資源簡介

(共53張PPT)
第五章　四　邊　形
第20課時　菱形、矩形、正方形、梯形
課前循環練
（限時5分鐘）
1. （廣東真題）在下列交通標志中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是 （ ）
C
B
3. （廣東真題）如圖5-20-1，在 ABCD中，對角線AC，BD交于點O，下列式子中一定成立的是 （ ）
A. AC⊥BD
B. OA=OC
C. AC=BD
D. AO=OD
圖5-20-1
B
4. （廣東真題）方程x2=2x的解是　 　.
5. （廣東真題）如圖5-20-2，在☉O中，已知半徑為5，弦AB的長為8，那么圓心O到AB的距離為　 　.
圖5-20-2
x1=0，x2=2
3
①理解平行四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形的概念，以及它們之間的關系.
②探索并證明矩形、菱形的性質定理：矩形的四個角都是直角，對角線相等；菱形的四條邊相等，對角線互相垂直.探索并證明矩形、菱形的判定定理：三個角是直角的四邊形是矩形，對角線相等的平行四邊形是矩形；四邊相等的四邊形是菱形，對角線互相垂直的平行四邊形是菱形. 正方形既是矩形，又是菱形；理解矩形、菱形、正方形之間的包含關系.
課標要求
對接教材 人教：八下第十八章　平行四邊形（18.2 特殊的平行四邊形）
北師：九上第一章　特殊平行四邊形 　
考點梳理
廣東省對應考點例題
例1. 在四邊形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，如果添加一個條件，即可推出該四邊形是矩形，那么這個條件可以是 （ ）
A.∠D=90°　　　　　 B. AB=CD
C. AD=BC D. BC=CD
A
考點復習
1.矩形的概念
有一個角是　 　的平行四邊形叫做矩形
直角
2.矩形的性質
（1）具有平行四邊形的所有性質.
（2）矩形的四個角都是　 　.
（3）矩形的對角線　 　.
（4）矩形既是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形，有　 　條對稱軸
直角
相等
2
圖5-20-3
B
3.矩形的判定
（1）有一個角是直角的平行四邊形是矩形.
（2）對角線　 　的平行四邊形是矩形.
（3）有三個角是　 　的四邊形是矩形
相等
直角
例3. 如圖5-20-4，在 ABCD中，對角線AC和BD相交于點O，則下面條件能判定四邊形ABCD是矩形的是 （ ）
A. AC=BD
B. AC⊥BD
C. OA=OC
D. AB=AD
圖5-20-4
A
4.菱形的概念
有一組鄰邊　 　的平行四邊形叫做菱形
例4. 下面四個定義中不正確的是 （ ）
A.有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形
B.有一組鄰邊相等的四邊形叫做菱形
C.有一組鄰邊相等，并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形
D.有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形
相等
B
5.菱形的性質
（1）具有平行四邊形的所有性質.
（2）菱形的四條邊都　 　.
（3）菱形的對角線互相　 　，每條對角線平分一組對角.
（4）菱形既是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形，有　 　條對稱軸
相等
垂直
2
例5. 在菱形ABCD中，AC，BD為對角線，下列說法一定正確的是（ ）
A. AC=BD　　　　　
B. AC⊥BD
C.∠ABD=∠BAC　
D.∠BAC+∠CAD=90°
B
6.菱形的判定
（1）有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.
（2）四條邊　 　的四邊形是菱形.
（3）對角線互相　 　的平行四邊形是菱形
相等
垂直
例6. 如圖5-20-5，下列選項中，能證明 ABCD是菱形的條件有 （ ）
① AC⊥BD；② BA⊥AD；③ AB=BC；④ AC=BD.
A. ①②③ B. ②③
C. ③④ D. ①③
圖5-20-5
D
7.正方形的概念
有一組鄰邊　 　，并且有一個角是　 　的平行四邊形叫做正方形
例7. 在四邊形ABCD中，AB∥CD，∠B=∠D，∠A=90°，如果添加一個條件，即可推出該四邊形是正方形，那么這個條件可以是 （ ）
A. ∠D=90°　　 B. AB=CD
C. BC=CD　 D. AC=BD
相等
直角
C
8.正方形的性質
正方形具有矩形和菱形的性質：
（1）邊：四條邊都　 　，對邊平行.
（2）角：四個角都是　 　.
（3）對角線：對角線相等且　 　，每條對角線　 　一組對角.
（4）正方形既是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形，有　 　條對稱軸
相等
直角
互相垂直平分
平分
4
例8. 如圖5-20-6，四邊形ABCD是正方形，對角線AC，BD交于點O.下列結論：① OA=OB；② ∠ACB=45°；③ AC⊥BD；④正方形ABCD有4條對稱軸.上述結論正確的有 （ ）
A. ①②③④ B. ①②③
C. ②③④ D. ①③④
圖5-20-6
A
9.正方形的判定
（1）有一組鄰邊　 　的矩形是正方形.
（2）對角線互相　 　的矩形是正方形.
（3）有一個角是　 　的菱形是正方形.
（4）對角線　 　的菱形是正方形
相等
垂直
直角
相等
例9. （1）在矩形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，要使該矩形成為正方形，可添加的一個條件是　 ；
（2）在菱形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，要使該菱形成為正方形，可添加的一個條件是　 .
AB=AD（答案不唯一）　
AC=BD（答案不唯一）　
10.平行四邊形、矩形、菱形與正方形的關系
（1）從邊、角分析：
（2）從對角線分析：
例10. 如圖5-20-7，已知 ABCD的對角線AC與BD相交于點O，請你添加兩個適當的條件：　 ，使 ABCD變為正方形.
圖5-20-7
AB=BC，∠ABC=90°（答案不唯一）　
11.梯形的概念
只有一組對邊　 的四邊形叫做梯形.其中有一個角是直角的梯形叫做　 梯形，兩腰相等的梯形叫做　 梯形
平行　
直角　
等腰　
例11.如圖5-20-8，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，AB=CD=4，∠A=120°，則下底BC的長為　 　.
圖5-20-8
7
廣東中考
1. （2022·廣東題13，3分，菱形的性質）菱形的邊長為5，則它的周長是
　 　.
2. （2024·廣東題15，3分，菱形的性質；三角形的面積）如圖5-20-9，菱形ABCD的面積為24，E是AB的中點，F是BC上的動點. 若△BEF的面積為4，則圖中陰影部分的面積為　 　.
圖5-20-9
20
10
高分擊破
【典型考點】矩形的判定與性質 得分點分析
1. （2024·蘭州）如圖5-20-10，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中點，CE∥AD，AE⊥AD，EF⊥AC.
　圖5-20-10
（1）求證：四邊形ADCE是矩形；
（1）證明：∵AB=AC，D是BC的中點，
∴AD⊥BC，即∠ADC=∠ADB=90°.
············1分（利用三線合一的性質得1分）
∵CE∥AD，∴∠ECD=∠ADB=90°. ··················2分（利用平行線的性質得1分）
∵AE⊥AD，∴∠EAD=90°. ··································3分（利用垂直的定義得1分）
∴∠ADC=∠ECD=∠EAD=90°.∴四邊形ADCE是矩形. ··················4分（利用矩形的判定得1分）
　圖5-20-10
（2）若BC=4，CE=3，求EF的長.

　圖5-20-10
溫馨提示：此類考題可能見于廣東省中考數學試卷的第19題，分值一般為9分，答題時要注意書寫格式，分步書寫，慢做會求全對，評卷老師是分步給分的哦！
【典型錯例】重復證明的錯誤
2. 如圖5-20-11， ABCD的對角線AC的垂直平分線與邊AD，BC分別相交于點E，F. 求證：四邊形AFCE是菱形.
　圖5-20-11
錯解分析
錯解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC.∴∠EAO=∠FCO.
∵EF垂直平分AC，
∴AE=CE，AF=CF，AO=CO，EF⊥AC.
又∵∠AOE=∠COF，∴△AOE≌△COF（ASA）.
∴AE=CF，OE=OF.∴AE=CE=CF=AF，AC與EF互相垂直平分.
∴四邊形AFCE是菱形.
剖析：該解題過程犯了重復證明的錯誤，在證明四邊相等后，又證明了對角線互相垂直平分，這兩組條件都可以判定菱形，選其中一個即可.
　圖5-20-11
【生長式訓練】知識生長→變式創新
3. （中考創新，原創題）如圖5-20-12①，將矩形紙片ABCD沿對角線AC剪開，得到△ABC和△ACD，并且測得AB=3 cm，BC=4 cm.
圖5-20-12
知識種子：基本概念
（1）將這兩張三角形紙片按圖5-20-12②的方式擺放，連接BD，則AC與BD的位置關系是　 ；
圖5-20-12
AC⊥BD　
種子生長：矩形的判定與性質
（2）如圖5-20-12③，將圖5-20-12②中的△A'C'D紙片沿射線CA方向平移，連接BC'，BA'，直至BC'∥A'D.
①判斷四邊形A'BC'D的形狀，并說明理由；
解：①四邊形A'BC'D是矩形.
理由：如圖5-20-12①，
在矩形ABCD中，∠D=90°，AD=BC，AD∥BC，
∴∠ACB=∠CAD.
∴在圖5-20-12③中，BC=A'D，∠ACB=∠C'A'D，∠D=90°.
∵BC'∥A'D，∴∠C'A'D=∠A'C'B.
∴∠A'C'B=∠ACB.∴BC'=BC.
∴BC'=A'D.∴四邊形A'BC'D是平行四邊形.
又∵∠D=90°，∴四邊形A'BC'D是矩形.
圖5-20-12
答圖5-20-1
②求平移的距離AC'；
生長變式：圖形變式
（3）如圖5-20-13，將圖5-20-12①中的△ACD以點A為旋轉中心，按逆時針方向旋轉∠α，使∠α=∠BAC，得到△AC'D，過點C作AC'的平行線，與DC'的延長線交于點E，判定四邊形ACEC'的形狀，并說明理由；
解：四邊形ACEC'是菱形.
理由：如圖5-20-12①，在矩形ABCD中，AB∥CD ∴∠ACD=∠BAC.
如圖5-20-13，由旋轉的性質，得AC'=AC，∠AC'D=∠BAC.
∵∠CAC'=∠α，∠α=∠BAC，
∴∠CAC'=∠AC'D.∴AC∥C'E.
又∵CE∥AC'，∴四邊形ACEC'是平行四邊形.
又∵AC'=AC，∴四邊形ACEC'是菱形.
圖5-20-13
種子成樹：綜合創新
（4）如圖5-20-14①，將圖5-20-13中的△AC'D繼續按逆時針方向旋轉，使B，A，D三點在同一條直線上，連接CC'，取CC'的中點F，連接AF并延長至點G，使FG=AF，連接CG，C'G.
圖5-20-14
①判斷四邊形ACGC'的形狀，并說明理由；
解：①四邊形ACGC'是正方形.
理由：∵F為CC'的中點，∴C'F=CF.
又∵FG=AF，∴四邊形ACGC'是平行四邊形.
又∵AC=AC'，∴四邊形ACGC'是菱形.
∵∠AC'D=∠BAC，∠AC'D+∠DAC'=90°，
∴∠BAC+∠DAC'=90°.
∴∠CAC'=180°-（∠BAC+∠DAC'）=90°.
∴四邊形ACGC'是正方形.
圖5-20-14
②如圖5-20-14②，將圖5-20-14①中△ABC沿著BD方向平移，使點B與點A重合，此時點A平移至點A'，A'C與BC'交于點P，連接CC'，求tan∠C'CP的值.
圖5-20-14
中考演練
（限時15分鐘）
一、選擇題
1. （2024·成都）如圖5-20-15，在矩形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，則下列結論一定正確的是 （ ）
A. AB=AD
B. AC⊥BD
C. AC=BD
D. ∠ACB=∠ACD
圖5-20-15
C
圖5-20-16
C
3. （2024·通遼）如圖5-20-17， ABCD的對角線AC，BD交于點O，以下條件不能證明 ABCD是菱形的是 （ ）
A. ∠BAC=∠BCA
B. ∠ABD=∠CBD
C. OA2+OB2=AD2
D. AD2+OA2=OD2
圖5-20-17
D
圖5-20-18
B
圖5-20-19
B
二、填空題
6. （2024·甘孜州）如圖5-20-20，在菱形ABCD中，AB=2，則菱形ABCD的周長為　 　.
圖5-20-20
8
7. （2024·蘭州）如圖5-20-21，四邊形ABCD為正方形，△ADE為等邊三角形，EF⊥AB于點F.若AD=4，則EF=　 　.
圖5-20-21
2
8. （2023·陜西）如圖5-20-22，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4.點E在邊AD上，且ED=3，M，N分別是邊AB，BC上的動點，且BM=BN，P是線段CE上的動點，連接PM，PN.若PM+PN=4，則線段PC的長為　 　.
圖5-20-22
三、解答題
9. （2024·廣安）如圖5-20-23，菱形ABCD中，E，F分別是邊AB，BC上的點，BE=BF，求證：∠DEF=∠DFE.
圖5-20-23
10. （2024·長沙）如圖5-20-24，在 ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，∠ABC=90°.
（1）求證：AC=BD；
圖5-20-24
（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠ABC=90°，
∴四邊形ABCD是矩形.∴AC=BD.
（2）點E在BC邊上，滿足∠CEO=∠COE. 若AB=6，BC=8，求CE的長及tan∠CEO的值.
答圖5-20-2
命題趨勢
（ 限時 5 分鐘）
圖5-20-25
【知識技能】 （1）如圖5-20-25①，當OE⊥AC時，G，Q，C三點重合，此時OQ與OP的數量關系為　 ；
圖5-20-25
【數學理解】（2）當正方形OEFG旋轉到如圖5-20-25②所示的位置時，猜想OQ與OP的數量關系，并說明理由；
答圖5-20-3
答圖5-20-3
【拓展探索】（3）在正方形的旋轉過程中，
當DE=EF時，請直接寫出DF的長.
答圖5-20-4
答圖5-20-5
命題解讀：根據最新課程標準和近三年中考命題動向，預測2025年中考命題方向可能注重考查特殊四邊形的基本概念、性質和判定方法，如通過具體圖形判斷它們的類型、計算相關角度或邊長等；強調與其他幾何圖形的綜合運用，可能與三角形、平行四邊形、圓等結合；還可能會考查綜合探究類題型，通過變換圖形位置或構造特殊圖形綜合考查.

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