資源簡介

(共50張PPT)
第四章　三　角　形
第17課時　相似三角形
課前循環練
（限時5分鐘）
1. （廣東真題）坐標平面內下列各點中，在x軸上的點是 （ ）
A. （0，3） B. （-3，0）
C. （-1，2） D. （-2，-3）
B
2. （廣東真題）水平放置的正方體的六個面分別用“前面、
后面、上面、下面、左面、右面”表示，如圖4-17-1是一個
正方體的表面展開圖，若圖中“2”在正方體的前面，則這個
正方體的后面是 （ ）
A. 0 B. 6
C. 快 D. 樂
圖4-17-1
B
圖4-17-2
C
4. （廣東真題）如圖4-17-3，菱形ABCD的對角線AC=24，BD=10，則菱形的周長為　 　.
圖4-17-3
52
圖4-17-4
36°
①了解比例的基本性質、線段的比、成比例的線段；通過建筑、藝術上的實例了解黃金分割.
②通過具體實例認識圖形的相似. 了解相似多邊形和相似比.
③掌握基本事實：兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例.
④了解相似三角形的判定定理：兩角分別相等的兩個三角形相似；兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似；三邊成比例的兩個三角形相似. *了解相似三角形判定定理的證明.
課標要求
⑤了解相似三角形的性質定理：相似三角形對應線段的比等于相似比；面積比等于相似比的平方.
⑥了解圖形的位似，知道利用位似可以將一個圖形放大或縮小.
⑦會利用圖形的相似解決一些簡單的實際問題.
⑧在平面直角坐標系中，探索并了解將一個多邊形的頂點坐標（有一個頂點為原點）分別擴大或縮小相同倍數時所對應的圖形與原圖形是位似的.
對接教材 人教：九下第二十七章　相似
北師：九上第四章　圖形的相似　
考點梳理
ad=bc　
圖4-17-5
C


C
3.相似三角形
三角分別　 　、三邊　 的兩個三角形叫做相似三角形，相似三角形對應邊的比叫做　 　
例3. 已知△ABC∽△ACD，若AB=5，AC=4，則AD= 　.
相等
成比例　
相似比
4.相似三角形的判定
（1）兩角分別　 　的兩個三角形相似.
（2）兩邊　 　且夾角　 　的兩個三角形相似.
（3）三邊　 的兩個三角形相似.
（4）平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構成的三角形與原三角形相似
相等
成比例
相等
成比例　
例4. 如圖4-17-6，P是 ABCD邊AB上的一點，射線CP交DA的延長線于點E，請從圖中找出兩對相似三角形：________________________________
　 .
圖4-17-6
　△EAP∽△EDC，△EAP∽△CBP
（答案不唯一）
5.相似三角形的性質
（1）相似三角形對應高的比、對應角平分線的比、對應中線的比都等于
　 　.
（2）相似三角形的周長比等于　 ，面積比等于　 　
相似比
相似比
相似比的平方
6.相似多邊形
各角分別　 　、各邊　 的兩個多邊形叫做相似多邊形，相似多邊形對應邊的比叫做　 　
相等
成比例　
相似比
例6. 如圖4-17-7所示的兩個四邊形相似，則x+y=　 　，α=　 　.
圖4-17-7
63
85°
7.相似多邊形的性質
（1）相似多邊形的對應角相等，對應邊的比等于相似比.
（2）相似多邊形的周長比等于　 　，面積比等于_____________
例7. 已知正方形ABCD的面積為9 cm2，正方形A1B1C1D1的面積為16 cm2，則兩個正方形ABCD與正方形A1B1C1D1的相似比為　 　.
相似比
相似比的平方
3∶4
8.圖形的位似
（1）位似圖形的定義：如果兩個圖形不僅相似，而且每組對應點所在直線都經過同一點，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心，此時相似比又稱位似比.
（2）位似圖形的性質
①位似圖形上任意一對對應點到位似中心的距離之比等于　 　；
②位似圖形的對應角　 ，對應邊　 ；
③位似圖形的對應線段　 （或在同一條直線上）；
相似比
相等　
成比例　
平行　
④在平面直角坐標系中，將一個多邊形每個頂點的橫坐標、縱坐標都乘同一個數k（k≠0），所對應的圖形與原圖形　 　，位似中心是
　 　，它們的相似比為 　
位似
坐標原點
例8. 如圖4-17-8，在邊長為1的正方形網格中，有一個△ABC，已知A，B，C三點的坐標分別是A（1，0），B（2，-1），C（3，1）.
（1）請在網格圖形中畫出平面直角坐標系；
圖4-17-8
答圖4-17-1
解：（1）如答圖4-17-1.
（2）以原點O為位似中心，將△ABC放大2倍，畫出放大后的△A'B'C'；（畫一個即可）
（3）寫出△A'B'C'各頂點的坐標：A’　 　 ，B’　 　，
C’　 　.
答圖4-17-1
（-2，0）
（-4，2）
（-6，-2）
解：（2）如答圖4-17-1.
廣東中考
1. （2023·廣東題6，3分，黃金分割）我國著名數學家華羅庚曾為普及優選法作出重要貢獻. 優選法中有一種0.618法應用了 （ ）
A. 黃金分割數
B. 平均數
C. 眾數
D. 中位數
A
2. （2023·廣東題15，3分，相似三角形的判定與性質）邊長分別為10，6，4的三個正方形拼接在一起，它們的底邊在同一直線上（如圖4-17-9），則圖中陰影部分的面積為　 　.
圖4-17-9
15
3. （2024·廣東題22節選，4分，相似三角形的判定與性質；三角形中位線定理）如圖4-17-10，在△ABC中（AB圖4-17-10
證明：如答圖4-17-2，連接AA'.
∵DE是△ABC的中位線，DF是△A'BD
的中線，
∴AD=BD，A'F=BF.
∴DF是△AA'B的中位線.∴AA'=2DF.
答圖4-17-2
答圖4-17-2
高分擊破
【典型考點】相似三角形的判定與性質 得分點分析
1. （2024·上海節選）如圖4-17-11，在矩形ABCD中，E為邊CD上一點，且AE⊥BD.求證：AD2=DE·DC.
圖4-17-11

圖4-17-11
溫馨提示：此類考題可能見于廣東省中考數學試卷的第18題，分值一般為7分，答題時要注意書寫格式，分步書寫，慢做會求全對，評卷老師是分步給分的哦！
【典型錯例】相似三角形中的分類討論
2. 如圖4-17-12，在△ABC中，AB=8，AC=6，點D在邊AC上，且AD=2，在AB上是否存在一點E，使得以A，D，E為頂點的
三角形與△ABC相似？若存在，求出所有符合條件
的AE的長；若不存在，請說明理由.
圖4-17-12
答圖4-17-3
答圖4-17-4
圖4-17-13
【生長式訓練】知識生長→變式創新
3. （中考創新，原創題）如圖4-17-14，在△ABC中，點D，E分別在邊BC，AC上.
知識種子：基本概念
（1）若DE∥AB，DE=6，AB=10，CE=3，則AE=　 　；
圖4-17-14
2
種子生長：相似三角形的判定與性質
（2）在（1）的條件下，若∠B=∠CAD.
①求證：△ABD∽△DAE；
①證明：∵DE∥AB，∴∠BAD=∠ADE.
又∵∠B=∠CAD，∴△ABD∽△DAE.
圖4-17-14
②求AD的長；
圖4-17-14
生長變式：圖形變式
（3）若AB=AC，∠B=∠ADE.求證：AB·CE=BD·CD；
圖4-17-14
種子成樹：綜合創新
（4）如圖4-17-15，若∠B=∠ADE=2∠C，AB=8，BC=10，且BD=CE，求BD的長.
圖4-17-15
解：如答圖4-17-5，延長CB到點G，使GB=AB=8，
則∠G=∠BAG.
∴∠ABC=∠G+∠BAG=2∠G，
CG=GB+BC=18.
又∵∠ABC=2∠C，
∴∠G=∠C.∴AG=AC.
答圖4-17-5
答圖4-17-5
答圖4-17-5
中考演練
（限時15分鐘）
一、選擇題
1. （2024·重慶）若兩個相似三角形的相似比為1∶4，則這兩個三角形面積的比是 （ ）
A. 1∶2 B. 1∶4 C. 1∶8 D. 1∶16
D
2. （2024·連云港）下列網格中各個小正方形的邊長均為1，陰影部分圖形分別記作甲、乙、丙、丁，其中是相似圖形的為 （ ）
圖4-17-16
D
A.甲和乙 B.乙和丁 C.甲和丙 D.甲和丁
3. （2024·哈爾濱）如圖4-17-17，在四邊形ABCD中，AD∥BC，點E在AB上，EF∥AD交CD于點F. 若AE∶BE=1∶2，DF=3，則FC的長為（ ）
A. 6　　　　　 B. 3　　　　
C. 5　　　　 D. 9
圖4-17-17
A
圖4-17-18
B
圖4-17-19
D
二、填空題
6. （2024·濱州）如圖4-17-20，在△ABC中，點D，E分別在邊AB，AC上. 添加一個條件使△ADE∽△ACB，則這個條件可以是__________________
　 . （寫出一種情況即可）
圖4-17-20
　∠ADE=∠C
（答案不唯一）
圖4-17-21
8. （2024·重慶）如圖4-17-22，在△ABC中，延長AC至點D，使CD=CA，過點D作DE∥CB，且DE=DC，連接AE交BC于點F.若∠CAB=∠CFA，CF=1，則BF=　 　.
圖4-17-22
3
三、解答題
9. （2024·廣州）如圖4-17-23，點E，F分別在正方形ABCD的邊BC，CD上，BE=3，EC=6，CF=2. 求證：△ABE∽△ECF.
圖4-17-23
10. （2024·臨夏州節選）如圖4-17-24，在矩形ABCD中，E為AD邊上不與端點重合的一動點，F是對角線BD上一點，連接BE，AF交于點O，且∠ABE=∠DAF.
【模型建立】
（1）求證：AF⊥BE；
圖4-17-24
（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°.
∵∠ABE=∠DAF，
∴∠AOE=∠BAF+∠ABE=∠BAF+∠DAF=∠BAD=90°.
∴AF⊥BE.
圖4-17-24
答圖4-17-6

命題趨勢
（ 限時 5 分鐘）
（原創題）如圖4-17-25，在△ACB中，射線AF平分∠CAB，D，F是射線AF上兩點，CD=CE，BE=BF.
（1）求證：AE2=AD·AF；
圖4-17-25
圖4-17-25

圖4-17-25
命題解讀：根據最新課程標準和近三年中考命題動向，預測2025年中考命題方向可能注重考查相似三角形的基本概念、性質和判定方法，如通過具體圖形判斷三角形相似的條件、利用相似三角形的判定方法進行證明、利用相似三角形的性質進行計算等；強調與其他幾何知識的綜合運用，可能與四邊形、圓等結合；可能會考查綜合探究類題型，通過變換圖形位置或構造特殊圖形綜合考查；還可能會結合實際生活情境進行考查.

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