資源簡介

(共54張PPT)
第四章　三　角　形
第18課時　銳角三角函數與解直角三角形
課前循環練
（限時5分鐘）
1. （廣東真題）化簡a4·a2+（a3）2的結果是 （ ）
A. a8+a6 B. a6+a9 C. 2a6 D. a12
2. （廣東真題）已知OP=5，☉O的半徑為5，則點P在 （ ）
A. ☉O上 B. ☉O內 C. ☉O外 D. 圓心上
C
A
3. （廣東真題）已知y是x的函數，y與x-1成正比例，如果這個函數的圖象經過點（a，a）（a≠0），那么它的圖象大致是 （ ）
B
4. （廣東真題）拋物線y=2x2+6x+c與x軸的一個交點為（1，0），則這個
拋物線的頂點坐標是 　.
5. （廣東真題）如圖4-18-1，若△OAD≌△OBC，且∠O=65°，∠C=20°，則∠OAD=　 　.
圖4-18-1
95°
①利用相似的直角三角形，探索并認識銳角三角函數（sin A，cos A，tan A），知道30°，45°，60°角的三角函數值.
②會使用計算器由已知銳角求它的三角函數值，由已知三角函數值求它的對應銳角.
③能用銳角三角函數解直角三角形，能用相關知識解決一些簡單的實際問題.
課標要求
對接教材 人教：九下第二十八章　銳角三角函數
北師：九下第一章　直角三角形的邊角關系 　
考點梳理
考點復習
1.特殊角的三角函數值
銳角三角函數 角α
30° 45° 60°
sin α
cos α
tan α
　 　
1
2.直角三角形中的邊角關系
如圖4-18-2，在Rt△ABC中，∠C=90°，a，b，c分別為內角A，B，C的對邊.
（1）三邊的關系為　 .
（2）三角的關系為　 　.
（3）邊角的關系為sin A= 　，cos A= 　，
tan A= 　
圖4-18-2
a2+b2=c2　
∠A+∠B=∠C
例2. 如圖4-18-3，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，則tan A= 　，sin A= 　，cos A= 　.
圖4-18-3
3.解直角三角形
在直角三角形的六個元素中，除直角外，只要再知道　 　（其中至少有一個是　 　），就可以求出其余三個未知元素.
解直角三角形的基本類型可分為以下幾種情況（如圖4-18-2）：
兩個元素
邊
已知條件 解法
一條
邊和
一個
銳角 斜邊c和
銳角∠A ∠B=　 　，
a=　 　，
b=　 　
直角邊a
和銳角∠A ∠B=　 　，
b= 　，
c=
90°-∠A
c·sin A
90°-∠A
c·cos A
已知條件 解法
兩
條
邊 兩條直角
邊a和b c= 　，
由　 　求∠A，
∠B=　 　
直角邊a
和斜邊c b= 　，
由　 　求∠A，
∠B=　 　
90°-∠A
90°-∠A
例3.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c，根據下列條件解直角三角形.
（1）c=30，∠A=60°； （2）b=5，c=10.
4.解直角三角形的應用
（1）仰角、俯角
如圖4-18-4，在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的是
　 ，視線在水平線下方的是　 　.
圖4-18-4
仰角
俯角
（2）方位角
如圖4-18-5，從正北方向線或正南方向線到目標方向線所成的小于90°的角（如α，β），叫做方位角.
圖4-18-5
圖4-18-6
坡角
tan α

例4. （1）如圖4-18-7，從航拍無人機A看一棟樓頂部B的仰角α為30°，看這棟樓底部C的俯角β為60°，無人機與樓的水平距離為60 m，則這棟樓的高度為　 　m；
圖4-18-7
（2）如圖4-18-8，湖中有一個小島A，一艘輪船由西向東航行，它在B處測得小島A在北偏東60°方向上，航行20 n mile到達C處，這時測得小島A在北偏東30°方向上，則小島A到航線BC的距離為　 　n mile；
圖4-18-8
圖4-18-9
20
廣東中考
圖4-18-10
3. （2023·廣東題18，7分，解直角三角形的應用）2023年5月30日，神舟十六號載人飛船發射取得圓滿成功，3名航天員順利進駐中國空間站. 如圖4-18-11，照片展示了中國空間站上機械臂的一種工作狀態. 當兩臂AC=BC=10 m，兩臂夾角∠ACB=100°時，求A，B兩點間的距離. （結果精確到0.1 m，參考數據：sin 50°≈0.766，cos 50°≈0.643，tan 50°≈
1.192）
圖4-18-11

答圖4-18-1
圖4-18-12
（1）求PQ的長；
圖4-18-12
圖4-18-12
（2）該充電站有20個停車位，求PN的長.
圖4-18-12
高分擊破
【典型考點】解直角三角形的應用 得分點分析
1. （2023·麗水）如圖4-18-13，某工廠為了提升生產過程中所產生廢氣的凈化效率，需在氣體凈化設備上增加一條管道A-D-C，已知DC⊥BC，AB⊥BC，∠A=60°，AB=11 m，CD=4 m，求管道A-D-C的總長.
圖4-18-13

圖4-18-14
溫馨提示：此類考題常見于廣東省中考數學試卷的第18小題，分值一般為7分，答題時要注意書寫格式，分步書寫，慢做會求全對，評卷老師是分步給分的哦！
圖4-18-15
B
錯解分析
錯解：由題意，得∠BAC=α.
在Rt△ABC中，AC=a m，
∴BC=AC·tan∠BAC=a·tan α（m）.
故選A.
剖析：上面的解答過程沒有理解俯角的概念，誤認為∠BAC為從A處測得目標B處的俯角α，從而導致出錯.
【生長式訓練】知識生長→變式創新
3. （中考創新，原創題）如圖4-18-16，在△ABC中，AC=6.
知識種子：基本概念
（1）若∠A=90°，AB=8，則sin B= 　；cos B= 　；
tan B= 　；
圖4-18-16
種子生長：解直角三角形
（2）如圖4-18-17，若∠B=45°，∠C=75°，求BC的長；
　圖4-18-17
解：如答圖4-18-2，過點C作CD⊥AB于點D.
∵∠B=45°，
∴∠BCD=90°-∠B=45°.
∵∠ACB=75°，
∴∠ACD=∠ACB -∠BCD=30°.
答圖4-18-2
答圖4-18-2
生長變式：圖形變式
（3）如圖4-18-18，若∠B=45°，∠C=60°，求BC的長；
圖4-18-18
答圖4-18-3
圖4-18-19
答圖4-18-4
中考演練
（限時15分鐘）
圖4-18-20
C
圖4-18-21
B
圖4-18-22
A
圖4-18-23
D
圖4-18-24
A
二、填空題
6. （2024·綏化）如圖4-18-25，用熱氣球的探測器測一棟樓的高度，從熱氣球上的點A測得該樓頂部點C的仰角為60°，測得底部點B的俯角為45°，點A與樓BC的水平距離AD=50 m，則這棟樓的高度為___________m.（結果保留根號）
圖4-18-25
7. （2024·鹽城）如圖4-18-26，小明用無人機測量教學樓的高度，將無人機垂直上升距地面30 m的點P處，測得教學樓底端點A的俯角為37°，再將無人機沿教學樓方向水平飛行26.6 m至點Q處，測得教學樓頂端點B的俯角為45°，則教學樓AB的高度約為　 　m. （結果精確到1 m，參考數據：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75）
圖4-18-26
17
8. （2024·眉山）如圖4-18-27，斜坡CD的坡度i=1∶2，在斜坡上有一棵垂直于水平面的大樹AB，當太陽光與水平面的夾角為60°時，大樹在斜坡上的影子BE長為10 m，則大樹AB的高為　 　m.
圖4-18-27
三、解答題
9. （2023·成都）為建設美好公園社區，增強民眾生活幸福感，某社區服務中心在文化活動室墻外安裝遮陽篷，便于社區居民休憩.如圖4-18-28，在側面示意圖中，遮陽篷AB長為5 m，與水平面的夾角為16°，且靠墻端離地高BC為4 m，當太陽光線AD與地面CE的夾角為45°時，求陰影CD的長.（結果精確到0.1 m，參考數據：sin 16°≈0.28，cos 16°≈0.96，tan 16°≈0.29）
圖4-18-28
答圖4-18-5
10. （2024·廣州）2024年6月2日，嫦娥六號著陸器和上升器組合體（簡稱為“著上組合體”）成功著陸在月球背面. 某校綜合實踐小組制作了一個“著上組合體”的模擬裝置，在一次試驗中，如圖4-18-29，該模擬裝置在緩速下降階段從點A垂直下降到點B，再垂直下降到著陸點C，從點B測得地面點D的俯角為36.87°，AD=17 m，BD=10 m.
圖4-18-29
（1）求CD的長；
解：（1）如答圖4-18-6，過點B作BE∥CD，
交AD于點E，
則∠BDC=∠EBD=36.87°.
在Rt△BCD中，BD=10 m，∠BDC=36.87°，
∴CD=BD·cos∠BDC=10×cos 36.87°≈8（m）.
答圖4-18-6
（2）若模擬裝置從點A以每秒2 m的速度勻速下降到點B，求模擬裝置從點A下降到點B的時間.
（參考數據：sin 36.87°≈0.60，cos 36.87°≈0.80，tan 36.87°≈0.75）
圖4-18-29
命題趨勢
（ 限時 5 分鐘）
（2024·廣東改編）為解決停車問題，某小區在一段道路邊的矩形空地上開辟一段斜列式停車位，如圖4-18-30所示的矩形PQMN是該空地的平面示意圖，所有停車位的形狀、大小都相同， AFCQ是其中的一個停車位，每個停車位均有長5.5 m、寬2.5 m的矩形區域如矩形ABCD供停車，且∠AFC=60°.
　圖4-18-30
　圖4-18-30
（2）若矩形空地的長QM=60 m，則該空地最多可容納多少個停車位？
答圖4-18-7
命題解讀：根據最新課程標準和近三年中考命題動向，預測2025年中考命題方向可能注重考查銳角三角函數的基本概念和特殊角的三角函數值；強調解直角三角形在實際問題中的應用，可能會結合科技情境、生活情境或社會情境進行考查，也可能結合建筑、測量、航海等考查仰角和俯角、方位角、坡度和坡角等相關問題.

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