(guān)系，然后利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)求解，從而獲得實際問題的答案
例7. 某超市購進(jìn)一批單價為8元的生活用品，如果按每件9元出售，那么每天可銷售20件.經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，這種生活用品的銷售單價每提高1元，其銷售量相應(yīng)減少4件，那么將銷售價定為　 元時，才能使每天所獲銷售利潤最大.
11
廣東中考
1. （2024·廣東題8，3分，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)）若點（0，y1），（1，y2），（2，y3）都在二次函數(shù)y=x2的圖象上，則 （ ）
A. y3>y2>y1 B. y2>y1>y3
C. y1>y3>y2 D. y3>y1>y2
A
2. （2023·廣東題10，3分，二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征）如圖3-12-4，拋物線y=ax2+c經(jīng)過正方形OABC的三個頂點A，B，C，點B在y軸上，則ac的值為 （ ）
A. -1 B. -2
C. -3 D. -4
圖3-12-4
B
A
4. （2021·廣東題12，4分，二次函數(shù)圖象與幾何變換）把拋物線y=2x2+1向左平移1個單位長度，再向下平移3個單位長度，得到的拋物線的解析式為　 　.
y=2（x+1）2-2或y=2x2+4x
5. （2024·廣東題20，9分，二次函數(shù)的應(yīng)用）廣東省全力實施“百縣千鎮(zhèn)萬村高質(zhì)量發(fā)展工程”，2023年農(nóng)產(chǎn)品進(jìn)出口總額居全國首位，其中荔枝鮮果遠(yuǎn)銷歐美. 某果商以每噸2萬元的價格收購早熟荔枝，銷往國外.若按每噸5萬元出售，平均每天可售出100 t. 市場調(diào)查反映：如果每噸降價1萬元，每天銷售量相應(yīng)增加50 t. 該果商如何定價才能使每天的“利潤”或“銷售收入”最大？并求出其最大值. （題中“元”為人民幣）
解法一：（求利潤）設(shè)該果商定價為每噸x萬元，每天的利潤為w萬元.
由題意，得w=（x-2）［100+50（5-x）］=-50（x-4.5）2+312.5.
∵-50<0，∴當(dāng)x=4.5時，w有最大值，最大值為312.5.
答：該果商定價為每噸4.5萬元時，每天的利潤最大，最大值為312.5萬元.
解法二：（求銷售收入）設(shè)該果商定價為每噸x萬元，每天的銷售收入為w萬元.
由題意，得w=x［100+50（5-x）］=-50（x-3.5）2+612.5.
∵-50<0，∴當(dāng)x=3.5時，w有最大值，最大值為612.5.
答：該果商定價為每噸3.5萬元時，每天的銷售收入最大，最大值為612.5萬元.
高分擊破
【典型考點】二次函數(shù)綜合題 得分點分析
1. （2022·廣東）如圖3-12-5，拋物線y=x2+bx+c（b，c是常數(shù)）的頂點為C，與x軸交于A，B兩點，A（1，0），AB=4，點P為線段AB上的動點，過點P作PQ∥BC交AC于點Q.
（1）求該拋物線的解析式；
（2）求△CPQ面積的最大值，并求此時點P的坐標(biāo).

溫馨提示：此類考題常見于廣東省中考數(shù)學(xué)試卷的第22題，分值一般為13分，答題時要注意書寫格式，分步書寫，慢做會求全對，評卷老師是分步給分的哦！
【典型考點】二次函數(shù)的應(yīng)用
2. （2024·煙臺）每年5月的第三個星期日為全國助殘日，今年的主題是“科技助殘，共享美好生活”. 康寧公司新研發(fā)了一批便攜式輪椅，計劃在該月銷售. 根據(jù)市場調(diào)查，每輛輪椅盈利200元時，每天可售出60輛；單價每降低10元，每天可多售出4輛. 公司決定在成本不變的情況下降價銷售，但每輛輪椅的利潤不低于180元. 設(shè)每輛輪椅降價x元，每天的銷售利潤為y元.
（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式；每輛輪椅降價多少元時，每天的銷售利潤最大？最大利潤為多少元？
（2）全國助殘日當(dāng)天，公司共獲得銷售利潤12 160元，請問這天售出了多少輛輪椅？
【典型錯例】在二次函數(shù)的應(yīng)用中，忽略自變量的取值范圍
3. 用一段長為24 m的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形養(yǎng)雞場，若墻長8 m，則這個養(yǎng)雞場的最大面積為 （ ）
A. 36 m2　　
B. 64 m2
C. 72 m2　　
D. 96 m2
B
圖3-12-7
（-2，0）
（4，0）
（0，-4）
種子生長：等角問題
（2）拋物線上是否存在點M，使∠BCM=∠ABC？若存在，求出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
圖3-12-7

答圖3-12-1
生長變式：角度變式
（3）在第一象限內(nèi)的拋物線上是否存在點N，使∠BCN=15°？若存在，求出點N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
解：存在.
如答圖3-12-2，設(shè)點N為第一象限內(nèi)的拋物線上的一點，且∠BCN=15°，CN與x軸交于點D.
答圖3-12-2
圖3-12-7
答圖3-12-2
種子成樹：綜合創(chuàng)新
（4）如圖3-12-8，若D是拋物線第二象限上一動點，過點D作DF⊥x軸于點F，過點A，B，D的圓與DF交于點E，求△ABE的面積.
圖3-12-8

答圖3-12-3
中考演練
（限時15分鐘）
一、選擇題
1. （2023·蘭州）已知二次函數(shù)y=-3（x-2）2-3，下列說法正確的是
（ ）
A. 對稱軸為直線x=-2 B. 頂點坐標(biāo)為（2，3）
C. 函數(shù)的最大值是-3 D. 函數(shù)的最小值是-3
C
3. （2024·天津，跨學(xué)科融合）從地面豎直向上拋出一小球，小球的高度h（m）與小球的運動時間t（s）之間的關(guān)系式是h=30t-5t2（0≤t≤6）. 有下列結(jié)論：①小球從拋出到落地需要6 s；②小球運動中的高度可以是30 m；③小球運動2 s時的高度小于運動5 s時的高度. 其中，正確結(jié)論的個數(shù)是 （ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
C
2. （2024·包頭）將拋物線y=x2+2x向下平移2個單位長度后，所得新拋物線的頂點式為 （ ）
A. y=（x+1）2-3 B. y=（x+1）2-2
C. y=（x-1）2-3 D. y=（x-1）2-2
A
4. （2024·貴州）如圖3-12-9，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的部分圖象與x軸的一個交點的橫坐標(biāo)是-3，頂點坐標(biāo)為（-1，4），則下列說法正確的是 （ ）
A. 二次函數(shù)圖象的對稱軸是直線x=1
B. 二次函數(shù)圖象與x軸的另一個交點的橫坐標(biāo)是2
C. 當(dāng)x<-1時，y隨x的增大而減小
D. 二次函數(shù)圖象與y軸的交點的縱坐標(biāo)是3
圖3-12-9
D
圖3-12-10
B
二、填空題
6. （2024·濱州）將拋物線y=-x2先向右平移1個單位長度，再向上平移2個單位長度，則平移后拋物線的頂點坐標(biāo)為　 　.
7. （2024·寧夏）若二次函數(shù)y=2x2-x+m的圖象與x軸有交點，則m的取值范圍是　 .
（1，2）
8. （2024·遼寧）如圖3-12-11，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+3與x軸相交于點A，B，點B的坐標(biāo)為（3，0），若點C（2，3）在拋物線上，則AB的長為　 　.
圖3-12-11
4
三、解答題
9. （2023·宿遷）某商場銷售A，B兩種商品，每件進(jìn)價均為20元. 調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果售出A種20件，B種10件，銷售總額為840元；如果售出A種10件，B種15件，銷售總額為660元.
（1）求A，B兩種商品的銷售單價；
（2）經(jīng)市場調(diào)研，A種商品按原售價銷售，可售出40件，原售價每降價1元，銷售量可增加10件；B種商品的售價不變，A種的商品售價不低于B種商品的售價. 設(shè)A種商品降價m元，如果A，B兩種商品的銷售量相同，那么當(dāng)m取何值時，商場銷售A，B兩種商品可獲得總利潤最大？最大利潤是多少？
（2）∵A種的商品售價不低于B種商品的售價，∴30-m≥24. 解得m≤6.
設(shè)總利潤為w元.
由題意，得w=（30-m-20）（40+10m）+（24-20）（40+10m）
=-10（m-5）2+810.
∵-10<0，且m≤6，
∴當(dāng)m=5時，w有最大值，最大值為810.
答：當(dāng)m=5時，商場銷售A，B兩種商品可獲得總利潤最大，最大利潤是810元.
圖3-12-12
（2）點P是拋物線在第四象限圖象上的任意一點，當(dāng)△BCP的面積最大時，求BC邊上的高PN的值.
圖3-12-12
答圖3-12-4
命題趨勢
（ 限時 5 分鐘）
（綜合運用）【問題背景】
如圖3-12-13，拋物線y=-x2+bx+c交x軸于點A，交y軸于點B，已知經(jīng)過點A，B的直線的表達(dá)式為y=x+3，點P（m，0）是線段AO上的一個動點，其中
-3圖3-12-13
【構(gòu)建聯(lián)系】
（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）如圖3-12-13①，作EF∥x軸，交直線AB于點F，四邊形DEFG為矩形，當(dāng)矩形DEFG的周長為9時，求m的值；
圖3-12-13
（3）如圖3-12-13②，作DE的中垂線MQ交AB于點M，交DE于點Q，在MQ延長線上取點N，使QN=4MQ，求點N到y(tǒng)軸的最遠(yuǎn)距離.
圖3-12-13
圖3-12-13
命題解讀：根據(jù)最新課程標(biāo)準(zhǔn)和近三年中考命題動向，預(yù)測2025年中考命題方向可能注重考查二次函數(shù)的基本概念、圖象與性質(zhì)，如對稱軸、頂點坐標(biāo)、最值、圖象的平移等；強調(diào)二次函數(shù)與其他數(shù)學(xué)知識的綜合運用，可能與方程、不等式、其他函數(shù)、幾何圖形等綜合考查；注重與實際問題的緊密結(jié)合，可能會出現(xiàn)經(jīng)濟(jì)、科技、生活等多個領(lǐng)域的實際情境.

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