資源簡介

(共50張PPT)
第六章　圓
第22課時　與圓有關的位置關系
課前循環練
（限時5分鐘）
1. （廣東真題）已知函數y=ax+b經過（1，3），（0，-2），則a-b= （ ）
A. -1 B. -3 C. 3 D. 7
2. （廣東真題）一個多邊形的內角和是900°，這個多邊形的邊數是 （ ）
A. 10 B. 9 C. 8 D. 7
D
D
3. （廣東真題）已知梯形的上底邊長是6 cm，它的中位線長是8 cm，則它的下底邊長是 （ ）
A. 8 cm B. 10 cm C. 12 cm D. 14 cm
4. （廣東真題）已知直線y=kx+b，若k+b=-5，kb=6，則該直線不經過第
　 象限.
5. （廣東真題）桶里原有質地均勻、形狀大小完全一樣的6個紅球和4個白球，小紅不慎遺失了其中2個紅球，現在從桶里隨機摸出一個球，則摸
到白球的概率為 .
一　
B
①探索并掌握點與圓的位置關系.
②了解直線與圓的位置關系，掌握切線的概念.
③*探索并證明切線長定理：過圓外一點的兩條切線長相等.
④了解三角形的內心與外心.
課標要求
對接教材 人教：九上第二十四章　圓
北師：九下第三章　圓　
考點梳理
考點復習
1.點與圓的位置關系
設圓的半徑為r，點到圓心的距離為d，則：
點在圓外 d　 　r；
點在圓上 d　 　r；
點在圓內 d　 　r
>
=
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廣東省對應考點例題
例1. 已知☉O的半徑是4，OP=3，則點P與☉O的位置關系是 （ ）
A.點P在圓內　　　 B.點P在圓上
C.點P在圓外　　　　 D.不能確定
A
2.直線與圓的位置關系
設☉O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d，則：
直線l和☉O相離 　 　；
直線l和☉O相切 　 　；
直線l和☉O相交 　 　
d>r
d=r
d例2. 已知☉O的半徑為5，直線l上有一點P滿足PO=5，則直線l與☉O的位置關系是 （ ）
A.相切　　 B.相離
C.相離或相切 D.相切或相交
D
3.切線的概念
直線和圓有　 　的公共點（即直線和圓相切）時，這條直線叫做圓的切線，這個唯一的公共點叫做切點
例3. 下列關于圓的切線的說法正確的是 （ ）
A.垂直于圓的半徑的直線是圓的切線
B.與圓只有一個公共點的射線是圓的切線
C.經過半徑的一端且垂直于半徑的直線是圓的切線
D.如果圓心到一條直線的距離等于半徑長，那么這條直線是圓的切線
唯一
D
圖6-22-1
B
垂直
5.切線的判定
（1）定義判定法：和圓有　 　公共點的直線是圓的切線.
（2）數量判定法：圓心到直線的距離等于　 　的直線是圓的切線.
（3）定理判定法：過半徑外端且　 　于這條半徑的直線是圓的切線.
（4）切線的證明方法：
①直線和圓公共點已知時，連接半徑，證半徑與直線垂直；
②直線和圓公共點未知時，作垂直，證垂線段與半徑相等
唯一
半徑
垂直
例5. 如圖6-22-2，Rt△ABC內接于☉O，D是Rt△ABC斜邊AB上的一點，過點D作AB的垂線交AC于點E，過點C作∠ECP=∠AED，CP交DE的延長線于點P.求證：PC是☉O的切線.
圖6-22-2
證明：如答圖6-22-1，連接OC.
∵ED⊥AB，∴∠A+∠AED=90°.
∵OA=OC，∴∠A=∠ACO.
又∵∠ECP=∠AED，
∴∠ACO+∠ECP=90°，即∠OCP=90°.
∴OC⊥PC.∴PC是☉O的切線.
答圖6-22-1
6.切線長
（1）切線長：過圓外一點畫圓的切線，這點和切點之間的線段長叫做這點到圓的切線長.
（2）切線長定理：從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長____
　 ，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角
相等　
例6. 如圖6-22-3，PA，PB是☉O的切線，切點分別是A，B，若∠AOB=120°，OA=1，則AP的長為 　.
圖6-22-3
7.三角形的內心和外心
（1）三角形的內心：與三角形各邊都　 　的圓叫做三角形的內切圓，內切圓的圓心是三角形三條　 　的交點，叫做三角形的內心.
（2）三角形的外心：三角形的三個頂點確定一個圓，這個圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心是三角形三邊　 　的交點，叫做三角形的外心
相切
角平分線
垂直平分線
例7. 如圖6-22-4，在△ABC中.
（1）若點I是△ABC的內心，∠A=70°，則∠BIC=　 　；
（2）若點I是△ABC的外心，∠A=66°，則∠BIC=　 　.
　圖6-22-4
125°
132°
廣東中考
（2023·廣東題22，12分，圓的切線性質；等腰三角形的性質；矩形的性質；勾股定理；解直角三角形及其應用）綜合探究
如圖6-22-5①，在矩形ABCD中（AB>AD），對角線AC，BD相交于點O，點A關于BD的對稱點為A'. 連接AA'交BD于點E，連接CA'.
　圖6-22-5
（1）求證：AA'⊥CA'；
（1）證明：∵點A關于BD的對稱點為A'，
∴AE=A'E，AA'⊥BD.
∵四邊形ABCD是矩形，∴OA=OC.
∴OE是△ACA'的中位線.
∴OE∥A'C.∴AA'⊥CA'.
　圖6-22-5
答圖6-22-2
答圖6-22-2
②如圖6-22-5③，☉O與CA'相切，AD=1，求☉O的面積.
②解：如答圖6-22-3，設CA'與☉O相切于點N，連接ON.∴ON⊥CA'，ON=OE.
∵AA'⊥CA'，AA'⊥BD，∴∠ONA'=∠A'=∠A'EO=90°.
∴四邊形A'EON是矩形.
又∵ON=OE，∴四邊形A'EON是正方形.∴A'E=ON=OE.
設☉O的半徑為r，則A'E=OE=r.∴AE=A'E=r.
答圖6-22-3
答圖6-22-3
高分擊破
【典型考點】圓的切線判定；圓與三角函數 得分點分析
1. （2023·煙臺）如圖6-22-6，在菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點E，☉O經過A，D兩點，交對角線AC于點F，連接OF交AD于點G，且AG=GD.
圖6-22-6
（1）求證：AB是☉O的切線；
（1）證明：如圖6-22-7，連接OA，則OA=OF.
∴∠OAF=∠OFA. ··················1分（利用等邊對等角得1分）
∵AG=GD，
∴OF⊥AD，即∠AGF=90°. ·················· 2分（利用垂徑定理的推論得1分）
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∠BAE=∠DAE. ······························3分（利用菱形的性質得1分）
∴∠OAB=∠OAF+∠BAE=∠OFA+∠DAE=90°，即OA⊥AB.
又∵OA是☉O半徑，
∴AB是☉O的切線. ············································· 4分（利用切線的判定得1分）
圖6-22-7
（2）已知☉O的半徑與菱形的邊長之比為5∶8，求tan∠ADB的值.
圖6-22-7
溫馨提示：此類考題可能見于廣東省中考數學試卷的第21題，分值一般為9分，答題時要注意書寫格式，分步書寫，慢做會求全對，評卷老師是分步給分的哦！
【典型錯例】混淆切線的證明方法
2. 如圖6-22-8，△ABC內接于☉O，AB是☉O的直徑，∠A=60°，點E在AB延長線上，BE=OB.過點E作ED⊥AC，交AC的延長線于點D.求證：DE是☉O的切線.
圖6-22-8
答圖6-22-4
錯解分析
錯解：如圖6-22-9，設DE與☉O的公共點為F，連接OF，OC.
∵OA=OB，OB=BE，∴AB=OE.
∵∠A=60°，OA=OC，
∴△AOC是等邊三角形. ∴AC=OA=OF.
∵AB是☉O的直徑，∴∠ACB=90°.
∴∠ABC=30°.
∵DE⊥AC，即∠D=90°，∴∠E=30°.∴∠E=∠ABC.
∴△OEF≌△ABC.∴∠OFE=∠ACB=90°，即OF⊥DE.
∴DE是☉O的切線.
圖6-22-9
剖析：該解題過程的錯誤在于混淆了切線的證明方法，以及運用“SSA”證明三角形全等.切線的證明方法通常有兩種，一是“連半徑，證垂直”；二是“作垂直，證半徑”.本題未說明DE與☉O有公共點，故應該用第二種證明方法.
【生長式訓練】知識生長→變式創新
3. （中考創新，原創題）在△ABC中，∠ACB=90°.
知識種子：基本概念
（1）如圖6-22-10，☉O為△ABC的內切圓，三角形的三邊分別與☉O切于點D，E，F.若AF=2，CE=1，BD=3，則：
①△ABC的周長為　 　；
②☉O的面積為　 ；
　圖6-22-10
12
π　
種子生長：切線的判定與性質
（2）如圖6-22-11，∠BAC的平分線AD交BC于點D，∠ADC的平分線DE交AC于點E.以AD上的點O為圓心，OD為半徑作☉O，☉O恰好過點E.
①求證：AC是☉O的切線；
圖6-22-11
①證明：如答圖6-22-5，連接OE，則OE=OD.∴∠OED=∠ODE.
∵DE平分∠ADC，∴∠CDE=∠ODE.∴∠OED=∠CDE.∴OE∥CD.
∵∠ACB=90°，∴CD⊥AC.∴OE⊥AC.
又∵OE是☉O的半徑，∴AC是☉O的切線.
答圖6-22-5
答圖6-22-5
生長變式：圖形變式
（3）如圖6-22-12，∠BAC的平分線AO交BC于點O，以點O為圓心，OC長為半徑作☉O，直線AO交☉O于點D，E.
①求證：AB是☉O的切線；
圖6-22-12
①證明：如答圖6-22-6，過點O作OF⊥AB于點F.
∵∠ACB=90°，∴OC⊥AC.
∵AO平分∠BAC，∴OF=OC，即OF為☉O的半徑.
又∵OF⊥AB，∴AB是☉O的切線.
答圖6-22-6
種子成樹：綜合創新
（4）在（3）的條件下，若☉O的半徑為6，求AB的長.
圖6-22-12
中考演練
（限時15分鐘）
一、選擇題
1. （2024·山西）如圖6-22-13，已知△ABC，以AB為直徑的☉O交BC于點D，與AC相切于點A，連接OD. 若∠AOD=80°，則∠C的度數為（ ）
A. 30° B. 40°
C. 45° D. 50°
圖6-22-13
D
圖6-22-14
A
3. （2024·瀘州）如圖6-22-15，EA，ED是☉O的切線，切點為A，D，點B，C在☉O上.若∠BAE+∠BCD=236°，則∠E= （ ）
A. 56° B. 60°
C. 68° D. 70°
圖6-22-15
C
4. （2023·聊城）如圖6-22-16，點O是△ABC外接圓的圓心，
點I是△ABC的內心，連接OB，IA. 若∠CAI=35°，則
∠OBC的度數為 （ ）
A. 15° B. 17.5°
C. 20° D. 25°
圖6-22-16
C
5. （2024·上海）在△ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，點P在△ABC內，分別以點A，B，P為圓心畫圓，☉A半徑為1，☉B半徑為2，☉P半徑為3.若☉A與☉P內切，☉P與☉B的關系是 （ ）
A. 內含 B. 相交 C. 外切 D. 相離
B
二、填空題
6. （2024·徐州）如圖6-22-17，AB是☉O的直徑，點C在AB的延長線上，CD與☉O相切于點D.若∠C=20°，則∠CAD=　 .
圖6-22-17
35°　
7. （2024·包頭）如圖6-22-18，四邊形ABCD是☉O的內接四邊形，點O在四邊形ABCD內部，過點C作☉O的切線交AB的延長線于點P，連接OA，OB. 若∠AOB=140°，∠BCP=35°，則∠ADC的度數為　 　.
圖6-22-18
105°
8. （2023·河南）如圖6-22-19，PA與☉O相切于點A，PO交☉O于點B，點
C在PA上，且CB=CA.若OA=5，PA=12，則CA的長為 　.
圖6-22-19
圖6-22-20
（2）若OA=3，BD=2，求△OCD的面積.
圖6-22-20
10. （2024·通遼）如圖6-22-21，在△ABC中，∠ACB=90°，O為AC邊上一點，以點O為圓心，OC為半徑作圓與AB相切于點D，連接CD.
（1）求證：∠ABC=2∠ACD；
（1）證明：如答圖6-22-7，連接OD.
∵OD=OC，∴∠ODC=∠ACD.
∴∠AOD=∠ODC+∠ACD=2∠ACD.
∵AB為☉O的切線，∴OD⊥AB.
∴∠ADO=∠ACB=90°.
∴∠A+∠AOD=∠A+∠ABC=90°.
∴∠ABC=∠AOD. ∴∠ABC=2∠ACD.
答圖6-22-7
圖6-22-21
（2）若AC=8，BC=6，求☉O的半徑.
答圖6-22-7
命題趨勢
（ 限時 5 分鐘）
（2023·廣東改編，綜合探究）如圖6-22-22，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，點O在對角線BD上（不與點B，D重合），以點O為圓心，OB為半徑作☉O交BD于點E.
（1）求sin∠ABD的值；
圖6-22-22
（2）若☉O經過點A，求☉O的面積；
答圖6-22-8
（3）連接AC，若☉O與△ACD的邊所在直線相切，求OB的長.
答圖6-22-9
答圖6-22-10
答圖6-22-11
命題解讀：根據最新課程標準和近三年中考命題動向，預測2025年中考命題方向可能注重考查圓與直線的位置關系，如切線的判定、切線的性質等；強調與三角形、四邊形等幾何圖形的綜合運用，可能涉及三角形的相似、三角形的全等、三角函數等知識；還可能會考查綜合探究類題型，通過變換圖形位置或構造特殊圖形綜合考查.

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