資源簡介

(共54張PPT)
第四章　三　角　形
第13課時　線、角、相交線與平行線
課前循環練
（限時5分鐘）
1. （廣東真題）下列式子是完全平方式的是 （ ）
A. a2+ab+b2 B. a2+2a+2
C. a2-2b+b2 D. a2+2a+1
D
2. （廣東真題）如圖4-13-1，AB∥CD，∠DEC=100°，∠C=40°，則∠B的大小是 （ ）
A. 30° B. 40°
C. 50° D. 60°
圖4-13-1
B
3. （廣東真題）如圖4-13-2，某數學興趣小組將邊長為3的正方形鐵絲框ABCD變形為以A為圓心，AB為半徑的扇形（忽略鐵絲的粗細），則所得扇形DAB的面積為 （ ）
A. 6 B. 7
C. 8 D. 9
圖4-13-2
D
4. （廣東真題）如圖4-13-3，△ABC三邊的中線AD，BE，CF的公共點為G.若S△ABC=12，則圖中陰影部分的面積是　 　.
圖4-13-3
4
5. （廣東真題）在一個不透明的盒子中，有五個完全相同的小球，把它們分別標號為1，2，3，4，5，隨機摸出一個小球，摸出的小球標號為偶數的概率是 　.
（1）點、線、面、角
①通過實物和模型，了解從物體抽象出來的幾何體、平面、直線和點等概念.
②會比較線段的長短，理解線段的和、差，以及線段中點的意義.
③掌握基本事實：兩點確定一條直線.
④掌握基本事實：兩點之間線段最短.
課標要求
⑤理解兩點間距離的意義，能度量和表達兩點間的距離.
⑥理解角的概念，能比較角的大??；認識度、分、秒等角的度量單位，能進行簡單的單位換算，會計算角的和、差.
⑦了解角平分線的概念.
（2）相交線與平行線
①理解對頂角、余角、補角等概念，探索并掌握對頂角相等、同角（或等角）的余角相等、同角（或等角）的補角相等的性質.
②理解垂線、垂線段等概念，能用三角板或量角器過一點畫已知直線的垂線.
③掌握基本事實：在同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直.
④理解點到直線的距離的意義，能度量點到直線的距離.
⑤識別同位角、內錯角、同旁內角.
⑥理解平行線的概念.
⑦掌握平行線基本事實Ⅰ：過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行.
⑧掌握平行線基本事實Ⅱ：兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行.
⑨探索并證明平行線的判定定理：兩條直線被第三條直線所截，如果內錯角相等（或同旁內角互補），那么這兩條直線平行.
⑩掌握平行線的性質定理Ⅰ：兩條平行直線被第三條直線所截，同位角相等. *了解定理的證明.
探索并證明平行線的性質定理Ⅱ：兩條平行直線被第三條直線所截，內錯角相等（或同旁內角互補）.
能用三角板和直尺過已知直線外一點畫這條直線的平行線.
了解平行于同一條直線的兩條直線平行.
（3）定義、命題、定理
①通過具體實例，了解定義、命題、定理、推論的意義.
②結合具體實例，會區分命題的條件和結論，了解原命題及其逆命題的概念.會識別兩個互逆的命題，知道原命題成立其逆命題不一定成立.
③知道證明的意義和證明的必要性，知道數學思維要合乎邏輯，知道可以用不同的形式表述證明的過程，會用綜合法的證明格式.
④了解反例的作用，知道利用反例可以判斷一個命題是錯誤的.
⑤通過實例體會反證法的含義.
對接教材 人教：七上第四章　幾何圖形初步；七下第五章　相交線與平行線
北師：七上第四章　基本平面圖形；七下第二章　相交線與平行線；
八上第七章　平行線的證明 　
考點梳理
考點復習
1.直線、射線與線段
（1）直線　 　端點，射線有1個端點，線段有　 　個端點.
（2）經過　 　有且只有一條直線，簡述為兩點確定一條直線.
（3）兩點之間的所有連線中，　 　最短，簡述為兩點之間線段最短.
（4）兩點之間線段的　 　，叫做這兩點之間的距離
沒有
2
兩點
線段
長度
廣東省對應考點例題
例1.（1）木匠師傅鋸木料時，一般先在木板上畫出兩個點，然后過這兩點彈出一條墨線，其依據的數學原理是　 ??；
（2）如圖4-13-4，從公園甲到公園乙的三條路線中，最短的是　 ?。ㄌ钚蛱枺?，這是因為　 　.
圖4-13-4
兩點確定一條直線
③
兩點之間線段最短
2.角的相關概念
（1）由兩條具有公共端點的　 　所組成的圖形叫做角.兩條射線的公共端點是這個角的頂點.
（2）按照角的大小，角可分為銳角、　 　、　 　、平角和周角.
（3）1周角=2平角=4直角=360°.
（4）1°=60'，1'=60″.
射線
直角
鈍角
（5）余角、補角：
如果兩個角的和是90°，那么稱這兩個角互為余角，同角或等角的余角
　 　；如果兩個角的和是180°，那么稱這兩個角互為補角，同角或等角的補角　 　
相等
相等
例2.（1）如圖4-13-5，O是角的頂點，用三種不同的方法表示這個角為
　 　，　 　，　 ??；
圖4-13-5
∠AOB
∠1
∠O
（2）計算：13.17°=　 　°　 　'　 　″；
（3）若∠A=35°，則∠A的余角為　 　，∠A的補角為　 ??；
（4）如圖4-13-6，過直線AB上一點O作射線OC，∠BOC=29°18'，則∠AOC的度數為　 　.
圖4-13-6
13
10
12
55°
145°
150°42'
3.角的平分線
從一個角的頂點引出的一條射線，把這個角分成兩個　 　的角，這條射線叫做這個角的平分線
例3. 如圖4-13-7，已知O是直線AB上一點，∠1=50°，OF平分∠BOE，則∠2的度數為　 　.
圖4-13-7
相等
65°
4.對頂角
對頂角　 　.互為對頂角的兩個角相等，但相等的兩個角不一定是對頂角
例4. 如圖4-13-8是對頂角量角器，用它測量角的原理是　 .
圖4-13-8
相等
對頂角相等　
5.垂直的性質
（1）在同一平面內，過一點　 一條直線與已知直線垂直.
（2）直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，　 　最短
例5.如圖4-13-9，村莊A到公路BC的最短距離是AD的長，其根據的數學原理是　 　.
　圖4-13-9
有且只有　
垂線段
垂線段最短
6.三線八角（如圖4-13-10）
（1）同位角：∠1與∠5，∠2與∠6，∠4與　 　，∠3與　 　.
（2）內錯角：∠2與　 　，∠3與∠5.
（3）同旁內角：∠3與∠8，∠2與　 　
圖4-13-10
∠8
∠7
∠8
∠5
例6.如圖4-13-11，同位角有　 　對，內錯角有　 　 對，同旁內角有
　 　對.
圖4-13-11
6
4
4
7.平行線的判定與性質（如圖4-13-12）
（1）同位角　 　 兩直線平行.
判定：∵∠1=∠2，∴l1∥l2.
性質：∵l1∥l2，∴∠1=∠2.
（2）內錯角相等 兩直線　 　.
判定：∵∠2=∠3，∴l1∥l2.
性質：∵l1∥l2，∴∠2=∠3.
（3）同旁內角　 　 兩直線平行.
判定：∵∠2+∠4=180°，∴l1∥l2.
性質：∵l1∥l2，∴∠2+∠4=180°
圖4-13-12
相等
平行
互補
例7.如圖4-13-13，填空：
（1）若∠A=∠3，則　 　∥　 ?。?
（2）若∠2=∠E，則　 　∥　 　；
（3）若∠A+∠ABE=180°，則　 　∥　 ??；
（4）若BD∥CE，則∠DBC=　 ??；
（5）若AD∥BE，則∠D=　 ；
（6）若BD∥CE，則∠DBC+∠4=　 　.
圖4-13-13
AD
BE
BD
CE
AD
BE
∠5
　∠2
180°
例8.如圖4-13-14，已知AB∥CD，求證：∠BED=∠B+∠D.（完成證明過程）
證明：過點E作EF∥AB.
∴∠1=　 　.
∵AB∥CD（已知），
∴EF∥CD（　 　）.
∴∠2=　 　.
∴∠BED=∠1+∠2=∠B+∠D.
圖4-13-14
∠B
平行于同一條直線的兩條直線平行
∠D
8.平行公理
（1）過直線外一點，　 　一條直線與這條直線平行.
（2）平行于同一條直線的兩條直線　 　
有且只有
平行　
9.定義、命題、定理
（1）對名稱和術語的含義加以描述，作出明確的規定，即給出它們的
　 　.
（2）判斷一件事情的句子，叫做　 　.每個命題都由題設（或條件）和　 　兩部分組成.正確的命題稱為　 　，不正確的命題稱為
　 　.要說明一個命題是假命題，常?？梢耘e出一個例子，使它具備命題的條件，而不具有命題的結論，這種例子稱為　 　.
定義
命題
結論
真命題
假命題
反例
（3）題設、結論正好相反的兩個命題叫做互逆命題.如果把其中一個叫做原命題，那么另一個叫做它的　 　.
（4）公認的真命題稱為公理.除公理外，其他命題的真假都需要通過演繹推理的方法進行判斷.演繹推理的過程稱為　 　，經過證明的　 　命題稱為定理.
（5）證明方法：綜合法、分析法、反證法等
逆命題
證明
真
兩個角相等
這兩個角是同位角
-2
（答案不唯一）　
如果兩個角相等，那么這兩個角是
對頂角
假
a≥0
廣東中考
1. （2022·廣東題4，3分，平行線的性質）如圖4-13-15，直線a∥b，∠1=40°，則∠2= （ ）
A. 30° B. 40°
C. 50° D. 60°
圖4-13-15
B
2. （2023·廣東題4，3分，平行線的性質）如圖4-13-16，街道AB與CD平行，拐角∠ABC=137°，則拐角∠BCD= （ ）
A. 43° B. 53°
C. 107° D. 137°
圖4-13-16
D
3. （2024·廣東題4，3分，平行線的判定與性質）如圖4-13-17，一把直尺、兩個含30°的三角尺拼接在一起，則∠ACE的度數為 （ ）
A. 120° B. 90°
C. 60° D. 30°
圖4-13-17
C
高分擊破
【典型考點】平行線的判定與性質 得分點分析
1. （人教七下P20第2題改編）如圖4-13-18，在△ABC中，D是AB上一點，E是AC上一點，∠BDE=140°，∠B=40°，∠AED=60°.
（1）判斷DE與BC的位置關系，并說明理由；
解：（1）DE∥BC. ···············1分（判斷出DE∥BC得1分）
理由：∵∠BDE=140°，∠B=40°，
∴∠B+∠BDE=180°. ···············2分（計算同旁內角的和得1分）
∴DE∥BC. ···············4分（利用“同旁內角互補，兩直線平行”得2分）
（2）求∠C的度數.
（2）∵DE∥BC，
∴∠C=∠AED. ···············6分（利用“兩直線
平行，同位角相等”得2分）
∵∠AED=60°，
∴∠C=60°. ··············· 7分（等量代換得1分）
溫馨提示：此類考題可能見于廣東省中考數學試卷的第17題，分值一般為7分，答題時要注意書寫格式，分步書寫，慢做會求全對，評卷老師是分步給分的哦！
【典型錯例】在平行線的判定與性質的運用過程中，不能正確找出對應的同位角、內錯角或同旁內角
2. 如圖4-13-19，直線AB，CD分別和直線MN相交于點E，F，EG平分∠BEN，FH平分∠DFN. 若AB∥CD，則EG和FH是否平行？請說明理由.
圖4-13-19

【生長式訓練】知識生長→變式創新
3. （中考創新，原創題）如圖4-13-20，已知直線GH分別與直線AB，CD交于點E，F，且EM∥FN.
知識種子：基本概念
（1）①若∠AEG=∠CFE，則直線AB與CD的位置關系是 　 ?。?
②若∠NFE=60°，則∠MEF的度數為　 ；
圖4-13-20
AB∥CD
60°　
種子生長：平行線的判定與性質
（2）若EM平分∠BEF，FN平分∠CFE.
①求證：AB∥CD；
①證明：∵EM∥FN，∴∠MEF=∠NFE.
∵EM平分∠BEF，FN平分∠CFE，∴∠BEF=2∠MEF，∠CFE=2∠NFE.
∴∠BEF=∠CFE.∴AB∥CD.
圖4-13-20
②若∠AEF=46°，求∠NFE的度數；
圖4-13-20
生長變式：圖形變式
（3）如圖4-13-21，若EM平分∠AEF交CD于點M，且∠FEM=∠EMF.求證：AB∥CD；
證明：∵EM平分∠AEF，∴∠AEM=∠FEM.
又∵∠FEM=∠EMF，∴∠AEM=∠EMF.
∴AB∥CD.
圖4-13-21
種子成樹：綜合創新
（4）在（3）的條件下，若G是射線MD上一動點（不與點M，F重合），EH平分∠FEG交CD于點H，過點H作HN⊥EM于點N，設∠EHN=α，∠EGF=β.試判斷α與β的數量關系，并說明理由.
圖4-13-21
圖4-13-21
答圖4-13-1

答圖4-13-2
中考演練
（限時15分鐘）
一、選擇題
1. （2024·重慶）如圖4-13-22，AB∥CD，∠1=65°，則∠2的度數是
（ ）
A. 105° B. 115°
C. 125° D. 135°
圖4-13-22
B
2. （2024·蘭州）如圖4-13-23，小明在地圖上量得∠1=∠2，由此判斷幸福大街與平安大街互相平行，他判斷的依據是 （ ）
A. 同位角相等，兩直線平行
B. 內錯角相等，兩直線平行
C. 同旁內角互補，兩直線平行
D. 對頂角相等
圖4-13-23
B
3. （2024·湖北）如圖4-13-24，一條公路的兩側鋪設了AB，CD兩條平行管道，并有縱向管道AC連通.若∠1=120°，則∠2的度數是 （ ）
A. 50° B. 60°
C. 70° D. 80°
B
4. （2024·赤峰）將一副三角尺（厚度不計）按如圖4-13-25所示擺放，使有刻度的兩條邊互相平行，則圖中∠1的度數為 （ ）
A. 100° B. 105°
C. 115° D. 120°
B
5. （2024·深圳，跨學科融合）如圖4-13-26，一束平行光線照射平面鏡后反射，若入射光線與平面鏡夾角∠1=50°，則反射光線與平面鏡夾角∠4的度數為 （ ）
A. 40° B. 50°
C. 60° D. 70°
B
二、填空題
6. （2024·廣西）已知∠1與∠2為對頂角，∠1=35°，則∠2=　 　°.
7. （2024·宿遷）命題“兩直線平行，同位角相等”的逆命題是___________
　 .
35
同位角
相等，兩直線平行　
8. （2024·連云港）如圖4-13-27，直線a∥b，直線l⊥a，∠1=120°，則∠2=　 　°.
30
三、解答題
9. （2024·自貢）如圖4-13-28，在△ABC中，DE∥BC，∠EDF=∠C.
（1）求證：∠BDF=∠A；
（1）證明：∵DE∥BC，∴∠C=∠AED.
∵∠EDF=∠C，∴∠AED=∠EDF.
∴DF∥AC.∴∠BDF=∠A.
（2）若∠A=45°，DF平分∠BDE，請直接寫出△ABC的形狀.
（2）解：△ABC是等腰直角三角形.
【提示】∵∠A=45°，∠BDF=∠A，∴∠BDF=45°.
∵DF平分∠BDE，∴∠BDE=2∠BDF=90°.
∵DE∥BC，∴∠BDE+∠B=180°.
∴∠B=180°-∠BDE=90°.∴△ABC是直角三角形.
又∵∠C=180°-∠A-∠B=45°，∴∠A=∠C.∴BA=BC.
∴△ABC是等腰直角三角形.
10. （2022·武漢）如圖4-13-29，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B=80°.
（1）求∠BAD的度數；
（1）解：∵AD∥BC，∴∠B+∠BAD=180°.
∵∠B=80°，∴∠BAD=180°-∠B=100°.
（2）AE平分∠BAD交BC于點E，∠BCD=50°. 求證：AE∥DC.

命題趨勢
（ 限時 5 分鐘）
（教材創新改編）如圖4-13-30，已知直線DE∥AB.
（1）尺規作圖：過點B作BM∥AD，交DE于點C；（不寫作法，保留作圖痕跡）
解：（1）如答圖4-13-3，BM即為所作.
答圖4-13-3
（2）在（1）的條件下，請寫出圖中以點C為頂點且與∠A相等的角，并說明理由.
（2）圖中以點C為頂點且與∠A相等的角
有∠MCE，∠DCB.
理由：∵DE∥AB，∴∠DCB=∠MBN.
由（1）作圖可知∠A=∠MBN，∴∠DCB=∠A.
∵∠MCE=∠DCB，∴∠MCE=∠DCB=∠A.
答圖4-13-3
命題解讀：根據最新課程標準和近三年中考命題動向，預測2025年中考命題方向可能注重考查線、角、相交線與平行線的基本概念，如對頂角、同位角、內錯角、同旁內角等；強調平行線的判定與性質，可能會結合三角形、四邊形、平面直角坐標系等知識考查，也可能會結合現實背景或跨學科背景進行考查；還可能會考查創新題型，如考查與直尺或三角尺結合、與尺規作圖結合等.

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