資源簡介

(共52張PPT)
第六章　圓
第21課時　圓的有關概念及性質
課前循環練
（限時5分鐘）
A
D
C
4. （廣東真題）如圖6-21-1，在△ABC中，M，N分別是AB，AC的中點，且∠A+∠B=120°，則∠ANM= 　 .
圖6-21-1
60°　
5. （廣東真題）如圖6-21-2，已知AB是☉O的直徑，BC為弦，∠ABC=30°. 過圓心O作OD⊥BC交☉O于點D，連接DC，則∠DCB=　 　.
圖6-21-2
30°
①理解圓、弧、弦、圓心角、圓周角的概念，了解等圓、等弧的概念.
②探索并證明垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦以及弦所對的兩條弧.
③探索圓周角與圓心角及其所對弧的關系，知道同弧（或等弧）所對的圓周角相等. 了解并證明圓周角定理及其推論：圓周角等于它所對弧上的圓心角的一半；直徑所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑；圓內接四邊形的對角互補.
課標要求
對接教材 人教：九上第二十四章　圓
北師：九下第三章　圓 　
考點梳理
考點復習
1.圓
平面上到定點的距離等于定長的所有點組成的圖形叫做圓.其中，定點稱為　 　，定長稱為　 　
圓心
半徑
廣東省對應考點例題
例1. 下列條件中，能確定一個圓的是 （ ）
A.以點O為圓心
B.以2 cm長為半徑
C.以點O為圓心，5 cm長為半徑
D.經過點A
C
2.圓的對稱性
（1）圓是軸對稱圖形，其對稱軸是任意一條　 的直線，有
　 　條對稱軸.
（2）圓是中心對稱圖形，對稱中心為　 　
過圓心　
無數
圓心
例2. 下列說法中，不正確的是 （ ）
A.圓是軸對稱圖形，有無數條對稱軸
B.圓是中心對稱圖形，有無數個對稱中心
C. 圓的任意一條直徑所在直線都是圓的對稱軸
D.圓既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形
B
3.與圓有關的概念
（1）弧：圓上任意　 　的部分叫做圓弧，簡稱弧.
（2）弦：連接圓上任意兩點的　 　叫做弦.
（3）直徑：經過　 　的弦叫做直徑.
（4）圓心角：頂點在　 　的角叫做圓心角.
（5）圓周角：頂點在　 　，兩邊分別與圓還有另一個交點.像這樣的角，叫做圓周角
兩點間
線段
圓心
圓心
圓上
例3. 下列命題：①圓上任意兩點間的部分叫弧；②圓心角相等則它們所對的弧相等；③在同一個圓中，直徑是最長的弦；④直徑是圓的對稱軸；⑤頂點在圓上的角是圓周角；⑥頂點在圓心的角是圓心角.
其中正確的有 （ ）
A. ①③⑤ B. ②④⑥
C. ①③⑥ D. ②③⑤
C
4.圓心角、弧、弦之間的關系
（1）在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧　 　，所對的弦
　 　.
（2）在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量都分別　 　
相等
相等
相等
圖6-21-3
D
5.垂徑定理及其推論
（1）垂徑定理：垂直于弦的直徑　 　這條弦，并且　 　弦所對的弧.
（2）推論：①平分弦（不是直徑）的直徑　 　于弦，并且　 　弦所對的弧；
②弦的垂直平分線經過　 　，并且平分弦所對的兩條弧；
③平分弦所對的一條弧的直徑　 弦，并且　 　弦所對的另一條弧
平分
平分
垂直
平分
圓心
垂直平分　
平分
圖6-21-4
B
6.圓周角定理及其推論
（1）圓周角定理：圓周角的度數等于它所對弧上的圓心角度數的______
　 　.
（2）推論：①同弧或等弧所對的圓周角　 　；
②半圓（或直徑）所對的圓周角是　 　，90°的圓周角所對的弦是　 　；
③圓內接四邊形的對角　 　
一半
相等
直角
直徑
互補
例6. 如圖6-21-5，四邊形ABCD內接于☉O，E為DC延長線上一點，BF為☉O的直徑，連接DF，DB，∠FBD=40°，則∠BCE的度數為 （ ）
A. 40°
B. 50°
C. 60°
D. 130°
圖6-21-5
B
廣東中考
1. （2023·廣東題9，3分，圓周角定理的推論）如圖6-21-6，AB是☉O的直徑，∠BAC=50°，則∠D= （ ）
A. 20° B. 40°
C. 50° D. 80°
圖6-21-6
B
圖6-21-7
B
3. （2022·廣東題22，12分，圓周角定理的推論；等腰直角三角形；勾股定理）如圖6-21-8，四邊形ABCD內接于☉O，AC為☉O的直徑，∠ADB=∠CDB.
（1）試判斷△ABC的形狀，并給出證明；
圖6-21-8

圖6-21-8
高分擊破
【典型考點】圓內接四邊形的性質；翻折變換（折疊問題）；圓周角定理
得分點分析
1. （2022·廣東改編，綜合探究）如圖6-21-9①，已知四邊形ABCD內接于☉O，AC為☉O的直徑，∠BAC=∠ADB.
····································································
圖6-21-9
（1）試說明△ABC的形狀；
解：（1）∵AC為☉O的直徑，
∴∠ABC=90°.
··············1分（利用“直徑所對的圓周角是直角”得1分）
∵∠ADB=∠ACB，∠BAC=∠ADB，
··············2分（利用“同弧所對的圓周角相等”得1分）
∴∠BAC=∠ACB.∴AB=BC. ··················3分（利用等量代換，等角對等邊得1分）
∴△ABC是等腰直角三角形. ··············4分（利用等腰直角三角形的判定得1分）
圖6-21-9
圖6-21-9
②將△ABD沿BD所在的直線折疊（如圖6-21-9②），得到△A'BD，連接A'C，求∠BA'C的度數.

圖6-21-9
∴折疊后，點A的對應點A'恰好落在DC上. ·······10分（確定點A'的位置得1分）
∵∠BAD=∠BAC+∠DAC=45°+60°=105°， ····························11分（求出∠BAD的度數得1分）
∴∠BA'D=∠BAD=105°. ···································12分（利用折疊的性質得1分）
∴∠BA'C=180°-∠BA'D=180°-105°=75°. ····························13分（求出∠BA'C的度數得1分）
圖6-21-9
溫馨提示：此類考題常見于廣東省中考數學試卷的第22題，分值一般為13分，答題時要注意書寫格式，分步書寫，慢做會求全對，評卷老師是分步給分的哦！
【典型錯例】無圖題考察圓周角的應用時沒有分類討論導致漏解
2. 已知☉O是△ABC的外接圓，過頂點A，B分別作☉O的切線，它們交于點P，若∠APB=50°，求∠ACB的度數.
答圖6-21-1

圖6-21-10
圖6-21-11
60°　
120°　
<
種子生長：垂徑定理
（2）若AE=CD，BE=2，求☉O的半徑；
答圖6-21-2
生長變式：圖形變式
（3）如圖6-21-12，在（2）的條件下，延長AG，DC交于點F，連接DG.若G是AF的中點，求AG的長；
　圖6-21-12
解：如答圖6-21-3，連接BG.
∵AB是☉O的直徑，∴∠AGB=90°.∴∠B+∠BAG=90°.
∵AB⊥CD，∴∠AEF=90°.∴∠F+∠BAG=90°.
∴∠B=∠F.
∵∠ADG=∠B，∴∠ADG=∠F.
又∵∠DAG=∠FAD，∴△ADG∽△AFD.
　答圖6-21-3
　答圖6-21-3
答圖6-21-4
答圖6-21-4
答圖6-21-5
中考演練
（限時15分鐘）
一、選擇題
1. （2024·湖南）如圖6-21-13，AB，AC為☉O的兩條弦，連接OB，OC.若∠A=45°，則∠BOC的度數為 （ ）
A. 60° B. 75°
C. 90° D. 135°
圖6-21-13
C
圖6-21-14
B
圖6-21-15
C
4. （2024·廣元）如圖6-21-16，已知四邊形ABCD是☉O的內接四邊形，E為AD延長線上一點，∠AOC=128°，則∠CDE等于 （ ）
A. 64°
B. 60°
C. 54°
D. 52°
圖6-21-16
A
5. （2024·通遼）如圖6-21-17，圓形拱門最下端AB在地面上，D為AB的中點，C為拱門最高點，線段CD經過拱門所在圓的圓心.若AB=1 m，CD=2.5 m，則拱門所在圓的半徑為 （ ）
A. 1.25 m B. 1.3 m
C. 1.4 m D. 1.45 m
圖6-21-17
B
二、填空題
6. （2024·蘇州）如圖6-21-18，△ABC是☉O的內接三角形，若∠OBC=28°，則∠A=　 　°.
圖6-21-18
62
7. （2024·巴中）如圖6-21-19，四邊形ABCD為☉O的內接四邊形. 若四邊形ABCO為菱形，則∠ADC的大小為　 　.
圖6-21-19
60°
8. （2024·牡丹江）如圖6-21-20，在☉O中，直徑AB⊥CD于點E，CD=6，BE=1，則弦AC的長為　 　.
圖6-21-20
三、解答題
9. （2024·安徽）如圖6-21-21，☉O是△ABC的外接圓，D是直徑AB上一點，∠ACD的平分線交AB于點E，交☉O于另一點F，FA=FE.
（1）求證：CD⊥AB；
（1）證明：∵FA=FE，∴∠FAE=∠FEA.
∵∠FAE=∠FCB，∠FEA=∠CEB，∴∠FCB=∠CEB.
∵CE平分∠ACD，∴∠ACE=∠DCE.
∵AB是☉O的直徑，∴∠ACB=90°，即∠ACE+∠FCB=90°.
∴∠DCE+∠CEB=90°.∴∠CDE=90°.∴CD⊥AB.
圖6-21-21
（2）作FM⊥AB，垂足為M，若OM=OE=1，求AC的長.
圖6-21-21
10. （2024·浙江）如圖6-21-22，在圓內接四邊形ABCD中，AD（1）若∠AFE=60°，CD為直徑，求∠ABD的度數；
圖6-21-22
（1）解：∵CD為直徑，
∴∠CAD=90°.
∵∠ADC=∠AFE=60°，
∴∠ACD=90°-∠ADC=30°.
∴∠ABD=∠ACD=30°.
（2）求證：①EF∥BC；
（2）證明：①∵四邊形ABCD是圓內接四邊形，
∴∠ADC+∠ABC=180°.
∵∠AFE=∠ADC，∴∠AFE+∠ABC=180°.∴EF∥BC.
圖6-21-22
②EF=BD.
答圖6-21-6
命題趨勢
（ 限時 5 分鐘）
（教材改編）如圖6-21-23，△ABC內接于☉O，連接AO并延長交BC于點D，且AD⊥BC于點D.
【知識技能】（1）如圖6-21-23①，求證：∠B=∠C；
圖6-21-23
（1）證明：∵AD⊥BC，AD過圓心O，
∴BD=CD.∴AB=AC.∴∠B=∠C.
答圖6-21-7
【拓展探索】（3）如圖6-21-23③，在（2）的條件下，過點A作AF⊥CE交CE的延長線于點F，若AE=5，AB=13，求AF的長.
答圖6-21-8
命題解讀：根據最新課程標準和近三年中考命題動向，預測2025年中考命題方向可能注重考查圓的基本概念、性質和定理，如圓的對稱性、圓周角定理、垂徑定理等；強調與三角形、四邊形等幾何圖形的綜合運用，可能涉及三角形的相似、三角函數等知識；還可能會考查綜合探究類題型，通過變換圖形位置或構造特殊圖形綜合考查.

展開更多......

收起↑