資源簡(jiǎn)介

(共52張PPT)
第四章　三　角　形
第15課時(shí)　等腰三角形、等邊三角形、直角三角形
課前循環(huán)練
（限時(shí)5分鐘）
1. （廣東真題）關(guān)于x的方程2（x-1）-a=0的根是3，則a的值為（ ）
A. 4 B. -4 C. 5 D. -5
A
圖4-15-1
D
3. （廣東真題）下列說(shuō)法正確的是 （ ）
A. 有兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等
B. 等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，也是中心對(duì)稱圖形
C. 對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形
D. 有兩邊平行的四邊形是梯形
C
圖4-15-2
30°
10
①理解等腰三角形的概念，探索并證明等腰三角形的性質(zhì)定理：等腰三角形的兩個(gè)底角相等；底邊上的高線、中線及頂角平分線重合. 探索并掌握等腰三角形的判定定理：有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形. 探索等邊三角形的性質(zhì)定理：等邊三角形的各角都等于60°. 探索等邊三角形的判定定理：三個(gè)角都相等的三角形（或有一個(gè)角是60°的等腰三角形）是等邊三角形.
②理解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性質(zhì)定理：直角三角形的兩個(gè)銳角互余，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.掌握有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形.
課標(biāo)要求
③探索勾股定理及其逆定理，并能運(yùn)用它們解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.
④探索并證明角平分線的性質(zhì)定理：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等；反之，角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.
⑤理解線段垂直平分線的概念，探索并證明線段垂直平分線的性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等；反之，到線段兩端距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上.
對(duì)接教材 人教：八上第十三章　軸對(duì)稱（13.3等腰三角形）；八下第十七章　勾股定理
北師：八上第一章　勾股定理；八下第一章　三角形的證明 　
考點(diǎn)梳理
廣東省對(duì)應(yīng)考點(diǎn)例題
例1. 如圖4-15-3，AB=AC，AD=BD=DE=CE=AE，則圖中共有　 　個(gè)等腰三角形，有　 　個(gè)等邊三角形.
圖4-15-3
4
1
考點(diǎn)復(fù)習(xí)
1.等腰三角形的概念
有　 　相等的三角形是等腰三角形
兩邊
2.等腰三角形的性質(zhì)
（1）等腰三角形的兩條腰　 　，兩個(gè)底角　 　，簡(jiǎn)稱等邊對(duì)等角.
（2）等腰三角形頂角的　 　、底邊上的　 　及底邊上的高線互相重合，簡(jiǎn)稱“三線合一”.
（3）等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，有　 　條對(duì)稱軸
相等
相等
平分線
中線
1
例2. 如圖4-15-4，在△ABC中，AB=AC，AD是邊BC上的高，BC=8 cm，則BD=　 　cm.
　圖4-15-4
4
3.等腰三角形的判定
（1）有兩條邊相等的三角形是等腰三角形.
（2）有兩個(gè)　 　相等的三角形是等腰三角形，簡(jiǎn)稱等角對(duì)等邊
角
例3. 如圖4-15-5，AD是△ABC的邊BC上的高，添加一個(gè)條件使△ABC是等腰三角形：　 　.（寫一個(gè)即可）
圖4-15-5
BD=CD（答案不唯一）
4.等邊三角形的性質(zhì)
（1）等邊三角形的三條邊都　 　，每個(gè)角都等于　 　.
（2）等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，有　 　條對(duì)稱軸
相等
60°
3
例4. 如圖4-15-6，△ABC是等邊三角形，邊長(zhǎng)為2，AD⊥BC，則∠B=
　 　，∠BAD=　 　，BD=　 　，△ABC的周長(zhǎng)為　 　.
　圖4-15-6
60°
30°
1
6
5.等邊三角形的判定
（1）三條邊都相等的三角形是等邊三角形.
（2）三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形.
（3）有一個(gè)角等于60°的　 　是等邊三角形.
（4）有兩個(gè)角等于　 　的三角形是等邊三角形
等腰三角形
60°
例5. 在△ABC中，如果AB=AC，　 （只添加一個(gè)條件），則△ABC為等邊三角形.
BC=AB（答案不唯一）　
6.直角三角形的性質(zhì)
（1）直角三角形的兩個(gè)銳角　 　.
（2）直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的　 　.
（3）在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于　 .
（4）在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對(duì)的角等于　 　.（解答題需證明使用）
（5）勾股定理：直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的　 　
互余
一半
斜邊的一半　
30°
平方
例6. （1）如圖4-15-7，在Rt△ABC中，∠ABC=90°.若AC=2BC，則
∠A=　 ；若D為斜邊AC的中點(diǎn)，且AC=5，則BD=　　??；
30°
圖4-15-7
（2）如圖4-15-8，在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，DE垂直平分AB，交BC于點(diǎn)E，BE=4，則∠EAC=　 　，AC=　 　；
（3）在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1，AC=2，則AB的長(zhǎng)是 　.
圖4-15-8
60°
2
7.直角三角形的判定
（1）有一個(gè)角是　 　的三角形是直角三角形.
（2）有兩個(gè)角　 　的三角形是直角三角形.
（3）勾股定理的逆定理：如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形.
（4）如果三角形一邊上的　 　等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形（解答題需證明使用）
90°
互余
中線
例7. （1）如圖4-15-9，已知P是射線ON上一動(dòng)點(diǎn)（即點(diǎn)P可在射線ON上運(yùn)動(dòng)），若∠AON=30°，則當(dāng)∠A=　 時(shí)，△AOP是直角三角形；
圖4-15-9
60°或90°　
（2）如圖4-15-10，在△ABC中，AD=DC=BD，則∠ABC=　 　.
圖4-15-10
90°
8.角平分線的性質(zhì)與判定
（1）性質(zhì)定理：角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離　 　.
（2）判定定理：在一個(gè)角的內(nèi)部，到角的兩邊距離　 　的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上
相等
相等
例8. 如圖4-15-11，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分線，DC=2，AB=6，則△ABD的面積為　 　.
圖4-15-11
6
9.線段的垂直平分線
（1）線段的垂直平分線：垂直于一條線段，并且平分這條線段的直線叫做這條線段的垂直平分線.
（2）性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離____
　 　.
（3）判定定理：到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的____
　 　上
相等
垂直平分線
例9. 如圖4-15-12，在△ABC中，邊AB的中垂線分別交BC，AB于點(diǎn)D，E，AE=3 cm，△ADC的周長(zhǎng)為9 cm，則△ABC的周長(zhǎng)是　 　cm.
圖4-15-12
15
廣東中考
1. （2020·廣東題17，4分，直角三角形斜邊上的中線；點(diǎn)與圓的位置關(guān)系）有一架豎直靠在直角墻面的梯子正在下滑，一只貓緊緊盯住位于梯子正中間的老鼠，等待與老鼠距離最小時(shí)撲捉. 把墻面、梯子、貓和老鼠都理想化為同一平面內(nèi)的線或點(diǎn)，模型如圖4-15-13.∠ABC=90°，點(diǎn)M，N分別在射線BA，BC上，MN長(zhǎng)度始終保持不變，MN=4，E
為MN的中點(diǎn)，點(diǎn)D到BA，BC的距離分別為4和2. 在此滑
動(dòng)過(guò)程中，貓與老鼠的距離DE的最小值為　 　.
圖4-15-13
2. （2021·廣東題20，6分， 解直角三角形；線段垂直平分線的性質(zhì)）如圖4-15-14，在Rt△ABC中，∠A=90°，作BC的垂直平分線交AC于點(diǎn)D，延長(zhǎng)AC至點(diǎn)E，使CE=AB.
（1）若AE=1，求△ABD的周長(zhǎng)；
圖4-15-14
解：（1）作圖如答圖4-15-1，連接BD.
∴BD=CD.
∵AB=CE，
∴△ABD的周長(zhǎng)為AB+AD+BD=CE+AD+CD=AE=1.
答圖4-15-1
答圖4-15-1
高分擊破
【典型考點(diǎn)】等腰三角形的判定 得分點(diǎn)分析
1. （2020·廣東）如圖4-15-15，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別是邊AB，AC上的點(diǎn)，BD=CE，∠ABE=∠ACD，BE與CD相交于點(diǎn)F.求證：△ABC是等腰三角形.
圖4-15-15

溫馨提示：此類考題常見(jiàn)于廣東省中考數(shù)學(xué)試卷的第18題，分值一般為7分，答題時(shí)要注意書寫格式，分步書寫，慢做會(huì)求全對(duì)，評(píng)卷老師是分步給分的哦！
【典型錯(cuò)例】等腰三角形性質(zhì)的綜合運(yùn)用漏解
2. 等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為50°，求該等腰三角形頂角的度數(shù).
解：①如答圖4-15-2，當(dāng)?shù)妊切蜛BC為銳角三角形時(shí)，
∵∠ABD=50°，BD⊥AC，
∴∠A=90°-∠ABD=40°.
∴此時(shí)三角形的頂角為40°；
答圖4-15-2
②如答圖4-15-3，當(dāng)?shù)妊切蜛BC為鈍角三角形時(shí)，
∵BD⊥AC，∴∠BDA=90°.
∵∠ABD=50°，∴∠BAC=∠ABD+∠BDA=140°.
∴此時(shí)三角形的頂角為140°.
綜上所述，該等腰三角形頂角的度數(shù)為40°或140°.
答圖4-15-3
錯(cuò)解分析
錯(cuò)解：如圖4-15-16，在等腰三角形ABC中，AB=AC，BD為AC邊上的高.
由題意知∠ABD=50°，
∴∠A=90°-∠ABD=40°. ∴該等腰三角形頂角的度數(shù)為40°.
剖析：該解答過(guò)程的錯(cuò)誤在于直接默認(rèn)等腰三角形是銳角三角形，忽視了還有鈍角三角形的情況.本題要進(jìn)行分類討論，分等腰三角形的頂角是銳角和等腰三角形的頂角是鈍角兩種情況，再分別解答.
圖4-15-16
【生長(zhǎng)式訓(xùn)練】知識(shí)生長(zhǎng)→變式創(chuàng)新
3. （中考創(chuàng)新，原創(chuàng)題）如圖4-15-17，△ACB和△DCE均是頂角為40°的等腰三角形，AB，DE分別是底邊，連接AD，BE，點(diǎn)A，D，E在同一直線上.
知識(shí)種子：基本概念
（1）填空：∠BAC=　 ，∠ADC=　 ；
圖4-15-17
70°
110°
種子生長(zhǎng)：等腰三角形的性質(zhì)
（2）求證：AD=BE；
圖4-15-17
生長(zhǎng)變式：圖形變式
（3）如圖4-15-18，若△ACB和△DCE均是等邊三角形，連接AD，BE，點(diǎn)A，D，E在同一直線上.
①求∠AEB的度數(shù)；
圖4-15-18
①∵∠CDE=60°，點(diǎn)A，D，E在同一直線上，
∴∠ADC=180°-∠CDE=120°.
∴∠BEC=∠ADC =120°.
∵∠CED=60°，
∴∠AEB=∠BEC-∠CED=120°-60°=60°.
圖4-15-18
②AE=BE+CE.
理由：∵AE=AD+DE，AD=BE，DE=CE，
∴AE=BE+CE.
圖4-15-18
②求線段AE，BE，CE之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；
種子成樹：綜合創(chuàng)新
（4）如圖4-15-19，若△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，連接AD，BE，點(diǎn)A，D，E在同一直線上，CM為△DCE的邊DE上的高.
圖4-15-19
圖4-15-19
①求∠AEB的度數(shù)；
②AE= BE+2CM.
理由：∵CM為△DCE的邊DE上的高，∴CM⊥DE.
又∵CD=CE，∴DM=EM.
∵∠DCE=90°，∴DE=2CM.
∵AE=AD+DE，AD=BE，DE=2CM，∴AE=BE+2CM.
圖4-15-19
中考演練
（限時(shí)15分鐘）
一、選擇題
1. （2024·青海）如圖4-15-20，OC平分∠AOB，點(diǎn)P在OC上，PD⊥OB，PD=2，則點(diǎn)P到OA的距離是 （ ）
A. 4 B. 3
C. 2 D. 1
圖4-15-20
C
2. （2024·蘭州）如圖4-15-21，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=130°，DA⊥AC，則∠ADB= （ ）
A. 100° B. 115°
C. 130° D. 145°
B
圖4-15-21
圖4-15-22
A
4. （2024·涼山州）如圖4-15-23，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，DE垂直平分AB交BC于點(diǎn)D.若△ACD的周長(zhǎng)為50 cm，則AC+BC= （ ）
A. 25 cm B. 45 cm
C. 50 cm D. 55 cm
圖4-15-23
C
圖4-15-24
C
二、填空題
6. （2023·麗水）如圖4-15-25，在△ABC中，AC的垂直平分線交BC于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，∠B=∠ADB. 若AB=4，則DC的長(zhǎng)是　 　.
圖4-15-25
4
7. （2024·重慶）如圖4-15-26，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D. 若BC=2，則AD的長(zhǎng)度為　 　.
圖4-15-26
2
8. （2023·隨州）如圖4-15-27，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，D為AC上一點(diǎn)，若BD是∠ABC的平分線，則AD=　 　.
圖4-15-27
5
三、解答題
9. （2024·宜賓）如圖4-15-28，D，E分別是等邊三角形ABC邊BC，AC上的點(diǎn)，且BD=CE，BE與AD交于點(diǎn)F. 求證：AD=BE.
圖4-15-28
10. （2022·溫州）如圖4-15-29，BD是△ABC的角平分線，DE∥BC，交AB于點(diǎn)E.
（1）求證：∠EBD=∠EDB；
（1）證明：∵BD是△ABC的角平分線，∴∠CBD=∠EBD.
∵DE∥BC，∴∠CBD=∠EDB. ∴∠EBD=∠EDB.
　圖4-15-29
（2）當(dāng)AB=AC時(shí)，請(qǐng)判斷CD與ED的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由.
（2）解：CD=ED.
理由：∵AB=AC，∴∠ABC=∠C.
∵DE∥BC，∴∠ADE=∠C，∠AED=∠ABC. ∴∠ADE=∠AED.
∴AD=AE. ∴AC-AD=AB-AE，即CD=BE.
由（1）知∠EBD=∠EDB，∴BE=ED. ∴CD=ED.
　圖4-15-29
命題趨勢(shì)
（ 限時(shí) 5 分鐘）
（教材改編）如圖4-15-30，在△ABC中，DE是邊BC的垂直平分線，分別交邊AC，BC于點(diǎn)D，E，BF⊥AC，且F是線段AD的中點(diǎn)，延長(zhǎng)BF與BC的垂直平分線交于點(diǎn)G，連接CG.
（1）若D是AC的中點(diǎn)，求證：AC=2AB；
證明：（1）如答圖4-15-4，連接BD.
∵DE是邊BC的垂直平分線，∴DB=DC.
∵BF⊥AC，F(xiàn)是AD的中點(diǎn)，∴AB=DB.
∴AB=DC.
又∵D是AC的中點(diǎn)，∴AC=2DC=2AB.
圖4-15-30
答圖4-15-4
（2）若∠ACB=30°，求證：△BGC為等邊三角形.
（2）∵DE是邊BC的垂直平分線，
∴BG=CG.
∴△BGC為等腰三角形.
∵BF⊥AC，∴∠BFC=90°.
∵∠ACB=30°，
∴∠GBC=90°-∠ACB=60°.
∴△BGC為等邊三角形.
圖4-15-30
命題解讀：根據(jù)最新課程標(biāo)準(zhǔn)和近三年中考命題動(dòng)向，預(yù)測(cè)2025年中考命題方向可能注重考查等腰三角形、等邊三角形、直角三角形的基本概念、性質(zhì)和判定方法；注重考查角平分線、垂直平分線的性質(zhì)，可能會(huì)結(jié)合尺規(guī)作圖一起考查；強(qiáng)調(diào)與其他知識(shí)點(diǎn)的綜合考查，如與三角形的全等、相似、三角函數(shù)、圓等結(jié)合；還可能會(huì)結(jié)合實(shí)際生活情境進(jìn)行考查.

展開更多......

收起↑