資源簡介

(共43張PPT)
第二章　方程（組）與不等式（組）
第7課時　一元二次方程及其應用
課前循環練
（限時5分鐘）
1. （廣東真題）下列所述圖形中，既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形的是 （ ）
A. 矩形　　 　 B. 平行四邊形　　　 C. 正五邊形 　　　 D. 正三角形
A
2. （廣東真題）如圖2-7-1，直線a∥b，∠1=40°，則∠2= （ ）
A. 30°
B. 40°
C. 50°
D. 60°
B
B
x>3
5. （廣東真題）如圖2-7-2，AB與☉O相切于點B，AO的延長線交☉O于點C，連接BC.若∠A=40°，則∠C=　 　.
25°
①能根據現實情境理解方程的意義，能針對具體問題列出方程；理解方程解的意義，經歷估計方程解的過程.
②理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解數字系數的一元二次方程.
③會用一元二次方程根的判別式判別方程是否有實根及兩個實根是否相等.
④了解一元二次方程的根與系數的關系.
課標要求
對接教材 人教：九上第二十一章　一元二次方程
北師：九上第二章　一元二次方程 　
考點梳理
考點復習
1.一元二次方程
（1）等號兩邊都是　 　，只含有　 　個未知數，并且未知數的最高次數是　 　的方程，叫做一元二次方程.
（2）一般形式：ax2+bx+c=0（a，b，c為常數，a≠0）
整式
一
2

③
2.用直接開平方法解一元二次方程
形如（x+m）2=n（n≥0）的方程，兩邊開平方轉化為兩個一元一次方程求解
例2. 填空（直接開平方法）：
（1）方程x2=49的根是　 ；
（2）方程2x2=6的根是　 　；
（3）方程（x-1）2=2的根是　 .
x1=7，x2=-7　
3.用配方法解一元二次方程
把一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）通過配方化成（x+m）2=n（n≥0）的形式，再直接開平方
例3. 用配方法解方程：2x2-5x-3=0.
解：方程兩邊同除以2，得　 .
移項，得　 　.
配方，得 　.
兩邊開平方，得　 　.
∴x1=　 　，x2=　 　.
3
4.用公式法解一元二次方程
當一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）滿足b2-4ac≥0時，可利用求根公式
x= 　求解
28
5.用因式分解法解一元二次方程
當一元二次方程的一邊為0，而另一邊易分解成兩個一次因式的乘積時，即可化為兩個一次式的乘積等于0的形式，再使這兩個一次式分別等于0，得到兩個一元一次方程，解之即可
x2-x=0
x（x-1）　
x
x-1
0
1
6.一元二次方程根的判別式
　 叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的判別式，通常用希臘字母“Δ”表示它.判別式的符號決定了方程根的情況，具體如下：
Δ>0 方程有兩個　 的實數根；
Δ=0 方程有兩個　 　的實數根；
Δ<0 方程　 　實數根
b2-4ac　
不相等　
相等
沒有
例6. 已知關于x的方程x2-4x+k=0.
（1）當k　 　時，方程有實數根；
（2）當k　 　時，方程有兩個相等的實數根；
（3）當k　 　時，方程沒有實數根.
≤4
=4
>4
7.一元二次方程根與系數的關系
若一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有兩個實數根x1，x2，則
x1+x2=　 ，x1x2= 　
例7. 已知α，β是方程x2+2x-5=0的兩根，則
（1）α+β=　 　；
（2）αβ=　 　.
-2
-5
8.一元二次方程的應用
（1）變化率問題
①設a為基礎量，m為平均增長率，n為增長次數，b為增長后的量，則b=a（1+m）n；
②設a為基礎量，p為平均下降率，q為下降次數，c為下降后的量，則c=
　 .
a（1-p）q　
（2）傳播問題
設a為傳播源數，m為每個傳播源每輪傳播的數量，n為傳播的輪次，b為傳播后的總數量.
分析如下：
a a+am a+am+m
（a+am）=a（1+m）2
總結：b=　 　.
a（1+m）n

（5）面積問題
注：圖形經過移動，它的面積大小不會改變.
設圖①、圖②、圖③中大矩形的長為a，寬為b，陰影部分的寬為x；圖④是由一面墻和籬笆圍成，設籬笆總長度為m，平行于墻的一邊長為y.
①S空白=　 　
②S空白=　
③S空白=　 　
④S空白=
（a-2x）（b-2x）
（a-x）（b-x）　
（a-x）（b-x）
（6）動點問題：
①一般設運動時間為t，表示出動點運動的距離；
②通過幾何性質表示出其他所需的線段；
③根據面積、勾股定理等數量關系建立方程；
④通過解方程找出動點的位置或其他相關信息
例8.（1）某廠今年一月份的總產量為500 t，三月份的總產量為720 t，平均每月增長率是x，則可列方程為 （ ）
A. 500（1+2x）=720　
B. 720（1+x）2=500
C. 500（1+x2）=720　
D. 500（1+x）2=720
D
（2）有一人患流感，經過兩輪傳染后共有121人患了流感，求每輪傳染中平均一個人傳染了幾個人.如果設每輪傳染中平均一個人傳染了x個人，那么依題意可得方程為 （ ）
A. 1+x+x2=121　　　
B. 1+x+x（1+x）=121
C. x2=121　　　　　
D. 1+2x=121
B
A
（4）某商場銷售一款毛衣，平均每天可售出30件，每件獲利28元.受氣溫影響，商場決定適當降價出售.據調查，毛衣單價每降低1元，每天可多售出3件.要使每天獲利1 080元，每件應降價多少元？設每件降價x元，則可列方程為　 　　　.
（28-x）（30+3x）=1 080
（5）如圖2-7-3，在長為30 m，寬為20 m的長方形田地中開辟三條入口寬度相等的道路，已知剩余田地的面積為468 m2，求道路的寬度.設道路的寬度為x m，則可列方程為　 .
（30-2x）（20-x）=468
廣東中考
1. （2024·廣東題13，3分，根的判別式）若關于x的一元二次方程x2+2x+c=0有兩個相等的實數根，則c=　 　.
2. （2022·廣東題14，3分，一元二次方程的解）若x=1是方程x2-2x+a=0的根，則a=　 　.
3. （2021·廣東題14，4分，一元二次方程根與系數的關系）若一元二次方程x2+bx+c=0（b，c為常數）的兩根x1，x2滿足-31
1
x2-2=0（答案不唯一）　
高分擊破
溫馨提示：此類考題可能見于廣東省中考數學試卷的第17題，分值一般為7分，答題時要注意書寫格式，分步書寫，慢做會求全對，評卷老師是分步給分的哦！
【典型考點】一元二次方程的應用
2. （2024·深圳模擬）某品牌畫冊每本成本為40元，當售價為60元時，平均每天的銷售量為100本. 為了吸引消費者，商家決定采取降價措施. 經試銷統計發現，當畫冊售價每降低1元時，平均每天就能多售出10本. 設這種畫冊每本降價x元.
（1）平均每天的銷售量為　 本；（用含x的代數式表示）
（100+10x）　
（2）商家想要使這種畫冊的銷售利潤平均每天達到2 240元，且要求每本售價不低于55元，求每本畫冊應降價多少元.
解：（2）由題意，得（60-40-x）（100+10x）=2 240.
整理，得x2-10x+24=0.
解得x1=4，x2=6.
∵要求每本售價不低于55元，∴60-x≥55，即x≤5.∴x=4.
答：每本畫冊應降價4元.
【典型錯例】用配方法時，配方前沒有把二次項系數化為1而導致配方錯誤
3. 用配方法解方程：2x2-8x+3=0.
【生長式訓練】知識生長→變式創新
4. （中考創新，原創題）已知a，b是關于x的一元二次方程x2-18x+3m=0（m>0）的兩個實數根.
知識種子：基本概念
（1）m的取值范圍是　 ；
0生長變式：求值變式
（3）若（a-1）（b-1）=13，求m的值；
解：由題意，得a+b=18，ab=3m.
∵（a-1）（b-1）=ab-（a+b）+1=13，
∴3m-18+1=13. 解得m=10.
∴m的值為10.
種子成樹：綜合創新
（4）為了便于勞動課程的開展，學校打算建一個矩形生態園ABCD（如圖2-7-5），生態園一面靠墻（墻長9 m），另外三面用籬笆圍成. 已知當AD的長為a m，CD的長為b m時，生態園的面積為80 m2，求此時AD的長.
解：由題意，得a+b=18.
∴b=18-a.
∵四邊形ABCD是矩形，
∴BC=AD=a m，AB=CD=（18-a） m.
∵生態園的面積為80 m2，
∴a（18-a）=80. 解得a1=8，a2=10.
當a=8時，AB=18-a=10>9，不合題意，舍去；
當a=10時，AB=18-a=8<9，符合題意.
答：此時AD的長為10 m.
中考演練
（限時15分鐘）
B
A
B
4. （2024·牡丹江）一種藥品原價每盒48元，經過兩次降價后每盒27元，兩次降價的百分率相同，則每次降價的百分率為 （ ）
A. 20% B. 22% C. 25% D. 28%
C
5. （2024·通遼）如圖2-7-6，小程的爸爸用一段10 m長的鐵絲網圍成一個一邊靠墻（墻長5.5 m）的矩形鴨舍，其面積為15 m2，在鴨舍側面中間位置留一個1 m寬的門（由其他材料制成），則BC長為 （ ）
A. 5 m或6 m
B. 2.5 m或3 m
C. 5 m
D. 3 m
C
二、填空題
6. （2024·深圳）一元二次方程x2-3x+a=0的一個解為x=1，則a=　 　.
7. （2024·新疆）關于x的一元二次方程x2+3x+k=0有兩個不相等的實數根，
則k的取值范圍為　 .
8. （2024·煙臺）若一元二次方程2x2-4x-1=0的兩根為m，n，則3m2-4m+n2的值為　 　.
2
6
10. （2023·郴州）隨旅游旺季的到來，某景區游客人數逐月增加，2月份游客人數為1.6萬人，4月份游客人數為2.5萬人.
（1）求這兩個月中該景區游客人數的月平均增長率；
解：（1）設這兩個月中該景區游客人數的月平均增長率為x.
由題意，得1.6（1+x）2=2.5.
解得x1=0.25=25%，x2=-2.25（不合題意，舍去）.
答：這兩個月中該景區游客人數的月平均增長率為25%.
（2）預計5月份該景區游客人數會繼續增長，但增長率不會超過前兩個月的月平均增長率. 已知該景區5月1日至5月21日已接待游客2.125萬人，則5月份后10天日均接待游客人數最多是多少萬人？
（2）設5月份后10天日均接待游客人數是a萬人.
由題意，得2.125+10a≤2.5×（1+25%）.
解得a≤0.1.
答：5月份后10天日均接待游客人數最多是0.1萬人.
命題趨勢
（限時 5 分鐘）
（原創題）某商店以每件45元的價格購進某款學習軟件，以每件68元的價格出售，經統計，5月份的銷售量為256件，7月份的銷售量為400件.
（1）求該款學習軟件6，7月份銷售量的月平均增長率；
解：（1）設該款學習軟件6，7月份銷售量的月平均增長率為x.
由題意，得256（1+x）2=400.
解得x1=0.25=25%，x2=-2.25（不合題意，舍去）.
答：該款學習軟件6，7月份銷售量的月平均增長率為25%.
（2）經市場預測，8月份的銷售量將與7月份持平，為減少庫存，商店決定降價促銷. 調查發現，該款學習軟件每降價1元，月銷售量就會增加20件. 當該款學習軟件降價多少元時，月銷售利潤達到8 400元？
（2）設該款學習軟件降價m元.
由題意，得（68-45-m）（400+20m）=8 400.
整理，得m2-3m-40=0.
解得m1=8，m2=-5（不合題意，舍去）.
答：當該款學習軟件降價8元時，月銷售利潤達到8 400元.
命題解讀：根據最新課程標準和近三年中考命題動向，預測2025年中考命題方向可能注重考查對一元二次方程基本概念的理解，如根的判別式、方程的解、根與系數的關系等；強調運用公式法、配方法等解一元二次方程；注重一元二次方程在實際問題中的應用，如利潤、增長率等問題；還可能會與函數、幾何等知識點綜合考查.

展開更多......

收起↑