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第三章　函　　數
第9課時　平面直角坐標系與函數
課前循環練
（限時5分鐘）
1. （廣東真題）在平面直角坐標系中，點P（-2，-3）所在的象限是 （ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
C
2. （廣東真題）如圖3-9-1，AC∥DF，AB∥EF，點D，E分別在AB，AC上.若∠2=50°，則∠1的大小是 （ ）
A. 30° B. 40°
C. 50° D. 60°
C
D
4. （廣東真題）袋中有同樣大小的4個小球，其中3個紅色，1個白色. 從袋中任意摸出兩個球，這兩個球顏色相同的概率是 　.
5. （廣東真題）如圖3-9-3，三個小正方形的邊長都為1，則圖中陰影部分
面積的和是 　.（結果保留π）
（1）平面直角坐標系
①理解平面直角坐標系的有關概念，能畫出平面直角坐標系；在給定的平面直角坐標系中，能根據坐標描出點的位置，由點的位置寫出坐標.
②在實際問題中，能建立適當的平面直角坐標系，描述物體的位置.
③對給定的正方形，會選擇合適的平面直角坐標系，寫出它的頂點坐標，體會可以用坐標表達簡單圖形.
課標要求
④在平面直角坐標系中，以坐標軸為對稱軸，能寫出一個已知頂點坐標的多邊形的對稱圖形的頂點坐標，知道對應頂點坐標之間的關系.
⑤在平面直角坐標系中，能寫出一個已知頂點坐標的多邊形沿坐標軸方向平移一定距離后圖形的頂點坐標，知道對應頂點坐標之間的關系.
　　⑥在平面直角坐標系中，探索并了解將一個多邊形依次沿兩個坐標軸方向平移后所得到的圖形和原來圖形具有平移關系，體會圖形頂點坐標的變化.
（2）函數
①探索簡單實例中的數量關系和變化規律，了解常量、變量的意義；了解函數的概念和表示法，能舉出函數的實例.
②能結合圖象對簡單實際問題中的函數關系進行分析.
③能確定簡單實際問題中函數自變量的取值范圍，會求函數值.
④能用適當的函數表示法刻畫簡單實際問題中變量之間的關系，理解函數值的意義.
⑤結合對函數關系的分析，能對變量的變化情況進行初步討論.
對接教材 人教：七下第七章　平面直角坐標系；八下第十九章　一次函數（19.1函數）
北師：七下第三章　變量之間的關系；八上第三章　位置與坐標；
八上第四章　一次函數（4.1函數） 　
考點梳理
考點復習
1.平面直角坐標系
在平面內，兩條互相　 　且有公共　 　的數軸組成平面直角坐標系.平面直角坐標系中的點和有序實數對是　 　對應的
垂直
原點
一一
廣東省對應考點例題
例1. 如圖3-9-4，在6×6的網格中，點A的坐標為（-1，3），點C的坐標為（-1，-1），則點B的坐標為　 　.
圖3-9-4
（3，1）
2.各象限內點的坐標特征（如圖3-9-5）
（1）若點P（a，b）在第一象限，則a>0，b>0.
（2）若點P（a，b）在第二象限，則a　 　0，b　 　0.
（3）若點P（a，b）在第三象限，則a　 　0，b　 　0.
（4）若點P（a，b）在第四象限，則a　 0，b　 　0.
（5）坐標軸上的點不屬于任何象限
圖3-9-5
<
>
<
<
>
<
例2. 如果點P（m+3，4）在第二象限，那么點Q（m-3，m）的位置在
（ ）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
C
3.與坐標軸有關的點的坐標特征
（1）坐標軸上點的坐標特征：
①x軸上的點的　 為0；
②y軸上的點的　 為0；
③原點的坐標為　 .
（2）平行于坐標軸的直線上點的坐標特征：
①平行于x軸的直線上的點的　 　相同；
②平行于y軸的直線上的點的　 　相同
縱坐標　
橫坐標　
（0，0）　
縱坐標
橫坐標
例3. 如圖3-9-6，將 ABCO放置在平面直角坐標系xOy中，O為坐標原點.若點A的坐標是（6，0），點C的坐標是（1，4），則點B的坐標是
　 　.
圖3-9-6
（7，4）
4.對稱點的坐標特征
點P（a，b）關于x軸的對稱點P1的坐標為　 　；
點P（a，b）關于y軸的對稱點P2的坐標為　 　；
點P（a，b）關于原點的對稱點P3的坐標為　 　
（a，-b）
（-a，b）
（-a，-b）
例4. 在平面直角坐標系中，點P（3，-2）關于y軸的對稱點的坐標是
　 　，關于x軸的對稱點的坐標是　 　，關于原點的對稱點的坐標是　 　.
（-3，-2）
（3，2）
（-3，2）
5.點的坐標平移變化規律
（1）點（a，b）向右平移m個單位長度可得到點（a+m，b）；點（a，b）向左平移m個單位長度可得到點（a-m，b）；點（a，b）向上平移n個單位長度可得到點（a，b+n）；點（a，b）向下平移n個單位長度可得到點（a，b-n）.
（2）根據其規律可得口訣：左右平移→左減右加縱不變；上下平移→上加下減橫不變
例5. 在平面直角坐標系中，將點（-4，-6）先向右平移4個單位長度，再向上平移6個單位長度得到點A，則點A的坐標為　 　.
（0，0）
6.坐標與距離
點P（a，b）到x軸的距離為 　，到y軸的距離為 ，到原點的距離為 　
例6. 已知點P在第四象限，且到x軸的距離是3，到y軸的距離是2，則點P的坐標為　 　.
（2，-3）
7.函數的有關概念
（1）變量與常量：在一個變化過程中，我們稱數值發生變化的量為變量，數值始終不變的量為常量.
（2）函數的概念：一般地，在一個變化過程中，如果有兩個變量x與y，并且對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應，那么我們就說x是自變量，y是x的函數.
（3）表示方法：　 　法、　 　法、　 　法.
解析式
列表
圖象
（4）自變量的取值范圍
（5）函數值：對于一個函數，如果當x=a時y=b，那么b就叫做當自變量的值為a時的函數值
解析式 自變量的取值范圍
整式型：y=x 　 　
分母　 　的實數
被開方數為　 　的實數
全體實數
不為0
非負數
9π
36π
半徑r
面積S
全體實數　
x≠2
x≤3
3
8.函數的圖象
（1）函數圖象的概念：一般地，對于一個函數，如果把自變量與函數的每對對應值分別作為點的橫、縱坐標，那么坐標平面內由這些點組成的圖形，就是這個函數的圖象.
（2）描點法畫函數圖象的一般步驟：列表、描點、連線
例8.小明從家出發步行至學校，停留一段時間后乘車返回，則下列函數圖象最能體現他離家的距離s與出發時間t之間的對應關系的是 （ ）
B
廣東中考
1. （2022·廣東題10，3分，常量與變量）水中漣漪（圓形水波）不斷擴大，記它的半徑為r，則圓周長C與r的關系式為C=2πr. 下列判斷正確的是 （ ）
A. 2是變量 B.π是變量 C. r是變量 D. C是常量
2. （2020·廣東題3，3分，對稱點的坐標）在平面直角坐標系中，點（3，2）關于x軸對稱的點的坐標為 （ ）
A. （-3，2） B. （-2，3） C. （2，-3） D. （3，-2）
C
D
3. （2022·廣東題6，3分，點的坐標平移）在平面直角坐標系中，將點（1，1）向右平移2個單位長度后，得到的點的坐標是 （ ）
A. （3，1） B. （-1，1）
C. （1，3） D. （1，-1）
A
4. （2022·廣東題20，9分，函數的表示方法；函數值）物理實驗證實：在彈性限度內，某彈簧長度y（cm）與所掛物體質量x（kg）滿足函數關系y=kx+15. 下表是測量物體質量時，該彈簧長度y與所掛物體質量x的數量關系.
x/kg 0 2 5
y/cm 15 19 25
（1）求y與x的函數關系式；
解：（1）把x=2，y=19代入y=kx+15，得2k+15=19.
解得k=2.
∴y與x的函數關系式為y=2x+15.
（2）當彈簧長度為20 cm時，求所掛物體的質量.
（2）把y=20代入y=2x+15，得2x+15=20.
解得x=2.5.
∴當彈簧長度為20 cm時，所掛物體的質量為2.5 kg.
高分擊破
【典型考點】函數的三種表示方法（列表法、圖象法、解析式法） 得分點分析
1. （2024·廣州）一個人的腳印信息往往對應著這個人某些方面的基本特征.某數學興趣小組收集了大量不同人群的身高和腳長數據，通過對數據的整理和分析，發現身高y和腳長x之間近似存在一種函數關系，部分數據如表：
腳長x/cm … 23 24 25 26 27 28 …
身高y/cm … 156 163 170 177 184 191 …
（1）在圖3-9-7①中描出表中數據對應的點（x，y）；
解：（1）描點如圖3-9-8. ····································3分（描點得3分）
（3）如圖3-9-7②，某場所發現了一個人的腳印，腳長約為25.8 cm，請根據（2）中求出的函數解析式，估計這個人的身高.
（3）把x=25.8代入y=7x-5，得
y=7×25.8-5=175.6. ········································ 8分（代入求函數值得1分）
∴估計這個人的身高為175.6 cm. ······························9分（答數得1分）
溫馨提示：此類考題可能見于廣東省中考數學試卷的第20題，分值一般為9分，答題時要注意書寫規范，分步書寫，慢做會求全對，評卷老師是分步給分的哦！
【典型錯例】不會用絕對值表示距離和分類討論
2. 已知點P（2-m，2m+6），且點P到兩坐標軸的距離相等，求點P的坐標.
【生長式訓練】知識生長→變式創新
3. （中考創新，原創題）已知點P（1-3m，2-n），Q（m-3，2n+5）.
知識種子：基本概念
（1）若點P在x軸上，點Q在y軸上，則m=　 　，n=　 　；
3
2
種子生長：點的坐標特征
（2）若PQ∥y軸，且PQ=6，求m，n的值；
生長變式：坐標變式
（3）點P和點Q是否能同時在第三象限內？若能，求出m，n的取值范圍；若不能，請說明理由；
種子成樹：綜合創新
（4）定義：若點A（x，y）滿足y=2x+17，則稱點A為“能量點”. 已知點P，Q均為“能量點”，求m，n的值.
中考演練
（限時15分鐘）
一、選擇題
1. （2024·資陽）在平面直角坐標系中，將點（-2，1）沿y軸向上平移1個單位長度后，得到的點的坐標為 （ ）
A. （-2，0） B. （-2，2） C. （-3，1） D. （-1，1）
2. （2024·涼山州）點P（a，-3）關于原點對稱的點是P'（2，b），則a+b的值是 （ ）
A. 1 B. -1 C. -5 D. 5
B
A
3. （2024·廣西）如圖3-9-9，在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，點P的坐標為（2，1），則點Q的坐標為 （ ）
A. （3，0）
B. （0，2）
C. （3，2）
D. （1，2）
C
4. （2024·貴州）為培養青少年的科學態度和科學思維，某校創建了“科技創新”社團. 小紅將“科”“技”“創”“新”寫在如圖3-9-10所示的方格紙中.若建立平面直角坐標系，使“創”“新”的坐標分別為（-2，0），（0，0），則“技”所在的象限為 （ ）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
A
5. （2024·江西）將常溫中的溫度計插入一杯60 ℃的熱水（恒溫）中，溫度計的讀數y（℃）與時間x（min）的關系用圖象可近似表示為（ ）
C
三
（-5，-1）
x≥3　
三、解答題
9. （教材改編）已知點P（2m+4，m-1），試分別根據下列條件，求出點P的坐標.
（1）點P在y軸上；
解：（1）由題意，得2m+4=0.解得m=-2.
∴m-1=-3.
∴點P的坐標為（0，-3）.
（2）點P在過點A（2，-4）且與x軸平行的直線上；
（2）由題意，得m-1=-4.解得m=-3.
∴2m+4=-2.
∴點P的坐標為（-2，-4）.
（3）點P到兩坐標軸的距離相等.
10. （教材改編）科學家一直以來都在不斷探索地球奧秘的路途中，經過大量的模擬實驗，發現地表以下巖層的溫度y（℃）與所處深度x（km）的關系如下表：
（1）表中，自變量為　 ，因變量為　 ；
x/km 1 2 3 4 5 6 7
y/℃ 55 90 125 160 195 230 265
所處深度x　
巖層的溫度y　
（2）求y與x的函數關系式；
解：（2）由表格可知，所處深度每增加1 km，巖層的溫度就升高35 ℃，
則y=55+35（x-1）=35x+20.
∴y與x的函數關系式為y=35x+20.
（3）當巖層的溫度為1 280 ℃時，求所處深度.
（3）把y=1 280代入y=35x+20，得35x+20=1 280.
解得x=36.
∴當巖層的溫度為1 280 ℃時，所處深度是36 km.
命題趨勢
（ 限時 5 分鐘）
綜合與實踐
醫生們經過長期臨床觀察發現，人的情緒從出生之日起呈周期性變化，在前30天內，情緒的部分數據及函數圖象如下：
天數t … 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
波動值s … 0.3 0 0.3 1 2.2 3.8 5.7 7.8 10 12.7 15
圖3-9-11
（1）數學活動：
①根據表中數據，通過描點，連線（光滑曲線）的方式補全該函數的圖象；
②觀察前30天的函數圖象，當t=14時，s的值為多少？當s的值最大時，t的值為多少？
解：（1）①補全該函數的圖象如答圖3-9-1.
②由圖象可知，當t=14時，s的值為10；
當s的值最大時，t的值為7.
答圖3-9-1
圖3-9-11
（2）數學思考：請結合函數圖象，寫出該函數的兩條性質或結論；
（2）①當7≤t≤21時，s隨t的增大而減小；
②變化周期是28天. （答案不唯一）
圖3-9-11
（3）數學應用：根據研究，當s>10時處于情緒高潮期，心情愉快；s<10時為情緒低潮期，心情煩躁；s=10時為臨界日，心情平穩.若小海從出生到今天的天數為5 501天，則今天他心情如何？
（3）∵周期為28天，5 501÷28=196……13，
∴t=5 501時s的值與t=13時s的值相等.
又∵當t=13時，s>10，
∴當t=5 501時，s>10.
∴今天小海處于情緒高潮期，心情愉快.
圖3-9-11
命題解讀：根據最新課程標準和近三年中考命題動向，預測2025年中考命題方向可能注重考查平面直角坐標系與函數的有關概念，如點的坐標、象限、平移、對稱、常量與變量等；強調函數的表示方法和性質，可能通過實際問題情境來考查；可能會出現與幾何圖形變換相結合的題目，還可能出現涉及新定義運算的創新題型.

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